SUBGRUP

Misalkan (G, ) suatu grup dan H himpunan bagian (kompleks) dari G, apabila

(H, ) suatu grup, maka dikatakan bahwa H adalah subgrup dari G. Penulisan

(G, ) dan (H, ) tersebut menerangkan bahwa apabila H subgrup dari G, maka

operasi pada H harus sama dengan operasi G. Untuk selanjutnya operasi-

operasi tersebut tidak dituliskan lagi.

Jika G suatu grup dengan elemen identitas e, maka {e} dan G sendiri merupakan

himpunan bagian yang sekaligus merupakan subgrup dari G. Kedua subgrup ini

dikatakan subgrup tak sejati atau trivial. Subgrup-subgrup lainnya dari G (jika

ada) disebut subgrup sejati yang lazimnya hanya dikatakan subgrup saja,

apabila tak ada kekhususan.

Berikut ini merupakan teorema-teorema yang berkenaan dengan subgrup:

1. Teorema 1

Jika H suatu himpunan bagian dari grup G, maka H adalah subgrup dari G

jika dan hanya jika a, b H berlaku (i) ab H dan (ii) a-1 H.

2. Teorema 2

Jika H suatu himpunan bagian dari grup G, maka H adalah subgrup dari G

jika dan hanya jika a, b H, ab-1 H.

3. Teorema 3

Jika H suatu himpunan bagian berhingga dari grup G, maka H subgrup dari G

jika dan hanya jika H memenuhi sifat tertutup terhadap operasi pada G, yaitu

a, b H, ab H.

4. Teorema 4

Jika H himpunan bagian dari grup G, maka H adalah subgrup dari G jika dan

hanya jika H H-1 = H.

12

5. Teorema 5

Jika H suatu himpunan bagian dari grup G, maka H adalah subgrup dari G

jika dan hanya jika (i) H H = H dan H-1 = H.

6. Teorema 6

Jika H dan K dua subgrup dari grup G, maka HK suatu subgrup dari G jika

dan hanya jika HK = KH.

Teorema-teorema tersebut dapat digunakan untuk membuktikan bahwa suatu

himpunan merupakan subgrup dari himpunan yang lain dengan operasi biner

tertentu

Contoh 1

(B, +) yaitu grup bilangan bulat dengan penjumlahan. Jika K = {5nnB}, yaitu

semua bilangan bulat kelipatan 5, maka (K, +) adalah suatu grup dan karena K

B, maka K subgrup dari B. Secara umum jika m suatu bilangan bulat dan Bm =

{kmkB}, yaitu himpunan semua bilangan bulat kelipatan m, maka Bm adalah

subgrup dari B.

Contoh 2

a. (B, +) merupakan subgrup dari (Q, +), sekaligus juga merupakan subgrup dari

(R, +) dan (K, +)

b. (Q, +) merupakan subgrup dari (R, +) dan (K, +)

c. (R, +) merupakan subgrup dari (K, +)

Contoh 3

Buktikan bahwa (Bm, +) dengan Bm = {kmkB} merupakan subgrup dari (B, +)!

Penyelesaian:

Untuk membuktikan kasus di atas, kita dapat menggunakan teorema 2, yaitu

dengan membuktikan bahwa a, b Bm berlaku ab-1 Bm.

Ambil sebarang a, b Bm, maka a = k1m, untuk suatu k1 B

13

dan b = k2m, untuk suatu k2 B

b-1 = -b = -( k2m) = - k2m

ab-1 = k1m(- k2m)

= - k1k2m2

= (- k1k2m)m

Karena k1, k2, dan m B, maka (- k1k2m) B

Misal: - k1k2m = h, maka ab-1 = (- k1k2m)m = hm, untuk h B

Hal ini menunjukkan ab-1 Bm

Contoh 4

P = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]}merupakan himpunan semua kelas bilangan

bulat modulo 8. P dengan operasi penjumlahan modulo 8 adalah suatu grup.

Buktikan bahwa (M, +8) merupakan subgrup dari (P, +8) dengan M = {[0], [2], [4],

[6]}!

Penyelesaian:

Karena M merupakan himpunan yang berhingga, maka untuk membuktikan

kasus di atas, dapat digunakan teorema 3, yaitu dengan membuktikan bahwa

a, b M, berlaku ab M. Hal ini ditunjukkan dengan menggunakan tabel

Cayley

+8 [0] [2] [4] [6][0] [0] [2] [4] [6][2] [2] [4] [6] [0][4] [4] [6] [0] [2][6] [6] [0] [2] [4]

Dari tabel Cayley tersebut terlihat bahwa operasi +8 tertutup di dalam M,

sehingga (M, +8) merupakan subgrup dari (P, +8).

14

Kembali ke menu materi