Statistik (Bab 6)

1

Statistik Pentaabiran:Penganggaran untuk Populasi

Tunggal

2

Penganggaran StatistikPenganggaran Statistik

Penganggaran titik nilai tunggal statistik yang dikira dari sampel

Penganggaran selang nilai selang yang dikira dari sampel statistik dan statistik piawai, seperti Z.

– Pemilihan statistik piawai adalah ditentukan oleh taburan persampelan.

– Pemilihan nilai kritikal bagi statistik piawai adalah ditentukan oleh keperluan paras keyakinan.

3

Selang Keyakinan terhadap Selang Keyakinan terhadap Penganggaran Penganggaran

apabila n adalah besarapabila n adalah besar

Penganggaran Titik:n

X X ∑=

Penganggaran selang:n

Z Xσ±

atau

n Z X

n Z X

σ+≤µ≤σ−

4

Taburan Min Sampel bagi Taburan Min Sampel bagi Keyakinan (1-Keyakinan (1-αα)%)%

5


6


7

Tafsiran Kebarangkalian bagi Tafsiran Kebarangkalian bagi Paras KeyakinanParas Keyakinan

α−=σ+≤µ≤σ− αα 1]n

Xn

X[obPr ZZ22

8

Taburan Min Sampel bagi Taburan Min Sampel bagi Keyakinan 95%Keyakinan 95%

9

95% Selang Keyakinan untuk 95% Selang Keyakinan untuk

Sebuah syarikat talipon cellular telah mengenalpasti min panggilan talipon untuk pelanggan ialah 153 minit dari sampel 85 orang pelanggannya. Katakan rekod lepas dan kajian yang sama menunjukkan bahawa sisihan piawai populasi ialah 46 minit. Anggarkan min populasi masa panggilan setiap pelanggan sebulan dengan selang keyakinan 95%.

µX

0.4750 0.4750

/2=0.025 /2=0.025

n Z X

n Z X /2/2

σ+≤µ≤σ− αα

n Z X

n Z X 025.0025.0

σ+≤µ≤σ−

85

46.961 153

85

46.961 153 +≤µ≤−

153 – 9.78 ≤ µ ≤ 153 + 9.78143.22 ≤ µ ≤ 162.78

10

Contoh 1Contoh 1

Satu kajian telah dilakukan kepada syarikat di Malaysia yang menjalankan kajian di Cina. Satu daripada soalan ialah: Telah berapa lamakah syarikat anda menjalankann perniagaan dengan Cina? Satu sampel rawak 44 syarikat telah dipilih menghasilkan min 10.455 tahun. Katakan sisihan piawai populasi bagi soalan ini ialah 7.7 tahun. Menggunakan maklumat ini, jalankan selang keyakinan 90% min bilangan tahun syarikat di Malaysia telah menjalankan perniagaan di Cina bagi populasi syarikat Malaysia yang menjalankan perniagaan di Cina.

11

+≤≤

n

σ Z X μ

n

σ - ZX

+≤µ≤

44

7.71.645 10.455

44

7.71.645 - 10.455

10.455 – 1.91 ≤ µ ≤ 10.455 + 1.918.545 ≤ µ ≤ 12.365

Kebarangkalian (8.545 ≤ µ ≤ 12.365 = 0.90

12

Faktor Pembetulan FinitFaktor Pembetulan Finit

Selang Keyakinan untuk Menganggar µMenggunakan Faktor Pembetulan Finit

1

1 22 N -

N - n

n

σ Z X

N -

N - n

n

σ - ZX α/ α/ +≤µ≤

13

Contoh 2Contoh 2Satu kajian telah dilakukan di dalam syarikat yang mempunyai 800 jurutera. Sampel rawak 50 jurutera ini mendapati purata umur sampel ialah 34.3 tahun. Rekod lama mendapati sisihan piawai umur jurutera syarikat ialah 8 tahun. Lakukan selang keyakinan 98% untuk menganggar unur semua jurutera di dalam syarikat ini.

+≤µ≤

799

750

50

8 2.33 34.3

799

750

50

8 2.33 - 34.3

34.3 – 2.554 ≤ µ ≤ 34.3 + 2.55431.75 ≤ µ ≤ 36.85

14

Selang Keyakinan untuk Selang Keyakinan untuk Menganggar Menganggar µµ apabila apabila σσ Tidak Tidak

Diketahui (n Diketahui (n 30) 30)

n

S Z X α/ 2±

n

S Z X

n

S Z X α/α/ 22 +≤µ≤−

atau

15

ContohContohSebuah syarikat sewa kereta mahu menganggar purata jarak perjalanan sehari bagi setiap kereta yang disewakannya. Sampel rawak 110 kereta dipilih dan mendapati min sampel jarak perjalanan sehari ialah 85.5 km, dengan sisihan piawai 19.3 km. Kirakan 99% selang keyakinan untuk menganggar µ.

n

S Z X

n

S Z X α/α/ 22 +≤µ≤−

+≤µ≤

110

19.3 2.575 85.5

110

19.3 2.575 - 85.5

85.5 – 4.7 ≤ µ ≤ 85.5 + 4.780.8 ≤ µ ≤ 90.2

16

Nilai Z bagi beberapan Paras Nilai Z bagi beberapan Paras KeyakinanKeyakinan

yang biasa Digunakanyang biasa Digunakan

90%

95%

98%

99%

Selang Keyakinan Nilai Z

1.645

1.960

2.330

2.575

17

Penganggaran Min Populasi: Penganggaran Min Populasi: Saiz Sampel Kecil, Saiz Sampel Kecil, σσ

Tidak DiketahuiTidak Diketahui

Populasi mempunyai taburan normal

Nilai sisihan piawai populasi tidak diketahui.

Saiz sampel adalah kecil, n < 30.

Taburan Z tidak sesuai digunakan dalam situasi ini

Taburan t adalah lebih sesuai

18

Taburan Taburan tt

tX

S

n

= −µ

Dibentuk oleh ahli statistik British, William Gosset Keluarga kepada taburan – taburan yang unik bagi setiap nilai parameternya, darjah kebebasan (d.f.)

Simetri, Unimodal, Min = 0, Lebih rata berbanding Z

Formula t

19

Perbandingan Taburan t Perbandingan Taburan t dengan Keluk Normal Piawaidengan Keluk Normal Piawai

20

Jadual Nilai Kritikal Jadual Nilai Kritikal tt

df t0.100 t0.050 t0.025 t0.010 t0.005

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656

2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925

3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841

4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604

5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807

24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797

25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787

29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756

30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750

40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704

60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660

120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617

1.282 1.645 1.960 2.327 2.576∞

21

Selang Keyakinan untuk Menganggar Selang Keyakinan untuk Menganggar µµ Apabila Apabila σσ Tidak Diketahui dan Saiz Tidak Diketahui dan Saiz

Sampel adalah KecilSampel adalah Kecil

n

S t

n

S t -

n

S t X

1n-/2,1n-/2,

1n-/2,

αα

α

+≤µ≤

±

XX

df = n - 1

22

ContohContohKatakan penyelidik mahu menganggarkan purata masa cuti gantian yang terkumpul bagi saorang pengurus. Sampel rawak jam lebih masa 18 pengurus telah direkodkan di dalam minggu tertentu dan ditunjukkan sebagaimana berikut (di dalam jam) 6 21 17 20 7 0 8 16 29 3 8 12 11 9 21 25 15 16 Dapatkan 90% selang keyakinan untuk menganggarkan purata masa kerja lebih masa seminggu oleh pengurus syarikat tersebut.

t0.05,17 = 1.740

23

Min sampel ialah 13.56 jam, dan sisihan piawai ialah 7.8 jam.

n

S t X 1n-/2,α±

3.20 13.56 18

7.8 1.740 13.56 ±=±

16.76 10.36 ≤µ≤

0.90 16.76) lian(10.36Kebarangka =≤µ≤

24

Contoh 8.3Contoh 8.3Syarikat menyewa kereta telah cuba untuk membuat anggaran purata bilangan hari pelanggan menyewa kereta daripada syarikatnya. Oleh kerana ketiadaan maklumat, pengurus syarikat tersebut telah mengambil sampel rawak 14 pelanggan dan mencatitkan bilangan hari ia menyewa kereta tersebut subagaimana di bawah. Ia menggunakan data tersebut membina 99% selang keyakinan untuk menganggar purata bilangan hari menyewa kerata dan mengandaikan bilangan hari untuk setiap penyewaan adalah bertaburan normal di dalam populasi.

3 1 3 2 5 1 21 4 2 1 3 1 1

25

Oleh kerana n = 14, df =13. Paras keyakinan 99% dihasilkan di dalam /2 = 0.005 keluasan di dalam setiap ekor taburan. Nilai jadual t ialah

t0.005,13 = 3.012

Min sampel ialah 2.14 dengan sisihan piawai sampel ialah 1.29. Selang keyakinan ialah

1.10 ≤ µ ≤ 3.18Kebarangkalian (1.10 ≤ µ ≤ 3.18) = 0.99

n

S t X ±

1.04 2.14 14

1.29 3.012 2.14 ±=±

26

Penganggaran Penganggaran Perkadaran PopulasiPerkadaran Populasi

sampel size = npopulasi perkadaran = P

p̂-1=q̂sampel perkadaran = p̂

:anadimn

q̂p̂p̂P

n

q̂p̂p̂ ZZ

22

αα +≤≤−

27

ContohContoh

kajian terhadap 87 syarikat yang dipilih secara rawak dengan operasi tele-pemasaran mendapati 39% daripada sampel syarikat telah menggunakan tele-pemasaran untuk membantu mereka memproses pesanan. Menggunakan maklumat ini, bagaimana penyelidik menganggarkan perkadaran populasi syarikat tele-pemasaran yang menggunakan operasi tele-pemasaran untuk membantu mereka di dalam memproses pesanan, dengan selang keyakinan 95%?

p = 0.39 , n = 87, q = 1 – p = 1.00 – 0.39 = 0.61^ ^ ^

28

n

qp

n

qp^^^^

/2

^

/2

^

Z p P Z - p αα +≤≤

87

1)(0.39)(0.6 1.96 0.39 P

87

1)(0.39)(0.6 1.96 - 0.39 +≤≤

0.39 – 0.10 ≤ P ≤ 0.39 + 0.100.29 ≤ P ≤ 0.49

Kebarangkalian(0.29 ≤ P ≤ 0.49) = 0.95

29

Contoh 8.5Contoh 8.5

Syarikat pakaian mengeluarkan jean untuk lelaki. Jean tersebut dibuat dan dijual sama ada potongan biasa atau potongan ‘boot’. Dalam usaha untuk menganggar perkadaran pasaran jean lelaki tersebut di Kuala Lumpur untuk jean potongan ‘boot’, penganalisis mengambil sampel rawak 212 jean yang dijual oleh syarikat tersebut dari dua kedai di Kuala Lumpur. Hanya 34 daripada jualan adalah jean potongan ‘boot’. Jalankan 90% selang keyakinan untuk menganggar perkadaran populasi di Kuala Lumpur yang mengemari jean potongan ‘boot’.

p = 34/212 = 0.16 , n = 212, q = 1 – p = 1.00 – 0.16 = 0.84^ ^ ^

30

0.16 – 0.04 ≤ P ≤ 0.16 + 0.040.12 ≤ P ≤ 0.20

Kebarangkalian (0.12 ≤ P ≤ 0.20) = 0.90

212

4)(0.16)(0.8 1.645 0.16 P

212

4)(0.16)(0.8 1.645 - 0.16 +≤≤

n

qp

n

qp^^^^

/2

^

/2

^

Z p P Z - p αα +≤≤

n

qp

n

qp^^

.

^^

. 050

^

050

^

Z p P Z - p +≤≤

31

Varian PopulasiVarian Populasi

Varian ialah songsangan ukuran homogeniti kumpulan.

Varian adalah petunjuk penting jumlah kualiti untuk piawaian keluaran dan perkhidmatan. Pengurus perlu memperbaiki proses untuk mengurangkan varian.

Varian mengukur risiko kewangan. Varian kadar pulangan membantu pengurus mengenalpasti alternatif pelaburan kewangan dan pelaburan.

Variabiliti adalah realiti dalam pasaran global. Produktiviti, upah, dan taraf hidup adalah berbagai-bagai diantara kawasan dan negara.

32

Menganggar Varian PopulasiMenganggar Varian Populasi

• Parameter Populasi 2

Penganggar 2:

Formula 2 untuk varian tunggal:

1n

)X - (X S

22

−= ∑

1 - n kebebasan darjah

1)S -

2

22

=σ

=χ n(

33

Selang Keyakinan untuk Selang Keyakinan untuk σσ22

( ) ( )

keyakinan paras 11ndf

1n1n2

21

22

2

2

2

SS

−=α−=

−≤≤

−

χσχ α−α

34

Beberapa Taburan Beberapa Taburan χχ22 TerpilihTerpilih

35

JadualJadual χ χ22df 0.975 0.950 0.100 0.05

00.025

1 9.82068E-043.93219E-03 2.70554 3.84146 5.023902 0.0506357 0.102586 4.60518 5.99148 7.377783 0.2157949 0.351846 6.25139 7.81472 9.348404 0.484419 0.710724 7.77943 9.48773 11.143265 0.831209 1.145477 9.23635 11.07048 12.832496 1.237342 1.63538 10.6446 12.5916 14.44947 1.689864 2.16735 12.0170 14.0671 16.01288 2.179725 2.73263 13.3616 15.5073 17.53459 2.700389 3.32512 14.6837 16.9190 19.0228

10 3.24696 3.94030 15.9872 18.3070 20.4832

20 9.59077 10.8508 28.4120 31.4104 34.169621 10.28291 11.5913 29.6151 32.6706 35.478922 10.9823 12.3380 30.8133 33.9245 36.780723 11.6885 13.0905 32.0069 35.1725 38.075624 12.4011 13.8484 33.1962 36.4150 39.364125 13.1197 14.6114 34.3816 37.6525 40.6465

70 48.7575 51.7393 85.5270 90.5313 95.023180 57.1532 60.3915 96.5782 101.8795 106.628590 65.6466 69.1260 107.5650 113.1452 118.1359

100 74.2219 77.9294 118.4980 124.3421 129.5613

36

Dua Nilai Jadual Dua Nilai Jadual χχ22

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

df = 7

.05

.05

.95

2.16735 14.0671

df 0.950 0.0501 3.93219E-03 3.841462 0.102586 5.991483 0.351846 7.814724 0.710724 9.487735 1.145477 11.070486 1.63538 12.59167 2.16735 14.06718 2.73263 15.50739 3.32512 16.9190

10 3.94030 18.3070

20 10.8508 31.410421 11.5913 32.670622 12.3380 33.924523 13.0905 35.172524 13.8484 36.415025 14.6114 37.6525

37

ContohContohKatakan lapan selinder aluminium 7-sm di dalam sampel yang

diukur di dalam garispusat sebagaimana berikut: 6.91 sm 6.93 sm 7.01 sm 7.02 sm7.05 sm 7.00 sm 6.98 sm 7.01 sm

Kirakan selang selang keyakinan 90% bagi varian selinder aluminium tersebut.

S2 = 0.0022125, df = n – 1 = 8 – 1, α= 1.00 – 0.90 = 0.10.

38

2.16735 dan 14.0671 27,95.0

27,05.0 =χ=χ

Dari Jadual 22

Oleh itu selang keyakinan 22

0.001101 ≤ σ2 ≤ 0.007146 Kebarangkalian (0.001101 ≤ σ2 ≤ 0.007146) = 0.90

221

22

22

2 1

1

α/α/ χ

) S(n -

χ

) S(n -

−

≤≤ σ

2.16735

125)(7)(0.0022

14.0671

125)(7)(0.0022 2 ≤≤σ

27,95.0

22

27,5,0

2

χ

) S1(n -

χ

) S1(n - ≤σ≤0.050.95

0671.1427,05.0 =χ16735.22

7,95.0 =χ

0.05

39


Jabatan Buruh telah mengeluarkan data kos tuntutan pekerja sektor perkilangan diseluruh negara. Angka terakhir menunjukkan purata gaji sejam pekerja pengeluaran disektor perkilangan ialah RM9.63. Katakan kerajaan mahu menentukan berapa konsistennya angka ini. Ia mengambil 25 sempel rawak pekerja disektor perkilangan diseluruh negara dan menentukan sisihan piawai gaji sejam pekerja ialah RM1.12. Menggunakan maklumat ini untuk bentukkan 95% selang keyakinan untuk menganggar varian populasi untuk gaji sejam pekerja pengeluaran di dalam sektor perkilangan. Andaikan gaji sejam pekerja pengeluaran diseluruh negara disektor perkilangan adalah bertaburan normal.

S = 1.12 ,S2 = 1.2544 , n = 25, df = n – 1 = 25 – 1 = 24, α= 1.00 – 0.95 = 0.05.

40

12.4011 dan 39.3641 27,975.0

224,025.0 =χ=χ

Dari Jadual 22

Oleh itu selang keyakinan 22

0.7648 ≤ σ2 ≤ 2.4277 Kebarangkalian (0.7648 ≤ σ2 ≤ 2.4277) = 0.95

221

22

22

2 1

1

α/α/ χ

) S(n -

χ

) S(n -

−

≤≤ σ

4011.12

4)(24)(1.254

39.3641

4)(24)(1.254 2 ≤≤σ

42

Menganggar Saiz SampelMenganggar Saiz Sampel apabila Menganggarkan apabila Menganggarkan µµ

ZX

n

= − µσ

E X= − µ

nZ

EZ

E= =

α ασ σ2

2 2

2

2

2

σ ≈ 1

4range

Formula Z

Ralat Penganggaran

(ralat boleh diterima)

Anggaran Saiz Sampel

Anggaran σ

43

ContohContohKatakan penyelidik mahu menganggarkan purata perbelanjaan bulanan ke atas roti oleh penduduk Kuala Lumpur. Ia mahu 90% keyakinan bagi keputusannya. Berapa banyak ralat yang sanggup ia terima di dalam keputusannya? Katakan ia mahu menganggarkan disekitar RM1.00 angka sebenar dan sisihan piawai purata pembelian roti sebula ialah RM4.00. Apakah saiz sampel penganggaran bagi masalah ini? Nilai Z bagi 90% selang keyakinan ialah 1.645. Menggunakan Formula 8.8 dengan E = RM1.00, σ = RM4.00, dan Z = 1.645 memberikan

44 43.33

1

)4()645.1(

E

σZ n

2

22

2

222α/

≈=

==

44


n ZE

=

=

=

2 2

2

2 2

2

196 6252

37 52 38

σ

( . ) ( . )

. or

Katakan kita mahu menganggarkan purata usia semua kapalterbang Boeig 727 yang masih digunakan diseluruh Malaysia. Kita mahukan 95% keyakinan, dan memerlukan anggaran disekitar 2 tahun dari angka sebenar. Boeing 727 pertama kali digunakan 30 tahun yang lepas, tetapi kita percaya kapal terbang ini tidak aktif lagi lebih dari 25 tahun. Berapa besarkan saiz sampel yang perlu diambil?

E = 2 tahun, Nilai Z untuk 95% = 1.94, σ dianggarkan = ¼ (Selangdiperlukan) = ¼ (25) = 6.25.

45

Menentukan Saiz Sampel apabila Menentukan Saiz Sampel apabila menganggar Pmenganggar P

Zp P

P Qn

= −⋅

$

E p P= −$

nPQZ

E=

2

2

Ralat Penganggaran

(Ralat yang diterima)

Formula Z

Anggaran Saiz Sampel

46


( )( )( )

448,1 or 7.447,1

60.040.0

PQn

003.0)33.2(

EZ

2

2

2

2

=

=

=

Satu kajian telah dijalankan untuk menentukan sejauh manakah majikan menggalakkan kesihatan dan kesegaran dikalangan pekerjanya. Satu soalah telah ditanya, Adakah syarikat anda menawarkan kelas latihan ditempat kerja? Katakan telah dianggarkan sebelum kajian dijalankan tidak lebih 40% daripada syarikat menjawab YA. Berapa besarkah sampel yang pelu diambil di dalam menganggarkan perkadaran populasi untuk menentukan 98% keyakinan di dalam keputusan dan disekitar 0.03 perkadaran populasi sebenar?

E = 0.03Anggaran P = 40% = 0.40 Selang keyakinan 98% Z = 2.33Q = 1 – P = 1.00 – 0.40 = 0.60

47

Menentukan Saiz Sampel apabila Menentukan Saiz Sampel apabila menganggar P Tanpa Maklumat menganggar P Tanpa Maklumat

AwalAwal

P

n

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Z = 1.96E = 0.05

nZE

=

2

2

14

P

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

PQ

0.25

0.24

0.21

0.16

0.09

48


( ) ( )

( )

nPQ

or

ZE

=

=

=

2

2

2

2

164505

0 50 0 50

270 6 271

( . ).

. .

.

Satu keputusan kajian mendapati lebih kurang dua per tiga rakyat Malaysia mencuba satu keluaran baru di dalam tempoh 12 bulan yang lepas. Katakan satu organisasi industri keluaran mahu mengkaji rakyat Malaysia dan menyoal sama ada mereka memakan buah-buahan dan sayuran segar atau tidak di dalam tempoh satu tahun lepas. Organisasi tersebut mahu 90% keyakinan di dalam keputusannya dan mengekalkan ralat disekitar 0.05. Berapa besarkah sampel yang perlu diambil?

E = 0.05Tanpa anggaran awal P, gunakan P = 0.50. 90% keyakinan Z = 1.645Q = 1- P = 1 – 0.50 = 0.50

Statistik (Bab 6)

Documents

Transcript of Statistik (Bab 6)