Smart solution un matematika sma 2013 (skl 2.13 transformasi geometri)

of 21/21
Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Pak Anang
  • date post

    15-Apr-2017
  • Category

    Education

  • view

    513
  • download

    13

Embed Size (px)

Transcript of Smart solution un matematika sma 2013 (skl 2.13 transformasi geometri)

  • Smart Solution

    UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

    Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

    Matematika SMA (Program Studi IPA)

    Disusun oleh :

    Pak Anang

  • Halaman 88 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    2. 13. Menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih.

    Transformasi Geometri Acuan

    Translasi Pencerminan Rotasi Dilatasi Pergeseran terhadap = sebesar pusat sebesar pusat terhadap = terhadap titik (0, 0) terhadap = terhadap = + Menggunakan konsep matriks transformasi Bentuk umum

    Transformasi terhadap Titik Transformasi terhadap Kurva Bayangan (, ) adalah (, ) Substitusikan , pada fungsi kurva

    (

    ) = (

    ) (

    ) =

    1 ()

    = Matriks Transformasi 1 = Invers Matriks Transformasi

    Komposisi Transformasi Ingat ( ) artinya dikerjakan lebih dulu daripada ( 2 1) merupakan komposisi transformasi 1 dilanjutkan oleh transformasi 2 dan seterusnya sampai dengan transformasi

    Komposisi Komposisi Dua Transformasi Titik Dua Transformasi Kurva Bayangan (, ) adalah (, ) Substitusikan , pada fungsi kurva

    (

    ) = (2 1) (

    ) (

    ) = (2 1)

    1 ()

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 89

    Tabel Transformasi Geometri Translasi

    Translasi

    Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

    1. Transformasi identitas (, )

    (, ) (

    ) = (

    ) ()

    2. Translasi oleh ()

    (, ) =(

    )

    ( + , + ) () = (

    ) () + (

    )

    Pencerminan

    Pencerminan

    terhadap garis = . Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

    1. Pencerminan terhadap sumbu Y ( = 0)

    (, ) Y (, ) (

    ) = (

    ) ()

    2. Pencerminan terhadap garis =

    (, ) = ( , ) (

    ) = (

    ) ( )

    Pencerminan

    terhadap garis = . Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

    3. Pencerminan terhadap sumbu X ( = 0)

    (, ) X (, ) (

    ) = (

    ) ()

    4. Pencerminan terhadap garis =

    (, ) = (, ) (

    ) = (

    ) (

    )

    Pencerminan

    terhadap titik (., .) Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

    5. Pencerminan terhadap titik asal (0, 0)

    (, ) (0,0) (,) (

    ) = (

    ) ()

    6. Pencerminan terhadap titik (, )

    (, ) (,) ( , ) (

    ) = (

    ) ( )

    Pencerminan

    terhadap garis = Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

    7. Pencerminan terhadap =

    (, ) = (, ) (

    ) = (

    ) ()

    8. Pencerminan terhadap garis =

    (, ) = (,) (

    ) = (

    ) ()

    Pencerminan

    terhadap garis = Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

    9. Pencerminan terhadap garis =

    dimana = tan

    (, ) = (, )

    = cos2 + sin 2

    = sin 2 cos2

    () = (

    ) ()

    10. Pencerminan terhadap garis = +

    dimana = tan

    (, ) =+ (, )

    = cos2 + ( ) sin2

    = sin 2 ( ) cos2 +

    (

    ) = (

    ) (

    )

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Halaman 90 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    Rotasi

    Rotasi sebesar

    terhadap titik (., .) Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

    1. Rotasi berlawanan jarum jam terhadap pusat (0, 0)

    (, ) [,] (, )

    = cos sin

    = sin + cos

    () = (

    ) ()

    2. Rotasi berlawanan jarum jam terhadap pusat (, )

    (, ) [(,),] (, )

    = ( ) cos ( ) sin +

    = ( ) sin + ( ) cos +

    (

    ) = (

    ) ( )

    Dilatasi

    Dilatasi pusat (., .)

    faktor dilatasi Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

    1. Dilatasi [, ] (, )

    [,] (, ) (

    ) = (

    ) ()

    2. Dilatasi [(, ), ] (, )

    [(,),] (, )

    = ( ) +

    = ( ) +

    (

    ) = (

    ) ( )

    Keterangan: Transformasi terhadap titik:

    Masukkan titik (, ) ke matriks transformasi sehingga diperoleh titik bayangan transformasi (, ).

    (

    ) = (

    )

    Transformasi terhadap fungsi (kurva):

    Substitusikan dan ke fungsi sehingga fungsi baru hasil transformasi mengandung variabel dan . Untuk mempermudah gunakan invers matriks:

    (

    ) = (

    )

    1 (

    ) = (

    )

    () =

    1 (

    )

    Jika matriks transformasinya mudah diinvers menggunakan invers fungsi, maka tidak perlu menggunakan invers matriks. Mubazir.

    Keterangan warna:

    = Transformasi ACUAN. = Transformasi TURUNAN.

    (

    ) = Matriks Transformasi ACUAN

    (, ) = Persamaan Matriks Transformasinya perlu penyesuaian terhadap ACUAN.

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 91

    TRIK SUPERKILAT konsep matriks transformasi untuk pencerminan, rotasi dan dilatasi. LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi ACUAN.

    Buat dua titik, (1, 0) dan (0, 1) pada bidang koordinat Transformasikan kedua titik Tulis hasil transformasi titik ke dalam matriks kolom Selesailah matriks transformasi kita Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang transformasi geometri, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah bayangan kurva terhadap beberapa transformasi. Untuk transformasi terhadap suatu titik sepertinya peluangnya kecil untuk muncul dalam soal UN 2013 nanti. Nah, sebenarnya ada cara yang cukup mudah untuk mengingat pola matriks transformasi dari pencerminan, rotasi maupun dilatasi. Perhatikan langkah di bawah ini. Hubungan Matriks dan Transformasi

    Misalkan = (

    ) adalah matriks transformasi ,

    maka hasil dari transformasi titik (, ) adalah:

    (

    ) = (

    ) (10) = (

    )

    dan hasil dari transformasi titik (, ) adalah:

    (

    ) = (

    ) (01) = (

    )

    Sehingga proses menyusun matriks transformasi adalah dengan meletakkan titik (1, 0) dan (0, 1) pada

    bidang koordinat lalu kita transformasikan. Misalkan, (

    ) adalah hasil transformasi dari titik A sedangkan

    (

    ) adalah hasil transformasi titik B, maka matriks transformasi tersebut adalah:

    = (

    ) = (

    )

    Contohnya bagaimana?? Oke, berikut ini beberapa contoh matriks transformasi : Pencerminan terhadap sumbu Y (garis = ).

    Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis = 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi (, ). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya tetap di (, ). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis = 0) adalah:

    = (

    )

    Koordinat (, ) Koordinat (, )

    (1, 0)

    (0, 1)

    (1, 0)

    (0,1)

    (, )

    (, )

    (, )

    Y

    Y

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Halaman 92 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    Pencerminan terhadap sumbu X (garis = ).

    Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis = 0), maka titik A tidak akan berpindah, tetap di A, sehingga koordinatnya tetap di (, ). sedangkan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi (,). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis = 0) adalah:

    = (

    )

    Koordinat (, ) Koordinat (,)

    Pencerminan terhadap titik asal (0, 0).

    Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap titik asal (0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi (, ). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya menjadi (, ). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap titik asal (0, 0) adalah:

    (,) = (

    )

    Koordinat (, ) Koordinat (, )

    Pencerminan terhadap garis = .

    Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis = , maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi (, ). dan titik B akan berpindah ke kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi (, ). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis = adalah:

    = = (

    )

    Koordinat (, ) Koordinat (, )

    (, )

    (, )

    =

    (, )

    (,)

    (0, 0)

    (0, 0)

    (, )

    (, )

    =

    (, )

    (, )

    (, )

    X

    X

    (, )

    (, )

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 93

    Pencerminan terhadap garis = .

    Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis = , maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi (,). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi (, ). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis = adalah:

    = = (

    )

    Koordinat (,) Koordinat (, )

    Rotasi 90 berlawanan jarum jam dengan pusat (, ).

    Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 90 berlawanan jarum jam dengan pusat (0, 0), maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi (, ). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi (, ). Jadi matriks transformasi rotasi 90 berlawanan jarum jam dengan pusat (0, 0):

    (,) = (

    )

    Koordinat (, ) Koordinat (, )

    Rotasi 180 berlawanan jarum jam dengan pusat (, ).

    Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 180 berlawanan jarum jam dengan pusat (0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi (, ). dan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi (,). Jadi matriks transformasi rotasi 180 berlawanan jarum jam dengan pusat (0, 0):

    (,) = (

    )

    Koordinat (, ) Koordinat (,)

    =

    (, )

    (, )

    =

    (, )

    (, )

    rotasi 90 berlawanan jarum jam

    (, )

    (, )

    (, )

    (, )

    rotasi 90 berlawanan jarum jam

    rotasi 180 berlawanan jarum jam

    (, )

    (, )

    (, )

    (, )

    rotasi 180 berlawanan jarum jam

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Halaman 94 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    Rotasi 270 berlawanan jarum jam dengan pusat (, ). atau sama dengan Rotasi 90 searah jarum jam dengan pusat (, ).

    Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 270 berlawanan jarum jam dengan pusat (0, 0) atau sama dengan rotasi 90 searah jarum jam dengan pusat (0, 0), maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi (,). dan titik B akan berpindah kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi (, ). Jadi matriks transformasi rotasi 270 berlawanan jarum jam dengan pusat (0, 0) atau sama dengan rotasi 90 searah jarum jam dengan pusat (0, 0):

    (,) = (,) = (

    )

    Koordinat (, ) Koordinat (, )

    Dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar dengan pusat (, ).

    Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar dengan pusat (0, 0), maka titik A berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi (, ). dan titik B berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi (, ). Jadi matriks transformasi dilatasi faktor skala dilatasi sebesar dan pusat (0, 0):

    (,) = (

    )

    Koordinat (, ) Koordinat (, )

    rotasi 270 berlawanan jarum jam rotasi 90 searah jarum jam

    (, )

    (, )

    (, )

    (, )

    rotasi 270 berlawanan jarum jam rotasi 90 searah jarum jam

    dilatasi dengan faktor skala k

    (, )

    (, )

    (, )

    (, )

    dilatasi dengan faktor skala k

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 95

    Pencerminan terhadap garis = , dengan = .

    Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis = dengan = tan, maka titik A akan berputar sejauh 2, sehingga menjadi ( , ). dan titik B akan berputar sejauh (90 2), sehingga menjadi ( , ). Jadi matriks transformasi pencerminan terhadap garis = dengan = tan :

    = = (

    )

    Koordinat ( , ) Koordinat ( , )

    Rotasi sebesar berlawanan jarum jam dengan pusat (, ).

    Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 180 berlawanan jarum jam dengan pusat (0, 0), maka titik A akan berputar sejauh , sehingga koordinatnya menjadi ( , ). dan titik B akan berputar sejauh , sehingga koordinatnya menjadi ( , ). Jadi matriks transformasi rotasi 180 berlawanan jarum jam dengan pusat (0, 0):

    (,) = (

    )

    Koordinat ( , ) Koordinat ( , )

    Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi acuan:

    Dari semua matriks transformasi yang ada, satu hal yang penting dan yang perlu diingat adalah bagaimana konsep menyusun matriks transformasi tersebut , yaitu:

    Kolom pertama matriks transformasi adalah bayangan titik (, ) terhadap transformasi tersebut. Kolom kedua matriks transformasi adalah bayangan titik (, ) terhadap transformasi tersebut.

    = (

    ) = (

    )

    (, )

    (, )

    ( , )

    ( , )

    (, )

    ( , )

    (, )

    ( ( ), ( )) atau dengan sifat kuadran

    bisa diubah menjadi ( , )

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Halaman 96 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi TURUNAN.

    Masih ingat matriks transformasi acuan kita. Oke saya ingatkan lagi! Berikut ini matriks acuan kita. Semuanya yang berwarna biru memang serba nol! Ini acuan kita.

    Pencerminan:

    terhadap garis = (sumbu X) terhadap garis = (sumbu Y) terhadap titik (0, 0) terhadap garis = terhadap garis = +

    Rotasi

    sebesar berlawanan arah jarum jam dengan pusat (, )

    Dilatasi

    faktor dilatasi dengan pusat (, )

    Perhatikan yang saya tandai warna biru. Itu yang bisa berubah! Perhatikan perbedaannya dengan transformasi di bawah ini! Pencerminan:

    pencerminan terhadap garis = pencerminan terhadap garis = pencerminan terhadap titik (, ) pencerminan terhadap garis = +

    Rotasi

    rotasi sebesar berlawanan arah jarum jam, tapi dengan pusat rotasi titik (, )

    Dilatasi

    dilatasi dengan faktor dilatasi , tapi dengan pusat rotasi titik (, )

    Tidak perlu khawatir lagi, gunakan LOGIKA PRAKTIS seperti ini: Pertama, lakukan translasi supaya kembali ke posisi transformasi acuan. Misal rotasi sebesar , kok pusatnya di titik (, ) bukan (0, 0)?

    Maka lakukan translasi () pada titik tersebut, agar pusatnya menjadi ke (0, 0)

    ( )

    Kedua, lakukan transformasi rotasi yang dimaksud!

    (

    ) = (,) (

    )

    Ketiga, kembalikan hasil transformasi ke posisi semula dengan mentranslasi balik yaitu = ().

    (

    ) = (,) (

    ) + (

    )

    atau biasa ditulis dengan:

    (

    ) = (,) ( )

    Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi TURUNAN dari matriks transformasi ACUAN:

    Ingat bentuk matriks transformasi ACUAN, lalu lakukan translasi pada kedua variabel titik awal maupun hasil akhir, sehingga bentuk matriks transformasi TURUNAN sebagai berikut:

    (

    ) = ( )

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 97

    TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk Transformasi pada Kurva terhadap matriks transformasi = (

    ).

    Masih ingat pengerjaan transformasi pada kurva? Asyik! Kalau transformasi sebuah titik, tinggal masukin aja ke persamaan matriks transformasi. Sedangkan apabila transformasi dilakukan pada sebuah kurva, maka perlu diinvers terlebih dahulu supaya muncul bentuk = .atau = . yang kemudian akan disubstitusikan ke persamaan. Nah, ini dia bentuk persamaan matriks transformasinya.

    () =

    1 ()

    Sekarang misal bunyi soalnya seperti ini: Diketahui persamaan + + = , maka bayangan persamaan tersebut oleh transformasi yang

    bersesuaian dengan matriks (

    ) adalah . ???

    Nah, misalkan matriks transformasi adalah = (

    ) dan || adalah determinan matriks transformasi

    tersebut, maka persamaan matriks transformasi menjadi:

    () =

    1 ()

    () =

    1

    ||( ) (

    )

    Dari persamaan matriks tersebut diperoleh:

    =1

    ||( )

    =1

    ||( + )

    Substitusikan dan pada persamaan + + = 0, maka akan diperoleh:

    [1

    ||( )] + [

    1

    ||( + )] + = 0 (kalikan semua ruas dengan ||)

    ( ) + ( + ) + || = 0

    + + || = 0

    + + || = 0

    ( ) + ( ) + || = 0

    |

    | + |

    | + |

    | = 0

    TRIK SUPERKILAT:

    Jadi rumus cepat untuk bayangan garis + + = 0 terhadap matriks transformasi = (

    ):

    |

    | + |

    | + |

    | = 0

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Halaman 98 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    Tipe Soal yang Sering Muncul

    Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah titik. Contoh Soal 1:

    Bayangan dari titik (3,5) oleh transformasi = (23) adalah .

    a. (5, 8) b. (5, 2) c. (1, 2) d. (5, 2) e. (5, 8)

    Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:

    (

    ) = (

    ) + (

    ) = (

    35) + (

    23) = (

    52)

    Contoh Soal 2: Bayangan dari titik (3,5) oleh pencerminan terhadap garis = 2 adalah . a. (5, 8) b. (5, 2) c. (1, 2) d. (5, 2) e. (5, 8)

    Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan maka kita harus mengembalikan ke garis acuan yaitu = 0

    alias sumbu X, masih ingat kan matriks transformasinya?

    (

    + 2) = (

    + 2)

    (

    + 2) = (

    1 00 1

    ) (3

    (5) + 2)

    (

    + 2) = (

    1 00 1

    ) (33)

    (

    ) + (

    02) = (

    33)

    (

    ) = (

    33) (

    02)

    (

    ) = (

    31)

    Atau menggunakan pemetaan:

    (, ) = (, )

    Jadi: = = 3 = 2 = 2(2) (5) = 4 + 5 = 1

    Jadi bayangan titik tersebut adalah (3, 1) Atau menggunakan grafik. (3, 1) = 2 (3, 5)

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 99

    Contoh Soal 3: Bayangan dari titik (2, 1) oleh rotasi sebesar 45 dengan pusat (1, 2) adalah .

    a. (1 2, 2 2)

    b. (2 2, 1 2)

    c. (1 + 2, 1 2)

    d. (2 + 2, 2 2)

    e. (1 2, 2 + 2)

    Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi maka kita harus mengembalikan rotasi acuan dengan pusat (0, 0)

    masih ingat kan matriks transformasinya?

    ( 1 2

    ) = (,45) ( 1 2

    )

    ( 1 2

    ) = (cos 45 sin 45sin45 cos 45

    ) (2 11 2

    )

    ( 1 2

    ) = (

    1

    22

    1

    22

    1

    22

    1

    22

    )(31)

    (

    ) + (

    12) = (

    3

    22 +

    1

    22

    3

    22

    1

    22

    )

    (

    ) + (

    12) = (

    2

    22)

    (

    ) = (

    2

    22) (

    12)

    (

    ) = ( 1 2

    2 22)

    Contoh Soal 4: Bayangan dari titik (4, 2) oleh dilatasi dengan faktor dilatasi 2 dan pusat (0, 5) adalah . a. (8, 4) b. (8, 1) c. (8, 1) d. (8, 3) e. (8, 11)

    Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi maka kita harus mengembalikan ke dilatasi acuan pusat (0, 0)

    masih ingat kan matriks transformasinya?

    (

    5) = (,2) (

    5)

    (

    5) = (

    2 00 2

    ) (4

    2 5)

    (

    5) = (

    2 00 2

    ) (43)

    (

    ) + (

    05) = (

    86)

    (

    ) = (

    86) (

    05)

    (

    ) = (

    811)

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Halaman 100 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah titik. Bayangan dari titik (2, 0) oleh pencerminan terhadap sumbu X dan dilanjutkan dengan rotasi 90 terhadap titik asal (0, 0) adalah . a. (2, 0) b. (2, 2) c. (1, 2) d. (0, 2) e. (0, 2)

    Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi transformasi maka:

    (

    ) = (,90) (

    )

    (

    ) = (

    0 11 0

    ) (1 00 1

    ) (20)

    (

    ) = (

    0 11 0

    ) (20)

    (

    ) = (

    02)

    Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(1, 0) di transformasikan sebagai berikut: Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90, hasilnya (0, 1) Titik B(0, 1) ditransformasikan sebagai berikut: Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90, hasilnya (1, 0) Maka matriks komposisi transformasinya adalah:

    = (0 11 0

    )

    Sehingga,

    (

    ) = (

    )

    (

    ) = (

    0 11 0

    ) (20)

    (

    ) = (

    02)

    Selesai!

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 101

    Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah kurva. Contoh Soal 1:

    Bayangan dari kurva 3 2 = 7 oleh transformasi = (25) adalah .

    a. 3 2 = 3 b. 3 2 = 5 c. 3 2 = 9 d. 3 2 = 11 e. 3 2 = 23

    Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:

    (

    ) = (

    ) + (

    ) (

    ) = (

    ) (

    )

    () = (

    ) (

    )

    () = (

    ) (

    25)

    () = (

    2 5

    ) = 2 = 5

    Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 3 2 = 7, diperoleh:

    3( 2) 2( 5) = 7

    3 6 2 + 10 = 7

    3 2 + 4 = 7

    3 2 = 7 4

    3 2 = 3

    Jadi persamaan bayangannya adalah 3 2 = 3

    TRIK SUPERKILAT:

    + = =(

    )

    + = + +

    3 2 = 7 =(

    25)

    3 2 = 7 + 3(2) 2(5) 3 2 = 7 + 6 10 3 2 = 3

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Halaman 102 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    Contoh Soal 2: Bayangan dari kurva = 22 + 3 1 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah . a. = 22 + 3 1 b. = 22 + 3 1 c. = 22 3 1 d. = 22 3 1 e. = 32 2 1

    Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan terhadap sumbu Y diperoleh:

    (

    ) = (

    1 00 1

    ) ()

    = =

    =

    =

    Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan = 22 + 3 1, diperoleh:

    = 22 + 3 1

    = 2()2 + 3() 1

    = 22 3 1

    Jadi persamaan bayangannya adalah = 22 3 1.

    TRIK SUPERKILAT: Untuk transformasi pada sebuah kurva, apabila matriksnya mudah untuk diinvers maka tidak perlu menggunakan invers matriks, cukup inverskan dengan cara biasa saja. Contohnya matriks transformasi yang elemennya 0 atau 1. Gunakan invers matriks apabila matriksnya sukar untuk diinvers dengan cara biasa.

    Contoh Soal 3: Bayangan dari kurva = 42 1 oleh pencerminan terhadap rotasi sebesar sudut = dengan pusat (1, 2) adalah . a. = 42 + 16 11 b. = 42 + 16 11 c. = 42 16 11 d. = 42 16 + 11 e. = 42 16 + 11

    Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi sebesar 180 terhadap pusat (1, 2) diperoleh:

    ( 1 2

    ) = (1 00 1

    )( 1 2

    ) (

    1 2

    ) = (1 00 1

    ) ( 1 2

    )

    ( 1 2

    ) = (1 00 1

    ) ( 1 2

    )

    () + (

    12) = (

    + 1 + 2

    )

    () = (

    + 1 + 2

    ) (12)

    () = (

    + 2 + 4

    ) = + 2 = + 4

    Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan = 42 1 , diperoleh:

    = 42 1

    + 4 = 4( + 2)2 1

    + 4 = 4(2 4 + 4) 1

    = 42 16 + 16 1 4

    = 42 16 + 11

    = 42+ 16 11

    Jadi persamaan bayangannya adalah = 42 + 16 11.

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 103

    Contoh Soal 4: Bayangan dari kurva 2 = 6 1 oleh pencerminan terhadap dilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat (1, 0) adalah . a. (5, 8) b. (5, 2) c. (1, 2) d. (5, 2) e. (5, 8)

    Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi dengan faktor skala 2 terhadap pusat (1, 0) diperoleh:

    ( 1

    ) = (2 00 2

    ) ( 1) (

    1) =

    1

    4(2 00 2

    ) ( 1

    )

    () + (

    10) =

    1

    4(2 22

    )

    () =

    1

    4(2 22

    ) (10)

    () = (

    1

    2

    1

    21

    2

    ) (10)

    () = (

    1

    2 +

    1

    21

    2

    ) =

    1

    2 +

    1

    2

    =1

    2

    Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 2 = 6 1 , diperoleh:

    2 = 6 1

    2(1

    2) = 6 (

    1

    2 +

    1

    2) 1

    = 3 + 3 1

    = 3 + 2

    Jadi persamaan bayangannya adalah = 3 + 2.

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Halaman 104 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    Contoh Soal 5:

    Bayangan dari kurva 2 + 3 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (2 31 1

    ) adalah

    . a. + 3 = 0 b. 2 + + 3 = 0 c. + + 3 = 0 d. 2 3 = 0 e. + 3 = 0

    Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep matriks transformasi diperoleh:

    (

    ) = (

    2 31 1

    ) ( 1) (

    ) =

    1

    1(1 31 2

    ) (

    )

    () = (

    + 3

    + 2)

    = + 3

    = + 2

    Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 2 = 6 1 , diperoleh:

    2 + 3 = 0

    ( + 3) 2( + 2) + 3 = 0

    + 3 + 2 4 + 3 = 0

    + 2 + 3 4 + 3 = 0

    + 3 = 0

    Jadi persamaan bayangannya adalah + 3 = 0 TRIK SUPERKILAT

    Bayangan garis + + = 0 terhadap matriks transformasi = (

    ):

    |

    | + |

    | + |

    | = 0

    Bayangan garis 2 + 3 = 0 terhadap matriks transformasi = ( 2 31 1

    ):

    |1 21 1

    | + |2 31 2

    | + |2 31 1

    | = 0

    (1 (2)) + (4 (3)) + (2 (3))3 = 0

    + 3 = 0

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 105

    Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah kurva. Contoh Soal 1: Bayangan garis 2 3 + 6 = 0 oleh refleksi terhadap garis = diikuti oleh rotasi dengan pusat (0, 0) sejauh setengah putaran adalah . a. 3 2 + 6 = 0 b. 2 + 3 + 6 = 0 c. 3 2 + 6 = 0 d. 2 + 2 + 6 = 0 e. 3 + 2 + 6 = 0

    Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh:

    (

    ) = (2 1) (

    )

    (

    ) = (,180)= (

    )

    (

    ) = (

    1 00 1

    )(0 11 0

    ) ()

    (

    ) = (

    0 11 0

    )()

    () = (

    )

    =

    =

    Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 2 3 + 6 = 0 , diperoleh:

    2 3 + 6 = 0

    2() 3() + 6 = 0

    3 2 + 6 = 0

    Jadi persamaan bayangannya adalah 3 2 + 6 = 0

    Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(1, 0) dicerminkan oleh garis = dilanjutkan rotasi 180 pusat O, hasilnya (0, 1) Titik B(0, 1) dicerminkan oleh garis = dilanjutkan rotasi 180 pusat O, hasilnya (1, 0) Maka matriks komposisi transformasinya adalah:

    = (0 11 0

    )

    Sehingga,

    (

    ) = (

    0 11 0

    )()

    () = (

    )

    =

    =

    Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan 2 3 + 6 = 0 , diperoleh:

    2 3 + 6 = 0

    2() 3() + 6 = 0

    3 2 + 6 = 0

    Jadi persamaan bayangannya adalah 3 2 + 6 = 0

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Halaman 106 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    Contoh Soal 2: Bayangan garis = 2 3 + 2 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat (0, 0) dan faktor skala 3 adalah . a. 2 9 3 + 18 = 0 b. 2 9 + 3 + 18 = 0 c. 2 3 + 9 + 18 = 0 d. 2 + 9 3 18 = 0 e. 2 9 3 18 = 0

    Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh:

    (

    ) = (2 1) (

    )

    (

    ) = (,3) (

    )

    (

    ) = (

    3 00 3

    ) (1 00 1

    )()

    (

    ) = (

    3 00 3

    ) ()

    () = (

    33

    )

    =1

    3

    = 1

    3

    Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan = 2 3 + 2 , diperoleh:

    = 2 3 + 2

    1

    3 = (

    1

    3)

    2

    3(1

    3) + 2

    1

    3 =

    1

    92 + 2 (kalikan semua ruas dengan 9)

    3 = 2 9 + 18

    2 9 + 3 + 18 = 0

    Jadi persamaan bayangannya adalah 2 9 + 3 + 18 = 0

    Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut:

    Titik A(1, 0) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O, hasilnya (3, 0)

    Titik B(0, 1) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O, hasilnya (0, 3)

    Maka matriks komposisi transformasinya adalah:

    = (3 00 3

    )

    Dan seterusnya, setelah komposisi matriks transformasi ketemu maka langkah selanjutnyanya sama dengan penyelesaian cara biasa di atas.

    http://pak-anang.blogspot.com/

  • Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 107

    Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

    1. Bayangan garis 52 yx bila ditransformasi dengan matriks transformasi

    21

    53 dilanjutkan dengan

    pencerminan terhadap sumbu X adalah ....

    A. 5411 yx

    B. 524 yx

    C. 5114 yx

    D. 553 yx

    E. 5113 yx

    2. Bayangan kurva 293 xxy jika dirotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90 dilanjutkan dengan dilatasi

    dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah ....

    A. yyx 33 2

    B. yyx 32

    C. yyx 33 2

    D. xxy 33 2

    E. yxy 32

    3. Bayangan kurva 332 xxy jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O

    dan faktor skala 3 adalah ....

    A. 027392 yxx

    B. 027392 yxx

    C. 02793 2 yxx

    D. 02793 2 yxx

    E. 02793 2 xx

    4. Persamaan bayangan lingkaran 422 yx bila dicerminkan terhadap garis 2x dilanjutkan dengan

    translasi

    4

    3 adalah ....

    A. 0138222 yxyx

    B. 0138222 yxyx

    C. 0138222 yxyx

    D. 0138222 yxyx

    E. 0132822 yxyx

    Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

    TIPS SUPERKILAT:

    Bayangan garis + + = 0 terhadap matriks transformasi = (

    ):

    |

    | + |

    | + |

    | = 0

    1 = (3 51 2

    ) ; 2 =

    (1 00 1

    ) ; = 2 1 = (1 00 1

    ) (3 51 2

    ) = (3 51 2

    )

    Bayangan garis 2 5 = 0 terhadap matriks transformasi T adalah : |1 21 2

    | + |3 51 2

    | + |3 51 2

    | (5) = 0 4 11 + 5 = 0

    4 + 11 = 5

    1 = (0 11 0

    ) ; 2 = (3 00 3

    )

    2 1 = (3 00 3

    ) (0 11 0

    ) = (0 33 0

    )

    (

    ) = (

    0 33 0

    ) ()

    = 3 = 1

    3

    = 3 =1

    3

    = 3 92 (1

    3) = 3 (

    1

    3) 9 (

    1

    3)

    2

    1

    3 = 2 (dikali 3)

    = 32 3

    1 = (0 11 0

    ) ; 2 = (3 00 3

    )

    2 1 = (3 00 3

    ) (1 00 1

    ) = (3 00 3

    )

    (

    ) = (

    3 00 3

    ) ()

    = 3 =1

    3

    = 3 = 1

    3

    = 2 + 3 + 3

    (1

    3) = (

    1

    3)2

    + 3(1

    3) + 3

    1

    3 =

    1

    92 + + 3 (dikali 9)

    3 = 2 + 9 + 27

    0 = 2 + 9 + 3 + 27

    (, ) =2 (4 , )

    (34)

    (1 , + 4)

    = 1 = 1 = + 4 = 4 2 + 2 = 4 (1 )2 + ( 4)2 = 4

    2 2 + 1 + 2 8 + 16 = 4

    2 + 2 2 8 + 17 = 4

    2 + 2 2 8 + 17 4 = 0

    2 + 2 2 8 + 13 = 0

    TRIK SUPERKILAT:

    Bayangkan titik pusat (0, 0) dicerminkan terhadap = 2, akan berpindah ke (0, 4), lalu ditranslasi -3 satuan di sumbu X, dan 4 satuan di sumbu Y, maka titik tersebut sekarang berada di (1, 4).

    Jadi persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4) adalah jawaban A!!!

    http://pak-anang.blogspot.com/http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.htmlhttp://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.htmlhttp://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html