Tehnicka Mehanika2 Cvrstoca i Dinamika

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Boris Kulisic

TEHNICKA MEHANIKANauka o cvrstocii dinamika

udzbenik za 2. razredstrojarskih tehnickih skola

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Intelektualno je vlasnistvo, poput svakog drugog vlasnistva, neotu -divo,zakonom zasticeno i mora se postovati. Nijedan dio ove knjige ne smije se

preslikavati ni umnazati na bilo koji nacin, bez pismenog dopustenjanakladnika.

ISBN 978-953-197-341-0

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Boris Kulisic

TEHNICKAMEHANIKA

NAUKAO CVRSTOCI I DINAMIKA

udzbenik za 2. razred strojarskih tehnickih skola

1. izdanje

Zagreb, 2013.

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

c Boris Kulisic, prof., 2013.

UrednicaSandra Gracan, dipl. ing.

RecenzentiZdravko Blazevic, prof.

Irena Topic, prof.

LektoricaDunja Apostolovski, prof.

Slog i prijelom

Natasa Jocic, dipl. ing.

CrteziELEMENT d.o.o.

Dizajn

Edo Kadic

NakladnikELEMENT d.o.o., Zagreb, Menceticeva 2

tel. 01/ 6008-700, 01/ 6008-701faks 01/ 6008-799www.element.hr

[email protected]

TisakELEMENT d.o.o., Zagreb

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

PREDGOVOR

Udzbenik je izra -den prema novom Nastavnom programu iz predmeta Tehnicka me-hanika za drugi razred smjera Racunalnog tehnicara za strojarstvo koji je stupio nasnagu 13. lipnja 2011. g. odlukom Ministarstva znanosti, obrazovanja i sporta o Izmje-nama i dopunama posebnog strucnog dijela Nastavnog plana i programa za zanimanjeRacunalni tehnicar za strojarstvo u obrazovnom sektoru strojarstvo, brodogradnja imetalurgija.

Udzbenik je nastao od Nauke o cvrstoci s vjezbama i Kinematike i dinamike s vjez-bama koji su do sada koristeni u ovom zanimanju s neznatnim izmjenama u smisluskracivanja i prilago -davanja gradiva smanjenoj satnici.

Metodicka koncepcija udzbenika ostala je nepromijenjena, tako da, kao i u ranijimizdanjima, nakon teorijskog izlaganja slijede izra -deni primjeri i zadatci za vjezbanje uokviru vjezbi iz ovog predmeta.

Na kraju, zahvalio bih svima koji su pomogli da ovaj udzbenik iza -de.

Autor

U Virovitici, travanj 2013.

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

SADRZAJ

NAUKA CVRSTOCI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Osnove cvrstoce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Pojam i vrste opterecenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Pojam i vrste naprezanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Pojam cvrstoce i deformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Dijagram: naprezanje relativno produljenje . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Dopusteno naprezanje i koeficijent sigurnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6. Hookeov zakon proporcionalnosti i modul elasticnosti . . . . . . . . . . . . 191.7. Naprezanje na vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8. Naprezanje na tlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9. Povrsinski tlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.10. Naprezanje zbog promjene temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.11. Naprezanje na odrez ili smik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.12. Dimenzioniranje elemenata izlozenih naprezanju na odrez ili smik . . . . . 37

Zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2. Momenti inercije i otpora ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1. Pojam i vrste momenata inercija i otpora ploha . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2. Steinerov poucak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3. Momenti inercije i otpora jednostavnih ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4. Momenti inercije i otpora slozenih (sastavljenih) i oslabljenih ploha . . . . 542.5. Momenti inercije i otpora sastavljenih standardnih profila . . . . . . . . . . 582.6. Naprezanje pri savijanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.7. Elasticna crta (polumjer zakrivljenosti, kut nagiba i progib) . . . . . . . . . 692.8. Naprezanje pri uvijanju ili torziji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.9. Naprezanje pri izvijanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.10. Dimenzioniranje elemenata izlozenih izvijanju . . . . . . . . . . . . . . . . 93Zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3. Slozena naprezanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.1. Temeljni pojmovi i vrste slozenih naprezanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2. Ekscentricni vlak i tlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.3. Savijanje i vlak. Savijanje i tlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4. Dimenzioniranje teskih vratila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

DINAMIKA CESTICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114. Temeljni pojmovi i zakon dinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.1. Newtonovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.2. Zadatci dinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3. Inercijalne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

5. DAlambertovo nacelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.1. DAlambertovo nacelo za pravocrtno gibanje . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2. Sila kao uzrok pravocrtnog gibanja jednadzba gibanja s trenjem . . . . . 124

Zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6. Impuls sile i velicina gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.1. Mehanicki rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7. Mehanicka energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.1. Potencijalna energija ili energija polozaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.2. Kineticka energija ili energija gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.3. Snaga i koeficijent korisnog djelovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

DINAMIKA KRUTOG TIJELA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518. Moment tromosti ili dinamicki moment inercije . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.1. Moment tromosti osnovnih geometrijskih tijela . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.2. Moment tromosti ili dinamicki moment inercije slozenih tijela . . . . . . . 1578.3. Steinerov poucak za odre -divanje momenta tromosti

ili dinamickog momenta inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.4. Radijus inercije i reducirana masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.5. Glavna dinamicka jednadzba rotirajuceg tijela . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.6. Mehanicki rad i snaga pri rotacijskom gibanju . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

9. Trenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1719.1. Trenje na horizontalnoj podlozi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1719.2. Kut trenja i konus trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.3. Trenje klizanja na kosini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.4. Trenje klizanja na klinovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809.5. Trenje kotrljanja (valjanja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839.6. Trenje uzeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879.5. Pojasne kocnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Tablica koristenih grckih simbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

RJESENJA ZADATAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971. Osnove cvrstoce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982. Momenti inercije i otpora ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983. Slozena naprezanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994. Temeljni pojmovi i zakon dinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995. DAlambertovo nacelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006. Impuls sile i velicina gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007. Mehanicka energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008. Moment tromosti ili dinamicki moment inercije . . . . . . . . . . . . . . . 2009. Trenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Kazalo pojmova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

NAUKAO

CVRSTOCI

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

1. Osnove cvrstoce

1.1. Pojam i vrste opterecenja

Nauka o cvrstoci proucava utjecaj vanjskih sila i momenata na ponasanje cvrstih(realnih) tijela.

Djelovanje vanjskih sila i momenata na tijelo naziva seopterecenje.

Proizvoljno opterecenje tijela moze zahtijevati slozenu analizu naprezanja i de-formacija, stoga se opterecenja svode na

osnovna opterecenja,

a tijelo koje se promatra je stap sa svojom uzduznom osi koja je ujedno i njegovatezisna os.

Ovisno o tome kako opterecenje djeluje u odnosu na os stapa postoje oveosnovne vrste opterecenja:

1. osno ili aksijalno opterecenje:djeluje u osi stapa;

Sl. 1.1.

Sl. 1.2.

2. opterecenje na odrez ili smicno:djeluje okomito na os stapa i zeli ga prerezati;

3

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Sl. 1.3.

3. opterecenje na savijanje ilifleksija:zakretanjem oko osi x nastajesavijanje stapa;

Sl. 1.4.

4. opterecenje na uvijanje ilitorzija:zakretanjem oko uzduzne osi stapau suprotnim smjerovima nastajeuvijanje (sukanje) stapa;

5. opterecenje na izvijanje:

Sl. 1.5.

pri sabijanju dugackih stapova male povrsine presjeka u odnosu na njegovu duzinunastaje izvijanje.

Navedene vrste opterecenja mogu se pojaviti u trima oblicima:

a) statickom ili mirnom;b) dinamickom jednosmjernom obliku ili pulsiranju;c) dinamickom dvosmjernom obliku ili osciliranju.

Staticko ili mirno opterecenje nastaje kada sile ili momenti tijekom vremenazadrzavaju svoju velicinu pa je:

F = konst.M = konst.

U dijagramu: opterecenje (F,M) vrijeme ( t ) (sl. 1.6) predstavljeno je ravnomcrtom.

Sl. 1.6. staticko ili mirno opterecenje

4

1.1. Pojam i vrste opterecenja

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Takvo opterecenje materijali najlakse podnose, pa ono moze biti za 1/3 vece oddinamickog jednosmjernog i 2/3 od dinamicki dvosmjernog opterecenja.

Primjer statickog opterecenja su razliciti prednaponi: kao opterecenje postoljastroja uslijed vlastite tezine, opterecenje osovine prikolice zbog vlastite tezineprikolice, sabijena opruga amortizera itd.

Dinamicko jednosmjerno opterecenje ili pulsiranje tijekom vremena mijenjavelicinu, a zadrzava isti smjer:

F = konst.M = konst.smjer + ili = konst.

Iz dijagrama: opterecenje vrijeme vidi se da opterecenje koleba izme -du mini-malne i maksimalne vrijednosti, a smjer je ostao pozitivan (sl. 1.7).

Sl. 1.7. Prikazano je dinamicki jednosmjerno opterecenje: a) neprekidno, b) periodicno.

Pulsiranje materijali teze podnose, pa ono iznosi 2/3 statickog opterecenja. Prim-jer neprekidnog pulsiranja je opterecenje vratila stepenastog mjenjaca koje rotirauvijek u jednom smjeru. Primjer periodicnog pulsiranja je uze ili lanac pri dizanjutereta u radnim ciklusima.

Dinamicko dvosmjerno opterecenje ili osciliranje tijekom vremena mijenja ve-licinu i smjer:

F = konst.M = konst.smjer + ili = konst.

Promjena velicine i smjera opterecenja vidi se iz dijagrama na slici 1.8.

Oscilatorno opterecenje je najnepovoljnije, jer najvise zamara materijal, pa onmoze podnijeti svega 1/ 3 velicine statickog opterecenja.

5

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAKSl. 1.8. dinamicki dvosmjerno opterecenje

To je tipicno opterecenje lisnatih i zavojnih torzijskih opruga, vitalnih dijelovastrojeva i ure -daja pri radu, dijelova motora s unutarnjim izgaranjem itd.

1.2. Pojam i vrste naprezanja

Stap na slici 1.9 opterecen je vlacnim silama +F i F .

Sl. 1.9. stap opterecen aksijalnim vlacnim opterecenjem normalno naprezanje

Uslijed opterecenja F stapa (sl. 1.9a)) javit ce se unutar stapaunutarnja sila Fn

kao reakcija na vanjsko opterecenje. Unutarnja sila Fn drzi u statickom smisluravnotezu s vanjskom silom F (sl. 1.9b)) pa je:

F = Fn.

6

1.2. Pojam i vrste naprezanja

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Maksimalna velicina sile Fn jednaka jevelicini kohezijskih sila

izme -du atoma i molekula materijala stapa. U slucaju da vanjske sile nadvladajuunutarnje (koheziju), tj. kada je velicina

F > Fn,

doci ce do deformacije ili loma stapa na najslabijem mjestu poprecnog presjekaA.

Smisao je cvrstoce da se uspostavi ravnoteza vanjskih i unutarnjih sila i da nedo -de do trajne deformacije (loma).

Vanjske sile opterecuju stap, a unutarnje vrse naprezanje u materijalu stapa.

Ako se zamisli da se unutarnja sila Fn jednakomjerno rasporedila po povrsinipoprecnog presjeka A, cija se velicina matematicki moze izraziti kvocijentom

FnA

,

dobije se naprezanje stapa (sl. 1.9b)). Kod aksijalnog opterecenja naprezanjeje okomito (normalno) na povrsinu presjeka A (sl. 1.9c)) i oznacava se grckimslovom (sigma).Kako je velicina sila

Fn = F,

stoga je konacan izraz aksijalnog ili normalnog naprezanja:

= FA

.

Jedinica za naprezanje proizlazi iz jednadzbe naprezanja:

= 1 N1 mm2

= 1 MPa (megapaskal)

1 MPa = 106 Pa (paskal), 1 Pa = 1Nm2

.

Ukoliko vanjske sile djeluju okomito na os stapa i zele ga prerezati (sl. 1.10a))javit ce se unutarnja sila Fn koja je paralelna s poprecnim presjekom A. Podjelomunutarnje sile s povrsinom poprecnog presjeka dobije se

tangencijalno naprezanje

stapa (sl. 1.10b)), koje se oznacava grckim slovom (tau): = Fn

A=

FA

/MPa/.

Tangencijalno naprezanje lezi u ravnini poprecnog presjeka (sl. 1.10c)):

7

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Sl. 1.10. stap opterecen smicnim opterecenjem tangencijalno naprezanje

Sazetak

Vanjske sile i momenti vrse opterecenje stapa.

Sile u stapu su unutarnje sile. Javljaju se kao reakcija na vanjske i predstav-ljaju kohezijsku silu materijala stapa.

Unutarnje sile vrse naprezanje stapa.

Naprezanje je kvocijent izme -du unutarnje sile i povrsine poprecnog presjeka.

Kod normalnog naprezanja unutarnja je sila okomita na povrsinu poprecnogpresjeka:

= FA

/N

mm2ili MPa

/ F A.

Kod tangencijalnog naprezanja unutarnja sila je paralelna s povrsinom pop-recnog presjeka:

= FA

/N

mm2ili MPa

/ F A.

8

1.3. Pojam cvrstoce i deformacije

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

U skladu s opterecenjem u stapu javit ce se sljedeca vrsta naprezanja:

1. normalno ili aksijalno (vlacno i tlacno),2. tangencijalno ili smicno (odrez).

Pri ostalim opterecenjima javljaju se kombinacije normalnog i tangencijalnog na-prezanja pa treba rabiti terminologiju:

naprezanje pri savijanju s ; naprezanje pri uvijanju u ; naprezanje pri izvijanju i .


Sl. 1.11. vlacno opterecenje stapa rastucomsilom F u tijeku vremena t

Stap pocetne duljine l0 i poprecnog presjeka A0 nagornjem kraju je ucvrscen, a na donjem opterecen si-lom F (sl. 1.11a)) te se isteze.

Vrijednost sile F tijekom vremena raste i mjeri se,tako da je u svakom trenutku vremena poznata ve-licina opterecenja stapa. Uslijed opterecenja stap cese u nekom vremenu t za vrijednost sile Ft produ-ljiti za odre -denu velicinu l , koja se tako -der mjeripa se tocno zna njezina velicina za vrijednost sile(sl. 1.11b)).

Produljenje stapa l /mm/ naziva seapsolutno produljenje.

Sl. 1.12. dijagram opterecenja F iapsolutnog produljenja l

Opterecenje stapa i u skladu s njim produlje-nje, traje sve do njegovog loma.

Opisani pokus moze se prikazati dijagramomopterecenje F /N/ apsolutno produljenjel /mm/ (slika 1.12). U njemu su oznacenetocke koje imaju sljedece znacenje:

O pocetak opterecenja;T granica tecenja;M maksimalno opterecenje;L lom stapa.

9

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Iz dijagrama F l vidi se da do tocke T (granice tecenja) apsolutno produlje-nje raste puno sporije od opterecenja. Kada opterecenje dosegne vrijednost vecuod unutarnjih kohezijskih sila u materijalu, dolazi do popustanja pa ce apsolutnoproduljenje od tocke T do M rasti brze od porasta opterecenja. U tocki M jeopterecenje doseglo svoju najvecu vrijednost Fmax , te nakon toga slijedi njegovpad do tocke L kada ce se stap i fizicki razdvojiti (slomiti).

Cvrstoca stapa odre -dena je kvocijentom maksimalnog opterecenja i pocet-ne povrsine poprecnog presjeka stapa, a oznacava se velikim slovom R iindeksom m (Rm1) :

Rm =FmaxA0

/ Nmm2

/.

cvrstoca materijala =maksimalno opterecenje

pocetna povrsina poprecnog presjeka

Za primjenu materijala jako je vazno znati njegovucvrstocu na granici tecenja:

RT =FTA0

/ Nmm2

/,

gdje je:

RT/ N

mm2

/ cvrstoca na granici tecenja 2 ;

FT /N/ opterecenje na granici tecenja;A0 /mm2/ pocetna povrsina poprecnog presjeka.

Stap ce u opisanom pokusu imatiuzduznu i poprecnu deformaciju.

Uzduzna deformacija se ocituje u njegovom produljenju pocetne duzine l0 naneku konacnu l , za neku vrijednost l :

l = l l0 /mm/.U cvrstoci se uzduzna deformacija cesto izrazava kao kvocijent apsolutnog pro-duljenja i pocetne duljine, te naziva

relativno produljenje:

= ll0

.

1 ranija oznaka M2 ranija oznaka R

10


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Relativno produljenje (epsilon) nema dimenzije, a moze se izraziti postotkom: = l

l0 100 % .

Poprecna ce se deformacija ocitovati u smanjenju povrsine poprecnog presjeka.Pocetna povrsina A0 ce se smanjiti za vrijednost A na konacnu povrsinu pres-jeka A :

A = A0 A /mm2/.Vrijednost A je apsolutno suzenje poprecnog presjeka stapa.Konacno, povrsina presjeka A uzima se na mjestu prijeloma stapa. Poprecnadeformacija moze se izraziti kao relativna deformacija (relativno suzenje ilikontrakcija):

A = AA0 ,ili u postotku:

A = AA0 100 % .Duzinske i poprecne deformacije mogu se javiti u

elasticnom i plasticnom podrucju

dijagrama ispitivanja F l . Ta podrucja dijeli granica tecenja T, pa su sve de-formacije od tocke:

OT elasticne deformacije;TL plasticne deformacije.

Elasticne i plasticne deformacije prikazuje slika 1.13a) i b).

Sl. 1.13. elasticna i plasticna deformacija

11

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Iz slika 1.13a) i b) slijedi:

Kod elasticne deformacije stap nakon rasterecenja poprima svoj prvobitanoblik i velicinu.

Kod plasticne deformacije stap nakon rasterecenja trajno mijenja oblik i ve-licinu.

Elasticni materijali ce u dijagramu F l imati velik razmak izme -du tocaka OT(granice tecenja) i pogodni su za

konstrukcije,

npr., mostova, dizalica, brodova, naftnih i plinskih platformi, strojeva, prometalaitd.

Plasticni materijali imaju kraci razmak od tocke O do T, tj. granice tecenja, pasu pogodni za

plasticnu obradu metala,

kao kovanje, valjanje, duboko izvlacenje, vucenje i sl.

1.4. Dijagram: naprezanje relativno produljenje

Pri ispitivanju cvrstoce Rm materijala, svojstva materijala mogu se zorno vidjetiiz dijagrama: naprezanje relativno produljenje ( ) (sl. 1.14).Ispitivanje je standardizirano me -dunarodnim ISO normama. Iz materijala cija secvrstoca ispituje izradi se epruveta standardnog oblika i dimenzija i pricvrsti u ki-dalicu. Aktiviranjem kidalice pocne ispitivanje 3 . Kidalica ima ure -daj koji iscrtadijagram ispitivanja.

Sl. 1.14. dijagram za mekani celik

Za mekani celik dijagram ispitivanja ima oblik kao na slici 1.14.O pocetak ispitivanja;P granica proporcionalnosti;E granica elasticnosti;T gornja granica tecenja ili

cvrstoca na granici tecenja;T donja granica tecenja;M maksimalno naprezanje ili

cvrstoca materijala;L lom epruvete (stapa).

3 Nacin ispitivanja cvrstoce materijala obra -duje se u predmetu Tehnicki materijali

12

1.4. Dijagram naprezanje relativno produljenje

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Znacenje karakteristicnih tocaka u dijagramu Tocka Ponasanje materijala Oznaka granicnog naprezanja

P = granicaproporcionalnosti

Do te tocke naprezanje jeproporcionalno deformaciji. Zakoliku se vrijednost poveca silau proporcionalnom odnosu,povecat ce se i produljenje.Do te tocke vrijedi Hookeov 4zakon proporcionalnosti.

P = sila na granici Ppocetna povrsina presjeka

E = granicaelasticnosti

Do ove tocke materijal zadrzavasvoju elasticnost. Nakonrasterecenja poprimit ce pocetnuduljinu l0 i oblik.

E = 50,01 = sila na granici Epocetna povrsina presjeka

T = gornjagranica tecenja

Prije -de li se tocka E , materijalce vrlo brzo popustiti tece do donje granice tecenja T deformacija rasti i kadanaprezanje pada. Nakonrasterecenja materijal visenece imati pocetnu duljinu l0 ,vec ce biti trajno produljen(deformiran).

T = 60,2 = sila na granici Tpocetna povrsina presjeka

ranija oznaka R

M = cvrstocamaterijala

Prelaskom tocke T dolazi doojacavanja materijala te je zanjegovo daljnje deformiranjepotreban porast opterecenja.Ono raste do tocke M , a zatimpada, jer je na mjestu buducegpresjeka povrsina A sve manja.

Rm =maksimalna sila

pocetna povrsina presjeka

ranija oznaka m

Sl. 1.15. usporedni dijagram za nekematerijale

Za svaki se materijal ispitivanjem mo-ze dobiti dijagram pa se njego-vom usporedbom mogu odrediti svoj-stva i primjena. Na slici 1.15 prika-zan je dijagram za materijalekoji se najcesce koriste.OT elasticne deformacijeTL plasticne deformacije

4 izg. Hukov5 Granice elasticnosti je tesko odrediti pa se uzima tehnicka granica elasticnosti. Ona nastaje pri

opterecenju u kojem nastaju trajne deformacije u vrijednosti 0,01 do 0, 05 % u odnosu na prvobitnuduljinu epruvete l0 , pa je naprezanje na granici elasticnosti oznaceno s 0,01 .

6 Donja granica tecenja je odre -dena naprezanjem pri kojemu nastaje trajno produljenje od 0, 2 %prvobitne duzine stapa pa je oznaka naprezanja na granici tecenja 0,2 .

13

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Iz dijagrama se vidi da celik visoke cvrstoce nije pogodan za plasticnu obradu,npr. valjanjem, jer je granica tecenja T vrlo visoko, a podrucje plasticnih defor-macija kratko. No, zato on ima vrlo veliko podrucje elasticnih deformacija, pa jepogodan za primjenu u konstrukcijama.

Meki bakar ima granicu tecenja T vrlo nisko i veliko podrucje plasticnih deforma-cija pa je pogodan za plasticnu obradu, ali se ne smije primijeniti za konstrukcije,jer mu je cvrstoca mala.

1.5. Dopusteno naprezanje i koeficijent sigurnosti

Svaki dio strojarske konstrukcije zadrzava svoju funkciju ako je opterecen dogranice elasticnosti.

Pre -de li se ta granica, strojni dio ce se trajno deformirati ili ce nastupiti nje-gov lom. Stoga je temelj za dimenzioniranje elemenata svake konstrukcije manjenaprezanje od cvrstoce na granici tecenja RT ili cvrstoce materijala Rm .

Naprezanje koje je manje od cvrstoce RT i Rm naziva sedopusteno naprezanje,

ili to je ono naprezanje koje ce u konstrukciji uzrokovati samo elasticne defor-macije, a nosi oznaku za naprezanje:

na vlak: vdop pri savijanju: sdop na tlak: tdop pri uvijanju: udop na smik: odop pri izvijanju: idop .

Dopusteno naprezanje zaelasticne materijale sizrazitom granicom tecenja:

dop = RT ; = 1, 2 i 2,1

Dopusteno naprezanje zakrte materijale: dop =

Rm ; = 2, 0 i 5,0

Dopusteno naprezanje je manje od cvrstoce RT ili Rm za vrijednostkoeficijenta sigurnosti (mi).

Veci koeficijent sigurnosti treba odabrati kada su elementi visoko optereceni i pri-jeti opasnost od loma te kada opterecenja ne mogu do kraja biti jasno definirana.

Vrijednosti dopustenih naprezanja za neke materijale navedena su u tablici nasljedecoj stranici. U tablici su rimskim brojevima oznacena opterecenja:

I. statickoII. dinamicko jednosmjernoIII. dinamicko dvosmjerno.

14


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

celicni lijevano lijevana strojarska mjedMaterijal celik celik

lijev zeljezo bronca bronca valjana

Cvrstoca materijala

Rm /N/mm2/300500 500700 360600 135175 200250 180220 200300

I. 90150 120180 60120 3035 4050 3040 4060Vlak

II. 60100 80120 4080 2023 2733 2027 2740vd /MPa/ III. 3050 4060 2040 1012 1317 1013 1320Tlak I. 90150 120180 90150 90100 4050 3040 4060

td /MPa/ II. 60100 80120 60100 6066 2733 2027 2740Specifican I. 80100 100150 80100 7080 3040 2535 3045

pritisak II. 5367 70100 5367 4753 2027 1723 2730

p /MPa/ III. 2733 3550 2733 2327 1013 812 1315

I. 90150 120180 75120 3040 4050 6090 4060Savijanje

II. 60100 80120 5080 ovisi o obliku 2733 4060 2740sd /MPa/ III. 3050 4060 2540 presjeka 1317 2030 1320I. 72120 96144 4896 3035 45-70 3248

SmikII. 4880 6496 3264 2023 3047 2132vd /MPa/ III. 2440 3248 1632 1012 1523 1116I. 60120 90144 4896 2035 3040 4570 3248

UvijanjeII. 4080 6096 3264 ovisi o obliku 2027 3047 2132ud /MPa/ III. 2040 3048 1632 presjeka 1013 1523 1116

Tablica 1. dopustena naprezanja

Iz tablice je vidljivo da lijevano zeljezo (sivi lijev) nema visoku cvrstocu na vlak,ali zato ima veliku tlacnu cvrstocu. Zbog toga su dopustena tlacna naprezanjatri puta veca od vlacnih. Razlog tome je veliki sadrzaj ugljika izlucen u oblikugrafitnih listica ili zrnaca (sl. 1.16).

Sl. 1.16. grafitna zrnca SL daju krtost

Iz tablice je tako -der vidljivo da za staticko opterecenje zilavih materijala (celika)

15

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

vrijedi:vdop = tdop ,

a odnos dopustenih naprezanja i cvrstoce je:

dop = (0, 4 0, 6)Rm/

Nmm2

/.

Cvrstoce aksijalnih naprezanja Rm i tangencijalnih naprezanja m stoje u me -du-sobnom odnosu:

za celik: m = 0, 85Rm za SL: m = 1, 1Rm .

Utjecaj utora i naglih promjena presjeka

Na dovoljnoj udaljenosti od djelovanja koncentrirane sile F , naprezanje ce sepo citavoj povrsini presjeka rasporediti jednoliko s prosjecnom vrijednosti n kaona slici 1.17a).

Sl. 1.17. usporedba naprezanja

16


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Ako je stap izveden s utorom kao na slici 1.17b), tada raspored naprezanja namjestu presjeka gdje je izveden utor nece biti ni priblizno jednolik, bez obzira nakojoj se udaljenosti od djelovanja koncentrirane sile utor nalazi. Iz dijagrama naslici 1.17b) se vidi da ce se na dnu utora naprezanje visestruko povecati, a iduciprema sredisnjoj osi presjeka ono ce se parabolicno smanjivati.

To visestruko povecanje naprezanja na dnu utora naziva se koncentracija nap-rezanja, max . Tako velika naprezanja mogu prekoraciti dopustena i dovesti doloma ili trajne deformacije strojnog dijela ili konstrukcije.

Ispitivanja su pokazala da se koncentracija naprezanja na dnu utora sma-njuje ako utor nema ostre bridove.

Utor na slici 1.17c) je izveden s nekim radijusom r . Za isto opterecenje stapakoncentracija naprezanja max ovdje ce se smanjiti. Isti efekt postize se pri pos-tupnom prijelazu s manjeg na veci promjer kod osovina, vratila i ostalih strojnihdijelova i kucista.

Iz slika 1.17a) i b) vidi se da se naprezanje na dnu utora povecalo i ono iznosi

max = k n dop ,gdje je:

k konstruktivni faktor dobiven ispitivanjima,n naprezanje u dijelu stapa bez utora.

Kod ostrih rubova konstruktivni faktor se krece u granicama:

k = 6, 20 do 6, 5.

Zamor materijala

Dinamicka opterecenja, a posebno dinamicka dvosmjerna ili oscilatorna opterece-nja imaju nepovoljan utjecaj na materijale. Takvo opterecenje dovodi do zamoramaterijala sto rezultira lomom i kod naprezanja koja su bitno manja od njegovecvrstoce Rm .

Smanjenje cvrstoce materijala uslijed oscilatornog opterecenja nazivamo za-morom materijala.

Sposobnost materijala da se opire lomu uslijed dinamickih oscilatornih opte-recenja zove se dinamicka izdrzljivost materijala.

Ispitivanja su pokazala da pri oscilatornom opterecenju lom nastaje u 10 do 20 %slucajeva zbog preopterecenja, a vecinom zbog pukotina koje nastaju zbog neho-mogenosti strukture materijala. Te pukotine nazivamo pukotinama zamora.

17

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Sl. 1.18. izgled loma uslijed zamora materijala

Slika 1.18 nam pokazuje karakteristicni izgledloma uslijed zamora materijala.

Dinamicku izdrzljivost materijala ispitivao jeinz. Wohler (izg. Veler). On je ispitivanjemodredio granicu zamora materijala, sto se vidina dijagramu (sl. 1.18).

Sl. 1.19. Wohlerov dijagram dinamicke izdrzljivosti materijala

Iz njega je vidljivo mjesto gdje krivuljaprelazi u pravac. To je granica zamo-ra. Ona je razlicita za razlicite materi-jale. Iza granice zamora nastupa dina-micka izdrzljivost te on vise ne puca ninakon visemilijunskih periodicnih op-terecenja.Tako -der je vidljivo da je dinamicka iz-drzljivost ordinata do ravnog dijela Wo-hlerove krivulje, D .

Na osnovu Wohlerovih dijagrama kons-truiraju se dijagrami dinamicke cvrsto-ce materijala koji su poznati pod nazi-vom Smithovi (izg. Smitovi) dijagra-mi, slika 1.20.

Sl. 1.20. Smithov dijagram dinamicke cvrstoce materijala

Rm cvrstoca materijala0,01 naprezanje na granici elasticnostia amplitudno naprezanjesr srednje naprezanjeKrivulja abc je gornja granica dinamickognaprezanja, a donji dio krivulje c, d, e, f da-je donju granicu dinamickog naprezanja.

Podrucje unutar krivulja abc i cdef pred-stavlja podrucje izbora opterecenja, koje kodmaterijala izlozenog oscilatornom opterece-nju nece dovesti do loma.

18

1.6. Hookeov zakon proporcionalnosti i modul elasticnosti

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK


Receno je da se u pocetku naprezanja (elasticno podrucje) materijal ponasa takoda je sve do granice proporcionalnosti P deformacija proporcionalna napreza-nju .Tu pojavu je ispitivao Hooke 7 (izg. Huk), koji je uspostavio temelj teorije elasti-cnosti. Po njegovom zakonu deformacije koje nastaju u nekom elasticnom tijelusu

linearno proporcionalne

s naprezanjem koje ih je izazvalo (sl. 1.21), sto se moze izraziti jednadzbom:

= E ,gdje je faktor proporcionalnosti.

Sl. 1.21. Do tocke P deformacija je linearno proporcionalna naprezanju.

Otprilike 100 godina nakon sto je Hooke dosao do formulacije zakona propor-cionalnosti, Young 8 (izg. Jang) je definirao faktor proporcionalnosti kaokoeficijent:

= 1E

,

gdje je E Youngov broj ili modul elasticnosti, a mjeri se kao i naprezanje uN/mm2 = MPa .

Modul elasticnosti E je ono naprezanje pri kojem bi se stap rastegnuo zacijelu svoju duzinu ili 100 %.

Uvrstavanjem = 1E

u jednadzbu Hookeova zakona = E konacno slijedi: = 1

E = E /MPa/.

7 Robert Hooke engleski fizicar (1635. 1703.)8 Thomas Young engleski znanstvenik i prirodoslovac (1773. 1829.)

19

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Dobivena jednadzba predstavlja Hookeov zakon proporcionalnosti prema kojemje

naprezanje jednako produktu deformacije i modula elasticnosti.

Hookeov zakon proporcionalnosti vrijedi samo do tocke P, tj. u elasticnom pod-rucju deformacija.

Podatci za modul elasticnosti ili E -modul pronalaze se ispitivanjem. U tablici 2.nalaze se vrijednosti E -modula za neke materijale pri temperaturi 20 C.

Materijal E -modul uN

mm2

Alcisti 64 000 70 000

Allegirani 66 000 83 000

bakar 122 000 123 000

bronca 107 000 113 000

celik za opruge 205 000 215 000

celik konstrukcijski 196 000 215 000

celik lijevani nelegirani 196 000 210 000

mjed 78 000 98 000

nikal 127 000 130 000

novo srebro 122 000 125 000

olovo 14 000 17 000

sivi lijev 73 000 102 000

Tablica 2. modul elasticnosti pri 20 C

Ako se jednadzba Hookeova zakona razvije, dobije se:

= EFA

=ll E l = F l

A E /mm/

Dobivena jednadzba predstavlja Hookeov zakon u drugom obliku, a prema njemuHookeov zakon glasi:

Apsolutno produljenje stapa je upravo proporcionalno sa silom i pocetnomduzinom stapa, a obrnuto proporcionalno s povrsinom poprecnog presjeka imodulom elasticnosti.

20


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Primjer 1.

Koliki je modul elasticnosti materijala ako se epruveta duljine l0 = 50mm, presjeka A = 50 mm2

pri opterecenju silom od 3 104 N produlji za l = 0, 2 mm?

A = 50mm2

l0 = 50 mmF = 3 104 Nl = 0, 2 mmE =?

Iz izraza = E E = /MPa/ :

naprezanje na vlak: = FA

=3 104

50= 600MPa ;

relativno produljenje: = ll0

=0, 250

= 0, 004 ;

modul elasticnosti: E =600

0, 004= 150 000MPa = 150GPa .

Primjer 2.

Na kidalici pri ispitivanju vlacne cvrstoce materijala, epruveta promjera d0 = 12 mm i duljinel0 = 120mm, pri djelovanju sile od F = 100 kN produzi se na l = 120, 54mm. Izracunajte:a) modul elasticnosti E ;b) za djelovanje sile od F1 = 60 kN: naprezanje 1 , apsolutno produljenje l1 , relativno produ-ljenje 1 .

d0 = 12 mml0 = 120 mmF = 100 kN = 105 Nl = 120, 54mmF1 = 60 kN = 6 104 N

a) E =?b) 1 =?, l1 =?, 1 =?

a) Iz Hookeova zakona l = F l0A E slijedi:

E =F l0A l /MPa/ ;

povrsina presjeka epruvete:

A =d204

=122

4= 113, 04mm2 ;

apsolutno produljenje:l = l l1 = 120, 54 120 = 0, 54 mm;

modul elasticnosti:

E =105 120

113, 04 0, 54 = 196 592MPa.= 196, 6GPa .

b) Naprezanje za F1 = 6 104 N : = F1A =6 104113, 04

= 530, 78MPa;

apsolutno produljenje l1 : l1 = F1 l0A E =6 104 120

113, 04 196 592 = 0, 32 mm;

relativno produljenje 1 : 1 = l1l0 =0, 32120

= 0, 00266.

21

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

1.7. Naprezanje na vlak

Slika 1.22 prikazuje dva vlacno opterecena stapa koji imaju razlicitu povrsinu pre-sjeka A1 i A2 . Na oba stapa djeluje ista sila F ciji je pravac djelovanja okomitna povrsinu poprecnog presjeka A .

Sl. 1.22. vlacno naprezanje stapa razlicite povrsine presjeka

Prema definiciji stvarno naprezanje u stapu je:

naprezanje na vlak v = opterecenje Fpovrsina poprecnog presjeka A .Stvarno naprezanje mora biti manje ili jednako dopustenom naprezanju, jer bi uprotivnom stvarno naprezanje moglo prijeci granicu tecenja i nastupila bi trajnadeformacija. Stoga je:

v = FA vdop .

Ako su dimenzije presjeka stapova na slici 1.22 a1 = 5mm i a2 = 10 mm, aopterecenje je F = 1 600N , tada su naprezanja:

v1 = FA1 =F

a21=

1 60052

=1 60025

= 64/ N

mm2

/,

v2 = FA2 =F

a22=

1 600102

=1 600100

= 16/ N

mm2

/.

Rezultat pokazuje da je naprezanje v2 stapa vece povrsine presjeka A2 mnogomanje od naprezanja prvog stapa kojem je povrsina poprecnog presjeka manja,pa slijedi zakljucak:

22

1.7. Naprezanje na vlak

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

u najmanjim povrsinama poprecnog presjeka Amin djeluje najvece naprezanjevmax i obrnuto.

Za provjeru je li cvrstoca stapa dovoljna da se ne prije -de dopustena granica nap-rezanja vd , potrebno je znati materijal od kojeg je stap izra -den.Ako se uzme da su stapovi na slici 1.22 izra -deni iz SL 25, tada se iz tablice 1.dopustenih naprezanja za vlacno naprezanje i staticko opterecenje ocita:

vdop = 80 . . . 100/ N

mm2

/.

Srednja vrijednost dopustenog naprezanja je:

vdop = 80 + 1002 =1802

= 90/ N

mm2

/,

pa je:

v1 = vmax = 64 Nmm2 < vdop = 90/ N

mm2

/,

sto znaci da cvrstoca stapova zadovoljava.

Dimenzioniranje elemenata izlozenih vlacnom naprezanju

U jednadzbi naprezanja

v = FA vdop (1.1)povrsina presjeka A sadrzi trazenu dimenziju.

Iz jednadzbe (1.1) slijedi:

A =F

vdop /mm2/.

Za poznatu povrsinu presjeka lako se izracunaju dimenzije kao sto slijedi.

Sl. 1.23. punikruzni presjek

A =d24

d =

4A /mm/

Sl. 1.24. supljikruzni presjek

A =4(D2 d2) D =

4A

(1 2)d = D

23

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Sl. 1.25. kvadratni presjek

A = a2 a = A /mm/

Sl. 1.26. pravokutni presjek

A = b h poznato b h =

Ab

poznato h b =Ah

/mm/

Sve izracunane dimenzije treba svesti na standardne vrijednosti i nakon toga pro-vjeriti cvrstocu.

Primjer 1.

Stap pravokutnog poprecnog presjeka dimenzija a b = 10 15mm opterecen je vlacnom silomF = 80 kN . Koliko je naprezanje stapa?

F = 80 kN = 80 000Na = 10mmb = 50mm

v =?

v = FA =F

a b =80 00010 50 = 160

/ Nmm2

/

Primjer 2.

Kolikom naprezanju je izlozena celicna uzad dizala ako se uslijed opterecenja produze za 0,012 %?

Broj uzadi je 6, a modul elasticnosti E = 210 000N

mm2.

= 0, 012 % = 0, 00012n = 6

E = 210 000N

mm2

v =?

v = E = 0, 00012 210 000 = 25, 2/ N

mm2

/ opterecenje jednog uzeta:

v1 = v6 =25, 2

6= 4, 2

Nmm2

24

1.8. Naprezanje na tlak

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Primjer 3.

Plosnata zeljezna sipka provrtana po sredini provrtom d = 8 mm opterecena je silom F = 20 kN

(sl. 1.27). Kolika treba biti sirina a sipke ako je dopusteno naprezanje vdop = 60 Nmm2 ?

F = 20 kN = 20 000N

vdop = 60 Nmm2d = 8 mmb = 6 mm

a =? Sl. 1.27. Za dimenzioniranje sirine a treba uzetinajslabiji presjek (na mjestu provrta presjek

1 1 ).

Iz vdop = FA A =F

vdop =20 000

60= 333, 33 mm2

Iz bokocrta A = a b b da b = A + b d/ : ba =

A + b db

=333, 33 + 6 8

6= 63, 55mm

standardizirano 9 : a = 65 mm.

Provjera naprezanja: v = FA =F

b(a d) ,

v = 20 0006(65 8) =20 000342

= 58, 47N

mm2< vdop = 60 Nmm2 ,

pa cvrstoca zadovoljava.


Proracun tlacnog naprezanja (sl. 1.28) i dopusteno naprezanje po smislu je is-tovjetno naprezanju na vlak. Ipak, razlika je u tome sto ce stap smanjiti svojuduzinu l za vrijednost skracenja l , a poprecni presjek ce se povecati za +A .Proracun naprezanja stapa na tlak t i dopustenog naprezanja tdop je isto kao ipri naprezanju na vlak:

naprezanje =opterecenje

povrsina poprecnog presjekat = FA

/ Nmm2

/;

9 vidi: Bojan Kraut, Strojarski prirucnik Plosnati celik vruce valjan

25

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

za krte materijale:

dopusteno naprezanje =tlacna cvrstoca

koeficijent sigurnostitdop = Rtm

/ Nmm2

/;

za zilave materijale:

dopusteno naprezanje =cvrstoca na granici tecenja

koeficijent sigurnostitdop = RT

/ Nmm2

/.

Sl. 1.28. naprezanje na tlak

Postupak dimenzioniranja strojnih elemenata je isti kao i kod vlacnog naprezanja.

Primjer 1.

Stupac iz sivog lijeva (sl. 1.29) poprecnog presjeka A = 142mm2 opterecen je tlacnom silomF = 4, 15 kN . Koliko iznosi naprezanje stupa?

Sl. 1.29.

A = 142mm2

F = 4, 15 kN = 4 150N

t =?t = FA =

4 150142

= 29, 22N

mm2

26


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Primjer 2.

Slika 1.30 prikazuje stup promjera D = 20 mm s poprecnim provrtom d = 6 mm. Dopusteno

tlacno naprezanje materijala stupa iznosi tdop = 12 Nmm2 . Kolikom se silom moze opteretiti ovajstup?

D = 20 mmd = 6 mm

tdop = 12 Nmm2Fdop =?

Sl. 1.30. Za proracun Fdop trebauzeti najslabiji presjek.

A =D2

4 d D = 20

2 3, 144

6 20= 314 120 = 194 mm2

Iz tdop = FdopA Fdop = tdop A = 12 194 = 2 328N

Primjer 3.

Spremnik s tekucinom oslanja se na elasticnu podlogu (sl. 1.31) koja moze podnijeti tlacno na-

prezanje tdop = 65 Nmm2 . Kolika mora biti povrsina elasticne podloge ako je pritisnuta silomF = 87 kN?

tdop = 65 Nmm2F = 87 kN

Amin =?

Sl. 1.31.

Iz tdop = FAmin Amin =Ftdop

Amin =87 000

65= 1 338, 46mm2

27

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

1.9. Povrsinski tlak

Sl. 1.32. poprecni ili radijalni cep uposteljici kliznog lezaja

Na slici 1.32 je prikazan cep vratila u posteljici kliznoglezaja. Uslijed opterecenja cepa silom F , cep ce tlacitizakrivljenu plohu posteljice. Posljedica toga je pojava po-vrsinskog tlaka na dodirnoj povrsini.

Dakle,

povrsinski tlak je tlak koji se javlja nadodirnim povrsinama dvaju tijela.

On moze izazvati nagnjecenje i deformaciju dodirnih plo-ha, te ga je potrebno poznavati kako bismo mogli pravilnoodabrati materijale i dimenzionirati dodirne plohe.

Povrsinski tlak je izrazen kvocijentom djelujuce sile F / N/ na vanjsku povrsinuA /m2/ , tj.:

p =FA pd /Pa/ ili /MPa/.

Da ne bi nastupila deformacija uslijed povrsinskog tlaka, on se uvijek racunai provjerava za meksu dodirnu povrsinu. Stvarni tlak p mora biti manji ili ugranicnom slucaju jednak dopustenom tlaku pd .

Primjer 1.

Sl. 1.33.

Lamela na slici 1.33 spaja cvrstim dosjedom dvo-dijelni vijenac zamasnjaka. Treba provjeriti ho-ce li doci do nagnjecenja vijenca ako ga lamelapritisce silom F = 180 kN , a izra -den je od celi-cnog lijeva dopustenog povrsinskog tlaka pdop =30 MPa .

F = 180 kNSl 20

p =?

p =

F2A

=F

2 b (

r h2

) = 180 0002 40(120 30) = 25

Nmm2

p = 25 MPa < pdop = 30 MPa zadovoljava

28

1.9. Povrsinski tlak

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Primjer 2.

Stapajica motora SUI 10 prema slici 1.34 prenosi silu F = 20 kN koja se razlaze na komponentu uojnici Fs i komponentu Fn okomitu na papucu krizne glave. Treba odrediti njenu dimenziju akoje poznato: omjer sirine i duzine h : b = 5 : 3 ; dopusteni tlak izme -du papuce i klizaca pd = 0, 4 MPa ; kut koji zauzima ojnica u odnosu na put krizne glave = 20 .

F = 20 kN = 20 000Nh : b = 5 : 3pd = 0, 4 MPa = 20

h =?b =?

Sl. 1.34.

normalna sila:

iz osjencanog trokuta tg = FnF Fn = F tg = 2 104 tg 20 = 2 104 0, 3639 = 7 278 N;

povrsina papuce: iz pd =FnA A = Fn

pd=

7 2780, 4

= 18 195mm2 ;

dimenzije povrsine papuce:b h = 18 195 (1.2)h : b = 5 : 3 (1.3)

Iz (1.3) 3h = 5b h = 53b, supstitucijom u (1.2) je:

b 53b = 18 195

/3/

: 5/

b =

18 195 3

5= 104, 48mm,

usvojeno: b = 105mm, h =53b =

53 105 = 175mm;

kontrola: p =FnA pd , p =

Fnb h =

7 278105 175 = 0, 39MPa < pd = 0, 4 MPa , zadovoljava.

10 motori s unutarnjim izgaranjem

29

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

1.10. Naprezanje zbog promjene temperature

Sl. 1.35.

Dovede li se stapu odre -dena kolicina topline +Q , ta-da ce se njegova pocetna temeratura T1 povecati natemperaturu T2 . Pocetna duljina l ce se produljiti zavrijednost l isto kao da je na njega djelovala nekaaksijalna vlacna sila (sl. 1.35).

Povecanje duzine ili produljenje stapa uslijed njegova zagrijavanja iznosi:

l = t(T2 T1) l /mm/, (1.4)gdje je: t linearni koeficijent rastezanja materijala;

T2 = t2 C + 273 / K/ konacna temperatutra stapa;T1 = t1 C + 273 / K/ pocetna temperatura stapa;l / mm/ pocetna duljina.

Sl. 1.36.

Ukoliko se stapu odvodi toplina (Q ), odnosno poth-la -duje se, on ce se skratiti za vrijednost l (sl. 1.36).Apsolutna vrijednost skracenja iznosi:

l = t(T1 T2) l /mm/. (1.5)Koeficijent toplinskog rastezanja t smatra se konstantnom velicinom pri ma-lim promjenama temperature. Npr. t = konst . za interval T = 100200 C.Vrijednosti koeficijenata rastezanja t za neke materijale nalaze se u tab. 3.

Materijal /1 / K/ 106ugljicni celik 12,5

legirani celik 10 13

sivi lijev 10,4

bakar 16

bronca 17,5

mjed 18

aluminij i legure 24

magnezij i legure 26

olovo 29

staklo 8

beton 0,11

Tablica 3. koeficijenti toplinskog rastezanja

30

1.10. Naprezanje zbog promjene temperature

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Ako se stapu omoguci slobodno istezanje odnosno skracivanje, u njemu nece nas-tati nikakva dodatna naprezanja. Naprezanje u stapu ce se dogoditi tek ako nijeosigurana slobodna diletacija.

Sl. 1.37.

Na slici 1.37 je postavljen izme -du dva nede-formabilna zida, pa mu je dovo -denjem top-line onemoguceno istezanje. Stoga ce se namjestu ucvrscenja javiti reakcije F i F kojese opiru istezanju i zele ga stlaciti.

Da se odredi naprezanje u stapu pretpostavi se da su ga nastale reakcije F i Fstlacile za istu vrijednost za koju bi se produljio uslijed dovo -denja topline, pa je:

ls = lt. (1.6)Kako je prema Hookeovom zakonu:

ls = F l0A E /mm/,izraz (1.6) postaje:

F lA E = lt. (1.7)

Ako se u izraz (1.7) uvrsti za lt izraz (1.4), slijedi:F lA E = t(T2 T1) l

/: l/E

FA

= t E(T2 T1) l/

: l/E

= t E(T2 T1) /MPa/ili za T = T2 T1 je:

= t ET /MPa/. (1.8)Jednadzba (1.8) je za naprezanje uslijed promjene temperature. Iz nje slijedi

Naprezanje uslijed promjene temperature ovisi o linearnom koeficijentu ra-stezanja, modulu elasticnosti i razlici temperature, a ne ovisi o duzini stapaniti o povrsini njegova presjeka.

Prema slici 1.37, stap ce dovo -denjem topline biti opterecen na tlak, a pri odvo--denju topline na vlak.

31

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Primjer 1.

Nosac -profila, duzine l = 4 m ugra -den je u betonski zid pri temperaturi od 20 C . Izracunajte:a) naprezanje nosaca ako se temperatura poveca na 60 C ;b) produljenje l ako bi nosac na jednom kraju mogao slobodno diletirati;c) naprezanje ako bi se temperatura snizila na 12 C ;d) skracenje pri temperaturi 12 C.

l = 4 mt1 = 20 Ct2 = 60 Ct2 = 12 C

a) t =?b) l =?c) v =?d) l =?

a) t = t E T = t E(T2 T1) / MPa/ .Iz tab. 3 za ugljicni celik ocitavamo: t = 12, 5106 1/ K.Iz tab. 2 za ugljicni celik: E = 200210GPa ;usvojeno E = 210 103 MPa ,T1 = 20 C + 273 = 293 K,T2 = 60 C + 273 = 333 K,T = T2 T1 = 333 293 = 40 K,t = 12, 5 106 210 103 40 = 105MPa ;

b) l = t(T2 T1) l = 12, 5 106 40 4 000 = 2 mm;c) v = t E T /MPa/T1 = 293 C, T2 = 12 + 273 = 261 K, T = T1 T2 = 293 261 = 32 K,v = 12, 5 106 210 103 32 = 84 MPa ;d) l = t(T2 T1) l = 12, 5 106 (32) 4 000 = 1, 6 mm.

Primjer 2.

Celicni stap 22-profila, duzine l = 3m uklijesten je izme -du dva nepomicna i nedeformabilnazida. Izracunajte:a) naprezanje za povecanje temperature T = 50 C ako je poznato E = 210GPa i =12, 5 106 1/ K;b) aksijalnu silu.

l = 3m = 3 000mmE = 210GPa = 12, 5 106 1/ Ka) =?b) F =?

a) = t E t = 12, 5 106 210 103 50 = 131, 25MPa ;b) iz tab. 9 za 22-profil ocitavamo povrsinu poprecnog pres-jeka:

A = 3 740mm2;

c) iz = FA F = A = 3 730 131, 25 = 490 875N .

32

1.11. Naprezanje na odrez ili smik

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK


Kod tangencijalnog naprezanja opterecenje je djelovalo paralelno s ravninompresjeka. Ista pojava javlja se u tijelu zakovice na slici 1.38 uslijed djelovanjasila u limovima.

Sl. 1.38. naprezanje na odrez zakovice

F opterecenje zakovice (sila u limu)

Ft tangencijalna sila unutar tijela zakovice (reakcija)

F = Ft; FFt0 naprezanje na odrez

Sile u limovima su me -dusobno paralelne i svojim djelovanjem zele prerezati strukzakovice. Tome se opiru sile unutar struka zakovice Ft , koje ce na svakoj jedinicipovrsine A izazvati naprezanje na odrez:

naprezanje na odrez =sila unutar tijelapovrsina presjeka

=opterecenje

povrsina presjeka

0 = FA/ N

mm2

/.

Naprezanje na odrez je kvocijent sile odreza i povrsine presjeka koji se opireodrezu.

Za zilave materijale kao npr., celik, vrijedi sljedeci odnos izme -du cvrstoca naodrez i vlacne cvrstoce:

m0 .= 0, 8Rm .

33

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

U svim konstrukcijama naprezanje na odrez na smije prijeci granicu tecenja, paje:

dopusteno naprezanje na odrez =cvrstoca na granici tecenja

koeficijent sigurnosti.

0dop = Tv .Kod naprezanja na odrez cesto se doga -da da opterecenje ne djeluje u ravninipresjeka, nego na nekom kraku l0 (sl. 1.39).

Sl. 1.39. sile odreza su razmaknute za vrijednost l0

U tom slucaju nastaje par sila koje ce svojim momentom MS = F l0 prouzro-kovati dodatno opterecenje na savijanje. Time je naprezanje u materijalu postaloslozeno (odrez i savijanje), pa jednadzbe za odrez ne vrijede.

Ukoliko je l0 vrlo malen, maleno je i savijanje, koje se tada moze zanemariti.

Uvecanjem bliskog razmaka l0 , slika 1.39 b) vidi se da je tocka C pomaknuta zavrijednost l , dosla u polozaj C.Pomak l naziva se

apsolutni pomak.

Prema slici to je iznos za koji se jedan presjek pomaknuo prema drugome narazmaku l0 . Njemu odgovara

kut smika .Vrijednost kuta smika odredi se iz pravokutnog trokuta AC na slici 1.39 b):

tg = ll0

.

Kako je vrlo mali kut, vrijedi tg = , pa je = l

l0/rad/.

34


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Ako se usporedi dobivena jednadzba kuta smika s jednadzbom relativnog pro-duljenja

= ll0

vidi se da je on ekvivalentan relativnom produljenju. Prema recenom kut jerelativno smicanje

te sluzi kao mjera deformacije pri naprezanju na odrez.

Mjerenjem je utvr -deno da tangencijalno naprezanje ovisi o produktu deforma-cije (kuta smika ) i modula smika (klizanja) G , tj.:

= G /MPa/,sto predstavlja Hookeov zakon za tangencijalno naprezanje koji se moze us-porediti s Hookeovim zakonom za normalno ili aksijalno naprezanje:

= E /MPa/.Modul klizanja 11 G je modul elasticnosti pri smiku.

Vrijednosti modula klizanja G za neke materijale nalaze se u tab. 4.

Materijal Modul klizanja G / GPa/

ugljicni celik 8081

legirani celik 8081

lijevano zeljezo 45

bakar 4049

bronca 4042

mjed 3537

aluminij i legure 2627

magnezij i legure 17

olovo 7

staklo 22

Tablica 4. modul klizanja ili modul smika za materijalekoji se najcesce javljaju u konstrukcijama

Prilikom izrade razlicitih proizvoda iz limaprobijanjem

tako -der se javlja naprezanje na odrez (sl. 1.40).

11 U literaturi se rabi i izraz modul smika.

35

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Sl. 1.40. Probijanjem se mora savladati smicna cvrstoca m .

U tom slucaju sila probijanja F mora savladati smicnu cvrstocu lima m :F = m As /N/ sila probijanja.

Maksimalna povrsina smicanja se odredi iz smicne cvrstoce lima:

m = FAsmax Asmax =Fm /mm

2/.

Iz nje se moze izracunati najveca debljina lima s koji se moze isijecati silomF :

za kruznu povrsinu poznatog promjera d

iz Asmax = d s smax = Asmaxd /mm/, za kvadratnu povrsinu poznate stranice a

iz Asmax = 4a s smax =Asmax4a

/mm/.

Najveci promjer probijanja dobije se iz dopustenog tlacnog naprezanja probi-jaca, jer je on prilikom probijanja opterecen na tlak:

iz tdop = FA =F

d24

dmax =

4Fmax tdop /mm/.

Za probijanje kvadratne plohe najveca stranica kvadrata amax je:

iz tdop = FA =Fa2

amax =

Ftdop /mm/.

36

1.12. Dimenzioniranje elemenata izlozenih naprezanju na odrez ili smik

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

1.12. Dimenzioniranje elemenata izlozenihnaprezanju na odrez ili smik

Proracun spojeva sa zakovicama i svornjacima

To su karakteristicni spojevi kod kojih se pored odreza mora provjeravati i povr-sinski tlak (gnjecenje).

Promjer zakovice d se odredi iz dopustenog naprezanja:

0d = Fi k A =F

i k d24

,

a odavde:

d =

4Fi k 0d /mm/,

gdje je: F / N/ opterecenje zakovicnog spoja,i broj zakovica u spoju,k broj rezova,0d /MPa/ dopusteno naprezanje na odrez materijala zakovica.

Broj rezova k je odre -den brojem povrsina struka zakovice koje su izlozene nap-rezanju na odrez. Prema slici 1.41a) spoj je jednorezan k = 1 , slici b) dvorezanitd.

Sl. 1.41. broj rezova zakovicnog spoja

Kontrola na gnjecenje ili specificni tlak 12 vrsi se za provrt u limu. Vec je poznatoda je specificni tlak:

p =F

A=

F

d1 s pd /MPa/,

12 povrsinski tlak

37

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

gdje je: F / N/ sila koja otpada na jednu zakovicu,d1 / mm/ promjer provrta u limu, tab. 5;s / mm/ debljina lima.

Sitne zakovice

promjer struka d / mm/ 1 1,4 1,7 2 2,6 3 3,5 4 5 6 7 8 9

Promjer provrta

d1 / mm/1,1 1,5 1,8 2,2 2,8 3,2 3,7 4,3 5,3 6,4 7,4 8,4 9,5

Normalne zakovice

promjer struka d / mm/ 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37

Promjer provrta

d1 / mm/11 14 17 20 23 26 29 32 35 38

Tablica 5. standardni promjeri celicnih zakovica s pripadajucim provrtom

Ispitivanjima je dokazan sljedeci odnos izme -du dopustenog naprezanja na gnje-cenje i dopustenog naprezanja na vlak:

pd = (1, 7 do 2, 2)vd .Na isti nacin se proracunavaju spojevi svornjacima i zaticima.

Proracun zavarenih spojeva na odrez

Niz prednosti spajanja elemenata zavarivanjem gotovo je u potpunosti istisnulozakivanje kao tehnoloski postupak spajanja cvrstih nerazdvojivih spojeva.

Zavarivanje je brze, ekonomicnije i cesto puta ne zahtijeva dopunsku obradu. Pro-racun zavarenih spojeva se svodi na odre -divanje duljine zavara, a izvodi se zanajslabiji presjek zavara (prema slici 1.42 to je presjek AA ).

Sl. 1.42. preklopni zavareni spoj

38


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Njegova povrsina iznosi:A = lk a /mm2/, (1.9)

gdje je: lk = l 2a / mm/ korisna duljina zavara,a

.= 0, 7s debljina zavara,s / mm/ debljina lima.

Za zavar na slici 1.42 slijedi:

0 = F2A 0d . (1.10)U jednadzbi (1.10) u nazivniku je brojka 2 zbog toga sto se prema slici 1.42 dvijepovrsine zavara opiru odrezu. Stvarno naprezanje ne smije prekoraciti dopusteno,stoga je:

0d = F2A . (1.11)Uvrstavanjem (1.10) u (1.11), jednadzba dopustenog naprezanja postaje:

0d = F2 lk a ,a odavde korisna duljina zavara iznosi:

lk =F

2aod /mm/.Stvarna duzina zavara je:

l = lk + 2a /mm/.

Sl. 1.43. ceoni zavareni spoj

Ako se radi o ceonom zavaru kao na sli-ci 1.43, tada se debljina zavara a uzima jed-nakom debljini zavarivanog lima, tj.:

a = s /mm/,

pa je povrsina zavara:

A = l a /mm2/,a naprezanje:

0 = FA =F

l a 0d . (1.12)

Iz izraza (1.12) moze se odrediti maksimalno naprezanje zavara koje iznosi:

Fmax = l a 0d /N/.

39

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Primjer 1.

Sl. 1.44.

Vijak M18 prema slici 1.44 opterecen je silama F = 20 kN . Ko-likom naprezanju na odrez je izlozeno tijelo vijka? Trenje izme -duploca zanemarite.

0 = FA =F

d24

=4Fd2 =

4 20 000182 3, 14

=80 000

1 017, 36= 78, 63

Nmm2

Primjer 2.

Dvije celicne plosnate trake debljine s = 8 mm treba spojiti dvjema zakovicama tako da moguizdrzati opterecenje F = 26 kN (sl. 1.45). Izracunajte:a) promjer struka zakovice ako je vlacna cvrstoca njihovog materijala Rm = 340N/mm2 , a koefi-cijent sigurnosti treba biti = 1, 5 .b) sirinu celicne trake ako je dopusteno vlacno naprezanje vdop = 90N/mm2 .

Sl. 1.45.

a) mv = 0, 8Rm = 0, 8340 = 272 Nmm2 ,0dop = mv =

2721, 5

= 181N

mm2.

Iz 0dop = F2A A =F

2 0dop =26 0002 181

= 71, 82 mm2 .

Iz A =d24 d =

4A =

4 71, 82

3, 14= 9, 56 mm,

standardizirano: d = 10 mm.

b) Iz vdop = FA A =F

vdop =26 000

90= 288, 88mm2 .

Iz A = b s b = As=

288, 888

= 36, 11 mm, standardizirano: b = 40 mm.

40


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Zadatci

Hookeov zakon proporcionalnostii modul elasticnosti

1. Koliko je apsolutno produljenje celicne ziceduljine 3m , promjera 1mm , ako je optere-cena silom od 1 000 N , E = 200 GPa ?

2. Standardna normalna epruveta mjerne duzinel0 = 180 mm i promjera 18 mm opterecenaje silom 65, 50 kN ; E = 210 GPa . Izracu-najte:

a) naprezanje u stapu ,b) apsolutno produljenje stapa l ,c) relativno produljenje .

3. Kolikom naprezanju je izlozena bakrena zi-ca koja se s pocetne duzine l0 = 800 mmprodulji za l = 10, 9mm?Napomena. Za Cu uzeti srednju vrijednostE .

Naprezanje na vlak

4. Koliko je vlacno naprezanje stapa opterece-nog silom F = 2, 8 kN ako je njegov prom-jer d = 12 mm?

5. Stapovi poprecnog presjeka kao na slici 1.46optereceni su na vlak silom F = 60 kN . Iz-racunajte naprezanje u stapovima.

Sl. 1.46.

6. Dizalicom se s pomocu lanca dize teret odG = 14 kN . Koliki je promjer poprecnogpresjeka karike (sl. 1.47) ako dopusteno na-prezanje celika iz koje je lanac izra -den iznosivdop = 68 N/mm2 ?

Sl. 1.47.

7. Koliku vlacnu silu moze prihvatiti stap iz ce-licnog 14-profila ako je cvrstoca na granicitecenja RT = 235 N/mm2 i potreban koefi-cijent sigurnosti = 2, 4?Uputa za rjesavanje. Iz tablice 9 za celic-ne -profile, vruce valjane, i za 14-profiletreba ocitati pripadajucu povrsinu poprecnogpresjeka A.

Naprezanje na tlak

8. U jednoj dijagonali resetkastog nosaca iz ce-licnog profila 40 40 4 djeluje tlacnosila F = 11 kN . Koliko je tlacno naprezanjedijagonale?

9. Kratki cijevni nastavak nazivnog promjeraDN100 sluzi kao oslonac (sl. 1.48). Onje opterecen na tlak silom F = 120 kN .Granica gnjecenja materijala oslonca iznosi

280N

mm2.

a) Kolikom je tlacnom naprezanju izlozen ci-jevni nastavak?

41

1. Osnove cvrstoce

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

b) Kolika je sigurnost protiv plasticne defor-macije?

Sl. 1.48.

10. Cijevi su spojene prirubnicama sa 16 vijakaM16 60 (sl. 1.49). Izme -du njih je brtvakoja ima granicu gnjecenja Rtv = 20

Nmm2

.

Kolikom se maksimalnom silom smije prite-gnuti svaki vijak da ne do -de do nagnjecenjabrtve?

Sl. 1.49.

D = 400 mm, d = 360 mm

Povrsinski tlak

11. Koliki je povrsinski tlak valjka na dodirnu

povrsinu (sl. 1.50), ako je poznato = 78, 5 Nm3

,

d = 1, 2 m , l = 1, 8m . Provjerite moze lise za taj povrsinski tlak odabrati drvena pod-loga.

Sl. 1.50.

12. Provjerite tlak u kliznom lezaju prema sli-ci 1.51 ako je posteljica od bijele kovine, aopterecenje lezaja F = 3 000 N . Ostali po-datci prema slici, d = 40 mm , l = 50mm .

Sl. 1.51.

13. Celicna greda 20-profila sluzi kao nosacoslonjen na betonsku podlogu (sl. 1.52). Po-trebno je odrediti duzinu a (sl. 1.52b)) zaoslonac A i B ako je greda opterecena silomF = 15 kN , a dopusteni povrsinski tlak zabeton pd = 1, 5 MPa . Ostali podatci su kaona slici.

Sl. 1.52.

Naprezanje zbog promjene temperature

14. Dijelovi neke celicne konstrukcije stegnuti suu toplom stanju pri 70 C s pomocu vijakapromjera 42mm , dugih 600 mm . Izracunaj-te:a) skracenje vijaka kada se ohlade na 20 C , = 12 106 1/ K,

42


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

b) naprezanje u vijcima ako je E = 210 GPa ,c) aksijalnu silu koja djeluje na vijak.

15. Jedan dio pruge montiran je na temperatu-ri t = 15 C . Ako je najveca tempera-tura ljeti tmax = 55 C , a zimi najmanjatmin = 30 C , treba odrediti:a) potreban razmak izme -du tracnica za dile-tiranje ako je duljina tracnice 10 m i =11, 5 106 1/ K ,b) koliki ce taj razmak biti pri najnizoj tem-peraturi.

16. Odredite potrebnu montaznu zracnost za le-zaj prema slici 1.53, ako je razmak l =220 mm , temperatura montaze 20 C , rad-na temperatura 80 C , a materijal vratila jeugljicni celik. Izracunajte silu kojom bi lezajdjelovao na kuciste ako se pri montazi le-zaja izostavi zazor l . Promjer cepa iznosid = 40 mm.

Sl. 1.53.

Dimenzioniranje elemenata izlozenihnaprezanju na odrez ili smik

17. Svornjak s glavom prema slici 1.54 opterecenje uzduznom silom F = 60 kN .

Sl. 1.54.

Odredite njegov promjer d i visinu glave hako je vd = 70 MPa .

18. Mjenjac koji smije prenijeti maksimalni ok-retni moment od 240 Nm zasticen je na ulaz-nom vratilu spojem cilindricnog zatika i gla-vine vratila pogonskog stroja (sl. 1.55). Ci-lindricni zatik kao sigurnosni element izra--den je iz celika cvrstoce Rm = 470 N/mm2 .Koliki mora biti promjer zatika?

Sl. 1.55.

19. Iz celicnog lima cvrstoce izme -du Rm =

410N

mm2i Rm = 560

Nmm2

, i debljine

s = 4 mm treba isijecati plocice promjerad = 26mm (sl. 1.56). Kolika je sila isijeca-nja?

Sl. 1.56.

Uputa. Pri rjesavanju uzeti vecu cvrstocu.

20. Odredite potrebnu duljinu l zavara prema sli-ci 1.57, ako je debljina zavara a = 4 mm ,dopusteno vlacno naprezanje lima vd =160 MPa , a sila u limu F = 200 kN .

Sl. 1.57.

43

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

2. Momenti inercijei otpora ploha

2.1. Pojam i vrste momenata inercija i otpora ploha

Iz dosadasnjeg razmatranja aksijalnih naprezanja stapova moze se uociti da izme--du ostalog naprezanje i krutost ovise o velicini povrsine poprecnog presjekaA. Me -dutim, naprezanje kod savijanja i uvijanja stapova, velicina i raspored nap-rezanja te krutost stapova ne ovise samo o velicini povrsine poprecnog presjekaA, vec i o njegovom obliku.

Ovisnost naprezanja i krutosti o obliku povrsine poprecnog presjeka pri optere-cenju na savijanje vidi se ako nosac pravokutnog presjeka b h savijamo okomanje stranice b , a potom istim opterecenjem F oko vece stranice h , slike 2.1a)i b).

Sl. 2.1. naprezanje grede na savijanje

U oba slucaja opterecenja povrsina presjeka A = bh je ista. Vec iz iskustva jepoznato da ce greda u slucaju a) biti kruca i moci ce podnijeti veca opterecenja,nego u slucaju b).

Stoga je potrebno poznavati momente inercije razlicitih oblika poprecnog pres-jeka da se mogu odrediti odgovarajuci momenti otpora koje ta povrsina pruzaodre -denom naprezanju i cini tijelo vise ili manje krutim.

U zavisnosti od polozaja osi oko koje ce se vrsiti deformacija povrsine poprecnogpresjeka, postoje ovi momenti inercija:

45

2. Momenti inercije i otpora ploha

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

1. aksijalni odnose se na neku os koja je u ravnini presjeka, npr. os xili y , slike 2.2a) i b);

2. polarni odnose se na neku os koja je okomita na povrsinu presje-ka, a prolazi kroz odabrani pol (najcesce teziste plohe), kao npr. os x ,slika 2.2c);

3. centrifugalni odnose se uvijek na dvije osi istovremeno, npr. osi x iy , slika 2.2d).

Sl. 2.2. plohe i osi u odnosu na koje se vrsi odre -divanje momenta inercije

Ako os u odnosu na koju odre -dujemo moment inercije plohe prolazi kroz njenoteziste, kao na slici 2.2a), tada se aksijalni moment inercije naziva

centralni i vlastiti moment inercije.

U strojarskoj praksi najcesce se koriste aksijalni i polarni momenti inercije.

Aksijalni i polarni momenti inercije

Povrsina A poprecnog presjeka nekog tijela prema slici 2.3 razdijeljena je na maleelementarne povrsine A1 , A2 , A3 ,. . . , Ai s tezistima T1 , T2 , T3 ,. . . , Ti .Koordinate tih tezista s obzirom na koordinatni sustav s ishodistem O postavlje-nim u teziste T presjeka A su: x1 , y1 ; x2 , y2 ; x3 , y3 ;. . . ; xi , yi .Mnozenjem svake elementarne plohe A s kvadratom koordinate od pojedine osix ili y i njihovim zbrajanjem slijedi:

za os x :

A1 y21 + A2 y22 + A3 (y3)2 + . . . + Ai (yi)2 =n

i=1

Ai y2i , (2.1)

46


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

za os y :

A1 x21 + A2 (x2)2 + A3 (x3)2 + . . . + Ai x2i =n

i=1

Ai x2i . (2.2)

Sl. 2.3. povrsina presjeka A s elementarnim povrsinama A

Suma produkta elementarnih povrsina mnozena s kvadratom udaljenosti nji-hovih tezista do promatrane osi naziva se aksijalni moment inercije, pa je

Ix =n

i=1Ai y2i aksijalni moment inercije za os x ; (2.3)

Iy =n

i=1Ai x2i aksijalni moment inercije za os y . (2.4)

Dimenzija momenta inercije proizlazi iz izraza (2.3) i (2.4):

A1 /mm2/, y21 /mm2/ /mm2 mm2/ = /mm4/, tj.:Ix /mm

4/, Iy /mm4/.

Iz jednadzbi (2.3) i (2.4) vidi se da velicina momenta inercije ovisi samo odimenzijama poprecnog presjeka.

Ako se moment inercije povrsine odre -duje s obzirom na jednu tocku koja se zovepol, odnosno s obzirom na os koja prolazi kroz pol O i okomita je na povrsinupresjeka A (sl. 2.4) tada je to

polarni moment inercije.

Na slici 2.4 pol je ishodiste koordinatnog sustava O koje je postavljeno u tezisteT presjeka A .

47


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Sl. 2.4. pol u ishodistu koordinatnog sustava s osi okomitom na ravninu presjeka

Polarni moment inercije s obzirom na odabrani pol je suma umnozaka elemen-tarnih povrsina s kvadratom udaljenosti njihovih tezista do odabranog pola, tj.:

Ip =n

i=1Ai r2i /mm2/. (2.5)

Iz OATi na slici 2.4 proizlazi:r2i = x

2i + y

2i ,

pa supstitucijom u (2.5) slijedi:

Ip =n

i=1

Ai(x2i + y2i ) =n

i=1

Aix2i +n

i=1

Aiy2i = Iy + Ix.Odnosno, konacno:

Ip = Ix + Iy . (2.6)

Iz jednadzbe (2.6) se vidi da je polarni moment inercije neke plohe jednakzbroju aksijalnih momenata inercije s obzirom na dvije okomite osi koje sesijeku u polu.

Momenti otpora

Dijeljenjem momenta inercije s najvecom udaljenoscu od osi za koju vrijedi mo-ment inercije do ruba presjeka dobije se moment otpora 13 plohe W (sl. 2.5).

Prema recenom je:

Wx =Ix

ymax/mm3/ moment otpora za os x ,

13 Ili modul presjeka.

48

2.2. Steinerov poucak

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Wy =Iy

xmax/mm3/ moment otpora za os y .

Sl. 2.5. maksimalne udaljenosti od osi x i y do ruba presjeka A

Dimenzija momenta otpora presjeka proizlazi iz jednadzbi za momente otporaWx i Wy :

Ix /mm2/ymax /mm/

W /mm3/.Za polarni moment otpora se uzima:

Wp =Ip

ymax/mm3/.

2.2. Steinerov14 poucak

Dosad je moment inercije ravne plohe odre -divan s obzirom na osi koje prolazekroz njezino teziste. To su

centralni ili vlastiti momenti inercije.

Cesto puta je potrebno odrediti moment inercije za osi koje ne prolaze kroz tezistekao sto je to slucaj na slici 2.6.

Sl. 2.6. osi x i y izvan tezista plohe

14 Jakob Steiner (izg. Stajner), (1796. 1863.), njemacki matematicar.

49


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Na slici 2.6 osi x i y su postavljene izvan tezista T plohe A . U tom slucaju seza odre -divanje momenta inercije primjenjuje Steinerov poucak. On daje odnosizme -du vlastitog momenta inercije koji se odnosi na osi x i y sto prolaze krozteziste plohe A i momenta inercije s obzirom na osi x i y sto ne prolaze krozteziste plohe A .

Prema definiciji moment inercije plohe A na slici 2.6 u odnosu na os x je:

Ix =n

i=1

Ai(yi + a)2. (2.7)

Ako se izraz (2.7) dalje razvije, slijedi:

Ix =n

i=1

Ai(y2i + 2yia + a2),

Ix =n

i=1

Aiy2i + 2an

i=1

Aiyi + a2n

i=1

Ai. (2.8)

U izrazu (2.8) pojedini clanovi predstavljaju:n

i=1Aiy2i = Ix vlastiti moment inercije plohe A za os x ,

ni=1

Aiyi staticki moment povrsine s obzirom na os x ,n

i=1Ai = A ukupnu povrsinu plohe.

Buduci da je staticki moment povrsine jednak nuli, tj.:

Ix =n

i=1

Aiyi = 0,

jer svakoj vrijednosti +y odgovara simetricno po vertikali ista velicina suprotnogpredznaka y , momenti se elementarnih ploha ponistavaju.Na taj nacin izraz (2.8) postaje:

Ix = Ix + 2a 0 + a2A,Ix = Ix + Aa2 /mm4/. (2.9)

Analogijom je:

Iy = Iy + Ab2 /mm4/. (2.10)

Izrazi (2.9) i (2.10) predstavljaju Steinerov poucak koji glasi:

50

2.3. Momenti inercije i otpora jednostavnih ploha

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Moment inercije ravne plohe s obzirom na os koja ne prolazi kroz njeno te-ziste, a paralelna je s osi koja prolazi kroz teziste, jednak je zbroju vlastitogmomenta inercije i produkta povrsine plohe s kvadratom udaljenosti izme--du osi koja prolazi kroz teziste i osi u odnosu na koju odre -dujemo momentinercije.

Steinerov poucak vrijedi i za polarni moment inercije.

2.3. Momenti inercije i otpora jednostavnih ploha

Iz opcih jednadzbi momenata inercije i otpora izvode se jednadzbe momenatainercija i otpora jednostavnih ploha. Ovdje ih ne izvodimo vec su u gotovomobliku navedeni u tablici 6.

PLOHAAKSIJALNI

MOMENT INERCIJEPOLARNI

MOMENT INERCIJEMOMENTOTPORA

PRAVOKUTNIK

Ix =bh3

12

Iy =hb3

12

Ix =bh3

3

Iy =hb3

3

Ip = Ix + Iy

Ip = Ix + Iy

Wx =bh2

6

Wy =hb2

6

Wx =bh2

3

Wy =hb2

3

KVADRAT

Ix = Iy =a4

12

Ix = Iy =a4

6

Ip =a4

3

Wx = Wy =a3

6

Wx = Wy =a3

3

TROKUT

Ix =bh3

36

Ix =bh3

24

Wx =bh2

24

Wx =bh2

24

51


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

PLOHAAKSIJALNI

MOMENT INERCIJEPOLARNI

MOMENT INERCIJEMOMENTOTPORA

KRUG

Ix = Iy =d464

Ip =d432

Wx = Wy =d332

Wp =d316

KRUZNI VIJENAC

Ix = Iy =64

(D4 d4)Ip =

32

(D4 d4)

Ip =D432

(1 4)

Wx = Wy =32

D3(1 4)

= dD

Wp =16

D3(1 4)

ELIPSOID

Ix =64

BH3

Iy =64

HB3

Wx =32

BH2

Wy =32

HB2

Tablica 6. momenti inercije i otpora jednostavnih ploha

Primjer 1.

Odredite momente inercije i otpora pravokutnika dimenzija b h = 60 100 mm za osi x i xprema slici 2.7.

b = 60 mmh = 100mm

Ix =?, Wx =?Ix =?, Wx =? Sl. 2.7.

Ix =bh3

12=

60 100312

= 5 106 mm4 ,

Wx =bh2

6=

60 10026

= 100 000mm3 ,

Ix = Ix + A a2 = bh3

12+ bh

A

(h

2

)2=

bh3

12+ bh h

2

4=

bh3

12+

bh3

4=

bh3 + 3bh3

12=

4bh3

12

=bh3

3=

60 10033

= 20 106 mm4 , Wx = Ix

ymax=

Ix

h=

20 106100

= 200 000mm3 .

52

OGLE

DNI P

RIMJ

ERAK

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

DINAMIKA

CESTICE

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

4. Temeljni pojmovii zakon dinamikeDinamika

Gibanje klipa u cilindru motornog mehanizma nije jednoliko (sl. 4.1), jer se nje-gova brzina krece od 0 u gornjoj mrtvoj tocki do neke maksimalne vrijednosti napriblizno pola puta svog hoda, pa se opet smanjuje do nulte vrijednosti u donjojmrtvoj tocki. Kao posljedica se javlja ubrzanje +a i usporenje a . Posljedi-ca ubrzanja su opet inercijalne sile Fi u motornom mehanizmu koje ga dodatnoopterecuju.

Dinamika uzima sve to u obzir pa se dobije realna slika opterecenja koje je vaznoza dimenzioniranje strojnog dijela.

Sl. 4.1.

GMT gornja mrtva tockaDMT donja mrtva tockas hod klipaF sila akcije (opterecenje)Fin sila inercijea ubrzanje klipaa usporenje klipav brzina klipaDINAMIKA sile akcije, sileinercije, brzine i ubrzanja

Prema izlozenom proizlazi definicija:

Dinamika je dio tehnicke mehanike koja proucava gibanja tijela, sile koje suto gibanje proizvele i sile koje se javljaju kao posljedica gibanja.

Prilikom razmatranja gibanja tijela uslijed djelovanja vanjskih sila, dimenzije ti-jela nisu bitne, pa se njegova masa zamjenjuje cesticom mase. U daljnjem tekstuce se umjesto tijela rabiti izraz cestica.

113

4. Temeljni pojmovi i zakon dinamike

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

4.1. Newtonovi zakoni

Prvi Newtonov zakon (zakon inercije)

Da se pokrene bilo koje tijelo koje miruje, treba upotrijebiti silu. Silu tako -dertreba upotrijebiti ako se zeli zaustaviti tijelo koje se giba. Dakle, u oba slucajatijelo nastoji zadrzati stanje u kojem se nalazi (mirovanje ili gibanje). Svojstvotijela da nastoji zadrzati stanje u kojem se nalazi zove se

tromost, ustrajnost ili inercija.

Prema recenom prvi Newtonov zakon glasi:

Svako tijelo ili cestica mase ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanjapo pravcu sve dok neka vanjska sila to stanje ne promijeni.

Iz ovog zakona proizlazi da cestica mase ne moze sama sebi izmijeniti stanje, aukazuje i na osnovno svojstvo materije, a to je da nastoji zadrzati stanje u komese nalazi.

Prema ovom zakonu za cesticu koja miruje ili na koje djeluje sustav sila u ravno-tezi vrijedi:

a = 0v = konst. ili za mirovanje v = 0.

Drugi Newtonov zakon

Prema prvom Newtonovu zakonu cestica se odupire svakoj promjeni stanja miro-vanja ili gibanja. Da se savlada otpor cestice pri promjeni stanja, potrebno je nanju djelovati silom ili neuravnotezenim sustavom sila ( FR = 0 ). Drugi Newtonovzakon upravo definira odnos velicine (modula) sile i promjene stanja cestice.Npr. ako na istu cesticu djeluje dva puta veca sila, ona ce imati dva puta veceubrzanje. Tri puta veca sila dat ce toj cestici tri puta vece ubrzanje itd. Buducida je svaka cestica predstavljena svojom masom, iz recenog proizlazi:

sila je upravo razmjerna s masom m 24 i ubrzanjem a

pa je njena velicinaF = m a .

24 Da bi se oznaka za masu razlikovala od oznake za metar, ona ce biti otisnuta kurzivom.

114

4.1. Newtonovi zakoni

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Izraz predstavlja drugi Newtonov zakon prema kojemu je za promjenu stanjacestice potrebna sila.

Sila je produkt mase i ubrzanja.

Razmatrajuci ovaj zakon mogu se izraziti sljedeci odnosi:

odnos izme -du sile i ubrzanja,

odnos izme -du mase i tezine.

Odnos izmedu sile i ubrzanja

Giba li se cestica jednoliko i pravocrtno, tada ce ona prema prvom Newtonovuzakonu, zadrzati svoje stanje sve dok na nju ne djeluje neka sila. Ako na tu cesticudjeluje neka stalna sila ( F =konst.) u smjeru gibanja, ona ce se gibati jednolikoubrzano. Pritom znamo da ce ubrzanje biti to vece sto je veca sila. Odnosno,

ubrzanje cestice mase m je proporcionalno sili

pa je

za m = konst. F1F2

=a1a2

.

Odnos izmedu mase i tezine

Tezina je sila kojom cestica tlaci na svoju podlogu, a javlja se kao posljedicasile teze kojom Zemlja privlaci svaku cesticu. Zbog toga svaka cestica ima svojutezinu. Cestica vece mase imat ce i vecu tezinu i obrnuto, pa je

tezina razmjerna s masom.

Znamo da sila teza daje svakoj masi pri slobodnom padu ubrzanje g = 9, 81 ms2 .Buduci da je tezina G sila, i za nju vrijedi drugi Newtonov zakon mehanike paje njena velicina:

G = m g /N/,odavde:

m =Gg

Nms2

=kgms2

ms2 = |1 kg|.

Jedinica za masu m u ISO sustavu je 1 kilogram. Buduci da gravitacija nijestalna velicina, moze se zakljuciti da je

tezina cestice ili tijela promjenjiva velicina, a njena masa stalna velicina.

115


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Ipak moramo reci da postoji slucaj kada se masa cestice mijenja. Prema Eins-teinovoj (izg. Ajnstajn) teoriji relativnosti, masa se mijenja promjenom brzinegibanja po izrazu:

m =m0

1 v2

c2

,

gdje je:

m0 masa cestice u stanju mirovanja,

v brzina gibanja tijela,

c brzina svjetlosti.

Ako bi se cestica gibala brzinom svjetlosti, tj. v = c , tada bi prema jednadzbi zapromjenu mase ona bila beskonacno velika, tj.:

m =m00

=.U tehnickoj praksi gdje su velicine brzina ogranicene, promjena mase je zanema-riva.

Treci Newtonov zakon

Ovaj zakon poznat nam je pod nazivom zakon akcije i reakcije:

Akciji je uvijek suprotna reakcija, odnosno, uzajamna djelovanja dviju cesticauvijek su jednaka i suprotnog su smjera.

To je navedeno kao jedno od nacela statike. No, zakon akcije i reakcije ima opceznacenje i ne vrijedi samo u slucaju staticke ravnoteze aktivnih sila u vezama,vec i u slucajevima kada se brzina tijela pod djelovanjem vanjskih sila mijenja.Npr. ako masa A djeluje na masu B, slika 4.2, silom F1 , onda istovremeno masaB djeluje na masu A silom F2 , pa je:

F1 = F2.

Sl. 4.2.

116

4.3. Inercijalne sile

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Ove dvije sile nisu u statickoj ravnotezi, jer mase na koje sile djeluju, mijenjajustanja svoga gibanja. Kako je:

F1 = m1 a1,F2 = m2 a2.

Za F1 = F2 m1 a1 = m2 a2 , slijedi:a1a2

=m2m1

.

Ubrzanja koja me -dusobno izazivaju dvije cestice obrnuto su proporcionalnamasama tih cestica. Iz toga proizlazi da je masa cestica uzrok otporu cesticeprema promjeni gibanja, odnosno masa je uzrok tromosti ili ustrajnosti tijela.

Cestica ima to vecu masu sto se vise opire promjeni stanja tijela (mirovanja iligibanja stalnom brzinom). Cestica se jednako opire promjeni gibanja u svimsmjerovima pa je masa skalarna velicina.

4.2. Zadatci dinamike

Zadatci dinamike mogu se svesti na dva osnovna.

1) Na osnovi poznatog zakona gibanja materijalne tocke ili tijela zadanemase, treba odrediti sile koje prouzrokuju gibanje.

2) Poznate su sile koje djeluju na cesticu mase m , pa treba odrediti zakongibanja.


Sila kojom se cestica mase m suprotstavlja svakoj promjeni stanja mirovanjaili gibanja je inercijalna sila. Ona je

prividna sila koja je nastala kao posljedica izvo -denja cestice iz ravnoteze, anestat ce cim se cestica uravnotezi.

117


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Odre -dena je kao i svaka sila po drugom Newtonovu zakonu

Fin = m a / N/ ,gdje je:

m / kg/ masa cesticea / m/ s 2 / ubrzanje cestice.

Njezin vektor je uvijek na pravcu gibanja s orijentacijom suprotnom od ubr-zanja.

Inercijalne sile u pravocrtnom akceleriranom sustavu

Sl. 4.3.

Promotrimo gibanje klipa motornog mehanizma, sli-ka 4.3. Preko stapajice prenosi se sila F . Gibanjustapa suprotstavlja se sila trenja Ft . Rezultanta tihdviju sila

FR = F Ft

daje ubrzano gibanje klipa s ubrzanjem a , pa je njena velicina:

FR = m a.Zakon inercije (prvi Newtonov zakon) kaze da cestica koja je u stanju mirovanjaili jednolikog gibanja po pravcu ostaje u tome stanju ako na njega ne djelujesila. Buduci da se klip giba s ubrzanjem a kao posljedica djelovanja sile FR , onse nalazi u pravocrtnom

akceleriranom sustavu.

U njemu ne vrijedi prvi Newtonov zakon (zakon inercije), jer je akceleriranisustav

neinercijski sustav

u kojem na cesticu djeluju prividne sile (prividne u smislu definicije), koje nisuposljedica djelovanja nekog drugog tijela, nego njegove tromosti. Te prividne silenazivamo

inercijalnim silama.

Po zakonu akcije i reakcije inercijalna sila klipa Fin jednaka je rezultanti FR , tj.sili koja izaziva ubrzanje a , pa je:

Fin = FR = m a.

Smjer inercijske sile je uvijek suprotan od smjera u kojem se akcelerira ne-inercijski sustav, odnosno uvijek je suprotan od ubrzanja a .

118


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Sl. 4.4.

Ako je djelovanje rezultante FR suprot-no od gibanja, tada tijelo usporava svo-je gibanje, pa inercijalna sila djeluje usmjeru gibanja, odnosno suprotno odubrzanja (sl. 4.4).

Iz recenog proizlazi da su

akcelerirani sustavi oni u kojima se tijela gibaju ubrzano ili usporeno u od-nosu na inercijski sustav. Inercijski sustav je sustav u kojemu vrijedi zakoninercije ili tromosti (prvi Newtonov zakon).

Primjer 1.

Slobodna cestica mase 600 g giba se pravocrtno ubrzanjem 50 cm/s2 Odredite velicinu i smjerinercijalne sile (sl. 4.5).

m = 600 g = 0, 6 kga = 50 cm s2 = 0, 5 ms2

Fin =? Sl. 4.5.

velicina sile inercije:

Fin = m a = 0, 6 0, 5= 0, 3 N;

smjer Fin odre -den je vektorom naslici 4.5 (suprotan od ubrzanja).

Primjer 2.

Vagoncic tezine 2 500N , giba se pravocrtno s ubrzanjem 0, 2 ms2 (sl. 4.6). Odredite velicinu ismjer vektora sile inercije.

G = 2 500Na = 0, 2 ms2

Fin =?

Sl. 4.6.

Fin = m a = Gg a

Fin = 2 5009, 81 0, 2

Fin = 50, 96NPredznak znaci da vektor sileinercije Fin ima suprotan smjer odubrzanja, a ucrtan je na slici 4.6.

119


OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Zadatci

1. Kada je promatrani sustav neinercijski?a) Ako se giba jednoliko po pravcu.b) Ako se giba jednoliko ubrzano ili uspore-no.c) Ako miruje.

2. Razlika izme -du pojma sile u inercijskom sus-tavu i inercijalne sile je:a) u inercijalnom sustavu sila je posljedicadjelovanja drugog tijela, a u neinercijskomsustavu se javlja kao posljedica tromosti tije-la;b) nema razlike jer u inercijskom sustavu dje-luju sile po Newtonovim zakonima koje suprema njemu dobile naziv inercijalne sile.

3. Dopunite: Smjer inercijalne sile je uvijekod smjera .

4. Ucrtajte vektor inercijalne sile za gibanje ti-jela prema slikama 4.7 i 4.8.

Sl. 4.7.

Sl. 4.8.

5. Na koje tijelo djeluje sila inercije?a) Na tijelo koje se giba.b) Na tijelo koje je izazvalo gibanje.

6. U rudnik se spusta kosara s ubrzanjem a =4 ms2 . Tezina kosare je 2 kN. Odredite si-lu kojom je nategnuto uze za koje je vezanakosara.

120

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

5. DAlambertovo nacelo

Prema ovom nacelu sustav sila koji djeluje na materijalnu tocku, dodavanjeminercijalne sile, svodi se na sustav sila u ravnotezi. To je

dinamicki ravnotezni sustav sila.

Na taj se nacin zadatci iz podrucja dinamike mogu svesti na zadatke iz statike pacemo dinamicku ravnotezu racunati kao i staticku ravnotezu.

Pritom treba imati na umu da materijalna tocka pod navedenim sustavom sila nijeu ravnotezi, jer inercijalna sila nije vanjska sila koja djeluje na tocku, vec prividnasila otpora materije promjeni stanja gibanja. Kada bi materijalna tocka ili tijelobilo u ravnotezi, tada se inercijalna sila ne bi ni pojavljivala.

DAlambertovo nacelo kao metoda rjesavanja zadataka naziva se joskinetostaticka metoda

koja je pogodna za rjesavanje velikog broja zadataka, a posebno za odre -divanjedinamickih reakcija u vezama.

Primjenu DAlambertova nacela pokazat cemo pri razmatranju pravocrtnog gi-banja, jednolikog pravocrtnog gibanja s trenjem, gibanja s trenjem na okomitomputu i gibanja s trenjem na kosini.

5.1. DAlambertovo nacelo za pravocrtno gibanje

Na cesticu mase m prema slici 5.1, djeluje sila F koja uzrokuje njeno pravocrtnogibanje s ubrzanjem a .

Sl. 5.1. Sl. 5.2.

121

5. DAlambertovo nacelo

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

Uslijed ubrzanja a javit ce se na pravcu ubrzanja inercijalna sila Fi sa smjeromsuprotnim od ubrzanja, velicine: Fi = m a . Prema DAlambertovom naceluvelicine sila F i Fin moraju biti u ravnotezi, pa je dinamicka ravnoteza:

F Fin = 0,ili

F + (m a) = 0 .Ako na materijalnu tocku mase m djeluje sustav sila kao na slici 5.2, opet jevelicina sila inercije u ravnotezi s velicinom rezultante aktivnih sila, tj.:

FR + Fi = 0 .

Djeluju li na materijalnu tocku osim aktivnih sila i otpori, npr. trenje, tada je:

FR + Fi + Ft = 0 .

Jednadzbe predstavljaju dinamicke jednadzbe ravnoteze.

Primjer 1.

Na uzetu visi teret tezine G = 20 kN (sl. 5.3, 5.4 i 5.5). Kolikom je silom optereceno uze:a) u stanju mirovanja,b) pri jednolikom ubrzanom dizanju s ubrzanjem 4 ms2 ,c) pri jednolikom ubrzanom spustanju s ubrzanjem od 4 ms2 ?

Sl. 5.3. Sl. 5.4. Sl. 5.5.

a) U stanju mirovanja je: F = G = 20 kN , pa je sila u uzetu F = 20 kN .

b) Pri ubrzanom dizanju tijelu se mora dodati sila inercije Fi = m a suprotno od smjera gibanja(sl. 5.4), pa je uvjet dinamicke ravnoteze:

Fy = 0 F G m a = 0

F = G + m a = 20 000 + 20 0009, 81

4 = 20 000 + 8 154, 9 = 28 155N.Prema rezultatu, kod ubrzanog dizanja tereta sila u uzetu veca je za 8 155N u odnosu na stanjemirovanja.

122

5.1. DAlambertovo nacelo za pravocrtno gibanje

OGLE

DNIP

RIMJ

ERAK

c) Pri ubrzanom spustanju tereta treba dodati silu inercije suprotno od gibanja (sl. 5.5), pa je izuvjeta dinamicke ravnoteze:

Fy = 0 F + ma G = 0F = G m a = 20 000 8 155 = 11 845N.

Kada se teret supsta ubrzano, uze je optereceno manjom silom nego u stanju mirovanja.

Ako je spustanje tereta s ubrzanjem a = 9, 81 ms2 = g , tada je: F = G m g =20 000 20 000 = 0 , pa bi teret padao slobodnim padom, a uze bi bilo neoptereceno.

Primjer 2.

Sl. 5.6.

Dizalica prema slici 5.6 dize teret od 1 100N ubrza-njem 0, 5 ms2 . Treba odrediti re

Tehnicka Mehanika2 Cvrstoca i Dinamika

Documents

Transcript of Tehnicka Mehanika2 Cvrstoca i Dinamika