Solusi Persamaan Gelombang 1
8
1.1.1 Solusi Persamaan Gelombang 1-Dimensi Persamaan gelombang dimensi satu yang menyatakan getaran senar yang direntangkan sejajar sumbu-x dengan panjang L dinyatakan oleh persamaan ∂ 2 y ∂t 2 =c 2 ∂ 2 y ∂x 2 ...( 5) Karena ujung-ujung dawai simpangannya nol maka kita mempunyai dua syarat batas yaitu y ( 0 ,t )=0 dan y ( L,t) =0 ... ( 6) Bentuk gerakan dawai akan bergantung pada simpangan awal dan kecepetan transversal awal. Diandaikan simpangan awal adalah f(x) dan kecepatan transversal awal adalah g(x). Dengan demikian kita mempunyai dua syarat awal, yaitu a) Simpangan awal y ( x, 0 )=f ( x) dengan f ( 0) =f ( 1 )=0 . . . (7) b) Kecepatan transversal awal ∂y ∂t ( x, 0) =g ( x ) dengang ( 0 ) =g ( 1 ) =0 ... ( 8) karena kedua ujung dawai terikat sehingga selalu diam. Terapkan metode pemisahan variabel dengan menuliskan: y ( x,t )= X ( x) T ( t) . . . (9) Ke dalam persamaan (5) sehingga menghasilkan 1 X d 2 X dx 2 = 1 c 2 1 T d 2 T dt 2 =−k 2 Atau
description
fismat
Transcript of Solusi Persamaan Gelombang 1
1.1.1 Solusi Persamaan Gelombang 1-Dimensi
Persamaan gelombang dimensi satu yang menyatakan getaran senar yang direntangkan
sejajar sumbu-x dengan panjang L dinyatakan oleh persamaan
∂2 y∂ t2 =c2 ∂2 y
∂ x2 .. .(5)
Karena ujung-ujung dawai simpangannya nol maka kita mempunyai dua syarat batas yaitu
y (0 , t )=0 dan y ( L , t )=0 . ..(6)
Bentuk gerakan dawai akan bergantung pada simpangan awal dan kecepetan transversal
awal. Diandaikan simpangan awal adalah f(x) dan kecepatan transversal awal adalah g(x).
Dengan demikian kita mempunyai dua syarat awal, yaitu
a) Simpangan awal
y ( x , 0 )=f ( x) dengan f (0 )=f (1 )=0 . . . (7)
b) Kecepatan transversal awal
∂ y∂ t
( x , 0 )=g ( x ) dengan g (0 )=g (1 )=0 . .. (8 )
karena kedua ujung dawai terikat sehingga selalu diam.
Terapkan metode pemisahan variabel dengan menuliskan:
y ( x , t )=X ( x )T (t) . . . (9)
Ke dalam persamaan (5) sehingga menghasilkan
1X
d2 Xd x2 = 1
c2
1T
d2Td t2 =−k2
Atau
d2 Xdx2 +k2 X=0dan
d2 Tdt 2 +k2 v2 T=0 .. .(10)
Dengan k sebuah tetapan real positif. Penyelesaian persamaan differensial (10) berturut-turut
adalah
x={sin kx ,coskx ,
T={sin kvt=sin ωtsin kvt=cos ωt
Pemecahan umumnya adalah :
y ( x , t )=( P coskx+Q sin kx ) ( R coskvt+S sin kvt ) .. .(11)
Perhatian: Pada Pers. (10) kita memilih tetapan persamaan terpisahnya –k2, karena alasan
fisika, bahwa getaran dawai dinyatakan oleh fungsi cosinus dan sinus, ketimbang fungsi
eksponensial real. Jika seandainya kita memilih tetapannya 2, maka syarat batas pada ujung
tali di x = 1 hanyalah dipenuhi untuk = 0; jika 0 maka haruslah imajiner, atau 2 = –
k2, dengan k sebuah tetapan real positif seperti di atas.
Dengan menerapkan syarat batas persamaan (6.a) : y (0 , t )=0, kita dapati P = 0
sehingga pemecahan (10) menjadi :
y ( x , t )=¿ . . . (12)
Di mana tetapan Q,R dan S setelah diserap di dalam tetapan A dan B. penerapan syarat batas
(6.b) : y ( L, t )=0, memberikan :
sin kl=0atau k=n ( πL )=np ,(n=1,2,3 , …)
Sehingga pemecahan (12) menjadi :
y ( x , t )=∑n=1
∞
¿¿ . . . (13)
Tetapan An dan Bn ditentukan oleh kedua syarat awal persamaan (8). “secara sederhana,
kedua syarat awal ini berkaitan dengan cara bagaimana kita menyembunyikan dawai pada
awalnya.
Contoh Soal
1. Tentukan persamaan defleksi y(x,t) dari senar yang panjangnya π dan kedua ujungnya
diikat pada posisi tetap. Jika simpangan awalnya f(x) = 0 dan kecepatan awalnya g(x) =
(0,01 sin x), c2 =T/ρ =1.
Penyelesaian :
Persamaan Gelombang :
∂2 y∂ t2 =c2 ∂2 y
∂ x2 ;c2=Tρ=1
∂2 y∂ t2 =∂2 y
∂ x2
Syarat batas : y(0, t) = y(π, t) = 0 ; t ≥ 0
Syarat awal : y(x,0) = 0,01 sin x ; 0 ≤ x ≤ L
∂ y (x , 0)∂t
=0 ;0≤ x ≤ L
PD diselesaikan dengan metode pemisahan variable :
y ( x , t )=X ( x )T (t )
∂ y∂ t
=X ( x )T ' (t ) ∂2 y∂ t 2 =X ( x )T ' ' (t)
∂ y∂ x
=X ' ( x )T ( t ) ∂2 y∂ x
=X ' ' ( x )T (t )
Sehingga, PD menjadi : X ( x )T ' '(t ) = X ' ' ( x ) T (t )
T ' '( t)T ( t)
=X ' ' (x)X (x)
=−k2
T ' ' ( t )+k2T (t )=0→ T ( t )=A1cos kt+B1 sin kt
X ' ' ( x )+k 2 X ( x )=0 → X ( x )=A2 coskx+B2 sin kx
Persamaan differensial menjadi :
y ( x , t )=( A1 cos kt+B1 sin kt ) ( A2cos kx+B2sin kx )
Untuk syarat batas : y (0,t) = 0
y (0 , t )= ( A1 coskt +B1sin kt ) ( A2 cosk .0+B2 sin k .0 )=0
y (0 , t )= ( A1 coskt +B1sin kt ) A2=0; A2=0
Penyelesaian PD menjadi :
y ( x , t )=( A1 cos kt+B1 sin kt ) B2 sin kx=( A cos kt+B sin kt ) sin kx
Untuk syarat batas : y (π,t) = 0
y (π , t )=sin kπ ¿¿
y (π , t )=sin kπ=0
k=nππ
=n; (n=0 ,1 , 2 , …)
Penyelesaian PD menjadi :y ( x , t )=sin nx ( A cosnt+B sin nt )
Untuk syarat awal : y’ (x,0) = 0
y ' ( x , t )=sin nx ¿¿
→ sin nx ( Bn )=0
B=0
Penyelesaian PD menjadi : y ( x , t )=sin nx ¿¿
Untuk syarat awal : y (x,0) = 0,01 sin x
y ( x , t )=A sin nx cosn .0=0,01sin x
A sin nx=0,01 sin x
A=0,01 ;n=1
Penyelesaian khusus PD : y ( x , t )=0,01 sin xcos t
Latihan Soal
1. Tentukan persamaan defleksi y(x,t) dari senar yang panjangnya π dan kedua ujungnya
diikat pada posisi tetap. Jika simpangan awalnya f(x) = 0 dan kecepatan awalnya g(x) =
(0,25 sin x), c2 =T/ρ =1.
Penyelesaian
Persamaan Gelombang :
∂2 y∂ t2 =c2 ∂2 y
∂ x2 ;c2=Tρ=1
∂2 y∂ t2 =∂2 y
∂ x2
Syarat batas : y(0, t) = y(π, t) = 0 ; t ≥ 0
Syarat awal : y(x,0) = 0,25 sin x ; 0 ≤ x ≤ L
∂ y (x , 0)∂t
=0 ;0≤ x ≤ L
PD diselesaikan dengan metode pemisahan variable :
y ( x , t )=X ( x )T (t )
∂ y∂ t
=X ( x )T ' (t ) ∂2 y∂ t 2 =X ( x )T ' ' (t)
∂ y∂ x
=X ' ( x )T ( t ) ∂2 y∂ x
=X ' ' ( x )T (t )
Sehingga, PD menjadi : X ( x )T ' '(t ) = X ' ' ( x ) T (t )
T ' '( t)T ( t)
=X ' ' (x)X (x)
=−k2
T ' ' ( t )+k2T (t )=0→ T ( t )=A1cos kt+B1 sin kt
X ' ' ( x )+k 2 X ( x )=0 → X ( x )=A2 coskx+B2 sin kx
Persamaan differensial menjadi :
y ( x , t )=( A1 cos kt+B1 sin kt ) ( A2cos kx+B2sin kx )
Untuk syarat batas : y (0,t) = 0
y (0 , t )= ( A1 coskt +B1sin kt ) ( A2 cosk .0+B2 sin k .0 )=0
y (0 , t )= ( A1 coskt +B1sin kt ) A2=0; A2=0
Penyelesaian PD menjadi :
y ( x , t )=( A1 cos kt+B1 sin kt ) B2 sin kx=( A cos kt+B sin kt ) sin kx
Untuk syarat batas : y (π,t) = 0
y (π , t )=sin kπ ¿¿
y (π , t )=sin kπ=0
k=nππ
=n ; (n=0 ,1 , 2 , … )
Penyelesaian PD menjadi :y ( x , t )=sin nx ( A cosnt+B sin nt )
Untuk syarat awal :
∂ y ( x , 0 )∂ t
=0
∂ y (x , 0)∂t
=sin nx ¿¿
→ sin nx ( Bn )=0
B=0
Penyelesaian PD menjadi : y ( x , t )=sin nx ¿¿
Untuk syarat awal : y (x,0) = 0,25 sin x
y ( x , t )=A sin nx cosn .0=0,25sin x
A sin nx=0,25 sin x
A=0,25 ;n=1
Penyelesaian khusus PD : y ( x , t )=0,25 sin xcos t
2. Tentukan defleksi y(x,t) dari tali yang panjangnya L. Kedua ujungnya dipasang tetap,
kecepatan awalnya g(x) = 0 dan defleksi awalnya :
f ( x )={ 2kL
x ;0<x< L2
2kL
( L−x ) ; L2
<x<L
Penyelesaian :
Persamaan differensial gelombang untuk syarat batas y (0 , t )=0 dan y ( L , t )=0 adalah :
y ( x , t )=∑n=1
∞
¿¿
Selanjutnya dengan meninjau syarat awal pada kasus diatas
Untuk syarat awal :
∂ y ( x , 0 )∂ t
=0
∂ y∂ t
=sinnπx
l (– An .nπv
lsin
nπvtl
+Bn .nπv
lcos
nπvtl )
∂ y ( x ,0 )∂ t
=sinnπx
l (0+Bnnπv
l )=0
¿ Bnnπv
lsin
nπxl
=0
Bn=0
Sehingga persamaan diferensialnya menjadi :
y ( x , t )=∑n=1
∞
(An sinnπx
l )(cosnπvt
l )
Untuk syarat awal : y (x,0) = f (x)
y ( x , 0 )=∑n=1
∞
An sinnπx
l
Dengan koefisien An dapat dihitung melalui persamaan deret fourier sinus :
An= 2L∫
0
L
f ( x )sinnπx
Ldx
¿ 2L∫
0
L2
( 2kxL )sin
nπxL
dx+∫L2
L2 kL
(L−x )sinnπxL
dx
¿ 8k
(nπ )2sin
nπ2
Substitusi An pada penyelesaian persamaan diferensial :
y ( x , t )=8k
π2 {sinπxL
cosπvtL
−19
sin3 πx
Lcos
3πvtL
+…}
