Teknik Mencacah

Pendahuluan Jika jumlah ‘outcomes’ pada suatu percobaan adalah

kecil/sedikit, maka relatif mudah untuk menghitungnya.

Jika terdapat sejumlah ‘outcomes’ yang mungkin dihasilkan, misalnya jumlah ‘Head” dan ‘Tails’ untuk pengundian 10 koin, akan menimbulkan masalah tersendiri dalam menghitungnya (kemungkinan hasil : 10H, 9H1T, 8H2T dst).

Contoh : Daerah hasil untuk sebuah dadu : 1, 2, 3, 4, 5, dan 6

Pendahuluan Solusi untuk permasalahan yang mempunyai

‘outcomes’ yang besar adalah dengan menggunakan 3 cara :

1. Kaidah Perkalian

2. Permutasi

3. Kombinasi

Kaidah Perkalian

Andaikan k operasi disusun secara berurutan, dimana :Andaikan k operasi disusun secara berurutan, dimana : Operasi 1 dapat dilakukan dalam nOperasi 1 dapat dilakukan dalam n11 cara cara

Operasi 2 dapat dilakukan dalam nOperasi 2 dapat dilakukan dalam n22 cara cara...Operasi k dapat dilakukan dalam nOperasi k dapat dilakukan dalam nk k caracara

Maka, banyaknya cara untuk menyusun k operasi Maka, banyaknya cara untuk menyusun k operasi dapat dilakukan dalam :dapat dilakukan dalam :

N = n1 . n2 . . . nk cara

Kaidah Perkalian

Perluasan dari kaidah perkalian tersebut :Perluasan dari kaidah perkalian tersebut :

Jika terdapat Jika terdapat mm cara untuk melakukan suatu operasi dan cara untuk melakukan suatu operasi dan nn cara untuk melakukan operasi lainnya, maka terdapat cara untuk melakukan operasi lainnya, maka terdapat m x nm x n cara untuk melakukan kedua operasi tersebutcara untuk melakukan kedua operasi tersebut

Sebuah situs shopping online menawarkan sweater dan Sebuah situs shopping online menawarkan sweater dan celana panjang untuk wanita, masing-masing celana panjang untuk wanita, masing-masing mempunyai 5 pilihan warna untuk sweater dan 4 pilihan mempunyai 5 pilihan warna untuk sweater dan 4 pilihan warna untuk celana panjang. Berapa pasang pakaian warna untuk celana panjang. Berapa pasang pakaian yang dapat ditampilkan pada iklannya?yang dapat ditampilkan pada iklannya?

Contoh :

5 x 4 = 20 pasang

Contoh : Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi).

Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan?

Jawab:Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu: AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC.

Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut:

Langkah 1:Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama.Langkah 2:Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa

menduduki juara kedua.

Jadi Seluruhnya ada 4 x 3 = 12 susunan pemenang yang mungkin terjadi

Permutasi

Definisi :

Teorema :

Suatu permutasi r obyek yang diambil dari n obyek yang berlainan, adalah penempatan r obyek tersebut dalam satu urutan ( r < n )

)!(

!

)1()2)(1(

),(

rn

n

rnnnn

PPrnP nrrn

Permutasi

Contoh :

Dari 3 kandidat, dipilih hanya 2 orang yang akan ditempatkan sebagai direktur dan wakil direktur. Ada berapa kemungkinan cara yang dapat disusun?

6123!1

!3

)!23(

!323

P

Kombinasi

Definisi :

Teorema :

Suatu kombinasi r obyek yang diambil dari n obyek yang berlainan, adalah suatu pilihan dari r obyek tanpa memperhatikan urutannya ( r < n )

)!(!

!

!

),(

rnr

n

r

P

r

n

CCrnC

rn

nrrn

Kombinasi

Contoh :

Ada berapa cara untuk memilih 3 kartu dari 8 kartu yang berbeda?

56!3

678

)!38(!3

!8

3

838

C

Sampling WR dan WOR

Populasi n item

Sample sebanyak

k

WOR

WR

ada nk cara

Contoh WOR dan WR

Sebuah kotak berisi 3 bola merah, 4 bola putih dan 3 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak dengan syarat:

a. Setelah diambil bola dikembalikan lagi, tentukanlah probabilitas terpilihnya: bola merah, bola putih, bola biru, tidak merah, merah atau putih.

b. Setelah diambil bola tidak dikembalikan, tentukan probabilitas terpilih: merah, putih, biru, merah atau putih, merah dan biru.

a. jawab: banyaknya bola dlam kotak n = 3+4+3 = 10- P(bola merah) = 3/10

- P(bola putih) = 4/10- P(bola biru) = 3/10 - P(tidak merah)= 1- P(bola merah)=1-3/10 = 6/10 = 3/5- P(merah atau putih) = 3/10 + 4/10 = 7/10

b. jawab: P(merah) = 3/10 P(putih) = 4/9

P(biru) = 3/8 P( merah atau putih) = 3/10 + 4/9 = 67/90 P(merah dan biru) = 3/10 . 3/8 = 9/80

Jumat 21 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT 13

1. Suatu delegasi terdiri dari 7 orang mahasiswa dipilih dari :

8 mahasiswa TE

7 mahasiswa TI

6 mahasiswa IF

Tentukan peluang bahwa delegasi tersebut beranggotaan :

a. 2 mhs IF, 4 mhs TI, dan 1 mhs TE

b. 2 mhs IF

2. Suatu kotak berisi bola sbb:

40 bola warna putih, 50 bola warna merah, 60 bola warna hitam

Selanjutnya, dalam kotak tersebut 20 bola secara WOR. Pertanyaan: Tentukan peluang yang mendapatkan :

a. 10 bola warna putih, 4 merah, 6 hitam

b. 10 bola warna putih

Soal - soalSoal - soal

Jumat 21 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT

3. Suatu kantong berisi bola :

6 bola warna merah

4 bola warna putih

8 bola warna biru

a. Lima bola diambil dari kantong tersebut dengan kondisi WR. Berapa peluang terambilnya tiga bola warna merah.

b. Lima bola diambil dari kantong tersebut dengan kondisi WOR. Berapa peluang terambilnya tiga bola warna merah.

c. Lima bola diambil dengan kondisi WR. Berapa peluang terambilnya 2 bola merah, 2 bola putih 1 bola biru.

d. Lima bola diiambil dengan kondisi WOR. Berapa peluang terambilnya 2 bola merah, 2 bola putih, 1 bola biru.