Soal Dan Jawaban Matriks

48
YOGI MISBAHUDIN X TKJ MATRIKS

Transcript of Soal Dan Jawaban Matriks

Page 1: Soal Dan Jawaban Matriks

YOGI MISBAHUDINX TKJ

MATRIKS

Page 2: Soal Dan Jawaban Matriks

DEFINISI MATRIKSDEFINISI MATRIKS

2222

kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.

Apakah yang dimaksud dengan Matriks ?

Page 3: Soal Dan Jawaban Matriks

NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS

3333

Nama matriks menggunakan huruf besar Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf

kecil maupun angka Digunakan kurung biasa atau kurung siku

Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.

675

231A

ihg

fed

cba

H

Page 4: Soal Dan Jawaban Matriks

NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS

4444

Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.

Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks

Notasi A = (aij)

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

A =

Dengan i = 1,2,...,m j = 1,2,...,n

Page 5: Soal Dan Jawaban Matriks

MATRIKSMATRIKS

5555

Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2

Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.

16

12

13

41

A

Page 6: Soal Dan Jawaban Matriks

NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS

6666

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

6

Baris

KolomUnsur Matriks

Matriks berukuran m x n atau berorde m x n

Page 7: Soal Dan Jawaban Matriks

MATRIKS BARIS DAN KOLOMMATRIKS BARIS DAN KOLOM

7777

Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris

Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

4121C

4

3

1

E

Page 8: Soal Dan Jawaban Matriks

MATRIKS A = BMATRIKS A = B

8888

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.

aij = bij dimana- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j

A = Bdan

A ≠ B

dan

10

42A

10

42B

510

242A

13

41B

Page 9: Soal Dan Jawaban Matriks

PENJUMLAHAN MATRIKS

9999

Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.

Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan.

dan

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

333332323131

232322222121

131312121111

bababa

bababa

bababa

BA

Page 10: Soal Dan Jawaban Matriks

PENJUMLAHAN MATRIKS

10101010

Contoh Soal

22

31

24

A

21

12

43

B

2212

1321

4234

BA

43

41

27

BA

Page 11: Soal Dan Jawaban Matriks

PENGURANGAN MATRIKS

11111111

A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.

Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan.

dan

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

333332323131

232322222121

131312121111

bababa

bababa

bababa

BA

Page 12: Soal Dan Jawaban Matriks

PENGURANGAN MATRIKS

12121212

Contoh :

043

322

101

A

243

421

111

B

204433

432212

111011

BA

200

703

210

BA

Page 13: Soal Dan Jawaban Matriks

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

13131313

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.

Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks.

[C]=k[A]=[A]k

15

83A

1*45*4

8*43*44A

420

32124A

Page 14: Soal Dan Jawaban Matriks

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

14141414

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :k(B+C) = kB + kCk(B-C) = kB-kC(k1+k2)C = k1C + k2C(k1-k2)C = k1C – k2C(k1.k2)C = k1(k2C)

Page 15: Soal Dan Jawaban Matriks

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

15151515

Contoh :

dengan k = 2, maka

K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B

12

10A

11

43B

06

106

03

53*2)

11

43

12

10(*2)(2 BA

06

106

22

86

24

20

11

43*2

12

10*222 BA

TERBUKTI

Page 16: Soal Dan Jawaban Matriks

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

16161616

Contoh :

dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka

(k1+k2)C = k1.C + k2.C

12

11C

510

55

12

11*5

12

11*)32(*)( 21 Ckk

TERBUKTI

510

55

36

33

24

22

12

11*)3(

12

11*)2()**( 21 CkCk

Page 17: Soal Dan Jawaban Matriks

PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS

17171717

Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif.

Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.

Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana

Page 18: Soal Dan Jawaban Matriks

PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS

18181818

Contoh :

0

1

3

B

11)0*1()1*2()3*3(

0

1

3

*123*

BA

123A

000

123

369

1*02*03*0

1*12*13*1

1*32*33*3

123*

0

1

3

* AB

Page 19: Soal Dan Jawaban Matriks

PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS

19191919

Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ; A³=A².A dan seterusnya

Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan)

Apabila AB = AC belum tentu B = C Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau

B=0 Terdapat beberapa hukum perkalian matriks :1. A(BC) = (AB)C2. A(B+C) = AB+AC3. (B+C)A = BA+CA4. A(B-C)=AB-AC5. (B-C)A = BA-CA6. A(BC) = (aB)C= B(aC)7. AI = IA = A

Page 20: Soal Dan Jawaban Matriks

JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS

20202020

Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n

Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol

Sifat-sifat dari matriks nol :-A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0-A*0=0, begitu juga 0*A=0.

13

41A

00

00

00

23xO

Page 21: Soal Dan Jawaban Matriks

JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS

21212121

Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D.Contoh :

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama

500

020

001

33xD

500

050

005

33xD

Page 22: Soal Dan Jawaban Matriks

JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS

22222222

Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.

Sifat-sifat matriks identitas :A*I=AI*A=A

Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol

Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol

100

010

001

D

600

210

542

A

152

043

001

B

Page 23: Soal Dan Jawaban Matriks

DETERMINAN MATRIKSDETERMINAN MATRIKS

23232323

Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan

Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar.

Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.

Page 24: Soal Dan Jawaban Matriks

NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN

24242424

Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar

Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) Jumlah det(A) disebut determinan A det(A) sering dinotasikan |A|

Page 25: Soal Dan Jawaban Matriks

NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN

25252525

Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah :

Contoh :

2221

1211

aa

aaA 21122211)det( aaaaA

31

52A 156)det( A

2221

1211)det(aa

aaA

31

52)det( A

Page 26: Soal Dan Jawaban Matriks

METODE SARRUSMETODE SARRUS

26262626

Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus

Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Page 27: Soal Dan Jawaban Matriks

METODE SARRUSMETODE SARRUS

27272727

Contoh :

Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus

det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)

= 2 +12+0+6-0-2= 18

102

311

322

A

Page 28: Soal Dan Jawaban Matriks

MINORMINOR

28282828

Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij

adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

Dinotasikan dengan Mij

Contoh Minor dari elemen a₁₁

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A3332

232211 aa

aaM

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A444342

343332

242322

11

aaa

aaa

aaa

M

Page 29: Soal Dan Jawaban Matriks

MINORMINOR

29292929

Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)

Page 30: Soal Dan Jawaban Matriks

TRANSPOSE MATRIKS

30303030

Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh A; dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.

Contoh : matriks A : berordo 2 x 3

transposenya : berordo 3 x 2

314

131A

31

13

41tA

Page 31: Soal Dan Jawaban Matriks

TRANSPOSE MATRIKS

31313131

Beberapa Sifat Matriks Transpose :

TT

TTT

TT

TTT

kAkA

ABAB

AA

BABA

).(4

).(3

).(2

).(1

Page 32: Soal Dan Jawaban Matriks

TRANSPOSE MATRIKS

32323232

Pembuktian aturan no1 :

232322222121

131312121111

232221

131211

232221

131211

bababa

bababa

bbb

bbb

aaa

aaaBA

232221

131211

bbb

bbbB

232221

131211

aaa

aaaA

2313

2212

2111

aa

aa

aa

AT

2313

2212

2111

bb

bb

bb

BT

23231313

22221212

21211111

2313

2212

2111

2313

2212

2111

baba

baba

baba

bb

bb

bb

aa

aa

aa

BA TT

TERBUKTI

23231313

22221212

21211111

)(

baba

baba

baba

BA T

Page 33: Soal Dan Jawaban Matriks

TRANSPOSE MATRIKS

33333333

Pembuktian aturan no 2 :

232221

131211

aaa

aaaA

2313

2212

2111

aa

aa

aa

AT

232221

131211

2313

2212

2111

)(aaa

aaa

aa

aa

aa

A

T

TT

TERBUKTI

Page 34: Soal Dan Jawaban Matriks

MATRIKS SIMETRI

34343434

Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.

Contoh :1. 2.

002

003

231

002

003

231

TA

A

21

12

21

12

TB

B

AAT

Page 35: Soal Dan Jawaban Matriks

INVERS MATRIKSINVERS MATRIKS

35353535

1A

IAA 1

dc

baA

ac

bd

bcadA

11

Page 36: Soal Dan Jawaban Matriks

INVERS MATRIXINVERS MATRIX

36363636

Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah :- Cari determinan dari M- Transpose matriks M sehingga menjadi- Cari adjoin matriks- Gunakan rumus

TM

))(()det(

11 MadjoinM

M

Page 37: Soal Dan Jawaban Matriks

INVERS MATRIXINVERS MATRIX

37373737

Contoh Soal :

- Cari Determinannya : det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1- Transpose matriks M

065

410

321

M

043

612

501TM

Page 38: Soal Dan Jawaban Matriks

INVERS MATRIXINVERS MATRIX

38383838

- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor matriksnya

- Hasilnya :

==> ==>

145

41520

51824

145

41520

51824

Page 39: Soal Dan Jawaban Matriks

INVERS MATRIXINVERS MATRIX

39393939

Hasil Adjoinnya :

Hasil akhir

145

41520

51824

145

41520

51824

1

11M

145

41520

51824

Page 40: Soal Dan Jawaban Matriks

SOAL DAN JAWABANSOAL DAN JAWABAN

40404040

1. Diketahui matriks , , dan Apabila B – A = Ct, dan Ct = transpose matriks C, maka nilai x.y = ….

a. 10b. 15c. 20d. 25e. 30

Jawaban : C

41

12 A

y3

2yxB

13

27 C

Page 41: Soal Dan Jawaban Matriks

SOAL DAN JAWABANSOAL DAN JAWABAN

41414141

2. Diketahui matriks , , dan , At adalah transpose dari A. Jika At . B = C maka nilai 2x + y = ….

a. – 4b. – 1c. 1d. 5e. 7

Jawaban : C

52

03 A

1y

1-xB

515-

10 C

Page 42: Soal Dan Jawaban Matriks

SOAL DAN JAWABANSOAL DAN JAWABAN

42424242

3. Matriks X berordo ( 2 x 2 ) yang memenuhi adalah ….

a. b. c. d. e.

Jawaban :A

12

34 X

43

21

45

5-6-

54

65

54

5-6-

13-

2-4

810-

1012

Page 43: Soal Dan Jawaban Matriks

SOAL DAN JAWABANSOAL DAN JAWABAN

43434343

4. Diketahui matriks , , dan P(2x2). Jika matriiks A x P = B, maka matriks P adalah

a. b. c. d. e.

Jawaban : C

53

21A

41

2-3B

108-

1813

27-

821

108

1813-

27

821-

1214

65

Page 44: Soal Dan Jawaban Matriks

SOAL DAN JAWABANSOAL DAN JAWABAN

44444444

5. Diketahui hasil kali matriks . Nilai a + b + c + d = ….

a. 6b. 7c. 8d. 9e. 10

Jawaban : B

79

316

d

ba

21

34

c

Page 45: Soal Dan Jawaban Matriks

SOAL DAN JAWABANSOAL DAN JAWABAN

45454545

6. Diketahui matriks , , dan , Jika matriks A – B = C–1, nilai 2p = ….

a. – 1 b. –½c. ½d. 1e. 2

Jawaban : D

4p-3

9-4A

31

55p B

64-

810-

pC

Page 46: Soal Dan Jawaban Matriks

SOAL DAN JAWABANSOAL DAN JAWABAN

46464646

7. Diketahui matriks , dan A2 = xA + yB. Nilai xy = ….

a. – 4b. – 1c. – ½d. 1½e. 2

Jawaban : B

21-

32 A

104-

126 B

Page 47: Soal Dan Jawaban Matriks

PERMINTAAN MAAFPERMINTAAN MAAF

Jika ada pengertian

Yang salah dan

Pengerjaan soal

47474747

Yang kurang baik

Page 48: Soal Dan Jawaban Matriks

TERIMAKASIH

48484848