Bab 1

1.         Apa maksudnya sistem numerasi bersifat aditif?

2.         Apa yang disebut dengan sistem numerasi menggunakan nilai tempat?

3.         Apa maksudnya sistem numerasi bersifat multiplikasi?

4.         Sebutkan beberapa cara menuliskan lambang bilangan dan terjadi pada sistem

numerasi yang mana.

5.         Sebutkan basis-basis bilangan yang pernah digunakan.

Jawaban

1.         Sistem numerasi disebut bersifat aditif jika nilai bilangan sama dengan jumlah

nilai setiap lambang bilangan yang digunakan.

 

Contoh:

Mesir Kuno:            Lambang    ೨ ೨ ೨ ೨  ⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ∣∣∣2. Sistem numerasi disebut menggunakan nilai tempat jika nilai lambang bilangan

didasarkan pada tempat atau posisi lambang bilangan, artinya lambang yang

sama bernilai berbeda karena posisinya berbeda.

Contoh:

Babylonia:    Lambang          :           r <  s

Nilai 71            :           (1 x 60) + 10 + 1

Desimal        :           Lambang          :           5 5 5

Nilai setiap lambang 5 berbeda karena letaknya yang berbeda

5 5 5

bernilai lima

bernilai lima puluh

bernilai lima ratus

3. Sistem numerasi disebut multiplikatif jika mempunyai lambang untuk bilangan-

bilangan 1, 2, 3, …, b – 1, b, b2, b3, b3, …, tidak mempunyai lambang nol, dan

menggunakan nilai tempat.

Contoh:

Jepang-China           :           Lambang          :           ~          �             x                   y   Ђ  д  ŧ   )( Һ  ƒ

Nilai                :           1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000

4. Cara menuliskan lambang bilangan

(a)        Acak, untuk sistem numerasi Mesir Kuno

(b)       Mendatar (horizontal), untuk sistem-sistem numerasi

Babylonia, Yunani (greek), Romawi, Hindu-Arab

(c)        Tegak (vertikal), untuk sistem-sistem numerasi Jepang-China dan

Mayan

5. Basis bilangan yang pernah digunakan

(a)        Basis 10           :           sistem numerasi Jepang-China, Hindu Arab

(b)       Basis 20           :           sistem numerasi Mayan

(c)  Basis 60    :           sistem numerasi Babylonia

Bab 2

a. 1. 3 + 3 + 3 + 3 = 122. 2.2.2.2 = 163.

b.Buktikan dengan induksi matematika

1.         n < 2n untuk semua  n Î Z+

2.         n3 – n habis dibagi 3 untuk semua n Î Z+

3.         2n < !  untuk setiap bilangan bulat positif  n  ³  4

 

Jawab

b.

1.         S(n) :  n < 2n

S(1) :  benar sebab untuk  n = 1:

n =1 ,    2n = 21 = 2,  dan  1 < 2

Misalkan s(k) benar, yaitu  k < 2k

Harus dibuktikan bahwa S(k+1) benar, yaitu (k + 1) < 2k+1

k <  2k ®  k + 1  < 2k + 1

®  k + 1 < 2k + 2k  (sebab 2k ≥ 1 untuk sebarang  k ≥ 1)

®  k + 1 < 2.2k

®  k + 1 < 2k+1

                Jadi:  n < 2n  untuk setiap  n Î Z+

2.         S(n) : n3 – n habis dibagi oleh 3

S(1) benar sebab untuk  n = 1:

n3 – n = 13 – 1 = 1 – 1 = 0  dan 0 habis dibagi oleh 3.

Misalkan S(k) benar, yaitu k3 – k habis dibagi oleh 3

Harus dibuktikan bahwa S(k + 1) benar, yaitu

(k + 1)3 – (k + 1) habis dibagi oleh 3

(k + 1)3 – (k + 1)  =  (k3 + 3k2 + 3k + 1) – (k + 1)

=  (k3 – k) + 3 (k2 + k)

=  3t + 3(k2 + k)

=  3(t + k2 + k)

(k + 1)3 – (k + 1) habis dibagi 3 sebab mempunyai faktor 3

Jadi: n2 – n habis dibagi 3 untuk setiap  n Î Z+

3.         S(n) : 2n < n! untuk setiap bilangan bulat positif  n ³ 4

S(4) benar sebab untuk  n = 4

2n =  24 = 16,  n!  =  4!  =  24, dan  16 < 24

Misalkan S(k) benar, yaitu 2k < k!

Harus dibuktikan bahwa S(k+1) benar yaitu:

2k+1 < (k + 1)!

2k + 1  =  2k . 2  <  2 . k !

2k+1 < (k + 1) . k!  sebab k + 1 ≥ 2 untuk sebarang k Î Z+

2k+1 <  (k + 1) !

Jadi : 2k+1 <  (k + 1)! untuk setiap bilangan asli n

 

Bab 3

1.Carilah masing-masing paling sedikit satu contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut adalah salah.

1. Jika p | q + r, maka p | q atau p | r2. Jika p | qr, maka p | q atau p | r3. Jika p + q | r, maka p | r atau q | r4. Jika p | r dan q | r, maka p = q5. Jika p | q dan p | r, maka q = r

2.

3.

Jawaban

1

. a. 3 | 12, 3 | 8 + 4, tetapi 3 Q 8 dan 3 Q 4

b. 4 | 20, 4 | 2.10, tetapi 4 Q 2 dan 4 Q 10

c. 8 | 16, 3+5 | 16, tetapi 3 Q 16 dan 5 Q 16

d. 2 | 6 dan 3 | 6, tetapi 2 ≠ 3

d. 2 | 4 dan 2 | 6, tetapi 4 ≠ 6

2. Karena p│q + r, maka menurut definisi 3.1 ada x Î Z sehingga q + r = px

Karena p│q, maka menurut definisi 3.1 ada y Î Z sehingga q = py

Jadi,

py + r = px

r = px – py

r = p (x – y)

Anggap x – y = m sehingga r = pm

Karena x, yÎ Z, maka m Î Z

Sehingga p│r

3. n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n(n + 2)(n + 4)

Sesuai dengan teorema algoritma pembagian, n dapat dinyatakan sebagai salah satu

dari n = 3k, n = 3k + 1, atau n = 3k + 2

n(n + 2)(n + 4) memuat faktor 3 jika n diganti dengan n = 3k, n = 3k + 1, atau

n = 3k + 2

bab 4

Carilah buku bacaan tentang Teori Bilangan, misalnya Elementary Number Theory and Its Applications yang ditulis oleh Kenneth H. Rosen, dan diterbitkan oleh Addison-Wesley Publishing Company.

1. Jelaskan dan buktikan Teorema Dasar Aritmetika

2. Buktikan [p,q](p,q) = pq dengan menggunakan Teorema Dasar Aritmetika

3. Nyatakan bentuk umum (p,q) dan [p,q] dengan menggunakan pemfaktoran prima, dan berilah

masing-masing dua contoh.

 

Jawaban

1. Teorema Dasar Arithmetic (Teorema Dasar Aritmetika)

Setiap bilangan bulat positif lebih dari satu dapat dinyatakan sebagai kelipatan atau

faktor-faktor prima secara tunggal, dalam urutan yang tidak menurun.

Bukti :

Untuk  membuktikan  teorema dasar  aritmetika  diperlukan dua teorema pendukung yaitu (a) jika p, q, r   Z, (p,q) = 1 dan p │ qr , maka p │ r

(b) jika p adalah suatu bilangan prima, p │ x1x2 …xn , dan x1,x2, …xn  Z,  maka tentu  ada

bilangan bulat i dengan 1 ≤ i ≤ n sedemikian hingga p │ xi

Selanjutnya akan dibuktikan dengan cara tidak langsung.

Anggaplah ada bilangan-bilangan bulat positif yang tidak dapat ditulis sebagai factor-faktor

prima. Ambil bilangan-bilangan itu yang terkecil adalah , maka menurut prinssip urutan ra-

pi, n pasti ada.

Jika n adalah suatu bilangan prima, maka n memuat factor prima n.

Jika n adalah bukan suatu bilangan prima, maka n adalah suatu bilangan  komposit,  misal-

kan n = ab, 1 < a < n , dan 1 < b < n.

Karena a <  n  dan b < n , maka sesuai dengan teorema (b) di atas, a dan b masing-masing

mempunyai faktor prima, dengan demikian n dapat dinyatakan sebagai kelipatan bilangan-

bilangan prima.

Untuk membuktikan ketunggalan pemfaktoran, dimisalkan pemfaktoran n tidak tunggal,

yaitu n dapat dinyatakan dalam dua pemfaktoran yang berbeda :

N = p1 p2…pi dan n = q1 q2 … qj

dimana p1 ,p2,,…pi dan n = q1, q2, … qj semuanya adalah bilangan-bilangan prima dan

p1 ≤ p2  ≤…≤ pi dan n = q1 ≤ q2 ≤ … ≤ qj

Dengan demikian dapat ditentukan bahwa :

p1 p2…pi = q1 q2 … qj

Jika factor-faktor prima persekutuan ruas kiri dan ruas kanan dihapus, maka setelah penga-

turan ulang diperoleh :

p1 p2…pm = q1 q2 … qn

p1 (p2…pm ) = q1 q2 … qn

Dengan demikian p1 │ q1 q2 … qn  , dan sesuai dengan teorema (b) di atas, p1 │ qr  untuk

suatu r yang mana 1 ≤ r  ≤  n. Karena p1 dan qr keduanya adalah bilangan prima, maka

p1 = qr , terjadi kontradiksi, yaitu p1 p2…pm  dan  q1 q2 … qn masih mempunyai  factor per-

sekutuan. Jadi pemfaktoran prima dari n adalah tunggal.

2. Misalkan pemfaktoran prima dari p dan q adalah :

p = aa… a   dan   q =  bb… b

dimana masing-masing bilangan pangkat adalah suatu bilangan bulat tidak negative, dan

bilangan-bilangan prima yang menjadi factor x sama dengan yang menjadi factor y, yaitu

dengan pangkat bilangan nol

Dengan demikian :

(p,q) = aa… a

[p,q] = aa... a

Jika min(ri,si) = ki dan mak(ri,si) = Ki  , maka :

(p,q) = aa...a

[p,q] = aa...a

sehingga :

(p,q)[p,q] = (aa...a)( aa… a)

= aa... a

Kita dapat membuktikan suatu teorema bahwa :

min(r,s) + mak(r,s) = r + s

sebagai berikut :

Jika r ≥ s, maka min(r,s) = s dan mak(r,s) = r sehingga min(r,s) + mak(r,s) = r + s

Jika r < s, maka min(r,s) = r dan mak(r,s) = s sehingga min(r,s) + mak(r,s) = r + s

Akibatnya, kita dapat menentukan bahwa :

p= p= p

Dengan demikian :

(p,q)[p,q] = aa... a

= aa... a

= (aa...a)(aa...a)

= pq

3. Jika p = bb... b dan q=bb...b maka :

(p,q) = bb...b

[p,q] = bb...b

Contoh :

1.  x = 18 = 21.32

y = 24 = 23.31

(x,y) = 2min(1,3).3min(2,1) = 21.31 = 2.3 = 6

[x,y] = 2mak(1,3).3mak(2,1) = 23.32 = 8.9 = 72

2. x = 36 = 22.32.50

y = 45 = 20.32.51

(x,y)  = 2min(2,0).3min(2,2).5min(0,1) = 20.32.50 = 1.9.1 = 6

[x,y]  = 2mak(2,0).3mak(2,2).5mak(0,1) = 22.32.51 = 4.9.5 = 180