Tentang Statistik

BAB I

PENDAHULUANMATERI :

1. Pengertian Statistik dan Statistika2. Macam-macam Statistik3. Metodologi Statistik4. Fungsi dan Kegunaan Statistik5. Variabel Statistik

1.1. Pengertian Statistik dan StatistikaStatistik berasal dari kata status dan statista artinya Negara yang dikemukakan oleh

Aristoteles dalam bukunya “Politeia” yang menjelaskan uraian mengenai 158 negara. Katatersebut kemudian digunakan untuk mengatakan tentang pengumpulan dan penyajianketerangan-keterangan yang dibutuhkan oleh negara dan berguna bagi negara.

Pada awalnya statistik diartikan sebagai kumpulan keterangan baik yang berbentukangka-angka atau kumpulan keterangan yang tidak berbentuk angka-angka/bilangan yangmemiliki arti penting dan kegunaan besar bagi suatu negara. Namun sekarang kata statistikdiartikan sebagai pelukisan suatu keadaan yang umumnya ditekankan sebagai angka-angka bilangan atau dengan kata lain statistik berarti kumpulan angka-angka yangberhubungan dengan atau melukiskan sesuatu persoalan.

Berbagai literatur memberikan pengertian statistik dengan susunan kalimat yangbervariasi meskipun mengandung pengertian yang sama yaitu statistik merupakanrekapitulasi dari fakta yang berbentuk angka-angka, disusun dalam bentuk tabel dandaigram yang mendeskripsikan suatu keadaan (Riduwan,2003) atau statistik merupakansekumpulan cara maupun aturan-aturan yang berkaitan dengan pengumpulan, pengolahan(analisis), penarikan kesimpulan atas data-data yang berbentuk angka denganmenggunakan asumsi teretentu (Agus Irianto,2004).

Statistika merupakan suatu ilmu yang merupakan cabang dari matematika yang padadasarnya bukan mengemukakan data-data atau fakta-fakta, tetapi merupakan ilmu kira-kira yang hanya mengetahui sebagian dari populasi tetapi membicarakan seluruh populasi(Abdulrahman Ritonga, 1987). Berkaitan dengan kedudukannya sebagai ilmu, statistikamerupakan metode ilmiah yang mencakup teknik mengumpulkan, mengorganisasikan,mentabulasi, menginterpretasi, menggambarkan dan menyajikan data dalam bentuk angka-angka. Statistika merupakan suatu metode yang digunakan dalam pengumpulan data,sehingga dapat diperoleh informasi yang berguna(Siagian,dkk, 2002)1.2. Macam-Macam Statistik

Statistik dapat dibedakan menjadi dua yaitu :1. Statistik deskriptif (statistik dalam arti sempit) yaitu statistik yang digunakan

untuk menggambarkan atau menganalisis suatu statistik hasil penelitian, tetapitidak digunakan untuk membuat kesimpulan yang lebih luas (generalisasi).Kegiatan dari statistik deskriptif dimulai dari pengumpulan data, pengorganisasianmengklasifika-sikan, dan penyajian data baik dalam bentuk tabel, grafik ataudalam bentuk lainnya.

2. Statistik induktif (statistik inferensi = statistik probabilitas = statistik dalam artiluas) adalah statistik yang digunakan untuk menganalisis dan mengiterpretasikandata sample dan hasilnya akan digeneralisasikan (diinferensikan) untuk populasidimana sample diambil. Statistik induktif dibedakan menjadi dua yaitu :

- statistik parametris terutama digunakan untuk menganalisis data intervalatau data rasio yang diambil dari populasi yang berdistribusi normal.

- Statistik non parametris terutama digunakan untuk menganalisis datanominal dan ordinal pada populasi yang bebas distribusi sehingga tidakharus normal.

Jenis-jenis statistik dapat digambarkan berikut.

- Pengumpulan data- Pengorganisasian/Pengklasifikasi

Deskriptif an Data- Penyajian data

Statistik

Parametris

Induktif =inferensia

Non Parametris

- Menganalis dan menginterpretasikan - Membuat Kesimpulan (generalisasi)

1.3. Metodologi Statistik

Menyelesaikan suatu permasalahan secara statistik tidak terlepas dari pendekatanilmiah yang harus melalui beberapa tahap. Ada 5 tahap yang harus dilakukan untukmemecahkan permasalahan secara statistik yaitu :1. Pembatasan masalah. Permasalahan yang ingin dipecahkan harus dipahami dan dirumuskan secara benar

agar dapat dijadikan pedoman guna pengumpulan data secara terarah dan ekonomis.Pembatasan masalah akan membantu untuk menarik suatu kesimpulan sehinggadalam tahap ini informasi kuantitatif sangat bermanfaat.

2. Pengumpulan Data atau Fakta Data harus dikumpulkan dengan tepat dan selengkap mungkin serta berhubungan

dengan permasalahan yang dihadapi. Data dapat bersumber dari data internal maupundata eksternal.

3. Pengorganisasian/Pengklasifikasian Data

Apabila data telah terkumpul, langkah selanjutnya adalah mengorganisasi ataumengkalsifikasikan data tersebut sesuai dengan tujuan penelitian. Data-data tersebutdapat dapat dipisahkan atas kelompok-kelompok dan sifat-sifat yang sama.

4. Penyajian Data Penyajian data dapat dilakukan dalam bentuk tabel maupun grafik maupun digram

yang berguna untuk menyampaikan hal-hal penting kepada pihak yang membutuhkan.

5. Analisis dan Interpretasi Data Dalam melakukan analisis data harus dilihat apakah data yang dikumpulkan data

sampel atau data populasi. menggunakan data sampel, berdasarkan ukuran deskriptifdilakukan pendugaan parameter populasi dan pengujian asumsi parameter atau ciri-ciripopulasi. Analisis data akan lebih dalam dibahas dalam statistik induntif atau statistikinferensi.

Langkah –langkah metodologi statistik terlihat dalam skema berikut

1.4. Fungsi dan Kegunaan Statistik

1.4.1. Fungsi Statistik

Mulai

PembatasanMasalah

PengumpulanData

Pengorganisasian/Pengklasifi-

kasian Data

Penyajian Data

Datasampel

Untuk :a. Menduga parameterb. Menguji asumsi

parameter

Gunakan data populasiuntuk menentukankarakteristik data

Buat kesimpulanberdasarkan perkiraan

populasi

Selesai

Ya

Tidak

Berbagai definisi statistik yang telah diuraikan terdahulu selalu berkaitan dengandata yang disajikan dalam bentuk ang-angka. Berkaitan dengan penyajian data dalambentuk angka maka statistik berfungsi :

1. Menggambarkan data dalam bentuk tertentu, tanap adanya statistik data akanmenjadi kabur dan tidak jelas.

2. Dapat menyederhanakan data yang komplek menjadi data yang mudah dimengerti3. Merupakan teknik untuk membuat perbandingan4. Dapat memperluas pengalaman individual5. Dapat memberi petunjuk bagi perumusan kebijakan perusahaan6. Dapat mengukur besaran-besaran dari suatu gejala7. Dapat membantu menentukan hubungan sebab akibat

1.4.2. Kegunaan StatistikSejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, statistik sebagai ilmu (statistika)

juga semakin dibutuhkan mengiringi perkembangan ilmu pengetahuan sehingga ilmustatistik dapat digunakan pada berbagai macam disiplin ilmu seperti :1. Ilmu ekonomi dan bisnis - Ilmu ekonomi. Dalam ilmu ekonomi statistik dapat dipergunakan oleh para ekonom

(ahli ekonomi) sebagai indikator produktivitas ekonomi, inflasi, tingkat bunga danpengangguran, pertumbuhan penduduk. Di bidang produksi data statistik dipergunakanuntuk membandingkan produksi suatu daerah dengan daerah lain, di bidang konsumsidata statistik dapat menjelaskan berbagai pola konsumsi dari strata msayarakat. Untukmeramalkan kejadian di masa yang akan para ekonomi dapat menggunakan analisisruntun waktu (time series) dan peramalan (forecasting). Dengan demikian penggunaanststistik dalam ekonomi selain untuk mengembangkan konsep-konsep ekonomi yangsudah ada juga untuk mengkaji teori ekonomi yang telah ada.

- Manajemen. Manajer dapat menggunakan metode statistik untuk menganalisa terhadapyang berkaitan dengan perusahaan, statistik dapat membantu menganalisa selera maupunpreferensi konsumen terhdapa barang-barang konsumsi, dapat dijadikan perusahaanuntuk mengelola dan secara terus menerus mengembangkan produksi seperti metodepengendalian mutu, maupun untuk meramalkan jumlah yang dipasarkan atau dijual padamasa yang akan datang berdasarkan data-data masa lalu.

- Akuntansi. Berbagai keputusan yang diambil oleh seorang akuntan seperti kondisikeuangan, likuiditas dan persediaan diadasarkan pada analisis ratio keuangan. Metodestatistik dapat diterapkan dalam analisis berupa data rasio keuangan sehingga secarastatistik dapat menunjukkan bahwa rasio keuangan untuk beberapa perusahaan dapatdinilai secara berbeda dengan perusahaan lain.

2. Statistik juga dapat dipergunakan sebagai alat komunikasi yang berfungsi sebagaipenghubung beberapa pihak yang menghasilkan data statistik atau berupa analisisstatistik sehingga beberapa pihak akan dapat mengambil keputusan melalui informasi.

3. Sebagai komparasi atau membandingkan data dua kelompok atau lebih.4. Dalam aktivitas penelitian, statitistik berguna sebagai :

- alat untuk menghitung besarnya anggota sampel yang diambil dari suatu populasi.- alat untuk menguji validitas dan reliabilitas daftar pertanyaan- teknik-teknik untuk menyajikan data sehingga dapat lebih komunikatif- alat untuk menganalisis data seperti menguji hipotesis penelitian yang diajukan

5. Bagi pemerintah dapat digunakan sebagai alat untuk menganalisis kondisiperekonomian dan perkiraan trend perekonomian di masa yang akan datang

1.5. Variabel Statistik1. Pengertian Variabel

Variabel merupakan sesuatu yang nilainya berubah-ubah atau suatu symbol yangmempunyai nilai yang bervariasi. Variabel biasanya dilambangkan dengan Y, Z atausingkatan dari huruf yang digunakan untuk menggambarkan arti.

2. Jenis- Jenis VariabelPada dasarnya variabel statistik terdiri dari dua yaitu variabel kualitatif yangmerupakan variabel yang disajikan bukan dalam bentuk angka (katagorikal) danvariabel kuantitatif (numerikal) yang merupakan variabel yang disajikan dalambentuk angka.

Suatu variabel kuantitatif bisa bersifat descret yaitu variabel yang hanya mengambilbilangan bulat dan bersifat kontinyu yaitu variabel yang dapat mengambil setiap nilaidalam interval dan bilangan nyata atau bias mengambil nilai pecahan.

Perhatikan contoh berikut : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dari interval 1 - 10 banyaknya bilangan bulat sebagai nilai variabel diskrit adalah 10,

karena hanya melihat bilangan bulat, sebaliknya banyaknya variabel kontinyumengambil nilai pecahan yang berada pada masing-masing interval yang jumlahnyacukup banyak dan tak dapat dihitung misalnya antara 5 dengan 6 terdapat pecahansebesar 5,1 ; 5,11 ; 5,12 ; … 5,20 ; 5,21 ; … 6 dan seterusnya.

Menurut hubungan antar satu variabel dengan variabel lain, variabel dapat dibedakanmenjadi :a. Variabel independent disebut juga dengan variabel stimulus, input, predictor dan

antendent yang diartikan sebagai variabel bebas yaitu variabel yang menjadi sebabtimbul atau berubahnya variabel dependent. Jadi variabel ini disebut pula variabelyang mempengaruhi.

b. Variabel dependent disebut juga sebagai variabel respon, output, criteria,konsukuen yang diartikan sebagai variabel terikat merupakan variabel yangdipengaruhi atau yang menjadi akibat karena adanya variabel bebas.

Contoh : Y = f(x) bacanya variabel Y merupakan fungsi dari variabel X, artinyabila nilai X berubah, otomatis nilai Y akan berubah.

c. Variabel moderator. Adalah variabel yang mempengaruhi (memperkuat ataumemperlemah) hubungan antara variabel bebas dengan variabel terikat sehinggadisebut juga dengan variabel independen kedua. Contoh, hubungan suami isterisemakin akrab apabila telah mempunyai anak. Anak sebagai variabel moderator.

d. Variabel intervening, adalah variabnel yang secara teoritis mempengaruhi(memperkuat atau memperlemah) hubungan antara variabel beas dengan variabelterikat tetapi tidak terukur. Contoh, anak yang pandai nilainya akan tinggi, akantetapi ketika ia sakit dan frustrasi nilainya menurun. Sakit hati dan frustrasimerupakan variabel intervening yang sulit diukur.

e. Variabel Kontrol adalah varaibel yang dikendalikan atau dibuat konstan sehinggatidak akan mempengaruhi variabel utama yang diteliti. Contoh, untukmembandingkan kecepatan mengetik komputer antara kelas A dan kelas B, makaperlu ditetapkan variabel kontrolnya, yaitu banyaknya yang diketik sama, jenis dankapasitas komputer sama serta ruangannya juga harus sama.

BAB II

DATA DAN PEMBULATAN BILANGAN

MATERI :

1. Pengertian Data Statistika2. Pembagian Data3. Kegunaan Data4. Syarat-syarat Data5. Pengumpulan Data6. Penyajian Data7. Penjumlahan dengan notasi Σ8. Pembulatan bilangan

2.1. DATA2.1.1. Pengertian Data Beberapa definisi yang dikemukakan oleh para penulis tentang definisi di atas padaumumnya selalu mengacu pada data yang berbentuk angka-angka. Berkaitan dengan haltersebut statistik tidak dapat dipisahkan dari tersedianya data. Berbagai definisi yangdikemukakan oleh para ahli tentang data sangat bervarisi meskipun mempunyai maknayang satu. Beberapa pengertian data adalah sebagai berikut a. Data adalah bahan mentah yang perlu diolah sehingga menghasilkan informasi atau

keterangan baik kualitatif maupun kuantitatif yang menunjukkan fakta.b. Data merupakan sesuatu yang diketahui dan dianggap yang dapat memberikan

gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan.c. Data diartikan sebagai keterangan atau informasi yang menggambarkan suatu keadaan

di suatu tempat pada waktu tertentu. Penyebutan waktu dan tempat berkaitan denganterjadinya perubahan data dar iaktu ke waktu dan pada tempat yang berbeda-beda.Data merupakan kata jamak, sedangkan kata tunggal dari data disebut dengan datum.

d. Data adalah keterangan mengenai sesuatu mungkin berbentuk angka-angka (bilangan)yang disebut data kuantitatif, dan mungkin berbentuk kalimat-kalimat, uraian-uraianyang disebut dengan data kualitatif.e. Data adalah kumpulan dari sejumlah fakta atau kenyataan yang dapat dipercaya

kebenarannya sehingga dapat dipergunakan sebagai dasar untuk menarikkesimpulan.

f. Data merupakan kumpulan dari sejumlah fakta atau kenyataan yang dapatdipercaya kebenanrannya sehingga dapat digunakan sebagai dasar untuk menaikkesimpulan.

2.1.2. Pembagian DataDipandang dari berbagai aspek, data dapat dibagi ke dalam beberapa golongan

seperti :a. Menurut sifatnya

1. Data kualitatif yaitu data yang berhubungan dengan katagorisasi, karakteristikberwujud pertanyaan berupa kata-kata atau yang tidak berbentuk angka-angka.

2. Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka-angka atau data kualitatif yangdiangkakan (skoring). Data kuantitatif dapat dibedakan menjadi dua yaitu :a. Data deskrit atau data nominal adalah data yang diperoleh dari hasil

menghitung atau membilang (bukan mengukur) atau data yang satuannyabulat dalam bilangan asli, tidak berbentuk pecahan. Contohnya : manusia, baju,sepeda, mobil, pohon dll.

b. Data kontinum (kontinyu) adalah data yang diperoleh dari hasil pengukuranatau data yang satuannya pecahan yang terdiri dari :

- data ordinal adalah data yang berjenjang atau berbentuk peringkat yangmakin kecil angkanya maka semakin tinggi nilainya. Oleh karenanya jarakyang satu dengan yang lain tidak sama. Contoh ; Juara I, II , III atau EselonI, II, III dan sebagainya.

- data interval adalah data yang jaraknya sama, tetapi tidak mempunyai nilainol mutlak (absolut) tetapi masih mempunyai nilai. Misalnya nol derajatCelcius, ternyata masih ada nilainya.

- data ratio adalah data yang jaraknya sama dan mempunyai nilai nolabsolut. Misalnya hasil pengukuran panjang (m), berat )kg) dan lainnya.Data rasio dapat disusun ke dalam data interval atau data rasio.

b. Menurut sumbernya1. Data internal yaitu data yang menggambarkan keadaan/kegiatan dalam suatu

lembaga/ badan atau individu tertentu (dalam lingkungan sendiri). Data internaldalam suatu perusahaan seperti data personalia, data keuangan dan lainnyasedangkan bagi negara seperti data penduduk, data sumber-sumber alam,pendapatan nasional dan lainnya.

2. Data eksternal yaitu data yang menggambarkan keadaan/kejadian diluar suatulembaga/badan atau individu tertentu. Data ekternal bagi suatu perusahaan sepertidata tentang daya beli masyarakat, perkembangan harga, data tentang permintaandan penawaran serta data lainnya, sedangkan bagi suatu negara seperti dataperkembangan barang-barang ekspor di pasaran internasional, data yangmenunjukkan akibata danya krisis ekonomi dan lainnya.

Data eksternal dapat dibagi ke dalam : (data menurut cara memperolehnya) : a. Data primer yaitu data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh suatu badan

atau individu secara langsung dari obyeknya. b. Data sekunder yaitu data yang diperoleh dalam bentuk sudah jadi, sudah

dikumpulkan dan diolah oleh pihak lain.c. Menurut waktu pengumpulannya

1. Data seketika (cross section data) yaitu data yang dikumpulkan pada waktu tertentuyang dapat menggambarkan keadaan dan karakteristik obyek penelitian padawaktu penelitian itu dilakukan.

3. Data berkala (time series data) yaitu data yang dikumpulkan dari waktu ke waktuyang dapat menggambarkan tentang perkembangan suatu kegiatan/kejadian.Misalnya data tentang jumlah penduduk tahun 1990 sampai dengan tahun 2000,data tentang Jumlah Uang yang Beredar sejak tahun 1995 – 2000 dan lainnya.

Secara singkat dapat digambarkan sebagai berikut :

Kualitatif

2.1.3. Syarat-syarat DataData yang baik akan mempermudah dalam membuat suatu perencanaan maupun

suatu keputusan. Oleh karena itu suatu data dapat dianggap baik harus memenuhi syarat-syarat ::a. Harus obyektif, sesuai dengan realitab. Harus representatif (terwakili)c. Kesalahan baku (standard error) harus kecild. Harus tepat waktu (up to date)e. Harus relevant dengan persoalan yang dipecahkan

2.1.4. Kegunaan DataData sangat berguna bagi pihak-pihak yang membutuhkan seperti :

a. Data untuk suatu perencanaanb. Sebagai alat kontrolc. Dasar evaluasi dari hasil kerja akhird. Sebagai gambaran tentang suatu keadaane. Dasar pembuatan keputusan atau pemecahan masalah2.1.5. Pengumpulan Data

Metode pengumpulan data adalah teknik atau cara-cara yang dapat digunakanuntuk mengumpulkan data. Ada beberapa teknik untuk mengumpulkan data yaitu :a. Untuk data primer yang merupakan data yang didapat dari sumber pertama yang dapat

dilakukan dengan cara :- wawancara yaitu suatu cara pengumpulan data yang digunakan untuk memperoleh

informasi langsung dari sumbernya baik dengan wawancara langsung maupuntidak

- informasi yang diperole hdaro koresponden- informasi yang diperoleh dari daftar pertanyaab yang dikirim lewat pos- informasi yang diperoleh beradasar pada daftar pertanyaan (instrumen penelitian =

questionnaire) yang merupakan alat bantu yang dipilih dan digunakan dalamkegiatan mengumpulkan data agar kegiatan tersebut sistimatis.

- Pengamatan (observasi) yaitu melakukan pengamatan secara langsung ke obyekyang diteliti untuk melihat dari dekat kegiatan.

Keuntungan data primer :- dapat mengatasi responden yang buta huruf- dapat mengatasi beberapa jawaban yang tidak terjawab- pencacah dapat menjelaskan maksud pertanyaan yang kurang jelas/tidak

dimengerti responden Kelemahannya :

Macam Data

Kuantitatif

Deskrit

Kontinum

Ordinal

Interval

Rasio

- sangat mahal biayanya- hasilnya dapat bias akibat interpretasi yang kurang tepat- memerlukan waktu yang lama dan hasilnya sangat tergantung pada ketrampilan

pencacahb. Untuk data sekunder yaitu data primer yang diperoleh dari pihak lain atau data primer

yang diolah lebih lanjut dan disajikan oleh pengumpula data primer atau pihak lainyang bisanya disajikan dalam bentuk tabel atau diagram yang dapat diperoleh dari :- data yang sudah dipublikasikan ; data yang tidak dipublikasikanKeuntungan data sekunder :- Data mudah diperoleh- Tidak perlu melakukan penelitian langsungterhadap tujuan yang ingin dicapai- Biayanya relatif murah dan - Waktu relatif pendekKelemahannya :- kadang-kadang data sudah tidak relevan dengan keadaan saat ini- dapat dipengaruhi oleh faktor subyektivitas dan kesalahan (bias) dari peneliti- kemungkinan cara pengumpulannya tidak benar muncul- ruang lingkup sangat pendek/singkat- kemungkinan dilakukan pada saat tidak normal sehingga menjadi tidak relevan lagi

dengan situasi saat ini.2.1.6. Populasi dan Sampel2.1.6.1. Populasi

Populasi dalam statistik mempunyai arti yang luas. Suatu populasi bisa terdiri dariindividu-individu seperti semua mahasiswa fakultas Ekonomi Universitas Mataram, semuamahasiswa yag mengambil mata kuliah Statistik Ekonomi I. Atau sebuah populasi bisajuga terdiri dari benda-benda, seperti semua ban mobil tipe X yang diproduksi olehperusahaan A Suatu populasi dapat pula terdiri dari sekelompok pengukuran seperti beratsemua pemain sepakbola Fakultas Ekonomi, atau semua ukuran tinggi dri pemain VollyBall di Mataram.

Mengacu pada uraian di atas, maka populasi diartikan sebagai suatu kumpulandari semua kemungkinan orzng-orang, benda-benda, atau ukuran ketertarikan dari halyang menjadi perhatian. Atau populasi adalah kumpulan dari seluruh elemen (unit atauindividu) sejenis yang dapat dibedakan menjadi obyek penelitian kemudian ditarikkesimpulannya Misalnya kita ingin megetahui keadaan perusahaan A, maka perusahanini disebut dengan populasi, karena perusahaan tersebut mempunyai sejumlahorang/subyek dan obyek yang lain2.1.6.2. Sampel

Sampel adalah bagian (sebagian kecil ) dari poulasi yang karakteristiknya hendakdiselidiki atau suatu porsi atau bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian. Ada beberapa alasan mengapa sampel diambil dalam suatu populasi yaitu :1. Bila jumlah populasi besar dan peneliti tidak mampu untuk mempelajari semua

populasi.2. Biaya yang dipergunaan untuk mempelajari seluruh populasi besar3. Menghubungi seluruh poplasu membutuhkan waktu yang lama4. Kemampuan tenaga untuk mempelajari seluruh populasi terbatas/kurang Apa yang dipelajari dari sampel, kesimpulannya akan diberlakukan untuk seluruhpopulasi sehingga sampel yang diambil harus benar-benar representatif (mewakili) kondisipopulasi.2.2. PENJUMLAHAN DAN PEMBULATAN BILANGAN2.2.1. Penjumlahan Bilangan dengan Notasi Σ

Notasi dipergunakan untuk mempermudah serta mempersingkat penulisan tanpamengurangi pengertian yang terkandung di dalamnya. Penggunaan notasi Σ ( baca :jumlah dari ) dalam statistik sangat penting karena sangat banyak berkatian denganpenjumlahan bilangan. Untuk bilangan yang jumlahnya banyak dipergunakan rumus :

xnxxx

XiTn

i

++++=

=∑=

.....3211

dimana : T = total jumlah ; X= variabel dan Xi = variabel ke i

∑=

n

iXi

1

dibaca sigma Xi untuk i = 1 sampai dengan i = n, merupakan penjumlahan dari X1

sampai dengan Xn.Beberapa aturan Penjumlahan dengan Notasi Σ :

1. Penjumlahan dari suatu bilangan tetap (konstanta) sebanyak n kali adalah samadengan n kali bilangan itu sendiri.

∑=

=++++=n

inkkkkkk

1...

2. Penjumlahan dari perkalian suatu bilangan tetap (konstanta) dengan suatu variabeladalah sama dengan perkalian antara bilangan tetap itu dengan jumlah nilai-nilaivariabel tersebut.

∑ ∑= =

++++==n

i

n

ixnxxxkXikXik

1 1)...321(

3. Penjumlahan dari jumlah atau selisih beberapa variabel adalah sama denganjumlah atau selisih dari penjumlahan masing-masing variabel.

∑ ∑ ∑= = =

=±=±n

i

n

i

n

itakonsbilangankYiXiYiXi

1 1 1tan)(

Perhatikan contoh-contoh berikut :

1. ∑=

++++++=7

1

7654321i

xxxxxxxXi

2. ∑=

++++=5

155443322

iyxyxyxyxXiyiXiYi

3. ∑=

+++++++++++=+6

1

)66()55()44()33()22()11()(i

yxyxyxyxyxyxYiXi

4. ∑=

+++=4

2

2222 5432i

xxXxXi

5. )76543(225

3

xxxxXXii

++++=∑=

2.2.2. Pembulatan BilanganPembulatan bilangan diperlukan agar orang dapat membaca dan memahami

tampilan data dalam bentuk yang sederhana sehingga data perlu dilakukan pembulatanhingga satuan tertentu. Dalam melakukan pembulatan bilangan harus mengikuti aturan-aturan berikut :

1. Jika angka terkiri dari angka yang akan dihapus kurang dari lima, maka angkaterkanan yang mendahuluinya tidak berubah.

Contoh : 314,643 dibulatkan empat angka menjadi 314,6 atau2. Jika angka terkiri dari yang akan dihapus lebih besar dari lima atau lima diikuti

angka – angka yang tidak semuanya nol maka angka terkanan dari yangmendahuluinya dinaikkan satu. Misalnya angka 529,673 dibulatkan menjadi 529,7bila dikehendaki hanya empat angka. Juga angka 67,2500001 dibulatkan menjadi67,3 bila dikehendaki disederhanakan menjadi tiga angka.

3. Jika angka terkiri dari yang harus dihapus adalh lima, dan diikuti angka – angkanol belaka, maka angka tekanan yang mendahuluinya dinaikkan satu bila angka ituganjil dan tetap bila angka tersebut genap.

Sebagai contoh, angka 103,55 dibulatkan menjadi 103,6 dan angka 103,45dibulatkan menjadi 103,4 bila disederhanakan menjadi empat angka. Perludiperhatikan bahwa angka 103,5499 dibulatkan menjadi 103,5 seperti ketentuan 1dan angka 103,4501 menjadi 103,5 seperti ketentuan 2.

Statistik maupun matematika dan ilmu-ilmu lainnya sering menggunakan huruf-hurufYunani yang dipergunakan sebagai lambang atau notasi. Berikut beberapa huruf yangbiasa dipakai dalam statistik maupun matematika:No Jenis huruf Baca123456789101112131415

αβχδτεγλµπθρσΣω

AlphaBethaChi

Deltatau

EpsilonGamaLamda

MiuPhiTetaRho

sigmaSigma (notasi jumlah)

omega

BAB III.

PENYAJIAN DATA DAN DISTRIBUSI FREKUENSI

MATERI :1. Membedakan antara penyajian data dengan bentuk-bentuk tabel, diagram dan grafik2. Menyajikan data dalam bentuk diagram, batang, diagram garis dan diagram lingkaran3. Menyusun data mentah ke dalam distribusi frekuensi4. Menggambarkan ditribusi frekuensi ke dalam bentuk histogram, poligon dan ogive

3.1. PENYAJIAN DATASetelah dilakukan pengumpulan data, pengorganisasian/pengkalsfikasian data,

langkah selanjutnya adalah menyajikan data-data tersebut ke dalam bentuk yang mudahdibaca dan difahami oleh berbagai pihak yang berkepentingan sebagai dasar untukmembuat suatu perencanaan dan keputusan.Pada garis besarnya penyajian data statistik dapat berbentuk:1. Tabel Biasa : - Tabel klasifikasi tunggal - Tabel klasifikasi ganda

- Tabel kontingensi - Tabel frekuensi/distribusi frekuensi

2. a. Grafik terdiri dari Histogram, Poligon, Ogive, (lihat di distribusi frekuensi) b. Diagram : - Diagram batang (bar chart) - Diagram garis (line chart)

- Diagram lambang (pictograph) - Diagram lingkaran ( pie chart) - Diagram peta (Kartogram )

- Diagram pencar da campuranBerikut akan diberikan contoh penyajian data dari berbagai bentuk di atas.1. TABEL.:Penyajian data dalam bentuk tabel dimaksudkan agar orang dapat memahami

dengan mudah dan menelaah apa yang disajikan. a. Bentuk Tabel Klasifikasi Tunggal atau tabel satu arah (one way table) adalah tabel

yang memuat keterangan mengenai satu hal atau satu karakteristik. Tabel 2.1. PDRB NTB Tahun 1995 Atas Dasar Harga Berlaku Menurut Lapangan

UsahaLapangan Usaha PDRB (%)

PertanianPertambangan dan PenggalianIndustri PengolahanListrik, Gas Dan Air BersihBangunanLainnya

38,233,034,670,418,29

45,37Jumlah 100

Sumber : Bappenas, 1997

Tabel 2.2. Jumlah Penduduk Kota Mataram Berdasarkan Kelompok Umur Tahun2000Kelompok Umur Jumlah Penduduk (Jiwa)

0 – 45 – 9

10 – 1415 - 1920 – 2425 – 2930 – 3940 – 4950 – 5960 – 69 > 70

32.60332.46532.61837.88037.09930.44547.57431.07717.97010.2655.662

Jumlah 315.738 Sumber : BPS NTB, 2001.

Terlihat bahwa tabel 2.1 dan 2.2 merupakan contoh-contoh tabel dengan klasifikasitunggal, dimana tabel 2.1 merupakan tabel dalam bentuk kualitatif dan tabel 2.2merupakan bentuk tabel kuantitatif.

c. Bentuk Tabel Klasifikasi Ganda atau tabel dua arah ( two way table) adalah tabelyang menunjukkan dua hal atau dua karakteristik.

Tabel 2.3. Persentase Kepala Rumah Tangga Menurut Daerah Tempat Tinggal danJenis Kelamin Tahun 1998 (%)

Tempat Tinggal Pria Wanita JumlahPedesaanPerkotaanPerkotaan dan Pedasaan

87,5386,2287,05

12,4713,7812,95

100100100

Sumber : BPS, Susenas, 1998 Tabel 2.4. Jumlah Penduduk Yang Bekerja Menurut Kecamatan Dan Tingkat

Pendidikan di Kota Mataram Hasil Sensus Penduduk Tahun 2000KecamatanJenjang Pendidikan

Ampenan Mataram CakranegaraJumlah

Tidak/Belum tamat SDSDSLTPSLTADiploma I/IIAkademi/Diploma IIPT/DIVTak Terjawab

39.53622.32612.72720.499

7681.0724.637

0

27.48616.98912.78226.757

6371.6087.074

3

34.95321.95511.56415.964

447682

2.5881

101.97561.27037.07363.2201.8523.362

14.2994

Jumlah 101.565 93.336 88.154 283.655 Sumber : BPS NTB, 2001 c. Tabel Kontingensi dipergunakan khusus pada data yang terletak diantara baris dan

kolom berjenis variabel katagori

Tabel 2.5. Besar Keluarga dan Ukuran Pasta Gigi Yang dibeliBesar KeluargaUkuran Pasta Gigi

Yang Dibeli 1 – 2 3 – 4 5 atau lebihJumlah

KecilSedangBesar

25105

376241

85359

70125105

Jumlah 40 140 120 300 Sumber : Djarwanto,2003. Tabel 2.6.Hubungan Antara Tempat Tinggal Penduduk Dengan Tingkat

PendapatanPendapatanKota

Rendah Sedang TinggiJumlah

XYZ

200325400

350300415

175200350

725825

1165

Jumlah 925 1065 725 2715 Sumber : Data Hipotesis2. DIAGRAM : Penyajian data dala bentuk diagram berfungsi sebagai suatu potret yang

dapat memberikan gambaran serta uraian-uraian dari tempat atau obyekdarimana gambar itu diambil.

(i) Diagram batang : Bila kita ingin menyajikan penduduk kecamatan Ampenan berdasarkan Pendidikan

dalam bentuk diaagram terlihat sebagai berikut : (Sumber Tabel 1.4)

01000020000300004000050000

TTSD SDSLT

PSLT

ADI/II

Akade

mi/DIII

PT/DIV

Tak Terj

awab

Jenjang Pendidikan

Jml.

Pend

uduk

(jiw

a)

(2.) Diagram Garis : digunakan untuk menggambarkan perkembangan suatukeadaan, bisa naik dan bisa turun.

Tabel 2.7. Perkembangan Penanaman Modal di Nusa Tenggara Barat Tahun 1998– 2002. (US $)

Tahun Penanaman Modal19981999200020012002

34,613,6

1.408,44,7

119,4 Sumber : BKPM Penyajian dalam diagram garis terlihat sebagai berikut :

19961998200020022004

34,6

13,6

1408

,4 4,711

9,4

TahunPe

nana

man

Mod

al (U

S$)

Series1

(2) Diagram lingkaran : digunakan untuk membandingkan data dari berbagaikelompok

Data yang sama disajikan dalam bentuk lingkaran : (Sumber data pada tabel 1.4)

TTSD38%

SD22%

SLTP13%

SLTA20%

DI/II1%

Akad/DIII1%

PT/DIV5%

TakTerjawab

0%

TTSDSDSLTPSLTADI/IIAkad/DIIIPT/DIVTak Terjawab

(iv) Diagram lambang, yang sesuai dengan namanya maka jumlah satuan tertentu dariobyek yang dikaji digambarkan dalam satu lambang. Biasanya lambangyang dipakai disesuaikan dengan obyek yang dikaji, misalnya pendudukdilambangkan dengan orang, kendaraan bermotor dilambangkan denganmotor atau mobil dan lainnya.

(v) Kartogram, menunjukkan eaaan atau fenomena yang dihubungkan dengan temptkejadian itu berada atau menggambarkan potensi ungggulan yang terdapat padasuatu daerah yang dilambangkan atau diberi simbul-simbul sesuai dengan potensidaerah tersebut yang digambarkan dalam sebuah peta.

Secara singkat penyajian data dapat digambarkan :

PENYAJIANDATA

TABEL

1. Biasa2. Kotingensi3. Distribusi frekuensi

a. Relatifb. Kumulatifc. Kumulatif relatif

GRAFIK1. Histogram2. Poligon3. Ogive

DIAGRAM

1. Batang2. Garis3. Lambang4. Lingkaran5. Kartogram(Peta)6. Pencar7. Campuran

KEADAANKELOMPOK

TENDENSISENTRAL

1. Rata-rata Hitung2. Rata-rata ukur3. Rata-rata harmonik4. Modus

UKURANPENEMPATAN

1. Median2. Kuartil3. Desil4. Persentil

PENGUKURANPENYIMPANGAN

1. Rentangan/penyebaran2. Rentangan antar kuartil3. Rentangan semi antar

kuartil4. Simpangan rata-rata5. Simpangan baku6. Varians7. Koefesien varians8. Angka baku

3.2. TABEL FREKUENSI/DISTRIBUSI FREKUENSI1. Tabel Frekuensi Tabel frekuensi/distribusi frekuensi adalah suatu ringkasan tabulasi dari kumpulandata yang menunjukkan frekuensi atau banyaknya item yang berada dalam beberapa kelasyang berbeda atau susunan data dalam suatu tabel yang telah diklasifikasikan menurutkelas-kelas tertentu atau katagori-katagori tertentu.. Manfaatnya adalah agar karakteristikdata lebih mudah dipahami. Distribusi frekuensi ada bermacam-macam diantaranya :1. Ditinjau dari nyata tidaknya frekuensi :

a. Distribusi frekuensi absolut yaitu suatu jumlah bilangan yang menyatakanbanyaknya data pada suatu kelompojk tertentu, yang disusun berdasarkan data apaadanya.

b. Distribusi frekuneis relatif adalah suatu jumah persentase yang menyatakanbanyaknya data pada suatu kelompok tertentu yang dibuat secara persentase padamsing-masing kelompok.Contoh kedua distribusi ini terlihat pada tabel 3.4.

2. Ditinjau dari jenisnya :a. Distribusi frekuensi numeric adalah distribusi frekuensi yang didaasarkan pada data-

data kontunue atau berbentuk angka-angka, dan dilakukan secara kuantitatif.Contoh : lihat tabel 1 2.

b. Distirubsi frekeunsi katagorikal adalah distribusi frekuensi yang didasarkan padadata yang berkelompok dan dilakukan secara kualitatifContoh : lihat tabel 1.1., 1.3, 1.4, 1.6

3. Ditinjau dari kesatuannya :a. Data frekuensi satuan adalah distribusi frekuensi yang menunjukkan berapa banyak

data pada kelompkk tertentu. Contoh >lihat tabel 1.2 dan tabel 3.4.b. Data frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang menunjukkan jumlah

frekuensi pada kelompok nilai (tingkat nilai) tertentu mulai dari kelompoksebelumnya sampai kelompok tersebut.Contoh : Lihat tabel 3.5 – 3.7

2. Penyusunan Distribusi FrekuensiPenyusunan distribusi frekuensi idadasrkan pada angka-angka yang masih belum

tersusun dengan teratur ( raw data), dan biasanya lebih mengarah paa pembentukan tabelfrekuensi yang bersifat numerical. Penyusunan distribusi frekuensi mengikuti langkah-langkah dan merupakan bagian-bagian dari tabel frekuensi sebagai berikut :1. Melakukan array data yaitu menyusun raw data (data mentah) secara teratur dari

yang terkecil sampai terbesar2. Menghitung Jarak (Range) = Nilai Tertinggi – nilai terendah3. Menentukan Banyaknya Kelas

Penentuan suatu kelas distribusi frekuensi sangat subyektif, karena bergantung daripembuat distribusi frekuensi berdasarkan kebutuhan. Namun pada umumnyapembuata ke.las mengacu pada rumus yang ditemukan oleh STURGES yaitu :

K = banyaknya kelas dan n banyaknya data 4. Menentukan Interval Kelas atau Panjang Kelas Interval kelas merupakan selisih antara nilai tertinggi dengan nilai terendah dibagi

dengan banyaknya kelas atau dengan rumus :

K = 1 + 3,32 log n

I = R / K

I = interval Kelas ; R = jarak = nilai tertinggi – nilai terendah 5. Menentukan Batas Kelas (limit class) Batas kelas ada 2 macam yaitu batas kelas bawah ( lower class limit) yang

merupakan nilai terendah dalam interval kelas dan batas kelas atas ( upper classlimit) yang merupakan nilai tertinggi dalam interval kelas.

6. Menentukan Tepi Kelas ( Class Boundaries) Tepi kelas dalam suatu tabel distribusi frekuensi ada 2 yaitu tepi kelas bawah ( lower

class boundries) adalah setengah dari jumlah batas bawah kelas tersebut ditambahdengan setengah dari batas kelas atas dari kelas sebelumnya dan tepi kelas atas (upper class boundries) adalah setengah dari batas kelas atas dari suatu kelasditambah dengan batas kelas bawah dari kelas sesudahnya.

7. Nilai tengah kelas (mid point/class mark)Nilai tengah adalah nilai yang letaknya ditengah suatu kelas yang diperoleh daripenjumlahah nilai kelas bawah di tambah nilai kelas atas masing-masing kelas dibagidengan dua.

Contoh. Nilai ujian mata kuliah statistik dari 50 orang mahasiswa dicatat sebagaiberikut :

68 84 75 82 68 90 62 86 76 93 73 79 88 73 60 93 71 69 85 75 61 65 75 87 74 62 95 78 63 72 68 78 82 75 94 77 69 74 68 60 96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 Buatlah tabel distribusi frekuensinya

Langkah 1. Melakukan array dat yaitu menyusun data dari yang terkecil ke yangterbesar

60 60 60 61 61 62 62 63 65 66 68 68 68 69 69 71 71 72 73 73 74 74 75 75 75 75 75 76 77 78 78 78 79 79 82 82 83 84 85 87 88 88 89 90 93 93 94 95 95 96

Langkah 2. Menghitung jarak dengan rumus R = Nilai tertinggi – nilai terendah R = 96 – 60 = 36

Langkah 3. Menentukan banyaknya kelas K = 1 + 3,32 log n = 1+ 3,32 log 50 = 1 + 3,32 (1,69897) = 1 + 5,64 = 6,64 = 7 kelas

Langkah 4. Menentukan interval atau panjang kelas I = R / K = 36/7 = 5,14 = 5 dalam perhitungan ini dijadikan 6, supaya

semua data tercakup dalam kelasLangkah 5. Memasukkan masing-masing frekuensi ke dalam kelas melalui tabel

frekuensi.Sebelum memasukkan data-data ke dalam tabel, ditentukan batas kelas, untuknilai terendah (60) merupakan batas kelas bawah dari kelas ke 1 sedangkan bataskelas atas sesuai dengan interval kelas, dalam hal ini (65), begitu seterusnya,

Tabel 3.1. Tabulasi Nilai Ujian Statistik 50 orang Mahasiswa pada Fakultas “X”No

kelas Kelas -kelas Frekuensi

(turus)Jumlah frekuensi

123456

7

60 – 6566 – 7172 – 7778 – 8384 – 8990 – 95

96 - 101

||||| ||||||||| |||

||||| ||||| ||||||| |||||||| ||||| |

|

98

128661

Jumlah 50 50Setelah data-data dimasukkan ke dalam masing-masing kelas, dan tidak ada yangtertinggal, selanjutnya tabel frekuensi seperti terlihat berikut.

Tabel 3.2. Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Statistik 50 Orang Mahasiswa pada Fakultas“X”

Nilai statistik Jumlah Mahasiswa60 – 6566 – 7172 – 7778 – 8384 – 8990 – 95

96 - 101

98128661

Jumlah 50Langkah 6 dan 7. Menentukan Tepi kelas dan nilai tengah kelas

Tabel 3.3. Batas Kelas, Tepi kelas bawah, tepi kelas atas dan Nilai Tengah DistribusiFrekuemsi Nilai Ujian Statistik 50 Orang Mahasiswa pada Fakultas “X”

Nilai statistik JumlahMahasiswa

Tepi kelasbawah – 0,5

Tepi kelasatas + 0,5

Nila tengah

60 – 6566 – 7172 – 7778 – 8384 – 8990 – 95

96 - 101

98

128661

59,565,571,577,583,589,595,5

65,571,577,583,585,595,9

101,5

62,568,574,580,586,592,598,5

Jumlah 50 Cara mencari tepi kelas : - Tepi kelas bawah = ½ (60 + 59) = 59,5

- Tepi kelas atas = ½ (65 + 66) = 65,5 Cara mencari nilai tengah : - kelas 1 = ½ (60 +65) = 62,5

- kelas 2 = ½ (66 + 71) = 68,5 dan seterusnya3. Syarat-syarat Tabel Frekuensi Yang baik Tabel frekuensi dikatakan baik apabila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut.

1. Hendaknya memuat nomr tabel, judul table dan satuannya.2. Banyaknya kelas sedapat mungkin menggunakan aturan Sturges, sebaiknya

banyaknya kelas minimal 5 dan tidak lebih dari 203. Hindari adnya kelas terbuka, karena tidak ada batasnya contoh kelas < 20 atau >

704. Hindari adanya kelas interval yang tidak sama

5. Hindari adanya batas kelas yang sama6. Hendaknya menyebutkan sumber data, sebagai panduan dasar bila ada kesalahan

data7. Keterangan pada tabel sebaiknya dibuat jelas agar pembaca tidak bingung.

Bagi tabel-tabel yang bersifat katagorikal, tidak dituntut adanya kelas,inteval kela,s tepikelas maupun nilai tengah kelas, karena tabel ini menggunakan katagori-kataogri yangsudah berlaku umum seperti yang telah digunakan oleh pemerintah dalam berbagailaporan.

4. Distribusi Frekuensi Relatif Distribusi frekuensi relatif merupakan bagian dari distribusi frekuensi yang nyata,

dinyatakan dalam satuan persentase pada kelompok-kelompok tertentu. Frekuensi relatif dapat dihitung dengan rumus :

Contoh . Tabel 3.4. Tabel Distribusi Frekuensi Absolut dan Relatif Nilai Ujian Statistik 50

Orang Mahasiswa pada Fakultas “X”Nilai statistik Distribusi absolut = fi Distribusi relatif (%)

60 – 6566 – 7172 – 7778 – 8384 – 8990 – 95

96 - 101

98128661

9/50 x 100 % = 18,008/50 x 100 % = 16,00

12/50 x 100 % = 24,008/50 x 100 % = 16,006/50 x 100 % =12,00

6/50 x 100 % = 12,001/50 x 100 % = 2,00

Jumlah 50 100,005. Distribusi Frekuensi Kumulatif

Distribusi frekuensi yang menunjukkan jumlah frekuensi pada kelompok nilai (tingkatnilai) tertentu mulai dari kelompok sebelumnya sampai kelompok tersebut atau suatutabel frekuensi yang dapat menunjukkan jumlah frekuensi yang terletak di atas atau dibawah suatu nilai tertentu dalam suatu interval kelas. Untuk menyusun distribusifrekuensi kumulatif, penggolongan datanya dapat digunakan batas kelas atau tepikelas.

Frekwensi kumulatif adalah penjumlahan frekuensi setiap kelas interval sehinggajumlah frekuensi terakhir jumlahnya sama dengan jumlah data observasi. Frekeunsikumulatif terdiri dari frekuensi kumlatif kurang dari dan frekuensi kumulatif lebihdari.

a. Distribusi Frekuensi Kumulatif “kurang dari” (lass than) Frekuensi jenis ini menunjukkan jumlah frekuensi yang kurang dari nilai tertentu yang

diperoleh dari menjumlahkan frekuensi baik mutlak maupun relatif pada kelas-kelassebelumnya. Contohnya kita ambil data-data yang ada pada tabel 3.4.

Fr = Frekuensi absolut tiap kelas x 100 % Seluruh frekuensi

Tabel 3.5. Distribusi kumulatif kurang dari nilai statistk 50 orang mahasiswa padaFakultas ”X” dengan menggunakan batas kelas

Nilai statistik Banyaknya Mahasiswa (mutlak) Persentase(relatif=%) Kurang dari 60 Kurang dari 66 Kurang dari 72 Kurang dari 78 Kurang dari 84 Kurang dari 90Kurang dari 96

Kurang dari 102

09

172937434950

0,0018,00 34,0054,0074,0086,0098,00

100,00 Tabel 3.6. Distribusi kumulatif kurang dari nilai statistk 50 orang mahasiswa pada

Fakultas ”X” dengan menggunakan tepi kelas.Nilai statistik Banyaknya Mahasiswa (mutlak) Persentase (relatif =%)

Kurang dari 59,5 Kurang dari 65,5 Kurang dari 71,5 Kurang dari 77,5 Kurang dari 83,5 Kurang dari 89,5Kurang dari 95,5

Kurang dari 101,5

09

172937434950

0,0018,00 34,0054,0074,0086,0098,00

100,00b. Distribusi Frekuensi Kumulatif “Lebih dari “ (More than) Frekuensi jenis ini menunjukkan jumlah frekuensi yang lebih dari nilai tertentu yang

diperoleh dari menjumlahkan frekuensi baik mutlak maupun relatif pada kelas-kelassebelumnya. Contohnya kita ambil data-data yang ada pada tabel 3.4.

Tabel 3.7. Distribusi kumulatif kurang dari nilai statistk 50 orang mahasiswa padaFakultas ”X” dengan menggunakan batas kelas

Nilai statistik Banyaknya Mahasiswa (mutlak) Persentase(relatif=%) 60 atau lebih 66 atau lebih 72 atau lebih 78 atau lebih 84 atau lebih 90 atau lebih 96 atau lebih 102 atau lebih

5041332113710

100,0082,00 66,0042,0026,0014,002,000,00

Tabel 3.8. Distribusi kumulatif kurang dari nilai statistk 50 orang mahasiswa padaFakultas ”X” dengan menggunakan tepi kelas

Nilai statistik Banyaknya Mahasiswa (mutlak) Persentase(relatif=%) 59,5 atau lebih 65,5 atau lebih 71,5 atau lebih 77,5 atau lebih 83,5 atau lebih 89,5 atau lebih 95,5 atau lebih 101,5 atau lebih

5041332113710

100,0082,00 66,0042,0026,0014,002,000,00

6. GRAFIK Data yang sudah tersusun dengan baik dalam bentuk tabel akan lebih baik bila disajikan

dalam bentuk lain seperti dalam bentuk diagram seperti yang disajikan di atas.Disamping itu dapat juga disajikan dalam bentuk grafik seperti dalam bentuk Histogram,Poligon maupun Ogive.

a. Histogram Histogram adalah sebuah penyajian grafik dari suatu distribusi frekuensi dan dibangun

dengan diagram balok atau segi empat (bar) pada setiap interval.

02468

101214

1

Nilai statistik

Jml.

MA

hasi

swa

59,5 - 65,565,5 - 71,571,5 - 77,577,5 - 83,583,5 - 89,589,5 - 95,595,5 - 101,5

b. Poligon Poligon adalah sebuah penyajian grafik suatu distribusi frekuensi dalam bentuk garis

(line) pada setiap nilai tengah kelas. Bentuknya seperti terlihat berikut.

POligon

0

5

10

15

62,5 68,5 74,5 80,5 86,5 92,5 98,5

Nilai tengah

Jml.

MA

hasi

sw

c. Ogive Ogive adalah sebuah grafik yang menunjukkan frekeuensi kumulatif dari setiap kelas.

Cara menggambarnya dengan mengambil data pada tabel 3.6 dan 3.8 Kurva terlihatberikut.

Ogive

0

10

20

30

40

50

60

59,5 65,5 71,5 77,5 83,5 85,5 95,9 101,5Nilai Statistik

Jml.

Mah

asis

wa

BAB IV.UKURAN NILAI PUSAT ( TENDENCY CENTRAL)

MATERI :a. Rata-rata (Mean), Median dan Modus.b. Menghitung Rata- hitung, rata-rata tertimbang, Median dan Modusc. Menjelaskan manfaat dan kegunaan dari ukuran nilai sentral serta

kelemahannya.4.1. Ukuran Nilai Pusat

Ukuran nilai pusat adalah suatu rangkaian data yang dapat mewakili rangkaian datatersebut. Ukuran nilai pusat disebut juga ukuran pemusatan yaitu nilai tunggal yangmewakili suatu kumpulan data, yang menunjukkan pusat nilai data. Disebut nilai pusatkarena pada umumnya berlokasi dibagian tengah atau pusat dari suatu distribusi. Ukurannilai pusat sangat bermanfaat dalam menggambarkan sebuah data, yang selanjutnya akandigunakan untuk analisis dan intepretasi data. Suatu nilai dapat disebut nilai pusat bila memenuhi syarat :

1. Dapat mewakili rangkaian data2. Perhitungannya arus didasarkan pada seluruh data3. Perhitungananya harus objektif4. Petrhitungannya harus mudah5. Dalam suatu rangkaian data hanya ada satu nilai sentral

Dalam statistk dikenal beberapa macam ukuran nilai pusat, namun yang paling banyakdigunakan adalah rata-rata hitung, (arithmatic mean), rata-rata ukur ( geometric mean),rata-rata tertimbang, median dan modus yang dalam sajian ini akan dibahas satu persatu.4.1.1. RATA-RATA HITUNG ( ARTIMATIC MEAN) Rata-rata hitung (arithmatic mean) atau disebut mean (rata-rata) saja adalah jumlahnilai data secara keseluruhan dibagi dengan banyaknya data tersebut. Rata-rata inimerupakan ukuran nilai pusat yang banyak dipergunakan baik dalam penelitian ilmiahmaupun dalam kehidupan sehari-hari. Serangkaian data yang diperoleh bisa dari populasiyang dilambangkan dengan µ (myu) dan data dari sampel yang dilambangkan dengan x( x bar ). Rata-rata hitung atau ukuran nilai lain yang didasarkan pada data sampel disebutstatistik sampel yang merupakan ciri/karakteristik yang dapat diukur dari suatu sampel,sedangkan suatu ukuran yang menjelaskan populasiseperti rata-rata hitung disebut denganparameter.Perhitungan rata-rata dari serangkain data dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu :

1. Rata-rata hitung sederhana ( Simple arithmatic mean)2. Rata-rata hitung tertimbang ( weighted arithmatic mean).

1. Rata-rata Hitung Sederhana (Simple arithmatic mean)a. Data Yang Belum Dikelompokkan (Ungrouped data) Data yang belum dikelompokkan disebut juga dengan data tunggal yang dipergunakan

bila jumlah datanya sedikit. Rumusnya :

Ø Rata- rata sampel :i = 1,2,3 ………n

Dimana : x = rata-rata sampel ; n = ukuran sampel (banyaknya anggota sampel) xi = data yang ke-i (pengamatan yang ke i)

Ø Rata-Rata Populasi : i = 1,2,3 ………N

x = Σxi/n

µ = Σxi/N

Dimana µ = rata-rata populasi ; N = ukuran populasi (banyaknya anggotapopulasi) Contoh.

1. Terdapat 10 orang mahasiswa yang mengikuti mata kuliah Statistik Ekonomi Idengan sebaran nilai ujian yang diperoleh : 80 70 75 70 75 85 65 80 75 65,carilah nilai rata-ratanya.

Jawab : _ x = Σxi/n = 80 + 70 + 75 + 70 + 75 + 85 + 65 + 80 + 75 + 65 = 735

10 10 = 73,52. Seorang mahasiswa yang ingin mengetahui umur penduduk desa Senanghati yang

berjumlah 150 orang. Dari jumlah tersebut diambil secara acak 30 orang untukdiketahui umurnya dengan data-data yang diperoleh sebagai berikut :

60 45 35 30 25 26 29 37 51 43 55 32 40 35 3661 50 44 59 28 24 47 32 30 55 60 29 36 44 32

Hitunglah rata-rata hitung dari umur penduduk tersebut. Jawab : _ x = Σxi/n = 1210/30 = 40,33 tahun = 40 tahun

3. Jumlah seluruh penduduk Kota Mataram berdasarkan Sensus Penduduk Tahun2000 yang dirinci perkecamatan terlihat dalam tabel berikut.Tabel 4.1. Jumlah Penduduk Kota Mataram Per Kecamatan Hasil SP 2000

Kecamatan Jumlah (jiwa)AmpenanMataram

Cakranegara

99.087102.818113.833

Sumber : BPS, NTB, 2001. Berdasarkan data tersebut, hitunglah rata-rata hitung penduduk kota Mataram bagi 3

Kecamatan tersbut. Jawab : µ = ΣXi/N = 315.738/3 = 105.246 jiwa.

4. Seorang pengusaha memiliki 10 kios yang tersebuar di tiga kecamatan di KotaMataram. Besarnya pendapatan yang diperoleh pengusaha tersebut dalam sebuianterlihat dalam tabel berikut. Tabel. 4.2. Pendapatan Pengusaha dari Usaha Kios Di Kota Mataram

No Kecamatam Jumlah Kios(ni)

Rata-rataPendapatan

(Rp000= fi))

JumlahPendapatan

(Rp000= nifi)123

Ampenan Mataram Cakranegara

532

100150200

500450400

J u m l a h Σni = 10 Σnifi = 1750 Sumber : Data hipotesis. _ X = Σ ni fi / Σni = 1750/10 Rp 175.000 / bulan

2. Data yang Sudah dikelompokkan :Data berkelompok adalah data yang telah dikelompokkan dalam kelas-kelas yangberbeda atau dengan kata lain dta yang telah tersusun dalam bentuk tabel frekuensi.Jika data sudah dikelompokkan, rata-ratanya dapat didekati dengan menganggapbahwa setiap niai pengamatan di dalam suatu kelas mempunyai sebuah nilai yangsama dengan titik tengah kelas ( mid point).

Perhitungan rata-rata data berkelompok dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu :1. Cara panjang ( long method)2. Cara pendek (short method)

v Cara Panjang.Perhitungan rata-rata dengan cara ini beranggapan bahwa nilai tengah dari setiap kelasdalah nilai rata-rata dari semua individu yang termuat dalam kelas tersebut. Titiktengah (mid point) tiap kelas diperoleh dengan membagi dua dari jumlah batas kelasbawah( lower class limit) dan batas atas kelas (upper class limit). Hal ini dilakukanuntuk menghindari kemungkinan data yang ada pada tiap interval mempunyai nilaiyang lebih besar atau lebih kecil dari titik tengah.

Rumus :Ø Rata- rata sampel i = 1,2,3 ………n

Dimana : x = rata-rata sampel ; n = ukuran sampel (banyaknya anggota sampel) xi = data yang ke-i (pengamatan yang ke i)Ø Rata-Rata Populasi :

i = 1,2,3 ………N Dimana µ = rata-rata populasi ; N = ukuran populasi (banyaknya anggotapopulasi) Contoh.

1. Tabel berikut menunjukkan besarnya upah per bulan yang diterima oleh pekerjaanak yang diambil secara acak pada tahun 1999Tabel 4.3. Upah Pekerja Anak di Indonesia Per bulan pada Tahun 1999

Sebaran Upah (Rp 000/bulan) Jumlah pekerja anak (jiwa)100 – 199200 – 299300 - 399

67.51623.7546.017

Sumber, Mulyadi, 2003, diolah Hitunglah rata-rata upah yang diterima pekerja anak per bulan pada tahun 1999 Jawab. Tabel 4.4. Cara menghitung Rata-rata hitung upah pekerja anak di Inodnesia per

bulan tahun 1999 Sebaran Upah (Rp 000/bulan)

Jumlah pekerjaanak (jiwa) = fi

Titik tengah(mi)

fi x mi

100 – 199200 – 299300 - 399

67.51623.7546.017

149,5249,5349,5

10.093.6425.926.623

21.029.415Σni = 97.287 Σfimi = 18.123.206,5

x = Σfimi/n = 18.123.206,5/97.287 = Rp. 186.286/ bulan . Jadi rata-ratabesarnya upah yang diterima pekerja anak pada tahun 1999 sebesar Rp. 186.286,- perbulan.

v Cara PendekMenghitung rata-rata hitung dengan cara pendek, mengikuti langkah-langkah sebagaiberikut :1. Hitung nilai tengah untuk masing-masing kelas (mi)2. Pilih salah satu nilai tengah sebagai rata-rata anggpan ( Xo), sebaiknya dipilih

nilai tengh dari kelas yang paling banyak frekuensonya atau kelas yang terletak ditengah-tengah dan diberi nilai 0.

x = Σfimi/n

µ = Σfim/N

3. Pada nilai tengah yang lebih kecil dari Xo diberi tanda negatif sedang yang lebihtinggi diberi tanda negatif sebagai deviasinya.

4. Kalikan deviasi (d) pada masing-masing kelas dengan fi dan jumlahkan hasilnya(Σd)

5. Bagi hasil tersebut dengan jumlah frekuensinya dan kalikan dengan interval kelas6. Jumlahkan hasilnya pada Xo, atau kurangkan jika negatif.

Rumus :

- Rata-rata hitung sampel : x = rata2 hitung sampel ;

n = ukuran sampel ; xo = rata-rata anggapan - Rata-rata hitung populasi : fi = frekuensi kelas – i

di = deviasi kelas-i i = interval kelas

µ = rata2 hitung populasi dan N = ukuran populasi

Contoh. 4.5. Cara menghitung rata-rata Pendapatan pekerja anak dengan cara pendek. Sebaran Upah (Rp 000/bulan)

Jumlah pekerjaanak (jiwa) = fi

Titik tengah(mi)

di fi x di

100 – 199200 – 299300 - 399

67.51623.7546.017

149,5249,5349,5

-10

+1

- 67.5160

6.017Σni = 97.287 Σfimi = -

61.499 _ x = xo + Σfidi x c = 249,5 + -61499 x 100 n 97.287 = 249,5 – 63,21 = Rp. 186.286.-.

2. Rata-Rata Hitung Tertimbang (Weighted Aritmatic mean) Pada dasarnya, rata-rata tertimbang hampir sama dengan rata-rata hitung, namunperbedaannya yaitu rata-rata tertimbang digunakan apabila setiap data tidak samakuantitasnya. Rata-rata tertimbang dilakukan terhadap suatu barang yang mempunyai artipenting dibandingkan dengan barang yang lainnya. Perhitungan rata-rata tertimbangdilakukan dengan mengalikan tiap-tiap data yang akan dicari rata-ratanya dengantimbangan yang ditentukan.

Rumusnya : dimana : xw = rata-rata hitung tertimbang xi = data/pengamatan ke-I wi = timbangan untuk data ke –i

Ø Data Yang Belum DikelompokkanPada dasarnya ada 2 cara untuk memberikan faktor penimbang yaitu :

1. Cara Subyektif2. Cara Obyektif

3. Secara Subyektif : didasarkan keinginan dan pandangan masing-masing orangsehingga pemberian timbangan terhadap barang yang sama berbeda-beda, sesuaidengan arti penting barang menurut pandangan individu tersebut.Contoh . Harga persatuan barang untuk 5 barang kebutuhan pokok di Kota Matarampada tanggal 21 Maret 2006 tampak dalam tabel berikut.

x = xo + Σfidi x i n

µ = xo + Σfidi x i N

xw = Σ xiwi

Σ wi

Tabel 4.6. Harga 5 Jenis Barang Kebutuhan Pokok Di Kota Mataram Bulan MaretTahun 2006

Jenis Barang Harga(Rp/kg) Beras C4 Gula Pasir Minyak Goreng Jagung Tepung Terigu

3.5006.2005.2001.7003.850

Sumber : Lombok Post, 21 Maret 2006Hitunglah rata-rata tertimbang dari harga 5 jenis barang kebutuhan pokok di KotaMataram.JawabTabel 4.7. Cara menghitung rata-rata tertimbang harga 5 barang kebutuhan pokok di

Kota MataramJenis Barang Harga(Rp/kg) = xi Timbangan (wi) xiwi

Beras C4 Gula Pasir Minyak Goreng Jagung Tepung Terigu

3.5006.2005.2001.7003.850

128764

42.00049.60036.40010.20015.400

Jumlah 37 153.600

Rumusnya : xw = Σ xiwi = 153.600 = Rp. 4.151Σ wi 37

Jadi rata-rata hitung tertimbang harga per kg 5 barang kebutuhan pokok di KotaMataram pada tanggal 21 Maret 2006 adlah Rp. 4.151,- sedikit lebih tinggi dari hargaberas yang memiliki arti lebih penting bagi konsumen.

2. Secara obyektif:Cara ini melakukan faktor penimbang didasarkan pada jumlah konsumsi barang yangmempunyai arti penting akan dikonsumsi dalam jumlah yang lebih besar sedangkanyang kurang penting dikonsumir dalam jumlah yang kecil.Contoh :1. Mengacu pada harga-harga 5 kebutuhan pokok pada tabel 4.4, hitunglah rata-rata

tertimbang dengan cara obyektif.JawabTabel 4.8. Cara Menghitung Rata-rata harga tertimbang 5 barang kebutuhan Pokok di

Kota MataramJenis Barang Harga(Rp/kg) = xi Kuantitas (wi) xiwi

Beras C4 Gula Pasir Minyak Goreng Jagung Tepung Terigu

3.5006.2005.2001.7003.850

102112

35.00012.4005 2001.700 7.700

Jumlah 16 62.000

Rumusnya : xw = Σ xiwi /Σ wi = 62.000/16 = Rp. 3.875

2. Tabel 4.9. Data jumlah mobil yang terjual per hari pada Perusahaan ‘X”Jumlah Mobil yang terjual (x) Jumlah hari (w) Xiwi

01234

31948155

019964520

90 180 Sumber : Siagian, dkk, 2002 Rumusnya : xw = Σ xiwi/Σ wi = 180/90 = 2 mobil/hariØ Data Yang Sudah Dikelompokkan :

Pada data berkelompok, sebagai dasar penimbang adalah frekuensi ( fi = wi) danrumusnya sama dengan rumus di atas . Perhatikan contoh berikutTabel 4.10. Cara menghitung rata-rata tertimbang Upah pekerja anak di Indonesia per

bulan pada tahun 1999 Sebaran Upah (Rp 000/bulan)

Jumlah pekerjaanak (jiwa) = wi

Titik tengah(mi)

fi x mi

100 – 199200 – 299300 - 399

67.51623.7546.017

149,5249,5349,5

10.093.6425.926.623

21.029.415Σwi = 97.287 Σwimi = 18.123.206,5

_x = Σwiimii/Σwi = 18.123.206,5/97.287 = Rp. 186.286/ bulan

4.1.2. RATA-RATA HITUNG GABUNGANRata-rata hitung gabungan dapat dihitung dengan rumus :

dimana : x = rata-rata hitung sampel;

ni = ukuran sampel yang ke-I danxi = rata-rata hitung sampel ke-I

Contoh. Hasil penelitian terhadap 70 desa sampel mengenai hasil produksi palawijaper hektar dan satuan kuintal di 6 daerah penelitian, disajikan dalam tabel berikut.

Tabel 4.11. Hasil Produksi Rata-rata Palawija pe Hektar dalam Kuintal di 6 DaerahPenelitian Pada Tahun 1995

Daerah Penelitian Banyak desa sampel Hasil produksi Rata-rata (kw/ha)123456

1510205812

80,2475.0143,4365,4384,3691,43

70 Sumber : Natawirawan, 2001 Berdasarkan data yang tercantum dalam tabel tersebut, hitunglah rata-rata hitung

hasil produksi palawija per hektar di daerah tersebut

x = ΣnixiΣni

Jawab. Tabel 4.12. Cara menghitung rata-rata hitung Hasil Produksi Rata-rata Palawija pe

Hektar dalam Kuintal di 6 Daerah Penelitian Pada Tahun 1995Daerah

PenelitianBanyak desa sampel

(ni)Hasil produksi -rata

(kw/ha) = xiNixi

123456

15102058

12

80,2475.0143,4365,4384,3691,43

1203,6750,1848,6327,7

674,881097.16

70 4901,94 Sumber : Natawirawan, 2001 Berdasarkan angka-angka dalam tabel dimasukkan ke dalam rumus : _ _ x = Σnixi = 4901,94 = 70,03

Σni 70 Jadi rata-rata hitung hasil produksi palawija per hektar di 70 desa sampel adalah 70,03

kuintal.4.1.3. RATA-RATA UKUR (GEOMETRIC MEAN)

Rata-rata ukur (geometric mean) dipergunakan untuk mengetahui perubahankuantitas pada setiap priode dan mengetahui besarnya perubahan tersebut atau rata-rata ratio yang suku-sukunya berukuran kira-kira tetap.

Rata-rata ukur dari sekumpulan nilai pengamatan X1, X2,X3, ..... Xn adalahsama dengan hasil kali perkalian nilai-nilai tersebut pangkat satu dibagi dengan jumlahpengamatannya.

Gm = n XnxXxXxX )....321 yang bermula dari

Gm = (X1 x X2 x X3 ......x Xn)1/n

Atau dapat dicari dengan pendekatan logaritma :Log Gm = Log X1 + Log X2 + Log X3 + ..... + log Xn nLog Gm = Σ Log X n Gm = antilog Σ Log X nBiasanya rumus ini dipergunakan apabila data-data berbentuk persentase,

angka Indeks atau rata-rata relatif.Ø Untuk data yang belum dikelompokkan Contoh1..Diketahui suku bunga kredit investasi selama 5 tahun yaitu dari tahun 1998 – 2002

adalah sebagai berikut : 23,16 ; 22,93 ; 16,59 ; 17,90 ; dan 18,01. Hitunglah rata-rataukur dari tingkat bunga kredit investasi tersebut.

Jawab. Diketahui X1 = 23,16 ; X2 = 22,93 : X3 = 16,59 : X4 = 17,90 dan X5 = 18,01 Gm = 5 )01,18)(90,17)(59,16)(93,22)(16,23(

= 5 58,2840244 atau (2840244,58)1/5

= 19,53 % atau dengan pendekatan logaritma Tabel 4.13. Suku Bunga Kredit Investasi di Indonesia tahun 1998 - 2002

Tahun Suku bunga Kredit Investasi(%)

Logaritma

19981999200020012002

23,16 22,93 16,59 17,9018,01

1.36471.36041.21981.25291.25556.4533

Sumber : Majalah Jurnal, Mei 2002. Log Gm = Σ Log X = 6.4533/5 = 1,29066 n Gm = antilog 1,29066 = 19,53 %

Jadi rata-rata ukur tingkat bunga kredit investasi adalah 19,53 % per tahun2. Jumlah ruma tangga hasil sensus pertanian 1993 di Nusa Tenggara Barat adalah

804.700 RT sedangkan pada tahun 2003 berdasarkan sensus pertanian 2003 menjadi1.070.500 RT. Hitunglah rata-rata ukur pertumbuhan rumah tangga selama kurunwaktu 1993 – 2003.Rumus :Gm = r = 1/1 −−n XoXn , rumus ini biasanya dipergunakan untukmenghitung pertumbuhan yang bermula dari Xn = Xo (1 +r)n

Diketahui : Xn = 1070.500 dan Xo = 804.700n = 11 (selang waktu tahun 1993 – 2003 ada 11 tahun, meliputi tahun

1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999, 2000,2001,2002,2003) sehinggan = 11- 1 = 10

sehingga : Gm = 1804700/107050010 −

= 13303,110 − = (1,3303)1/10 - 1 = ( 1,3303)0,1 – 1 = 1,0289 – 1 = 0,0289 x 100 % = 2,89 %

Jadi pertumbuhan (r) rumah tangga di Nusa Tenggara Barat selama tahun 1993 – 2003rata-rata 2,89 persen per tahun.v Rata-Rata Ukur Untuk Data Yang Berkelompok

Jika data telah dikelompokkan maka rata-rata ukur dapat dihitung dengan rumus :Gm = fnffn fi XnXXXi .....32 32

Keterangan : n = Σf dan X = titik tengah tiap-tiap kelas atau dalam bentuk Log GM = Σ f Log X / nContoh . Hitunglah rata-rata umur penduduk kota Mataram dari yang berumur 5 tahunsampai dengan 29 tahun seperti yang terlihat pada tabel berikutTabel 4.14. Kelompok Umur Penduduk Kota Mataram dari 5 – 29 tahun, hasil SP2000

Kelompok Umur Jumlah Penduduk (Jiwa)5 – 9

10 – 1415 - 1920 – 2425 – 29

32.46532.61837.88037.09930.445

Jumlah 170.507

JawabNo Kelompok

UmurJumlah

Penduduk (Jiwa)= fi

Titiktengah (x)

Log X F log X

12345

5 – 910 – 1415 - 1920 – 2425 – 29

32.46532.61837.88037.09930.445

712172227

0.84511,07921,23041,34241,4313

27.436,1735.201,3446.607,5549.801,6943.575,93

Jumlah 170.507 202.622,68 Jadi Log GM = Σ f Log X = 202.622,68 = 1,18835 n 170.507

Gm = antilog dari 1,18835 = 15,43 tahun = 15 tahun

Jadi rata-rata kelompok umur dari jumlah penduduk kota mataram yang berumur 5 –29 tahun sebesar 15 tahun

4.1.4. RATA-RATA HARMONIS (HARMONIC MEAN)

Rata-rata harmonis adalah data dibagi dengan jumlah satu persetiap data atau rata-rata hitung dari kebalikan nilai pengamatan.Ø Rata-rata Harmonis data yang belum dikelompokkan dapat dicari dengan rumus :

RH = n1/X1 + 1/X2 + 1/X3 + ....+ 1/Xn

X = harga.nilai tiap-tiap data n = banyaknya data

Contoh : Seorang mahasiswa memiliki uang Rp. 20.000,- dipergunakan untuk membelibuku yang harganya 1000,- setiap buku, Rp. 20.000,- untuk membeli buku seharga Rp.1.250,- setiap buku, Rp. 20.000,- untuk membeli buku seharga Rp. 2.000,- setiap buku.Tunjukkabn bahwa rata-rata harmonis dari 1,2,3 akan memberikan dengan tepat hargarata-rata yang dibayarkan untuk buku-buku tersebut.JawabRH = 3 = 3 = 3 = Rp.1.304

1/1000 + 1/1250 + 1/2000 20/20000 + 16/20000 + 10/20000 46/20000

4.2. MEDIAN (Med)Median adalah data yang posisinya berada paling tengah setelah diurutkan dari yang

terkecil sampai yang terbesar atau membagi seluruh jumlah data ke dalam dua bagian yangsama besar, dimana setengahnya akan ebih kecil atau sama besar dari data tersebut,sedangkansetengahnya lagi akan lebih besar atau sama dengan data tersebut.2. Cara Perhitungan Mediana. Mencari Median data Yang Belum dikelompokkan

Pada berbagai pengamatan, biasanya dapat dapat dalam jumlah ganjil maupun genap.Bila jumlah datanya ganjil biasanya data yang beraa pada paling tengah setelahdiurutkan merupakan median atau ½ (n +1) dan bila datanya genap, median ditentukandengan menunjukkan jumlah dua angka ditengah dibagi dengan 2 atau ½ (nk + nk-1).

Contoh 1. Bila jumlah datanya ganjil, jika diketahui data : 5 ; 2 ; 4 ; 6 ; 3 ;7 ; 3 ;2 ;4 Dari data tersebut terlebih dahulu disusun dari terkecil sampai terbesar :

2 2 3 3 4 4 5 6 7, sehingga mediannya adalah angka paling tengahadalah 4 Contoh 2. Bila jumlah datanya genap, ; jika diketahui data 5 2 4 6 3 7 3 2 4 5 Dari data tersebut terlebih dahulu disusun dari terkecil sampai terbesar :

2 2 3 3 4 4 5 5 6 7, maka mediannya adalahMe = ½(n5 + n6 ) = ½ ( 4 + 4) = 8/2 = 4

b. Mencari Median Data Yang Sudah Dikelompokkan Mencari median data yang sudah dikelompokkan mengikuti tahapan berikut : 1. Menentukan Letak Median ( LMed)

2. Menghitung Nilai Median :

Keterangan : Med = Median Tkb = Tepi kelas bawah sebelum median JFkm = Jumlah frekuensi kumulatif sebelum median Ft = Frekuensi total pada kelas median dan i = interval Contoh. Berikut ini disajikan data hipotesis distribusi freukuensi pengeluaran perbulan

70 rumah tangga di Kecamatan Ampenan (Rp/000)No Kelas Pengeluaran Banyaknya rumah tangga

(fi)1234567

100 –129130 – 159160 – 179190 – 219220 – 249250 – 279280 – 319

57

12181396

J u m l a h 70 Carilah nilai mediannya.

Lmed = ½ n

Med = Tkb + (1/2n – JFkm) x I Ft

Jawab Tabel. 4.15 Distribusi Frekuensi Pengeluaran Perbulan 70 rumah tangga di Kecamatan

Ampenan (Rp/000)No Kelas Pengeluaran Banyaknya rumah

tangga (fi)Tepi kelas

bawahFrekuensikumulatif

1

2

3

4

5

6

7

100 –129

130 – 159

160 – 179

190 – 219

220 – 249

250 – 279

280 – 319

5

7

12

18

13

9

6

99,5

129,5

159,5

189,5

219,5

249,5

279,5

319,5

0

5

12

24Median

42

55

64

70

J u m l a h 70

Langkah-langkah penyelesaian : 1. Menentukan Letak Median : Lmed = ½ n = ½ x 70 = 35 2. .Mencari nilai Median Med = Tkb + (1/2n – JFkm) x I Ft

= 189,5 + (35 – 24)/18 x 30 = 189,5 + 330/18 = 189,5 + 18,33 = 207,83 = 208Kebaikan dan Kelemahan Median1. Kebaikan Median

- Median dapat segera diperoleh tanpa megetahui seluruh nilainya pada data– data yang telah tersusun teratur

- Dalam distri busi frekuensi dengan kelas terbuka dapat kita hitung- Median lebih tidak dipengaruhi oleh bilangan – bilangan yang ekstrem

besar maupun ekstrem kecil- Simpangan ( deviasi ) absolut median lebih kecil daripada deviasi yang

diukur dari manapun juga2. Kelemahan Medium

- Untuk menghitung median harus menyusun data, pada data yang besartidak praktis

- Median kurang dikenal daripada rata – rata- Median tidak dapat dipergunakan untuk perhitungan lebih lanjut- Pada distribusi disket kadang – kadang tidak ada median

4.3. MODUS (MODE = Mod)Modus menunjukkan jumlah data yang paling banyak muncul atau data yang jumlahfrekuensinya paling banyak bagi data kuantitatif, sedangkan bagi data kualitatifmodus menunjukkan sifat atau keadaan yang paling banyak terjadi. Ada kemungkinan

sekelompok data mempunyai satu modus, dua modus atau lebh, bahkan tidakmempunyai modus.

a. Modus Data Yang Belum DikelompokkanBagi data yang belum dikelompokkan, data-data yang tersaji harus dilakukanlangkah-langkah berikut :

a. Data disusun dari yang terkecil ke yang terbesarb. Hitung frekuensi munculnya nilai datac. Tentukan modus yaitu data yang memiliki frekuensi terbanyak

Contoh : Hitunglah Modus dari data berikut : 35 37 40 43 48 48 48 50 53 55 Jawab : Data tersebut telah disusun dari yang terkecil ke yang terbesar, dan terlihat

bahwa yang memiliki frekuensi terbanyak muncul sehingga modus adalah48 .

b. Modu s Data Yang Sudah Dikelompokkan Untuk data yang telah dikelompokkan, modus beraa pada kelas yang frekuensinya

terbanyak. Langkah-langkah menentukan modus :1. Tentukan Letak Modus (LMod) pada kelas yang memiliki frekuensi tertinggi2. Menghitung nilai modus dengan rumus :

Mod= ModusTBk = Batas bawah kelas yang mengandung nilai modus i = interval kelas

d1 = selisih antara frekuensi kelas terdapatnya modus dengan frekuensi kelassebelumnya

d2 = selisih antara frekuensi kelas terdapatnya modus dengan frekuensi kelassesudahnya

Contoh : Hitunglah modus dari pengeluaran 70 rumah tangga di Kecamatan Ampenan. Jawab Tabel. 4.16 Distribusi Frekuensi Pengeluaran Perbulan 70 rumah tangga di Kecamatan

Ampenan (Rp/000)No Kelas Pengeluaran Banyaknya rumah

tangga (fi)Tepi kelas

bawahFrekuensikumulatif

1

2

3

4

5

6

7

100 –129

130 – 159

160 – 179

190 – 219

220 – 249

250 – 279

280 – 319

5

7

12 di

18 d2

13

9

6

99,5

129,5

159,5

189,5

219,5

249,5

279,5

319,5

0

5

12

24

42

55

64

70

J u m l a h 70

Mod = TBk + I (di/d2 +d1)

Dari tabel di atas terlihat bahwa frekuensi modus = 18 dan i = 30 di = 18 - 12 = 6 dan d2 = 18 – 13 = 5, Tbk = 189,5 Mod = TBk + d1/d2 + d1 x i = 189,5 + 6/11 x 30 = 189,5 + 180/11 = 189,5 + 16,36 = 205,86 Kebaikan dan Kelemahan Modus : Kebaikan :

1. Modus mudah dimengerti2. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem3. Pada distribusi yang condong., modus lebih mewakili daripada nilai rata-rata

Kelemahan :1. Perhitungan modus lebih sukar dari nilai rata-rata2. Modus tidak tegas dirumuskan artinya kadang-kadang ada modus dan kadang-

kadang ada yang tidak ada modusSOAL-SOAL LATIHAN :Masing-Masing Mahasiswa mengerjakan 2 soal :1. Berikut ini merupakan data keadaan umur 50 orang perajin wanita di suatu daerah

dalam satuan tahun yaitu : 40 24 26 17 42 36 21 45 18 17 22 37 37 50 53 52 19 35 35 34 19 35 25 26 35 38 60 20 22 40 36 30 18 40 40 26 35 15 35 60 55 49 17 40 40 56 46 15 45 19 Pertanyaan :

a. Buatlah distribusi frekwensinyab. Gambar histogram, poligon dan ogivec. Hitunglah rata-rata dengan :

- Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek- Cara geometri

d. Carilah median dan modusnya2. Berikut ini merupakan data jam kerja perminggu dari 50 orang perajin wanita di suatu

daerah yaitu : 49 42 49 40 42 56 48 49 28 35 49 48 28 36 49 56 35 36 21 30 20 24 30

25 20 24 20 30 42 40 21 35 42 28 35 28 42 42 35 42 56 28 49 56 56 3526 35 42 24

Pertanyaan :a. Buatlah distribusi frekwensinyab. Gambar histogram, poligon dan ogivec. Hitunglah rata-rata dengan :

- Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek- Cara geometri

d. Carilah median dan modusnya3. Berikut ini merupakan besarnya pendapatan per bulan yang diperoleh rumah tangga

perajin perempuan di suatu daerah ( Rp. 000) 170 105 390 195 180 315 195 143 75 95 120 190 110 120 118 120

200 115 175 110 120 135 75 165 180 135 117 299 255 150 240 75350 165 105 120 83 38 135 298 45 38 195 105 300 210 145 195 30 75

Pertanyaan :a. Buatlah distribusi frekwensinyab. Gambar histogram, poligon dan ogivec. Hitunglah rata-rata dengan :

- Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek- Cara geometri

d. Carilah median dan modusnya4. Berikut ini merupakan data tentang banyaknya jam lembur tiap minggu yang

digunakan oleh 30 orang pekerja di suatu perusahaan : 31 46 25 57 39 42 55 2037 28 40 59 11 38 34 22 62 33 48 42 21 57 37 43 51 29 41 35

Pertanyaan :a. Buatlah distribusi frekwensinyab. Gambar histogram, poligon dan ogivec. Hitunglah rata-rata dengan :

- Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek- Cara geometri

d. Carilah median dan modusnya

5. Berikut ini merupakan nilai ujian statistik ekonomi I yang diperoleh 36 orangmahasiswa di suatu perguruan tinggi tercatat : 51 85 29 52 24 32 51 35 78 56 6533 66 68 40 35 44 38 48 60 39 75 56 34 41 45 72 38 47 45 40 40 76 50 31

Pertanyaan :a. Buatlah distribusi frekwensinyab. Gambar histogram, poligon dan ogivec. Hitunglah rata-rata dengan :

- Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek- Cara geometri

d. Carilah median dan modusnya6. Data berikut merupakan Nilai deviden 50 perusahaan di BEJ (Rp ) untuk saham

dengan nilai nominal Rp. 1.000,- 75 98 42 75 84 87 65 59 63 86 78 37 99 66 90 79 80 89 68 57 95 55 79

88 76 60 77 49 92 83 71 78 53 81 77 58 93 85 70 62 80 74 69 90 62 8464 73 48 72

Pertanyaan :a. Buatlah distribusi frekwensinyab. Gambar histogram, poligon dan ogived. Hitunglah rata-rata dengan :

- Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek- Cara geometri

d. Carilah median dan modusnya7. Sejumlah 50 orang calon, menempuh tes seleksi dalam Mata Kuliah Akuntansi.

Setelah tes berakhir diperoleh hasil sebagai berikut : 65 55 53 76 78 83 61 6258 57 78 85 80 56 55 62 77 78 70 61 60 58 64 76 70 75 7166 63 55 58 59 64 73 78 88 84 70 75 79 84 65 68 70 80 7180 71 81 60

Pertanyaan :a. Buatlah distribusi frekwensinyab. Gambar histogram, poligon dan ogivee. Hitunglah rata-rata dengan :

- Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek- Cara geometri

d. Carilah median dan modusnya

8. Hasil penelitian terhadap banyaknya kiriman suami yang menjadi TKI untukkeluarganya di daerah asal (Rp 0000)

150 150 200 70 200 1200 110 700 400 200 150 100 970 300 250 300 400 100 250 300 300 210 150 140 120 150 1000 350 300 300 Pertanyaan :

a. Buatlah distribusi frekwensinyab. Gambar histogram, poligon dan ogivec. Hitunglah rata-rata dengan :

- Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek- Cara geometri

d. Carilah median dan modusnya9. Data berikut merupakan jumlah hari kerja pekerja wanita di daerah “MEE MALI”

dalam sebulan : 28 12 12 12 28 28 28 12 24 18 24 26 8 8 10 15 16 8 10 12

14 10 14 28 30 25 22 24 17 13 14 20 12 10 8 15 14 20 14 30 Pertanyaan :

a. Buatlah distribusi frekwensinyab. Gambar histogram, poligon dan ogivec. Hitunglah rata-rata dengan :

- Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek- Cara geometri

d. Carilah median dan modusnya10. Distribusi upah harian buruh bangunan di Kota “Ingin Madju” dalam ribuan rupiah : 25 13 15 30 15 18 23 40 27 30 20 15 18 16 19 25 30 30 35 15 18 25 30 28 15 16 16 19 24 22 13 15 18 17 25 25 35 40 Pertanyaan :

a. Buatlah distribusi frekwensinyab. Gambar histogram, poligon dan ogivec. Hitunglah rata-rata dengan :

- Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek- Cara geometri

d. Carilah median dan modusnya11.Tabel berikut menunjukkan Keadaan Umur Petani di suatu daerah penelitian tahun

2004 No Kelompok umur Jumlah petani

1234567

31 – 3535 – 4041 – 45

46 – 50 51 – 55 56 – 60 61 - 65

10101622895

a.. Hitunglah distribusi frekuensi relatifb. Gambar histogram, poligon dan ogivec. Hitunglah rata-rata dengan :

- Cara Aritmatika baik cara panjang maupun cara pendek- Cara geometri

d. Carilah median dan modusnya