99040846 Tehnicka Mehanika 2 Predavanja II Dinamika

download 99040846 Tehnicka Mehanika 2 Predavanja II Dinamika

of 29

Embed Size (px)

description

mehanika

Transcript of 99040846 Tehnicka Mehanika 2 Predavanja II Dinamika

  • 1

    DINAMIKA

    OSNOVNI POJMOVI I ZAKONI DINAMIKE

    Dinamika je dio teorijske mehanike u kome se izuavaju zakoni kretanja meterijalnih tijela pod dejstvom sila. Zbog sistematinosti izlaganja, dinamiku moemo razdijeliti na:

    Dinamiku materijalne take (Ako se dimanzije tijela pri kretanju mogu zanemariti, onda kaemo da je u pitanju materijalna taka, koja se razlikuje od geometrijske take time to ima konanu masu)

    Dinamiku sistema materijalnih taaka i krutog tijela (Pod materijalnim sistemom podrazumijeva se sistem materijalnih taaka, koje zahvaljujui postojanju veza izmeu taaka ne mogu da se kreu nezavisno jedna od druge. Ako su mase u nekom dijelu prostora neprekidno rasporeene, tada taaka ima beskonano mnogo i sistem obrazuje neprekidnu sredinu, a oblast prostora ispunjena neprekidno rasporeenom masom predstavlja metrijalno tijelo. Kruto tijelo je ono koje pod dejstvom sila ne mijenja svoj oblik i dimenzije)

    Dva su osnovna zadatka dinamike: Prvi zadatak dinamike take ili tijela sastoji se u tome da, ako je poznat zakon kretanja metrijalne

    take ili tijela, treba odrediti sile koje proizvode to kretanje Drugi zadatak dinamike sastoji se u tome da, ako su poznate sile koje dejstvuju na metrijalnu taku

    ili tijelo, je potrebno odrediti kretanja metrijalne take ili tijela. Drugi zadatak se naziva i osnovni zadatak dinamike.

    Osnovni zakoni dinamike: Formulisao ih je Njutn 1687. godine u svoj djelu Matematiki osnovi prirodne filozofije i ti zakoni su nazvani Njutnovi zakoni ili zakoni kretanja. Njutnovi zakoni su objektivni zakoni prirode, ustanovljeni na osnovu opaanja i eksperimenata kako samog Njutna tako i njegovih prethodnika. Prvi Njutnov zakon-zakon inercije: Materijalna taka (tijelo) ostaje u stanju mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog kretanja, dok pod djelovanjem sile ne bude prinuena da to svoje stanje promjeni. Ovim se definie inertnost tijela. Ako se tijelo ne kree ravnomjerno i pravolinijski, onda se ono nalazi pod dejstvom drugih materijalnih tijela, a ovo dejstvo u mehanici predstavlja silu. Koliinska mjera mehanikog uzajamnog dejstva materijalnih tijela naziva se sila. Ipak, koliinska mjera sile kao etalona mehanikog kretanja iskazuje se koliinom kretanja, tj.proizvodom vektora brzine i mase tijela, K mv . Drugi Njutnov zakon-osnovni zakon dinamike:

    a) Brzina promjene koliine kretanja materijalne take (tijela) jednaka je po intenzitetu, pravcu i smjeru sili koja dejstvuje na materijalnu taku ( tijelo). Ovaj zakon Njutn je iskazao jednainom:

    0 0m v v F t t Ojler je dijeljenjem jednaine sa (t-t0)i prelaenjem na graninu vrijednost dobio

    0

    0

    lim v vm ma Ft t

    i iskazao II Njutnov zakon u obliku: b) Promjena kretanja proporcionalna je sili i vri se u pravcu sile, tj. intenzitet sile koja dejstvuje na

    meterijalnu taku srazmjeran je masi i intenzitetu njenog ubrzanja, dok se pravac i smjer sile i ubrzanja poklapaju

    d mv Fdt

    odnosno ma F . Ova jednaina je na snazi samo u odnosu na inercijalni sistem referencije, tj. koordinatni sistem koji je nepokretan ili se pomjera translatorno konstantnom brzinom (koordinatni poetak vri jednoliko pravolinijsko kretanje). Ovaj zakon Njutn je nadopunio pravilom o slaganju sila (aksiom o paralelogramu sila): Ako na materijalnu taku dejstvuju dvije sile njihovo se dejstvo moe zamjeniti dejstvom jedne sile-rezultantom, koja je odreena dijagonalom paralelograma konstruisanog nad silama kao stranicama.

  • 2

    Aksiom o nezavisnosti dejstva sila takoe predstavlja proirenje II Njutnovog zakona, iako se ponekad navodi kao IV Njutnov zakon: Ako na materijalnu taku dejstvuje sisitem sila, onda e svaka sila saoptiti taki ubrzanje saglasno II Njutnovom zakonu, nezavisno od dejstva ostalih sila koje dejstvuju na taku. Trei Njutnov zakon-zakon dejstva i protivdejstva (zakon o jednakosti akcije i reakcije): dejstvu (akciji) uvijek je jednako protivdejstvo (reakcija), ili dva tijela dejstvuju jedno na drugu silama istih intenziteta i pravaca a suprotnih smjerova.

    DINAMIKA MATERIJALNA TAKE

    Pod materijalnom takom podrazumijevamo materijalno tijelo odreene konane mase a malih dimenzija, tako da se moe smatrati da je cjelokupna masa koncentrisana u jednoj geometrijskoj taki. Zadatak dinamike take je postavljanje diferencijalnih jednaina kretanja i njihovo integraljenje. Diferencijalne jednaine kretanja materijale take izvode se iz osnovnog zakona dinamke-II Njutnovog zakona.

    DIFERENCIJALNE JEDNAINE KRETANJA SLOBODNE MATERIJALNE TAKE

    Posmatramo kretanje slobodne materijalne take M mase m, na koju dejstvuje sistem sila

    1 2, ,..., nF F F

    . Ako je poloaj materijalne take M u odnosu na inercijalni sistem referencije odreen vektorom poloaja r onda drugi zakon dinamike glasi

    1

    n

    ii

    ma F

    odnosno 22 , ,d rm F r v tdt

    .

    Sila F, odnosno sile Fi , u optem sluaju, zavisi od poloaja take, njene brzine i vremena. Ova jednaina predstavlja diferencijalnu jednainu kretanja take u vektorskom obliku. Jednainu je mogue projektovati na ose utvrenog sistema referencije i tada se dobijaju razni oblici skalarnih diferencijalnih jednaina kretanja materijalne take.

    a) Dekartov koordinatni sistem

    , , , , , ,

    , , , , , ,

    , , , , , ,

    mx X x y z x y z t

    my Y x y z x y z t

    mz Z x y z x y z t

    U ovim jednainama su , ,x y z projekcije vektora ubrzanja a take na ose Dekartovog sistema referencije, a , ,X Y Z su projekcije rezultujue sile F koja dejstvuje na taku na ose Dekartovog sistema referencije Oxyz.

    b) Polarne koordinate ;r r p pma F ma F , odnosno

    21 1

    ; 2n n

    ir i pi i

    m r r F m r r F

    c) Prirodne koordinate

    ; ;t t n n b bma F ma F ma F . Za prirodnie koponenate ubrzanja:

    2 2 2

    2 ; ; 0t n bk k

    dv d s v sa s a adt dt R R

    , imamo 2 2

    2 ; ; 0t n bk

    d s vm F m F Fdt R

    .

  • 3

    DIFERENCIJALNE JEDNAINE KRETANJA NESLOBODNE MATERIJALNE TAKE (DIFERENCIJALNE JEDNAINE PRINUDNOG KRETANJA MATERIJALNE TAKE)

    Materijalna taka je neslobodna ako se njeno kretanje pod dejstvom aktivnih sila vri po odreenoj

    liniji, povri ili dijelu prostora, a kretanje ovakve take naziva se neslobodno kretanje ili kretanje po vezi. Jednaina date povri ili linije po kojoj je taka prinuena da se kree naziva se jednaina veze.Za

    vrijeme za koje se taka pri kretanju nalazi na vezi, njene koordinate moraju zadovoljiti jednaine veze.

    JEDNAINE VEZA. PODJELA VEZA Ukoliko se taka kree po nekoj povri, onda je jednaina veze jednaina te povri: , , 0f x y z . Ukoliko se taka kree po nekoj liniji, koja je odreena presjekom dvaju povri, onda su jednaine veze odreene jednainama tih povri: 1 , , 0f x y z , 2 , , 0f x y z . Ako se veze ne mijenjaju tokom vremena, nazivaju se skleronomne (stacionarne).

    Ako veze zavise od vremena, , , , 0f x y z t , onda su reonomne (nestacionarne). Ako veza ograniava samo slobodu kretanja take u prostoru, a ne ograniava intenzitet njene brzine, tada jednaina veze ne zavisi od brzine i veza se naziva holonomna (geometrijska). Ako veza ograniava i slobodu kretanja take u prostoru i intenzitet njene brzine, tada jednaina veze zavisi od brzine take i veza se naziva neholonomna (neintegrabilna). Veze su zadravajue ili obostrane ako se za svo vrijeme kretanja taka nalazi pod dejstvom veze, tj. ostaje stalno na nepokretnoj povri ili liniji. Veze su nezadravajue ili jednostrane ako spreavaju pomjeranje take u nekom pravcu, ali dotvoljavaju pomjeranje u suprotnom pravcu. Veze kod kojih zanemarujemo trenje, tj. koje smatramo idealno glatkim, nazivaju se idealne veze. Veze kod kojih ne zanemarujemo trenje nazivaju se realne veze.

    Prouavanje kretanje neslobodne take moe se izvriti na isti nain kao i slobodne take, ako se

    veza odstrani a njen uticaj zamjeni odgovarajuom rekacijom veze. Pri razmatranju neslobodnog kretanja take potrebno je dejstvo veza (materijalnih tijela) na

    materijalnu taku zamjenti reakcijama veza i onda razmatrati taku kao slobodnu na koju osim aktivnih sila dejstvuju i rekacije veza (princip oslobaanja od veza).

    Ako sa F

    oznaimo rezultantu aktivnih sila, a sa R rezultantu svih reakcija veza, onda osnovna jednaina dinamike za neslobodnu taku glasi

    ma F R .

    KRETANJE TAKE PO GLATKOJ NEPOKRETNOJ POVRI. LAGRANEVE JEDNAINE PRVE VRSTE

    Neka se taka kree po nepokretnoj glatkoj povri, pri emu je veza holonomna. Koordinate take moraju zadovoljiti jednainu veze (povri) , , 0f x y z . Kako je veza idealna, reakcija veze N je usmjerena po pravcu normale na povr. Poznato je da je gradijent skalarne funkcije , ,f x y z vektor koji je takoe usmjeren po normali u datoj taki na uoenoj povri

    f f fgrad f i j kx y z

    .

    Koristei se uslovom kolinearnosti vektora N i grad f , moe se napisati da je

  • 4

    N grad f , tj. x y z f f fN i N j N k i j kx y z

    gdje je -Lagranev mnoitelj veza. Projektujui osnovnu jednainu neslobodnog kretanja take ma F N na ose nepokretnog Dekartovog sistema referencije, dobija se

    x

    y

    z

    fmx X N Xxfmy Y N Yyfmz Z N Zz

    Ove jednaine nazivaju se Lagraneve jednaine prve vrste.

    PRINUDNO KRETANJE MATERIJALNE TAKE PO KRIVOJ. OJLEROVE JEDNAINE

    Pri kretanju neslobodne materijalne take po nepokretnoj glatkoj liniji diferencijalnu jednainu kretanja

    1

    n

    ii

    ma F N

    moemo projektovati na ose prirodnog trijedra, tj. pravac tangente, normale i binormale

    2

    21

    2

    1

    10

    n

    t iti

    n

    n in nik

    n

    b ib bi

    d sma m Fdtvma m F NR

    ma F N

    Ove jednaine nazivaju se Ojlerove jednaine kretanja take po nepokretnoj krivoj. Reakcija idealne veze razloena je na komponente u pravcu normale i u pravcu binormale

    n bN N N

    .

    Ako se materijalna taka kree po nepokretnoj hrapavoj krivoj, reakcija veze R razlae se na normalnu komponentu N

    i tangentnu komponentu F

    koja predstavlja silu trenja klizanja. Diferencijalne jednaine

    kretanja neslobodne materijalne take po hrapavoj liniji u prirodnim koordinatama imaju oblik 2

    21

    2

    1

    10

    n

    t iti

    n

    n in nik

    n

    b ib bi

    d sma m F Fdtvma m F NR

    ma F N

    Sila trenja klizanja odreena je izrazom 2 2n bF N N N .

  • 5

    OPTI ZAKONI DINAMIKE MATERIJALNE TAKE Da bi se izuavanje kretanja materijalne take pojednostavilo i da bi se u pojedinim tehnikim problemima odredile samo odreene veliine, kao npr. Brzina u odreenom poloaju ili brzina u odreenom vremenskom intervalu, a da se pri tome problem kretanja ne prouava u cjelini, izvedeni su opti zakoni dinamike take. Njihovom primjenom izbjegava se integraljenje diferencijalnih jednaina kretanja. Opti zakoni povezuju osnovne dinamike veliine koje karakteriu kretanje (kinetiku energiju, koliinu kretanja, moment koliine kretanja) sa veliinama koje karakteriu djelovanje sila (rad sile, impuls sile, moment sile). Opti zakoni dinamike materijalne take su:

    Zakon o promjeni koliine kretanja, Zakon o promjeni momenata koliine kretanja, Zakon o promjeni kinetike energije materijalne take.

    ZAKON O PROMJENI KOLIINE KRETANJA

    Koliina kretanja. Koliina kretanja materijalne take K je vektorska veliina koja predstavlja proizvod mase take i vektora brzine take, K mv . Ovaj vektor je kolinearan sa vektorom brzine i ima isti smjer. Moe se razloiti na komponente u pravcu koordinatnih osa referentnog koordinatnog sistema. Jedinica koliine kretanja je [kgms-1] ili [Ns]. Impuls sile. Najprije definiimo elementarni impuls sile za beskonano mali interval vremena. To je vektorska veliina dI Fdt , gdje je dt elementarni vremenski interval. Ovaj vektor je kolinearan sa vektorom sile F

    . Sad moemo definisati impuls sile za odreeni

    vremenski interval, npr. 0t t :

    0 0

    t t

    t t

    I dI Fdt . Pravac impulsa poklapa se sa pravcem i smejrom sile. Jedinica za impuls sile je [kgms-1] ili [Ns]. Mogue je nai projekcije impulsa sile na ose referentnog koordinatnog sistema. Impuls sile pokazuje efekat dejstva sile u nekom vremenskom intervalu. Da bismo mogli izraunati vrijednost impulsa sile, sila mora biti poznata funkcija vremena ili konstanta. Impuls rezulatante sistema sile koje dejstvuju na materijalnu taku u datom vremenskom intervalu, jednak je vektorskom zbiru impulsa komponentnih sila u istom intervalu vremena:

    0 0 0 0 0

    1 2 1 2 1 21

    .. .. ..t t t t t n

    r n n n iit t t t t

    I F dt F F F dt F dt F dt F dt I I I I

    .

    Zakon o promjeni koliine kretanja materijalne take

    Ako poemo od osnovne jednaine dinamike ma F , gdje je F rezultanta svih sila koje dejstvuju na taku, imamo:

    dvm Fdt

    , pri m const

  • 6

    d mv Fdt

    , odnosno dK Fdt

    .

    Ova jednaine iskazuje zakon o promjeni koliine kretanja materijalne take u diferencijalnom obliku: Izvod vektora koliine kretanja take po vremenu jednak je rezultujuoj sili koja dejstvuje na taku. Sad emo uspostaviti vezu izmeu koliine kretanja i impulsa sile. Ako poemo od jednaine

    dK d mv Fdt i i ntegralimo je u intervalu vremena 0t t , dobijamo:

    0 0

    v t

    v t

    d mv Fdt , odakle je 0mv mv I , odnosno 01

    n

    ii

    K K I I

    . Ova jednaina iskazuje zakon o promjeni koliine kretanja materijalne take u konanom ili tzv.integralnom obliku: Prirataj vektora koliine kretanja take za neki konani vremenski interval jednak vektorskom zbiru impulsa svih sila koje dejstvuje na taku u tom interval vremena .

    Zakon o odranju koliine kretanja materijalne take Ako na materijalnu taku ne dejstvuju sile ili ako dejstvuje takav sistem sila iji je vektorski zbir jednak nuli

    0r iF F , onda je 0dK

    dt

    , odnosno 0d mv

    dt , odakle slijedi da je mv const ,

    odnosno 0mv mv const , odakle slijedi 0v v const . Ako je u nekom vremenskom intervalu vektorski zbir impulsa svih sila koje djeluju na taku jednak nuli, onda je koliina kretanja materijalne take na kraju tog intervala jednaka koliini kretanja na poetku intervala, tj. taka se kree ravnomjerno pravolinijski , a takvo kretanje naziva se kretanje po inerciji.

    ZAKON O PROMJENI MOMENTA KOLIINE KRETANJA

    Moment koliine kretanja materijalne take (kinetiki moment) je moment vektora koliine kretanja K u odnosu na pol (taku) O:

    oi j k

    L r K r mv x y zmx my mz

    .

    gdje je r vektor poloaja take. Oigledno je da se mogu odrediti projekcije vektora momenta koliine kretanja u pravcu koordinatnih osa referentnog koordinatnog sistema, koje definiu moment koliine kretanja take za osu:

    , ,ox x oy y oz zL L m yz zy L L m zx xz L L m xy yx .

  • 7

    Zakon o promjeni momenta koliine kretanja materijalne take Ako poemo od II Njutnovog zakona idvm Fdt

    i pomnoimo sa vektorom poloaja take r dobijamo

    iFi O

    dvr m r F Mdt

    .

    S druge strane je izvod po vremenu vektora konetikog momenta OdL d dr dv dvr mv mv r m v mv r m

    dt dt dt dt dt

    ,

    A kako su vektori v i mv kolinearni njihov vektorski proizvod je jednak nuli, pa je iFO

    i OdL dvr m r F Mdt dt

    .

    Jednaina izraava zakon o promjeni momenta koliine kretanja materijalne take: Izvod kinetikog momenta u odnosu na nepokretni pol O po vremenu jednak je vektorskom zbiru momenata sila koje dejstvuju na pokretnu taku, raunatih za isti nepokretni pol. Vektorskoj jednaini odgovaraju tri skalarne jednaine:

    , ,i i iOyF F FOx OzOx Oy OzdLdL dLM M M

    dt dt dt .

    Zakon o odranju momenta koliine kretanja materijalne take Ako na materijalnu taku dejstvuje takav sistem sila da je vektorski zbir momenata tih sila u odnosu na nepokretni pol O jednak nuli, 0iFOM , onda je

    0OdLdt

    , odakle je .OL r mv const

    Ova jednaina iskazuje zakon o odranju momenta koliine kretanja take u odnosu na nepokretni pol O. S obzirom da je vektorski proizvod vektora poloaja i brzine take konstantan, to znai da ovi vektori lee u stalnoj ravni, tj. taka se kree u ravni.

  • 8

    ZAKON O PROMJENI KINETIKE ENERGIJE MATERIJALNE TAKE Najprije emo objasniti veliine preko kojih definiemo promjenu kinetike energije, a to su: rad sile, konzervativne sile, kinetika energija.

    Rad sile. Neka se materijalna taka na koju dejstvuje sila pomjera du putanje s. Ako u beskonano malom intervalu vremena taka izvri elementarno pomjeranje dr , onda je elementarni rad dA sile F

    na elementarnom pomjeranju dr veliina odreena skalarnim proizvodom

    dA F dr . Ako vektor sile i vektor elementarnog pomjeranja take prikaemo preko njihovih komponenata u pravcu osa dekartovog koordinatnog sistema, onda daobijamo analitiki izraz za elemetarni rad sile:

    dA F dr Xi Yj Zk xi yj zk Xdx Ydy Zdz . Ako je materijalna taka izvrila konano pomjeranje po odsjeku svoje putanje izmeu taaka M1 i M2, onda je odgovarajui rad sile na preenom putu

    21 2

    1

    ,

    M

    M MM

    A Xdx Ydy Zdz . Da bi se mogao izraunati ovaj integral neophodno je da sila i pomjeranje zavise od jedne iste promjenljive. Najjednostavnije je izraunati rad kada je sila konstantnog intenziteta u toku pomjeranja ili kada zavisi od poloaja take. Ako sile zavise od vremena ili brzine take, onda je neophodno poznavati i zakon kretanja take. Ako vektor elementarnog pomjeranja iskaemo kao dr dsT , gdje je T jedinini vektor tangente na putanju take u datom poloaju, onda je elementarni rad sile

    cos ,TdA F Tds F ds Fds F T gdje je TF projekcija sile na pravac tangnente na putanju u datom poloaju. Odavde se vidi da rad na elementarnom pomjeranju ds vri samo tangentna komponenta sile TF , dok je rad normalne komponente sile

    jednak nuli, jer je ona upravna na pravac vektora brzine take, tj. na vektoru pomjeranja take dr dsT . Oigledno je da rad zavisi od sile i pomjeranja, kao i ugla izmeu njih, tako da moe biti pozitivan, negativan i jednak nuli. Rad sile na konanom pomjeranju je

    21 21

    , cos ,M

    M MM

    A Fds F t . Jedinica za rad sile je dul [J]. Dul je rad koji izvri sila od 1 N kada se njena napadna taka pomjeri za 1 m u smjeru dejstva sile, tj. dul je jednak njutnmetru [Nm],odnosno vatsekundi [Ws].

    Rad sile F

    konstantnog intenziteta i pravca pri pravolinijskom pomjeranju takeM odreen je skalarnim proizvodom vektora sile i vektora pomjeranja napadne take te sile:

    cos ,A F u Fu F u Ako je ugao otar, rad sile je pozitivan, a ako je ugao tup rad sile je negativan. Kada je =900 rad sile je jednak nuli.

  • 9

    Ako na taku dejstvuje sistem sila konstantnog intenziteta i pravca, onda je rad tih sila na pravolinijskom pomjeranju u :

    1 2 1 21

    .. ..n

    r n n ii

    A F u F F F u F u F u F u F u

    1 2

    1...

    n

    n ii

    A A A A A

    Rad rezultanete sile na konanom pomjeranju u jednak je algebarskom zbiru radova komponentnih sila na tom istom pomjeranju. Efekat rada-snaga: pod snagom se podrazumijeva veliina koja karakterie rad sile u jedinici vremena. Snaga P sile koja dejstvuje u beskonano malom intervalu vremena dt je

    dA F drP F v Xx Yy Zzdt dt

    Ako se rad tokom vremena t vri ravnomjerno, onda je snaga APt

    Jedinica za snagu je vat [W]. Rad sile tee, sile elastinosti i sile trenja Rad sile tee:

    Neka se taka M pod dejstvom sile tee G pomjeri po nekoj krivoj iz poloaja 0 0 0 0, ,M x y z u poloaj 1 1 1 1, ,M x y z . S obzirom da sila G ima projekciju samo u pravcu z-ose, rad sile tee pri tom pomjeranju je

    1 10 1

    0 0

    , 1 0 0 1

    M z

    M MM z

    A Xdx Ydy Zdz Gdz G z z G z z Rad sile tee jednak je proizvodu iz intenziteta sile i odgovarajueg

    vertikalnog pomjeranja h njene napadne take. Rad je pozitivan ako poetni poloaj M0 iznad konanog poloaja M1 napadne take sile, a negativan ako je poloaj M0 ispod konanog poloaja M1 take.

    A Gh Rad sile tee ne zavisi od od duine puta niti od oblika trajektorije napadne take sile ve zavisi samo od normalnog rastojanja izmeu horizontalnih ravni koje prolaze kroz poetni i krajnji poloaj take. Sile koje imaju osobinu da im rad ne zavisi od duine puta i oblika trajektorije nazivaju se konzervativne sile. Rad sile elastinosti:

    Neka je taka M vezana oprugom krutosti c koja je drugim krajem vezana za nepokretnu ravan. Ako taku M izvedemo iz ravnotenog poloaja, ona e pod dejstvom sile uspostavljanja cF

    vriti

    pravolinijsko kretanje. Ako je x veliina deformacije opruge, onda je projekcija sile u opruzi na Ox - osu

    cxF cx , a rad sile na konanom pomjeranju 0M M je odreen izrazom:

  • 10

    0 0 0

    22 2

    0,1 02 2

    xM x

    cxM x x

    x cA F dx c xdx c x x U ovom izrazu 0x je poetna deformacija opruge (deformacija opruge u poetnom poloaju take), a x je krajnja deformacija opruge (deformacija opruge u krajnjem poloaju take). Rad sile uspostavljanja cF

    ne zavisi od oblika trajektorije ve samo od poetnog i krajnjeg poloaja take,

    tako da je sila elastinosti opruge takoe konzervativna sila. Rad sile trenja klizanja:

    Ako se taka m kree po hrapavoj povrini, onda na nju dejstvuje sila trenja klizanja. Poto sila trenja klizanja uvijek ima smjer suprotan od smjera pomjeranja take M, rad sile trenja je:

    0 0

    0,1

    M M

    M M

    A F ds Nds Sila trenja klizanja nije konzervativna sila.

    Kinetike energija matrijalne take: Kinetike energija matrijalne take je veliina jednaka polovini proizvoda mase take i kvadrata njene brzine

    212k

    E mv Jedinica za kinetiku energiju je ista kao za rad sile, tj. dul [J]. Zakon o promjeni kinetike energije Posmatrajmo kretanje materijalne take mase m na koju dejstvuje sistem sila 1 2, ,.., nF F F

    . Polazei od

    Njutnove jednaine 1

    n

    ii

    ma F

    i njenim projektovanjem na pravac tengente dobijamo cos ,t it i idvma m F F ds F vdt odnosno itdv dsm Fds dt ,

    itdvmv Fds

    , itmvdv F ds , Poto je m=const lijeva strana jednaine se moe napisati kao 21

    2d mv , a desna strana predstavlaj zbir

    elementarnih radova sila koje dejstvuju na taku, tj. k idE dA .

    Ova jednaina izraava zakon o promjeni kinetike energije matreijalne take u diferencijalnom obliku: Prirataj kinetike energije na elementarnom pomjeranju materijalne take jednak je algebarskom zbiru radova svih sila koje dejstvuju na taku na tom pomjeranju. Integraljenjem jednaine izmeu dva konana razliita poloaja take M0 i M1

    1 10 0

    cos ,v M

    i iv M

    m vdv F ds F t dobija se 2201

    0,12 2 imvmv A odnosno 2 1 0,1k k iE E A .

  • 11

    Ova jednaina izraava zakon o promjeni kinetike energije matrijalne take u konanom ili integralnom obliku: Promjena kinetike energije materijalne take pri pomjeranju take izmeu dva poloaja, jednaka je zbiru radova svih sila koje dejstvuju na taku pri tom pomjeranju.

    Konzervativne (potencijalne) sile: Sila F

    , odnosno njene projekcije, moe da zavisi od pomjeranja njene napadne take, tj. da zavisi od poloaja take. Poseban sluaj ove zavisnosti je kada postoji takva funkcija , ,U x y z koordinata napadne take sile, da se sila F moe izraziti u obliku gradijenta ove funkcije:

    U U UF grad U i j kx y z

    gdje su projekcije sile na ose jednake parcijalnim izvodima funkcije U,

    , ,U U UX Y Zx y z

    .

    Skalarna funkcija , ,U x y z naziva se funkcija sile, a sila F je u tom sluaju konzervativna sila. Ako je sila konzervativna, onda mora biti zadovoljeno

    2 2 2

    , ,X U Y X U Z Y U Zy x y x z x z x z y z y

    Ove jednaine se mogu krae zapisati preko rotora sile

    0

    i j k

    rot Fx y z

    X Y Z

    .

    Znai, sila F e biti konzervativna ako zavisi od poloaja i ako je 0rot F . Elemenatrni rad konzervativne sile F

    na pomjeranju dr jednak je totalnom diferencijalu funkcije sile:

    U U U U U UdA F dr i j k dxi dyj dzk dx dy dz dUx y z x y z

    .

    Rad konzervativne sile F

    na konanom pomjeranju take iz poloaja M0(x0,y0,z0) u poloaj M(x,y,z) je

    0

    0

    0 0 0 0, , , ,M

    M MM

    A dU U x y z U x y z U U , Rad konzervativne sile zavisi samo od vrijednosti funkcije sile (odnosno potencijalne energije) u krajnjem i poetnom poloaju, a ne zavisi od oblika putanje kojom se napadna taka sile kretala. esto se u mehanici umjesto funkcije sile U koristi potencijalna energija Ep(x,y,z), koja je jednaka funkciji sile sa negativnim predznakom, tj. pE U . U tom smislu se rad konzervativne sile moe iskazati i preko potencijalne energije

    0

    0 0

    0

    M M

    M M p p pM M

    A dU dE E E tj. rad sila konzervativnog polja pri nekom pomjeranju materijalne take jednak je razlici vrijednosti potencijalne energije take u njenom poetnom i krajnjem poloaju. Potencijalna energija materijalne take u bilo kojem njenom poloaju jednaka je radu koji izvre sile konzervativnog pola, koje dejstvuju na taku, pri pomjeranju take iz datog u nulti poloaj. Potencijalna energije take u nultom poloaju je jednaka nuli, tj. Ep0=0.

  • 12

    DINAMIKA MATERIJALNOG SISTEMA I KRUTOG TIJELA

    MATERIJALNI SISTEM. PODJELA SILA KOJE DEJSTVUJU NA MATERIJALNI SISTEM

    Skup materijalnih taaka obrazuje materijalni sistem. Diskretan materijalni sistem obrazuju materijalne take koje se nalaze na meusobno konanim rastojanjima. Ako su mase neprekidno rasporeene u nekom dijelu prostora, tada taaka ima beskonano mnogo i sistem obrazuje neprekidnu sredinu. Oblast prostora ispunjena neprekidno rasporeenom masom predstavlja materijalno tijelo. Materijalni sistem moe biti obrazovan ne samo od skupa materijalnih taaka, ve i od skupa materijalnih tijela. Sve sile koje dejstvuju na take sistema mogu se podijeliti na spoljanje i unutranje sile. Spoljanje sile su sile kojima materijalne take ili tijela koja ne ulaze u sastav sistema dejstvuju na materijalne take ili tijela posmatranog materijalnog sistema, sF

    .

    Unutranje sile su sile kojima dejstvuju jedna na drugu materijalne take (tijela) posmatranog sistema, uF

    .

    Neke osobine unutranjih sila koje dejstvuju na sistem: 1) Vektorski zbir (glavni vektor) svih unutranjih sila materijalnog sistema jednak je nuli

    1

    0n

    u uR i

    iF F

    2) Vektorski zbir momenata (glavni moment) svih unutranjih sila materijalnog sistema u odnosu na proizvoljno izabrani pol o jednak je nuli

    1 10

    uuiR

    n nFF u

    O O i ii i

    M M r F

    .

    GEOMETRIJA MASA. MASA MATERIJALNOG SISTEMA. SREDITE (CENTAR) MASA

    Kretanje materijalnog sistema osim sila koje dejstvuju na njega zavisi i od ukupne mase sistema i od rasporeda mase u tom sistemu. Masa materijalnog sistema jednaka je algebarskom zbiru masa svih taaka ili tijela, koje obrazju sistem

    1

    n

    ii

    m m

    Raspored masa materijalnog sistema prevashodno je okarkterisan poloajem take koja se naziva sredite masa ili centar inercije materijalnog sistema. Sredite masa ili centar inercije materijalnog sistema sainjenog od n materijalnih taaka jeste geometrijska taka C iji je poloaj u odnosu na izabrani sistem referencije Oxyz odreen vektorom

    1

    n

    i ii

    C

    m rr

    m

    .

    Veliina 1

    n

    i ii

    m r naziva se statiki moment masa taaka sistema. Poloaj sredita C masa mogue je odrediti

    pomou Deakrtovih koordinata te take, tj. projektovanjem vektroske jednaine na ose Dekartovog koordinatnog sistema Oxyz

    1 1 1, ,

    n n n

    i i i i i ii i i

    C C C

    m x m y m zx y z

    m m m

    Oigledno je da poloaj sredita masa C sistema zavisi samo od rasporeda masa taaka sistema, a ne zavisi od toga da li na razmatrani sistem dejstvuju ili ne dejstvuju sile, niti zavisi od izbora sistema referencije.

  • 13

    Ako sistem obrazuju kruta tijela, onda se na ovaj nain moe odrediti i poloaj teita sistema krutih tijela. Teite krutog tijela, odnosno neizmjenljivog materijalnog sistema, poklapa se sa sreditem masa sistema. Sredite masa je optiji pojam od teita, jer teite je definisano samo za kruto tijelo, dok sredite masa kako karakteristika rasporeda masa se odnosi na bilo koji materijalni sistem, izmjenljiv ili neizmjenljiv.

    MOMENTI INERCIJE MATERIJALNOG SISTEMA (POLARNI, AKSIJALNI, PLANARNI)

    Pri translatornom kretanju materijalnog sistema ili krutog tijela, mjera inercije jeste masa sistema (tijela), a karakteristika rasporeda masa u tom sluaju jeste sredite C masa ili centar inercije materijalnog sistema. Meutim, pri obrtnom kretanju materijalnog sistema, odnosno krutog tijela mjera inercije jeste moment inercije, koji takoe predstavlja karakteristiku rasporeda masa. Moment inercije materijalnog sistema odnosno krutog tijela u odnosu na dati pol O (polarni moment inercije), osu z (aksijalni moment inercije) ili ravan (planarni moment inercije) naziva se skalarna veliina koja je jednaka zbiru proizvoda masa svih taaka sistema i kvadrata rastojanja taaka od datog pola O, ose z ili ravni :

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    n

    O i iin

    z i izi

    n

    i ii

    I m r polarni moment inercije

    I m r aksijalni moment inercije

    I m r planarni moment inercije

    U SI sistemu mjera jedinica mjere za moment inercije je kilogram metar na kvadrat 2I kgm . Ako materijalni sistem predstavlja homogeno kruto tijelo, onda je potrebno tijelo (u mislima ) rastaviti na konaan broj elementarnih dijelova i odrediti priblini momenet inercije po datim formulama, a zatim izraunati graninu vrijednost priblinog momenta inercije, pretpostavljajui da broj dijelova n na koje smo tijelo rastavili tei beskonanosti. Moment inercije homogenog tijela u odnosu na proizvoljnu osu je

    2 2

    10

    limi

    n

    z i iz zn i Vm

    I m r r dm

    gdje se integral odnosi na cio obim V tijela. Ako posmatramo materijalni sistem, onda je aksijalni moment inercije tog sistema u odnosu na osu Ox odreen sa

    2 2 21 1

    n n

    Ox i ix i i ii i

    I m r m y z

    , jer je 2 2 2ix i ir y z . Analogno je

    2 2 2 2 2 21 1 1 1

    ,n n n n

    Oy i iy i i i Oz i iz i i ii i i i

    I m r m x z I m r m x y

    . Polarni moment inercije je

    2 2 2 21 1

    n n

    O i i i i i ii i

    I m r m x y z

    . Sabiranjem aksijalnih momenta inercije za ose Ox, Oy i Oz dobije se

    2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

    2

    2

    n n n n

    i i i i i i i i i i i i ii i i i

    Ox Oy Oz O

    m y z m x z m x y m x y z

    I I I I

  • 14

    tj. zbir aksijalnih momenata inercije materijalnog sistema za tri koordinatne ose Dekartovog pravouglog sistema referencije jednak je dvostrukom polarnom momentu inercije tog sistema za pol O koji se nalazi u koordinatnom poetku datog referentnog sistema. Za homogeno kruto tijelo momenti inercije definisani su sa

    2 2 2 2 2 2

    2 2 2

    , ,Ox Oy OzV V V

    OV

    I y z dm I x z dm I x y dm

    I x y z dm

    Odreivanje momenta inercije nehomogenih tijela ne vri se koritenjem ovih formula, ve eksperimentalnim metodama. Moment inercije sistema u odnosu na proizvoljnu osu z mogue je izraziti u obliku proizvoda mase sistema i kvadrata linearnog rastojanja od te ose, tj. poluprenika inercije u odnosu na tu osu

    2z zI m

    Ukoliko je poznat moment inercije sistema za osu, onda se poluprenik inercije tog sistema za osu odreuje formulom

    zz

    Im

    . Poluprenik inercije sistema je geometrijski jednak rastojanju od ose one take u koju treba koncentrisati cjelokupnu masu sistema, da bi moment inercije te take bio jednak momentu inercije datog sistema u odnosu na tu osu.

    ZAVISNOST IZMEU MOMENATA INERCIJE SISTEMA U ODNOSU NA DVIJE PARALELNE OSE. HAJGENS-TAJNEROVA TEOREMA

    Da bi odredili moment inercije sistema u odnosu na osu z1 koja je paralelna osi Cz koja prolazi kroz sredite masa C sistema, postavimo sistem referencije Cxyz sa poetkom u taki C (sredite masa sistema). Aksijalni momenti inercije u odnosu na ose z i z1 su

    1 1 22 2 2 2 21 1 1 1

    ,n n n n

    Cz i iz i i i z i iz i i ii i i i

    I m r m x y I m r m x y d

    odnosno

    1

    2

    1 12

    n n

    z Cz i i ii i

    I I d m d m y

    Na osnovu poznate koordinate Cy sredita masa C sistema

    1

    n

    C i ii

    my m y

    , a kako je taka C usvojena za poetak sistema referencije Cxyz, to je 0Cy , moe se napisati

  • 15

    1

    2z CzI I md

    Ova formula izraava Hajgens-tajnerovu teoremu: Moment inercije materijalnog sistema (tijela) za neku osu jednak je zbiru iz momenta inercije tog sistema (tijela) u odnosu na paralelnu osu koja prolazi kroz sredite masa sistema (teite krutog tijela) i proizvoda mase sistema i kvadrata rastojanja izmeu tih osa (zbir iz sopstvenog momenta inercije i poloajnog momenta inercije). Iz ove formule slijedi da je

    1zI CzI , tj. najmanji je moment inercije za osu koja prolazi kroz sredite masa

    sistema . Moment inercije za osu koja prolazi kroz sredite masa sistema naziva se sopstveni moment inercije.

    MOMENT INERCIJE ZA OSU PROIZVOLJNOG PRAVCA KROZ DATU TAKU

    Izvedimo moment inercije za osu u koja prolazi kroz taku O (koordinatni poetak) i koja sa osama x,y,z zaklapa uglove , , . Jedinini vektor ou ose u ima projekcije cos, cos i cos. Ako je h rastojanje elementarne mase dm od ose u , onda je elementarni moment inercije za osu u

    2udI h dm ,

    a moment inercije tijela za osu u je

    2u

    V

    I h dm . Rastojanje h se iskae kao intenzitet vektorskog proizvoda vektora poloaja r i jedininog vektora ou :

    sin sino or u ru r h ili se kvadrat ratojanja h 2 iskae analitiki

    22

    2 2 2

    2 2 2 2 2 2 2 2 2

    cos cos cos

    cos cos cos cos cos cos

    cos cos cos

    2 cos cos 2 cos cos 2 cos cos

    o

    i j kh r u x y z

    y z z x x y

    y z x z x y

    xy yz xz

    Ako sada h2 zamijenimo u integralu kojim definiemo moment inercije tijela i izdvojimo konstante ispred integrala, dobijemo

  • 16

    2 2 2 2 2 2 2 2 2

    2 2 2

    cos cos cos

    2cos cos 2cos cos 2cos cos

    cos cos cos 2 cos cos 2 cos cos 2 cos cos

    uV V V

    V V V

    x y z xy yz xz

    I y z dm x z dm x y d

    xydm yzdm xzdm

    I I I I I I

    Veliine , ,xy yz xzI I I nazivaju se centrifugalni momenti inercije (mogu biti vei ili manji od nule ili jednaki nuli):

    , ,xy yx yz zy xz zxV V V

    I I xydm I I yzdm I I xzdm , centrifugalni momenti inercije. Negativne vrijednosti centrifugalnih momenata inercije nazivaju se proizvodi inercije:

    , ,xy yx yz zy xz zxV V V

    I I xydm I I yzdm I I xzdm , proizvodi inercije. Devet veliina: , , , , ,x y z xy yx yz zy xz zxI I I I I I I I I (od kojih je nezavisnih est) karakteriu inercijska svojstva tijela pri rotaciji (invarijantnu osobinu tijela pri njegovoj rotaciji) i nazivaju se tenzor inercije tijela (matrica inercije):

    x xy xz

    yx y yz

    zx zy z

    I I II I I I

    I I I

    .

    OPTI ZAKONI DINAMIKE METERIJALNOG SISTEMA

    ZAKON O KRETANJU SREDITA MASA MATERIJALNOG SISTEMA

    Posmatramo kretanje materijalnog sistema sainjenog od n taaka na koje dejstvuju spoljanje i unutranje sile. Za svaku taku sistema, ako ih posmatramo kao slobodne, mogu se napisati diferencijalne jednaine kretanja saglasno II Njutnovom zakonu

    1 1 1 1

    2 2 2 2

    .......................

    s u

    s u

    s un n n n

    m a F F

    m a F F

    m a F F

    Sabiranjem jednaina za sve take sistema dobije se

    1 1 1 11 1 1

    n n ns u

    i i im a F F

    Kako je osobina unutranjih sila da je 1

    0n

    u uR i

    iF F

    , a iz vektora poloaja sredita masa C

    1

    n

    C i ii

    mr m r

    se diferenciranjem po vremenu dobije 1 1

    n n

    C C i i i ii i

    mr ma m r m a

    , moe se napisati

  • 17

    1

    ns s

    C i Ri

    ma F F

    Ova jednaina izraava zakon o kretanju stedita masa materijalnog sistema: Sredite masa C (centar inercije) materijalnog sistema kree se kao materijalna taka sa masom jednakom zbiru masa svih taaka sistema na koju dejstvuje glavni vektor svih spoljanjih sila sistema. Zakon o odranju kretanja sredita masa materijalnog sistema: Ako na razmatrani materijalni sistem dejstvuje takav sistem sila da je za sve vrijeme kretanja vektorski zbir

    spoljanjih sila jednak nuli, 1

    0n

    s sR i

    iF F

    , onda je

    10, 0

    ns s

    C i R C Ci

    ma F F a v const

    Ako je glavni vektor spoljanjih sila koje dejstvuju na metrijalni sistem jednak nuli za sve vrijeme kretanja, onda se sredite masa sistema kree ravnomjerno pravolinijski.

    ZAKON O PROMJENI KOLIINE KRETANJA MATERIJALNOG SISTEMA Koliina kretanja materijalnog sistem jednaka je vektorskom zbiru koliina kretanja svih taaka razmatranog sistema

    1 1

    n n

    i i ii i

    K K m v

    , a kako je brzina i-te take sistema ii drv dt

    , moe se napisati

    1 1

    n ni C

    i i i C Ci i

    dr drd dK m m r mr m mvdt dt dt dt

    Vektor koliine kretanja materijalnog sistema jednak je proizvodu iz mase sistema i vektora brzine sredita masa materijalnog sistema i ima pravac i smjer vektora brzine sredita masa sistema. Koliina kretanja karakterie samo translatorno kretanje materijalnog sistema, odnosno krutog tijela. Diferenciranjem vektora koliine kretanja materijalnog sistema dobije se

    sCC C RdvdK d mv m ma Fdt dt dt

    , odnosno

    1

    ns s

    R ii

    dK F Fdt

    Ova jednaina izraava zakon o promjeni koliine kretanja materijalnog sistema u diferencijalnom obliku: Izvod po vremenu vektora koliine kretanja materijalnog sistema jednak je glavnom vektoru spoljanjih sila koje dejstvuju na sistem. Promjenu koliine kretanja materijalnog sistema, prema tome, izazivaju samo spoljanje sile koje dejstvuju na sistem.

    Iz sRdK F dt

    , integraljenjem za neki vremenski interval u granicama od t0 do t, dobijemo

    0 0 0 0

    01

    t t t tns s s

    R R iit t t t

    dK F K t K t F dt F dt

    , odnosno 0

    1

    ns s

    ii

    K K I I

    Jednaina izraava zakon o promjeni (prirataju) koliine kretanja metrijalnog sistema u konanom (integralnom) obliku: Prirataj koliine kretanja materijalnog sistema u konanom intervalu vremena jednak je vektrskom zbiru impulsa svih spoljanjih sila koje dejstvuju na sistem u tom intervalu vremena.

  • 18

    Zakon o odranju koliine kretanja materijalnog sistema: Ako na razmatrani materijalni sistem dejstvuje takav sistem sila da je za sve vrijeme kretanja vektorski zbir

    spoljanjih sila jednak nuli, 1

    0n

    s sR i

    iF F

    , onda je

    0sR C CdK F K mv const v constdt

    ,

    tj. brzina sredita masa je konstantna ili jednaka nuli ako je u poetnom trenutku 0 0Cv .

    ZAKON O PROMJENI KINETIKOG MOMENTA (MOMENTA KOLIINE KRETANJA) MATERIJALNOG SISTEMA

    Kinetiki moment materijalnog sistema: Kinetiki moment materijalnog sistema u odnosu na nepokretni pol jednak je vektorskom zbiru kinetikih momenata svih taaka metrijalnog sistema u odnosu na isti pol, tj.

    1 1

    n n

    O iO i i ii i

    L L r m v

    . Veza izmeu kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na nepokretni pol i kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na sredite masa sistema:

    Ako sistem vri sloeno kretanje onda se to kretanje moe razloiti na prenosno translatorno kretanje koje se vri zajedno sa pokretnim sistemom referencije Cx1y1z1 sa sreditem C kao koordinatnim poetkom i relativno kretanje sistema u odnosu na pokretni sistem referencije Cx1y1z1. Poloaj proizvoljne take Mi sistema u odnosu na nepokretni sistem referencije Oxyz odreen je vektorom poloaja i C ir r . Apsolutna brzina take Mi odreena je prvim izvodom po vremenu vektora poloaja

    ii C i C irdr dv r v vdt dt

    ,

    Pa se kinetiki moment materijalnog sistema u odnosu na nepokretni pol moe napisati kao

    1 1

    1 1 1 1

    1 1 1 1

    1

    n n

    O i i i C i i C i iri in n n n

    C i C C i ir i i C i i iri i i i

    n n n n

    C C i C i ir i i C i i iri i i i

    n

    C C C i ii

    L r m v r m v m v

    r m v r m v m v m v

    r v m r m v m v m v

    dr mv r mdt

    1 1

    n n

    i i C i i iri i

    m v m v

    Poto je poloaj sredita materijalnog sistema u odnosu na pokretni sistem referencije Cx1y1z1 odreen sa

    1

    n

    C i ii

    m m

    , a kako je poetak pokretnog koordinatnog sistema upravo sredite C, onda je 0C , pa je kinetiki moment sistema

    1

    n

    O C C i i ir C Cri

    L r mv m v r K L

  • 19

    gdje su: CK mv

    -vektor koliine kretanja materijalnog sistema, 1

    n

    Cr i i iri

    L m v

    - kinetiki moment materijalnog sistema u odnosu na sredite masa C sistema. Prema tome: Pri proizvoljnom kretanju materijalnog sistema kinemtiki moment materijalnog sistema u odnosu na nepokretni pol O jednak je vektorskom zbiru momenta vektora koliine kretanja sredita masa sistema ( CK mv

    ) u odnosu na nepokretni pol O i kinetikog moment materijalnog sistema u odnosu na

    sredite masa sistema pri relativnom kretanju sistema u odnosu na sredite masa C. Zakon o promjeni kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na nepokretni pol Za i-tu taku sistema, zakon o promjeni kinetikog momenta u odnosu na nepokretni pol O je

    s ui iF FiO

    O OdL M Mdt

    Ovakva jednaina moe se napisati za svaku taku sistema i kada izvrimo vektorsko sabiranje svih tih jednaina dobije se

    1 1 1

    s ui i

    n n nF FiOO O

    i i i

    dL M Mdt

    , odnosno 1 1 1

    s ui i

    n n nF F

    iO O Oi i i

    d L M Mdt

    , a kako je vektorski zbir momenata unutranjih sila u odnosu na pol O jednak nuli, dobije se

    1

    si

    nFiOO

    i

    dL Mdt

    .

    Ova jednaina izraava zakon o promjeni kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na nepokretni pol: Izvod po vremenu vektora kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na nepokretni pol jednak je vektorskom zbiru momenata (glavnom momentu) svih spoljanjih sila koje dejstvuju na sistem u odnosu na isti nepokretni pol O.

    ZAKON O PROMJENI KINETIKE ENERGIJE MATERIJALNOG SISTEMA (KRUTOG TIJELA)

    Kinetika energija

    Kinetika energija materijalnog sistema jednaka je zbiru kinetikih enegrija Eki svih materijalnih taaka tog sistema:

    2

    1 1

    12

    n n

    k ki i ii i

    E E m v

    gdje je vi apsolutna brzina materijalne take. Proizvoljno apsolutno kretanje materijalnog sistema u odnosu na nepokretni sistem referencije Oxyz.moe se posmatrati kao zbir iz translatornog kretanja sistema zajedno sa pokretnim sistemom referencije Ax1 y1 z1 i relativnog kretanja materijalnog sistema u odnosu na pokretni sistem referencije Ax1 y1 z1. Poloaj proizvoljne take Mi u odnosu na nepokretni sistem referencije Oxyz odreen je sa i A ir r , a apsolutna brzina take Mi je vektorski zbir brzine pola A i relativne brzine take Mi u odnosu na pol A

    i A irv v v

    Kinetike energije sistema je

  • 20

    21 1 1 1

    2 2

    1 1 1 1 1 1

    1 1 12 2 2

    1 1 1 12 2 2 2

    n n n n

    k ki i i i i i i A ir A iri i i i

    n n n n n n

    i A A i A ir i ir ir A i i A ir i iri i i i i i

    E E m v m v v m v v v v

    m v v m v v m v v v m m v v m v

    Zbir u sredini izraza je

    1 1 1

    n n n

    i A ir A i ir A i ir A C A Cri i i

    d dm v v v m v v m v m mv vdt dt

    gdje je Crv

    relativna brzina sredite masa materijalnog sistema u odnosu na pokretni sistem referencije.

    Ako se za koordinatni poetak pokretnog sistema referencije izabere upravo sredite masa C materijalnog sistema, onda je A Cv v , a relativna brzina sredita jednaka je nuli 0Crv , tako da je kinetike energija materijalnog sistema:

    2 2

    1

    1 12 2

    n

    k C i iri

    E mv m v

    Ova jednaina izraava Kenigovu teoremu o kinetikoj energiji materijalnog sistema: Kinetika energija metrijalnog sistema pri njegovom proizvoljnom apsolutnom kretanju jednaka je algebarskom zbiru iz

    kinetike energije 212 C

    mv sredita masa materijalnog sistema, pretpostavljajui da je u sreditu C

    koncentrisana cjelokupna masa sistema, i kinetike energije 21

    12

    n

    i iri

    m v pri relativnom kretanju materijalnog

    sistema u odnosu na pokretni sistem referencije Cx1 y1 z1 (koji se translatorno kree u odnosu na nepokretni sistem referencije). Primjenom Kenigove teoreme mogu se izvesti izrazi za kinetiku energiju krutog tijela pri translatornom kretanju, pri obrtanju oko nepokretne ose, pri ravnom kretanju i pri optem kretanju. Kako homogeno kruto tijelo predstavlja neizmjenljivi materijalni sitem sa neprekidnim rasporedom mase, kinetika energije krutog tijela rauna se kao

    212k V

    E v dm . Translatorno kretanje tijela: Pri transaltornom kretnju krutog tijela sve take tijela kreu se na isti nain, tj.imaju iste brzine, pa je

    2 2 21 1 12 2 2k V V

    E v dm v dm mv Obrtanje tijela oko nepokretne ose: Pri obrtanju tijela oko nepokretne ose take tijela se kreu po krunim putanjama sa centrom na obrtnoj osi, a intenziteti brzina su v r , tako da je kinetike energija tijela

    22 2 2 21 1 1 12 2 2 2k zV V V

    E v dm r dm r dm I gdje je zI moment inercije tijela u odnosu na obrtnu osu Oz. Ravno kretanje krutog tijela: Kako se ravno kretanje tijela moe razloiti na translatorno kretanje tijela zajedno sa teitem C i na relativno obrtno kretanje tijela oko ose C koja prolazi kroz teite, onda je relativna brzina i-te take tijela u odnosu na sredite C, Cir i iv v , pa je kinetika energija tijela

    2 21 12 2k C C

    E mv I

  • 21

    gdje je 212 C

    mv kinetika energije usljed translatornog kretanja, a 212 C

    I je kinetika energija usljed obrtanja tijela oko ose C koja ne mijenja svoj poloaj u odnosu na tijelo, pa se ne mijenja ni moment inercije CI u odnosu na tu osu.

    Ako se iskoristi izraz za brzinu centra mase C i tajnerova teorema, kinetike energija tijela je

    2 22 2 21 1 1 12 2 2 2k v C v C PvE m CP I mCP I I gdje je PvI moment inercije tijela za osu koja prolazi kroz trenutni pol brzina Pv. Ovaj izraz izraava injenicu da se ravno kretanje moe predstavi kao trenutno obrtanje oko ose kroz trenutni pol brzina Pv.

    Meutim, kako se poloaj trenutnog pola brzina mijenja tokom kretanja tijela, tako se mijenja i moment inercije tijela za osu koja prolazi kroz pol brzina, pa nije uvijek zgodno odrediti kinetiku energiju tijela ovim obrascem. Opte kretanje krutog tijela: Opte kretanje krutog tijela moe se predstaviti kao sloeno kretanje sastavljeno od translatornog kretanja tijela zajedno sa teitem C tijela i relativnog obrtanja oko take C, odnosno trenutne obrtne ose koja prolazi kroz taku C tijela i koja mijenja pravac tokom kretanja. Kinetika energija tijela je

    2 21 12 2k C

    E mv I gdje je I moment inercije tijela u odnosu na trenutnu obrtnu osu C koja prolazi kroz teite krutog tijela. Kinetika energija sistema krutih tijela odreena je zbirom kinetikih energija pojedinih tijela koja obrazuju sistem

    1

    n

    k kii

    E E

    . Rad sila koje dejstvuju na kruto tijelo: a) Translatorno kretanje tijela:

    Ukupni elementarni rad sila je: s s s

    i i i RdA dA F dr dr F F dr Rad sila na konanom pomjeranju je: 1,2

    1

    IIns

    ii I

    A F dr

    b) Obrtanje tijela oko nepokretne ose:

    Silu siF

    koja dejstvuje na i-tu taku tijela moemo razloiti u pravcu osa prirodnog trijedra, tako da je elementarni rad i-te sile: siFs s s s s si i i it in ib i it i it i zdA F dr F F F ds T F ds F rd M d Ukupni elementarni rad svih sila koje dejstvuju na tijelo je:

    siF

    i z zdA dA M d M d Rad svih sila koje dejstvuju na tijelo pri konanom obrtanju je:

    0

    zA M d

  • 22

    c) Ravno kretanje tijela:

    Kako se ravno kretanje sastoji iz translatornog kretanja tijela sa izabranim polom i obrtanja tijela oko ose koja prolazi kroz izabrani pol, ako sve sile koje dejstvjuju na tijelo redukuju na pol (teite C) dobie se glavni vektor spoljanjih sila i glavni moment sila, pa je elementarni rad sila odreen sa

    sR C CdA F dr M d

    ,

    gdje je s

    iFC CM M glavni moment spolj. sila u odnosu na osu koja prolazi kroz teite a upravna je

    na ravan kretanja. Rad spoljanjih sila na konanom pomjeranju tijela je: 0

    II

    I

    Cs

    R C CC

    A F dr M d

    . d) Opte kretanje krutog tijela:

    U sluaju opteg kretanja tijelo se obre oko take C koja se takoe kree u prostoru, rad vri i glavni vektor i glavni moment spoljanjih sila

    sCsR MrdFA gdje je

    n

    i

    Fs siMM1

    glavni moment spoljanjih sila u odnosu na

    trenutnu obrtnu osu koja prolazi kroz pokretni pol C tijela. Zakon o promjeni kinetike energije sistema Za i-tu taku sistema moe se napisati zakon o promjeni kinetike energije

    2 20

    1 12 2

    s ui i i i i im v m v A A

    gdje je siA rad svih spoljanjih sila koje dejstvuju na taku i uiA rad svih unutranjih sila koje dejstvuju na taku. Sabiranjem jednaina za sve take sistema dobije se

    2 20

    1 1 1 1

    01 1

    1 12 2

    n n n ns u

    i i i i i ii i i i

    n ns u

    k k i ii i

    m v m v A A

    E E A A

    Jednaina iskazuje zakon o promejni kinetike energije u konanom obliku za izmjenljivi materijalni sistem: Prirataj kinetike energije izmjenljivog materijalnog sistema pri njegovom pomjeranju iz poetnog u krajnji poloaj jednak je zbiru radova svih spoljanjih i unutranjih sila koje dejstvuju na izmjenljivi sistem na tom pomjeranju. Treba primijetiti da promjena kinetike energije sistema zavisi i od unutranjih sila, tj.rad unutranjih sila razliit je od nule u sluajevima kada se pri kretnju tijela deformiu ili ako su unutranje veze ostvarene preko elastinih elemenata-opruga, rastegljivih uadi i sl. U sluaju neizmjenljivog sistema rad unutranjih sila jednak je nuli,

    10

    nui

    iA

    , pa je zakon

    01

    ns

    k k ii

    E E A

    tj. prirataj kinetike energije neizmjenljivog materijalnog sistema na nekom njegovom pomjeranju jednak je zbiru radova svih spoljanjih sila koje dejstvuju na neizmjenljivi sistem na tom pomjeranju.

  • 23

    Zakon o promjeni kinetike energije moe se napisati i u diferenicijalnom obliku: 21

    2s u

    i i i i i

    s uk i i

    sk i

    d m v F dr F dr

    dE dA dA za izmjenljivi sistem

    dE dA za neizmjenljivi sistem

    Diferencijal kinetike energije materijalnog sistema jednak je zbiru elementarnih radova svih spoljanjih sila i unutranjih sila koje dejstvuju na sistem. Zakon o odranju mehanike energije Ako sve sile koje vre rad pri kretanju tijela predstavljaju konzervativne sile, onda se njihov elementarni rad moe izraziti kao totalni diferencijal funkcije sile U(x,y,z), odnosno pomou potencijalne energije Ep:

    pdA dU dE Iz zakona o promjeni kinetike energije imamo:

    k pdE dA dE odakle je 0k p k pd E E E E E const Pri kretanju materijalnog sistema pod dejstvom konzervativnih (potencijalnih) sila, zbir kinetike i potencijalne energije (mehanika energija) sistema ostaje nepromjenjen za sve vrste kretanja.

    ELEMENTI ANALITIKE MEHANIKE

    GENERALISANE (UOPTENE) KOORDINATE.

    BROJ STEPENI SLOBODE MATERIJALNOG SISTEMA Broj stepeni slobode kretanja materijalnog sistema jeste broj nezavisno promjenljivih koordinata koje potpuno odreuju poloaj svih taaka tog sistema u prostoru, tj. koje odreuju poloaj sistema.

    Ako posmatramo sistem od n materijalnih taaka, onda taj sistem ima 3n Dekartovih koordinata (x1,y1,z1, x2,y2,z2,..., xn,yn,zn) jer svakoj taki odgovoraju po tri koordinate. Neka je broj holonomnih veza izmeu koordinate taaka jednak r i neka su jednaine veze zapisane u obliku, tako da indeks p oznaava redni broj veze

    1 1 1 2 2 2, , , , , ,..., , , 0, 1, 2,...,p n n nf x y z x y z x y z p r . Ako je broj veza jednak ukupnom broju koordinata, tj. r=3n, to znai da se sistem nee kretati i prethodnim jednainama su odreene sve 3n koordinate materijalnog sistema. Da bi se sistem mogao kretati potrebno je da broj veza r bude manji od 3n (broj koordinata). U sluaju kada je r3n nisu sve koordinate taaka sistema nezavisne meu sobom, jer se na osnovu r jednaina veza moe r koordinata izraziti pomou ostalih (3n-r) koordinata. Stoga se (3n-r) koordina sistema mogu se razmatrati kao nezavisno promjenljive, koje mogu uzimati proizvoljne vrijednosti i koje potpuno odreuju poloaj sistema, a ostalih r koordinata odreuje se preko jednaina veze kao funkcija tih nezavisnih koordinata. Broj nezavisnih koordinata materijalnog sistema jednak je broju stepeni slobode sistema i odreuje se

    3s n r , gdje n broj taaka sistema a r je broj holonomnih veza. Nezavisni parametri iji je broj jednak broju stepeni slobode materijalnog sistema 3s n r i pomou kojih se moe u svakom trenutku jednoznano odrediti poloaj sistema, nazivaju se generalisane koordinate sistema. Pri opisisvanju poloaja taaka materijalnog sistema nije neophodno koristiti iskljuivo Dekartove koordinate, nego je esto zgodnije uoiti skup od s nezavisno promjenljivih generalisanih koordinata, koje

  • 24

    mogu imati karakter pravolinijskih koordinata, rastojanja ili uglova, preko kojih je potpuno odreen poloaj svake take sistema. Preko generalisanih koorinata q1, q2,.., qs (s-broj stepeni slobode sistema) mogu se izraziti i Dekartove koordinate svake take sistema

    1 2, ,..,i i sr r q q q , 1,2,..,i n . Na osnovu definicije generalisanih koordinata kretanje materijalnog sistema bie potpuno odreeno ako su generalisane koordinate qk poznate funkcije vremena

    1 1 2 2, , ..., .s sq q t q q t q q t

    VIRTUALNO (MOGUNO) POMJERANJE MATERIJALNOG SISTEMA

    Virtualno ili moguno pomjeranje materijalnog sistema naziva se svako zamiljeno beskonano malo pomjeranje taaka sistema koje u datom trenutku doputaju veze kojima je sistem podvrgnut. Drugim rijeima, virtulano pomjeranje je svako zamiljeno beskonano malo pomjeranje taaka sistema koje bi te take mogle da izvre u datom trenutku iz datog poloaja ne naruavajui veze. Virtualno ili moguno pomjeranje jeste geometrijski pojam jer to pomjeranje ne zavisi od dejstva sile na sistem, ve zavisi samo od karaktera veza kojima je sistem podvrgnut. Posmatrajmo materijalnu taku M koja se kree po nepokretnoj povrini ija jednaina , , 0f x y z predstavlja jednainu holonomne stacionarne veze zadravajue veze. Taka ima dva stepena slobode, jer su od tri koordinate take dvije nezavisne, a trea se odreuje pomou jednaine veze. Zamislimo da je vrijeme t prestalo da se mijenja i razmotrimo u kojim se sve pravcima taka moe pomjerati po povrini. Vektor r beskonano malog pomjeranja take M pri kome ona ne naputa datu povr jeste vektor virtualnog pomjeranja i on je usmjeren po tangenti na povr u taki M u bilo kom pravcu. Stvarno pomjeranje take M po povri zavisi kako od sila koje dejstvuju na taku i karaktera veze tako i od poetnih uslova kretanja i ono je funkcija vremena.

    U sluaju stacionarnih veza (veze koje ne zavise od vremena) pravac vektora stvarnog pomjeranja dr poklapa se sa pravcem jednog od vektora virtualnog pomjeranja, dok u sluaju nestacionarnih veza stvarno pomjeranje dr take se uopte ne poklapa ni sa jednim od mogunih pomjeranje take M. Pri stavrnom pomjeranju take M vektor pomjeranja dr je diferencijal funkcije poloaja r r t ,

    dr dx i dy j dzk Vektor virtulanoh pomjeranja take M po svom smislu je varijacija funkcije r r t pri emu se promjena funkcije odreuje pri konstantnoj vrijednosti argumenta vremena t, pa je

    r x i y j zk gdje su , ,x y z varijacije koordinata , ,x y z take M. Prve varijacije formalno se odreuju na isti nain kao i diferencijali , ,dx dy dz funkcije, pri emu se vrijeme smatra konstantnim.

  • 25

    Ako se poloaj taaka sistema izrazi neposredno preko generalisanih koordinata, tada je kretanje sistema podvrgnutog stacionarnim vezama odreeno sa konanim jednainama kretanja , 1, 2,..,k kq q t k s . Elementarna pomjeranja u intervalu vremena dt data su preko odgovarajuih prirataja generalisanih koordinata

    1

    , 1,2,..,s

    ii k

    k k

    rdr dq i Nq

    a virtualna pomjeranja prikazujemo u obliku

    1

    , 1, 2,..,s

    ii k

    k k

    rr q i Nq

    .

    RAD SILA NA VIRTUALNIM POMJERANJIMA

    Rad sile iF

    ,koja predstavlja rezultantu svih sila koje dejstvuju na proizvoljnu taku Mi sistema, na virtualnom pomjeranju ir te take izraunavamo analogno elementarnom radu te sile na stvranom pomjeranju take, tj.

    cos ,i i i i i i iA F r F s F r , gdje je intenzitet vektora virtualnog pomjeranja ir take M jednak luku is trajektorije koju moe da opie taka Mi pri svom virtualnom pomjeranju, tj. ir = is . Rad sila na virtualnim pomjeranjima sistema naziva se virtulani ili moguni rad. Za sve take razmatranog sistema mogu se napisati jednaine za rad sile, pa sabiranjem tih jednaina za cio materijalni sistem dobijamo

    1 1 1 1

    cos ,n n n n

    i i i i i i i i i i i i ii i i i

    A A F r F s F r X x Y y Z z

    .

    GENERALISANE SILE Rad sila na virtualnim pomjeranjima mogue je izraziti preko generalisanih koordinata sistema. Ako varijaciju ir vektora poloaja take izrazimo pomou varijacija 1 2, ,.., sq q q generalisanih koordinata

    1 21 1 2

    ... 1, 2,..,s

    i i i ii k s

    k k s

    r r r rr q q q q i Nq q q q

    onda je virtualni rad

    1 1 1 1

    n n n si

    i i i i ki i i k k

    rA A F r F qq

    Ili mijenjajui redosljed sabiranja

    1 1

    s ni

    k ik i k

    rA q Fq

    Moemo uvesti oznaku

    1

    1, 2,..,n

    ik i

    i k

    rQ F k sq

  • 26

    Tako da se izraz za virtualni rad moe zapisati kao

    1 1 2 21

    ..s

    k k s sk

    A Q q Q q Q q Q q

    Mnoitelji 1 2, ,.., sQ Q Q uz varijacije generalisanih koordinata 1 2, ,.., sq q q u izrazu za virualni rad aktivnih sila koje dejstvuju na sistem, nazivaju se generalisane sile sistema. Broj generalisanih sila sistema jednak je broju generalisanih koordinata, odnosno broju stepeni slobode sistema. Dimenzija generalisane sile zavisi od dimenzije odgovarajue generalisane koordinate i odreuje se sa

    A radQ

    q q , to znai da ako generalisana koordinata ima dimenziju duine (m) onda generalisana

    sila ima dimenziju obine sile (N), ali ako je za generalisanu koordinatu usvojen ugao onda generalisana sila ima dimenziju momenta sile (Nm). Ako na sistem dejstvuju konzervativne sile, potencijalna enegrija sistema je Ep= -U , gje je U funkcija sile, onda se generalisane sile mogu odrediti kao

    1, 2,..,pkk

    EQ k s

    q ,

    tj. generalisana sila sistema jednaka je parcijalnom izvodu potencijalne energije sistema po odgovrajuoj generalisanoj koordinati uzetim sa negativnim predznakom.

    OSNOVNE JEDNAINE DINAMIKE MATERIJALNIH SISTEMA

    Lagraneve jednaine prve vrste Opta jednaina statike (Lagranev princip virtualnih pomjeranja) Opta jednaina dinamike (Lagran-Dalamberov princip) Lagraneve jednaine druge vrste

    OPTA JEDNAINA STATIKE LAGRANEV PRINCIP VIRTUALNIH POMJERANJA Lagranev princip virtualnih pomjeranja (opta jednaina statike) izraava potrebne i dovoljne uslove za ravnoteu svakog materijalnog sistema: Za ravnoteu sila u svakoj taki materijalnih sistema podvrgnutih idealnim holonomnim stacionarnim zadravajuim vezama potrebno je i dovoljno da zbir radova svih aktivnih sila koje dejstvuju na sistem na svakom virtualnom pomjeranju sistema bude jednak nuli pod pretpostavkom da su poetne brzine svih taaka sistema jednake nuli. Matematiki izraz ovog principa je

    10

    na

    i ii

    A F r

    . Lagranev princip virtualnih pomjeranja moe se iskazati i pomou generalisanih sila sistema:

    1 10

    n sa

    i i k ki k

    A F r Q q

    Kako su sve varijacije generalisanih koordinata 1 2, ,.., sq q q nezavisne meu sobom, jednaina e biti zadovoljena samo ako su svi koeficijenti 1 2, ,.., sQ Q Q uz nezavisne varijacije jednaki nuli, tj.

    1 20, 0,..., 0sQ Q Q Za ravnoteu materijalnog sistema sa zadravajuim idealnim, stacionarnim i holonomnim vezama, potrebno je i dovoljno da generalisane sile koje odgovaraju izabranim generalisanim koordinatama sistema budu jednake nuli, pod pretpostavkom da su poetne brzine svih taaka sistema jednake nuli.

  • 27

    Ako na ssitem dejstvuju konzervativne sile, onda se Lagranev princip virtualnih pomjeranja moe se iskazati sa

    1 2

    0, 0, ..., 0p p ps

    E E Eq q q

    Da bi sistem bio u stabinoj ili labilnoj ravnotei potencijalna energija sistema mora imati ekstremne vrijednosti, minimum ili maksimum, pa slijedi: Ako u datom poloaju konzervativnog sistema potencijalna energija sistema ima ekstremnu vrijednost onda je taj poloaj ravnotee sistema stabilan ili labilan. Ako se zahtijeva da poloaj ravnotee sistema bude stabilan poloaj, onda potencijalna energija sistema u tom poloaju mora imati minimum.

    OPTA JEDNAINA DINAMIKE LAGRAN-DALAMBEROV PRINCIP Ako posmatramo sistem materijalnih taaka 1, 2 ,.., nP P P koji je podvrgnut uticaju samo idealnih veza, moemo napisati jednaine kretanja za materijalne take sistema, kao za skup slobodnih taaka koje smo oslobodili veza a dejstvo veza zamjenili odgovarajuim silama:

    1, 2,..,ai i i im a F R i n . Svaku od ovih jednaina pomnoimo sa odgovrajuim vektorom virtualnih pomjeranja i zatim saberemo sve tako dobijene jednaine:

    1 1 1 1 1 1 1

    1 1 2 1 2 1 21 1 1

    ......................

    a

    n n na a

    i i i i i i ii i i

    an n n n n n n

    m a r F r R r

    m a r F r R r m a r F r R r

    m a r F r R r

    Po pretpostavci su veze sistema idealne, pa je 1

    0n

    i ii

    R r

    (rad reakcija idealnih veza na virtualnom pomjeranju jednak je nuli), a onda je gornja jednaina moe napisati kao

    1 1

    n na

    i i i i ii i

    m a r F r

    , odnosno 1 1

    0n n

    ai i i i i

    i im a r F r

    .

    Veliine ini i im a F koje imaju dimneziju sila nazivaju se inercijalne sile, a odnose se na svaku materijalnu taku ponaosob. Uvodei tertmin inercijalne sile, gornja jednaina iskazuje Lagran-Dalamberov princip (optu jednainu dinamike): Pri proizvoljno kretanju materijalnog sistema sa idealnim zadravajuim vezama u svakom trenutku vremena zbir radova svih aktivnih sila i svih uslovno pridodatih sila inercije na svakom virtualnom pomjeranju sistema jednak je nuli.

    1

    0n

    a ini i i

    iF F r

    .

    Lagran-Dalamberov princip (opta jednainu dinamike) omoguuje da se napiu diferencijalne jednaine kretanja bilo kog materijalnog sitema. Na taj nain iz ovog principa slijede i svi opti zakoni kretanja materijalnog sistema.

    LAGRANEVE JEDNAINE DRUGE VRSTE

    Ako se sistem koji ima vie stepeni slobode sastoji iz sistema krutih tijela koja se ne kreu

    translatorno, primjena Lagran-Dalamberovog principa uslonjava problem formiranja diferencijalnih jednaina kretanja sistema, zbog toga to je, osim izraunavanja virtualnioh radova aktivnih sila, glavnih

  • 28

    vektora i glavnih momenata sila inercije razmatranog sistema, potrebno iz formiranih jednaina eliminisati zavisne koordinate i njihove varijacije.

    Zbog toga je u u takvim sloenim sluajevima pogodnije formirati diferencijalne jednaine kretanja sistema u odnosu na generalisane koordinate, to se postie Lagranevim jednainama druge vrste.

    Izvoenje Lagranevih jednaina druge vrste proistie iz Lagran-Dalamberovog principa, gdje se vektori virtualnih pomjeranja iskazuju u funkciji generalisanih koordinata

    1

    1 1 1

    , 1, 2,..,

    0 0

    si

    i kk k

    n n sa a i i

    i i i i i i ki i k k

    rza r q i nq

    dv riz F m a r F m qdt q

    Ovu jednainu pomnoimo sa (-1) i promjenimo red sabiranja,

    1 1 10

    s n nai i i

    i i kk i ik k

    dv r rm F qdt q q

    .

    Drugi zbir u zagradi ove jednaine je generalisana sila sistema, tako da jednaina postaje

    1 10

    s ni i

    i k kk i k

    dv rm Q qdt q

    .

    Prvi lan pod znakom sume u zagradi prethodne jednaine napisaemo kao i i i i

    i i i i ik k k

    dv r r rd dm m v m vdt q dt q dt q

    .

    Razmotrimo parcijalne izvode koji figuriu u jednaini: Brzina proizvoljne take sistema podvrgnutog nestacionarnim vezama je

    1 2

    11 2

    ..s

    i i i i s i i ii k

    ks k

    dr r r r dq r r rdq dqv qdt q dt q dt q dt dt q dt

    , gdje je kq generalisana brzina,

    a brzina proizvoljne take sistema podvrgnutog stacionarnim vezama je 1 2

    11 2

    ..s

    i i i i s ii k

    ks k

    dr r r r dq rdq dqv qdt q dt q dt q dt q

    .

    Odavde je parcijalni izvod brzine po bilo kojoj generalisanoj koordinati jednak i ik k

    v rq q .

    U sluaju stacionarnih veza je 2 2 2

    1 21 2

    ...i i i i sk k k k s

    r r r rd q q qdt q q q q q q q

    , a s druge strane je

    2 2 2

    1 21 2

    ...i i i i sk k k s k

    v r r rq q qq q q q q q q

    , pa se moe uspostaviti jednakost

    i i

    k k

    r vddt q q

    .

    Sada je

    ii i i ii i i i i

    k ki i i i

    kk

    i

    k

    dv r r rd d dm m v m vdt q dt q d

    vm vvm vqt q dt q

    Poto je 22

    22, i i ii i

    k k

    i i ii i

    k k

    v m v m vm vq q

    vm vq q

    ,

    prethodni izraz se moe napisati u obliku

  • 29

    2 2

    2 2i i i i i i

    ik k k

    dv r m v m vdmdt q dt q q

    .

    Vratimo se na jednainu

    1 10

    s ni i

    i k kk i k

    dv rm Q qdt q

    koju sad moemo napisati kao 2 2

    1 1 10

    2 2

    s n ni i i i

    k kk i ik k

    m v m vd Q qdt q q

    ili 1 0s

    k kk k

    k k k

    E Ed Q qdt q q

    . S obzirom da su varijacije generalisanih koordinata 1 2, ,..., sq q q proizvoljne i razliite od nule, to je prethodna jednaina zadovoljena samo onda kada je izraz u zagradi jednak nuli, tj.

    , 1, 2,..,k k kk k

    E Ed Q k sdt q q

    . Ove jednaine su diferencijalne jednaine kretanja materijalnog sistema izraene preko generalisanih koordinata i nazivaju se Lagraneve jednaine druge vrste. Integracijom ovih jednaina uz koritenje poetnih uslova kretanja odreuju se jednaine kretanja sistema 1 1 2 2, ,..., s sq q t q q t q q t . Kada je materijalni sistem podvrgnut holonomnim vezama, broj Lagranevih jednaina druge vrste jednak je broju generalisanih koordinata sistema, tj. broju stepeni slobode materijalnog sistema.

    Prednost Lagranevih jednaina druge vrste u odnosu na druge metode prouavanja kretanja materijalnog sistema je u tome to broj diferencijalnih jednaina kretanja sistema ne zavisi od broja lanova sistema, ve iskljuivo od broja stepeni slobode sistema. Takoe, sile koje dejstvuju na sistem ukljuene su u Lagraneve jednaine druge vrste preko generalisanih sila u koje ulaze samo aktivne sile, a sve reakcije idealnih veza su iskljuene. Lagraneve jednaine druge vrste za konzervativne sisteme Ako na sistem dejstvuju konzervativne sile, onda je pk

    k

    EQ

    q , pa Lagraneve jednaine II vrste glase

    , 1, 2,..,pk kk k k

    EE Ed k sdt q q q

    . Poto je potencijalna energija stacionarnih konzervativnih sistema funkcija samo generalisanih koordinata,

    1 2, ,..,p p sE E q q q , tj. ne zavisi od generalisanih brzina, to se jednaine mogu napisati kao 0, 1,2,..,k p k p

    k k

    E E E Ed k sdt q q

    . Veliina k pE E L naziva se Lagraneva funkcija ili kinetiki potencijal, pa se jednaine mogu napisati

    0, 1,2,..,k k

    d L L k sdt q q

    . Ove jednaine predstavljaju Lagraneve jednaine II vrste za konzervativne sisteme.