TEKNIK LINIERISASI UNTUK PERSOALAN

PROGRAM KUADRATIK NOL-SATU

TESIS

Oleh

M KHAHFI ZUHANDA

147021004/MT

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2016

TEKNIK LINIERISASI UNTUK PERSOALAN

PROGRAM KUADRATIK NOL-SATU

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu SyaratUntuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam

Program Studi Magister Matematika padaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

OlehM Khahfi Zuhanda

147021004/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2016

Judul Tesis : TEKNIK LINIERISASI UNTUK PERSOALANPROGRAM KUADRATIK NOL-SATU

Nama Mahasiswa : M Khahfi ZuhandaNomor Pokok : 147021004Program Studi : Matematika

Menyetujui,Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S, MSc) (Dr. Mardiningsih, MSi)Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, MSc)

Tanggal lulus: 18 Mei 2016

Telah diuji pada

Tanggal 18 Mei 2016

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, MSc

Anggota : 1. Dr. Mardiningsih, MSi

2. Prof. Dr. Saib Suwilo, MSc

3. Dr. Marwan Ramli, MSi

ABSTRAK

Seiring perkembangan zaman, perkembangan ilmu pengetahuan meningkat ta-

jam. Ilmu pengetahuan telah banyak membantu manusia dalam memberikan so-

lusi kompleksnya permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Mulai dari bidang

kedokteran, ekonomi, sosial, politik, sumber daya, dan lain-lain. Permasalahan

optimasi non linier tak luput dalam memberi kontribusi dalam segala aspek.

Dalam beberapa tahun terakhir, telah banyak matematikawan mengembangkan

permasalahan non linier, salah satunya program kuadratik nol-satu. Program

kuadratik nol-satu merupakan kelas khusus dari pemrograman non linier. Pro-

gram kuadratik nol-satu ditujukan untuk meminimalkan subjek fungsi objektif

kuadratik dengan beberapa kendala kuadratik, dengan kondisi bahwa masing-

masing variabel dibatasi nilai nol atau satu.

Kata kunci: program kuadratik, biner, linierisasi, integer.

i

ABSTRACT

Along with the times, the development of science increased sharply. Science hashelped humans in providing solutions to complex problems in everyday life. Start-ing from the fields of medicine, economics, social, political, resources, and others.Non-linear optimization problems did not escape in contributing in all aspects. Inrecent years, many mathematicians have developed a non-linear problems, one ofwhich is a zero-one quadratic programming. Zero-one quadratic programming is aspecial class of non-linear programming. Zero-one quadratic programming aimedat minimizing the quadratic objective function subject to some constraints quadrat-ic, with the condition that each variable is limited by zero or one.

Keyword: quadratic programming, biner, linearization, integer.

ii

KATA PENGANTAR

Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT

yang telah memberikan berkat dan rahmadNya sehingga penulis dapat menyele-

saikan tesis yang berjudul ”TEKNIK LINIERISASI UNTUK PERSOALAN

PROGRAM KUADRATIK NOL-SATU”. Tesis ini merupakan salah satu

syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakul-

tas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera

Utara.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya

kepada :

Prof. Dr. Runtung Sitepu, SH, M.Hum selaku Rektor Universitas Sumatera

Utara

Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-

tahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister

Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan

tesis ini.

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister

Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan

serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Pembimbing Utama yang

telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis

dalam penulisan tesis ini.

Dr. Mardiningsing, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak

memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan

tesis ini.

iii

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU

yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.

Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika

FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis

selama mengikuti perkuliahan.

Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA

USU tahun 2014 genap (Benny, Hafiz, Manuntun, Mahdi, Anil, Petrus, Desni,

Meriandela, Rina, Arie, Fitri, Helmi, Lily, Wita, dan Winda) yang telah mem-

berikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghar-

gaan setinggi-tingginya kepada ayahanda Zunaidi, SE yang mencurahkan kasih

sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendampingi

dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan

tesis ini. Tak lupa pula kepada adik-adikku Novi Dara Utami, Arbie Saldi Zusri,

dan Pri Zuri Hartadi yang telah memberikan semangat selama penulisan tesis

ini.Terima kasih kepada sahabat-sahabatku serta rekan-rekan lainnya yang tidak

dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas

jasa-jasa mereka yang telah diberikan kepada penulis.

Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu

penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis

ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.

Terimakasih.

Medan, 18 Mei 2016

Penulis,

M Khahfi Zuhanda

iv

RIWAYAT HIDUP

M Khahfi Zuhanda dilahirkan di Medan pada tanggal 30 November 1991

dari pasangan Bapak Zunaidi, SE dan Alm. Ibu Sri Rezeki Damayanti. Penulis

menamatkan pendidikan Sekolah Dasar Al-Ittihadiyah pada Tahun 2003, Sekolah

Menengah Pertama (SMP) Negeri 4 Medan tahun 2006, Sekolah Menengah Atas

(SMA) Negeri 6 Medan tahun 2009. Pada tahun 2009 memasuki Perguruan Tinggi

Universitas Sumatera Utara fakultas MIPA jurusan Matematika pada Strata Satu

(S-I) dan lulus tahun 2013.

Pada tahun 2014, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Ma-

gister Matematika Universitas Sumatera Utara. Selama perkuliahan penulis aktif

dalam organisasi Himpunan Pengusaha Muda Indonesia Sumatera Utara(HIPMI

SUMUT), Indonesia Future Society Sumatera Utara(IFS SUMUT), Apheresis

Medan, Junior Chambers International Chapter Medan, Assosiasi Pengusaha In-

donesia Medan (APINDO Medan). Penulis juga aktif dalam bisnis wirausaha

salah satunya pendiri Rumah Pajak Medan, Bimbingan Belajar Lagrange.

v

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4. Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

BAB 3 PERSOALAN PROGRAM KUADRATIK NOL-SATU . . . . . . . . 6

3.1. Optimasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2. Permasalahan Optimisasi Berkendala . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3. Syarat Optimalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4. Program Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.5. Program Bilangan Bulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.6. Program Kuadratik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

ii

3.7. Metode Himpunan Aktif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

BAB 4 TEKNIK LINIERISASI UNTUK PERSOALAN PROGAM KUADRATIKNOL-SATU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1. Teknik Linierisasi Sherali dan Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1..1 Representasi Pendekatan Program Kuadratik nol-satu . 23

4.1..2 Contoh Persoalan dan Penyelesaian Program KuadratikNol-Satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

BAB 5 KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

iii

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Seiring perkembangan zaman, perkembangan ilmu pengetahuan kini meningkat

tajam. Ilmu pengetahuan telah banyak membantu manusia dalam memberikan

solusi kompleksnya permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Mulai dari bidang

kedokteran, ekonomi, sosial, politik, sumber daya, dan lain-lain. Permasalahan

optimasi non linier tak luput dalam memberi kontribusi dalam segala aspek.

Dalam beberapa tahun terakhir, telah banyak matematikawan mengembangkan

permasalahan non linier, salah satunya program kuadratik nol-satu.

Program kuadratik nol-satu merupakan kelas khusus dari pemrograman

non linier. Program kuadratik nol-satu ditujukan untuk meminimalkan subjek

fungsi objektif kuadratik dengan beberapa kendala kuadratik, dengan kondisi bah-

wa masing-masing variabel dibatasi nilai nol atau satu. Permasalahan program

kuadratik nol-satu sering muncul pada beberapa persoalan seperti telekomunikasi,

manufaktur, penjadwalan, dan lain-lain.

Beberapa literatur strategi linierisasi juga telah dilakukan untuk menyele-

saikan permasalahan program kuadratik nol-satu menjadi bentuk pemrograman

linier integer, mulai dari Gharibi dan Xia (2012), dan berkembang menjadi formu-

lasi yang lebih ringkas dan membutuhkan variabel biner seperti yang dilakukan

Furini dan Traversi (2013), Gharibi (2011) mengembangkan Teknik Linierisasi

Balas dan Mazzolla program kuadratik nol-satu. De Santis dan Rinaldi (2011)

mengembangkan reformulasi persoalan kuadratik nol-satu kontinu. Koncherberg-

er, dkk (2005) mengembangkan algoritma Taboo Search untuk menyelesaikan pro-

gram kuadratik biner.

Permasalahan pemrograman kuadratik nol-satu merupakan salah satu per-

masalahan optimisasi tak linear yang sangat penting, karena muncul dalam berba-

gai aspek, termasuk dalam aspek perekonomian, sains terapan, analisis porto-

folio, dan pengendalian optimal. Salah satu metode yang dapat digunakan un-

tuk menyelesaikan permasalahan pemrograman kuadratik nol-satu adalah dengan

1

2

teknik linierisasi bilinier yaitu dengan mentransformasikan persamaan kuadratik

menjadi bentuk linier. Pada penelitian ini akan dianalisis bagaimana teknik lin-

ierisasi program kuadratik nol-satu yang telah diperkenalkan oleh Sherali dan

Smith (2011) untuk menyelesaikan persoalan program kuadratik nol-satu.

Teknik linierisasi program kuadratik nol-satu lebih efektif dalam menye-

lesaikan program kuadratik yang memiliki batasan masalah variabel nol-satu.

Teknik ini merupakan teknik linieirisasi terbaru untuk persoalan kuadratik nol-

satu yang sebelumnya telah diperkenalkan oleh Sherali dan Smith (2011). Lalu

dikembangkan kembali oleh Gharibi dan Xia (2012) dengan tightness strategy.

Penelitian ini akan menunjukkan secara literatur penerapan linierisasi pro-

gram kuadratik nol-satu dan menyelesaikan beberapa contoh persoalan numerik

program kuadratik nol-satu. Berdasarkan uraian ini, peneliti tertarik untuk memil-

ih judul penelitian ”Teknik Linierisasi untuk Persoalan Program Kuadratik

Nol-Satu”.

1.2. Perumusan Masalah

Permasalahan pemrograman kuadratik merupakan salah satu permasalahan op-

timisasi tak linear yang sangat penting, karena muncul dalam berbagai aspek,

termasuk dalam aspek perekonomian, sains terapan, analisis portofolio, dan pen-

gendalian optimal. Banyak ilmuan meneliti program kuadratik, tetapi untuk ka-

sus persoalan program kuadratik nol-satu, teknik linierisasi Sherali dan Smith

lebih efektif untuk menyelesaikan proram kuadratik nol-satu. Karena solusi yang

dibatasi oleh nol-satu membuat fungsi kuadratik menjadi permasalahan yang

baru. Karena variabel berorde dua akan sama besar pengaruhnya dengan variabel

berorde satu. Andai di berikan persoalan program kuadratik yang fungsi tujuan

dan kendalanya berbentuk persamaan kuadratik dengan variabelnya di batasi oleh

nol dan satu. Dimana persamaan yang berbentuk kuadratik akan di transformasi

menjadi linier. Transformasi program kuadratik berakibat penambahan variabel

dan persamaan kedalam fungsi kendala.

1.3. Tujuan Penelitian

Tujuan dalam penelitian ini adalah menerapkan teknik linierisasi untuk

menyelesaikan persoalan kuadratik nol-satu.

3

1.4. Manfaat Penelitian

Adapun manfaat yang diperoleh pada penelitian ini antara lain sebagai berikut:

1. Akan diperoleh langkah-langkah strategi penerapan linierisasi untuk per-

soalan program kuadratik nol-satu.

2. Hasil yang akan diperoleh pada penelitian ini dapat menambah referensi

untuk menyelesaikan program kuadratik nol-satu.

1.5. Metodologi Penelitian

Penelitian yang penulis lakukan merupakan studi literatur untuk penerapan lin-

ierisasi persoalan program kuadratik nol-satu. Adapun langkah-langkah dalam

menyelesaikan penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengumpulkan berbagai literatur yang berhubungan dengan pengenaan

teknik linierisasi untuk permasalahan pemrograman kuadratik nol-satu.

2. Memaparkan berbagai teori-teori mengenai teknik linierisasi dalam per-

masalahan pemrograman kuadratik nol-satu.

3. Menganalisis penerapan linerisasi dalam menyelesaikan permasalahan pem-

rograman kuadratik nol-satu.

4. Menganalisis sifat-sifat program kuadratik nol-satu.

5. Merubah bentuk kuadratik menjadi bentuk bilinier.

6. mentransformasi persamaan fungsi kuadratik kebentuk linier.

7. Menambah variabel dan persamaan kedalam fungsi kendala akibat dari lin-

ierisasi fungsi kuadratik.

8. Mendeskripsikan formulasi permasalahan program kuadratik nol-satu ke

dalam suatu model matematika.

9. Menyelasaikan persoalan numerik dari program kuadratik nol-satu.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Permasalahan pemrograman kuadratik nol-satu merupakan salah satu permasala-

han optimisasi tak linear yang sangat penting, karena muncul dalam berbagai as-

pek, termasuk dalam aspek perekonomian, sains terapan, dan teknik. Salah satu

metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman

kuadratik nol-satu adalah dengan melinierisasi program kuadratik. Dalam tesis

ini akan diterapkan metode himpunan aktif dalam menyelesaikan permasalahan

pemrograman kuadratik. Problema program kuadratik nol-satu adalah untuk

mencari minimum dari fungsi tujuan dan kendala yang berbentuk kuadratik nol-

satu, dimana masing-masing variabel keputusan nol atau satu.

Ada beberapa algoritma yang telah di sarankan untuk memecahkan per-

masalahan program kuadratik nol-satu. Karena NP-hardness (Nondeterminis-

tic Polynomial), di antaranya dapat diselesaikan dengan cara heuristik. Seba-

gai contoh dari beberapa pendekatan baru tersebut, Burer (2001) menyelesaikan

dengan cara heuristik yang didasarkan rank-two-relaxation untuk kelas program

kuadratik. Ia juga menyajikan langkah-langkah algoritma untuk persoalan pro-

gram kuadratik. Dan Koncherberger (2005) menerapkan pencarian algoritma

yang dibatasi bilangan biner dalam masalah program kuadratik.

Sebaliknya, penulis mempertimbangkan pendekatan optimasi yang tepat

untuk menyelesaikan permasalahan program kuadratik nol-satu. Penelitian se-

belumnya di bidang ini biasanya menyesuaikan terhadap jenis struktur kendala

yang hadir dalam masalah. Misalnya, Pardalos dan Rodgers (1990) mengem-

bangkan algoritma branch and bound untuk menyelesaikan permasalahan program

kuadratik nol-satu, sedangkan Chardaire dan Sutter (1995) memberikan algorit-

ma dekomposisi Lagrangian untuk memecahkan masalah ini. Caprara (1999)

memeriksa program kuadrat biner yang memiliki kendala single knapsack, dan

merancang algoritma branch and bound untuk solusinya nya. Loiola (2006) menye-

diakan sebuah survei terbaru dari literatur yang luas pada metode heuristik yang

tepat untuk menyelesaikan permasalahan penugasan kuadratik. Thoa (1998)

menyajikan algoritma branch and bound untuk meminimalkan fungsi kuadrat yang

4

5

memenuhi solusi integer, dengan kendala linier hypercube.

Beberapa literatur strategi linierisasi juga telah dilakukan untuk menyele-

saikan permasalahan program kuadratik nol-satu menjadi bentuk pemrograman

linier integer, mulai dari Gharibi dan Xia (2012), dan berkembang menjadi formu-

lasi yang lebih ringkas dan membutuhkan variabel biner seperti yang dilakukan

Furini dan Traversi (2013), Gharibi (2012) mengembangkan Teknik Linierisasi

Balas dan Mazzolla program kuadratik nol-satu. De Santis dan Rinaldi (2011)

mengembangkan reformulasi persoalan kuadratik nol-satu kontinu. Koncherberg-

er, dkk (2005) mengembangkan algoritma Taboo Search untuk menyelesaikan pro-

gram kuadratik biner.

Penelitian dalam makalah ini paling erat terkait dengan karya Chaovalit-

wongse (2005), yang menyediakan transformasi program kuadrat nol-satu men-

jadi program linier mixed-integer nol-satu, yang memerlukan sejumlah penam-

bahan variabel dan kendala. Penulis mendemonstrasikan bahwa dengan meny-

atakan kembali masalah sebagai persamaan program bilinear mixed-integer dan

menggunakan serangkaian transformasi variabel, demikian pula struktur tapi erat

kaitannya persamaan persoaalan program linier mixed-integer nol-satu dapat di

turunkan.

BAB 3

PERSOALAN PROGRAM KUADRATIK NOL-SATU

Sebelum mengarah pada bagaimana program kuadratik nol-satu, ada baiknya

terlebih dahulu mengetahui apa itu optimasi, program linier, program nol-satu,

dan program kuadratik.

3.1. Optimasi

Optimasi adalah sarana untuk mengekspresikan model matematika yang

bertujuan memecahkan masalah dengan cara terbaik. Untuk tujuan bisnis, hal

ini berarti memaksimalkan keuntungan dan efisiensi serta meminimalkan keru-

gian, biaya atau resiko. Hal ini juga berarti merancang sesuatu untuk memini-

malisasi bahan baku atau memaksimalisasi keuntungan. Adapun keinginan untuk

memecahkan masalah dengan model optimasi secara umum sudah digunakan pada

banyak aplikasi.

3.2. Permasalahan Optimisasi Berkendala

Menurut Sun dan Yuan (2006), bentuk umum dari permasalahan optimisasi

berkendala tak linear adalah sebagai berikut.

minimumkan f(x) (3.1)

dengan kendala ci(x) = 0, i = 1, ..., me; (3.2)

ci(x) ≥ 0, i = me + 1, ..., m; (3.3)

Di mana fungsi objektif f(x) dan fungsi-fungsi kendala ci(x), (i = 1, ..., m)

seluruhnya merupakan fungsi mulus (smooth), dan paling tidak terdapat satu

fungsi tak linear, serta me dan m merupakan bilangan bulat tak negatif dengan

0 ≤ me ≤ m. Atau dapat juga dinyatakan

E = {1, ..., me} dan I = {me + 1, ..., m}

dengan E dan I masing-masing sebagai himpunan indeks dari kendala-kendala

persamaan dan kendala-kendala pertidaksamaan. Jika m = 0, permasalahan

6

7

(3.1)-(3.3) merupakan suatu permasalahan optimisasi tak berkendala. Namun

jika me = m 6= 0, permasalahan tersebut disebut permasalahan optimisasi berk-

endala. Jika seluruh ci(x)(i = 1, ..., m) merupakan fungsi-fungsi linear, permasala-

han (3.1)-(3.3) disebut permasalahan optimisasi berkendala linear. Permasalahan

optimisasi berkendala linear dengan fungsi objektif f(x) berbentuk kuadratik dise-

but permasalahan pemrograman kuadratik.

Berikut pemaparan beberapa definisi (Sun dan Yuan, 2006).

Definisi 1 Titik x ∈ Rn dikatakan sebagai titik layak jika dan hanya jika memenuhi

(3.2)-(3.3). Himpunan yang seluruh elemennya merupakan titik-titik layak disebut

sebagai himpunan layak (feasible set).

Pada permasalahan (3.1)-(3.3), (3.2)-(3.3) merupakan syarat-syarat berkendala.

Ber dasarkan Definisi 1, suatu titik layak merupakan titik yang memenuhi seluruh

kendala. Himpunan layak X dapat dinyatakan sebagai berikut.

X = {x|ci(x) = 0, i ∈ E ; ci(x) ≥ 0, i ∈ I}

Jadi, permasalahan (3.1)-(3.3) dapat juga dinyatakan sebagai

minimumkanx∈Xf(x)

yang berarti solusi dari permasalahan optimisasi berkendala (3.1)-(3.3) hanya

merupakan pencarian nilai x pada himpunan layak X, sehingga nilai dari fungsi

objektif f(x) minimum.

Definisi 2 Jika x∗ ∈ X dan jika

f(x) ≥ f(x∗), ∀x ∈ X

maka x∗ disebut peminimum global dari permasalahan (3.1)-(3.3). Jika x∗ ∈ X

dan jika

f(x) > f(x∗), ∀x ∈ X, x 6= x∗

maka x∗ disebut peminimum global sempurnal (strict global minimizer).

8

Andaikan bahwa x∗ merupakan suatu peminimum lokal dari permasalahan (3.1)-

(3.3), jika terdapat suatu indeks i0 ∈ I = [me + 1, m] sehingga

ci0(x∗) > 0

kemudian, jika dihapus kendala ke-i0, x∗ masih tetap peminimum lokal dari per-

masalahan yang diperoleh dengan menghapus kendala ke-i0, maka dapat dikatakan

bahwa kendala ke-i0 tidak aktif pada x∗.

Perhatikan bahwa dengan menyatakan

I(x) = {i = |ci(x) = 0, i ∈ I}

Berikut diberikan definisi dari kendala aktif dan kendala tidak aktif.

Definisi 3 Untuk setiap x ∈ Rn, himpunan

A(x) = E ∪ I(x)

merupakan suatu himpunan indeks dari kendala-kendala aktif pada x, ci(x)(i ∈

A(x)) merupakan suatu kendala aktif pada x, ci(x)(i 6∈ A) merupakan suatu

kendala tidak aktif pada x.

3.3. Syarat Optimalitas

Sun dan Yuan (2006) memaparkan syarat optimalitas order pertama sebagai

berikut. Karena arah layak (feasible direction) berperan penting dalam menen-

tukan syarat optimalitas, berikut akan diberikan beberapa definisi dari arah layak.

Definisi 4 Misalkan x∗ ∈ X, 0 6= d ∈ Rn. Jika terdapat δ > 0 sehingga

x∗ + td ∈ X, ∀t ∈ [0, δ]

maka d disebut arah layak dari X pada x∗, Himpunan dari seluruh arah-arah layak

dari Xpada x∗ merupakan

FD(x∗, X) = {d|x∗ + td ∈ X, ∀t ∈ [0, δ]}

9

Definisi 5 Misalkan x∗ ∈ X dan d ∈ Rn. Jika

dT 5 ci(x∗) = 0, i ∈ E

dT 5 ci(x∗) ≥ 0, i ∈ I(x∗)

maka d disebut arah layah yang terlinearkan (linearized feasible direction) dari

X pada x∗. Himpunan dari seluruh arah-arah layak yang terlinearkan dari X

pada x∗ adalah

LFD(x∗, X) = {d | dT 5 ci(x∗) = 0, i ∈ E ; dT 5 ci(x

∗) ≥ 0, i ∈ I(x∗)}

Definisi 6 Misalkan x∗ ∈ X dan d ∈ Rn. Jika terdapat barisan (sequences) dk

(k = 1, 2, ...) dan δk > 0, (k = 1, 2, ...) sehingga x∗ + δkdk ∈ X, ∀k dan dk →

d, δk → 0, maka limit arah (limiting direction) d disebut arah layak sekuensial

(sequential feasible direction) dari X pada x∗. Himpunan dari seluruh arah

arah layak sekuensial dari X pada x∗ adalah

SFD(x∗, X) = {d | x∗ + δkdk ∈ X, ∀k ; dk → d, δk → 0}

Dari definisi tersebut, jika menetapkan xk = x∗ + δk dk, maka {xk} meru-

pakan suatu barisan titik layak (feasible point sequence) yang memenuhi :

1. xk 6= x∗, ∀k;

2. limk→∞ xk = x∗;

3. xk ∈ X untuk semua k yang cukup besar.

Jika menetapkan δk = ||xk − x∗||, maka diperoleh

dk =xk − x∗

||xk = x∗||→ d

yang berarti bahwa xk = x∗ + δkdk merupakan suatu barisan titik layak dengan

arah layak d.

Dengan maksud untuk memaparkan secara jelas syarat perlu untuk solusi

lokal, maka diperkenalkan suatu himpunan

D(x′) = D′ = {d | dT 5 f(x′) < 0} (3.1)

10

yang disebut suatu himpunan arah menurun (descent direction) pada x′. Berikut

akan dipaparkan syarat perlu yang paling dasar, yakni syarat optimalitas geometri

sebagai berikut.

Teorema 3.1 Misalkan x∗ ∈ X merupakan suatu peminimum lokal dari per-

masalahan (3.1)-(3.3). Jika f(x) dan ci(x) (i = 1, 2, ..., m) terdiferensial pada x∗,

maka

dT 5 f(x∗) ≥ 0, ∀d ∈ SFD(x∗, X) (3.2)

yang berarti

SFD(x∗, X) ∩ D(x∗) = φ (3.3)

di mana φ merupakan himpunan kosong (Sun dan Yuan, 2006).

Bukti : Untuk setiap d ∈ SFD(x∗, X) terdapat δk > 0 (k = 1, 2, ...) dan

dk (k = 1, 2, ...) sehingga x∗ + δkdk ∈ X dengan δk → 0 dan dk → d. Karena

x∗ + δkdk → x∗ dan x∗ merupakan suatu peminimum lokal, maka untuk k cukup

besar, diperoleh

f(x∗) ≤ f(x∗ + δkdk) = f(x∗) + δkdTk 5 f(x∗) + o(δk) (3.4)

yang berarti

dT 5 f(x∗) ≥ 0 (3.5)

untuk sembarang d, maka diperoleh (3.5). Selanjutnya, (3.8) juga berarti d 6∈

D(x∗). Jadi SFD(x∗, X) ∩ D(x∗) = φ.

Teorema (3.2.1) menunjukkan bahwa tidak terdapat arah layak sekuensial

pada peminimum lokal x∗.

Lemma 3.2 Suatu himpunan

S = {d | dT 5 f(x∗) < 0 ; dT 5 ci(x∗) = 0, i ∈ E ; dT 5 ci(x

∗) ≥ 0, i ∈ I} (3.6)

merupakan kosong jika dan hanya jika terdapat bilangan real λi, i ∈ E dan bilan-

gan real tak negatif λi ≥ 0, i ∈ I sehingga

5f(x∗) =∑

i∈E

λi 5 ci(x∗) +

∑

i∈I

λi 5 ci(x∗) (3.7)

11

Kenyataannya, himpunan

d = −x, 5f(x∗) = c, A =

5cTi (x∗)...

5cTm(x∗)

, λ = y

Jelas bahwa untuk menyatakan syarat optimalitas dengan memperkenalkan fungsi

Lagrange

L(x, λ) = f(x) −m

∑

i=1

λici(x) (3.8)

di mana λ = (λ1, ..., λn)T ∈ Rm merupakan vektor pengali Lagrange. Lem-

ma 3.2.2 disebut juga sebagai Lemma Farkas.

Teorema 3.3 (Karush-Kuhn-Tucker)

Misalkan x∗ merupakan suatu peminimum lokal bagi permasalahan (3.1)-

(3.3). Jika kualifikasi kendala (constraint qualification)

SFD(x∗, X) = LFD(x∗, X) (3.9)

berlaku, maka terdapat pengali-pengali Lagrange λ∗

i sehingga syarat-syarat berikut

terpenuhi pada (x∗, λ∗):

5f(x∗) −m

∑

i=1

λ∗

i 5 ci(x∗) = 0 (3.10)

ci(x∗) = 0, ∀i ∈ E, (3.11)

ci(x∗) ≥ 0, ∀i ∈ I, (3.12)

λ∗

i ≥ 0, ∀i ∈ I, (3.13)

λ∗

i ci(x∗) = 0, ∀i ∈ I (3.14)

(Sun dan Yuan, 2006)

Bukti : Karena x∗ merupakan suatu peminimum lokal, x∗ merupakan suatu

titik layak dan memenuhi syarat-syarat pada (3.14) dan (3.15). Misalkan d ∈

SFD(x∗, X); karena x∗ merupakan suatu peminimum lokal, maka berdasarkan

12

Teorema (3.2.1) bahwa dT 5 f(x∗) ≥ 0. Oleh kualifikasi kendala pada (3.12),

maka diperoleh d ∈ LFD(x∗, X). Jadi, sistem

dT 5 ci(x∗) = 0, i ∈ E, (3.15)

dT 5 ci(x∗) ≥ 0, i ∈ I(x∗), (3.16)

dT 5 f(x∗) < 0 (3.17)

tidak memiliki solusi. Oleh Lemma Farkas, kemudian diperoleh

5f(x∗) =∑

i∈E

λ∗

i 5 ci(x∗) +

∑

i∈I(x∗)

λ∗

i 5 ci(x∗) (3.18)

di mana λ∗

i ∈ R(i ∈ E) dan λ∗

i ≥ 0(i ∈ I(x∗)). Dengan menetapkan λ∗

i = 0 (i ∈

I \ I(x∗)), ini berarti bahwa

5f(x∗) =∑m

i=1 λ∗

i 5 ci(x∗)

yang merupakan (3.13). Jelas bahwa λ∗

i ≥ 0, ∀i ∈ I . Akhirnya, diperoleh bahwa

ketika i ∈ I(x∗), ci(x∗) = 0 dan λ∗

i ≥ 0, maka λ∗

i ci(x∗) = 0; ketika i ∈ I \

I(x∗), ci(x∗) > 0, namun λ∗

i = 0, maka λ∗

i ci(x∗) = 0. Jadi diperoleh bahwa

λ∗

i ci(x∗) = 0, ∀i ∈ I .

Suatu titik yang memenuhi syarat (3.13)-(3.17) disebut titik KKT. Dalam

syarat KKT, (3.13) disebut sebagai syarat titik stasioner, karena dapat dinyatakan

5xL(x∗, λ∗) = 5f(x∗) −m

∑

i=1

λ∗

i 5 ci(x∗) = 0 (3.19)

Syarat-syarat (3.14) dan (3.15) disebut sebagai syarat-syarat kelayakkan

(feasibility condition), (3.16) merupakan syarat tak negatif untuk pengali-pengali

Lagrange, dan (3.17) sebagai syarat pelengkap (complementary condition) yang

menyatakan kedua nilai, yakni λ∗

i dan ci(x∗) tidak dapat bernilai tak nol, atau

berarti juga bahwa pengali-pengali Lagrange yang bersesuaian pada kendala yang

tidak aktif bernilai nol.

Syarat pelengkap sempurna (strict complementary condition) berlaku jika

tepat salah satu dari λ∗

i dan ci(x) bernilai nol untuk setiap i ∈ I , yakni λ∗

i > 0

untuk setiap i ∈ I ∩ A(x∗).

13

Suatu kendala pertidaksamaan ci merupakan aktif kuat (strongly active)

jika i ∈ I ∩ A(x∗) dan λ∗

i > 0, yakni λ∗

i > 0 dan ci(x∗) = 0. Suatu kendala

pertidaksamaan dikatakan aktif lemah (weakly active) jika i ∈ I ∩ A(x∗) dan

λ∗

i = 0, yakni λ∗

i = ci(x∗) = 0

Syarat pada (3.12) disebut juga sebagai syarat untuk kualifikasi kendala

(constraint qualification). Kualifikasi kendala penting dalam persyaratan KKT.

3.4. Program Linier

Program linier merupakan model umum yang dapat digunakan dalam pe-

mecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal.

Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menen-

tukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, di mana masing-masing

kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Se-

cara sederhana, dapat diambil contoh bagian produksi suatu perusahaan yang

dihadapkan pada masalah penentuan tingkat produksi masing-masing jenis pro-

duk dengan memperhatikan batasan faktor-faktor produksi: mesin, tenaga kerja,

bahan mentah, dan sebagainya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal

atau biaya yang minimal.

Pada masa modern sekarang, program linier masih menjadi pilihan dalam

upaya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang mini-

mal. Dalam memecahkan masalah di atas, Program linier menggunakan mod-

el matematis. Sebutan linier berarti bahwa semua fungsi matematis yang dis-

ajikan dalam model ini haruslah fungsi-fungsi linier. Dalam Program linier dike-

nal dua macam fungsi, yaitu fungsi tujuan (objective function) dan fungsi-fungsi

batasan (constraint function). Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan

tujuan/sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan pen-

gaturan secara optimal sumber daya-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan

maksimal atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan diny-

atakan sebagai Z. Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis

batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke

berbagai kegiatan. Model matematis dari program linier dapat dituliskan sebagai

berikut:

14

Maksimumkan Z = cT x

(minimumkan)

Kendala Ax ≤ 0

x ≥ 0

3.5. Program Bilangan Bulat

Program bilangan bulat dibutuhkan ketika keputusan harus dilakukan dalam

bentuk bilangan bulat (bukan pecahan yang sering terjadi bila kita gunakan

metode simpleks).

Model matematis dari program bilangan bulat sebenarnya sama dengan

model linear programming, dengan tambahan batasan bahwa variabelnya harus

bilangan bulat.

Terdapat 3 macam permasalahan dalam pemrograman bulat, yaitu:

1. Program bilangan bulat murni, yaitu kasus dimana semua variabel keputu-

san harus berupa bilangan bulat.

2. Program bilangan bulat campuran, yaitu kasus dimana beberapa, tapi tidak

semua, variabel keputusan harus berupa bilangan bulat

3. Program bilangan bulat biner, kasus dengan permasalahan khusus dimana

semua variabel keputusan harus bernilai 0 dan 1

Banyak aplikasi kegunaan dari program bilangan bulat, misalnya dalam

penghitungan produksi sebuah perusahaan manufaktur, dimana hasil dari perhi-

tungannya haruslah bilangan bulat, karena perusahaan tidak dapat memproduksi

produknya dalam bentuk setengah jadi.

Model program bilangan bulat dapat juga digunakan untuk memecahkan

masalah dengan jawaban ya atau tidak (yes or no decision), untuk model ini

15

variabel dibatasi menjadi dua, misal 1 dan 0, jadi keputusan ya atau tidak diwakili

oleh variabel.

Model ini seringkali disebut sebagai model program bilangan bulat nol-satu.

Model matematis persoalan program bilangan bulat nol-satu dapat di tuliskan

sebagai berikut:

Maksimumkan Z = cT x

(minimumkan)

Kendala Ax ≤ 0

x ∈ {0, 1}

3.6. Program Kuadratik

Berikut ini pemaparan mengenai pemrograman kuadratik. Program kuadratik

merupakan permasalahan optimisasi tak linear berkendala yang paling sederhana.

Pada permasalahan pemrograman kuadratik melibatkan fungsi objektif berbentuk

kuadratik dan kendala-kendala berbentuk linear. Program kuadratik mempunyai

bentuk umum sebagai berikut.

minimumkan Q(x) = xTGx + gTx (3.1)

dengan kendala aTi x = bi, i ∈ E, (3.2)

aTi x ≥ bi, i ∈ I (3.3)

Di mana G merupakan matriks simetri berukuran n× n, E dan I masing-masing

sebagai himpunan indeks dari kendala-kendala persamaan dan kendala-kendala

pertidaksamaan, E = {1, ..., me} dan I = {me + 1, ..., m}. Jika matriks Hessian

G merupakan semidefinit positif, maka (3.23)-(3.25) merupakan permasalahan

pemrograman kuadratik konveks dan solusi lokal x∗ merupakan suatu solusi glob-

al. Jika G merupakan definit positif, maka (3.23)-(3.25) merupakan pemrogra-

man kuadratik konveks sempurna (strict convex) dan x∗ merupakan solusi global

tunggal. Jika G bersifat tak definit (indefinite), maka (3.23)-(3.25) merupakan

16

permasalahan program kuadratik tak konveks di mana penyelesaian permasala-

han tersebut akan menjadi lebih sulit, karena memiliki beberapa titik stasioner

dan minimum lokal.

17

Teorema 3.2.3 (Karush-Kuhn-Tucker) dapat diterapkan pada (3.23)-(3.25)

dengan menyatakan dalam fungsi Lagrange, yakni

L(x∗, λ∗) = xTGx + xT c −∑

i∈I∪E

λi(aTi )

Sebagaimana pada Definisi 3, yakni A(x∗) mengandung indeks dari kendala-

kendala persamaan berlaku pada x∗ :

A(x∗) = {i ∈ E ∪ I |aTi x∗ = bi}

dengan mengkhususkan syarat KKT (3.2.3) untuk permasalahan ini, dapat dite-

mukan suatu solusi x∗ dari (3.23)-(3.25) yang memenuhi syarat optimalitas order

pertama, untuk beberapa pengali-pengali Lagrange λ∗

i , i ∈ A(x∗) :

g + Gx∗ =m

∑

i=1

λ∗

i ai (3.4)

aTi x∗ = bi, i ∈ E (3.5)

aTi x∗ ≥ bi, i ∈ I (3.6)

λ∗

i (aTi x∗ − bi) = 0, i ∈ I (3.7)

λ∗

i ≥ 0, i ∈ I (3.8)

Syarat-syarat (3.26)-(3.30) disebut juga sebagai syarat optimalitas untuk per-

masalahan (3.23)-(3.25).

18

3.7. Metode Himpunan Aktif

Berikut pemaparan mengenai metode himpunan aktif (Maes, 2010). Metode

himpunan aktif untuk pemrograman kuadratik merupakan suatu algoritma iteratif

yang menghasilkan rangkaian dari estimasi solusi dan menjaga kelayakkan serta

memperbaharui perkiraan himpunan optimal dari kendala-kendala aktif dan tidak

aktif. Suatu kendala pertidaksamaan ci merupakan aktif pada titik x jika berlaku

ci(x) = 0. Sedangkan pada kendala persamaan merupakan kendala aktif.

Algoritma dari metode himpunan aktif menghasilkan rangkaian titik xk yang

merupakan estimasi solusi dari (3.35)-(3.37). Subskrip k digunakan untuk meny-

atakan iterasi ke-x dari algoritma.

Pada metode himpunan aktif primal mengklasifikasikan proses pengerjaan

menjadi dua tahapan. Tahap pertama atau tahap kelayakan (feasibility phase),

merupakan suatu tahapan yang mencoba untuk menemukan suatu titik dengan

mempertahankan kelayakan (feasibility). Tahap 2 merupakan tahap optimalitas,

yakni mencoba menemukan suatu titik yang menghasilkan nilai optimal dengan

tetap mempertahankan kelayakkan.

Pada metode himpunan aktif, langkah atau pergerakkan iterasi xk diny-

atakan

xk+1 = xk + αkpk

di mana arah pencarian (search direction) merupakan suatu vektor yang meru-

pakan arah menurun (direction of descent) untuk fungsi objektif, dan skalar dari

panjang langkah (step length) αk bernilai tak negatif.

Arah pencarian p dihitung dengan menyelesaikan permasalahan berkendala

persamaan, yakni

minp f(x + p) dengan kendala Ap = 0, pN = 0 (3.1)

di mana f(x) merupakan fungsi objektif kuadratik cTx+ 12xT Hx. Kendala Ap = 0

dipilih sehingga A(x + αp) = b untuk setiap α ≥ 0. Jika dikembangkan fungsi

19

objektif dan menghapus istilah cT x dan xT Hx, permasalahan menjadi

minpgT p +

1

2pT p (3.2)

dengan kendala Ap = 0, PN = 0 (3.3)

. di mana g = c + Hx merupakan gradien dari f(x).

BAB 4

TEKNIK LINIERISASI UNTUK PERSOALAN PROGAMKUADRATIK NOL-SATU

4.1. Teknik Linierisasi Sherali dan Smith

Permasalahan pemrograman kuadratik merupakan salah satu permasalahan

optimisasi tak linear yang sangat penting, karena muncul dalam berbagai aspek,

termasuk dalam aspek perekonomian, sains terapan, komputasi, dan komunikasi.

Banyak ilmuan meneliti program kuadratik, akan tetapi, untuk kasus persoalan

program kuadratik nol-satu, teknik linierisasi Sherali dan Smith lebih efektif untuk

menyelesaikan proram kuadratik nol-satu. Karena solusi yang dibatasi oleh nol-

satu membuat fungsi kuadratik menjadi permasalahan yang baru. Berikut ini

adalah bentuk program kuadratik nol-satu

Minimumkan CTx + XT Qx (4.1)

Kendala hT x + xTGx ≥ g (4.2)

x ∈ X ⊆ {x : x adalah bilangan biner} ⊆ Bn (4.3)

Dimana Q dan G adalah matriks dimensi n × n.

Misalkan program kuadratik di transformasi menjadi perkalian antara fungsi

linier. Sehingga dapat dinyatakan dalam proses sebagai berikut

γimin/max =

min

max

{

Qix : x ∈ X̄

}

, ∀i (4.4)

Dan Qi merupkan Q baris ke i, dan X̄ adalah sebuah relaksasi dari X seperti

yang ditunjukkan pada persamaan (4.4). Andaikan didefinisikan γimin/max seba-

gai vektor yang mempunyai anggota-anggota γimin/max = 1, . . . , n dan misalkan

20

21

Γmin/max = diag{γimin/max}. Dan didefinisikan pula bahwa

λimax/min =

min

max

{

Gix : x ∈ X̄

}

, ∀i

Misalkan

λimax/min = (λi

max/min)T dan Γimin/max = diag

{

λimax/min, i = 1, . . . , n

}

Maka di reformulasikan persoalan program kuadratik adalah QP yang juga meru-

pakan bentuk fungsi Bilinear Problem (BP). Maka persoalan QP dapat dinyatakan

kedalam persoalan BP, maka diperoleh persamaan yang dapat dituliskan sebagai

berikut

BP : Minimumkan CTx + xTγ (4.5)

Kendala Qx = γ (4.6)

hTx + xTγ ≥ g (4.7)

Gx = λ (4.8)

x ∈ X (4.9)

Dan diketahui juga bahwa

γmin/max ≤ γmin, λmin ≤ λ ≤ λmax (4.10)

Selanjutnya, proses dilinierisasi kondisi xTγ dan xTλ dengan perkalian per-

samaan (4.10) dengan xi dan (1−xi), dimana persamaan (4.10)i adalah baris ke i

dari salah satu bagian vektor pertidaksamaan di persamaan (4.10), ∀i = 1, . . . , n.

Sehingga diperoleh untuk

xiγi = Si, dan xiλi = Z ′

i, ∀i = 1, . . . , n (4.11)

Misalkan e mempresentasikan sebuah vektor. Maka, BP dapat di transfor-

masikan mengikuti persamaan

22

BP : Minimumkan CTx + eTs′

Kendala Qx = γ

hT x + eT Z ′ ≥ g

Gx = λ (4.12)

γ′

minxi ≤ si ≤ γminxi dan γ′

min(1 − xi) ≤ (γi − si) ≤ γ′

max(1 − xi), ∀i

λ′

minxi ≤ zi ≤ λminxi dan λ′

min(1 − xi) ≤ (λi − zi) ≤ λ′

max(1 − xi), ∀i

Perhatikan bahwa persamaan (4.11) menjamin bahwa persamaan (4.12) berlaku

untuk x bilangan biner. Dengan memperhatikan struktur pertidaksamaan pada

persamaan (4.12) yang dapat dinyatakan sebagai berikut

si = s′i − γiminxi, ∀i

yi = γi − s′i − γimin(1 − xi), ∀i

zi = z′

i − λiminxi, ∀i (4.13)

Sehingga transformasi persamaan yang baru berdasarkan persamaan (4.13) dapat

dinyatakan sebagai berikut

BP : Minimumkan CTx + eTs + γTminx (4.14)

Kendala Qx = y + s + Γmine (4.15)

hT x + eTz + λTminx ≥ g (4.16)

Gx = λ (4.17)

0 ≤ si ≤ (γimax − γi

min)xi dan

0 ≤ yi ≤ (γimax − γi

min)(1 − xi), ∀i (4.18)

0 ≤ zi ≤ (λimax − λi

min)xi dan

λimin ≤ yi ≤ (λi

max − λimin)(1 − xi), ∀i (4.19)

x ∈ X (4.20)

Kemudian, persoalan BP ditunjukkan oleh persamaan (4.14) disederhanakan den-

gan menghapus batas atas pertidaksamaan untuk si di persamaan (4.18) dan

23

untuk (λi − zi) di persamaan (4.19). λ adalah batas bawah pertidaksamaan

λ ≥ z + λmin dimana λ = Gx di persamaan (4.17). Sehingga dapat ditulis

Gx ≥ z + λmin

Sehingga bentuk relaksasi BP ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

BP : Minimumkan cT x + eTs + γTminx

Kendala Qx = y + s + Γmine

0 ≤ y ≤ [γmax − Γ](e − x), s ≥ 0

hT x + eTz + λTminx ≥ g

Gx ≥ z + λmin

0 ≤ z ≤ [Λmax − Λmin]x

x ∈ X (4.21)

Maka transformasi persamaan linierisasi program kuadratik nol-satu selesai.

4.1..1 Representasi Pendekatan Program Kuadratik nol-satu

Berdasarkan definisi pada subbab (4.1), maka dapat mempresentasikan hubun-

gan antara persoalan program kuadratik umumnya dengan persoalan program

kuadratik nol-satu.

Lemma 4.1 Andaikan x ∈ X ⊆ {0, 1} untuk i = 1, . . . , n.

xiQix = max

{

γiminxi, Qix + γi

maxxi − γimax

}

(4.22)

xiQix = min

{

γimaxxi, Qix + γi

minxi − γimin

}

(4.23)

memiliki hubungan yang sama antara program kuadratik nol satu dengan program

kuadratik umumnya.

Bukti Andaikan xi = 0, maka xiQix pada persamaan (4.22) jelas bernilai 0

dan sisi kanan max

{

γiminxi, Qix+γi

maxxi−γimax

}

menjadi max{0, Qix−γimax} =

24

0. Dan dalam kaasus lainnya, andaikan xi 6= 0, dengan kata lain xi = 1 maka

sisi kanan persamaan (4.22) dapat dituliskan menjadi max{γimin, Qix} = Qix

dimana sama dengan sisi kirinya yaitu Qix. Dan begitu juga dapat dilakukan

pada persaamaan (4.23)

Akibat 4.2 Andaikan x ∈ X ⊆ {0, 1}

max{γiminxi, Qix + γi

maxxi − yimax} ≤ s′i ≤ min{γi

maxxi, Qix + γiminxi − yi

min}

(4.24)

jika dan hanya jika

S ′

i = xiQix (4.25)

Bukti disubtitusikan persamaan (4.22) dan (4.23), maka dapat diperoleh dan

dinyatakan sebagai berikut

xiQx = max{γiminxi, Qix + γi

maxxi − yimax} = min{γi

maxxi, Qix + γiminxi − yi

min}

(4.26)

Hasil diatas berlaku untuk Gi dan λ yang telah dinyatakan sebelumnya.

Linierisasi berdasarkan Akibat 4.2 merupakan persoalan BP persamaan (4.21), di-

mana pertidaksamaan liner persamaan (4.21) tidak lain adalah persamaan (4.24).

Sebenarnya, tidak semua pertidaksamaan persamaan (4.24) yang diperlukan dalam

model akhir linierisasi. Untuk menunjukkan ini, pertama diperkenalkan berikut

prinsip merumuskan program kuadratik nol-satu kedalam program linear piece-

wise.

25

Proposisi 4.3 Setiap program linier convex atau piece-wise fungsi tujuan linear

piece-wise dan kendala sama dengan program linier dalam arti bahwa ada proyeksi

one-to-one antara kedua solusi layak.

Bukti Ditunjukkan bahwa

Minimumkan f(x)

Adalah sama untuk

Minimumkan tKendala t− f(x) ≥ 0

Diasumsikan bahwa fungsi tujuan merupakan linear. Himpunan kendala

merupakan convex dan dikarakteristik dengan pertidaksamaan linier piece-wise.

Sehingga persamaan tersebut berbentuk polyhedral convex, yang harus memiliki

ekspresi linear. Itu menunjukkan bahwa persamaan Proposisi 4.1 berlaku jika

variabel dibatasi oleh nol atau satu. Selanjutnya ditunjukkan adanya persamaan

program linier piece-wise convex untuk masalah minimisasi kuadratik nol-satu.

Proposisi 4.4 Untuk masalah minimisasi kuadratik nol-satu, ada persamaan pro-

gram linier piece-wise dengan fungsi tujuan dan kendala convex.

Bukti. Maksimum beberapa fungsi linear adalah convex dan minimum con-

cave. Kemudian persamaan (4.22) dan persamaan (4.4) pada Lemma 4.1 menya-

jikan masing-masing formulasi convex dan concave. Oleh karena itu, untuk setiap

diberikan persoalan minimisasi kuadratik nol-satu, maka dapat diperoleh per-

samaan program linier piece-wise convex dengan menggunakan persamaan (4.22)

dan (4.23). Perhatikan bahwa persamaan (4.22) dan persamaan (4.23) digunakan

secara bersamaan ketika memenuhi persamaan kendala.

Maka sekarang dapat ditunjukkan bahwa persamaan (4.1) - (4.3) mengikuti

formulasi persamaan

26

Minimumkan cTx +

n∑

i=1

max{γiminxi, Qix + γi

maxxi − γimax} (4.27)

Kendala hTx +

n∑

i=1

min{λimaxxi, Gix + λi

minxi − λimin} ≥ g (4.28)

x ∈ X ⊆ {0, 1} (4.29)

Linierisasi persamaan (4.27) - (4.29) dapat di tunjukkan dibawah ini. Per-

samaan (4.28) adalah setara dengan

Kendala hTx +n

∑

i=1

zi ≥ g (4.30)

zi ≤ λimaxxi (4.31)

zi ≤ Gix + λiminxi − λi

min (4.32)

Karena persamaan (4.30) - (4.32) adalah relaksasi persamaan (4.27) dan

persamaan (4.30) - (4.2.32) juga terkandung dalam persamaan (4.27). Sekarang

dapat diperoleh linierisasi untuk persamaan (4.26) (4.29), yang setara dengan

B̄P . Selanjutnya, ditunjukkan bahwa non-necessity pertidaksamaan seperti y ≥ 0

dan z ≥ 0 yang juga telah di teliti oleh Adam dan Forrester (2005,2007). Sehingga

linierisasi yang diperoleh dengan pendekatan piece-wise convex adalah tepat.

4.1..2 Contoh Persoalan dan Penyelesaian Program Kuadratik Nol-Satu

Persoalan program kuadratik nol-satu adalah persoalan optimisasi untuk

menyelesaikan persoalan yang terkendala yang memiliki kendala fungsi kuadratik

dan fungsi tujuan berbentuk kuadratik. Dengan solusi yang dibatasi nol dan satu.

27

Berikut diberikan contoh persoalan program kuadratik nol-satu

Minimumkan f(x) = x21 − 3x2

2 + x1 + 2x2

Kendala 2x21 + x2 ≤ 2

x1, x2 ∈ {0, 1}

Berdasarkan dari soal tersebut, sudah terlihat x = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)} merupakan

titik layak bagi seluruh kendala serta merupakan solusi dari persoalan program

kuadratik nol-satu.

Persoalan kuadratik diatas dilinierisasi dengan mentranformasikan persamaan

kuadrat pada fungsi tujuan dengan menambah kendala. Sehingga persamaan pro-

gram kuadratik nol-satu menjadi

Minimumkan s1 − s2 + x1 + 2x2

Kendala z + x2 ≤ 2

x1, x2 ∈ {0, 1}

s1 = x21

s2 = 3x22

z = 2x21

Variabel kuadrat pada fungsi objektif diubah menjadi variable berorde satu.

Sehingga persamaan pada fungsi tujuan bertranformasi menjadi persamaan linier.

Dan diperlukan penambahan persamaan pada fungsi kendala. Variabel berorde

dua pada persamaan fungsi kendala juga di ubah menjadi variabel berde satu

sehingga berimplikasi langsung pada penambahan variabel pada fungsi kendala.

Berdasarkan transformasi persamaan diatas, karena nilai xi merupakan bi-

langan biner maka diperoleh rentang s1, s2, dan z sebagai berikut

28

oleh karena itu

0 ≤ s1 ≤ 1

0 ≤ s2 ≤ 3

0 ≤ z ≤ 2

s1, s2, dan z merupakan bilangan bulat.

Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut

Minimumkan s1 − s2 + x1 + 2x2

Kendala z + x2 ≤ 2

0 ≤ s1 ≤ 1

0 ≤ s2 ≤ 3

0 ≤ z ≤ 2

x1, x2 ∈ {0, 1}

Berdasarkan kendala diatas maka kombinasi solusi layak untuk persoalan

kuadratik nol-satu diatas adalah (0, 0), (1, 0), (0, 1). Oleh karena itu pula dapat

diperoleh titik x1, x2, s1, s2, dan z sebagai berikut:

(x1, x2, s1, s2, z) f(x)(0, 0, 0, 0, 0) 0(1, 0, 1, 0, 2) 2(0, 1, 0, 3, 0) -1

Berdasarkan tabel diatas solusi minimum dari persoalan kuadratik nol-satu

adalah −1 dengan titik layak x1 = 0, x2 = 1, s1 = 0, s2 = 3, z = 0

BAB 5

KESIMPULAN

Permasalahan pemrograman kuadratik nol-satu merupakan suatu permasala-

han untuk mengoptimalkan suatu fungsi objektif dan kendala berbentuk kuadratik

dengan solusi nol atau satu. Permasalahan pemrograman kuadratik nol-satu

merupakan salah satu permasalahan optimisasi tak linear yang sangat penting,

karena muncul dalam berbagai aspek, termasuk dalam perekonomian, sains tera-

pan, dan teknik. Aplikasi-aplikasi penting dari pemrograman kuadratik termasuk

analisis portofolio, pendukung vektor mesin, analisis struktur, dan pengendalian

optimal.

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasala-

han pemrograman kuadratik nol satu adalah dengan melinierisasi persamaan yang

berbentuk kuadratik. Teknik linierisasi program kuadratik lebih efektif untuk

menyelesaikan persoalan program kuadratik nol-satu. Dimana nantinya diper-

lukan penambahan variabel dan kendala.

Tulisan ini menunjukkan bahwa variabel yang berorde dua bergantung pada

variabel berorde satu. Dan metode ini lebih efektif dalam menyelesaikan program

kuadratik nol-satu. Sebab nilai variabel yang berbentuk kuadratik bernilai nol

atau satu dan dipengaruhi oleh variabel berorde satu. Serta tulisan ini juga

mampu menambah referensi untuk menyelesaikan persoalan kuadratik nol-satu.

29

DAFTAR PUSTAKA

Adams W., and Forrester R. 2005. A Simple Approach for Generating Concise Lin-ear Representations of Mixed 0-1 Polynomial Programs. Operations ResearchLetters, vol. 33, no. 1, pp. 55-61.

Adams W., and Forrester R. 2007. Linear Forms of Nonlinear Expressions: NewInsights on Old Ideas. Operations Research Letters, vol. 35, no. 4, pp. 510-518.

Burer S. , Monteiro R. D. C. , dan Y. Zhang Y. 2001. Rank-two relaxation heuris-tics for MAX-CUT and other binary quadratic programs. SIAM Journal onOptimization, 12:503-521.

Caprara, A, Pisinger, D. dan Toth, P. 1999. Exact solution of the qudratic knapsackproblem. INFORMS Journal on Computing, 11(2):125-137.

Chaovalitwongse, W, Pardalos, P. M., Iasemidis, L.D., Shiau, D. S. dan SackellaresJ. C. 2005.Dynamical approaches and multi-quadratic integer programmingfor seizure prediction. Optimization Methods and Software, 20(2-3): 389-400

Chardaire, P and Dan Sutter A. 1995. A decomposition method for quadratic zero-one programming. Management Science, 41(4):704-712.

De Santis M dan Rinaldi F . 2011.Continuous Reformulations for ZeroOne Pro-gramming Problems. Springer Science and Business Media, LLC.

Furini F dan Traversi E. 2013.Extended Linear Formulation for Binary QuadraticProblems. Paris: Universite de Paris Dauphine.

Gharibi W. 2012.Improved Balas and Mazzola Linearization for Quadratic 0-1 Pro-grams with Application in a New Cutting Plane Algorithm. Dept. of ComputerScience, College of Computer Science and Information Systems, Jazan Uni-versity, Jazan 82822-6694, KSA.

Gharibi W dan Xia Y. 2012.A tight linearization strategy for zero-one quadraticprogramming problems. International Journal of Computer Science Issues:294-299

Kochenberger G, Alidaee B, dan Rego C. 2005.An unconstrained quadratic binaryprogramming approach to the vertex coloring problem. Annals of OperationsResearch, 139(1):229241.

Loiola, E.M, de Abreu, N.MM, Boaventura-Netto, P. O., Hahn, P dan QueridoT. 2006.A Survey for the quadratic assignment problem. European JournalOperation Research.

Maes, M. M. (2010). A Regularized Active-Set Method for Sparse Convex QuadraticProgramming.(PhD Dissertation). University of Standford.

30

31

Pardalos P. M. dan Rodgers G. P. 1990. Computational aspects of a branch andbound algorithm for quadratic zero-one programming. Computing, 45:131-144.

Sherali, H.D dan Smith, J.C. 2007.An Improved Linierization Strategy for Zero-One Quadratic Problems. Optimization Letters, vol.1, pp. 33-47.

Sun, W. dan Yuan Y. 2006. Optimization Theory and Methods. New York: Springer

Thoa, N. V. 1998.Global Optimization Technique for Solving the General Quadrat-ic Integer Programming Problem. Computational Optimization and Applica-tions, 10(2):149-163.