Soal osn

Teori Bilangan

Haryono, S.Pd Hal 1

BAB I

TEORI BILANGAN

A. Bilangan Bulat

Perhatikan peta bilangan berikut :

Dari peta bilangan di atas, bilangan bulat merupakan bagian dari bilangan rasional. Berikut

adalah beberapa bilangan yang merupakan bagian dari bilangan bulat :

Bilangan Asli = {1, 2, 3, 4, … }

Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, … }

Bilangan ganjil yaitu bilangan yang tidak habis dibagi 2 = {…, -3, -1, 1, 3, 5, …}

Bilangan genap yaitu bilangan yang habis dibagi 2 atau kelipatan 2 = {…, -4, -2, 0, 2, 4, …}

Bilangan prima = {2, 3, 5, 7, … }

Bilangan Kuadrat = {0, 1, 4, 9, 16, …}

Bilangan komposit disebut juga bilangan tersusun yaitu semua bilangan asli kecuali 1 dan

bilangan prima = {4, 6, 8, 9, …}

Bilangan Fibonacci yaitu barisan bilangan dengan aturan penjumlahan dua suku sebelumnya

= {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …}

Bilangan Palindrom yaitu bilangan yang dibaca dari kiri dan kanan memiliki nilai yang sama

: {0, 1, 2, 3, …, 9, 11, 22, 33, …, 99, 121, 131, …,232, …,9889,…}

A.1 Bilangan ganjil dan genap

Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan ganjil dan genap

Real

Rasional Irasional

Bulat Pecahan

Teori Bilangan

Haryono, S.Pd Hal 2

Bilangan ganjil bilangan ganjil = bilangan genap

Bilangan ganjil bilangan genap = bilangan ganjil

Bilangan genap bilangan ganjil = bilangan ganjil

Bilangan genap bilangan genap = bilangan genap

Sifat-sifat perkalian bilangan ganjil dan genap

Bilangan ganjil bilangan ganjil = bilangan ganjil

Bilangan ganjil bilangan genap = bilangan genap

Bilangan genap bilangan ganjil = bilangan genap

Bilangan genap bilangan genap = bilangan genap

Contoh 1 :

(OSN Tingkat Kab/Kota 2003) Hasil kali suatu bilangan genap dengan suatu bilangan ganjil

adalah 840. Bilangan ganjil terbesar yang memenuhi syarat tersebut adalah ….

Solusi :

840 = 23.3.5.7

Dari tiga faktor dari 840 di atas, 3, 5 dan7 adalah tiga bilangan yang akan menghasilkan bilangan

ganjil jika dikalikan. Jadi bilangan ganjil terbesar yang memenuhi adalah 3 5 7 = 105.

Contoh 2 :

Tentukanlah bilangan prima terkecil yang membagi 20112009

+ 20092011

.

Solusi :

2009

sebanyak 2009 faktor

2011

sebanyak 2011 faktor

2011 2011 2011 ... 2011 bilangan ganjil

2009 2009 2009 ... 2009 bilangan ganjil

Jadi 20112009

+ 20092011

= bilangan ganjl + bilangan ganjil = bilangan genap

Bilangan prima terkecil yang dapat membagi bilangan genap adalah 2.

A.2 Bilangan Rasional

Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat dan pecahan, oleh karena itu

bilangan bulat dinyatakan dalam bentuk umum p

q untuk sembarang p, q bulat dan q 0.

Contoh 3 :

Teori Bilangan

Haryono, S.Pd Hal 3

Bilangan real 0,121212… adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis p

q, dimana p dan q

adalah bilangan-bilangan bulat. Jika dipilih p dan q relatif prima, berapakah p + q?

Solusi :

Misal : x = 0,121212… maka 100x = 12,121212…

100x – x = 12,121212 – 0,121212… = 12

99 12

12 4

99 33

x

x

Karena 4 dan 33 memiliki FPB = 1 atau relatif prima maka p = 4 dan q = 33 sehingga p + q = 4 +

33 = 37.

Merasionalkan bentuk akar

Bentuk-bentuk akar merupakan bagian dari bilangan irasional. Merasionalkan bentuk akar

artinya mengubah bilangan irasional menjadi rasional. Ada dua bentuk akar yang dibahas dalam

bagian ini yaitu bentuk a b atau a b dan ( ) 2a b ab . Pada bentuk pertama

a b dikatakan sekawan dengan a b sebab 2a b a b a b dan bentuk

a b sekawan dengan a b sebab a b a b a b (ingat prinsip selisih dua

kuadrat), sedangkan pada bentuk kedua perubahan tidak mengubah bentuk akar menjadi rasional

tetapi menyederhanakannya menjadi bentuk pertama. Perhatikan bentuk umum berikut :

2

2 dengan

a b ab a b

a b ab a b a b

Contoh 4 :

Bilangan yang ditunjukkan oleh 1 3

2 3adalah …

a. bilangan irasional positif d. bilangan bulat positif

b. bilangan irasional negatif e. bilangan bulat negatif

c. bilangan rasional tak bulat

Solusi : B

Teori Bilangan

Haryono, S.Pd Hal 4

Yang dirasionalkan dari soal di atas adalah penyebutnya yaitu 2 3 sehingga harus dikalikan

dengan kawannya yaitu 2 3 .

1 3 1 3 2 3

2 3 2 3 2 3

2 3 2 3 3

4 3

1 3 1 3

1

Hasil di atas menunjukkan bilangan irasional negatif.

Contoh 5 :

Sederhanakanlah 10 4 6 .

Solusi :

10 4 6 10 2 24 (mengapa?)

2 10 2 24a b ab

Dari bentuk di atas diperoleh a + b = 10 dan ab = 24. Nilai yang memenuhi yaitu a = 6 dan b = 4.

Jadi 10 2 24 6 4 6 2

B. Barisan dan deret bilangan

B.1 Barisan Aritmetika

Barisan 1 2 3, , ,..., nu u u u adalah barisan artimetika jika barisan tersebut memiliki beda yang

tetap, yaitu 2 1 3 2 1... n nb u u u u u u . Contoh barisannya 2, 5, 8, 11, dengan beda = 3.

Rumus yang berkaitan dengan barisan aritmetika

1nU a n b

Un = suku ke-n

a = suku pertama barisan

b = beda antar dua suku yang berurutan

n = banyaknya suku suatu barisan

B.2 Barisan Geometri

Teori Bilangan

Haryono, S.Pd Hal 5

Barisan 1 2 3, , ,..., nu u u u adalah barisan Geometri jika barisan tersebut memiliki rasio yang

tetap, yaitu 32

1 2 1

... n

n

u uur

u u u. Contoh barisannya 1, 2, 4, 8, … dengan rasio = 2

Rumus yang berkaitan dengan barisan geometri

1n

nU ar

Un = suku ke-n


r = rasio antar dua suku yang berurutan


B.3 Deret Aritmetika

Deret geometri merupakan jumlah suku-suku barisan aritmetika.

Barisan Aritmetika : 1 2 3, , ,..., nu u u u

Deret Aritmetika : 1 2 3 ... nu u u u

Rumus yang berkaitan dengan barisan geometri

1

1 12 1 atau

2 2n n n

n n n

S n a n b S n a U

U S S

Sn = Jumlah n suku pertama

Un = suku ke-n


b = beda antar dua suku yang berurutan


B.4 Deret Geometri

Deret Geometri merupakan jumlah suku-suku pada barisan geometri

Rumus yang berkaitan dengan deret geometri

1 untuk r 1

1

1 untuk 0 1

1

n

n

n

n

a rS

r

a rS r

r

Sn = Jumlah n suku pertama

Un = suku ke-n

Teori Bilangan

Haryono, S.Pd Hal 6

1

2

1 .33 102 198

2

33.150 4950

n nS n a U

12

11 2 3 ...2005

11 2005

2

1 4010

4009

n nn

n n

n

n

n


r = rasio antar dua suku yang berurutan


Contoh 6 :

Tentukanlah jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 3.

Solusi :

Bilangan yang dimaksud : 102, 105, 108, … , 198

1

198 102 1 3

198 1021

3

1 32 33

nU a n b

n

n

n n

Sehingga jumlah bilangannya adalah

Contoh 7 :

(OSN Tingkat Propinsi 2005). Bilangan asli n terbesar yang memenuhi 1 2 3 ...

2005n

n

adalah ….

Solusi :

11 2 3 ... 1

2n n n

Jadi

Bilangan asli terbesar yang kurangdari 4009 adalah 4008.

Contoh 8 :

Teori Bilangan

Haryono, S.Pd Hal 7

(AMC 2005). Jumlah 18 bilangan positif berurutan adalah bilangan kuadrat sempurna.

Berapakah kemungkinan jumlah terkecil?

Solusi :

Misalkan suku pertama barisan adalah a, maka barisan aritmetika dengan beda b = 1 memiliki

jumlah

1 2 ... 17 18 (1 2 3 ... 17)

18 153

9 2 17

a a a a a

a

a

Karena 9 bilangan kuadrat sempurna maka 2a + 17 harus bilangan kuadrat sempurna juga. 2a

adalah genap sedangkan 17 ganjil, sehingga jumlahnya ganjil. Bilangan kuadrat lebih dari 17

yang terkecil dan ganjil adalah 25. Dengan demikian maka jumlah terkecil dari 18 bilangan

positif berurutan adalah 9.25 = 225.

C. Keterbagian

C.1 Uji habis dibagi

Ciri-ciri bilangan yang habis dibagi n.

Habis

dibagi Ciri-ciri Contoh

2 Digit terakhir genap 9736, 333334, dst

3 Jumlah digit-digitnya habis dibagi 3 57 = 5 + 7 = 12

4 Dua digit terakhir habis dibagi 4 67392

5 Digit terakhir 0 atau 5 7235

6 Habis dibagi 2 dan 3 41874 = 4 + 1 + 8 + 7 + 4 =24,

41874 genap dan jumlahnya 24

8 Tiga digit terakhir habis dibagi 8 61312

9 Jumlah digit-digitnya habis dibagi 9 432 = 4 + 3 + 2 = 9

11 Selisih digit pada tempat ganjil dan

genap 0 atau 11

9218 = (9 + 1) – (2 +8) = 0

Contoh 9 :

(HMC 1990) Bilangan berangka 6 membentuk bilangan a1989b habis dibagi 72. Tentukan nilai a

dan b.

Solusi :

Teori Bilangan

Haryono, S.Pd Hal 8

72 = 8 9, bilangan yang habis dibagi 72 berarti juga habis dibagi 8 dan 9. Ciri bilangan yang

habis dibagi 8 adalah tiga digit terakhir habis dibagi 8 sehingga agar 89b harus habis dibagi 8

maka b = 6. Bilangannya menjadi a19896.

Ciri bilangan yang habis dibagi 9 adalah jumlah digitnya habis dibagi 9 sehingga

a19896 = a + 1 + 9 + 8 + 9 + 6 = a + 33. Agar (a + 33) habis dibagi 9 maka a = 3. Jadi a dan b

yang memenuhi adalah 3 dan 6.

Contoh 10 :

Tunjukkanlah bahwa bilangan abcabc habis dibagi 1001.

Solusi :

abcabc = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c

= 100100a + 10010b +1001c

= 1001(100a + 10b + c)

Karena 1001(100a + 10b + c) habis dibagi 1001 maka abcabc juga habis dibagi 1001.

C.2 Pembagian bersisa(kekongruenan)

Perhatikan pembagian bilangan berikut :

17 : 5 = 3 sisa 2

Bila prosedur pembagian di atas diubah ke dalam bentuk perkalian dan penjumlahan maka

akan menjadi 5 3 + 2 = 17 atau 17 = 5 3 + 2. Bila bilangan yang dibagi (dalam contoh ini

17) dimisalkan dengan a, pembagi (yaitu 5) dimisalkan p, sisa (yaitu 2) dimisalkan s dan hasil

bagi (yaitu 3) dimisalkan b, maka berlaku

a = pb + s dengan 0 s p (sisa hasil bagi tidak mungkin melebihi pembaginya)

Bentuk di atas dapat ditulis dalam bentuk lain yaitu :

a s (mod p) dibaca a kongruen dengan s modulo p

Perhatikan penggunaan berikut

34 6 (mod 7) sebab 34 : 7 memberikan sisa 6

2 -3 (mod 5) sebab agar 2 habis dibagi 5, masih kurang 3.

Sifat-sifat :

1) Jika a dan b kongruen modulo n atau a s (mod n) dan b s (mod n) maka selisih a dan

b pasti habis dibagi n atau a – b = kn dengan k A.

2) (an + b)m b

m (mod n)

Teori Bilangan

Haryono, S.Pd Hal 9

Contoh 11 :

Berapakah sisa hasil bagi jika 22011

dibagi 13?

Solusi :

Di antara 21, 2

2, 2

3, … yang memberikan sisa 1 atau -1 jika dibagi 13 adalah 2

6 = 64. Oleh

karena itu

22011

26 335 + 1

(mod 13)

64335

21(mod 13)

(5 13 – 1)335

2 (mod 13)

(-1)335

2 (mod 13)

-1 2 (mod 13)

-2 (mod 13)

11 (mod 13)

Karena 22011

11 (mod 13) maka sisa pembagiannya adalah 11.

Contoh 12 :

(OSN tingkat Propinsi 2004). Untuk bilangan bulat a dan b, <a, b> artinya bilangan bulat tak

negatif yang merupakan sisa a b jika dibagi 5. Bilangan yang ditunjukkan oleh <-3, 4> adalah

….

Solusi :

<-3, 4> = -3 4 = -12

-12 (mod 5) -2 ( mod 5)

3 (mod 5)

Jadi sisa a b adalah 3

D. Banyaknya faktor positif

Misalkan bilangan asli X dapat difaktorkan menjadi X = 31 2

1 2 3 ... na aa a

np p p p dengan p

adalah bilangan prima maka banyaknya faktor positif dari X adalah

1 2 31 1 1 ... 1na a a a .

Contoh 13 :

(OSN tingkat Kab/Kota 2004). Joko mengalikan tiga bilangan prima berbeda sekaligus. Ada

berapa faktor berbeda dari bilangan yang dihasilkan?

Solusi :

Teori Bilangan

Haryono, S.Pd Hal 10

Misalkan ketiga bilangan prima tersebut a, b, dan c dan bilangan yang dimaksud adalah X, maka

X = a b c = a1 b

1 c

1 sehingga banyak faktor positif adalah (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) =

2.2.2 = 8.

E. Materi-materi yang berkaitan dengan teori bilangan

Materi-materi dalam teori bilangan tidak hanya berkaitan dengan uraian di atas tetapi

kadang-kadang merupakan materi gabungan dengan lainnya baik berkaitan dengan aljabar,

geometri, dan kombinatorika. Pada bagian ini dibahas beberapa variasi soal yang masih berkaitan

dengan teori bilangan.

Contoh 14 :

Jika 30 1

1171

1

a

b

cd

, berapakah a + b + c + d ?

Solusi :

30 131

17 17

1 1

17

13

1 1

41

13

1 1

11

13

4

1 1

11

33

4

Dari hasil akhir di atas diperoleh nilai a = 1, b = 1, c = 3 dan d + 1 = 4 atau d = 3, sehingga

a + b + c + d = 1 + 1 + 3 + 3 = 8.

Contoh 15 :

Teori Bilangan


Untuk a, b, c dan d bilangan bulat positif, diketahui a – 1 = b + 2 = c – 3 = d + 4. Di antara a, b,

c dan d, manakah yang paling besar?

Solusi :

Misal : d = x maka c – 3 = d + 4 c = x + 7

b + 2 = c – 3 b = c – 5 = x + 2

a – 1 = b + 2 a = b + 3 = x + 5

Jadi yang paling besar adalah c.

Contoh 16 :

(Final PASIAD 2009). Nilai dari 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + … + 2005 + 2006 – 2007 –

2008 + 2009, adalah ….

a. 0 b. 2009 c. 1 d. -4

Solusi : C

1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 +… + 2005 + 2006 – 2007 – 2008 + 2009.

Perhatikan kelompok bilangan yang diberi kotak di atas. Setiap kelompok selalu bernilai 0

sehingga

1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + … + 2005 + 2006 – 2007 – 2008 + 2009 = 1 + 0 + 0 +…+ 0 = 1.

Contoh 17 :

(OSN Tingkat Propinsi 2011). Jika bilangan x dan y dibagi 4 maka bersisa 3. Jika bilangan x –

3y dibagi 4 maka bersisa …

Solusi :

x dibagi 4 bersisa 3, misalkan hasil baginya a, maka x = 4a + 3

y dibagi 4 bersisa 3, misalkan hasil baginya b, maka y = 4b + 3

Sehingga,

x – 3y = 4a + 3 – 3(4b + 3)

= 4a + 3 – 12b – 9

= 4a – 12b – 6

= 4(a – 3b) – 6

Hasil di atas menunjukkan x – 3y dibagi 4 memberikan sisa -6. Langkah berikutnya dengan

kekongruenan sehingga diperoleh

-6 (mod 4) -2 (mod 4)

2 (mod 4)

Teori Bilangan


Memberikan sisa 2.

SOAL-SOAL LATIHAN

I. PILIHAN GANDA

1. Tentukan hasil penjumlahan berikut 20 + 22 + 24 + … + 60.

a. 820 b. 840 c. 860 d. 880

2. Berapakah sisa pembagian dari 216241 + 43185 + 194327 jika dibagi oleh 5?

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4

3. Kakek memberi tahu saya pada tahun 1976, bahwa dia berumur N tahun pada tahun N

kuadrat. Tahun berapakah Kakek lahir?

a. 1892 b. 1902 c. 1908 d. 1912

4. Bila suku tengah suatu barisan aritmetika dengan 9 suku adalah 3, berapakah hasil

penjumlahan dari suku-suku barisan tersebut?

a. 21 b. 23 c. 25 d. 25

5. Seorang siswa ingin mencari hasil penjumlahan dari nomor halaman sebuah buku. Tetapi

secara tidak sengaja dia menghitung satu halaman dua kali sehingga memperoleh hasil

2000. Berapakah nomor halaman yang dia hitung dua kali?

a. 67 b. 66 c. 55 d. 47

6. Ada berapa bilangan bulat positifkah yang nilai satu pertiganya kurang dari 4?

a. 11 b. 12 c. 13 d. 14

7. Jika . . ...a b a bbbb maka nilai dari 1

0.21

1.9 22

adalah ….

a. 3

9 b.

4

9 c.

5

9 d.

6

9

8. K, L, dan M menunjukkan suatu angka yang membentuk bilangan 2 atau 3 digit.

Berapakah nilai dari ?KML LMK

KL LK

a. 9 b. 10 c. 11 d. 99

Teori Bilangan


9. Seorang pendaki mendaki sebuah gunung. Pada satu jam pertama, dia mendaki sejauh 800

m. Setiap satu jam berikutnya dia mendaki sejauh kurang dari 25 m nya. Berapa jam yang

dibutuhkan oleh pendaki tersebut jika ketinggian yang harus dicapai 5700 m?

a. 6 jam b. 8 jam c. 10 jam d. 12 jam

10. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 1

41

11

11x

.

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4

11. Gabah hasil panen sawah mempunyai kadar air 25%. Setelah dijemur kadar airnya

menyusut sebanyak 80%. Kadar air gabah tersebut adalah ….

a. 2,5% b. 5% c. 10% d. 15% e. 2%

12. Sebuah dadu digulingkan dan P adalah hasil kali kelima bilangan yang tampak. Berapakah

bilangan terbesar yang pasti bisa membagi P?

a. 6 b. 12 c. 24 d. 144 e. 720

13. Berapakah hasil penjumlahan dari digit-digit yang terbentuk dari hasil kali 22011

.52012

?

a. 2 b. 4 c. 5 d. 7 e. 10

14. Seorang pedagang kaleng memajang kaleng-kaleng dengan posisi menumpuk ke atas

dengan puncak hanya terdapat satu kaleng dan pada tumpukan di bawahnya terdapat dua

kaleng lebih banyak dari tingkatan di atasnya. Jika pada pajangan tersebut terdapat 100

kaleng, berapa jumlah tingkat pada pajangan tersebut?

a. 5 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11

15. Setiap hari, saat pagi Rahmat makan 20% permen distoplesnya. Di sore hari pada hari

kedua tersisa 32 permen. Berapa buah permen jeli mula-mula yang ada dalam toples itu ?

a. 40 b. 50 . c. 55 d. 60 d. 75

16. Berapakah nilai dari 10 10

4 11

8 4?

8 4

a. 2 b. 16 c. 32 d. 122/3

e. 512,5

17. Kuadrat dari suatu bilangan positif 500% lebih besar dari bilangan yang dimaksud. Berapa

bilangan yang dimaksud?

a. 5 b. 6 c. 7 d. 8

Teori Bilangan


18. Salah satu angka pada bilangan tiga angka adalah 2. Jika kita memindahkan angka ini di

bagian awal maka akan dihasilkan bilangan tiga angka yang lebih kecil dengan selisih 36

dari bilangan pertama. Berapa hasil penjumlahan angka-angka pada bilangan tersebut?

a. 1 b. 7 c. 9 d. 10

19. Di dalam kompetisi matematika PASIAD, Elisa mendapatkan hasil terbaik ke-50, yang

berarti juga hilangkan satu terburuk ke-50. Berapakah jumlah siswa yang ikut dalam

kompetisi tersebut?

a. 101 b. 100 c. 99 d. 98

20. Berapa banyakkah bilangan bulat positif yang memenuhi pertidaksamaan

2000 1 2005n n ?

a. 5 b. 4 c. 3 d. 2

21. Diberikan 2010 2000 a . Nilai 2010 2000 dalam bentuk a adalah ….

a. 10 – a b. 10

a c.

10

a d. 10 + a

22. Jika ppp, qr, dan kr adalah sebuah bilangan tiga angka dan dua digit, dan ppp

krqr

, maka

nilai dari p + q + r + k adalah ….

a. 11 b. 20 c. 21 d. 22

23. abac adalah sebuah bilangan 4 digit yang merupakan kuadrat dari sebuah angka 2 digit.

Jika kita naikkan semua nilai digit dari abac dengan 1 maka bilangan hasil juga merupakan

kuadrat dari angka 2 digit yang lain. Berapakah nilai dari a + b + c?

a. 2 b. 5 c. 6 d. 7

24. Bilangan-bilangan asli kurang dari 55 ditulis secara berurutan seperti berikut :

a = 123456789101112…54, urutan ke-50 dari angka-angka tersebut dari kiri adalah ….

a. 0 b. 3 c. 5 d. 9

25. Berapakah banyaknya angka 3 digit abc (dengan a ≠ 0) sehingga nilai a2 + b

2 + c

2 bisa

membagi 26?

a. 27 b. 26 c. 17 d. 16

26. 5 6 7 5 6 7 5 6 7 5 6 7 ?

a. 100 b. 102 c. 104 d. 110

Teori Bilangan


27. Terdapat 7 bilangan asli berurutan. Jumlah dari 3 bilangan pertama adalah 33. Berapakah

jumlah dari 3 bilangan terakhir?

a. 45 b. 42 c. 39 d. 37

28. Banyaknya bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 6 atau

7 tetapi tidak keduanya adalah ….

a. 469 b. 471 c. 513 d. 514 e. 557

29. Diketahui persamaan 3a b

a b. Jika a = b + 2, maka nilai a adalah ….

a. 2

3 b.

5

3 c.

8

3 d.

4

3 e.

8

5

30. Jumlahan dari 20062 – 2005

2 + 2004

2 – 2003

2 + ... + 4

2 – 3

2 + 2

2 – 1

2 = ….

a. 2.011.015 b. 2.013.021 c. 3.013.021 d. 2.009.010

31. Banyaknya bilangan antara 1 2006n yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 8x +

20y untuk suatu bilangan bulat non negatif x dan y adalah ….

a. 0 b. 1 c. 1003 d. 1507 e. 2006

32. Bentuk sederhana dari perkalian 3 5 99713 5 7 999

2 . 2 . 2 ... 2 adalah ….

a. 5

995 b.

1001

999 c.

1001

3 d.

3

1001

II. ESSAY

1. Hitunglah 54 14 5 12 2 35 32 10 7 .

2. Hitunglah 1 1 1 1

...2 3 3 4 4 5 2011 2012

.

3. Manakah yang paling besar di antara dua bilangan a dan b jika a = 37150

dan b = 215100

.

4. Bagilah 192 atas 4 bagian; bagian pertama ditambah 7 = bagian ke-2 dikurangi 7 = bagian

ke-3 dikalikan 7 = bagian ke-4 dibagi 7. Carilah keempat bilangan itu!

5. Pecahan 1997

7000 ditulis dalam bentuk desimal. Angka apakah yang ke-2012 dari tempat

desimal itu?

6. Buktikan bahwa jika P(n) = 6n + 2

n.3

n+1 + 2

n.3

n+2 habis dibagi 13 untuk setiap n bilangan

asli!

Teori Bilangan


7. Carilah bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga hasil kali dari 840 dan bilangan

itu merupakan bilangan kuadrat suatu bilangan bulat!

8. Gunakanlah semua angka 1, 3, 5, 6, 8, dan 9 satu kali secara tepat untuk mendapatkan

bilangan A dan B. Kedua-duanya A dan B terdiri dari tiga angka dan A – B adalah

bilangan positif. Carilah nilai terkecil dari A – B .

9. Bilangan 10200000 memiliki 5 nol berurutan. Berapakah banyaknya angka nol yang

berurutan pada bilangan hasil dari perkalian 1 × 2 × 3 × … × 2011.

10. Suatu bilangan n ≥ 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanya 1 dan n. Misalnya N

menyatakan perkalian 2012 bilangan prima yang pertama. Berapa banyakkah angka 0

diakhir bilangan N.

11. Tentukan bilangan prima terbesar yang merupakan faktor dari bilangan berbentuk abcabc.

12. Diketahui rumus umum dari suatu deret 1 0 1003 4, 0, dan 2. Carilah .n na a n a a

13. Misalnya N adalah bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, bersisa 1 jika dibagi

3, dan bersisa 5 jika dibagi 8. Carilah nilai N.

14. Hitunglah nilai dari 1 1 1 1

...1 2 2 3 3 4 9800 9801

.

15. Tentukan semua bilangan tiga angka sehingga nilai bilangan itu adalah 30 kali jumlah

ketiga angka itu!

16. Carilah nilai dari 2 2 2 2

1 1 1 11 1 1 ... 1

2 3 4 2012.

17. Bilangan-bilangan 2005 dan 5002 dibagi dengan bilangan prima yang sama yang terdiri

dari dua angka memberikan sisa yang sama. Carilah sisa pembagian itu!

18. Tunjukkanlah bahwa bilangan 2,314141414… adalah bilangan rasional.

19. Berapakah sisa pembagian jika 7100

dibagi 9?

20. Suatu bilangan 6 digit a1796b habis dibagi 72. Carilah semua bilangan tersebut.

21. Tentukanlah semua nilai n sehingga 5 1

7

n

n merupakan bilangan bulat.

22. Tentukan bilangan 4 digit terkecil sehingga bila bilangan itu dibagi 10 bersisa 3, dibagi 12

bersisa 5 dan dibagi 15 bersisa 8.

23. tentukan angka satuan dari 32012

.

24. Tentukanlah bilangan kuadrat berbentuk aabb.

Teori Bilangan


25. Tentukan bilangan asli terkecil yang mempunyai tepat 12 faktor positif.

26. Diberikan dua bilangan bulat berjumlah 37. Jika bilangan yang lebih besar dibagi dengan

bilangan yang lebih kecil, maka hasil baginya adalah 3 dan sisanya 5. Selisih kedua

bilangan tersebut adalah …

27. Kecepatan Tata mengerjakan tugas adalah 3 kali dari Noel. Setelah mengerjakan sebuah

pekerjaan selama 4 jam, Tata berhenti bekerja dan dilanjutkan dengan Noel sendirian dan

pekerjaan itu selesai dalam 2 jam. Berapa waktu yang diperlukan Noel jika dia harus

mengerjakan seorang diri?

28. Jika Tara pergi ke suatu tempat dengan bersepeda dan pulang dengan motor, dia akan

membutuhkan waktu 5 jam. Jika dia bersepeda motor dengan rute yang sama, dibutuhkan

waktu 3 jam. Berapa waktu yang dibutuhkan jika dia bersepeda pergi dan pulang?

29. Carilah semua pembagi genap positif dari 10000.

Soal osn

Education

Transcript of Soal osn