SOLUSI PERSAMAAN LINIER, LANJAR, INTERPOLASI DAN REGRESI LINIER

PAPER

diajukan untuk tugas mata kuliah Metode Numerik

Dosen Pengampu

Yunda Kurniawan, M. Pd

Oleh

Yayah Shulhiyyah

1101125149

5 B

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

2013

A. SISTEM PERSAMAAN LINIER

Sistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah

matematika yang banyak dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu, termasuk fisika,

biologi , teknik dll. Sistem persamaan linier muncul secara langsung dari masalah

nyata, dan merupakan bagian dari proses penyelesaian masalah-masalah lain,

misalnya penyelesaian sistem persamaan non linier simultan.

Suatu sistem persamaan linier adalah sistem persamaan yang terdiri dari

sejumlah persamaan (berhingga) dan sejumlah variabel (berhingga). Mencari

solusi suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variable-variabel

tersebut, sehingga memenuhi semua sistem persamaan tersebut. Terdapat dua

metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier yaitu:

a)        Metode langsung, yang terdiri dari metode eliminasi Gauss, metode eliminasi

Gauss-Jordan, metode invers matriks dan metode dekomposisi LU.

b)        Metode tak langsung yaitu metode iterasi, yang terdiri dari metode iterasi Jacobi

dan metode iterasi Gauss-Seidel, dimana dalam metode iterasi ini harus diberikan

solusi awal ( merupakan tebakan ).

Aplikasi matriks yang disusun dalam bentuk matriks(SPL) meliputi aturan

Crammer, Eliminasi Gauss, Invers Matriks,dimana penggunaan metode-metode

tersebut digunakan dalam teknik kimia untuk menyelesaikan persamaan neraca

massa yang penyelesaiannya sesuai dengan sifat-sifat operasi matriks. Tetapi,

penggunaan metode tersebut juga memiliki kelemahannya. Untuk mengatasi

kekurangannya maka, kita menggunakan metode yang lain, yaitu analisis

Dekomposisi Nilai Singular atau Singular Value Decomposition (SVD).

Secara umum persamaan linier :

                        A11X1   + A12X2 + A13X3 + .... + A1nXn               =                   b 1

                                A21X1+ A22X2 + A23X3 + . . . . + A2nX4               =         b2

                           :                                                          :

                                An1X1 + An2X1+ An3X3 + . . . . + An4X4              =          bn

Catatan : Jumlah variabel yang dicari harus sama dengan jumlah persamaan .

 Beberapa metode di dalam menyelesaikan persamaan linear dengan

pendekatan matriks, antara lain:

a. Metoda eliminasi gauss

b. Metoda gauss jordan

c. Metoda gauss seidel

d. Metode Jacoby

B. SISTEM PERSAMAAN LANJAR

Sistem persamaan lanjar (SPL) dengan dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut

a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn= b1

a21 x1 + a22 x2 + .... + a2n xn= b2

: :: :an1 x1 + an2 x2 + .... + ann xn= bn

C. INTERPOLASI

1. Beda HinggaMisalkan diberikan suatu tabel nilai-nilai numeris fj = f(xj) dari suatu fungsi fpada titik-titik yang berjarak sama,x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x0 + 3h, …dengan h > 0 tetap.Fungsi f(xi) bisa berupa hasil suatu rumus atau nilai yang diperoleh secara empiris dari percobaan.Beda-beda pertama dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiapnilai fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalam tabel.Beda-beda kedua dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiap nilaibeda pertama dari fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalam tabel.Seterusnya sehingga dalam tabel beda, setiap beda dimasukan ke dalamkolom yang sesuai, ditengah-tengah antara elemen-elemen kolomsebelumnya dari mana beda itu dibangun. Titik (koma) desimal dan nolpemula dari beda-beda itu boleh dihilangkan

SOAL : Tentukan himpunan penyelesaian dari x3 + 2x2 – 3x + 4 = 0 untuk

= 0,00001 dengan menggunakan metode interpolasi linear?

JAWABAN:

1. Pilih dua titik sembarang sehingga nilainya tandanya berkebalikan, yaitu:

xn = 2 f(2) = 6

xn + 1 = 3 f(3) = 49

2. Menghitung nilai x* = xn + 1

f (xn + 1 ) ⋅ (xn + 1 − xn)f ( xn + 1 )− f (xn )

= 3

49 ⋅ (3 −(−2 ) )49− (−6 )

= 2.20887

Dengan mengulangi langkah di atas, maka diperoleh tabel sebagai berikut:

No

xn xn+1 x* f(xn) f(xn+1) f(x*)

1 -2 3 -1.45455 -6 49 2.20887

2 -2 -1.45455 -1.60132 -6 2.20887 0.59169

3 -2 -1.60132 -1.63711 -6 0.59169 0.13606

4 -2 -1.63711 -1.64515 -6 0.13606 0.03017

5 -2 -1.64515 -1.64693 -6 0.03017 0.00663

6 -2 -1.64693 -1.64732 -6 0.00663 0.00146

7 -2 -1.64732 -1.64740 -6 0.00146 0.00032

8 -2 -1.64740 -1.64742 -6 0.00032 0.00007

9 -2 -1.64742 -1.64743 -6 0.00007 0.00002

10 -2 -1.64743 -1.64743 -6 0.00002 0.00000

D. REGRESI LINIER

5 b0+15b2+28 b3=22(1)

15 b0+55 b2+101b3=81(2)

28b0+101b2+186b3=149(3)

Penyelesaian dengan Invers Matriks

Menurut penurunan dari Least squarest Method diperoleh

persamaan linier yang telah disusun dalam bentuk matriks bujur sangkar

dan matriks kolom untuk 2 variabel dan terjadi 3 persamaan linier

simultan :

[ n ∑ X1 ∑ X2

∑ X1 ∑ X12 ∑ X 1 X2

∑ X2 ∑ X2 X1 ∑ X 22 ] .[b0

b1

b2]=[ ∑Y

∑ X1Y

∑ X2Y ]Dan persamaan (1), (2), dan (3) bila disusun dalam sistem matriks akan diperoleh

hasil sebagai berikut :

[ 5 15 2815 55 10128 101 186] .[b0

b1

b2]=[ 22

81149]

Sehingga cofaktor matriks diperoleh : [ 29 38 −2538 146 −85

−25 −85 50 ] dan Adjoint Matrik =

[ 29 38 −2538 146 −85

−25 −85 50 ]. Adjoint Matrik = Cofaktor Matrik, karena matriks persamaan

diatas adalah matriks simetris. Dan determminan matriks = 15.

[b0

b1

b2]=[ 5 15 28

15 55 10128 101 186]

−1

. [ 2281

149]1

15 [ 29 38 −2538 146 −85

−25 −85 50 ] . [ 2281

149]=[−0,6−0,2

1 ]Dengan demikian nilai koefisien persamaan regresi berganda adalah :

b0=−0,6 b1=−0,2 b2=1. Sehubungan dengan ini maka diperoleh persamaan

Regresi Linier Multiple untuk contoh persoalan diatas adalah sebagai berikut :

Y=−0,6−0,2 X1+ X2

Penyelesaian dengan aturan Cramer

Penyelesaian dengan metode ini adalah berbasis pada besarnya

determinan, dengan matriks-matriks sebagai berikut :

M=[ 5 15 2815 55 10128 101 186]; M 1=[ 22 15 28

81 55 101149 101 186];

M 2=[ 5 22 2815 81 10128 149 186]; M 3=[ 5 15 22

15 55 8128 101 149]

b0=det M 1

detM=−0,6 b1=

det M 2

detM=−0,2 b2=

det M 3

detM=1

dengandemikian Persamaan Regresi Linier Berganda yangdiperoleh adalah

Y=−0,6−0,2 X1+ X2

Penyelesaian Dengan Metode Eliminasi Gaus

Dengan menggunakan persamaan linier (1), (2), (3), maka dilakukan langkah

pengerjaan berikut: Langkah Normalisasi persamaan, yaitu: persamaan (1) dibagi

koefisien terdepan, yaitu 5 menjadi persamaan: b0 + 3b1 +5,6b2 = 4,4 (1a)

Persamaan (1a) dikalikan elemen pertama dari persamaan (2), yaitu 15, maka

menjadi: 15b0 + 45b1 +84b2 = 66 (1b)

Akhirnya persamaan (2) dikurangi persamaan (1b) menjadi 10bj + 17b2 = 15 (1c)

Langkah selanjutnya yaitu persamaan hasil normalisasi yaitu persamaan (1a)

dikalikan elemen pertama dari persamaan (3), maka diperoleh: 28b0 +

84bt+156,8b2 = 123,2 (1d) Persamaan (1d) di atas dikurangkan terhadap

persamaan (3) diperoleh persamaan : 17b1 + 29,2b2 = 25,8 (1e). Dengan demikian

penyelesaian persamaan yang melibatkan (1e) dan (1c) akan menjadi:

b1 = -0,2 dan b2 = 1. Hasil ini disubstitusikan pada persamaan (1), (2), (3)

sehingga di dapat nilai b0 = -0,6 . Sehubungan dengan ini maka diperoleh

persamaan Regressi Linier Multiple untuk contoh persoalan di atas yaitu sebagai

berikut : Y=−0,6−0,2 X1+ X2

Penyelesaian dengan Metode Iterasi Gauss Seidel

Pertama-tama dilakukan pengaturan nilai awal terlebih dahulu, yaitu :

b0=b1=b2=0.

Perhitungan Iterasi pertama:

b0=22−28 b2−15b1

5=22−0−0

5=4,4

b1=81−101 b2−15 b0

55=

81−101 (0 )−15 (4,4 )55

=0,2727

b2=149−101 b1−28 b0

186=

81−101(0,2727)−28 (4,4)186

=−0,009369355

Perhitungan Iterasi Kedua :

b0=22−28 b2−15b1

5=

22−0(−0,009369355)−15 (0,2727)5

=3,634

b1=81−101 b2−15 b0

55=

81−101 (−0,009369355 )−15 (3,643 )55

=0,49884

b2=149−101 b1−28 b0

186=

81−101(0,49884)−28 (3,634)186

=−0,01685

Eror b0=3,634−4,4

3,634=−0,21=−21 % ,

Eror b1=0,49884−0,2727

0,49884=0,4533=45,33 %

Eror b2=−0,01685−(−0,009369)

−0,01685=0,44397=44,397 %

Perhitungan Iterasi Ketiga

b0=22−28 b2−15b1

5=

22−0(−0,01685)−15 (0,49884)5

=2,99784

b1=81−101 b2−15 b0

55=

81−101 (−0,01685 )−15 (2,99784 )55

=0,68607

b2=149−101 b1−28 b0

186=

81−101(0,68607)−28 (2,99784)186

=−0,02275586

Eror b0=2,99784−3,634

2,99784=−0,21226=−21,226 % ,

Eror b1=0,68607−0,49884

0,68607=0,2729=27,29 %

Eror b2=−0,02275586−(−0,01685)

−0,02275586=0,2595=25,9531%

Perhitungan Iterasi Keempat :

b0=22−28 b2−15b1

5=

22−0(−0,02275586)−15(0,68607)5

=2,469222

b1=81−101 b2−15 b0

55=

81−101 (−0,02275586 )−15 (2,469222 )55

=0,841090903

b2=149−101 b1−28 b0

186=

81−101(0,68607)−28 (2,99784)186

=−0,02275586

Eror b0=−21,4 %

Eror b1=18,43 %

Eror b2=16,819 %

Demikian seterusnya hingga iterasi ke 4099, diperoleh hasil sebagai berikut:

b0=−0,599606138 , b1=−0,198503445 , b2=0,99912806

Eror b0=−0,00011%

Eror b1=0,00130868 %

Eror b2=0,000151486 %

Maka diperoleh persamaan Regresi Linier dengan metode Iterasi Gauss

Seidel, sebagai berikut :

Y=−0,599606138−0,198503445 X1+0,99912806 X2

Dari beberapa materi metode numerik di atas, semua sistem persamaannya dapat

diselesaikan dengan beberapa metode di bawah ini:

1. Metode Eliminasi Gauss

Penjelasan

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam

matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan

operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat

digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan

menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke

dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks

baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel

tersebut.

 

Kelebihan dan Kekurangan

Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi

selama eliminasi, dengan beberapa tahap

Keuntungan :

-          menentukan apakah sistem konsisten

-          menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka

-          ebih mudah untuk memecahkan

kelemahan :

-          memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal

Contoh Soal :Diketahui persamaan linearx + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 92x + y + 2z = 12Tentukan Nilai x, y dan zJawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:1      2       1           61       3     2         92       1     2        12Operasikan Matriks nya:1     2     1     60     1     1     32     1     2     1                 Baris ke-2 dikurangi baris ke-1 

  1     2     1    60     1     1     3

0    -3     0     0                 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1 

  1     1    1     60     1     1    3

0     0     3    9                   Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2 

  1     2    1     60     1    1     3

0    0    1      3                   Baris ke-3 dibagi dengan 3 Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitux + 2y + z = 6y + z = 3z = 3  Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:y + z = 3y + 3 = 3y = 0x + 2y + z = 6x + 0 + 3 = 6x = 3Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3 

2. Eliminasi Gauss-Jordan

 

   

 

   

 

   

Penjelasan

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan

linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-

Jordan untuk menghormati CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini

sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh

Jordan di tahun 1887.

Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang

tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya

menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form).

Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-

Jordan ini dapat

Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi,

yaitu menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh

nilai dari suatu variable yang bebas.

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya

lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari

eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat

digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan

menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk

mengubah matriks

   A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

 

Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah

koefisien-

koefisien dari sistem persamaan linier..

Sedangkan langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :

1.Menukar posisi dari 2 baris.

Ai ↔Aj

2.Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.

Ai = k*Aj

3.Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah:

1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 :

Bila ya :

pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti

perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa

penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan

4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n

 

Kelebihan dan Keuntungan :

Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks

augmentasi. merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat

menyelesaikan matriks invers

 Contoh soal:1.      Diketahui persamaan linearx + 2y + 3z = 32x + 3y + 2z = 32x + y + 2z = 5Tentukan Nilai x, y dan zJawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 11     2     3    30    -1   -4   -30    -3   -4   -1       Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-11     2    3    30    -1   -4   -40     0    8    8       Baris ke-3 dikurangi 3 kali baris ke-21     2     3     30     1     4     30     0     1     1     Baris ke-3 dibagi 8 dan baris ke-2 dibagi -1

1     2     3     30     1     0    -10     0     1     1     Baris ke-2 dikurangi 4 kali baris ke-31     2     0    00     1     0   -10     0     1    1       Baris ke-1 dikurangi 3 kali baris ke-31     0     0     20     1     0    -10         0      1     1Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris keMaka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 12.      A  =   3   1                     5   2     Tentukan Nilai dari A-1?Jawab:A-1 =                1               2            -1                (3)(2) – (5)(1)       -5           3         =           1               2      -1                6 – 5            -5     3 =   1         2     -1     1         -5     3 

  =     2     -1        -5    3

Contoh kasus:

2x1 +2x2 +x3 = 43x1 -x2 +x3 =1x1 +4x2 -x3 =2

langkah #1 ubah kebentuk matrix2 2 1 43 -1 1 11 4 -1 2

Langkah #2 satu-kan nilai kolom 1 R1

1 1 0,5 2 R1 : 23 -1 1 11 4 -1 2

langkah #3 nol-kan nilai kolom 1 R2 dan R31 1 0,5 20 -4 -0,5 -5 R2-3R1'

       

 

 

 

 

0 3 -1,5 0 R3-R1

langkah #4 satu-kan nilai kolom 2 R21 1 0,5 20 1 0,125 1,25 R2'/-4

3 -1,5 0

langkah #5 nol-kan nilai kolom 2 R1 dan R31 0 0,375 0,75 R1'-R2''0 1 0,125 1,250 0 -1,875 -3,75 R3'-3R2''

langkah #6 satu-kan nilai kolom 3 R31 0 0,375 0,750 1 0,125 1,250 0 1 2 R3''/-0,375

langkah #7 nol-kan nilai kolom 3 R1 dan R21 0 0 0 R1''-0,375R30 1 0 1 R2'''-0,125R30 0 1 2

3. Metode Gauss Seidel dan Jacoby

Suatu sistem persamaan linier terdiri atas sejumlah berhingga persamaan

linear dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem

persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel yang belum diketahui

yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.

Rumus iterasi untuk hampiran ke-k pada metode iterasi Gauss-Seidel

adalah sebagai berikut. Untuk i = 1, 2, …, n dan k = 1, 2, 3, …,

Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang

digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan sering

dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah

satu metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal

dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun

langkah konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan

persamaan linear berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.

Metode ini ditemukan oleh matematikawan yang berasal dari Jerman,Carl Gustav

Jakob Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an.

contoh soal

4x-y+z = 74x-8y+z = -21-2z+y+5z = 15DenganPsolusi = (x,y,z) = (2,4,6)

P0 = (x,y,z) = (1,2,2)Carilah galat/error dengan mengunakan  metode iterasi jacoby dan gauss seidel sampai 3 iterasi??/jawabanMetode Iterasi Jacoby x,y,z = 1,2,2

Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

Metode Iterasi Gauss Seidel

Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

DAFTAR PUSTAKA

http://iragitawulandari.wordpress.com/2012/12/15/metode-gauss-jordan/

http://ansoriwae87.wordpress.com/2012/11/30/metode-iterasi-jacoby-dan-gauss-seidel/

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196909291994122-

http://mathsoal.wordpress.com/