Struktur Berpikir Logis dan Sistematis

Struktur Berpikir

Logis dan Sistematis

UU No. 19 Tahun 2002 Tentang Hak Cipta Fungsi dan Sifat Hak Cipta Pasal 2 1. Hak Cipta merupakan hak eksklusif bagi pencipta atau pemegang Hak

Cipta untuk mengumumkan atau memperbanyak ciptaannya, yang timbul secara otomatis setelah suatu ciptaan dilahirkan tanpa mengurangi pembatasan menurut peraturan perundang-undangan yang berlaku.

Hak Terkait Pasal 49 1. Pelaku memiliki hak eksklusif untuk memberikan izin atau melarang

pihak lain yang tanpa persetujuannya membuat, memperbanyak, atau menyiarkan rekaman suara dan/atau gambar pertunjukannya.

Sanksi Pelanggaran Pasal 72 1. Barangsiapa dengan sengaja dan tanpa hak melakukan perbuatan

sebagaimana dimaksud dalam pasal 2 ayat (1) atau pasal 49 ayat (2) dipidana dengan pidana penjara masing-masing paling singkat 1 (satu) bulan dan/atau denda paling sedikit Rp 1.000.000,00 (satu juta rupiah), atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 5.000.000.000,00 (lima miliar rupiah).

2. Barangsiapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam ayat (1), dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah)

Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc.

Struktur Berpikir

Logis dan Sistematis

STRUKTUR BERPIKIR LOGIS DAN SISTEMATIS

Amir Kamal Amir

Desain Cover : Dwi Novidiantoko Tata Letak Isi : Har is Ari Susanto

Sumber Gambar : Sumber

Cetakan Pertama: Bulan 2017

Hak Cipta 2017, Pada Penulis

Isi diluar tanggung jawab percetakan

Copyright © 2017 by Deepublish Publisher All Right Reserved

Hak cipta dilindungi undang-undang

Dilarang keras menerjemahkan, memfotokopi, atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini

tanpa izin tertulis dari Penerbit.

PENERBIT DEEPUBLISH (Grup Penerbitan CV BUDI UTAMA)

Anggota IKAPI (076/DIY/2012)

Jl.Rajawali, G. Elang 6, No 3, Drono, Sardonoharjo, Ngaglik, Sleman Jl.Kaliurang Km.9,3 – Yogyakarta 55581

Telp/Faks: (0274) 4533427 Website: www.deepublish.co.id www.penerbitdeepublish.com

E-mail: [email protected]

Katalog Dalam Terbitan (KDT)

AMIR, Amir Kamal

Struktur Berpikir Logis dan Sistematis/oleh Amir Kamal Amir.--Ed.1, Cet. 1--Yogyakarta: Deepublish, Maret 2017.

x, 146 hlm.; Uk:15.5x23 cm ISBN 978-Nomor ISBN

1. Klasifikasi Buku I. Judul

No.DDC

v

PRAKATA

Dengan Bismillahirrahmanirrahim,

Puji syukur dipanjatkan kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan

hidayah-Nya buku ini dapat ditulis dengan baik.

Dalam kehidupan sehari hari dibutuhkan kemampuan berpikir

sitematis untuk menghadapi berbagai macam tantangan hidup. Buku

Logika Matematika merupakan tuntunan bagi siapa saja yang ingin

belajar menyelesaiakan masalah secara sistematis. Materi buku ini

sedikit diarahkan kepada dasar-dasar logika yang digunakan untuk

menyelesaiakan masalah-masalah Matematika.

Buku ini dirancang untuk bisa mengeksploitasi kemampuan

mahasiswa. Beberapa latihan soal disajikan langsung disela-sela

pembahasan untuk menanamkan pemahaman materi secara langsung

tanpa harus menunggu selesainya materi secara keseluruhan.

Sangat disadari oleh penulis bahwa, banyak hal yang bisa

membuat buku ini lebih baik dari berbagai sudut pandang. Oleh karena

itu, masukan dan saran senantiasa dinantikan. Teriring doa semoga

Allah SWT selalu memberikan Rakhmat dan Khidayah-Nya kepada

kita semua, amin.

Makassar, 13 Februari 2017

Penulis

vii

DAFTAR ISI

PRAKATA ..................................................................................................... v

DAFTAR ISI ................................................................................................ vii

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... ix

BAB 1

PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN 1

1.1. Pernyataan Sederhana dan Majemuk ................................................. 1

1.2. Kata Hubung Logika ..................................................................................... 4

1.3. Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk............................................... 6

BAB 2

TABEL NILAI KEBENARAN 19

2.1. Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk............................................ 19

2.2. Jenis Pernyataan Majemuk. ................................................................... 23

2.3. Menentukan Jenis Pernyataan Majemuk........................................ 26

BAB 3

RELASI PERNYATAAN 39

3.1. Pernyataan Ekuivalen .............................................................................. 39

3.2. Pernyataan Kontradiksi .......................................................................... 50

3.3. Pernyataan Tidak Berelasi ..................................................................... 52

3.4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi..................................................... 54

BAB 4

ARGUMEN 57

4.1. Metode tabel kebenaran ......................................................................... 59

4.2. Metode Diagram Alir................................................................................. 65

viii

BAB 5

PERNYATAAN BERKUANTOR 77

5.1. Predikat ........................................................................................................... 77

5.2. Kuantor ............................................................................................................ 80

BAB 6

PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI 95

6.1. Penggunaan Logika pada Konsep Daerah Asal dan

Daerah Jangkauan Fungsi ....................................................................... 95

6.2. Penggunaan Logika pada Konsep Fungsi Satu-satu

dan Pada ....................................................................................................... 102

BAB 7

PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI 110

BAB 8

METODE PEMBUKTIAN 125

8.1. Metode Pembuktian Kosong .............................................................. 125

8.2. Metode Pembuktian Trivial ................................................................ 127

8.3. Metode Pembuktian Langsung ......................................................... 129

8.4. Metode Pembuktian Tidak Langsung............................................ 131

8.5. Metode Pembuktian Kontradiksi .................................................... 134

8.6. Metode Pembuktian dengan Kasus ................................................ 137

DAFTRAR PUSTAKA ............................................................................. 142

INDEKS..................................................................................................... 143

PROFIL PENULIS.................................................................................... 146

ix

DAFTAR GAMBAR

Tabel 1.1 Kata atau Pasangan Kata Hubung ................................................. 7

Tabel 1.2 Nilai Kebenaran Konjungsi ............................................................... 7

Tabel 1.3 Nilai Kebenaran Pernyataan Konjungsi ..................................... 8

Tabel 1.4 Nilai Kebenaran Disjungsi ................................................................. 9

Tabel 1.5 Nilai Kebenaran Pernyataan Disjungsi .................................... 10

Tabel 1.6 Nilai Kebenaran Implikasi .............................................................. 11

Tabel 1.7 Nilai Kebenaran Pernyataan Implikasi .................................... 12

Tabel 1.8 Nilai Kebenaran Bimplikasi ........................................................... 13

Tabel 1.9 Nilai Kebenaran Pernyataan Bimplikasi ................................. 14

Tabel 1.10 Nilai Kebenaran Negasi ................................................................... 15

Tabel 1.11 Nilai Kebenaran Pernyataan Negasi ......................................... 16

Tabel 3.1 Pernyataan 1 ........................................................................................ 40

Tabel 3.2 Pernyataan 2 ........................................................................................ 40

Tabel 3.3 Pernyataan Kontradiksi 1............................................................... 50

Tabel 3.4 Pernyataan Kontradiksi 2............................................................... 50

Tabel 3.5 Tabel Implikasi, Konvers. Invers, dan

Kontraposisi .......................................................................................... 55

Tabel 5.1 Kuantor Tunggal.................................................................................. 83

Tabel 5.2 Kuantor Berganda .............................................................................. 85

Tabel 5.3 Negasi dari Kuantor........................................................................... 92

Tabel 5.4 Negasi Kuantor Berganda............................................................... 92


PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN

Dalam berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata menjadi

kalimat yang bisa dipahami oleh orang lain. Dengan kata lain, seseorang

harus menyusun kata-kata yang memiliki arti atau makna agar lawan

komunikasi bisa mengerti apa yang dimaksud. Kata-kata yang disusun

disebut kalimat. Lebih jelasnya, kalimat adalah susunan kata-kata yang

memiliki arti. Secara umum, kalimat dikategorikan mejadi empat, yaitu

kalimat pernyataan, kalimat pertanyaan, kalimat perintah, dan kalimat

permintaan. Diantara keempat jenis kalimat tersebut, hanya kalimat

pernyataan yang bisa dinilai benar atau salah. Untuk mendapatkan

gambaran yang lebih jelas tentang jenis-jenis kalimat tersebut di atas,

diberikan contoh-contoh berikut:

1. Matematika Dasar adalah matakuliah mudah (kalimat pernyataan)

2. Dimana buku ajar Logika Matematika? (kalimat pertanyaan)

3. Selesaikan latihan soal-soal ini! (kalimat perintah)

4. Tolong ambil buku ajar Logika Matematika di perpustakaan (kalimat

permintaan).

Selanjutnya, kalimat pernyataan didefinisikan sebagai kalimat yang

mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus bernilai benar dan

salah. Kalimat yang dibahas dalam buku Logika Matematika hanya

kalimat pernyataan.

1.1. Pernyataan Sederhana dan Majemuk

Dalam buku ini, kalimat penyataan akan dikelompokkan mejadi dua, yaitu

penyataan sederhana dan pernyataan majemuk (tidak sederhana).

BAB

1

2 PERNYATAAN DAN NILAI KEBENARAN

Definisi 1.1

Pernyataan sederhana adalah kalimat pernyatan yang memuat satu ide

yang bernilai benar, atau salah, tetapi tidak keduanya. Pernyataan

majemuk (pernyataan tidak sederhana) adalah pernyataan yang terdiri atau

dibangun dari beberapa pernyataan sederhana.

Contoh 1.1

1. UNHAS adalah universitas yang terletak di kota Makassar

(pernyataan sederhana)

Keterangan: pernyataan ini bernilai benar.

2. Besok hujan turun di Makassar (pernyataan sederhana) Keterangan:

pernyataan ini akan diketahui nilai kebenarannya besok. Namun

demikian, pernyataan ini akan bernilai benar atau salah tetapi tidak

akan bernilai benar sekaligus salah.

3. UNHAS adalah universitas yang terletak di kota Makassar dan

UNHAS mempunyai program studi Matematika.

Keterangan: pernyataan ini adalah pernyataan majemuk kerena terdiri

dari lebih dari satu pernyataan sederhana, yaitu pernyataan pertama

adalah UNHAS adalah universitas yang terletak di kota Makassar dan

pernyataan kedua adalah UNHAS mempunyai program studi

Matematika.

4. Besok hujan turun di Makassar atau besok hujan turun di Jakarta



adalah besok hujan turun di Makassar dan pernyataan kedua adalah

besok hujan turun di Jakarta.

5. Jika besok hujan tidak turun di Makassar, maka saya pergi kuliah

pada pagi hari dan saya pergi bermain bola pada sore hari.



adalah besok hujan tidak turun di Makassar, pernyataan kedua

adalah saya pergi kuliah pada pagi hari, dan pernyataan ketiga adalah

saya pergi bermain bola pada sore hari.


Setelah memperhatikan contoh di atas, mahasiswa dipersilahkan

menuliskan contoh yang serupa pada ruang kosong yang disediakan

berikut. Hal ini untuk memeriksa apakah mahasiswa sudah mengerti

dengan baik mengenai kalimat pernyataan sederhana dan yang tidak

sederhana. Disarankan menuliskan kalimat yang cukup beragam yang

biasa dijumpai dalam kehidupan sehari-hari

Contoh 1.2

Contoh 1.3

Contoh 1.4


1.2. Kata Hubung Logika

Memperhatikan kembali definisi dari pernyataan majemuk, terlihat bahwa

pernyataan ini dibentuk atau dibangun dari lebih dari satu pernyataan

sederhana menggunakanan kata hubung (sambung). Pada pembahasan

selanjutnya akan diuraikan tentang kata hubung yang dalam buku ini

disebut dengan kata hubung logika.

Definisi 1.2

Kata hubung logika adalah kata atau pasangan kata yang digunakan

untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan sederhana membangun

pernyataan majemuk. Ada empat kata hubung logika yang akan dipapar-

kan dalam buku ini. Mereka adalah:

1. Kata “dan” yang disebut konjungsi.

Keterangan tambahan: dua pernyataan yang digabung (disambung)

dengan kata hubung “dan” disebut konjungsi

dari dua pernyataan.

2. Kata “atau” yang disebut disjungsi.


dengan kata hubung “atau” disebut disjungsi

dari dua pernyataan.

3. Pasangan kata “jika …, maka …” yang disebut implikasi.


dengan pasangan kata hubung “jika …,

maka…” disebut implikasi dari dua pernyata-

an.

4. Pasangan kata “jika dan hanya jika” yang disebut biimplikasi.


dengan kata hubung “jika dan hanya jika”

disebut biimplikasi dari dua pernyataan.

Untuk memperjelas penggunaan kata hubung logika tesebut di atas,

berikut diberikan contoh.


Contoh 1.5

1. Logika Matematika adalah matakuliah menarik dan Saya menyukai

Logika Matematika.

2. Ani pergi ke kampus atau Ani pergi ke pasar

3. Jika saya rajin mengerjakan tugas Logika Matematika, maka saya

lulus dengan nilai “A”.

4. jika dan hanya jika

Untuk memeriksa apakah mahasiswa sudah mengerti dengan baik

cara penggunaan kata atau pasangan kata hubung, maka mahasiswa

dipersilahkan menuliskan empat contoh berturut-turut pada tempat kosong

yang sudah disedikan dibawah ini. Contoh-contoh yang dituliskan

sebaiknya satu untuk setiap jenis kata hubung.

Contoh 1.6

Contoh 1.7


Contoh 1.8

Contoh 1.9

1.3. Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk

Nilai kebenaran dari pernyataan sederhana ditentukan dari pernyataan itu

sendiri. Misalnya, pernyataan “UNHAS terletak di kota Jakarta” bernilai

salah. Pernyataan “Adi mengumpulkan tugas Logika Matematika besok

pagi” akan ditentukan kebenarannya besok. Berbeda dengan pernyataan

sederhana, nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ditentukan dari nilai

pernyataan-pernyataan sederhana yang membentuknya dan aturan

pemberian nilai dari kata hubung atau pasangan kata hubung yang

digunakan. Berikut diberikan aturan pemberian nilai kebenaran untuk kata

hubung atau pasangan kata hubung yang digunakan.

Seperti pokok bahasan Matematika lainnya, dalam pembahasan

Logika Matematika digunakan beberapa simbol. Untuk pernyataan


digunakan simbol huruf kecil, misalnya a, b, c, p, q, r, dan sebagainya.

Untuk kata hubung atau pasangan kata hubung digunakan simbol seperti

pada table 1.1 berikut:

Tabel 1.1 Kata atau Pasangan Kata Hubung

Kata/ pasangan kata hubung Simbol

Dan

Atau

Jika …, maka ….

Jika dan hanya jika

Menggunakan jenis simbol-simbol tersebut di atas, berikut dipaparkan

aturan penentuan nilai kebenaran pernyataan majemuk.

1.3.1. Konjungsi

Misalkan ada dua pernyataan yang disimbol dengan p dan q. Konjungsi

dari dua pernyataan tersebut disimbol dengan dan dibaca p dan q.

Nilai kebenaran konjungsi ditentukan oleh nilai kebenaran p dan

nilai kebenaran q menggunakan aturan sebagai berikut:

Konjungsi dari dua pernyataan bernilai benar apabila masing-masing

pernyataan tersebut bernilai benar dan konjungsi dari dua pernyataan bernilai

salah apabila ada pernyataan yang bernilai salah.

Dari aturan tersebut, disusun tabel nilai kebenaran konjungsi sebagai

beriktu:

Tabel 1.2 Nilai Kebenaran Konjungsi

Nilai kebenaran

p

Nilai kebenaran

q

Nilai kebenaran

B B B

B S S

S B S

S S S


Contoh 1.10

Pernyataan majemuk: Hujan sedang turun dan Adir ada di rumah.

Misalkan pernyataan hujan sedang turun disimbol p dan pernyataan

Adir ada di rumah disimbol q, maka tabel nilai kebenaran pernyataan di

atas adalah sebagai berikut:

Tabel 1.3 Nilai Kebenaran Pernyataan Konjungsi

Keadaan cuaca

sebenarnya

Hujan

sedang

turun

(p)

Posisi Adir

sebenarnya

Adir ada

di rumah

(q)

Hujan sedang turun

dan Adir ada di

rumah.

Hujan B Di rumah B B

Hujan B Tidak di

rumah S S

Tidak Hujan S Di rumah B S

Tidak Hujan S Tidak di

rumah S S

Mencermati tabel nilai kebenaran konjungsi di atas, ada beberapa hal

yang perlu dicatat:

1. Jika diketahui p benilai salah maka konjungsi dapat dipastikan

benilai salah meskipun nilai q belum diketahui.

2. Jika diketahui konjungsi bernilai benar, maka dapat di pastikan

p bernilai benar dan q bernilai benar.

Berikut diberikan contoh yang harus dilengkapi oleh mahasiswa

untuk memberikan pendalaman mengenai konjungsi.

Contoh 1.11

Pernyataan majemuk: . . . . .

Misalkan pernyataan . . . . .

. . . . . .


maka tabel nilai kebenaran pernyataan di atas adalah sebagai berikut:

(p) (q)

1.3.2. Disjungsi

Misalkan ada dua pernyataan yang disimbol dengan p dan q. Disjungsi dari

dua pernyataan tersebut disimbol dengan dan dibaca p atau q. Nilai

kebenaran disjungsi ditentukan oleh kombinasi nilai kebenaran p

dan nilai kebenaran q menggunakan aturan sebagai berikut:

Disjungsi dari dua pernyataan bernilai benar apabila ada pernyataan yang

bernilai benar dan disjungsi dari dua pernyataan bernilai salah apabila masing-

masing pernyataan bernilai salah.

Dari aturan tersebut, nilai kebenaran disjungsi disusun sebagai

beriktu:

Tabel 1.4 Nilai Kebenaran Disjungsi

Nilai kebenaran

Nilai kebenaran

Nilai kebenaran

B B B

B S B

S B B

S S S

Contoh 1.12

Pernyataan majemuk: Adi mengerjakan tugas Logika Matematika

atau Adi ada di kampus.

Misalkan pernyataan Adi mengerjakan tugas Logika Matematika

disimbol p dan pernyataan Adi ada di kampus disimbol q, maka tabel nilai

kebenaran pernyataan di atas adalah sebagai berikut:


Tabel 1.5 Nilai Kebenaran Pernyataan Disjungsi

Kegiatan yang dilakukan Adi

Adi ada

di kampus

(p)

Posisi Adi sebenarnya

Adi ada

di rumah

(q)

Adi mengerjakan

tugas Logika

Matematika atau Adi

ada di kampus.

Mengerjakan

tugas Logika

Matematika

B Di kampus B B

Mengerjakan

Logika Matematika

B Tidak di

kampus S B

Tidak

Mengerjakan

Logika

Matematika

S Di kampus B B

Tidak

Mengerjakan

Logika

Matematika

S Tidak di

kampus S S

Mencermati tabel nilai kebenaran disjungsi di atas, ada beberapa hal

yang perlu dicatat:

1. Jika p benilai benar maka disjungsi dapat dipastikan benilai

benar meskipun nilai q belum diketahui.

2. Jika disjungsi bernilai salah, maka dapat di pastikan p bernilai

salah dan q bernilai salah.


untuk memberikan pendalaman mengenai disjungsi.

Contoh 1.13

Pernyataan majemuk: . . . . . .

Misalkan pernyataan . . . . . .

. . . . . .



(p) (q)

1.3.3. Implikasi

Misalkan ada dua pernyataan yang disimbol dengan p dan q. Implikasi dari

dua pernyataan tersebut disimbol dengan dan dibaca jika p maka

q. Pernyataan p disebut anteseden dan pernyataan q disebut konsekuen.

Nilai kebenaran implikasi ditentukan oleh kombinasi nilai

kebenaran p dan nilai kebenaran q menggunakan aturan sebagai berikut:

Implikasi dari dua pernyataan bernilai benar untuk semua nilai p dan q

kecuali jika p bernilai benar dan q bernilai salah, maka implikasi bernilai

salah.

Dari aturan tersebut, nilai kebenaran impikasi ditata sebagai berikut:

Tabel 1.6 Nilai Kebenaran Implikasi

Nilai kebenaran

Nilai kebenaran

Nilai kebenaran

B B B

B S S

S B B

S S B

Contoh 1.14

Pernyataan majemuk: Jika Andi mengerjakan tugas Logika

Matematika, maka Andi ada di kampus.

Misalkan pernyataan Andi mengerjakan tugas Logika Matematika

disimbol p dan pernyataan Andi ada di kampus disimbol q, maka tabel

nilai kebenaran pernyataan di atas adalah sebagai berikut:


Tabel 1.7 Nilai Kebenaran Pernyataan Implikasi

Kegiatan yang dilakukan Andi

Andi ada

di kampus

(p)

Posisi Andi sebenarnya

Andi ada

di kampus

(q)

Andi mengerjakan

tugas Logika

Matematika, maka

Andi ada di kampus.

Mengerjakan

tugas Logika

Matematika

B Di kampus B B

Mengerjakan

tugas Logika Matematika

B Tidak di

kampus S S

Tidak

Mengerjakan

tugas Logika

Matematika

S Di kampus B B

Tidak

Mengerjakan

tugas Logika

Matematika

S Tidak di

kampus S B

Mencermati tabel nilai kebenaran konjungsi diatas, ada beberapa hal

yang perlu dicatat:

1. Jika q benilai benar maka implikasi dapat dipastikan benilai

benar meskipun nilai p belum diketahui.

2. Jika implikasi bernilai salah, maka dapat di pastikan p bernilai

benar dan q bernilai salah.


untuk memberikan pendalaman mengenai implikasi.

Contoh 1.15

Pernyataan majemuk: . . . . . . . . . .

Misalkan pernyataan . . . . . . . . . . .

. . . . . . .



(p) (q)

1.3.4. Bimplikasi

Misalkan ada dua pernyataan yang disimbol dengan p dan q. Biimplikasi

dari dua pernyataan tersebut disimbol dengan dan dibaca p jika

dan hanya jika q. Nilai kebenaran biimplikasi ditentukan oleh

kombinasi nilai kebenaran p dan nilai kebenaran q menggunakan aturan

sebagai berikut:

Biimplikasi dari dua pernyataan bernilai benar apabila p dan q

mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jika nilai kebenaran p dan q saling

berbeda, maka biimplikasi bernilai salah.

Dari aturan tersebut, tabel nilai kebenaran biimplikasi disusun sebagai

berikut:

Tabel 1.8 Nilai Kebenaran Bimplikasi

Nilai kebenaran

Nilai kebenaran

Nilai kebenaran

B B B

B S S

S B S

S S B

Contoh 1.16

Pernyataan majemuk: Dosen memberi kuliah jika dan hanya jika

dosen ada di kampus.

Misalkan pernyataan dosen memberi kuliah disimbol p dan

pernyataan dosen ada di kampus disimbol q, maka tabel nilai kebenaran

pernyataan di atas adalah sebagai berikut:


Tabel 1.9 Nilai Kebenaran Pernyataan Bimplikasi

Kegiatan

yang dilakukan

dosen

Dosen

memberi kuiah

(p)

Posisi dosen sebenarnya

Dosen ada

di kampus (q)

Dosen memberi

kuliah jika dan

hanya jika dosen

ada di kampus.

Memberi

kuliah B Di kampus B B

Memberi

kuliah B

Tidak di

kampus S S

Tidak

Memberi kuliah

S Di kampus B S

Tidak

Memberi

kuliah

S Tidak di

kampus S B

Mencermati tabel nilai kebenaran biimplikasi di atas, ada beberapa

hal yang perlu dicatat:

1. Jika biimplikasi bernilai benar, maka dapat dipastikan bahwa

p dan q mempunyai nilai yang sama.

2. Jika implikasi bernilai salah, maka dapat di pastikan p dan q

memiliki nilai yang berbeda.


untuk memberikan pendalaman mengenai biimplikasi.

Contoh 1.17

Pernyataan majemuk: . . . . . . . . . .

Misalkan pernyataan . . . . . . . . . .

. . . . . . . .


(p) (q)


1.3.5. Negasi

Selain dari keempat kata atau pasangan kata hubung di atas, dalam Logika

dipelajari satu operasi yang sangat penting yang disebut dengan operasi

negasi atau ingkaran. Kata hubung Logika mengoperasikan dua

pernyataan, sedangkan operasi negasi mengoperasikan satu pernyataan.

Lebih jelasnya, pernyataan yang dibentuk dengan menambahkan kata

“tidak” atau pasangan kata “tidak benar bahwa” pada suatu kalimat

pernyataan, disebut negasi dari pernyataan tersebut. Simbol “¬” mewakili

kata “tidak” atau pasangan kata “tidak benar bahwa”.

Contoh 1.18

Misalkan pernyataan “Logika Matematika adalah matakuliah

mudah” disimbol dengan p, maka negasi dari pernyataan tersebut adalah

“ tidak benar bahwa Logika Matematika adalah matakuliah mudah” dan

disimbol dengan ¬p. Lebih lanjut, penyataan “tidak benar bahwa Logika

Matematika adalah matakuliah mudah” setara dengan pernyataan “ Logika

Matematika adalah matakuliah sulit”.

Nilai kebenaran dari pernyataan ¬p diperoleh dari nilai kebenaran

pernyataan p dengan aturan bahwa nilai p selalu berkebalikan dengan nilai

¬p. Jadi, nilai p adalah benar jika dan hanya jika nilai ¬p adalah salah.

Begitu juga sebaliknya, nilai p adalah salah jika dan hanya jika nilai ¬p

adalah benar. Berikut diberikan tabel nilai kebenaran dari operasi negasi.

Tabel 1.10 Nilai Kebenaran Negasi

Pernyataan

(p)

Pernyataan

(¬p )

B S

S B

Contoh 1.19

Jika simbol dari pernyataan “Hari ini hujan” maka

menyimbolkan pernyataan „Hari ini tidak hujan” atau “Tidak benar bahwa

hari ini hujan” atau “Hal itu tidak benar bahwa hari ini hujan”. Tabel nilai

kebenaran dari contoh di atas


Tabel 1.11 Nilai Kebenaran Pernyataan Negasi

Pernyataan Negasi pernyataan

Keadaan cuaca sebenarnya Hari ini hujan

Hari ini tidak hujan

Hujan

Tidak hujan

B

S

S

B

Berikan contoh dalam bentuk kalimat kemudian berikan tabel

kebenarannya. Tuliskan contoh Anda pada ruang kosong yang disediakan

dibawah ini.

Contoh 1.20

Jika simbol dari pernyataan “ ………….”, maka menyimbolkan

pernyataan “…………………………” atau “…………………………” .

Tabel nilai kebenaran dari contoh di atas


………

……….

B

S

S

B

Contoh 1.21

Jika simbol dari pernyataan “…………….”, maka menyimbolkan

pernyataan “……………………” atau “………………………” .

Tabel nilai kebenaran dari contoh di atas


………

……….

B

S

S

B


Soal-soal Latihan

1. Buatlah rangkuman satu halaman dari uraian materi di atas.

Berikanlah keterangan bagian materi yang tersulit.

2. Perhatikan kembali contoh-contoh yang disajikan pada bagian ini.

Urutkanlah nomor contoh-contoh tersebut mulai dari yang tersulit

sampai yang termudah.

3. Kerjakan kembali latihan soal-soal yang ada dalam materi. Sebaiknya

Anda lakukan modifikasi soal kemudian selesaikan.

4. Tuliskan sepuluh kalimat pernyataan dan bukan pernyataan yang

dikatakan oleh politisi Indonesia yang dimuat di surat kabar. Sertakan

sumber kutipan Anda.

5. Tuliskanlah pertanyaan-pertanyaan yang belum Anda temukan

jawabannya yang terkait dengan materi di atas.

6. Buatlah lima kalimat pernyataan majemuk konjungsi

7. Buatlah lima kalimat pernyataan majemuk disjungsi

8. Buatlah lima kalimat pernyataan majemuk implikasi

9. Buatlah lima kalimat pernyataan majemuk biimplikasi

10. Dari soal nomor 5 buatlah negasi dari kalimat pernyataan tersebut.

TABEL NILAI KEBERNARAN 19

TABEL NILAI KEBENARAN

2.1. Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk

Untuk memeriksa nilai kebenaran dari pernyataan majemuk untuk

berbagai kombinasi nilai kebenaran pernyataan-pernyataan sederhana yang

membangun pernyataan majemuk tersebut, biasanya digunakan tabel nilai

kebenaran. Dari tabel – tabel nilai kebenaran di atas, dapat dilihat bahwa

jika pernyataan majemuk dibentuk dari dua pernyataan sederhana, maka

ada empat kombinasi nilai kebenaran untuk pernyataan – pernyataan

sederhana tersebut. Hal ini dapat dilihat pada tabel berikut.

Pernyataan majemuk

B

B

S S

B

S

B S

Ketika pernyataan majemuk dibentuk dari tiga pernyataan sederhana,

maka ada delapan kombinasi nilai kebenaran untuk pernyataan –

pernyataan sederhana tersebut. Hal ini dapat dilihat pada tabel berikut:

p Pernyataan majemuk

B

B

B

B

S S

S

S

B

B

S

S

B B

S

S

B

S

B

S

B S

B

S

Secara umum, jika pernyataan majemuk dibuat dari pernyataan

sederhana, maka ada kombinasi nilai kebenaran untuk pernyataan –

pernyataan sederhana.

BAB

2

20 TABEL NILAI KEBERNARAN

Selanjutnya akan disajikan beberapa contoh membuat tabel nilai

kebenaran dari pernyataan majemuk.

Berikut diberikan contoh dari tabel nilai kebenaran pernyataan

majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan sederhana.

Contoh 2.1

Pernyataan majemuk : Tidak benar bahwa Ida anak yang tidak sopan atau

Ida anak yang pandai.

Misalkan pernyataan “Ida anak yang sopan” disimbol dengan dan

pernyataan “Ida anak yang pandai” disimbol dengan maka pernyataan

majemuk di atas disimbol dengan

Tabel nilai kebenaran untuk pernyataan majemuk di atas adalah

sebagai berikut :

B

B

S S

B

S

B S

S

S

B B

B

S

B B

S

B

S S

Dua kolom pertama adalah untuk nilai kebenaran pernyataan

sederhana dan . Kolom ketiga memuat nilai kebenaran dari negasi .

Kolom ketiga ini dibuat untuk memudahkan penentuan nilai pada kolom

empat. Kolom keempat memuat nilai kebenaran disjungsi dari dan

Kolom kelima ini dibuat untuk memudahkan penentuan nilai pada kolom

empat. Akhirnya, kolom kelima memuat negasi dari nilai kebenaran dari

pernyataan majemuk

Lengkapilah contoh-contoh berikut ini untuk lebih memahami

penentuan tabel nilai kebenaran untuk pernyataan majemuk yang dibentuk

dari dua pernyataan sederhana.

Contoh 2.2

Pernyataan majemuk : Tidak benar bahwa hari ini adalah bukan hari

Senin dan besok adalah hari Kamis


Misalkan pernyataan “…………………..” disimbol dengan dan

pernyataan “………………………” disimbol dengan maka pernyataan

majemuk di atas disimbol dengan…………..


sebagai berikut :

…… ………….. ……………….

B

B

S S

B

S

B S

Contoh 2.3

Pernyataan majemuk :…………. Misalkan pernyataan “……..…..”

disimbol dengan dan pernyataan “………………” disimbol dengan

maka pernyataan majemuk di atas disimbol dengan…………..


sebagai berikut :

…… ………….. ……………….

B

B

S

S

B

S

B

S

Contoh-contoh berikut disajikan sebagai bahan untuk memahami

pembentukan tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk yang

mengandung tiga pernyataan sederhana.

Contoh 2.4

Pernyataan majemuk yang dibuat dari tiga pernyataan sederhana

seperti [ ] mempunyai bentuk tabel nilai kebenaran sebagai

berikut.


[ ] B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

S

S

S

S

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

B

B

B

B

S

S

S

S

S

S

S

S

B

B

B

Tiga kolom pertama adalah untuk nilai kebenaran pernyataan

sederhana dan . Kolom empat dan lima dibuat untuk memudahkan

penentuan nilai pada kolom enam. Kolom keenam dibuat untuk

memudahkan penentuan nilai pada kolom tujuh.

Lengkapilah contoh-contoh berikut ini untuk lebih memahami

penentuan tabel nilai kebenaran untuk pernyataan majemuk yang dibentuk

dari dua pernyataan sederhana.

Contoh 2.5


seperti [ ] mempunyai bentuk tabel nilai kebenaran sebagai

berikut.

p

B

B

B

B

S

S S

S

B

B

S

S

B

B S

S

B

S

B

S

B

S B

S


Contoh 2.6


seperti………………mempunyai bentuk tabel nilai kebenaran sebagai

berikut.

B

B

B B

S

S

S

S

B

B

S S

B

B

S

S

B

S

B S

B

S

B

S

2.2. Jenis Pernyataan Majemuk.

Dalam buku ini, pernyataan dibagi kedalam tiga tipe, yaitu pernyataan

tautologi, pernyataan salah, dan pernyataan tak tentu.

Definisi 2.1

Pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran selalu BENAR untuk

semua kombinasi nilai kebenaran dari pernyataan–pernyataan sederhana

yang membentuknya disebut tautologi.

Contoh 2.7

Ani pandai atau Ani bodoh.

Jika melambangkan pernyataan “ Dia Pandai “, maka pernyataan di

atas ditulis dalam bentuk simbol sehingga tabel nilai

kebenarannya.

B

S

S

B

B

B

Dari tabel dapat dilihat bahwa pernyataan majemuk selalu

bernilai benar. Dengan demikian pernyataan di atas adalah Tautologi.


Berikanlah satu contoh pernyataan tautologi. Tuliskan contoh anda

pada tempat kosong yang disediakan.

Contoh 2.8

…………………………………………………

Jika melambangkan pernyataan “ ……………”, maka pernyataan di atas

ditulis dalam bentuk simbol ………… sehingga tabel nilai kebenarannya.

B

S

S

B

Definisi 2.2

Pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran selalu SALAH untuk

semua kombinasi nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan sederhana

yang membentuknya disebut pernyataan salah (false statement).

Contoh 2.9

Dia rajin dan dia malas.

Jika melambangkan pernyataan “Dia rajin”, maka pernyataan

majemuk di atas ditulis dalam bentuk simbol sehingga tabel nilai

kebenarannya tampak seperti

B

S

S

B

S

S

Dari tabel dapat dilihat bahwa pernyataan majemuk selalu

bernilai SALAH. Pernyataan salah. Berikanlah satu contoh pernyataan

salah. Tuliskan contoh anda pada tempat kosong yang disediakan.

Contoh 2.10

………………………………………..

Jika melambangkan pernyataan “………”, maka pernyataan

majemuk di atas ditulis dalam bentuk simbol sehingga tabel nilai

kebenarannya tampak seperti


B

S

S

B

Definisi 2.3

Pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran bisa BENAR dan bisa

juga SALAH tergantung dari nilai pernyataan sederhana yang membentuk-

nya disebut pernyataan tak tentu.

Contoh 2.11

Adi mahasiswa UNHAS dan Adi mahasiswa yang pandai. Jika

simbol dari “Adi Mahasiswa UNHAS” dan simbol dari “Adi Mahasiswa

yang pandai” maka pernyataan majemuk ditulis dalam bentuk simbol

Sehingga nilai kebenarannya ditampilkan dalam tabel sebagai

berikut.

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

Dari tabel dapat dilihat bahwa pernyataan majemuk bisa

bernilai BENAR dan bisa bernilai SALAH. Jadi pernyataan tersebut di atas

adalah pernyataan tak tentu.

Berikanlah satu contoh pernyataan tak tentu. Tuliskan contoh anda

pada tempat kosong yang disediakan.

Contoh 2.12

Pernyataan majemuk: ………… ………… …………… ……………

………... …………

Jika simbol dari “ …………….. “ dan simbol dari “ ………….. “

maka pernyataan majemuk ditulis dalam bentuk symbol ……… Sehingga

nilai kebenarannya ditampilkan dalam tabel sebagai berikut.


B

B

S

S

B

S

B

S

2.3. Menentukan Jenis Pernyataan Majemuk.

Ada dua cara yang dapat dilakukan untuk menentukan jenis pernyataan

majemuk. Cara pertama adalah dengan membuat tabel nilai kebenran

pernyataan tersebut. Cara kedua adalah dengan menggunakan analisis dari

nilai kebenaran penyataan konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.

Contoh 2.13

Tentukan jenis pernyataan majemuk yang disimbol dengan

Pembahasan:

Cara Pertama dengan tabel nilai kebenaran:

B

S

S

B

S

B

S

S

B

B

Dari tabel terlihat bahwa pernyataan selalu bernilai

benar. Jadi pernyataan tersebut adalah tautologi.

Cara kedua dengan menggunakan analisis.

Perhatikan pernyataan Penyataan ini merupakan

implikasi dengan sisi kiri (anteseden) adalah Mudah dilihat

bahwa pernyataan selalu bernilai salah. Pada sisi lain, implikasi

yang nilai antesedennya bernilai salah pasti bernilai benar. Jadi

disimpulkan bahwa pernyataan selalu bernilai benar.

Dengan demikian pernyataan tersebut adalah tautologi.

Contoh 2.14


Pembahasan:



B

S

S

B

B

S

B

B

B

B

Dari tabel terlihat bahwa pernyataan selalu bernilai benar.

Jadi pernyataan tersebut adalah tautologi.


Perhatikan pernyataan. . Pernyataan ini merupakan

implikasi dengan sisi kanan (konsekuen) adalah Mudah dilihat

bahwa pernyataan selalu bernilai salah. Pada sisi lain implikasi

yang nilai konsekuennya bernilai benar pasti bernilai benar. Jadi



Berikut diberikan contoh-contoh kalimat majemuk yang dibangun

dengna tiga pernyataan.

Contoh 2.15


Pembahasan:


B

B B

B

S

S

S

S

B

B S

S

B

B

S

S

B

S B

S

B

S

B

S

S

S S

S

B

B

B

B

S

S S

S

S

S

S

S

B

B B

S

B

B

B

S

B

B B

B

B

B

B

B

Dari tabel terlihat bahwa pernyataan selalu

bernilai benar. Jadi pernyataan tersebut adalah tautologi.



Perhatikan pernyataan . Pernyataan ini merupakan

implikasi dengan sisi kiri (anteseden) adalah Mudah dilihat

bahwa pernyataan selalu bernilai salah. Pada sisi lain, implikasi

yang nilai antesedennya bernilai salah pasti bernilai benar. Jadi



Contoh 2.16


Pembahasan:


B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

S

S

S

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Dari tabel terlihat bahwa pernyataan selalu

bernilai benar. Jadi pernyataan tersebut adalah tautologi.


Perhatikan pernyataan . Pernyataan ini merupakan

implikasi dengan sisi kanan (konsekuen) adalah Mudah dilihat

bahwa pernyataan selalu bernilai benar. Pada sisi lain implikasi

yang nilai konsekuennya bernilai benar pasti bernilai benar. Jadi

disimpulkan bahwa pernyataan tersebut selalu bernilai benar. Dengan

demikian pernyataan tersebut adalah tautology.


Contoh 2.17

Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan tautologi.

[ ] [ ]

Pembahasan:

Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran:

[ ] [ ]

B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

B

S

S

B

S

S

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Contoh berikut diberikan kepada pembaca sebagai latihan. Tuliskan

jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan

Contoh 2.18

Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah Tautologi.

[ ]

Pembahasan:


B

B B

B

S

S

S

S

B

B S

S

B

B

S

S

B

S B

S

B

S

B

S

Cara kedua dengan menggunakan analisis. (Tuliskan jawaban Anda

pada tempat kosong yang disediakan).


Contoh 2.19

Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah Tautologi.

[ ] [ ]

Pembahasan:


B B

B

B

S

S

S

S

B B

S

S

B

B

S

S

B S

B

S

B

S

B

S

Cara kedua dengan menggunakan analisis. (Tuliskan jawaban Anda

pada tempat kosong yang disediakan).


Berikut disajikan beberapa contoh pernyataan salah.

Contoh 2.20

Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan salah.

[ ] [ ]

Pembahasan:


[ ] [ ]

B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

S

B

S

B

B

B

S

B

B

S

B

S

S

S

B

S

S

S

S

S

S

S

S

S

Dari kolom terakhir tabel di atas terlihat bahwa pernyataan

[ ] [ ]

selalu bernilai salah.

Contoh 2.21


[ ] [ ]

Pembahasan:


[ ] [ ]

B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

B

S

S

B

S

S

S

B

S

B

S

S

S

S

S

S

S

S




Contoh 2.22


[ ] [ ]

Pembahasan:


B

B

B

B S

S

S

S

B

B

S

S B

B

S

S

B

S

B

S B

S

B

S

Contoh 2.23


[ ] [ ]

Pembahasan:


B

B

B

B

S

S

S S

B

B

S

S

B

B

S S

B

S

B

S

B

S

B S

Berikut diberikan contoh kalimat pernyataan yang tergolong

pernyataan tak tentu.

Contoh 2.24


[ ]


Pembahasan:

Analisis dengan mengunakan tabel nilai kebenaran

Pembahasan:


[

B

B

B

B S

S

S

S

B

B

S

S B

B

S

S

B

S

B

S B

S

B

S

S

S

B

B S

S

B

B

B

B

B

B S

S

B

B

B

S

B

S S

S

B

S

Dari kolom terakhir tabel terlihat bahwa pernyataan

[ ]

Kadang bernilai benar dan kadang bernilai salah. Oleh karena itu,

pernyataan tersebut tergolong pernyataan tak tentu.

Contoh 2.25

Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut adalah pernyataan tak tentu.

[ ] [ ]

Pembahasan:


[ ] [ ]

B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

S

B

S

B

B

B

S

B

B

S

B

S

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

B

S


[ ] [ ]

kadang bernilai benar dan kadang bernilai salah.


Contoh 2.26


[ ] [ ]

Pembahasan:


[ ] [ ]

B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

B

S

B

S

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

B

S


[ ] [ ]

kadang bernilai benar dan kadang bernilai salah.



Contoh 2.27


[ ] [ ]

Pembahasan:


B

B

B B

S

S

S

S

B

B

S S

B

B

S

S

B

S

B S

B

S

B

S


Contoh 2.28


[ ] [ ]

Pembahasan:


B B

B

B

S

S

S

S

B B

S

S

B

B

S

S

B S

B

S

B

S

B

S

Contoh 2.29


[ ] [ ]

Pembahasan:


B

B

B

B

S S

S

S

B

B

S

S

B B

S

S

B

S

B

S

B S

B

S

Contoh 2.30


[ ] [ ]


Pembahasan:


B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

Pada bagian akhir bab ini diberikan beberapa contoh untuk diperiksa

apakah pernyataan-pernyataan yang diberikan tergolong pernyataan

tautologi, pernyataan salah, atau pernyataan tak tentu. Contoh-contoh yang

diberikan merupakan kalimat pernyataan dengan empat unsur pembangun.

Contoh 2.31

Periksalah pernyataan berikut:.

[ ] [ ]

Pembahasan:


B

B

B

B B

B

B

B

S

S

S

S

S

S

S

S

B

B

B

B S

S

S

S

B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S B

B

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S


Contoh 2.32


[ ] [ ]

Pembahasan:


Pembahasan:


B

B

B

B B

B

B

B

S

S

S

S

S

S

S S

B

B

B

B S

S

S

S

B

B

B

B

S

S

S S

B

B

S

S B

B

S

S

B

B

S

S

B

B

S S

B

S

B

S B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B S

Contoh 2.33


[ ] [ ]

Pembahasan:


Pembahasan:


B B B B B B

B B B B S S

B B S S B B

B S B S B S


B

B S S S S S S S S

S

S B B B B S S S S

S

S B B S S B B S S

B

S B S B S B S B S

Soal-soal Latihan








4. Perhatikan pernyataan berikut, “Jika Ida anak yang tidak sopan maka

Ida anak yang pandai.”. Tuliskan pernyataan tersebut dalam simbol

dan periksa nilai tabel kebenaran tersebut

5. Buatlah 5 kalimat pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran

yang benar.

6. Buatlah 5 kalimat pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran

yang salah.

7. Tentukan jenis pernyataan majemuk yang disimbol dengan

8. Tentukan jenis pernyataan berikut:

[ ] [ ]

9. Tentukan jenis pernyataan berikut:

[ ] [ ]

10. Periksa nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut dengan

menggunakan tabel kebenaran

[ ] [ ]


RELASI PERNYATAAN

Pada subbagian ini akan diamati relasi antara dua pernyataan berdasarkan

nilai kebenarannya. Secara umum ada tiga cara untuk menghubungkan

atau merelasikan dua buah pernyataan. Dua pernyataan dapat mempunyai

nilai kebenaran yang identik, dua pernyataan dapat mempunyai sebagian

nilainya identik dan sebagian lagi berlawanan. Untuk lebih jelasnya kita

perhatikan uraian berikut.

3.1. Pernyataan Ekuivalen

Definisi 3.1

Dua pernyataan dikatakan saling EKUIVALEN jika dan hanya jika

mereka mempunyai nilai kebenaran yang sama. Artinya, jika pernyataan

yang satu bernilai BENAR, maka pernyataan yang lain juga bernilai

BENAR. Begitu juga sebaliknya, jika pernyataan yang satu SALAH, maka

pernyataan yang lainnya juga SALAH.

Contoh 3.1

Amatilah jenis hubungan antara dua pernyataan berikut!

Pernyataan 1 : Hal itu tidak benar bahwa dia tidak pergi kuliah atau dia

pergi ke pasar.

Pernyataan 2 : Dia pergi kuliah dan dia tidak pergi ke pasar.

Pengamatan:

Misalkan adalah simbol dari pernyataan “Dia pergi kuliah” dan adalah

simbol dari pernyataan “Dia pergi ke pasar”, maka simbol dari pernyataan

1 adalah [ ] dan simbol dari pernyataan 2 adalah

Selanjutnya, dengan tabel nilai kebenaran kedua pernyataan tersebut

adalah sebagai berikut :

BAB

3

40 RELASI PERNYATAAN

Tabel 3.1 Pernyataan 1

B

B

S

S

B

S

B

S

S

B

S

S

Tabel 3.2 Pernyataan 2

B

B

S

S

B

S

B

S

S

B

S

S

Dari tabel pernyataan 1 dan tabel pernyataan 2 dapat dilihat bahwa

pernyataan 1 dan pernyataan 2 mempunyai nilai kebenaran yang sama

(identik) sehinggga dikatakan bahwa pernyataan 1 ekuivalen dengan

pernyataan 2.

Lengkapilah contoh berikut untuk menambah pemahaman tentang

hubungan ekuivalen antara dua pernyataan!

Contoh 3.2

Amatilah jenis hubungan antara dua pernyataan berikut!

Pernyataan 1 : Dia tidak pergi kuliah dan hal itu tidak benar bahwa dia

pergi ke pasar.

Pernyataan 2 : jika dia pergi kuliah, maka dia pergi ke pasar.

Pengamatan:

Misalkan adalah simbol dari pernyataan “. . . . . . . . . . . . . .”dan

adalah simbol dari pernyataan “. . . . . . . . . . . . . . . . .”, maka

simbol dari pernyataan 1 adalah . . . . . dan simbol dari pernyataan 2

adalah . . . . . . . Selanjutnya, dengan tabel nilai kebenaran kedua

pernyataan tersebut adalah sebagai berikut :


Tabel pernyataan 1

B

B

S

S

B

S

B

S

Tabel pernyataan 2

B

B

S

S

B

S

B

S

Contoh 3.3

Buatlah contoh sendiri dua kalimat pernyataan yang ekuivalen. Tuliskan

pada tempat kosong yang disediakan kemudian sajikan pengamatannya).

Pernyataan 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pernyataan 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pengamatan:

Berikut disajikan beberapa pernyataan yang saling ekuivalen.


Ekuivalen – Ekuivalen Khusus

3.1.1. Ekuivalen Negasi Ganda

ekuivalen dengan

B

S

S

B

B

S

Contoh 3.4

[ ] ekuivalen dengan


Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di

atas betul ekuivalen!

p r [ ] B

B

S

S

B

S

B

S

p q [ ] B

B

S

S

B

S

B

S

3.1.2. Ekuivalen Idempoten

ekuivalen dengan

ekuivalen dengan

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S


Contoh 3.5

ekuivalen dengan




r B

S

S

B

p q [ ] B

B

S

S

B

S

B

S

3.1.3. Ekuivalen Komutatif

ekuivalen dengan

ekuivalen dengan

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

B

B

B

S

Contoh 3.6

ekuivalen dengan

[ ] ekuivalen dengan [ ]

Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di atas

betul ekuivalen!

p q B B

S

S

B S

B

S


p q r [ ] [ ] B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

3.1.4. Ekuivalen Assosiatif



[ ] [ ] B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B

S

B

B

B

B

B

B

B

S

[ ] [ ] B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

S

S

S

S

S

S

B

S

S

S

S

S

S

S

Contoh 3.7






[ ] [ ] B

B B B S S S S

B

B S S B B S S

B

S B S B S B S

[ ] [ ] B B B

B S S S S

B B S

S B B S S

B S B

S B S B S

3.1.5. Ekuivalen Distribusi


[ ] ekuivalen dengan [ ] [ ] [ ] B B B

B S S S S

B B S

S B B S S

B S B

S B S B S

B B B

S S S S S

B B B

S S S S S

[ ] [ ] B B B B S

S S S

B B S S B

B S S

B S B S B

S B S

B B B B B

S S S

B B B B B

S S S


Contoh 3.8


ekuivalen dengan [ ] [ ]



[ ] [ ] B

B

B B

S

S

S

S

B

B

S S

B

B

S

S

B

S

B S

B

S

B

S

[ ] [ ]

B B

B

B

S

S

S

S

B B

S

S

B

B

S

S

B S

B

S

B

S

B

S

3.1.6. Ekuivalen De Morgan

ekuivalen dengan

ekuivalen dengan

B B S S

B S B S

S S S B

S S S B

B B S

S

B S B

S

S B B

B

S B B

B


Contoh 3.9

ekuivalen dengan




B

B

S S

B

S

B S

[ ] [ ] B

B

S

S

B

S

B

S

3.1.7. Ekuivalensi Kondisional

ekuivalen dengan

ekuivalen dengan

B

B S

S

B

S B

S

B

S B

B

B

S B

B

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

B

B

Contoh 3.10

ekuivalen dengan





B

B

S

S

B

S

B

S

r [ ] [ ] B

B

B

B S

S

S

S

B

B

S

S B

B

S

S

B

S

B

S B

S

B

S

3.1.8. Ekuivalensi Kontrapositif

ekuivalen dengan kontrapositifnya )

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

B

B

Contoh 3.11

ekuivalen dengan




B

B

S

S

B

S

B

S


[ ] [ ] B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

3.1.9. Ekuivalensi Bikondisional

ekuivalen dengan [ ]

[ ] B

B

S S

B

S

B S

B

S

S B

B

S

S B

Contoh 3.12





[ ]

B

B

S

S

B

S

B

S

[ ] B

B

S

S

B

S

B

S


3.2. Pernyataan Kontradiksi

Pembahasan selanjutnya mengenai dua pernyataan yang saling kontradiksi.

Definisi 3.2

Dua pernyataan dikatakan saling KONTRADIKSI jika dan hanya jika

mereka mempunyai nilai kebenaran yang saling berlawanan. Artinya, jika

pernyataan yang satu bernilai benar, maka pernyataan yang lain bernilai

salah. Begitu juga sebaliknya jika pernyataan yang satu bernilai salah,

maka pernyataan yang lain bernilai benar.

Contoh 3.13

Pernyataan 1 : Dia tidak pergi kuliah dan dia belajar di rumah.

Pernyataan 2 : Jika dia belajar di rumah, maka dia pergi kuliah.

Misalkan adalah simbol dari pernyataan “ Dia pergi kuliah “ dan

adalah simbol dari pernyataan “ Dia belajar di rumah “, maka simbol dari

pernyataan 1 adalah dan simbol dari pernyataan 2 adalah

Tabel nilai kebenaran dari kedua pernyataan di atas sebagai berikut :

Tabel 3.3Pernyataan Kontradiksi 1

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

S

Tabel 3.4 Pernyataan Kontradiksi 2

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

S

B

Dari tabel pernyataan 1 dan pernyataan 2 dapat dilihat bahwa

pernyataan 1 dan pernyataan 2 mempunyai nilai kebenaran yang


berlawanan sehingga dikatakan bahwa pernyataan 1 KONTRADIKSI

dengan pernyataan 2.

Lengkapilah contoh dua kalimat pernyataan berikut ini yang saling

kontradiksi!

Contoh 3.14

Pernyataan 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pernyataan 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pembahasan:

Misalkan adalah simbol dari pernyataan “ . . . . . . . .”dan adalah simbol

dari pernyataan “. . . . . . . . . .”, maka simbol dari pernyataan 1 adalah . . .

. . . . dan simbol dari pernyataan 2 adalah . . . . . . . .


Tabel pernyataan 1

B

B S

S

B

S B

S

Tabel pernyataan 2

B B

S

S

B S

B

S

Contoh 3.15

[ ] kontradiksi dengan [ ]


atas betul kontradiksi!

[ ] [ ]

B

B

B

B

B

S

B

S

B


[ ] [ ]

B

S S

S

S

S

B B

S

S

S

B S

B

S

3.3. Pernyataan Tidak Berelasi

Definisi 3.3

Dua pernyataan dikatakan saling tidak berelasi jika dan hanya jika

mereka tidak saling ekuivalen dan tidak saling kontradiksi. Artinya,

beberapa nilai kebenaran sama dan beberapa yang lainnya berlawanan.

Contoh 3.16

Pernyataan 1 : Dia pergi kuliah dan dia belajar Matematika.

Pernyataan 2 : Dia pergi kuliah atau dia belajar Matematika.

Misalkan adalah simbol dari pernyataan “Dia pergi kuliah” dan

adalah simbol dari pernyataan “Dia belajar matematika”, maka simbol dari

pernyataan 1 adalah dan simbol dari pernyataan 2 adalah


Tabel pernyataan 1

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

Tabel pernyataan 2

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S


Dari tabel pernyataa 1 dan pernyataan 2 dapat dilihat bahwa

pernyataan 1 dan pernyataan 2 saling tidak berhubungan.

Lengkapilah contoh dua kalimat pernyataan berikut ini yang tidak

saling berhubungan!

Contoh 3.17

Pernyataan 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pernyataan 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pembahasan:

Misalkan adalah simbol dari pernyataan “ . . . . . . . .” dan adalah

simbol dari pernyataan “. . . . . . . . . .”, maka simbol dari pernyataan 1

adalah . . . . . . . dan simbol dari pernyataan 2 adalah . . . . . . . .


Tabel pernyataan 1

B

B

S

S

B

S

B

S

Tabel pernyataan 2

B B

S

S

B S

B

S

Contoh 3.18

[ ] tidak berelasi dengan [ ]


Lengkapi tabel berikut untuk membuktikan bahwa kedua contoh di atas

betul kontradiksi!

[ ] [ ] B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

3.4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Pada bagian ini akan dipelajari hubungan dari beberapa bentuk implikasi.

Beberapa dari mereka saling ekuivalen, namun beberapa yang lainnya

tidak saling ekuivalen. Dengan mengacu pada implikasi kita

definisikan bentuk–bentuk implikasi yang lain yang berhubungan dengan

bentuk implikasi

Definisi 3.4 (konvers)

Konvers dari implikasi adalah implikasi . Konvers dari

implikasi dibentuk dengan menukarkan anteseden dengan

konsekuen

Contoh 3.19 (konvers)

Konvers dari implikasi adalah implikasi

Definisi 3.5 (invers)

Invers dari implikasi adalah implikasi Invers dari

implikasi dibentuk dengan menegasikan anteseden dan

konsekuen

Contoh 3.20 (invers)

Konvers dari implikasi adalah implikasi


Definisi 3.6 (kontraposisi)

Kontraposisi dari implikasi adalah implikasi

Kontraposisi dari implikasi dibentuk dengan menegasikan dan

menukarkan anteseden dengan konsekuen

Contoh 3.21 (kotraposisi)

Kontraposisi dari implikasi adalah implikasi

Contoh 3.22

Berikut diberikan contoh dalam bentuk kalimat.

Implikasi : Jika kamu rajin belajar, maka kamu lulus ujian.

Konvers : Jika kamu lulus ujian, maka kamu rajin belajar.

Invers : Jika kamu tidak rajin belajar, maka kamu tidak lulus ujian.

Kontraposisi : Jika kamu tidak lulus ujian, maka kamu tidak rajin belajar.

Contoh 3.23

Lengkapi contoh-contoh berikut!

1. Implikasi : Jika kamu rajin puasa, maka kamu sehat.

2. Konvers : ……………………………………….

3. Invers : …………………………………………..

4. Kontraposisi : …………………………………………..

Hubungan antara implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya

diperlihatkan pada tabel berikut ini

Tabel 3.5 Tabel Implikasi, Konvers. Invers, dan Kontraposisi

Implikasi Konvers Invers Kontraposisi

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

B

S

B

B

B

S

B

B

S

B

B

Dari tabel dapat dilihat bahwa:

1. Implikasi dan konversnya adalah dua pernyataan yang tidak berelasi

(berhubungan).


2. Implikasi dan inversnya adalah dua pernyataan yang tidak berelasi

(berhubungan).

3. Implikasi dan inversnya adalah dua pernyataan yang tidak berelasi

(berhubungan).

4. Implikasi dan kontraposisi adalah dua pernyataan yang saling

ekuivalen.

5. Konvers dan invers dari suatu implikasi adalah dua pernyataan yang

saling ekuivalen.

Tugas dan Latihan








4. Buatlah dua kalimat pernyataan yang ekuivalen.

5. Buatlah 3 contoh pernyataan ekuivalensi idempotent, ekuivalensi

kontrapositif

6. Buatlah 3 contoh pernyataan ekuivalensi bikondisional, ekuivalensi

kondisional

7. Buatlah 3 contoh pernyataan ekuivalensi negasi ganda, ekuivalensi de

morgan

8. Buatlah 3 contoh pernyataan ekuivalensi assosiatif, ekuivalensi

kontrapositif

9. Buatlah 3 contoh pernyataan tidak berelasi

10. Buatlah 3 contoh invers, konvers, dan kontrapositif dari satu kalimat

implikasi.

ARGUMEN 57

ARGUMEN

Pada bab sebelumnya telah diperiksa nilai kebenaran satu pernyataan atau

hubungan nilai kebenaran dari dua pernyataan. Pada bab ini akan diperiksa

nilai kebenaran dari deretan pernyataan–pernyataan. Deretan pernyataan–

pernyataan ini selanjutnya disebut argumen.

Definisi 4.1

Suatu argumen adalah barisan pernyataan–pernyataan. Pernyataan

terakhir disebut kesimpulan dan pernyataan lainnya disebut premis.

Berikut diberikan contoh argumen.

Contoh 4.1

Pernyataan 1. Jika Adi rajin belajar maka Adi lulus ujian

Pernyataan 2. Adi lulus ujian

Pernyataan 3. Oleh karena itu, Adi rajin belajar.

Argumen pada contoh di atas memuat 2 premis, yaitu pernyataan 1

dan pernyataan 2. Argumen di atas memuat satu kesimpulan, yaitu

pernyataan 3.

Hal yang ingin diketahui dari suatu argumen bukanlah nilai benar atau

salahnya, melainkan apakah kesimpulan yang diambil cukup logis atau

tidak. Argumen yang dimaksud logis adalah apakah barisan premis–premis

cukup untuk dipakai menarik kesimpulan. Dengan kata lain, premis-premis

yang bernilai benar akan melahirkan kesimpulan bernilai benar.

Selanjutnya, untuk kenyamanan, istilah argumen logis diganti dengan

argumen valid. Berikut diberikan definisi formal argumen valid.

Definisi 4.2

Argumen disebut valid, jika ketika premis– premisnya bernilai benar,

maka kesimpulan juga bernilai benar.

BAB

4

58 ARGUMEN

Contoh 4.2

Premis 1. Ida pergi ke kampus atau Ida pergi ke pasar.

Premis 2. Ida tidak pergi ke pasar.

Kesimpulan. Oleh karena itu, Ida pergi ke kampus.

Analisis validitas :

Misalkan premis 1 dan premis 2 benar. Hal ini berarti bahwa Ida tidak

pergi ke pasar bernilai benar. Dengan demikian, pernyataan Ida pergi ke

pasar bernilai salah. Karena pernyataan Ida pergi ke pasar bernilai salah

dan premis 1 bernilai benar, maka diperoleh pernyataan Ida pergi ke

kampus bernilai benar. Jadi argumen di atas bernilai valid, karena premis–

premis bernilai benar mengakibatkan kesimpulan bernilai benar.

Contoh 4.3

Premis 1 : Jika Ani rajin, maka Ani pandai.

Premis 2 : Ani tidak pandai.

Premis 3 : Oleh karena itu, Ani rajin.

Analisis validitas

Misalkan premis 1 dan premis 2 benar. Hal ini berarti bahwa Ani

tidak pandai bernilai benar. Dengan demikian, pernyataan Ani pandai

bernilai salah. Karena pernyataan Ani pandai bernilai salah dan premis 1

bernilai benar, maka Ani rajin bernilai salah. Jadi, karena premis-premis

bernilai benar melahirkan kesimpulan bernilai salah, maka argumen tidak

valid.

Untuk mengefektifkan latihan penilaian validitas argumen, selanjut-

nya argumen ditulis dalam bentuk simbol.

Contoh 4.4

Jika pernyataan–pernyataan yang ada pada Contoh 4.2 di atas disimbol

sebagai berikut :

Pernyataan “Ida pergi ke kampus” disimbol .

Pernyataan “Ida pergi ke pasar” disimbol .

ARGUMEN 59

Maka argumen pada Contoh 4.2 disimbol seperti

Contoh 4.5

Jika pernyataan–pernyataan yang ada pada contoh 4.3 di atas disimbol

sebagai berikut :

Pernyataan “Ani rajin” disimbol .

Pernyataan “Ani pandai” disimbol .

Maka argumen di atas disimbol

Uji validitas argumen dapat dilakukan dengan beberapa metode.

Dalam pembahasan ini disajikan metode tabel nilai kebenaran dan metode

diagram alir.

4.1. Metode tabel kebenaran

Metode tabel nilai kebenaran dijalankan sebagai berikut :

Tuliskan semua nilai kebenaran dari premis – premis dan kesimpulan

dalam satu tabel. Karena validitas argumen berarti premis–premis yang

benar akan mengantar ke kesimpulan yang benar, maka nilai – nilai yang

diperhatikan pada tabel adalah nilai–nilai benar pada premis. Selain dari

nilai–nilai tersebut tidak diperhatikan.

Contoh 4.6

60 ARGUMEN

Tabel nilai kebenaran

Pernyataan pembangun Premis - premis kesimpulan

Pada tabel hanya ada satu baris (baris dua) dengan nilai premis –

premis bernilai benar. Karena premis yang bernilai benar mengantar ke

kesimpulan yang bernilai benar, maka argumen valid.

Contoh 4.7


Ada dua baris (baris tiga dan baris empat) dengan nilai–nilai premis yang

benar. Karena premis–premis benar pada baris empat mengantar ke

kesimpulan yang salah maka argumen TIDAK VALID.

Contoh 4.8

ARGUMEN 61


Pada tabel hanya ada satu baris (baris satu) dengan nilai premis–

premis bernilai benar. Karena premis–premis bernilai benar mengantar ke

kesimpulan benar, maka argumen valid.

Contoh 4.9


Karena tidak ada baris dengan premis – premis bernilai benar, maka

argumen valid.

Berikut disajikan contoh-contoh sebagai latihan bagi pembaca

menguji validitas argumen.

Contoh 4.10

Diberikan argumen,

62 ARGUMEN

Lengkapilah tabel berikut untuk memeriksa validitas argumen.


Contoh 4.11

Diberikan argumen,

Lengkapi tabel berikut untuk memeriksa validitas argument.


Contoh 4.12

Diberikan argumen,

Lengkapi tabel berikut untuk memeriksa validitas argumen!


ARGUMEN 63

Contoh – contoh yang telah diberikan adalah contoh – contoh

argumen dengan dua unsur pembangun. Berikut diberikan contoh – contoh

argumen dengan tiga unsur pembangun.

Contoh 4.13


Hanya ada satu baris (baris terakhir) dengan premis – premis benar.

Karena premis – premis benar mengantar ke kesimpulan benar, maka

argumen valid.

Contoh 4.14

Pernyataan pembangun Premis – premis kesimpulan

64 ARGUMEN

Baris keempat pada tabel memenuhi premis – premis benar. Karena

premis – premis benar mengantar ke kesimpulan salah, maka argumen

tidak valid.

Contoh 4.15

Diberikan argumen dengan tiga pernyataan pembangun. Lengkapilah

tabel kemudian lakukan analisis.


Contoh 4.16

Diberikan argumen dengan tiga pernyataan pembangun. Lengkapilah

tabel kemudian lakukan analisis.


ARGUMEN 65


4.2. Metode Diagram Alir

Uji validitas argumen menggunakan metode diagram alir dilakukan

dengan dua cara. Cara pertama disebut cara langsung dan cara kedua

disebut cara tidak langsung.

4.2.1. Cara Langsung

Uji validitas dengan cara langsung dilakukan sebagai berikut :

Tetapkan nilai premis–premis benar. Dari nilai premis yang benar

diturunkan nilai–nilai menggunakan logika untuk memastikan nilai

kebenaran dari kesimpulan. Apabila dapat dipastikan bahwa nilai

kebenaran kesimpulan adalah benar, maka argumen valid. Jika tidak

demikian, maka argumen TIDAK VALID.

Contoh 4.17

Diberikan argumen

66 ARGUMEN

Diagram alir pengujjian validitas

Karena kesimpulan argumen, yaitu bernilai benar, maka argumen valid.

Contoh 4.18

Diberikan argumen


Karena kesimpulan, yaitu , bisa bernilai dan bisa bernilai maka

argumen TIDAK VALID.

𝑝 𝑞 𝐵

𝑝 𝑆 𝐵

𝑝 𝐵

𝑞 𝐵 =B

𝑞 𝑆

𝑝 𝑞 𝐵

𝑆 𝑞 𝐵

𝑞 𝐵 𝑆

𝑝 𝑆

𝑝 𝐵 =M=B

𝑝 𝑆

ARGUMEN 67

Contoh 4.19

Diberikan argumen


Karena pada diagram alir ada aliran yang menghasilkan kesimpulan, yaitu

bernilai Salah maka argumen TIDAK VALID.

Berikut diberikan contoh argumen dengan tiga pernyataan pembangun.

Contoh 4.20

Diberikan argumen

𝑝 𝑞 𝐵

𝑝 𝐵 𝑞 𝐵

𝑝 𝑆 𝑞 𝑆

𝑝 𝑞 𝐵

𝑝 𝑆 𝐵

𝑝 𝑆

𝑝 𝐵

68 ARGUMEN


Karena pada diagram alir ada aliran yang menghasilkan kesimpulan, yaitu

, bernilai benar, maka argumen valid.

Contoh 4.21

Diberikan argumen

𝑝 𝑞 𝐵

𝑞 𝑟 𝐵

𝑞 𝑆 𝐵

𝑞 𝐵

𝑞 𝑆

𝑟 𝐵

𝑟 𝑆

𝑝 𝑆 𝐵

𝑝 𝑆

𝑝 𝐵

ARGUMEN 69


Karena diperoleh kesimpulan, yaitu , bernilai Salah maka argumen

TIDAK VALID.

Berikut diberikan contoh argumen yang kesimpulannya berbentuk

implikasi.

Contoh 4.22

Diberikan argumen

Karena kesimpulan berbentuk implikasi, maka untuk membuktikan

kebenarannya dimisalkan anteseden benar selanjutnya dicari nilai

konsekuensi. Jika nilai konsekuensi ternyata benar, maka implikasi

bernilai benar.

𝑝 𝑞 𝐵 𝑞 𝑟 𝐵 𝑟 𝐵

𝑝 𝑆 𝐵

𝑝 𝐵

𝑝 𝑆

𝑞 𝑆 𝐵

𝑞 𝐵

𝑟 𝑆

70 ARGUMEN

Dengan memisalkan bernilai benar dapat diturunkan bahwa bernilai

benar. Oleh karena itu, implikasi bernilai benar. Dengan

demikian, argumen Valid.

Contoh 4.23

Diberikan argumen

Karena kesimpulan berbentuk disjungsi, maka untuk membuktikan

kebenarannya dapat dimisalkan salah satu dari pernyataan pembangunnya

bernilai Salah. Selanjutnya, dari nilai ini diturunkan untuk mendapatkan

nilai benar pernyataan pembangun yang Salah.

𝑝 𝑞 𝐵 𝑝 𝑟 𝐵

𝑝 𝑆 𝐵

𝑟 𝐵

𝑟 𝑆

𝑝 𝐵

𝐵 𝑞 𝐵

𝑞 𝐵

ARGUMEN 71

Dengan memisalkan bernilai salah dapat diturunkan bahwa bernilai

benar. Oleh karena itu, disjungsi bernilai benar. Dengan demikian,

argumen Valid.

4.2.2. Metode Tidak Langsung

Uji validitas dengan metode diagram alir cara langsung kadang – kadang

sulit dilakukan. Oleh karena itu, diperlukan juga cara tidak langsung.

Pada cara tidak langsung dimisalkan kesimpulan bernilai Salah. Dari

pemisalan ini diturunkan nilai–nilai logika dikombinasikan dengan nilai

benar dari premis –premis. Apabila dalam penurunan diperoleh suatu

kontradiksi, maka metode tidak langsung berhasil. Dengan kata lain,

argumen valid. Apabila dalam proses penurunan tidak ditemukan hal yang

kontradiksi, maka metode gagal. Dengan kata lain, argumen tidak dapat

dinilai.

𝑝 𝑞 𝐵 𝐵

𝑞 𝑟 𝐵

𝑞 𝑆 𝐵

𝑟 𝑆

𝑞 𝑆

𝑞 𝐵

𝑝 𝐵 𝐵

𝑝 𝐵

72 ARGUMEN

Contoh 4.24

Diberikan argumen

Pada metode tidak langsung kesimpulan dimisalkan salah. Jadi dalam

hal ini dimisalkan salah.

Dari pemisalan di atas diperoleh diagram alir sbb :

Pada akhir diagram diperoleh . Hal ini merupakan suatu

kontradiksi. Dengan demikian, argumen valid.

Contoh 4.25

Diberikan argumen

Karena kesimpulan adalah maka pada metode tidak langsung,

dimisalkan Salah. Dengan pemisalan seperti ini, diagram alir tampak

sebagai berikut.

𝑝 𝑞 𝐵 𝑝 𝑞 𝐵

𝑝 𝑆 𝐵

𝑞 𝑆

𝑝 𝐵

𝐵 𝑆 𝐵

ARGUMEN 73

Pada akhir diagram alir diperoleh . Hal ini merupakan suatu

kontradiksi. Dengan demikian, argumen Valid.

Contoh 4.26

Diberikan argumen

Untuk metode tidak langsung dimisalkan kesimpulan bernilai salah.

Jadi dimisalkan bernilai Salah. Sedangkan, jika implikasi

bernilai salah, maka diperoleh benar dan salah. Sehingga diagram

alir tampak sebagai berikut:

𝑝 𝑞 𝐵 𝑟 𝑞 𝐵 𝑟 𝐵

𝐵 𝑞 𝐵

𝑞 𝐵

𝑆 𝐵 𝐵

𝑝 𝑆

74 ARGUMEN


kontradiksi. Dengan demikian, argumen Valid.

Contoh 4.27

Diberikan argumen

Untuk metode tidak langsung dimisalkan kesimpulan bernilai Salah.

Jadi dimisalkan Salah. Sedangkan, jika disjungsi bernilai salah,

maka bernilai salah dan bernilai salah. Sehingga diagram alir

tampak seperti berikut.

𝑝 𝑞 𝐵 𝑝 𝑟 𝐵

𝐵 𝑆 𝐵

𝑟 𝑞 𝑆

𝑟 𝐵 𝑞 𝑆

𝑝 𝑆 𝐵

𝑟 𝑆

𝑝 𝐵

ARGUMEN 75


kontradiksi. Dengan demikian argumen Valid.

Soal-soal Latihan.






3. Jelaskan definisi metode tabel kebenaran, metode diagram alir dalam

menentukan argument

4. Diketahui premis satu yaitu Jika Dodi rajin belajar, maka ia naik kelas

dan premis dua yaitu Jika Dodi naik kelas, maka ia akan dibelikan

baju. Jelaskan kesimpulan dari kedua premis berikut.

𝑝 𝑞 𝐵 𝑞 𝑟 𝐵

𝑆 𝐵 𝐵

𝑞 𝑆 𝐵

𝑞 𝑆

𝑞 𝐵

𝑝 𝑟 𝑆

𝑟 𝑆 𝑝 𝑆

76 ARGUMEN

5. Uji Validitas argumen

6. Uji Validitas argumen

7. Ujji Validitas argumen

9. Uji validitas argument berikut:

Jika harga jatuh atau upah naik maka pedagang eceran meningkat

dan kesibukan iklan akan meningkat. Jika pedagang eceran meningkat

maka pedagang kecil akan mendapat banyak uang. Pedagang kecil

tidak mendapat banyak uang. Oleh karena itu, harga tidak jatuh.


PERNYATAAN BERKUANTOR

Kalimat pernyataan ada yang berlaku umum dan tidak berlaku umum.

Untuk melihat hal ini, digunakan kuantor universal dan kuantor eksistensi.

Materi ini membahas tentang kalimat berkuantor. Ada dua jenis kuantor

yang digunakan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensi. Dalam

pokok bahasan ini, akan dikaji kalimat yang menggunakan kuantor tunggal

dan kuantor jamak (lebih dari satu kuantor). Selain dari itu, akan diuraikan

cara menentukan negasi dari kalimat berkuantor, baik yang menggunakan

kuantor tunggal maupun yang menggunakan kuantor jamak.

5.1. Predikat

Pernyataan yang memuat variabel, seperti dan

, dalam kalimat Matematika sering dijumpai. Pernyataan

lebih besar dari terdiri dari dua bagian. Bagian pertama adalah variabel

yang merupakan subjek dari pernyataan. Bagian yang kedua adalah

lebih besar dari yang merupakan predikat. Dalam hal ini kita dapat

menyimbolkan lebih besar dari dengan dimana menandakan

predikat lebih besar dari dan adalah variabel. Pernyataan juga

disebut nilai dari fungsi proposisional pada Setiap kita memberikan

nilai ke- maka pernyataan mempunyai nilai kebenaran. Perhatikan

contoh berikut :

Contoh 5.1

menandakan pernyataan Apakah nilai kebenaran dari

dan ?

Jawaban:

Nilai kebenaran pernyataan diperoleh dengan menetapkan

dalam pernyataan Oleh karena adalah pernyataan

BAB

5

78 PERNYATAAN BERKUANTOR

yang bernilai benar. Namun demikian yang merupakan pernyataan

bernilai salah.

Untuk lebih memperjelas diberikan contoh berikut.

Contoh 5.2

menandakan pernyataan Apakah nilai kebenaran dari

dan ?

Penyelesaian :

menandakan pernyataan (x lebih kecil atau sama dengan 5).

Nilai kebenaran pernyataan diperoleh dengan menetapkan

dalam pernyataan Oleh karena adalah pernyataan

yang bernilai benar. Nilai kebenaran pernyataan diperoleh dengan

menetapkan dalam pernyataan Oleh karena adalah

pernyataan yang bernilai benar. Namun demikian yang

merupakan pernyataan bernilai salah.

Lengkapilah jawaban contoh berikut untuk menambah pemahaman!

Contoh 5.3

menandakan pernyataan atau . Apakah nilai

kebenaran dari dan ?

Jawaban:


Suatu pernyataan dapat memuat lebih dari satu variabel. Sebagai

contoh pernyataan Kita dapat menyimbolkan pernyataan ini

dengan dimana dan adalah variabel dan adalah predikat.

Jika suatu nilai diberikan pada dan maka pernyataan

mempunyai nilai kebenaran.

Contoh 5.4

Misalkan menandakan pernyataan Apakah nilai

kebenaran dari pernyataan dan

Jawaban:

Untuk mendapat nilai kebenaran tetapkan dan pada

pernyataan Dari sini diketahui bahwa adalah pernyataan

yang bernilai salah. Pernyataan adalah pernyataan

yang merupakan pernyataan benar.

Contoh 5.5

Misalkan menandakan pernyataan Apakah nilai

kebenaran dari pernyataan dan

Jawaban:

(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan)


Secara umum, pernyataan yang memuat variabel

dapat disimbolkan dengan Pernyataan yang berbentuk

adalah nilai dari fungsi proposisional pada pasangan

terurut ( dan juga disebut predikat.

5.2. Kuantor

5.2.1. Kuantor Tunggal

Jika semua variabel dalam fungsi proposisional ditetapkan, maka

pernyataan yang dihasilkan mempunyai nilai kebenaran. Namun demikian,

ada cara lain untuk mengubah fungsi proposisi ke dalam proposisi

(pernyataan) yang disebut kuantifikasi (kuantor). Selanjutnya, nilai

kebenaran proposisi ini bisa ditentukan nilai kebenarannya, meskipun

variabelnya belum ditentukan. Dua tipe kuantifikasi (kuantor) yang akan

kita bicarakan yaitu kuantifikasi (kuantor) universal dan kuantor eksistensi.

Banyak pernyataan Matematika yang menuntut bahwa pernyataan

harus bernilai benar untuk semua nilai dari variabel yang berasal dari

domain tertentu yang disebut semesta pembicaraan. Pernyataan yang

mengandung kuantor universal adalah bernilai benar jika dan hanya jika

bernilai benar untuk semua nilai dari dalam semesta pembicaraan.

Definisi 5.1

Kuantor universal dari adalah preposisi

adalah benar untuk semua nilai dari dalam semesta pembicaraan

Notasi menandakan kuantor universal dari Preposisi

juga diekspresikan sebagai

Untuk semua atau Untuk setiap

Contoh 5.6

Ekspresikan pernyataan

Setiap mahasiswa dalam kelas ini sudah belajar Matematika

sebagai sebuah kuantor universal!


Penyelesaian :

Misalkan menandakan pernyataan

sudah belajar Matematika ,

maka pernyataan Setiap mahasiswa dalam kelas ini sudah belajar

Matematika dapat ditulis seperti dengan semesta

pembicaraannya adalah mahasiswa dalam kelas. Pernyataan ini dapat juga

diekspresikan sebagai

dengan adalah pernyataan adalah berada dalam kelas ini

seperti sebelumnya, dan semesta pembicaraan adalah semua

mahasiswa.

Contoh di atas mengilustrasikan bahwa sering ada lebih dari satu cara

untuk mengekspresikan suatu kuantor.

Contoh 5.7

Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran dari

kuantor dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan

riil?

Penyelesaian :

Karena adalah benar untuk semua bilangan riil maka kuantor

bernilai benar.

Contoh 5.8


kuantifikasi dengan semesta pembicaraan adalah himpunan

bilangan riil?

Penyelesaian :

Karena bernilai salah maka bernilai salah.

Jika semua elemen dalam semesta pembicaraan dapat didaftar katakan

maka kuantor universal sama dengan konjungsi

karena konjungsi ini benar jika dan hanya

jika semuanya benar.


Banyak pernyataan Matematika yang menuntut ada elemen yang

mempunyai sifat tertentu. Pernyataan seperti ini diekspresikan

menggunakan kuantor eksistensi. Dengan kuantor eksistensi, kita

membentuk pernyataan (preposisi) yang bernilai benar jika dan hanya jika

benar untuk paling sedikit satu nilai dalam semesta pembicaraan.

Definisi 5.2

Kuantor eksistensi dari adalah preposisi

ada satu elemen dalam semesta pembicaraan sedemikian sehingga

bernilai benar

Kuantor eksistensi menggunakan simbol

Kuantor eksistensi juga diekspresikan sebagai

Ada satu sedemikian sehingga atau

Ada paling sedikit satu sedemikian sehingga atau

Untuk beberapa

Contoh 5.9

Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran dari kuantor

dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan riil?

Penyelesaian :

Karena adalah benar untuk maka kuantor eksistensi dari

yaitu bernilai benar.

Contoh 5.10

Misalkan adalah pernyataan Apa nilai dari kuantor

dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan riil?

Penyelesaian :

Karena adalah salah untuk setiap bilangan riil maka kuantor

eksistensi dari yaitu bernilai salah.


Contoh 5.11

Misalkan adalah pernyataan Apa nilai dari kuantor

dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan bulat?

Penyelesaian :

Karena adalah salah untuk setiap bilangan riil maka kuantor

eksistensi dari yaitu bernilai salah.

Berikut diberikan tabel nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor.

Tabel 5.1 Kuantor Tunggal

Pernyataan

Kapan bernilai benar ? Kapan bernilai salah ?

bernilai benar untuk setiap Ada suatu dengan

salah

Ada suatu dengan bernilai

benar

bernilai salah untuk

setiap

Jika semua elemen dalam semesta pembicaraan dapat didaftar,

katakanlah maka kuantor eksistensi adalah sama

dengan disjungsi

karena disjungsi ini benar jika dan hanya jika paling sedikit satu dari

bernilai benar.

Contoh 5.12

Apa nilai kebenaran dari dengan adalah pernyataan

dan semesta pembicaraan adalah bilangan bulat positif yang tidak lebih

dari 4?

Penyelesaian :

Karena semesta pembicaraan adalah { } maka preposisi

adalah sama seperti disjungsi

Karena yaitu pernyataan bernilai benar, maka

bernilai benar.


Lengkapi contoh berikut untuk menambah pemahaman!

Contoh 5.13

Apa nilai kebenaran dari dimana adalah pernyataan

dan semesta pembicaraan adalah bilangan bulat positif yang

terletak antara 10 dan 20?

Penyelesaian :

Karena semesta pembicaraan adalah { } maka preposisi

adalah sama seperti disjungsi

5.2.2. Kuantor Berganda

Banyak pernyataan Matematika yang mengandung kuantor berganda dari

fungsi proposisional yang memuat lebih dari satu variabel. Hal yang

penting untuk dicatat bahwa urutan dari kuantor sangat berpengaruh dalam

menentukan nilai kebenaran, kecuali jika semua kuantor adalah kuantor

universal atau semua kuantor adalah kuantor eksistensi. Sebagai ilustrasi,

perhatikan dua penyataan berkuantor berikut!

1. Setiap bangku ada mahasiswa sedemikian sehingga mahasiswa

duduk di bangku tersebut

2. Ada mahasiswa (sehingga) setiap bangku, Mahasiswa duduk di

bangku tersebut.

Nilai kebenaran dari kalimat pernyataan berkuantor ganda disajikan

pada tabel berikut.


Tabel 5.2 Kuantor Berganda

Pernyataan Kapan bernilai benar ? Kapan bernilai salah ?

bernilai benar

untuk setiap pasangan

Ada pasangan yang mana

bernilai salah.

Untuk setiap ada suatu

yang mana benar

Ada suatu sedemikian

sehingga bernilai

salah untuk setiap Ada suatu dimana

bernilai benar

untuk setiap

Untuk setiap dan dimana

bernilai salah

Ada pasangan yang

mana bernilai benar

bernilai salah untuk

setiap pasangan

Untuk lebih memperjelas kuantor berganda, perhatikan contoh–

contoh berikut ini! Untuk setiap contoh, semesta pembicaraannya adalah

himpunan bilangan riil jika semesta pembicaraan tidak ditegaskan yang

lain.

Contoh 5.14

Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran

dari kuantor

Penyelesaian :

Kuantor menandakan preposisi

Untuk semua bilangan riil dan untuk semua bilangan riil hal itu benar

bahwa

Karena adalah benar untuk semua bilangan riil dan maka

preposisi adalah benar.

Contoh 5.15


dari kuantor

Penyelesaian :



bahwa


Karena bernilai salah untuk nilai dan maka

preposisi adalah salah.

Lengkapilah contoh berikut!

Contoh 5.16

Misalkan adalah pernyataan Apa

nilai kebenaran dari kuantor

Penyelesaian :



bahwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Karena adalah . . . . . untuk semua bilangan riil dan maka

preposisi adalah . . . . . .

Contoh 5.17

Misalkan adalah pernyataan Apa nilai

kebenaran dari kuantor

Penyelesaian :



bahwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Karena adalah . . . . . . . . untuk . . . . . . . . . . . maka

preposisi bernilai. . . . . . .

Contoh 5.18

Misalkan adalah pernyataan Apa nilai



Penyelesaian :

(tuliskan jawaban Anda pada runag kosong yang disediakan)

.

Contoh berikut diberikan untuk menambah wawasan tentang

pertukaran posisi kuantor.

Contoh 5.19

Misalkan menandakan Apa nilai kebenaran dari

kuantor ?

Penyelesaian :

Kuantor menandakan preposisi:

Ada bilangan riil sedemikian sehingga untuk setiap bilangan riil

bernilai benar

Tidak menjadi masalah nilai apa untuk yang dipilih, tetapi yang

jelas hanya ada satu nilai yang dapat memenuhi untuk nilai y

yang sudah dipilih terlebih dahulu. Karena tidak ada bilangan riil

sedemikian sehingga untuk setiap bilangan riil pernyataan

bernilai salah.


Contoh 5.20


kuantor

Penyelesaian :

Kuantor menandakan preposisi:

Untuk setiap bilangan riil ada suatu bilangan riil sedemikian sehingga

bernilai benar

Diberikan sebarang sebuah bilangan riil ada bilangan riil

sedemikian sehingga Bilangan riil yang memenuhi yaitu

Dari sini disimpulkan bahwa pernyataan bernilai

benar.

Contoh 5.19 dan 5.20 menunjukkan bahwa pertukaran urutan kuantor

dapat memberikan nilai kebenaran yang berbeda. Lengkapi contoh berikut

untuk menambah wawasan tentang pertukaran posisi kuantor!

Contoh 5.21


kuantor

Penyelesaian :

(tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan)

Contoh 5.22


kuantor


Penyelesaian :

(tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan)

Ada banyak kalimat berkuantor yang memuat lebih dari dua variabel.

Perhatikan contoh – contoh berikut!

Contoh 5.23


dari pernyataan

Penyelesaian :

Misalkan bahwa dan sudah ditetapkan nilainya terlebih dahuu.

Selanjutnya akan dipilih satu bilangan riil yang disimbol dengan yang

memenuhi kesamaan Untuk memenuhi persamaan tersebut

dipilih z adalah bilangan riil Jadi ada bilangan riil sedemikian

sehingga Sebagai akibatnya, kuantor yang

merupakan pernyataan Untuk semua bilangan riil dan untuk semua

bilangan riil ada bilangan riil sedemikian sehingga bernilai

benar.

Contoh 5.24


dari pernyataan

Penyelesaian :

Disini, urutan dari kuantor sangat penting, karena kuantor

yaitu pernyataan Ada bilangan riil sedemikian


sehingga untuk semua bilangan riil dan semua bilangan riil hal itu

benar bahwa bernilai salah karena tidak ada nilai dari yang

memenuhi persamaan untuk semua nilai dari dan Bilangan

riil yang disimbol dengan x dan y yang memenuhi hanya

bilangan rill tertentu saja,

Lengkapi contoh berikut!

Contoh 5.25


pernyataan dan pernyataan

Penyelesaian :

Contoh 5.26

Misalkan adalah pernyataan

Apa nilai kebenaran dari

pernyataan dan pernyataan

Penyelesaian :


5.2.3. Negasi dari Pernyataan Berkuantor

Seperti halnya dengan kalimat pernyataan biasa, kalimat berkuantor

memiliki juga negasi. Sebagai contoh, amati negasi dari pernyataan :

Setiap mahasiswa dalam kelas ini sudah lulus Matematika “

Pernyataan ini adalah sebuah kuantor universal, yaitu :

dengan adalah pernyataan lulus Matematika

Negasi dari pernyataan ini adalah Hal itu tidak benar bahwa setiap

mahasiswa dalam kelas ini sudah lulus Matematika Penyataan ini

ekuivalen dengan Ada mahasiswa dalam kelas ini yang belum lulus

Matematika Dapat dilihat bahwa pernyataan

“Ada mahasiswa dalam kelas ini yang belum lulus Matematika

merupakan kuantor eksistensi dari negasi dari fungsi proporsisional

semula, yaitu

Oleh karena itu, diperoleh hubungan:

[ ]

Lebih lanjut, negasi dari kuantor eksistensi diilustrasikan oleh contoh

berikut.

Perhatikan preposisi “Ada mahasiswa dalam kelas ini yang sudah

lulus Matematika Ini adalah kuantor eksistensi

Dengan adalah pernyataan sudah lulus Matematika Negasi

dari pernyataan ini adalah preposisi Hal itu tidak benar bahwa ada

mahasiswa dalam kelas ini yang sudah lulus Matematika Pernyataan ini

ekuivalen dengan Setiap mahasiswa dalam kelas ini belum lulus

Matematika Kalimat terakhir tidak lain hanya merupakan kuantor

universal dari negasi fungsi proporsisional semula, yaitu :

Contoh ini merupakan ilustrasi dari hubungan ekuivalen berikut :

[ ]


Negasi dari kuantor diberikan dalam table 5.3 berikut :

Tabel 5.3 Negasi dari Kuantor

Negasi

Pernyataan

ekuivalen

Kapan negasi

benar?

Kapan negasi

salah?

[ ] adalah salah

untuk setiap

Ada suatu

dimana bernilai benar

[ ] Ada suatu yang

mana bernilai

salah

bernilai benar

untuk setiap

Negasi dari kuantor berganda dijelaskan sebagai berikut. Perhatikan

ilustrasi di bawah!

“Setiap mahasiswa ada pondok sedemikin sehingga mahasiswa

mondok pada pondokan tersebut. Pernyataan ini disimbol ”

dengan adalah pernyataan x mondok di y. Negasi dari pernyataan

tersebut adalah “hal itu tidak benar bahwa, setiap mahasiswa ada pondok

sedemikin sehingga mahasiswa mondok pada pondokan tersebut.

Pernyataan ini ekuivalen dengan “ada mahasiswa sehingga setiap pondok,

mahasiswa tersebut tidak mondok pada pondokan tersebut”. Pernyataan ini

disimbol ”.

Tabel 5.4Negasi Kuantor Berganda

Pernyataan Negasi Pernyataan

Contoh 5.27

Negasi dari adalah .

Negasi dari adalah .


Contoh 5.28

Negasi dari adalah

.

Contoh 5.29

Misalkan adalah pernyataan

Apa nilai kebenaran dari

NEGASI pernyataan

Penyelesaian:

(Tuliskan analisis Anda pada ruang kosong yang disediakan!)

Soal-soal Latihan






3. Misalkan adalah pernyataan Apa

nilai kebenaran dari kuantor


4. Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran

dari pernyataan dan pernyataan

5. Misalkan adalah pernyataan Apa nilai


6. Misalkan menandakan x - y Apa nilai kebenaran dari

kuantor jika semesta pembicaraan adalah bilangan

bulat.

7. Misalkan adalah pernyataan

Apa nilai kebenaran dari kuantor jika semesta

pembicaraan adalah bilangan bulat.

8. Misalkan adalah pernyataan Apa nilai kebenaran dari

kuantor dengan semesta pembicaraan adalah himpunan

bilangan riil?


PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP

FUNGSI

Fungsi, dalam arti Matematika, didefinisikan menggunakan kalimat

pernyataan yang mengandung kuantor. Oleh karena itu, beberapa hal

terkait fungsi menggunakan kalimat berkuantor, misalnya domain dan

range. Lebih lanjut, fungsi dikelompokkan dalam beberapa jenis,

Pengelompokan ini juga menggunakan kalimat berkuantor. Materi pada

bagian ini, membahas penggunaan kalimat berkuantor pada pendefinisian

fungsi, pengertian domain dan range fungsi, dan penentuan jenis-jenis

fungsi.

6.1. Penggunaan Logika pada Konsep Daerah Asal dan

Daerah Jangkauan Fungsi

Misalkan f adalah proses pengawanan dari himpunan A ke himpunan B,

maka daerah asal (domain) dari f adalah himpunan semua objek-objek

anggota A yang mempunyai kawan objek di B. Dalam bentuk simbol

daerah asal f ditulis:

{ | }

Memperhatikan definisi dari daerah asal, berikut akan dipaparkan

kalimat logika yang digunakan untuk memeriksa daerah asal fungsi.

Misalkan x adalah suatu objek dalam A atau dalam bentuk simbol

, maka untuk memeriksa apakah x berada dalam daerah domain f

digunakan kalimat pernyataan:

Terdapat objek y dalam B yang berkawan dengan x,

atau dalam bentuk simbol:

Jika kalimat pernyataan di atas benar, maka x berada dalam daerah

asal f dan jika kalimat pernyataan di atas salah, maka x tidak berada dalam

daerah asal f.

BAB

6

96 PENGGUNAAN KUANTOR PADA KONSEP FUNGSI

Contoh 6.1

Misalkan { } dan { } Aturan pengawanan “f”

diberikan sebagai berikut:

Objek x dalam A berkawan dengan objek y dalam B, jika

Dengan kata lain, berkawan dengan , jika

Mencermati aturan pengawanan “f” yang diberikan, dapat ditarik

kesimpulan bahwa 5 tidak berada dalam daerah asal “f” karena

pernyataan bernilai salah. Nilai salah dari pernyataan

ini dapat dilihat dengan jelas, karena nilai kebenaran dari negasi penyataan

tersebut:

bernilai benar.

Pada sisi lain, dapat dilihat dengan mudah bahwa 3 berada dalam

daerah asal karena pernyataan:

benilai benar. Lebih jelasnya, bernilai benar.

Untuk lebih memperjelas pengertian daerah asal, berikut disajikan

contoh selanjutnya.

Contoh 6.2

Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan pengawanan

“f” diberikan sebagai berikut:




kesimpulan bahwa 2 tidak berada dalam daerah asal “f” karena



tersebut:

(

)

bernilai benar.


Untuk anggota A yang lain, dapat dengan mudah dilihat bahwa

mereka berada dalam daerah asal karena pernyataan

bernilai benar untuk semua nilai x kecuali

Contoh berikut diberikan kepada mahasiswa untuk berlatih

menentukan daerah asal.

Contoh 6.3





(tentukanlah lima objek yang merupakan anggota daerah asal dan objek-objek

yan bukan merupakan anggota daerah asal. Tuliskan jawaban Anda pada ruang

kosong yang disediakan!)

Berikut diberikan kesempatan sekali lagi kepada pembaca untuk

membuat contoh yang berbeda dengan sebelumnya.

Contoh 6.4






(isilah titik-titik di atas kemudian tentukanlah objek-objek yang merupakan atau

bukan merupakan anggota daerah asal! Tuliskan jawaban Anda pada ruang

kosong yang disediakan!)

Bahasan selanjutnya adalah penggunaan logika pada konsep daerah

jangkauan fungsi.

Misalkan f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka

daerah jangkauan (range) dari f adalah himpunan semua objek-objek

anggota B yang mempunyai kawan objek di A. Dalam bentuk simbol

daerah jangkauan f ditulis:

{ | }

Memperhatikan definisi dari daerah asal, berikut akan dipaparkan

kalimat logika yang digunakan untuk memeriksa daerah jangkauan fungsi.

Misalkan y adalah suatu objek dalam B atau dalam bentuk simbol

, maka untuk memeriksa apakah y berada dalam daerah jangkauan

f digunakan kalimat pernyataan:

Terdapat objek x dalam A yang berkawan dengan y,

atau dalam bentuk simbol:

Jika kalimat pernyataan di atas benar, maka y berada dalam daerah

jangkauan f dan jika kalimat pernyataan di atas salah, maka y tidak berada

dalam daerah jangkauan asal f.


Contoh 6.5






kesimpulan bahwa 1 tidak berada dalam daerah jangkauan “f” karena



tersebut:

bernilai benar.

Pada sisi lain, dapat dilihat dengan mudah bahwa 6 berada dalam

daerah jangkauan karena pernyataan:

benilai benar. Lebih jelasnya, bernilai benar.

Untuk lebih memperjelas pengertian daerah jangkauan, berikut

disajikan contoh yang lain.

Contoh 6.6

Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan fungsi “f”




Mencermati aturan fungsi “f” yang diberikan, dapat ditarik

kesimpulan bahwa tidak berada dalam daerah jangkauan “f” karena



tersebut:

(

)

bernilai benar.


Untuk anggota B yang lain, dapat dengan mudah dilihat bahwa

mereka berada dalam daerah jangkauan karena pernyataan

bernilai benar untuk semua nilai y kecuali

Contoh berikut diberikan kepada mahasiswa untuk berlatih menentukan

daerah asal.

Contoh 6.7





(tentukanlah objek-objek yang merupakan atau bukan merupakan anggota daerah

jangkau!. Tuliskan jawaban Anda pada ruang kosong yang disediakan!)

Contoh 6.8






(tentukanlah objek-objek yang merupakan atau bukan merupakan anggota

daerah jangkaun. Tuliskan jawaban Anda pada ruang kosong yang

disediakan!)

Berikut diberikan kesempatan sekali lagi kepada pembaca untuk

membuat contoh yang berbeda dengan sebelumnya.

Contoh 6.9





(isilah titik-titik di atas kemudian tentukanlah objek-objek yang merupakan atau

bukan merupakan anggota daerah jangkauan. Tuliskan jawaban Anda pada ruang kosong yang disediakan!)


6.2. Penggunaan Logika pada Konsep Fungsi Satu-satu dan

Pada

Dalam subbagian ini akan dipaparkan pengguanaan konsep logika pada

konsep fungsi satu-satu dan pada. Pada bagian awal akan dibahas

mengenai fungsi satu-satu.

Misalkan f adalah fungsi dari A ke B. Fungsi f dikatakan fungsi satu-

satu apabila tidak ada objek di B yang memiliki kawan lebih dari satu

objek di A. Dengan kata lain, f merupakan fungsi satu-satu apabila setiap

objek di B mempunyai kawan paling banyak satu objek di A. Dalam

bahasa logika, f merupakan fungsi satu-satu apabila pernyataan:

Untuk setiap b objek di B, jika b berkawan dengan a di A dan b

berkawan dengana c di A, maka a sama dengan c.

bernilai benar. Fungsi f bukan fungsi satu-satu apabila pernyataan tesebut

bernilai salah. Dalam bentuk simbol penyataan tersebut ditulis sebagai

berikut:

( )

Selanjutnya, untuk memeriksa apakah suatu fungsi merupakan fungsi

satu-satu, digunakan bahasa logika tersebut.

Contoh 6.10



Objek a dalam A berkawan dengan objek b dalam B, jika Dengan

kata lain, berkawan dengan , jika


kesimpulan bahwa fungsi f bukan merupakan fungsi satu-satu, karena

pernyataan:

( )

bernilai salah. Kejelasan dari nilai salah pernyataan tersebut dapat dilihat

dari nilai benar negasi pernyataan tersebut:

( )


Dalam hal ini, ( )

bernilai benar.

Selanjutnya diberikan contoh fungsi satu-satu.

Contoh 6.11






kesimpulan bahwa f merupakan fungsi satu-satu karena pernyataan:

( )

bernilai benar. Nilai benar ini dapat dijelaskan sebagai berikut:

Jika , maka dan jika , maka

Dari sini diperoleh Hal ini menyebabkan pernyataan tersebut

bernilai benar.

Contoh-contoh berikut disediakan sebagai wadah bagi pembaca untuk

lebih memahami penggunaan logika pada fungsi satu-satu.

Contoh 6.12

Misalkan { } dan { }.

Misalkan f adalah fungsi dari A ke B dengan aturan sebagai berikut:




(Berikan alasan yang jelas menggunakan konsep logika kenapa f bukan fungsi

satu-satu! Tuliskan jawaban Anda pada ruang kosong yang disediakan!)

Contoh 6.13

Misalkan A dan B adalah himpuan bilangan rill. Misalkan f adalah fungsi

dari A ke B dengan aturan sebagai berikut:



(isilah titik-titik di atas agar fungsi f merupakan fungsi satu-satu. Berikan alasan

yang jelas menggunakan konsep logika kenapa f adalah fungsi satu-satu. Tuliskan

jawaban Anda pada ruang kosong yang disediakan!)


Pada bagian selanjutnya dibahas penggunaan konsep logika pada

fungsi pada.

Misalkan f adalah fungsi dari A ke B. Fungsi f dikatakan fungsi pada

jika semua objek di B memiliki kawan objek di A. Dengan kata lain, f

merupakan fungsi pada apabila setiap objek di B mempunyai kawan objek

di A. Dalam bahasa logika, f merupakan fungsi pada apabila pernyataan:

Untuk setiap b objek di B terdapat objek a di A sedemikain sehingga

b berkawan dengan a di A

bernilai benar. Fungsi f bukan fungsi pada apabila pernyataan tesebut

bernilai salah. Dalam bentuk simbol penyataan tersebut ditulis sebagai

berikut:

Selanjutnya, untuk memeriksa apakah suatu fungsi merupakan fungsi

pada, digunakan bahasa logika tersebut.

Contoh 6.14



Objek a dalam A berkawan dengan objek b dalam B, jika



kesimpulan bahwa fungsi f bukan merupakan fungsi pada, karena

pernyataan:

bernilai salah. Kejelasan dari nilai salah pernyataan tersebut dapat

dilihat dari nilai benar dari negasi pernyataan tersebut, yaitu:

Dalam hal ini, bernilai benar.

Selanjutnya diberikan contoh fungsi pada.

Contoh 6.15







kesimpulan bahwa f merupakan fungsi pada karena pernyataan:


Contoh-contoh berikut disediakan sebagai wadah bagi pembaca untuk

lebih memahami penggunaan logika pada fungsi satu-satu.

Contoh 6.16

(isilah titik-titik di bawah agar fungsi f bukan fungsi pada. Berikan alasan yang

jelas menggunakan konsep logika kenapa f bukan fungsi pada. Tuliskan jawaban

Anda pada ruang kosong yang disediakan).






Contoh 6.17

(isilah titik-titik di bawah agar fungsi f fungsi pada. Berikan alasan yang jelas

menggunakan konsep logika kenapa f fungsi pada! Tuliskan jawaban Anda pada

ruang kosong yang disediakan!)





Berikut diberikan contoh fungsi yang merupakan fungsi satu-satu dan

sekaligus merupakan fungsi pada.

Contoh 6.18






kesimpulan bahwa f merupakan fungsi satu-satu karena pernyataan:

( )


Jika , maka dan jika , maka

Dari sini diperoleh Hal ini menyebabkan pernyataan tersebut

bernilai benar.

Pada sisi lain, mencermati aturan pengawanan “f” yang diberikan, dapat

ditarik kesimpulan bahwa f merupakan fungsi pada karena pernyataan:



Dengan demikian, f adalah funsi satu-satu dan sekaligus fungsi pada.

Contoh 6.19

(Isilah titik-titik di bawah agar fungsi f merupakan fungsi satu-satu sekaligus

fungsi pada! Berikan alasan yang jelas menggunakan konsep logika! Tuliskan

jawaban Anda pada ruang kosong yang disediakan!)





Soal-soal Latihan

1. Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan pengawanan




Tentukanlah lima objek yang merupakan anggota daerah asal dan

objek-objek yan bukan merupakan anggota daerah asal.

2. Berikan alasan yang jelas menggunakan konsep logika kenapa f bukan

fungsi pada. Misalkan { } dan { }.




3. Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan fungsi “f”




tentukanlah objek-objek yang merupakan atau bukan merupakan

anggota daerah jangkauan.

4. Misalkan A dan B adalah himpunan bilangan riil. Aturan fungsi “f”




tentukanlah objek-objek yang merupakan atau bukan merupakan

anggota daerah jangkaun.

5. Misalkan { } dan { }.




Berikan alasan yang jelas menggunakan konsep logika kenapa f

bukan fungsi satu-satu!

110 PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT FUNGSI

PENGGUNAAN KUANTOR PADA LIMIT

FUNGSI

Pengertian limit fungsi di sebuah titik secara umum dinyatakan dalam

definisi berikut:

Definisi 7.1

Limit fungsi adalah pada titik dinotasikan dengan bentuk:

yang berarti bahwa mendekati apabila cukup dekat (tetapi

berbeda) dengan .

Kaitan antara kalimat di atas dengan kuantor adalah:

Pernyataan

bernilai benar jika dan hanya jika kalimat berkuantor

| | | |

yang dimaksud pada kalimat di atas adalah domain fungsi f.

Contoh 7.1

Untuk menunjukkan bahwa

bernilai benar, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor

| | | |

bernilai benar.

Penyelesaian:

Ambil selanjutnya akan dipilih yang akan membuat

implikasi

| | | |

bernilai benar. Proses pemilihan dilakukan seperti langkah-langkah

berikut.

BAB

7


| | | | | |

Karena| | | | maka jika dipilih Dengan

pemilihan seperti ini diperoleh

| | | |

| |

| |

Dengan demikian dapat disimpulkan implikasi

| | | |

bernilai benar.

Contoh berikut disajikan untuk memberikan kesempatan kepada pembaca

untuk berlatih.

Contoh 7.2



| | | |

Penyelesaian:

(tuliskan penyelesaian soal pada kotak kosong yang disediakan)

Cara atau teknik pemilihan dalam soal limit mempunyai banyak

cara tergantung dari jenis soal. Berikut disajikan contoh yang memiliki

cara pemilihan delta berbeda dengan contoh di atas.


Contoh 7.3



| | | |

bernilai benar.

Penyelesaian:


implikasi

| | | |


berikut.

| | | || |

Selanjutnya langkah pemilihan dilakukan dua tahap. Tahap pertama

pemilihan dibatasi pada interval (0,1]. Jadi dalam hal ini

Karena | | , maka

| | | | | | | |

Sehingga, karena diperoleh

| |

Dengan demikian,

| | | || |

Pemilihan tahap kedua, dari uraian di atas disimpulkan memilih adalah:

{

}

Selanjutnya dapat dilihat bahwa,

{

}

implikasi berikut

| | | |

bernilai benar.


Contoh berikut disajikan untuk memberikan kesempatan kepada pembaca

untuk berlatih.

Contoh 7.4



| | | |

bernilai benar.

Penyelesaian:


Berikut disajikan contoh yang memiliki cara pemilihan berbeda dengan

contoh di atas.

Contoh 7.5


√


| | |√ |

Penyelesaian:


implikasi

| | |√ |



berikut.

|√ | |(√ ) (√

√ )|

|√ | | |

√

| |

Dari pertidaksamaan di atas dipilih

Sekarang dapat dilihat bahwa

implikasi

| | |√ |

bernilai benar.

Contoh berikut disediakan untuk pembaca yang ingin segera berlatih.

Contoh 7.6


√


| | |√ |

Penyelesaian:

(Tuliskan penyelesaian soal pada kotak kosong yang disediakan!)

Beberapa buku yang membahas tentang limit, tidak membahas situasi

dan kondisi yang menunjukkan bahwa pernyataan


bernilai salah. Dari sudut pandang logika matematika, untuk menunjukkan

bahwa

bernilai salah, dapat ditunjukkan bahwa negasi dari

yaitu

bernilai benar. Dengan demikian, untuk menunjukkan

bernilai salah dapat ditunjukkan bahwa negasi dari

| | | |

bernilai benar. Sedangkan diketahui bahwa negasi dari

| | | |

adalah

| | | |

Ringkasan dari uraian di atas adalah sebagai berikut:

pernyataan

bernilai salah jika dan hanya jika kalimat berkuantor

| | | |

bernilai benar.

Contoh 7.7


bernilai salah, akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor

| | | |

bernilai benar.


Contoh berikut disediakan bagi pembaca yang ingin langsung berlatih.

Contoh 7.9



| | | |

bernilai benar.

Penyelesaian:


Hal yang sangat menentukan dalam pembuktian kebenaran kalimat

berkuantor pada soal limit di atas adalah pemilihan nilai x. Pemilihan nilai

x sangat bergantung pada bentuk fungsi f(x). Dua contoh sebelumnya

dipilih nilai x dengan koefisen positif. Berikut disajikan contoh-contoh

dengan pemilihan x yang berbeda dengan dua contoh sebelumnya.


Penyelesaian:


Contoh 7.14



| | | |

bernilai benar.

Penyelesaian:



Contoh 7.15



| | | |

bernilai benar.

Penyelesaian:

Pilih

ambil dan pilih (


nilai ini akan dimasukkan ke kalimat konjungsi

| | | |

diperoleh

|((

) ) | ⋀ |( ((

) )

) | (

)


| | | |



Contoh 7.16



| | | |

bernilai benar.


Penyelesaian:


Contoh 7.17


√

bernilai salah , akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor

| | |√ |

bernilai benar.

Penyelesaian:

Pilih

ambil dan pilih (

) . SelanjutNya


| | |√ |

diperoleh

|((

) ) | ⋀ |√ ((

) ) | (

)



| | |√ |

Karena dan √ maka kalimat konjungsi ini selalu

bernilai benar.


Contoh 7.18


√

bernilai salah akan ditunjukkan bahwa kalimat berkuantor

| | |√ |

bernilai benar.

Penyelesaian:



Soal-soal Latihan

1. Tunjukkan bahwa

bernilai benar, dengan menggunakan kalimat berkuantor.

2. Tunjukkan bahwa

√

bernilai salah, dengan menggunakan kalimat berkuantor.

3. Tunjukkan bahwa

bernilai salah, dengan menggunakan kalimat berkuantor

4. Tunjukkan bahwa

√

bernilai salah , dengan menggunakan kalimat berkuantor

5. Tunjukkan bahwa

bernilai salah, dengan menggunakan kalimat berkuantor

6. Tunjukkan bahwa

√

bernilai benar, dengan menggunakan kalimat berkuantor

7. Tunjukkan bahwa


METODE PEMBUKTIAN

Dalam bab ini akan diuraikan beberapa metode mengkonstruksi

pembuktian pernyataan atau biasa disebut teorema. Lebih jelasnya, akan

dipaparkan konstruksi pembuktian pernyataan–pernyataan dengan tipe

yang berbeda. Namun demikian, konstruksi pembuktian lebih ditekankan

pada tipe pernyataan implikasi karena banyak teorema yang

bertipe seperti ini.

Sudah diketahui dengan baik bahwa bernilai benar jika

benar tetapi salah. Dari sini dapat disimpulkan bahwa ketika pernyataan

dibuktikan bernilai benar, hanya perlu untuk menunjukkan bahwa

benar jika benar. Pembahasan berikut ini akan memberikan beberapa

teknik untuk membuktikan implikasi.

8.1. Metode Pembuktian Kosong

Misalkan bahwa hipotesis dari implikasi bernilai salah, maka

implikasi bernilai benar karena pernyataan hanya mempunyai dua

kemungkinan bentuk, yaitu atau yang keduanya jelas benar.

Sebagai konsekuensinya, jika kita dapat memperlihatkan bahwa salah,

maka pembuktian teorema seperti ini disebut pembuktian kosong dari

implikasi Untuk lebih jelasnya, berikut diberikan beberapa contoh

pembuktian kosong.

Contoh 8.1

Tunjukkan bahwa proposisi benar dengan adalah fungsi

proposisi

Jika maka

BAB

8

126 METODE PEMBUKTIAN

Penyelesaian :

Catat bahwa proposisi adalah implikasi Jika maka

Karena hipotesis adalah salah, maka implikasi otomatis

benar.

Catatan :

Kenyataan bahwa kesimpulan dari implikasi ini, adalah benar

tidak relevan dengan nilai kebenaran dari implikasi, sebab suatu implikasi

dengan anteseden salah dijamin akan bernilai benar.

Contoh 8.2


proposisi

Jika maka

Penyelesaian :

Catat bahwa proposisi adalah implikasi Jika maka

Karena hipotesis adalah salah, maka implikasi

otomatis benar.

Catatan :

Kenyataan bahwa kesimpulan dari implikasi ini, adalah benar

tidak relevan dengan nilai kebenaran dari implikasi, sebab suatu implikasi

dengan anteseden salah dijamin akan bernilai benar.

Contoh 8.3


proposisi

Jika maka


Penyelesaian :

(Tuliskan jawaban Anda pada tempat yang disediakan!)

Contoh 8.4


proposisi

Jika maka

Penyelesaian :

(Tuliskan jawaban Anda pada tempat yang disediakan!)

8.2. Metode Pembuktian Trivial

Selanjutnya, misalkan bahwa kesimpulan dari implikasi

bernilai benar, maka bernilai benar, karena pernyataan hanya

mempunyai dua kemungkinan bentuk atau yang bernilai

benar. Dengan demikian, jika dapat ditunjukkan bahwa benar, maka

pembuktian teorema seperti ini disebut pembuktian trivial, dari

Contoh 8.5

Misalkan adalah proposisi


Jika dan adalah bilangan negatif dengan maka

Tunjukkan bahwa bernilai benar!

Penyelesaian :

Proposisi adalah Jika maka ” Karena

bernilai benar, maka benar.

Ini merupakan contoh dari pembuktian trivial. Catat bahwa hipotesis, yang

merupakan pernyataan tidak dibutuhkan dalam pembuktian.

Contoh 8.6


proposisi

Jika -1 maka

Penyelesaian :

Karena bernilai benar, maka benar.

Ini merupakan contoh dari pembuktian trivial. Catat bahwa anteseden,

yang merupakan pernyataan tidak dibutuhkan dalam

pembuktian.

Contoh 8.7

Tunjukkan bahwa proposisi benar, menggunakan metode pembuktian

trivial, dengan adalah fungsi proposisi

Jika maka

Penyelesaian :

(Tuliskan jawaban Anda pada tempat yang disediakan)


Contoh 8.8

Tunjukkan bahwa proposisi benar, menggunakan metode pembuktian

trivial, dengan adalah fungsi proposisi

Jika maka

Penyelesaian :

(Tuliskan jawaban Anda pada tempat yang disediakan)

8.3. Metode Pembuktian Langsung

Sudah ada dua cara pembuktian implikasi yang diberikan di atas. Selain

dari itu, implikasi dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa

jika bernilai benar, maka harus juga bernilai benar. Hal ini

menunjukkan bahwa kombinasi benar dan salah tidak pernah bisa

terjadi. Pembuktian jenis ini disebut pembuktian langsung. Untuk

melakukan pembuktian seperti ini, diasumsikan bahwa benar dan

selanjutnya digunakan aturan–aturan logika (aturan-aturan Matematika)

dan teorema–teorema yang sudah dibuktikan untuk menunjukkan bahwa

juga harus bernilai benar.

Contoh 8.9

Berikan pembuktian langsung dari teorema

Jika ganjil, maka ganjil

Penyelesaian :

Asumsikan bahwa anteseden dari implikasi ini bernilai benar, yaitu

misalkan bahwa adalah ganjil. Karena n dimisalkan ganjil, maka n dapat

dituliskan dalam bentuk seperti dengan adalah sebuah

bilangan bulat. Dari sini diperoleh bahwa


dengan Oleh karena itu, adalah ganjil karena dapat

dituliskan dalam bentuk dengan l adalah suatu bilangan bulat.

Contoh 8.10

Berikan pembuktian langsung dari pernyataan

Jika , maka

Penyelesaian :

Asumsikan bahwa anteseden dari implikasi ini bernilai benar, yaitu

misalkan bahwa Selanjutnya dengan menggunakan hukum-

hukum aljabar diperoleh:

.

Gunakan pembuktian langsung untuk membuktikan teorema berikut.

Contoh 8.11


Jika genap, maka genap

Penyelesaian :

(Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan!)


Contoh 8.12


Jika , maka

Penyelesaian :


8.4. Metode Pembuktian Tidak Langsung

Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya, Oleh

karena itu, implikasi dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa

implikasi (kontraposisi) bernilai benar. Metode pembuktian

seperti ini disebut pembuktian tidak langsung.

Contoh 8.13

Berikan pembuktian tidak langsung dari teorema

Jika ganjil, maka ganjil

Penyelesaian :

Untuk membuktikan pernyataan di atas dengan metode pembuktian tidak

langsung berarti akan dibuktikan kebenaran dari kontrapositif pernyataan

tersebut, yaitu:


Misalkan bahwa n genap bernilai benar. Karena n genap, maka n dapat

ditulis seperti untuk suatu bilangan bulat positif Ini berarti

bahwa


sehingga adalah genap. Dengan demikian pernyataan kontrapositif

ini bernilai benar. Oleh karena itu, implikasi semula (asli) bernilai benar.

Contoh 8.14


Jika ganjil, maka genap

Penyelesaian :

Untuk membuktikan pernyataan di atas dengan metode pembuktian tidak

langsung berarti akan dibuktikan kebenaran dari kontrapositif pernyataan

tersebut, yaitu:


Misalkan bahwa n ganjil bernilai benar. Karena n ganjil, maka n dapat

ditulis seperti untuk suatu bilangan bulat positif Ini berarti

bahwa

sehingga adalah genap. Dengan demikian pernyataan kontrapositif

ini bernilai benar. Oleh karena itu, implikasi semula (asli) bernilai benar.

Gunakan pembuktian tidak langsung untuk membuktikan teorema berikut.

Tuliskan jawaban Anda pada tempat kosong yang disediakan!

Contoh 8.15



Penyelesaian :



Contoh 8.16


Jika 5 ganjil, maka ganjil

Penyelesaian :


Contoh 8.17



Penyelesaian :



8.5. Metode Pembuktian Kontradiksi

Cara lain untuk membuktikan implikasi adalah dengan cara

kontradiksi. Misalkan (andaikan) bernilai salah. Jika dalan proses

pembuktian sebuah kontradiksi (pernyataan salah) dapat ditemukan, maka

hal ini berarti pemisalan harus diubah. Jadi, pemisalan yang tadinya

bernilai salah harus diubah menjadi bernilai benar. Dengan demikian,

implkasi bernilai benar. Teknik pembuktian jenis ini disebut

pembuktian dengan kontradiksi.

Contoh 8.18

Buktikan bahwa √ adalah bilangan irrasional dengan pembuktian

kontradiksi!

Pembuktian :

Misalkan adalah proposisi : √ adalah irrasional Andaikan bahwa

bernilai benar, maka √ adalah rasional. Akan tunjukkan bahwa hal ini

membawa ke sebuah kontradiksi. Karena diasumsikan √ adalah rasional,

maka ini berarti ada bilangan bulat dan yang memenuhi √

dengan dan tidak mempunyai faktor bersama. Karena √ jika

kedua ruas dikuadratkan diperoleh . Dari sini diperoleh

Hal ini berarti bahwa adalah genap, yang mengakibatkan

adalah genap. Lebih lanjut, karena adalah genap, maka dapat ditulis

untuk suatu bilangan bulat Sehingga atau

Hal ini berarti bahwa adalah genap. Dari sini, haruslah genap.

Telah ditunjukkan bahwa bernilai benar mengakibatkan √

dengan dan tidak mempunyai faktor bersama. Pada sisi lain, 2

adalah pembagi bersama dan Hal ini adalah sebuah kontradiksi. Oleh

karena itu, adalah salah, sehingga √ adalah irrasional bernilai

benar.

Pembuktian tidak langsung dari suatu implikasi dapat ditulis sebagai

suatu pembuktian dengan kontradiksi. Dalam pembuktian tidak langsung

kita tunjukkan bahwa bernilai benar dengan pembuktian langsung

untuk menunjukkan bahwa bernilai benar. Pembuktian tidak

langsung dari kita asumsikan bahwa bernilai benar dan


menunjukkan bahwa haruslah bernilai benar. Untuk menulis kembali

pembuktian tidak langsung dari sebagai suatu pembuktian

kontradiksi, kita misalkan bahwa kedua dan bernilai benar. Lalu kita

gunakan langkah – langkah dari pembuktian langsung implikasi

untuk menunjukkan bahwa haruslah bernilai benar. Hal ini akan

membawa ke sebuah kontradiksi yang melengkapi pembuktian

kontradiksi.

Contoh 8.19

Berikan pembuktian dengan kontradiksi dari teorema

Jika ganjil, maka adalah ganjil

Pembuktian :

Asumsikan bahwa adalah ganjil dan tidak ganjil, jadi genap.

Dengan melakukan langkah–langkah yang sama dengan contoh

sebelumnya, kita dapat menunjukkan bahwa jika genap, maka

genap. Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa adalah ganjil,

yang melengkapi pembuktian.

Untuk lebih memahami pembuktian kontardiksi, berikut disediakan

contoh untuk berlatih.

Contoh 8.20


Jika ganjil, maka adalah ganjil

Pembuktian :



Contoh 8.21

Buktikan bahwa √ adalah bilangan irrasional dengan pembuktian

kontradiksi!

Pembuktian :


Contoh 8.22


Jika ganjil, maka adalah genap

Pembuktian :



8.6. Metode Pembuktian dengan Kasus

Sudah diketahui dengan baik bahwa:

[ ] [ ]

merupakan suatu tautologi. Oleh karena itu, untuk membuktikan implikasi

bernilai benar dapat dilakukan dengan menunjukkan bahwa konjungsi dari

implikasi

bernilai benar.

Pada sisi lain, apabila pernyataan “p” dapat dipecah menjadi

,

maka implikasi akan bernilai sama dengan implikasi

Dengan demikian, apabila pernyataan “p” dapat dipecah menjadi

,

maka implikasi dapat dibuktikan dengan membuktikan implikasi

sendiri – sendiri.

Contoh 8.23

Buktikan implikasi Jika bilangan bulat yang tidak habis dibagi maka

Penyelesaian :

Misalkan adalah proposisi bilangan bulat yang tidak habis dibagi

dan misalkan adalah proposisi maka ekuivalen

dengan dimana adalah dan

Dari sini, untuk menunjukkan bahwa kita dapat menunjukkan

bahwa dan Hal yang mudah untuk membuktikan secara

langsung kedua implikasi ini.

Pertama, misalkan bahwa adalah benar, maka jadi

untuk suatu bilangan bulat sehingga

.

Hal ini menunjukkan, Ini menunjukkan bahwa implikasi

bernilai benar.


Selanjutnya, misalkan bahwa benar, maka jadi

untuk beberapa bilangan bulat sehingga

Hal ini menunjukkan, jadi implikasi bernilai

benar.

Karena sudah ditunjukkan bahwa kedua implikasi dan

bernilai benar, maka dapat disimpulkan bahwa bernilai

benar. Lebih lanjut, karena ekuivalen dengan hal ini

mengakibatkan bahwa benar.

Contoh 8.24

Buktikan i0mplikasi Jika bilangan bulat yang tidak habis dibagi

maka

Penyelesaian :


Selanjutnya, untuk membuktian teorema yang berbentuk

dengan dan adalah proposisi, dapat digunkan tautologi

[ ]

Dengan demikian proposisi dapat dibuktikan dengan membuktikan

dua implikasi, yaitu dan


Contoh 8.25

Buktikan teorema Bilangan bulat ganjil jika dan hanya jika ganjil

Pembuktian:

Teorema ini berbentuk jika dan hanya jika dengan adalah

adalah ganjil dan adalah adalah ganjil Untuk membuktikan

teorema ini, cukup ditunjukkan bahwa implikasi dan bernilai

benar.

Pada contoh sebelumnya sudah dibuktikan bahwa adalah benar.

Selanjutnya sisa dibuktikan Akan digunakan pembuktian tidak

langsung untuk membuktikan Asumsikan bahwa kesimpulannya

“p” salah, yaitu bahwa adalah genap, maka untuk suatu

bilangan bulat sehingga jadi adalah genap. Ini

melengkapi pembuktian tidak langsung dari

Karena kedua implikasi dan bernilai benar, itu berarti bahwa

teorema bernilai benar.

Contoh 8.26

Buktikan teorema Bilangan bulat ganjil jika dan hanya jika ganjil

Pembuktian:



Contoh 8.27

Buktikan teorema Bilangan bulat habis dibagi 3 jika dan hanya jika

habis dibagi 3

Pembuktian:

Teorema ini berbentuk jika dan hanya jika dengan adalah habis

dibagi 3 dan adalah habis dibagi 3 Untuk membuktikan teorema

ini, cukup ditunjukkan bahwa implikasi dan bernilai benar.

Pada bagian pertama akan dibuktikan bahwa adalah benar.

Misalkan habis dibagi 3, berarti dapat ditulis untuk suatu

bilangan bulat. Dari sini diperoleh

Dari persamaan terakhir disimpulkan dapat dibagi 3.

Selanjutnya sisa dibuktikan Akan digunakan pembuktian tidak

langsung untuk membuktikan Asumsikan bahwa kesimpulannya

“p” salah, yaitu bahwa tidak habis dibagi 3. Selanjutnya akan

ditunjukkan bahwa tidak habis dibagi 3. Namun demikian, hal terakhir

ini sudah dibuktikan pada contoh sebelumnya. Karena kedua implikasi

dan bernilai benar, itu berarti bahwa teorema bernilai benar.

Contoh 8.28

Buktikan teorema Bilangan bulat habis dibagi 3 jika dan hanya jika

habis dibagi 3

Pembuktian:



Soal-soal Latihan.

1. Berikan pembuktian langsung dari

Jika , maka

2. Berikan pembuktian tidak langsung dari pernyataan, jika

ganjil, maka ganjil

3. Berikan pembuktian tidak langsung pernyataan jika ganjil,

maka genap

4. Berikan pembuktian dengan kontardiksi pernyataan ganjil,

maka adalah ganjil

5. Berikan pembuktian dengan kontradiksi pernyatan ganjil,

maka adalah genap

6. Berikan pembuktian dengan kontradiksi pernyataan √ adalah

bilangan irrasional.

142 DAFTAR PUSTAKA

DAFTRAR PUSTAKA

Kenneth H., R. (1995). Discrete Mathematics and Applications Third

Edition. New York: McGraw-Hill, Inc.

Louis F., R. (1976). Logic, sets, and numbers. Belmont, California:

Wadsworth Publishing Company, Inc.

Winfried Karl, G. d.-P. (1996). Logic and Discrete Mathematics a

Computer Science Perspective. Upper Saddle River, New Jersey:

Prentice Hall Internasional.

INDEKS 143

INDEKS

A

Alir, 65

analisis, 26, 27, 28, 29, 30, 64, 93

anteseden, 11, 26, 28, 54, 55, 69,

126, 128, 129, 130

argumen, 57, 58, 59, 60, 61, 62,

63, 64, 65, 66, 67, 68, 69,

70, 71, 72, 73, 74, 75, 76

Asal, 95

Assosiatif, 44

B

Berganda, 84, 85, 92

Bikondisional, 49

Bimplikasi, 13, 14

D

De Morgan, 46

Diagram, 65, 66, 67, 68, 69

Disjungsi, 9, 10

Distribusi, 45

domain, 80, 95, 110

E

eksistensi, 77, 80, 82, 83, 84, 91

Ekuivalen, 39, 40, 42, 43, 44, 45,

46

F

Fungsi, 95, 102, 105

G

Ganda, 42

H

hipotesis, 125, 126, 128

I

Idempoten, 42

identik, 39, 40

Implikasi, 11, 12, 55, 56, 131

Invers, 54, 55

J

Jangkauan, 95

Fungsi, 95

K

Kasus, 137

koefisen, 117

kombinasi, 9, 11, 13, 19, 23, 24,

129

Komutatif, 43

Kondisional, 47

Konjungsi, 7, 8

konsekuen, 11, 26, 27, 28, 54, 55

144 INDEKS

konstruksi, 125

Kontradiksi, 50, 134

Kontraposisi, 54, 55

Kontrapositif, 48

Konvers, 54, 55, 56

Kosong, 125

kuantifikasi, 80, 81

Kuantor, 80, 82, 83, 84, 85, 86,

87, 88, 92

L

lambang, 23

Langsung, 65, 129, 131

Limit, 110

M

majemuk, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

12, 13, 14, 17, 19, 20, 21,

22, 23, 24, 25, 26, 27, 28,

38

mondok, 92

N

Negasi, 15, 16, 42, 91, 92, 93

P

Pada, iv, 4, 26, 27, 28, 36, 39, 54,

57, 60, 61, 71, 72, 73, 74,

75, 96, 99, 102, 105, 107,

134, 137, 139, 140, 145

pembuktian, 117, 125, 127, 128,

129, 130, 131, 132, 133,

134, 135, 136, 139, 140,

141

pengawanan, 95, 96, 97, 99, 102,

103, 105, 106, 107, 108

Predikat, 77

premis, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63,

64, 65, 71, 75

preposisi, 80, 82, 83, 84, 85, 86,

87, 88, 91

proposisional, 77, 80, 84

R

range, 95, 98

relevan, 126

riil, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 88, 89,

94, 96, 97, 99, 100, 101,

103, 105, 107, 108, 109

S

Satu-satu, 102

semesta, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 94

T

tak tentu, 23, 25, 32, 33, 34, 35,

36, 37, 38

tautologi, 23, 24, 26, 27, 28, 29,

36, 137, 138

tertentu, 80, 82, 90

tidak berelasi, 52, 53, 55, 56

Tidak Langsung, 71, 131


Trivial, 127

Tunggal, 80, 83

V

valid, 57, 58, 60, 61, 63, 64, 65,

66, 68, 71, 72

Valid, 70, 71, 73, 74, 75

validitas, 58, 59, 61, 62, 65, 66,

67, 68, 69, 71

146 PROFIL PENULIS

PROFIL PENULIS

Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc, lahir di Kabupaten

Pangkep Sulawesi Selatan pada 3 Aggustus 1968.

Setelah menamatkan pendidikan SD, SMP, dan SMA

di Pangkep, meneruskan pendidikan jenjang sarjana di

Universitas Hasanuddin Makassar dan berhasil

menyelesaikan pendidikan sarjana Matematika pada

Jurusan Matematika FMIPA UNHAS tahun 1990. Pada

tahun 1996, beliau melanjutkan pendidikan jenjang master pada

Departemen Matematika Industri Universitas Kaiserslautern Jerman yang

berhasil dieselesikan pada tahun 1998. Pendidikan jenjang Doktor

diselesaikan pada tahun 2011 di Program Doktor Matematika Institut

Teknologi Bandung.

Sejak tahun 1992, beliau resmi merupakan tenaga pengajar pada

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar. Selain

aktif sebagai pengajar, beliau juga aktif dalam pembuatan soal-soal

Olimpiade Nasional MIPA.

Pada tahun 2014 menerima gelar Professor bidang Aljabar.

Sebelumnya, Penghargaan Satyalancana Karya Satya Lancana XX tahun

diberikan oleh Presiden Republik Indonesia pada tahun 2013.

Struktur Berpikir Logis dan Sistematis

Documents

Transcript of Struktur Berpikir Logis dan Sistematis