*Suku BanyakDanTeorema Sisa

*Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukan hasilbagi dan sisapembagian sukubanyakoleh bentuk linearatau kuadrat

*Pengertian Sukubanyak(P o l i n u m)Bentuk:anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0dinamakan sukubanyak dalam xyang berderajat nak adalah koefisien xk,a0 disebut suku tetap

*Contoh

Tentukan derajat dan koefisien:x4 dan x2 dari suku banyakx5 - x4 + x3 7x + 10

Jawab: derajat suku banyak = 5 koefisien x4 = -1 koefisien x2 = 0

*Nilai Sukubanyak

polinumanxn + an-1xn-1 + + a1x + a0dapat dinyatakan dengan P(x).Nilai sukubanyak P(x)untuk x = aadalah P(a)

*Contoh

Tentukan nilai suku banyak2x3 + x2 - 7x 5 untuk x = -2

Jawab:Nilainya adalahP(-2) = 2(-2)3 + (-2)2 - 7(-2) 5 = -18 + 4 + 14 5 = -5

*Pembagian Sukubanyakdan Teorema Sisa

*Pembagian sukubanyak P(x)oleh (x a) dapat ditulis denganP(x) = (x a)H(x) + S

Keterangan: P(x) sukubanyak yang dibagi,(x a) adalah pembagi,H(x) adalah hasil pembagian,dan S adalah sisa pembagian

*Teorema Sisa

Jika sukubanyak P(x)dibagi (x a), sisanya P(a)

dibagi (x + a) sisanya P(-a)dibagi (ax b) sisanya P(b/a)

*Contoh 1: Tentukan sisanya jika 2x3 x2 + 7x + 6 dibagi x + 1atau dibagi x (-1)

Jawab: sisanya adalahP(-1) = 2.(-1)3 (-1)2 + 7(-1) + 6 = - 2 1 7 + 6 = -4

*Contoh 2: Tentukan sisa dan hasil baginyajika x3 + 4x2 - 5x 8 dibagi x - 2

Jawab:Dengan teorema sisa, dengan mudah kita dapatkan sisanya,yaitu P(2) = 8 + 16 - 10 - 8 = 6

*tapiuntuk menentukanhasilbaginya kita gunakan:Pembagian Horner:

dengan menggunakan baganseperti berikut:

*x3 + 4x2 - 5x 8 dibagi x - 2

1 4 -5 -8 koefisien Polinum +

12artinya dikali 22612 7146Sisanya 6Koefisien hsl bagiJadi hasil baginya: x2 + 6x + 7

*Contoh 3: Tentukan sisa dan hasil baginyajika 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x - 1

*Jawab:(2x3 - 7x2 + 11x + 5) : (2x 1)

Sisa: P() = 2()3 7()2 + 11. + 5 = 2. - 7. + 5 + 5 = - 1 + 5 + 5 = 9

*2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x 1

Dapat ditulis:2x3 7x2 + 11x + 5 =(2x -1)H(x) + S

Pembagi : 2x - 1 Hasil bagi : H(x) Sisa : SKita gunakan pembagian horner

*2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x 1 x =

2 -7 11 5 koefisien Polinum +

2artinya dikali -6-3 849Sisanya 9Koefisien hasil bagiSehingga dapat ditulis :1

*2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x 1Dapat ditulis:2x3 7x2 + 11x + 5 =(x - )(2x2 6x + 8) + 9=(2x 1)(x2 3x + 4) + 9

Pembagi : 2x - 1 Hasil bagi : x2 3x + 4 Sisa : 9

*Contoh 4: Nilai m supaya 4x4 12x3 + mx2 + 2 habis dibagi 2x 1 adalah. Jawab: habis dibagi S = 0 P() = 04()4 12()3 + m()2 + 2 = 0

*P() = 04()4 12()3 + m()2 + 2 = 0 - 1 + m + 2 = 0m = - + 1 - 2 (dikali 4) m = -1 + 6 8 m = -3Jadi nilai m = -3

*Pembagian Dengan (x a)(x b)

Bentuk pembagiannyadapat ditulis sebagaiP(x) = (x a)(x b)H(x) + S(x)berarti:P(a) = S(a) dan P(b) = S(b)Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q

*Contoh 1:Suku banyak(x4 3x3 5x2 + x 6)dibagi (x2 x 2), sisanyasama dengan.

*Jawab:Bentuk pembagian ditulis:P(x) = (x2 x 2)H(x) + S(x)Karena pembagi berderajat 2maka sisa = S(x) berderajat 1 misal: sisanya px + q

*sehinggabentuk pembagian ditulis:x4 3x3 5x2 + x 6 = (x2 x 2)H(x) + px + qx4 3x3 5x2 + x 6 = (x + 1)(x 2)H(x) + px + qDibagi (x + 1) bersisa P(-1) dibagi (x 2) bersisa P(2)

*P(-1) = (-1)4 3(-1)3 5(-1)2 + (-1) 6 = 1 + 3 5 1 6 = -8 P(2) = 24 3.23 5.22 + 2 6 = 16 24 20 + 2 6 = -32P(x) = px + qP(-1) = -p + q = -8P(2) = 2p + q = -32 -3p = 24 p = -8-p + q = -8-(-8) + q = -8 q = -8 -8 = 16 jadi sisanya -8x + 16

*Contoh 2:Suatu suku banyak bila dibagioleh x + 2 bersisa -13, dibagioleh x 3 sisanya 7.Suku banyak tersebut bila dibagioleh x2 x - 6 bersisa.

*Jawab:Misal sisanya: S(x) = ax + b P(x): (x + 2) S(-2) = -13 -2a + b = -13P(x): (x 3) S(3) = 7 3a + b = 7 -5a = -20 a = 4

*a = 4 disubstitusi ke -2a + b = -13 -8 + b = -13 b = -5Jadi sisanya adalah: ax + b 4x - 5

*Contoh 3:Jika suku banyakP(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + bdibagi oleh (x2 1) memberi sisa 6x + 5, maka a.b=.

*Jawab :P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + bP(x) : (x2 1) sisa = 6x + 5Pembagi : (x2 -1) = (x + 1)(x 1)Maka:P(x):(x + 1) sisa =P(-1) 2 - a - 3 - 5 + b = 6(-1) + 5 -a + b 6 = 6 + 5 -a + b = 5.(1)

*P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + bP(x) : x2 - 1 sisa = 6x + 5Pembagi : x2 -1 = (x+1) (x-1)Maka:P(x):(x 1) sisa =P(1) 2 + a 3 + 5 + b = 6(1) + 5 a + b + 4 = 6 + 3 2 a + b = 7.(2)

*

-a + b = 5.(1) a + b = 7.(2) 2b = 12 b = 6b = 6 disubstitusi ke a + b = 7 a + 6 = 7 a = 1 Jadi a.b = 1.6 = 6

+

*Contoh 4:Jika suku banyak2x3 x2 + px + 7 dan sukubanyak2x3 + 3x2 - 4x 1 dibagi (x + 1)akan diperoleh sisa yang sama,maka nilai p sama dengan.

*Jawab:2x3 x2 + px + 7 dibagi (x + 1)Sisanya P(-1) = -2 -1 -p + 7 = -p + 4

*2x3 + 3x2 - 4x 1 dibagi (x + 1)Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 1 = 4 Karena sisanya sama,Berarti -p + 4 = 4 -p = 4 4Jadi -p = 0 atau p = 0

*Contoh 5:Jika suku banyakx3 7x + 6 dan sukubanyakx3 x2 4x + 24 dibagi (x + a)akan diperoleh sisa yang sama,maka nilai a sama dengan.

*Jawab:x3 7x + 6 dibagi (x + a)Sisanya P(-a) = -a3 + 7a + 6x3 x2 4x + 24 dibagi (x + a)Sisanya P(-a) = a3 a2 4a + 24Sisanya sama berarti:-a3 + 7a + 6 = -a3 a2 + 4a + 24

*-a3 + 7a + 6 = -a3 a2 + 4a + 24a2 + 7a - 4a + 6 24 = 0a2 + 3a 18 = 0(a - 3)(a + 6) = 0a = 3 atau a = -6Jadi nilai a = 3 atau a = -6

*Contoh 6:Jika suku banyakP(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3dibagi oleh (x2 4) memberi sisa x + 23, maka a + b=.

*Jawab :P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3P(x) : (x2 4) sisa = x + 23Pembagi : (x2 4) = (x + 2)(x 2)Maka:P(x):(x + 2) sisa =P(-2) -16 + 4a + 2b + 3 = (-2) + 23 4a + 2b = 21 + 13 4a + 2b = 34.(1)

*P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3P(x) : x2 - 4 sisa = x + 23Pembagi : x2 -1 = (x + 2)(x 2)Maka:P(x):(x 2) sisa =P(2) 16 + 4a 2b + 3 = 2 + 23 4a 2b + 19 = 25 4a 2b = 25 19 4a 2b = 6.(2)

*

4a + 2b = 34.(1) 4a 2b = 6.(2) 8a = 40 a = 5a = 5 disubstitusi ke 4a 2b = 6 20 2b = 6 - 2b = -14 b = 7Jadi a + b = 5 + 7 = 12

+

*