KOMPUTER PROGRAM IV

Komputasi Statistik Menggunakan Software S-PLUS

Dosen Pengampu

Joko Sungkono, S.Si, M.Sc.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN DAN ILMU KEGURUAN

UNIVERSITAS WIDYA DHARMA

KLATEN

i

BAB I

S-Plus

1.1 Pendahuluan

S-Plus merupakan suatu paket program yang sangat canggih untuk men-

ganalisis data dan memanjakan anda dengan tampilan-tampilan yang sangat

bagus untuk eksplorasi data. S-Plus telah menggunakan statistik moderen dilengkapi

perintah-perintah serta memungkinkan anda membuat suatu program S-Plus

sendiri.

Program S-Plus merupakan program yang bersifat matrix oriented, sehing-

ga hasil yang diperoleh berupa matriks. Indek matriks diberikan dalam tanda

kurung siku.

1.2 Kapabilitas S-Plus

Kemampuan program S-Plus dapat dilihat dari fasilitas-fasilitas yang

tersedia. Dengan mengetahui fasilitas yang dimiliki kita dapat merasakan ke-

canggihan paket program tersebut. Beberapa fasilitas yang dimiliki oleh S-Plus

adalah sebagai berikut.

The Computing Environment

S-Plus memiliki jendela (windows) untuk :

- mengetik ekspresi S-Plus

- membaca file help

- menampilkan display grafik

- mengetik perintah sistem operasi.

1

2

Grafik

Grafik dengan kualitas tinggi sangat mudah dihasilkan dengan menggu-

nakan S-Plus. Beberapa contoh diantaranya adalah :

- dot charts

- histogram

- pie chart

- bar plot

- scatter plot

- contour plot dan image plot

- time series, dll.

Demo Menjalankan S-Plus

Fungsi demo S-Plus yaitu ”demo” memuat sejumlah slide yang telah

dikelompokkan menurut subjeknya. Untuk memulai demo dilakukan langkah-

langkah berikut.

1. Membuka program S-Plus dengan meng-klik icon S-Plus.

2. Memulai demo dengan mengetik

demo()

3. Memilih menu demo.

Statistika

Prosedur statistik yang tersedia dalam S-Plus mencakupo bagian yang

sangat luas, mulai dari yang paling dasar sampai pemodelan moderen berdasarkan

teknik-teknik penghalusan. Beberapa prosedur yang ada mencakup uji hipotesis,

anava, regresi ganda, analisis uji hidup dan sebagainya.

3

Ekstensibilitas

S-Plus memiliki segudang perintah-perintah baik dasar maupun kom-

pleks. Berdasarkan perintah-perintah tersebut, S-Plus memiliki suatu mekanisme

untuk mengembangkan dirinya sendiri. Sesungguhnya S-Plus adalah suatu ba-

hasa pemrograman sehingga anda dapat menulis prosedur baru dalam bahasa

S-Plus.

Sebagai contoh, anda menginginkan untuk melihat histogram, box plot, dan

pie chart dari suatu data x. anda dapat menuliskan fungsi sebagai berikut.

> shape < -function(x)

+ {

+ hist(x)

+ boxplot(x)

+ piecharts(x)

+ }

BAB II

MEMULAI S-PLUS

2.1 Memulai dan Mengakhiri S-Plus

Untuk memulai program S-Plus, cari icon S-Plus kemudian klik 2 kali. Akan

muncul tampilan pertama S-Plus :

S-PLUS : Copyright 1988, 1994 MathSoft, Inc.

S : Copyright AT & T.

Version 3.2 Release 1 for MS Windows 3.1 : 1994

Working data will be in Data

>

Untuk mengakhiri diketik

>q() Enter

Untuk menjalankan suatu perintah selalu dilakukan dengan meng-Enter perintah.

2.2 Perintah Sederhana dan Demo

Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan perintah sederhana dalam

S-Plus.

>1+1

[1] 2

> 2 ∗ 10

[1] 20

> 4 ∧ 2

[1] 16

Tanda > merupakan prompt dari S-Plus sebagai tempat mengetikkan perintah-

perintah S-Plus. Karena S-Plus merupakan program yang matrix oriented maka

4

5

hasilnya berupa matriks, sehingga tanda [1] merupakan indek matriks atau vek-

tor.

Penulisan sintak perintah-perintah yang lain dapat dilihat pada file help

yang tersedia. Untuk memperdalam pengetahuan tentang perintah-perintah seder-

hana tersebut, cobalah beberapa perintah dalam file help.

Selanjutnya anda dapat mencoba fasilitas demo. Lakukan langkah-langkah

berikut.

>demo()

Kliklah pada ”Window” paling atas, pilih ”Commands”. Kemudian klik-

lah pada ”Window” paling atas sekali lagi, pilih ”Tile”. Berikutnya ”Enter”.

Sekarang anda telah berada pada program demo dari S-Plus. Cobalah beberapa

menu yang disajikan dalam demo ini.

2.3 Membuat Objek Dalam S-Plus

S-Plus merupakan object oriented programming. Pengertian object oriented

secara sederhana yaitu data dan program dianggap satu yang disebut object.

Misalkan kita coba satu objek dalam S-Plus.

>data< −c(21, 24, 25, 23, 27, 29, 22, 25)

objek data akan berisi angka 21 24 25 23 27 29 22 25. Objek ini berupa sebuah

vektor. Untuk menampilkan objek ini dilakukan dengan perintah berikut.

>data

[1] 21 24 25 23 27 29 22 25

Objek bernama data ini terdiri dari 8 elemen vektor, jika kita ingin melihat

elemen ketiga dilakukan dengan

6

>data[3]

[1] 25

Berdasarkan data tersebut dapat dihitung beberapa statistik dibawah ini.

>mean(data)

[1] 24.5

>var(data)

[1] 6.857143

>min(data)

[1] 21

>max(data)

[1] 29

>summary(data)

Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.

21 22.75 24.5 24.5 25.5 29

Misalkan ingin dilakukan statistik lanjut seperti uji t. Untuk menguji apakah

rata-rata data tersebut adalah 24 dapat dilakukan dengan

>t.test(data,mu=24)

One-sample t-Test

data: data

t = 0.5401, df = 7, p-value = 0.6059

alternative hypothesis: true mean is not equal to 24

95 percent confidence interval:

22.31078 26.68922

sample estimates:

mean of x

24.5

7

Misalkan akan diuji apakah rata-rata data tersebut adalah 27 dapat dilakukan

dengan

>t.test(data,mu=27)

One-sample t-Test

data: data

t = -2.7003, df = 7, p-value = 0.0306

alternative hypothesis: true mean is not equal to 27

95 percent confidence interval:

22.31078 26.68922

sample estimates:

mean of x

24.5

Berikan analisa terhadap hasil yang diperoleh tersebut. Cobalah beberapa data

yang lain.

2.4 Tabel of Contents

Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan perintah sederhana

Table of Contents

S-PLUS for Windows is a powerful tool for data analysis, providing conve-nient features for performing exploratory data analysis, using modern statisticaltechniques, and creating and debugging your own S-PLUS programs.

To find out how to use Help, press F1.

Introduction

What is S-PLUS for Windows?

8

S-PLUS Functions by Category

Add to Existing PlotAll DatasetsANOVA ModelsCategorical DataCharacter Data OperationsClusteringComplex NumbersComputations Related to PlottingData AttributesData DirectoriesData ManipulationData TypesDates ObjectsDemo LibraryDemonstration of S-PLUSDocumentationDynamic GraphicsError HandlingGraphical DevicesHigh-Level PlotsInput/Output–Files

Interacting with PlotsInterfaces to Other LanguagesLibrary of Chapter 11 Functions from The New S LanguageLibrary of Chronological FunctionsLibrary of Drawing Functions from Programmer’s ManualLibrary of Examples from Programmer’s ManualLibrary of Examples from The New S LanguageLinear AlgebraListsLoess ObjectsLogical OperatorsLooping and IterationMathematical OperationsMatrices and ArraysMethods and Generic FunctionsMiscellaneous

Multivariate TechniquesNon-linear RegressionNonparametric Statistics

9

OptimizationOrdinary Differential EquationsPrintingProbability Distributions and Random NumbersProgrammingQuality ControlRegressionRegression and Classification TreesRobust/Resistant TechniquesSmoothing OperationsS-PLUS Session EnvironmentStatistical InferenceStatistical ModelsSurvival AnalysisTime SeriesUtilities

Semua fungsi yang dimiliki S-Plus dan keterangan yang lain ada dalam help.

Misalkan kita ingin mengetahui tentang uji t, maka kita dapat membuka help

dan pilih contents kemudian klik Statistical Inference. Help akan memberikan

tampilan tentang inferensi statistik.

2.5 Statistical Inference

Berikut tampilan Statistical Inference pada help.

Statistical Inference

binom.test Exact Binomial Test

cdf.compare Graphs two cumulative distribution functions.

chisq.gof Chi square Goodness-of-Fit Test

chisq.test Pearson’s Chi-square Test for Count Data

cor.test Test for Zero Correlation

fisher.test Fisher’s Exact Test for Count Data

friedman.test Friedman Rank Sum Test

htest.object Hypotheses Testing Objects

10

kruskal.test Kruskal-Wallis Rank Sum Test

ks.gof Kolmogorov-Smirnov Goodness-of-Fit Test

mantelhaen.test Mantel-Haenszel Chi-Square Test for Count Data

mcnemar.test McNemar’s Chi-Square Test for Count Data

prop.test Proportions Tests

t.test Student’s t-Tests

var.test F Test to Compare Two Variances

wilcox.test Wilcoxon Rank Sum and Signed Rank Sum Tests

Untuk mengetahui segala sesuatu tentang t.test maka klik t.test pada sta-

tistical inference diatas. Cara lain yang dapat digunakan untuk melihat t.test

adalah dengan mengetik

>help(t.test)

atau

>?t.test

2.6 Grafik

Pada analisis hasil statistik terkadang penyajiannya lebih mudah dipahami

dalam bentuk grafik atau diagram. Diantara grafik yang disebutkan pada chap-

ter 1, salah satu yang paling sederhana dan sering digunakan adalah histogram.

Grafik yang memerlukan analisis yang lebih akan dipelajari pada chapter berikut-

nya. Sebelum membuat grafik, terlebih dahulu dibuka windows grafik.

>win.graph()

Misalkan data yang digunakan adalah ”nilai”

11

>nilai< −c(72, 83, 78, 84, 85, 79, 85, 90)

Kemudian ketiklah

>hist(nilai)

Akan diperoleh tampilan sebagai berikut

12

Latihan:

1. Masukkan data berikut dalam objek S-Plus dengan nama ”data”

9 13 8 11 10 13 15 12 14 12 11 14 12 10 10

(a) Tampilkan data ke 3 dan data ke 6

(b) Buat ringkasan statistik dari data tersebut

(c) Buat histogram dari ”data”

2. Cobalah perintah-perintah berikut, kemudian beri komentar tentang peng-

gunaannya.

>length(data)

>sum(data)

>data∧2

>data∗2

>sum((data-mean(data))∧2)/(length(data)-1)

Problem : Jika data kita kompleks dan berukuran besar (misalnya n = 100) yang

ditulis dalam kolom-kolom Excel atau Minitab, bagaimana kita membuat objek

data tersebut dalam S-Plus??

13

Membaca dan Menggunakan data dari Excel atau Minitab

Misalkan kita punya data dalam kolom Excel/Minitab yang terdiri dari 2 kolom

yaitu x dan y. Misal kita menggunakan Excel, kita simpan data di D dengan nama

”nilai” dengan type ”Text(Tab delimited)”. Untuk memanggil data tersebut pada

S-Plus dilakukan sebagai berikut.

> nilai< −read.table(”d:nilai.txt”,header=T)

> nilai

x y

1 3 7

2 4 6

3 2 7

4 3 6

5 5 5

6 5 7

7 3 9

8 3 7

9 3 6

10 4 5

11 3 8

12 4 6

13 5 7

14 5 8

15 2 9

Anda telah dapat melihat data yang anda ketik pada Excel akan tetapi kita

belum dapat menggunakan data tersebut untuk perhitungan (analisis). Untuk

menggunakan data tersebut dilakukan sebagai berikut.

>x< −nilai[,1]

>x

[1] 3 4 2 3 5 5 3 3 3 4 3 4 5 5 2

14

>y< −nilai[,2]

>y

[1] 7 6 7 6 5 7 9 7 6 5 8 6 7 8 9

Pada pemanggilan ”read.table”, jika pada optional ”header=F”, perbedaan apa

yang anda peroleh??

Lakukan langkah diatas untuk data pada kolom worksheet Minitab.

BAB III

S-PLUS DALAM METODE STATISTIKA

3.1 Regresi dan Korelasi

Untuk keperluan analisis regresi dan korelasi, S-Plus mempunyai fungsi yang

dapat menampilkan hasil yang diperlukan. Misalkan dimiliki data variabel de-

penden y dan variabel independen x (cobalah dengan suatu contoh data), setelah

data diinputkan maka perintah yang digunakan untuk analisis regresi sebagai

berikut.

> lm(y∼ x)

Jika diinginkan hasil yang lebih lengkap dapat digunakan perintah

> summary(lm(y∼ x))

Untuk regresi dengan variabel independen lebih dari satu (regresi ganda) mis-

alkan x1, x2 dan x3, maka digunakan perintah

> summary(lm(y∼ x1+x2+x3))

Untuk menghitung koefisien korelasi digunakan perintah

> cor(x,y)

3.2 Uji t Untuk Rata-Rata

Misalkan dimiliki data x dan y. Jika akan dilakukan uji apakah rata-rata

populasi dari x sama dengan 2, maka digunakan perintah

> t.test(x,mu=2)

jika akan dilakukan uji selisih rata-rata x dan y (berpasangan) sama dengan 0

(identik dengan menguji apakah rata-rata dari populasi x sama dengan rata-rata

populasi y), maka digunakan perintah

> t.test(x-y,mu=0)

atau

> t.test(x,y,mu=0,paired=T)

15

16

jika akan dilakukan uji µx − µy = 2, maka digunakan perintah

> t.test(x-y,mu=2)

Jika antara variabel x dan y saling independen, maka untuk menguji apakah rata-

rata dari populasi x sama dengan rata-rata populasi y digunakan perintah

> t.test(x,y,mu=0,paired=F)

Jika dilakukan uji satu sisi misalkan H0 : µx ≥ µy maka digunakan perintah

> t.test(x,y,alternative=”less”,paired=F)

Tetapi jika H0 : µx ≤ µy maka digunakan perintah

> t.test(x,y,alternative=”greater”,paired=F)

BAB IV

SIMULASI MONTE CARLO

4.1 Membangkitkan Variabel Random

Simulasi Monte Carlo secara sederhana diartikan suatu cara melakukan

analisis berdasarkan data yang dibangkitkan dari variabel random dengan dis-

tribusi tertentu. S-Plus memiliki fungsi-fungsi untuk membangkitkan variabel

random dan fungsi yang berkaitan dengan distribusi probabilitas tertentu. Dis-

tribusi probabilitas yang disediakan S-Plus adalah sebagai berikut.

namadist Distribusi Argumen perlu Argumen opsional default

beta Beta shape1, shape2

binom Binomial size, prob

cauchy Cauchy location, scale 0,1

chisq Chi-squared df

exp Exponential rate 1

f F df1,df2

gamma Gamma shape

geom Geometric prob

hyper Hypergeometric m,n,k

lnorm Log-normal meanlog, sdlog 0,1

logis Logistic location, scale 0,1

nbinom Negative Binomial size, prob

norm Normal mean, sd 0,1

pois Poisson lamda

stab Stable index skewness 0

t Student’s t df

unif Uniform min, max 0,1

weibull Weibull shape scale 1

wilcox Wilcoxon m, n

17

18

Untuk setiap nama distribusi (namadist) tersedia empat fungsi:

dnamadist(x) Menghitung fungsi densitas

pnamadist(x) Menghitung fungsi distribusi kumulatif

qnamadist(x) Menghitung kuantil

rnamadist(x) Membangkitkan n bilangan random

4.2 Contoh-contoh

Beberapa contoh diberikan, misalnya

Membangkitkan 20 bilangan random normal standar

> rnorm(20)

[1] 1.08622142 0.03476943 -0.02804266 -0.69601922 0.43420688

[6] 0.45125642 -0.87859640 0.88577387 -0.28657270 -1.04159191

[11] -2.29584699 0.72777012 -0.63820447 -0.91275474 0.17715259

[16] 0.53619199 0.36333390 0.51646600 [19] 0.43629874 -1.29205922

Membangkitkan 20 bilangan random normal dengan mean=20 dan sd=2

> rnorm(20,20,2)

[1] 20.84006 22.02035 20.83006 20.22847 22.00348

[6] 19.22248 17.25168 15.60876 20.19580 17.32219

[11]21.80153 16.62289 17.97300 20.65221 20.74678

[16]17.53475 19.89685 20.50330 16.41648 17.28109

Jika perintah diatas dicoba lagi, maka hasilnya akan berbeda, hal ini disebabkan

hasil yang diperoleh adalah random. Data ini dapat disimpan sementara untuk

perhitungan berikutnya dengan nama misalnya ”data”

> data< −rnorm(20,20,2)

> data

[1] 20.03386 18.40400 20.58303 15.56989 20.28018

[6] 19.33878 19.59437 19.28174 19.23549 23.19580

[11]19.95306 19.21292 20.67454 17.87876 21.16666

[16]21.22941 22.64565 22.01463 18.87971 16.82157

Kapanpun anda memanggil ”data” sebelum S-Plus dimatikan maka hasilnya akan

19

sama. Dari data ini kita dapat melakukan analisis statistik yang diperlukan.

Perhatikan contoh berikut

> qnorm(0.05)

[1] -1.644854

> qnorm(0.95)

[1] 1.644854

> qnorm(0.025)

[1] -1.959964

> qnorm(0.975)

[1] 1.959964

Perintah ”qnorm” digunakan untuk menghitung nilai kuantil distribusi normal

standar. Hitungan ini biasanya dibukukan dalam suatu nilai tabel yang disebut

tabel distribusi normal standar. Untuk menghitung distribusi kumulatif normal

standr digunakan perintah ”pnorm”.

> pnorm(-3)

[1] 0.001349898

> pnorm(-1.96)

[1] 0.0249979

> pnorm(-1.645)

[1] 0.04998491

> pnorm(1.645)

[1] 0.9500151

> pnorm(1.96)

[1] 0.9750021

> pnorm(2)

[1] 0.9772499

> pnorm(3)

[1] 0.9986501

BAB V

MEMBUAT GRAFIK FUNGSI PROBABILITAS DAN

FUNGSI DISTRIBUSI

5.1 Grafik Fungsi Probabilitas

Sebelum menuju pada penggambaran grafik fungsi probabilitas terlebih

dahulu kita coba menggambar grafik suatu fungsi (Ingat windows grafik harus

diaktifkan terlebih dahulu). Misalkan kita mendefinisikan interval x dari -4 sam-

pai 4 dengan memuat 2000 titik. Kemudian didefinisikan y adalah kuadrat dari

x, maka untuk menggambar grafik y terhadap x digunakan perintah berikut.

> x< −seq(-4,4,length=2000)

> y< −x∧2

> plot(x,y,type=”l”)

Hasil yang diperoleh akan tampak seperti gambar di bawah ini.

20

21

Misalkan kita akan menggambar grafik fungsi probabilitas dari distribusi normal

standar. Dilihat dari bentuk fungsi probabilitas distribusi normal mempunyai

nilai dari −∞ sampai ∞. Akan tetapi kita dapat menentukan batasnya dari -4

sampai 4, karena pada daerah ini sudah cukup untuk melihat grafik fungsi den-

gan sumbu asimtotis sumbu x. Perintah yang digunakan dalam S-Plus sebagai

berikut.

> x< −seq(-4,4,length=2000)

> plot(x,dnorm(x),type=”l”)

Hasil yang diperoleh akan tampak seperti gambar di bawah ini.

5.2 Grafik Fungsi Distribusi

Misalkan kita akan membuat grafik fungsi distribusi normal standar, maka

dapat dilakukan sebagaimana membuat grafik fungsi probabilitas. Untuk mem-

buat grafik fungsi distribusi normal standar dapat digunakan perintah berikut (x

didefinisikan seperti pada subbab 5.1).

> plot(x,pnorm(x),type=”l”)

22

> title(”Fungsi Distribusi Normal Standar”)

Hasil yang diperoleh adalah

Latihan:

Buatlah grafik fungsi probabilitas dan fungsi distribusi dari distribusi

1. Normal dengan rata-rata 4 dan standar deviasi 2

2. Exponential dengan rata-rata 0.5

3. Weibull dengan parameter bentuk 2 dan parameter skala 1.

5.3 Modifikasi Grafik

Tampilan grafik yang dihasilkan dalam S-Plus sangat canggih. Misalkan

kita akan membuat beberapa grafik yang ditampilkan dalam satu windows grafik

atau menampilkan beberapa plot dalam satu grafik. Untuk menjelaskan dalam

membuat tampilan beberapa grafik dalam satu windows grafik dilakukan sebagai

berikut.

>par(mfrow=c(2,3))

23

> plot(x,dexp(x),type=”l”)

> plot(x,dweibull(x,2,1),type=”l”)

> plot(x,dexp(x,2),type=”l”)

> plot(x,pexp(x),type=”l”)

> plot(x,dexp(x,3),type=”l”)

> plot(x,dweibull(x,2,3),type=”l”)

Windows grafik yang sudah dipartisi seperti diatas dapat dipartisi ulang menjadi

ukuran lain, misalnya 2 grafik dalam satu windows. Windows grafi tidak dapat

ditutup dengan meng-klik close pada sudut kanan atas. Windows grafik hanya

dapat dinonaktifkan dengan mengetik perintah

> dev.off()

Untuk membuat tampilan beberapa plot dalam satu grafik dilakukan seperti

dalam contoh berikut.

> plot(x,dnorm(x),type=”l”,ylim=c(0,0.6),xlim=c(-4,4),xlab=”x”,

ylab=”distribusi”,col=1)

> par(new=T)

> plot(x,dnorm(x,0.5,1),type=”l”,ylim=c(0,0.6),xlim=c(-4,4),xlab=”x”,

24

ylab=”distribusi”,col=4)

Hasil yang diperoleh adalah

BAB VI

FUNGSI DALAM S-PLUS

6.1 Membuat Fungsi Dalam S-Plus

Perintah-perintah dalam S-Plus seperti mean, var, lm, t.test dan seterusnya

merupakan fungsi yang didefinisikan terlebih dahulu. S-Plus memberikan kelelu-

asaan pada kita untuk membuat fungsi sesuai kebutuhan kita. Secara umum

untuk membuat fungsi dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Misalkan kita akan membuat fungsi dengan nama ”est” maka pertama-tama

kita ketik

>fix(est)

kemudian dienter dan akan muncul layar (notepad) untuk mengetik ekspresi

fungsi.

2. Membuat algoritma dalam layar notepad tersebut dengan bahasa S-Plus.

3. Menutup dan menyimpan layar notepad.

4. Menggunakan fungsi sesuai namanya yaitu ”est”.

Sebelum komputer dimatikan, fungsi S-Plus yang telah dibuat masih terus dapat

digunakan. Untuk mengedit fungsi dapat dilakukan dengan perintah ”fix(est)”.

Jika fungsi masih akan digunakan untuk waktu berikutnya, maka fungsi dalam

notepad dapat dicopy dan disimpan dengan nama tersendiri.

S-Plus mempunyai kelebihan dalam membuat fungsi sesuai kebutuhan peneli-

ti, hal ini yang membuat peneliti cenderung memilih software statistik ini. Selain

S-Plus dapat digunakan software R yang mempunyai syntak hampir sama den-

gan S-Plus. Software statistik lain yang menyediakan layanan membuat alur

fungsi/program tersendiri adalah Macro Minitab.

25

26

6.2 Contoh Membuat Fungsi

Misalkan kita akan membuat fungsi yang outputnya berupa ringkasan mean,

variansi dan histogram dari suatu data x. Langkah pertama adalah dengan

mengetik ekspresi

>fix(est)

Pada layar notepad yang muncul diketik fungsi sebagai berikut.

Kemudian layar tersebit ditutup dan disimpan. Untuk mencoba menggunakan

fungsi tersebut, kita dapat memanfaatkan data hasil simulasi monte carlo. Mis-

alkan kita punya data x yang terdiri dari 200 data dari distribusi normal standar

berdasarkan simulasi monte carlo,

>x< −rnorm(200)

maka untuk menggunakan fungsi ”est” dilakukan dengan perintah

> est(x)

mean: [1] -0.05573034

variansi: [1] 0.9541654

27

Output yang dihasilkan berupa mean, variansi dan histogram data akan tampil

dalam waktu yang bersamaan.

28

Dimiliki data nilai ujian akhir kalkulus II sebagai berikut :

74 74 82 84 83

83 73 73 74 80

82 75 81 77 77

74 81 80 71 69

Berdasarkan data di atas, dengan S-Plus lakukan uji hipotesis (α = 0.025)

1. apakah rata-rata populasinya 74

2. apakah rata-rata populasinya 75

3. apakah rata-rata populasinya 76

29

1. Dimiliki data berikut (x variabel independen dan y variabel dependen):

x 2 3 2 4 2 5 9 10 5 2 9

y 3 10 5 11 10 12 25 31 18 1 24

x 8 3 4 5 6 2 9 6 7 7

y 22 8 12 19 20 3 29 20 22 26

Berdasarkan data di atas, dengan S-Plus tentukan hal-hal berikut

(a) berikan model regresi yang cocok.

(b) buat plot data dan garis regresinya dalam satu gambar.

(c) buat plot residual terhadap x

2. Dimiliki data berikut:

y 6 10 5 11 10 12 7 8 12 11 9 8 7 9 4

x 7 8 12 14 11 13 9 10 12 13 8 5 8 7 9

Berdasarkan data di atas, dengan S-Plus tentukan hal-hal berikut

(a) jika x dan y diambil dari dua populasi saling independen, lakukan uji

hipotesis apakah rata-rata kedua populasi sama (α = 0.025) untuk

variansi kedua populasi tidak sama. Apa kesimpulan yang diperoleh?

(b) jika x dan y saling berpasangan, lakukan uji hipotesis apakah rata-rata

kedua sampel sama (α = 0.025). Apa kesimpulan yang diperoleh?

(c) jika x dan y saling independen, lakukan uji hipotesis apakah rata-rata

x lebih kecil dari pada rata-rata y (α = 0.025)untuk variansi kedua

populasi sama. Apa kesimpulan yang diperoleh?

30

1. Bangkitkan data sampel x berukuran 100 yang diambil dari distribusi ekspo-

nensial dengan rata-rata 5. Kemudian bangkitkan data sampel e berukuran

100 yang diambil dari distribusi normal dengan rata-rata nol dan variansi

4. Hitung nilai y dengan rumus y = 2 + 3x + e.

2.