1

Analisis Variansi

Statistika I (Inferensi)

2

Analisis Variansi

• Analisa variansi (ANOVA) adalah suatu metoda untuk menguji hipotesis kesamaan rata-rata dari tiga atau lebih populasi.

• Asumsi

Sampel diambil secara random dan saling bebas (independen)

Populasi berdistribusi berdistribusi Normal

Populasi mempunyai kesamaan variansi

3

Analisis Variansi

• Misalkan kita mempunyai k populasi.

• Dari masing-masing populasi diambil sampel

berukuran n.

• Misalkan pula bahwa k populasi itu bebas dan

berdistribusi normal dengan rata-rata 1, 2, ….

dan k dan variansi 2.

• Hipotesa :

H0 : 1 = 2 = … = k

H1 : Ada rata-rata yang tidak sama

4

Analisis Variansi

Populasi

Total

1 2 … i … k

x11 x21 … xi1 … Xk1

x12 x22 … xi2 … Xk2

: : : : : :

x1n x2n … xin … xkn

Total T1 T2 … Ti … Tk T

Ti adalah total semua pengamatan dari populasi ke-i

T adalah total semua pengamatan dari semua populasi

5

Rumus Hitung Jumlah Kuadrat

JKPJKTJKG

nk

T

n

T

JKP

nk

TxJKT

2

k

1i

2

i

k

1i

n

1j

22

ij

Jumlah Kuadrat Total =

Jumlah Kuadrat Perlakuan =

Jumlah Kuadrat Galat =

6

Tabel Anova dan Daerah Penolakan

Sumber

Variasi

Derajat

bebas

Jumlah

kuadrat

Kuadrat

Rata-rataStatistik F

Perlakuan k – 1 JKPKRP =

JKP/(k – 1 )

F =

KRP/KRG

Galat k(n-1) JKGKRG =

JKG/(k(n-1))

Total nk – 1 JKT

H0 ditolak jika F > F(; k – 1; k(n – 1))

7

Contoh 1

Sebagai manager

produksi, anda ingin

melihat mesin pengisi akan

dilihat rata-rata waktu

pengisiannya. Diperoleh

data seperti di samping.

Pada tingkat signifikansi

0.05 adakah perbedaan

rata-rata waktu ?

Mesin1 Mesin2 Mesin3

25.40 23.40 20.00

26.31 21.80 22.20

24.10 23.50 19.75

23.74 22.75 20.60

25.10 21.60 20.40

8

Penyelesaian

Hipotesa :

H0: 1 = 2 = 3

H1: Ada rata-rata yang tidak sama

Tingkat signifikasi = 0.05

Karena df1= derajat bebas perlakuan = 2

dan df2 = derajat bebas galat = 12, maka

f(0.05;2;12) = 3.89.

Jadi daerah pelokannya:

H0 ditolak jika F > 3.89

9

Data

Populasi

Total

1 2 3

25.40 23.40 20.00

26.31 21.80 22.20

24.10 23.50 19.75

23.74 22.75 20.60

25.10 21.60 20.40

Total 124.65 113.05 102.95 340.65

10

Jumlah Kuadrat Total

2172.58

35

65.340

40.2060.2075.1920.2200.20

60.2175.2250.2380.2140.23

10.2574.2310.2431.2640.25

nk

TxJKT

2

22222

22222

22222

k

1i

n

1j

22

ij

11

Jumlah Kuadrat Perlakuan dan

Jumlah Kuadrat Galat

0532.111640.472172.58JKG

1640.47

35

65.340

5

95.10205.11365.124

nk

T

n

T

JKP

2222

2

k

1i

2

i

12

Tabel Anova dan Kesimpulan

Sumber

Variasi

Derajat

Bebas

Jumlah

Kuadrat

Kuadrat

Rata-rata

Statistik

F

Perlakuan 3-1=2 47.1640 23.5820F = 25.60

Galat 15-3=12 11.0532 0.9211

Total 15-1=14 58.2172

Karena Fhitung = 25.60 > 3.89 maka H0 ditolak.

Jadi ada rata-rata yang tidak sama.

13

Rumus Hitung Jumlah Kuadrat

Untuk ukuran sampel yang berbeda

JKPJKTJKG

N

T

n

TJKP

N

TxJKT

2k

1i i

2

i

k

1i

n

1j

22

ij

i

Jumlah Kuadrat Total =

Jumlah Kuadrat Perlakuan =

Jumlah Kuadrat Galat =

k

1i

inNdengan

14

Tabel Anova

Untuk ukuran sampel yang berbeda

Sumber

Variasi

Derajat

bebas

Jumlah

kuadrat

Kuadrat

Rata-rataStatistik F

Perlakuan k – 1 JKPKRP =

JKP/(k – 1 )

F =

KRP/KRG

Galat N – k JKGKRG =

JKG/(N - k)

Total N – 1 JKT

15

Contoh 2

• Dalam Sebuah percobaan biologi

4 konsentrasi bahan kimia

digunakan untuk merangsang

pertumbuhan sejenis tanaman

tertentu selama periode waktu

tertentu. Data pertumbuhan

berikut, dalam sentimeter, dicatat

dari tanaman yang hidup.

• Apakah ada beda pertumbuhan

rata-rata yang nyata yang

disebabkan oleh keempat

konsentrasi bahan kimia tersebut.

• Gunakan signifikasi 0,05.

Konsentrasi

1 2 3 4

8.2 7.7 6.9 6.8

8.7 8.4 5.8 7.3

9.4 8.6 7.2 6.3

9.2 8.1 6.8 6.9

8.0 7.4 7.1

6.1

16

Penyelesaian

Hipotesa :

H0: 1 = 2 = 3= 4

H1: Ada rata-rata yang tidak sama

Tingkat signifikasi = 0.05

Karena df1= derajat bebas perlakuan = 3

dan df2 = derajat bebas galat = 16, maka

f(0.05;3;16) = 3.24.

Jadi daerah pelokannya:

H0 ditolak jika F > 3.24

17

Data

Populasi

Total

1 2 3 4

8.2 7.7 6.9 6.8

8.7 8.4 5.8 7.3

9.4 8.6 7.2 6.3

9.2 8.1 6.8 6.9

8.0 7.4 7.1

6.1

Total 35.5 40.8 40.2 34.4 150.9

18

Jumlah Kuadrat Total

350.19

20

9.1501.79.63.63.78.61.6

4.78.62.78.59.60.81.8

6.84.87.72.94.97.82.8

N

TxJKT

2222222

2222222

2222222

k

1i

n

1j

22

ij

i

19

Jumlah Kuadrat Perlakuan dan

Jumlah Kuadrat Galat

888.3462.15350.19JKG

462.15

20

9.150

5

4.34

6

2.40

5

8.40

4

5.35

N

T

n

TJKP

22222

2k

1i i

2

i

20

Tabel Anova dan Kesimpulan

Sumber

Variasi

Derajat

Bebas

Jumlah

Kuadrat

Kuadrat

Rata-rata

Statistik

F

Perlakuan 4-1=3 15.462 5.154F =

21.213Galat 20-4=16 3.888 0.243

Total 20-1=19 19.350

Karena Fhitung = 21.213 > 3.24 maka H0 ditolak.

Jadi ada rata-rata yang tidak sama.

21

Latihan 1

Kapasitas

Mitsubishi

(A)

Toyota

(B)

Honda

(A)

44 42 46

43 45 47

48 44 45

45 45 44

46 44 43

Seorang kontraktor di bidang jenis

jasa pengangkutan ingin

mengetahui apakah terdapat

perbedaan yang signifikan pada

kapasitas daya angkut 3 merk truk,

yaitu Mitsubishi, Toyota dan Honda.

Untuk itu kontraktor ini mengambil

sampel masing-masing 5 truk pada

tiap-tiap merek menghasilkan data

seperti disamping.

Jika ketiga populasi data tersebut

berdistribusi normal dan variansi

ketiganya sama, uji dengan

signifikasi 5% apakah terdapat

perbedaan pada kwalitas daya

angkut ketiga merek truk tersebut

22

Latihan 2

Seorang guru SMU mengadakan

penelitian tentang keunggulan

metode mengajar dengan

beberapa metode pengajaran.

Bila data yang didapat seperti

pada tabel disamping, ujilah

dengan signifikasi 5% apakah

keempat metode mengajar

tersebut memiliki hasil yang

sama? (asumsikan keempat data

berdistribusi Normal dan

variasnisnya sama)

Metode

A B C D

70 68 76 67

76 75 87 66

77 74 78 78

78 67 77 57

67 57 68

89