Jawablah pertanyaan berikut dengan pernyataan BENAR atau SALAH, serta berikan alasannya!

1. Jika adalah matriks dan didefinisikan, maka adalah matriks . Jawaban: Benar Karena dalam perkalian matriks, banyaknya kolom dari faktor pertama matriks harus sama seperti banyaknya baris dari faktor kedua supaya membentuk hasil kali . Bukti.

2. Jika adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks

sehingga , maka invertible dan memiliki lebih dari satu invers. Jawaban: Salah Matriks yang dapat dibalik atau invertible selalu mempunyai persis satu invers. Bukti. Sesuai dengan teorema 5, Jika baik maupun adalah invers matriks , maka Karena adalah invers , maka Dengan mengalikan kedua ruas dari sebelah kanan dengan maka akan memberikan Tetapi, Sehingga,

3. Jika dapat dibalik, maka dapat dibalik dan -1 ≠ t. Jawaban: Salah Sesuai dengan teorema, jika invertible, maka pun dapat dibalik dan -1 = t.

4. Jika sebuah matriks diperoleh dari matriks satuannya yaitu dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal maka matriks tersebut tidak akan memiliki invers. Jawaban: Salah

Sebuah matriks yang dihasilkan dari matriks satuannya melalui proses OBE tunggal merupakan sebuah matriks elementer yang dapat dibalik atau invertible. Sesuai dengan teorema, Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga matriks elementer.

5. Misalnya adalah sebuah matriks kuadrat yang tetap, maka untuk semua matriks yang berukuran , sistem persamaan

memiliki tepat satu pemecahan, yaitu Jawaban: Benar Sesuai dengan teorema. Bukti. Anggap bahwa adalah sebarang pemecahan, dan kemudian memperlihatkan bahwa harus merupakan pemecahan Jika adalah suatu pemecahan, maka

. Dengan mengalikan kedua ruas dengan , maka kita dapatkan

6. Jika adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka Jawaban: Benar Karena determinan matriks adalah sebuah jumlah semua hasil kali elementer bertanda, maka kita akan dapatkan

7. Matriks dapat dibalik atau invertible karena memiliki

determinan. Jawaban: Salah Karena baris pertama sebanding dengan baris ketiga, maka

. Selain itu, sesuai dengan teorema, Sebuah matriks kuadrat dapat dibalik jika dan hanya jika Oleh karena itu, matriks tidak memiliki invers.

8. Misalnya adalah matriks yang hanya berbeda dalam baris tunggal, maka Jawaban: Salah

Sesuai dengan teorema bahwa

9. Dengan menggunakan metode cramer, hasil dari persoalan

x1 + x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8

adalah

Jawaban: Salah

bentuk matriks A dan b

A = b =

kemudian ganti kolom j dengan matriks b

A1 = A2 = A3 =

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari

determinan dari matriks-matriks di atas

maka,

10. Matriks di bawah ini merupakan sebuah matriks tridiagonal.

=

Jawaban: Benar

MATRIKS TRIDIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen-elemennya = 0 kecuali elemen-elemen pada diagonal utama serta samping kanan dan kirinya.

Selesaikanlah persamaan-persamaan di bawah ini…

1. X + Y + 2Z = 4 2X + 3Y + 6Z = 10 3X + 6Y + 10Z = 14 a. (2, ½, 1 ) b. (2, 1, 1/2) c. (1, 1, 1/2) d. (1/2, 2, 1 ) e. (2, 2, 1/2)

2. X - 2Y + 3Z = 2

2X – 3Y + 8Z = 7 3X – 4Y + 13Z = 8 a. tidak ada solusi b. banyak solusi c. ( 7, 1, 3 ) d. (2 , 1 , 3 ) e. (1/2 , 3, 1)

3. 2X + 3Y = 3 X – 2Y = 5 3X + 2Y = 7 a. (5 , -1)

1 2 0

0

1 2 3

0

0 2 3

b. (3, -1) c. (1, -1) d. (2, -1) e. (1, 1)

4. 5X + 7Y = 3

2X + 3Y = 1 a. Tidak ada solusi b. (4, -1) c. (2, 1) d. (2, 1) e. (-1, 1)

5. 5X – X = 5

2X – 4 = 3Y a. (7, 6) b. (5, 2) c. Tidak ada solusi d. Banyak solusi e. (-5, 2)

6. X1 +2X2+3X3=9 2X1-X2+X3 =8 3X1-X2 =3 a.(2,-1,3) b.(-2,-1,3) c.(2,-1,-3) d.(1,2,3) e.(2,1,3)

7. X1-2X2+X3-4X4=1 X1+3X2+7X3+2X4=2 X1-12X2-11X3-16X4=5 a.(5,0,1) b.banyak solusi c.tak ada solusi d.(5,1,1) e.(5,0,-1) 8. X+2y-3Z=4

3X-Y+5Z=2 4X+Y+(P2-14)Z=P+2 Tentukan nilai p diatas agar spl diatas solusinya banyak. a.P=4 b.P=-4 c.P≠-4 dan P≠4 d.P=±4 e.P=0 9. Tentukan matriks X bagi SPL

x =

a.

b.

c.

d.

e.

10. 2X1+X2 =5 X1+X2-3X3 =-2 3X2+X3+4X4 =3 2X3+X4 =2 a.(1, 3 , 2, -2) b.(1, 3, -2, 2) c.(1,-3 ,2, -2 ) d.(1, 3 ,2 , 2 ) e.(-1,-3 ,2 ,-2)

11. X =

a. b. c.

d. e.

12. 3X2+X3 =2 X1+X2+2X3 =-1 2X1-X2+3X3=-4 a.bukan A invers (solusi banyak) b.(4,1,3) c.(-4,1,3) d.(4,-1,3) e.tidak ada solusi 13. X+Y+2Z =4 2X+3Y+6Z=10 3X+6Y+10Z=14 a.(5,12,2) b.(-5,2,12) c.(2,12,-5) d.(12,5,-2) e.(2,12,5) 14. x – y + 2z = 0 2x + y + z = 0 5x + y + 4z = 0

a. (0, 0 , 0) b. (0, 1, 1) c. (3, 2, 1) d. (0, 1, 1) e. (1, 1, 1)

Soal Short Answer

1. Jika dan ((QT)T)T = . maka nilai dari (a + e + i)

sama dengan .. (15) 2. Nilai w yang memenuhi = adalah.. (16 atau -8)

3. det = .. (0)

4. Hasil kali semua nilai k sehingga matriks tidak

mempunyai invers adalah.. (-20)

5. Jika S = dan S1024· = , maka uv = .. (2050)

6. Diketahui N = . Hitunglah det(N2) .. (1)

7. Diketahui Z = XY sedangkan Y = dan Z = maka

determinan matriks X adalah.. (2)

8. Jika , , dan F adalah invers dari G.

Maka hitunglah nilai y .. (5) 9. Jika Λ = ; Π = maka nilai konstanta ζ yang memenuhi ΛΠ =

ζΠ , untuk ≠ 0 adalah.. (1 dan 4)

10. Diketahui matriks .

Jika fungsi Γ( = , maka determinan matriks Γ( sama dengan.. (-240)

1. Tentukan determinan dari matriks A = Jawab : det (A) = (-1)1+1 (2) + (-1)1+2 (1) + (-1)1+3 (-1)

= 2 (-14) + 9 + 12 = -7 2. Tentukan invers dari matriks berikut dengan menggunakan Operasi Baris Elementer

Jawab :

~ ~

~ ~

~ ~

2234− 23

30− 23

40

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−512112

731

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

100010001

512112

731

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

110010001

600112

731

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

61

610

010001

100112

731

361 B32 BB +−

212 BB +−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

61

610

012001

1001550731

251 B−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

61

610

051

52

001

100310731

122 BB +−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

61

610

051

52

052

51

100310111 12 BB +−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

61

610

051

52

053

51

100310201

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

61

610

21

103

52

31

154

51

100010001

23

13

32

BBBB+−

+

~ Jadi inversnya = A-1 =

3. Tentukan invers dari matriks berikut dengan menggunakan Operasi Baris Elementer Jawab :

~ ~ ~

~ ~

Jadi Inversnya = A-1 =

4. Tentukan invers dari matriks di bawah ini dengan menggunakan A-1 = (1/det A) adj A Jawab : Pertama, tentukan entri-entri adjoint matriks A, yaitu mencari dahulu semua

kofaktor-kofaktor pada entri aij matriks A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

61

610

21

103

52

31

154

51

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100010001

142021132

31 BB +− ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 101010001

010021132

32 BB ↔ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

010101001

021010132

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−

010101021

021010110132 BB +−

31 BB ↔

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

− 021101010

110010021

32322

BBBB

++−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

120101212

100010001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

120101212

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

142021132

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

431172542

M11 = (1) = 25 M21 = (-1) = -31 M31 = (1)

= 39 M12 = (-1) = -7 M22 = (1) = 13 M32= (-1)

= -12 M13 = (1) = -1 M23 = (-1) = - 2 M33 = (1)

= 6 Maka matriks kofaktor (A), yaitu

Adj (A) adalah transpose dari matriks kofaktor (A) Adj (A) = Tentukan nilai dari det(A) :

det (A) = (-1)1+1 (2) + (-1)1+2 (4) + (-1)1+3 (-5) = 2 (25) – 4 (7) – 5(-1) = 27 Maka A-1 = = 5. Tentukan invers dari matriks di bawah ini dengan menggunakan A-1 = (1/det A) adj A

Jawab : Pertama, tentukan entri-entri adjoint matriks A, yaitu mencari dahulu semua kofaktor-kofaktor pada entri aij matriks A

M11 = (1) = -2 M21 = (-1) = -3 M31 = (1) =

16

4317

4112

3172

4354 −

4152 −

3142

1754 −

1252 −

7242

61239213311725

−−−−−

62112137

393125

−−−−

−

4317

4112

3172

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

62112137

393125

271

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

92

272

271

94

2713

277

913

2731

2725

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2131041129

21104

2112

10412

M12 = (-1) = 28 M22 = (1) = 15 M32= (-1) = -

89 M13 = (1) = -11 M23 = (-1) = --3 M33 = (1) =

34

Maka matriks kofaktor (A), yaitu

Adj (A) adalah transpose dari matriks kofaktor (A) Adj (A) = Tentukan nilai dari det(A) :

det (A) = (-1)1+1 (9) + (-1)1+2 (2) + (-1)1+3 (1) = 9 (-2) – 2 (-28) + (-11) = 27 Maka A-1 =

6. Carilah invers dari ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ θ

θ

θ

θ

Sin

os

Cos

Sin - c

Jawab :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ θθ

-Sin

cos

Cos

Sin 22

Sin

cos

Cos

Sin -

1- Sin Cos

1 A

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ θ

θ

θ

θ

-Sin

cos

Cos

in s

11

23101

1341

2319

1329

10119

4129

3489163153

11282

−−−−−

34311891528

1632

−−−

−−

21104

23101

1341

2734

91

2711

2789

95

2728

2716

91

272

34311891528

1632

271

−−

−

−−

=−−

−−−

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ θ

θ

θ

θ

-Sin

cos

Cos

Sin

7. Gunakanlah aturan Cramer untuk memecahkan :

X1 + 2 X 2 + 3 X 3 = 5

2X1 + 5 X 2 + 3 X 3 = 3

X1 + 8 X 3 = 17

Jawab :

Dalam bentuk mariks, system ini dapat dituliskan sebagai Ax = B, dimana :

A = [ ]32138

50

21

X = [ ]123

XXX

B = [ ]5317

Pemecahan : A1 = [ ]32538

50

317

det (A) = -1

A2 = [ ]35138

317

21

det (A1) = -1

A3 = [ ]521317

50

21

det (A2) = 1

det (A3) = -2

Maka, X1 = 1

11=

−−

=)(A det)(A det 1

X2 = 11

1)(Adet )2(Adet

−=−

=

X3 = 212

)(Adet 3(Adet

=−−

=

8. Misalkan :

A = [ ]36114

71

23

−

−−

a. Cari semua minor

b. Cari semua kofaktor

Jawab :

a. M11 = 1

47

1− = 29

M12 = 14

23−

= -11

M13 = 7

12

3 −−

= -19

M21 = 3

46

1−

− = 21

M22 = 3

413

− = 13

M23 = 7

12

3 −−

= -19

M31 = 3

167−

= 27

M32 = 3

11

2−

− = -5

M33 = 67

12− = 19

b. Cij = (-1)1 + j Mij

C11 = (-1)1 + 1 29 = 29

C12 = (-1)1 +2 -11 = 11

C13 = (-1)1 +3 -19 = -19

C21 = (-1)2 +1 21 = -21

C22 = (-1)2 + 2 13 = 13

C23 = (-1)2 +3 -19 = 19

C31 = (-1)3 +1 27 = 27

C32 = (-1)3 +2 -5 = 5

C33 = (-1)3 +3 19 = 19

9. Dengan menggunakan operasi, baris elementer, carilah invers dari :

A = [ ]32138

50

21

Jawab :

A = [ ]32138

50

21

[ ]212

3101

10

00

38

50

21

001321BB

BB+−

+−

!!!

∼[ ]

32201

10

21

!!

35

12

00

001!321 BB +−

−−

− ~ [ ]

3

001!32101

12

25

!!

31

10

00

B−

−−

−−

∼[ ]

133233

01

12

25

!!

31

10

00

001!321 BB

BB+−+−−

−− ~ [ ]

12231

52

135

!!

01

10

00

3614!021 BB +−−

−−−

−

~ [ ]91640!00131

52

135

!!

01

10

00

−−

−−

−

Maka =

10. Kondisi apa yang harus dipenuhi oleh b1, b2, b3, agar system persamaan,

X1 + X2 + 2X3 = b1

X1 + X3 = b2

2X1 + X2 + 3X3 = b3

Menjadi Konsisten ?

Jawab :

Matriks untuk system tersebut [ ]123

13

01

12

211 bbb

~

Dengan melakukan eselon baris, maka :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

13

12

1

2110110201

bbbb

b-B2 ∼

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

13

21

1

2110110211

bbbb

b

∼ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

123

2

2

0001110

111

bbbbb

b

Jadi dari baris ketiga, matriks tersebut mempunyai pemecahan jika dan hanya Jika b1, b2, dan b3 memenuhi kondisi

B3 –b2 – b1 = 0 atau b3 = b1 + b2

- B1 + B2

2B1 + B3

B2 + B3

Dimana b1 dan b2 sebarang