Skripsi semigrup

SKRIPSI

FAKTORISASI-U PADA RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUANYANG MEMUAT PEMBAGI NOL

( U-FACTORIZATION IN COMMUTATIVE RINGS WITH UNITY ANDZERO DIVISORS )

INDAH ZAHRATUNNISA09/283127/PA/12451

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS GADJAH MADA

YOGYAKARTA

2013

SKRIPSI


( U-FACTORIZATION IN COMMUTATIVE RINGS WITH UNITY ANDZERO DIVISORS )

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh derajatSarjana Sains Matematika


PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS GADJAH MADA

YOGYAKARTA

2013

HALAMAN PENGESAHAN

SKRIPSI


Telah dipersiapkan dan disusun oleh


Telah dipertahankan di depan Tim Pengujipada tanggal Oktober 2013

Susunan Tim Penguji

Sutopo, S.Si, M.SiPembimbing Utama Ketua Tim Penguji

Penguji

Penguji

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam Skripsi ini tidak terdapat karya yang

pernah diajukan untuk memperoleh gelar Sarjana di suatu Perguruan Tinggi, dan

sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis

atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini

dan disebutkan dalam daftar pustaka.

Yogyakarta, Oktober 2013

INDAH ZAHRATUNNISA

iii

Karya sederhana ini penulis persembahkan

untuk Ibu, Ayah, dan Adik tercinta

iv

Manjadda Wa Jada. Siapa yang bersungguh - sungguh

pasti akan berhasil. (A. Fauzi)

v

PRAKATA

Alhamdulillahirobilalamin syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan rah-

mat serta hidayah-Nya kepada penulis atas terselesaikannya skripsi ini. Sholawat

dan salam semoga senantiasa tercurah kepada junjungan, suri teladan yang mulia,

Nabi Muhammad SAW yang telah memberikan tuntunan yang sangat bijaksana pa-

da kehidupan umat manusia umumnya dan pada penulis khususnya.

Suatu hal yang luar biasa pastinya dapat menyelesaikan tugas akhir ini,

dengan perjuangan yang tidak mudah, membutuhkan keteguhan hati, kesabaran,

dan keikhlasan sehingga tertuntaskan sudah tugas akhir ini. Naik turunnya iman

seorang hamba pun sempat menghinggapi diri penulis, sehingga tersendat-sendat

dalam penyelesaiannya. Alhamdulillah atas karunia-Nya di hati selalu menggugah

untuk maju.

Terlepas dari itu semua, tak bisa dielakkan bahwa penyusunan tugas akhir

ini tak bisa lepas dari berbagai pihak atas semangatnya, kebersamaannya, serta ke-

sediaannya untuk berbagi dan melepas sejenak kejenuhan di hati.

Penulis haturkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada pihak-pihak

yang telah mencurahkan segenap tenaga, pikiran, dan semangatnya kepada penulis.

1. Ayah, Ibu serta adikku tercinta, atas seluruh doa, materi, kasih sayang dan

pengalaman hidup yang luar biasa, sehingga penulis bisa banyak memetik

hikmah dari setiap garis hidup yang ditentukan dan menjalaninya dengan

penuh rasa syukur.

2. Bapak Drs. Pekik Nurwantoro, M.S.,Ph.D selaku Dekan Fakultas MIPA Uni-

versitas Gadjah Mada.

3. Ibu Prof.Dr.Sri Wahyuni,M.S selaku Ketua Jurusan Matematika dan Bapak

Dr. Budi Surodjo, M.S selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas

MIPA Universitas Gadjah Mada.

vi

vii

4. Ibu Dr. Christiana Rini Indrati, M.Si selaku dosen wali akademik penulis.

Terimakasih atas segala pengarahan dan semangat yang selalu Ibu berikan

selama penulis belajar di Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada.

5. Bapak Sutopo S.Si., M.Si selaku dosen pembimbing skripsi penulis. Terima

kasih atas bimbingan, arahan, dan nasihat bapak selama ini. Seluruh bantuan

yang bapak berikan sangat berarti untuk penulis.

6. Seluruh Dosen di FMIPA UGM yang telah memberikan ilmu-ilmunya kepada

penulis.

7. Lisa, Vina, Hesti, Putri, Bintang, Happy, Etna selaku sahabat - sahabat penulis.

Terima kasih atas semua pengalaman, cerita, dan kebersamaanya selama ini.

8. Regi, Eko, Yudis, Joni, Dany, Adi, Edy selaku teman sepermainan penulis.

Terima kasih atas pertemanan dan canda tawa selama ini.

9. Made Tantrawan selaku tempat bertanya penulis dalam menyusun skripsi ini.

10. Oyik, Dyah, Ayu, Novi, Dwi, Danik, Nasa, Retno, Rina, Vero, Fatma, Desi

selaku teman kos penulis yang telah menemani hari - hari selama penulis di

Yogyakarta.

11. Teman - teman Program Studi Matematika UGM angkatan 2009, BEM KM

FMIPA UGM, HIMATIKA UGM, dan IPPSA Yogyakarta yang telah bersama

- sama penulis menuntut ilmu formal maupun informal. Semoga kita bisa

berjumpa lagi dilain waktu.

12. Semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang telah secara lang-

sung maupun tidak memberikan pelajaran hidup kepada penulis.

Banyak kesalahan pastinya dalam penulisan tugas akhir ini. Masukan, saran,

dan kritik demi kemajuan, dan kesempurnaan tulisan ini, demi kemaslahatan yang

membangun, demi kehidupan yang lebih sempurna dimasa yang akan datang sangat

diharapkan oleh penulis.

viii

Terakhir, hanya milik Allah SWT segala kesempurnaan. Terimakasih dan

mohon maaf atas segala kekurangannya. Semoga berguna.

Yogyakarta, Oktober 2013

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iHALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiHALAMAN PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiHALAMAN PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivHALAMAN MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vPRAKATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viDAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixDAFTAR LAMBANG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xINTISARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiI PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Maksud dan Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II DASAR TEORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1. RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN, RING IDE-

AL UTAMA , DAN DAERAH IDEAL UTAMA. . . . . . . . . . . 62.2. FAKTORISASI PADA RING KOMUTATIF . . . . . . . . . . . . . 21

III FAKTORISASI-U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1. DEFINISI DAN EKSISTENSI FAKTORISASI-U . . . . . . . . . . 343.2. PEMBENTUKAN FAKTORISASI-U . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3. RING PRESIMPLIFIABLE DAN HUBUNGANNYA DENGAN

BENTUK FAKTORISASI-U TANPA ELEMEN INESENSIAL . . 62IV PENUTUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

ix

DAFTAR LAMBANG

x A : x anggota A.x / A : x bukan anggota A. a R : Untuk setiap a anggota R. b R : Terdapat b anggota R.A X : A himpunan bagian (subset) X .A X : A himpunan bagian atau sama dengan X .N : Himpunan semua bilangan asli.

Z : Himpunan semua bilangan bulat.

Z+ : Himpunan semua bilangan bulat positif.

R : Himpunan semua bilangan real.

R+ : Himpunan semua bilangan real positif.

Q : Himpunan bilangan rasional.

Q+ : Himpunana bilangan rasional prositif.

C : Himpunan bilangan kompleks.

U(R) : Grup unit di ring R.

a1 : Invers dari a.

: Akhir suatu bukti.ni=1

Ai : Irisan himpunan Ai dengan 1 i n.mi=1

Ri : Perkalian berhingga ring Ri dengan 1 i m.

a|b : a membagi habis b.a b : a associate dengan b.< a > : Ideal yang dibangun oleh elemen a R.

< a1.a2...an > : Ideal yang dibangun oleh (a1.a2...an).

x

INTISARI

FAKTORISASI-U PADA RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN

YANG MEMUAT PEMBAGI NOL

Oleh

INDAH ZAHRATUNNISA

09/283127/PA/12451

DiberikanR ring komutatif dengan elemen satuan. Himpunan grup unit diRdinotasikan sebagaiU(R). Jika elemen bukan unit a R, maka dengan metode fak-torisasi a dapat dinyatakan sebagai a = a1a2...an dengan ai / U(R). Didefinisikanmetode lain dari faktorisasi tersebut yang beri nama Faktorisasi U dimana ele-men yang difaktorisasikan digolongkan menjadi dua jenis yaitu elemen esensial danelemen inesensial. Metode ini lebih efisien dibanding faktorisasi biasa khususnyapada pemfaktoran suatu elemen idempoten di ring komutatif dengan elemen satuanyang meumuat pembagi nol. Dijelaskan pula aturan - aturan penukaran elemen padaFaktorisasiU yang terdiri dari dua, tiga sampai empat buah elemen. Lebih lanjutdikenalkan ring presimplifiable dimana pada ring ini setiap FaktorisasiU yangterbentuk tidak memiliki elemen inesensial, dan hal ini berlaku juga pada perkalianberhingga (finite product) ring presimplifiable tersebut.

xi

ABSTRACT

U-FACTORIZATION IN COMMUTATIVE RINGS WITH UNITY AND

ZERO DIVISORS

By

INDAH ZAHRATUNNISA

09/283127/PA/12451

LetR be a commutative ring with unity. The set of units ofRwill be donatedas U(R). If a R is a nonunit then by a factorization of a mean a = a1.a2...anwhere a1, a2, ..., an / U(R). Here defined an alternate method of factorization,called a U factorization where an element of factorization are classified intotwo types of element namely essensial elements and inessensial elements. Thismethod is more efficient than usual factorization especially factoring idempotentelement in commutative ring with zero divisors. Otherwise it will be explainedthe rules of exchange elements U factorization consisting of two ,three or fourelements. The next will be introduced presimplifiable ring where in this ring anyU factorization do not have the essensial element and this applies also to thefinite product of ring.

xii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

DiberikanR ring komutatif dengan elemen satuan. Suatu elemen tak nol a R disebut pembagi nol jika terdapat 0 6= b R sedemikian sehingga ab = 0 atauba = 0. Didefinisikan daerah integral D sebagai ring komutataif dengan elemen

satuan yang tidak memuat pembagi nol. Perluasan pada ring ini terjadi saat ring

komutatif dengan elemen satuan tersebut memuat pembagi nol. Pada kedua ring

ini didefinisikan faktrorisasi elemen tak nol dan bukan unit sebagai r = a1.a2...an

dengan ai R elemen bukan unit. Metode faktorisasi ini yang kemudian memilikibeberapa kekurangan bila terjadi pada ring komutatif dengan elemen satuan yang

memuat pembagi nol.

Misalkan yang terjadi pada faktorisasi elemen 3 di Z6,ring bilangan bulat

modulo 6, dimana 3 dapat difaktorkan menjadi 3 = 3.3 = 32 atau lebih lanjut

3 = 3n untuk setiap n N. Telah diketahui bahwa Z6 merupakan ring berhingga,artinya faktorisasi biasa dari 3 ini membuat Z6 tidak dapat menerapkan sifat-sifat

ke-berhingga-an yang dimilikinya dengan baik karena bentuk faktorisasi elemen

tersebut yang relatif panjang. Oleh karena itu pada skripsi ini akan dibahas tentang

metode alternatif faktorisasi suatu elemen di ring komutatif dengan elemen satuan

yang memuat pembagi nol yang diberi nama metode FaktorisasiU yang secaragaris besar metode ini mampu mengelompokkan elemen faktorisasi yang terjadi

menjadi dua buah jenis elemen yaitu elemen esensial dan elemen inesensial.

Selanjutnya setelah mengetahui definisi dasar metode FaktorisasiU dankelebihan - kelebihannya, timbul pertanyaan tentang bagaimana eksistensi serta at-

uran - aturan yang berlaku jika suatu faktorisasi elemen akan dibawa ke bentuk

Faktorisasi U . Bagaimana jika elemen esensial dan elemen inesensial saling di

1

2tukar tempat. Apakah masih terbentuk FaktorisasiU dan apa akibatnya. Untukitu pada skripsi ini juga dijelaskan aturan - aturan pembentukan Faktorisasi Usuatu elemen mulai dari faktorisasi yang terdiri dari dua buah elemen sampai empat

buah elemen.

Hal lain yang tak kalah penting adalah tentang bagaimana hubungan metode

Faktorisasi U ini jika dilakukan pada jenis ring yang berbeda. Misalnya pa-da ring presimplifiable sebagai ring yang memiliki kedekatan definisi dengan

daerah integral. Oleh karena itu, pada skripsi ini juga diperkenalkan definisi ring

presimplifiable dan keterkaitannya dengan metode Faktorisasi U .

1.2. Perumusan Masalah

Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah:

1. Kelebihan yang dimiliki metode Faktorisasi U dibanding metode fak-torisasi biasa.

2. Definisi metode Faktorisasi U sebagai salah satu alternatif metode pem-faktoran suatu elemen.

3. Ketentuan - ketentuan yang dimiliki metode Faktorisasi U .

4. Eksistensi metode Faktorisasi U pada setiap faktorisasi suatu elemen.

5. Konsep - konsep FaktorisasiU yang terdiri dari dua, tiga dan empat buahelemen.

6. Definisi ring presimplifiable dan hubungan Faktorisasi U dengan ringtersebut .

1.3. Maksud dan Tujuan

Penulisan skripsi ini adalah untuk memenuhi salah satu syarat guna menda-

pat gelar sarjana S-1 program studi matematika Universitas Gadjah Mada. Selain

itu, tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut.

31. Dapat mengetahui kelebihan dari metode FaktorisasiU dibanding metodefaktorisasi biasa.

2. Dapat mengetahui dan memahami definisi metode Faktorisasi U danmemahami ketentuan - ketentuan yang berlaku didalamnya.

3. Dapat memastikan eksistensi metode Faktorisasi U pada setiap pemfak-toran suatu elemen.

4. Dapat mengetahui dan memahami konsep - konsep dasar Faktorisasi Uyang terdiri dari tiga buah elemen sampai empat buah elemen.

5. Dapat mengetahui dan memahami definisi ring presimplifiable dan hubun-

gannya dengan bentuk Faktorisasi U .

1.4. Tinjauan Pustaka

Tulisan pada skripsi ini secara keseluruhan mengacu pada dua jurnal yang

masing-masing ditulis oleh Nicholas Roersma (1991) dan Michael Axtell (2002)

yang berjudul U-Faktorization in Commutative Rings with Zero Divisors. Dasar

teori yang berisi definisi, teorema, lemma dan akibat tentang dasar-dasar faktorisasi

suatu elemen pada daerah integral diambil dari buku Fundamental of Abstract Al-

gebra yang ditulis oleh D.S Malik, John N.Mordeson, dan M.K Sen (1997) serta

sebagai tambahan dari buku A first Course in Abstract Algebra karanganS J.B Frai-

legh (2002), Algebra karangan Thomas W. Hungerford (2000) dan Abstract Alge-

bra karangan I.N Herstein (1999). Selanjutnya konsep faktorisasi elemen pada ring

komutatif dengan elemen satuan yang memuat pembagi nol diambil dari beberapa

jurnal yaitu Factorization in Commutative Rings with Zero Divisors jilid I dan III

yang ditulis oleh D.D Anderson dan Silvia Valdes-Leon (1996) pada jilid I serta

Ahmet G. Agargun, D.D Anderson, dan Silvia Valdes-Leon (2001) pada jilid III.

Selain kedua jurnal tersebut, konsep yang sama juga sedikit dijelaskan oleh Steven

Galovich (1978) pada jurnalnya yang berjudul Unique Factorization Rings with Ze-

ro Divisors.

4Pada skripsi ini juga dijelaskan tentang definsi ring presimplifiable yang

dibahas oleh jurnal lain selain jurnal utama di atas. Jurnal tersebut karangan A.G.

Agargun (2005) dengan judul Some Properties of Associate and Priesimplifiable

Rings karangan Manal Ghanem (2000).

1.5. Metodologi Penelitian

Metode yang digunakan penulis dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan

melakukan studi literatur yang terkait dengan faktorisasi suatu elemen di daerah in-

tegral, kemudian diperluas lagi menjadi ring komutatif dengan elemen satuan yang

memuat pembagi nol. Kedua konsep tersebut yang menjadi dasar pembahasan ten-

tang metode Faktorisasi U yang merupakan metode alternatif pemfaktoran su-atu elemen. Dijelaskan pula konsep - konsep pembentukan Faktorisasi U sertaketerkaitannya dengan ring presimplefiable. Untuk mendapatkan literatur terse-

but baik yang berupa buku maupun jurnal, penulis melakukan pencarian di perpus-

takaan dan internet yang selanjutnya didiskusikan bersama dosen pembimbing.

1.6. Sistematika Penulisan

Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, maksud dan tujuan, tinjauan

pustaka, metodologi penulisan serta sistematika penulisan.

BAB II DASAR TEORI

Pada bab ini diberikan definisi, teorema, lemma, dan contoh - contoh yang menjadi

dasar pembahasan pada bab selanjutnya.

BAB III FAKTORISASI-U

Pada Bab ini diberikan definisi dan konsep - konsep dasar metode FaktorisasiU .Diberikan pula keterkaitan bentuk Faktorisasi U dengan ring presimplifiableserta contoh - contoh terkait.

5BAB IV PENUTUP

Pada bab ini diberikan kesimpulan yang diperoleh dari materi yang dibahas pada

bab-bab sebelumnya serta saran - saran untuk penelitian lebih lanjut nantinya.

BAB II

DASAR TEORI

Pada bab ini akan dibahas tentang konsep yang mendasari pembahasan di

bab berikutnya. Konsep dasar yang dibahas pada bab ini antara lain ring komutatif

, unit, ideal,dan faktorisasi ring.

2.1. RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN, RING IDEAL UTA-

MA , DAN DAERAH IDEAL UTAMA.

Pada subbab ini akan dijelaskan beberapa jenis ring, mulai dari ring komu-

tatif dengan elemen satuan , ring ideal utama sampai daerah ideal utama. Dijelaskan

juga definisi - definisi terkait dengan ring - ring tersebut sebagai dasar pembahasan

subbab berikutnya. Dimulai dari definisi umum grup sebagai dasar definisi ring

sebagai berikut.

Definisi 2.1.1 Himpunan tak kosong G disebut grup jika pada G didefinisikan op-

erasi biner () yang memenuhi :

(1) (a, b G) a b G (Sifat tertutup terhadap operasi biner).

(2) (a, b, c G)a (b c) = (a b) c (Sifat asosiatif).

(3) (e G)(a G)a e = e a = a (Eksistensi elemen netral).

(4) (a G)(b G)a b = b a = e (Eksistensi invers setiap elemen).(Untuk selanjutnya b = a1 yang disebut sebagai invers dari a).

Jika untuk setiap elemen a, b G berlaku :

(5) a b = b a maka G disebut grup komutatif.

Selanjutnya grup G atas operasi biner () dinotasikan sebagai (G, ).

6

7Contoh 2.1.2 Berikut beberapa contoh grup.

(i). (Z,+) merupakan grup atas operasi penjumlahan bilangan bulat biasa karena

untuk setiap a, b Z memenuhi :

(a) a+ b Z (Tertutup terhadap operasi penjumlahan).

(b) a+ (b+ c) = (a+ b) + c (Sifat asosiatif penjumlahan ).

(c) terdapat elemen netral 0 sehingga a+ 0 = 0 + a = a.

(d) terdapat invers a1 = (a) sehingga a+ (a) = (a) + a = 0, dan

(e) merupakan grup abelian karena a+ b = b+ a.

(ii). (R+, )merupakan grup terhadap operasi perkalian bilangan real positif ()karena untuk setiap a, b R memenuhi :

(a) a b R (Tertutup terhadap operasi perkalian).

(b) a (b c) = (a b) c (Sifat asosiatif penjumlahan).

(c) terdapat elemen netral 1 sehingga a 1 = 1 a = a.

(d) terdapat invers a1 = (1/a) sehingga a (1/a) = (1/a) a = 1, dan

(e) merupakan grup abelian karena a b = b a.

Selanjutnya akan diberikan definisi ring, ring komutatif, dan ring komutatif

dengan elemen satuan sebagai berikut.

Definisi 2.1.3 Himpunan tak kosong R dengan dua buah operasi penjumlahan (+)

dan perkalian () disebut ring jika memenuhi :

(1) (R,+) grup komutatif.

(2) (a, b, c R) (a b)c = a(b c) (Sifat asosiatif perkalian).

(3) (a, b, c R) a(a+ b) = (a b) +(a c) dan (a+ b)c= (a c)+(b c)(Sifat distributif kiri dan kanan).

8Jika pada operasi perkalian () berlaku :

(4) (a, b R) a b = b a maka R memenuhi sifat komutatif .

(5) (a R) (1R)1R a = a1R = amakaRmemiliki elemen satuan (identitas).

Untuk selanjutnya, suatu ringR atas operasi penjumlahan (+) dan perkalian

() dinotasikan sebagai (R,+, ). Suatu himpunan R yang memenuhi sampai em-pat aksioma di atas disebut sebagai ring komutatif, dan jika himpunan R tersebut

memenuhi sampai lima aksioma di atas makaR disebut sebagai ring komutatif den-

gan elemen satuan.

Selanjutnya akan diberikan contoh ring komutatif sebagai berikut.

Contoh 2.1.4 Berikut contoh ring yang termasuk ring komutatif maupun tidak.

(i). Contoh 2.1.1 telah menerangkan bahwa (Z,+) grup komutatif, selain itu op-

erasi perkalian bilangan pada Z juga memenuhi sifat asosiatif dan distribu-

tif untuk setiap elemennya. Lebih lanjut pada Z juga berlaku sifat komu-

tatif terhadap operasi perkalian dan memiliki elemen satuan 1 Z, sehingga(Z,+, ) merupakan ring komutaif dengan elemen satuan.

(ii). Himpunan matriks ukuran 2 2 atas bilangan bulat ZM22(Z) bukan meru-pakan ring komutatif karena sifat komutatif dari operasi perkalian dua buah

matriks tidak berlaku.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenangi definisi elemen idempoten, unit,dan

teorema-teorema yang terkait lainnya.

Definisi 2.1.5 Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan. Suatu x Rdisebut elemen idempoten jika x2 = x.

Contoh 2.1.6 Elemen 3 Z6 merupakan elemen idempoten karena 32 = 3 Z6,lebih lanjut 3n = 3 Z6 untuk setiap n N.

9Definisi 2.1.7 DiberikanR ring komutatif dengan elemen satuan 1R. Elemen r Rdisebut unit jika terdapat s R sedemikian sehingga

r s = s r = 1R

Contoh 2.1.8 Pada Contoh 2.1.1 telah diterangkan bahwa (R+, ) merupakan grupabelian dan lebih lanjut (R+,+, ) merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.Dari sini didapat juga bahwa (Q+,+, ) merupakan ring komutatif dengan elemensatuan. Dapat dilihat bahwa untuk setiap bilangan rasional positif a Q+ terdapatb Q+ sedemikian sehingga a b = 1, maka setiap elemen di Q+ disebut unit.

Selain definisi dari unit, beberapa hal terkait dan berhubungan dengan materi

faktorisasi ring ini akan dijelaskan pada teorema - teorema berikut.

Teorema 2.1.9 Diberikan R ring dengan elemen satuan. U(R) disebut grup atas

operasi perkalian di R atau dapat disebut juga grup unit atas R.

Perhatikan bahwa yang dimaksud dengan U(R) grup atas operasi perkalian

di R adalah :

(i). U(R) memenuhi sifat tertutup terhadap operasi perkalian.

(ii). U(R) memiliki elemen satuan terhadap operasi perkalian.

(iii). Untuk setiap elemen U(R) memiliki invers terhadap operasi perkalian.

Bukti. Untuk membuktikan torema tersebut, akan lebih mudah jika kita memu-

lainya dari sifat ketiga, yaitu

(iii). Diambil sebarang a U(R) dan misalkan a1 merupakan invers dari a di R.Diperoleh bahwa

a1a = 1R = aa1.

Jadi, a juga merupakan invers dari a1 dan a1 U(R).

(ii). U(R) memilki 1R sebagai elemen satuan terhadap operasi perkalian.

10

(i). Diambil sebarang a, b U(R), maka terdapat invers a1, b1 U(R) se-hingga diperoleh,

(ab)(b1a1) = a(bb1)a1

= a1Ra1

= aa1

= 1R

dan

(b1a1)(ab) = b1(aa1)b

= b11Rb

= b1b

= 1R

Dari kedua bentuk di atas, maka (b1a1) merupakan invers dari ba dan ab.

Dengan begitu ba, ba U(R).

Contoh 2.1.10 Berikut beberapa contoh grup unit ada suatu ring.

1. U(Z) = {1, 1} merupakan grup unit dari ring bilangan bulat Z.

2. Pada ring matriks atas bilangan real Mn(R), terdapat grup unit yaitu seluruh

matriks atas bilangan real R berukuruan n n yang invertibel.

3. Grup unit pada ring bilangan rasionalQ didenotasikan denganQ? yang berisi

semua bilangan rasional tak nol.

Selanjutnya diperlukan definisi pembagi nol untuk mendapatkan definisi

ring komutatif dengan elemen satuan yang memuat pembagi nol sebagai berikut.

Definisi 2.1.11 Suatu elemen tak nol a atas ring R disebut:

11

(i). pembagi nol kiri jika terdapat elemen tak nol b R sedemikian sehingga

a b = 0R.

(ii). pembagi nol kanan jika terdapat elemen tak nol b R sedemikian sehingga

b a = 0R.

(iii). pembagi nol jika a merupakan pembagi nol kiri dan kanan.

Contoh 2.1.12 Diberikan Z6 ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian pada

bilangan bulat modulo 6 dengan 0 merupakan elemen netral di Z6 dan 1 merupakan

elemen satuan di Z6. Diperhatikan bahwa 0 6= 2 Z6 dan 0 6= 3 Z6 namun2.3 = 0 Z6. Artinya, 2 merupakan pembagi nol kiri dan 3 merupakan pembaginol kanan.

Lebih lanjut karena (Z6,+, ) ring komutatif, maka 2, 3 Z6 merupakanelemen pembagi nol di Z6 sehingga (Z6,+, ) merupakan ring komutatif denganelemen satuan yang memuat pembagi nol.

Dari sini dapat diperoleh definisi ring komutatif dengan elemen satuan yang

tidak memuat pembagi nol sebagai berikut.

Definisi 2.1.13 Suatu ring komutatif R dengan elemen satuan 1R yang tidak memuat

pembagi nol disebut daerah integral (Integral Domain).

Contoh 2.1.14 Berikut contoh himpunan yang merupakan daerah integral maupun

tidak.

(i) Dapat dilihat bahwa ring bilangan bulat Z merupakan daerah integral karena

ring tersebut merupakan ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak dapat

ditemukan dua buah elemen tak nol di Z yang hasil kalinya sama dengan nol.

(ii) Dapat diselidiki juga bahwa himpunan matriks berukuran 2 2 di M22(Z)bukan merupakan daerah integral karena M22(Z) tidak memenuhi sifat ko-

mutatf dari operasi perkalian dua buah matriks. Selain itu dapat juga dite-

mukan

12

1 00 0

, 0 1

0 0

M22(Z) dengan 1 0

0 0

0 10 0

= 0 0

0 0

Selanjutnya diberikan salah satu sifat yang dimiliki daerah integral namun

tidak dapat ditemukan pada ring komutatif dengan elemean satuan yang memuat

pembagi nol.

Teorema 2.1.15 Diberikan R suatu ring. Jika R tidak memiliki pembagi nol maka

memenuhi hukum kanselasi, yaitu untuk setiap a, b, c R, a 6= 0 dengan ab = acberakibat b = c (hukum kanselasi kiri) dan ba = ca berakibat b = c (hukum

kanselasi kanan). Jika salah satu hukum kanselasi berlaku maka R tidak memiliki

pembagi nol.

Bukti. () DiketahuiR ring yang tidak memuat pembagi nol. Misalkan a, b, c Rdengan ab = ac dan a 6= 0, maka berlaku

ab ac = 0 atau a(b c) = 0

Karena R daerah integral dan a 6= 0, maka diperoleh

b c = 0 atau b = c

Jadi terbukti bahwa R memenuhi hukum kanselasi kiri. Analog untuk bentuk ba =

ca dengan a 6= 0 yang menghasilkan

ba ca = 0 atau (b c)a = 0

sehingga diperoleh

b c = 0 atau b = 0.

() Diberikan suatu ring R yang memenuhi salah satu hukum kanselasi.Misalkan R memenuhi hukum kanselasi kiri, yaitu jika a, b, c R dengan a 6= 0maka ab = ac berakibat b = c. Misalkan ab = 0 maka ab = a0 menghasilkan b = 0

dari proses kanselasi a, dan jika ba = 0 dengan b 6= 0 maka ba = b0 menghasilkan

13

a = 0 dari proses kanselasi a. Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui di atas

bahwa a 6= 0. Artinya yang berlaku adalah b = 0. Dengan begitu R tidak memuatpembagi nol, yang disebut juga sebagai daerah integral.

Setelah dijelaskan definisi umum ring komutatif sampai daerah integral,

akan dijelaskan definisi ideal dan teorema - teorem terkait sebagai dasar definisi

ring ideal utama dan daerah ideal utama sebagai berikut.

Definisi 2.1.16 Jika himpunan tak kosong S subset ring R atas operasi penjumlahan

(+) dan perkalian () dengan S merupakan ring terhadap kedua operasi tersebut,maka S disebut subring atas R. Suatu subring I disebut :

(i) ideal kiri jika (r R) (s I) rs I.

(ii) ideal kanan jika (r R) (s I) sr I.

(iii) ideal jika I ideal kiri sekaligus ideal kanan.

Definisi ideal di atas menjelaskan bahwa suatu himpunan baru dapat dikata-

kan sebagai ideal setelah dia memenuhi syarat menjadi subring terlebih dahulu,

namun dengan teorema berikut akan dipersingkat melalui syarat perlu dan cukup

suatu himpunan dikatakan ideal.

Teorema 2.1.17 Suatu himpunan tak kosong I subset ring R disebut:

(i) ideal kiri jika dan hanya jika untuk setiap a, b I dan r R:

(a) a b I , dan

(b) ra I

(ii) ideal kanan jika dan hanya jika untuk setiap s, b I dan r R:

(a) a b I , dan

(b) ar I

14

Contoh 2.1.18 Diberikan ring bilangan bulat Z . Untuk suatu n Z didefinisikanI = {nk | k Z}. Jelas bahwa I 6= karena terdapat n = 1 Z sehinggaI = {1.k | k Z} dan I R. Akan dibuktikan I merupakan ideal di R denganmenggunakan Teorema 2.1.17.

(i). (a, b I) a b I .Diambil sebarang a, b I maka a, b dapat dinyatakan sebagai a = n1k danb = n2k utnuk suatu n1, n2, k Z. Diperhatikan bahwa,

a b = n1k n2k= (n1 n2)k= n3k I untuk suatu n3 Z

(ii). (a I) (r R) ab dan ba I .Diambil sebarang a I dan b Z, diperoleh

ab = n1kr = n1(kr) = n1s I

dan

ba = rn1k = n1(rk) I

Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa I ideal di Z.

Akibat 2.1.19 Diberikan {Ai|i I} himpunan ideal di ring R, makaiIAi juga

merupakan ideal.

Bukti. Diketahui {Ai|i I} 6= himpunan ideal di ringR. Jelas bahwa himpunaniIAi 6= karena untuk setiap Ai berlaku 0 Ai. Akan dibuktikan

iIAi ideal

menggunakan teorema (2.1.17). Diambil sebarang a, b iIAi, maka a, b Ai

untuk semua i I . Perhatikan bahwa Ai ideal, maka untuk semua i I a, b Ai,atau ab

iIAi. Selanjutnya diambil sebarang r R, karenaAi ideal diR maka

ra Ai untuk semua i I sehingga ra iIAi.Dengan kata lain

iIAi ideal.

15

Selanjutnya diberikan definisi ideal yang dibangun oleh suatu elemen seba-

gai berikut.

Definisi 2.1.20 Diberikan X subset ring R. Diberikan {Ai|i I} himpunan idealyang memuatX . Maka

iIAi disebut ideal yang dibangun olehX yang dinotasikan

sebagai < X >

ElemenX disebut sebagai pembangun (Generator) dari ideal (X). JikaX =

{x1, x2, ..., xn} maka ideal < X > dapat juga dinotasikan sebagai (x1, x2, ..., xn)dan merupakan generator terbatas (Finitely Generated). Suatu ideal yang dibangun

oleh sebuah elemen x disebut sebagai ideal utama, yang di notasikan sebagai< x >.

Definisi 2.1.21 DiberikanR ring komutatif dengan elemen satuan. Jika untuk setiap

ideal di R merupakan ideal utama, maka R disebut Ring Ideal Utama (Principal

Ideal Ring). Suatu daerah integral D yang merupakan ring ideal utama disebut

Daerah Ideal Utama (Principal Ideal Domain).

Salah satu contoh dari daerah ideal utama ini akan dijelaskan oleh teorema

berikut.

Teorema 2.1.22 Ring himpunan bilangan bulat Z merupakan daerah ideal utama.

Bukti. Diambil sebarang ideal I Z. Jika I = {0} maka I =< 0 > ideal utama.Selain itu I juga memuat elemen tak nol n Z dan dengan operasi perkalian oleh1,1 maka I berisi elemen n > 0. Misalkan n elemen positif terkecil di I , makaberlaku I < n >. Diambil seberang m I dengan teori sisa hasil bagi makam dapat dinyatakan sebagai m = qn + r dengan 0 r < n Karena m I danqn I maka r I . Namun karena r < n dengan n elemen positif terkecil di Imaka pasti r = 0. Dari sini berlaku bahwa m = qn untuk suatu q I . Denganbegitu I =< n >. Terbukti Z merupakan daerah ideal utama.

Selanjutnya akan dijelaskan dua buah jenis ideal, yaitu ideal prima dan ideal

maksimal serta teorema - teorema terkait sebagai berikut.

16

Definisi 2.1.23 Suatu ideal P atas ring R disebut prima jika P 6= R dan untuksetiap ideal A,B R berlaku

AB P A P atau B P

Definisi di atas dapat dijelaskan dengan lebih mudah sebagai definisi ideal

prima oleh teorema berikut.

Teorema 2.1.24 Diberikan R ring komutatif. Suatu ideal P di R merupakan ideal

prima jika dan hanya jika untuk semua a, b R berlaku

ab P a P atau b P

Contoh 2.1.25 Berikut contoh ideal yang memenuhi definisi ideal prima maupun

tidak.

(i). Pada ring atas bilangan bulat Z dapat dilihat bahwa P = {3k|k Z} meru-pakan ideal prima, karena untuk setiap a, b P berlaku ab habis dibagi 3.Perhatikan bahwa 3 merupakan bilangan prima di Z maka a habis dibagi 3

atau b habis dibagi 3, dengan kata lain a atau b merupakan bilangan kelipatan

3, sehingga a P atau b P .

(ii). Tetap pada ring bilangan bulat Z, J = {6k|k Z} bukan merupakan idealprima karena terdapat 3.2 = 6 J namun 3 / J dan 2 / J .

Selanjutnya akan diberikan salah satu sifat dari ideal prima pada teorema

berikut. Namun sebelumnya akan diberikan definisi elemen pembagi habis dan

elemen prima sebagai berikut.

Definisi 2.1.26 Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan.

(i). Suatu elemen tak nol a R disebut membagi habis b R (notasi : a|b ) jikaterdapat x R sedemikian sehingga ax = b.

(ii). Suatu elemen p disebut prima jika p tak nol dan bukan unit dan jika p|ab,dengan a, b R maka p|a atau p|b.

17

(iii). Dua buah elemen a, b R disebut relatively prime jika hanya elemen unityang merupakan faktor persekutuan dari a, b.

Contoh 2.1.27 Berikut contoh elemen - elemen di atas.

(i) Pada ring bilangan bulat Z elemen 20 dapat dituliskan dengan 20 = 2.2.5 =

2(2.5) = 2.10. oleh karena itu 2 dan 10 disebut membagi habis 20. Lebih

lanjut, 20 = (2.2)5 = 4.5 sehingga 4 dan 5 dapat disebut membagi habis 20.

(ii) Dari Contoh (i) di atas dapat dilihat bahwa 2|20 = 2|4.5 dan walaupun 2 - 5,2 merupakan elemen prima sebab 2|4.

(iii) Masih pada ring bilangan bulat Z, elemen 2 dan 3 disebut sebagai relatively

prime sebab hanya elemen unit 1 Z yang membagi habis 2 dan 3.

Selain itu ,diberikan juga definsi faktor pesekutuan terbesar (FPB) yang

akan digunakan pada beberapa pembuktian teorema selanjutnya.

Definisi 2.1.28 Diberikan R ring komutatif dan a1, a2, ..., an elemen di R dengan

tidak semua ai = 0. Suatu elemen d R disebut faktor persekutuan (commondivisor) dari a1, a2, ..., an jika d|ai untuk semua i = 1, 2, ..., n. Suatu elemend R disebut faktor persekutuan terbesar (FPB) (greatest common divisors) daria1, a2, ..., an jika:

(i). d merupakan persekutuan terbesar dari a1, a2, ..., an , dan

(ii). Jika c R faktor persekutuan dari a1, a2, ..., an maka c|d.

Contoh 2.1.29 Pada ring himpunan bilangan bulat Z elemen 75 dan 60 dapat diny-

atakan sebagai 75 = 3.5.5 = 15.5 dan 60 = 2.2.3.5 = 4.15. Dapat dilihat bahwa

3|75 dan 3|60, sehingga 15 disebut faktor persekutuan dari 75 dan 60. Lebih lanjut,dapat ditemukan 5 yang juga berlaku 3|75 dan 3|60. Selain itu 3|15 karena terdapat5 R sehingga 3.5 = 15. Dari sini 15 merupakan FPB dari 75 dan 60.

18

Selanjutnya diberikan teorema yang menyatakan bahwa pasangan elemen di

ring ideal utama memiliki faktor persekutuan terbesar.

Teorema 2.1.30 Diberikan R ring ideal utama dan a, b R yang tidak kedua-duanya sama dengan nol. Berlaku bahwa d merupakan FPB dari a dan b. Untuk

setiap d FOB dari a dan b terdapat s, t R sedemikian sehingga d = sa+ tb.Bukti. DiberikanR ring ideal utama, didefinisikan< a, b >= {ra+sb | r, s R}.KarenaR ring ideal utama, maka berlaku< a, b >=< d > untuk suatu d R. Darisini a dan b dapat dinyatakan sebagai a = ud dan b = vd untuk suatu u, v R,artinya d merupakan faktor persekutuan dari a dan b. Diperhatikan bahwa karena

d < a, b >, maka terdapat s, t R sehingga d = sa + tb. Misalkan c merupakanfaktor persekutuan dari a dan b, maka terdapat u, v R sehingga a = uc danb = vc. Dari sini diperoleh

d = sa+ tb = suc+ tvc = (su + tv)c

sehingga c|d, dan dengan begitu dmerupakan FPB dari a dan b. Selanjutnya diambilsebarang d FPB dari a dan b, maka berlaku d|d dan d|d atau dengan kata lain< d >=< d >=< a, b >. Artinya terdapat s, t R dengan d = sa+ tb.

Selanjutnya diberikan sifat terkait dengan elemen relatively prime di daerah

ideal utama.

Teorema 2.1.31 Diberikan R ring ideal utama dan a, b R. Jika a, b relativelyprime, maka terdapat s, t R sehingga 1 = sa+ tb.Bukti. Diberikan R ring ideal utama, dan a, b R. Diketahui a dan b relativelyprime, maka FPB dari a dan b merupakan unit di R. Dari Teorema 2.1.30 di atas

diketahui bahwa untuk suatu d FPB dari a, b R terdapat r, v R dengan d =ra + vb. Artinya, karena a, b relatively prime, maka terdapat 1 unit di R dengan

1 = sa+ tb untuk suatu s, t R.

Dari defnisi ideal prima dan elemen prima yang telah dijelaskan, selanjutnya

akan diberikan hubungan antara keduanya sebagai berikut.

19

Teorema 2.1.32 Diberikan D Daerah Ideal Utama dan P ideal tak nol di R. P

ideal prima jika dan hanya jika P dibangun oleh elemen prima.

Bukti. () Diberikan D daerah ideal utama. Misalkan P = ideal prima takkosong diR. Jelas bahwa p 6= 0, dan karena P 6= D maka p bukan unit. Selanjutnyaakan dibuktikan bahwa p elemen prima. Diambil sebarang a, b D dengan p|abmaka dapat dituliskan ab = pc untuk suatu c D, artinya ab P . Perhatikanbahwa P ideal prima, maka berlaku a P atau b P atau dengan kata lain p|aatau p|b, sehingga terbukti bahwa p merupakan elemen prima.() Misalkan P = ideal tak kosong dengan p elemen prima. Jelas bahwap bukan unit, sehingga P 6= D. Selanjutnya diambil sebarang a, b D denganab P , maka p|ab dan berlaku p|a atau p|b dikarenakan p elemen prima. Dari sinididapat bahwa a P atau b P sehingga P memenuhi definisi ideal prima.

Selanjutnya jenis ideal yang kedua adalah ideal maksimal yang akan didefin-

isikan sebagai berikut.

Definisi 2.1.33 Diberikan ring R dan M ideal di R. M disebut ideal maksimal di

R jika M 6= R dan tidak ada ideal I di R sedemikian sehingga M I R

Contoh 2.1.34 Contoh ideal maksimal yang sederhana dapat dilihat pada ring bi-

langan bulat Z, yaitu ideal utama yang dibangun oleh elemen 2 Z, < 2 > meru-pakan ideal maksimal di Z karena kita tidak dapat membuat ideal yang lebih besar

dari < 2 > namun tidak sama dengan Z, sedangkan kita masih bisa menemukan

ideal yang lebih kecil seperti < 6 >,< 9 >.

Kedua jenis ideal ini memiliki hubungan antara satu sama lain sebagaimana

akan dijelaskan pada teorema - teorema berikut.

Teorema 2.1.35 Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan. Setiap ideal

maksimal di R merupakan ideal prima di R.

Bukti. Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan. Diketahui I ideal mak-

simal di R, misalkan a, b dua elemen di R dengan ab I dan a / I . Selanjutnya

20

didefinisikan

< I, a >= {u+ ra | u I, r R}

sebagai ideal yang dibangun oleh I {a}. Jelas bahwa I < I, a >, karena a I .Telah diketahui bahwa I ideal maksimal, maka < I, a >= R, sehingga terdapat

u I dan r R sehingga 1 = u + ra dengab begitu berlaku b1 = (u + ra)b =ub+ rab I . Oleh karena itu terbukti bahwa I ideal prima.

Teorema di atas tidak berlaku kebalikannya seperti yang akan ditunjukkan

pada contoh berikut.

Contoh 2.1.36 Diberikan R = {(a, b) | a, b Z}. (R,+, ) ring dengan definisioperasi (+) dan ():

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

(a, b) (c, d) = (ac, bd)

Didefinisikan ideal I = {(a, 0) | a Z}. Dapat ditemukan ideal < I, (0, 2) >={u + (0, 2)r | u I, r R} dengan I < I, (0, 2) > R, sehingga I bukanideal maksimal. Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa I ideal prima di R. Di-

ambil sebarang x, y R dengan xy I dan x / I . Karena xy I makaxy = (a1, b1) (a2, b2) = (c, 0) I sehingga diperoleh bahwa a1a2 = 0 danb1b2 = 0. Diperhatikan bahwa x / I artinya x = (a1, b1) dengan b1 6= 0. Karenab1, b2 Z dengan b1 6= 0 dan b1b2 = 0 maka berlaku b2 = 0. Dengan begi-tu y =< a2, 0 > I . Dari sini terbukti bahwa I ideal prima namun bukan idealmaksimal.

Teorema 2.1.37 Diberikan D daerah ideal utama dan P ideal tak kosong di R. P

ideal prima dengan P 6= D jika dan hanya jika P ideal maksimal.Bukti. () Diketahui P ideal prima tak kosong dan P 6= D. Telah dibuktikan padaTeorema 2.1.35 bahwa P = untuk suatu p elemen prima di D. Selanjutnya

akan dibuktikan bahwa tidak ada ideal I sehingga P I D atau dengan katalain jika terdapat ideal I di D dengan P I , maka I = D. Dimisalkan terdapat

21

ideal I di D dengan P I . Jelas bahwa P 6= I dan untuk setiap x I terdapatelemen a I dengan a / P . Dari sini diperoleh bahwa a, p merupakan relativelyprime dan dengan Teorema 2.1.31 maka terdapat s, t D sedemikian sehingga1 = sa + tp. Karena sa I dan tp P I maka 1 I , dengan begitu I = D.Jadi, terbukti bahwa P ideal maksimal di daerah ideal utama D.

() Pada Teorema 2.1.35 sebelumnya telah dibuktikan untuk sebarang Rring komutatif dengan elemen satuan berlaku bahwa setiap ideal maksimal di R

merupakan ideal prima. Hal ini juga berlaku pada daerah ideal utama D karena

daerah ideal utama dibentuk dari daerah integralD yang merupakan salah satu jenis

ring komutatif dengan elemen satuan.

2.2. FAKTORISASI PADA RING KOMUTATIF

Pada subbab ini akan dijelaskan tentang konsep faktorisasi elemen pada se-

barang ring komutatif, maupun pada daerah integral. Sebelumnya, akan dijelaskan

terlebih dahulu definisi dan teorema-teorema dasar pada ring komutatif dengan ele-

men satuan yang berhubungan dengan pembahasan faktorisasi. Dimulai dari defin-

isi elemen iredusibel dan elemen associate sebagai berikut.

Definisi 2.2.1 Diberikan D daerah integral,

(i). Suatu elemen p di D disebut iredusibel jika p tak nol dan bukan unit dan

p = ab dengan a, b R berakibat a atau b unit.

(ii). Suatu elemen a R disebut associate dengan elemen tak nol b R jikaa = bu untuk suatu unit u R.

Contoh 2.2.2 Berikut masing-masing contoh elemen pada definisi di atas.

(i). Untuk setiap elemen p dan p pada himpunan bilangan bulat Z merupakanbilangan iredusibel sekaligus bilangan prima.

(ii). Pada ring himpunan bilangan bulat Z, 1 dan 1 merupakan unit, sehinggauntuk setiap a Z a dan a elemen associate.

22

Elemen prima yang telah didefinisikan pada subbab sebelumnya memiliki

keterkaitan terutama pada elemen iredusibel. Berikut diberikan hubungan kedua

elemen tersebut pada jenis ring yang berbeda-beda.

Teorema 2.2.3 Untuk setiap elemen prima di daerah integralD merupakan iredusi-

bel.

Bukti. Diketahui p elemen prima di daerah integral D. Misalkan p = bc untuk

suatu b, c R. Akan dibuktikan b unit atau c unit di D. Diperhatikan bahwa untukp = bc berakibat p|bc. Telah diketahui bahwa p elemen prima, maka berlaku p|batau p|c. Terdapat dua kemungkinan, yaitu :

(i). Jika p|b maka terdapat q D sehingga b = pq. Dari sini diperoleh

p = bc = pqc

atau

p(1 qc) = 0.

Karena D daerah integral dan p 6= 0, maka p(1 qc) = 0 mengakibatkan

(1 qc) = 0 qc = 1

Dengan kata lain c merupakan unit di D.

(ii). Jika p|c maka terdapat r D sehingga c = pr. Dari sini diperoleh bahwa

p = bc = bpr = pbr

atau

p(1 br) = 0.

Karena D daerah integral dan p 6= 0, maka p(1 br) = 0 mengakibatkan

(1 br) = 0 br = 1

Dengan kata lain b merupakan unit di D.

23

Terbukti bahwa p elemen iredusibel.

Teorema di atas tidak berlaku sebaliknya. Hal ini dapat dilihat pada contoh

berikut

Contoh 2.2.4 Didefinisikan ring Z[i

5] = {a + bi5 | a, b Z}. Akan ditun-jukkan 3 = 3 + 0i

5 Z[i5] merupakan elemen iredusibel namun bukan prima.

Misalkan 3 Z[i5] dapat dinyatakan sebagai

3 = (a+ bi

5)(c+ di

5) Z[i

5]

dan dengan b = 0 dan d = 0 maka berlaku

3 = 3 = (a bi

5)(c di

5)

sehingga

9 = (a2 + 5b2)(c2 + 5d2)

Karena a, b, c, d Z, maka salah satu bentuk dibawah ini pasti terjadi, yaitu

(a2 + 5b2) = 3 dan (c2 + 5d2) = 3 (2.1)

atau

(a2 + 5b2) = 1 dan (c2 + 5d2) = 9 (2.2)

atau

(a2 + 5b2) = 9 dan (c2 + 5d2) = 1 (2.3)

Pada ketiga bentuk di atas, jelas tidak ada a, b, c, d Z yang memenuhi bentuk(2.1). Selanjutnya pada bentuk (2.2) berlaku b = 0 dan a = 1, artinya (a+ bi5)merupakan unit. Begitu juga pada bentuk (2.3) yang menghasilkan (c + di

5).

Dari sini terbukti bahwa 3 Z[i5] merupakan elemen iredusibel. Selanjutnya,andaikan 3 elemen prima, maka misalkan diambil 6 = (1 + i

5)(1 i5) dengan

3|6 = 3|(1 + i5)(1 i5) atau (3 + 0i5)|(1 + i5)(1 i5) berlaku bahwa(3 + 0i

5)|(1 + i5) atau (3 + 0i5)|(1 i5). Jika (3 + 0i5)|(1 + i5) maka

1 + i

5 = (3 + 0i

5)(a + bi

5) untuk suatu a, b Z. Hal ini mengakibatkan

24

3a = 1. Artinya tidak ada a Z yang memenuhi persamaan tersebut. Begitu jugauntuk (3 + 0i

5)|(1 i5). Jadi, 3 merupakan elemen iredusibel namun bukan

elemen prima.

Namun Teorema 2.2.3 di atas berlaku sebaliknya jika terjadi pada R ring

ideal utama sebagaimana dijelaskan pada teorema berikut.

Teorema 2.2.5 Diberikan R ring ideal utama dan p R. Jika p elemen iredusibelmaka p elemen prima.

Bukti. Diberikan R ring ideal utama dan p R merupakan elemen iredusibel.Misalkan a|ab dengan a, b R maka terdapat r R sehingga pr = ab. KarenaR ring ideal utama, maka < p, b >=< d > untuk suatu d R. Dari sini terdapatq R sehingga p = dq. Diperhatikan bahwa p merupakan elemen iredusibel, makad atau q merupakan unit. Dari kedua kasus tersebut didapat:

(i). Jika d unit, maka berlaku < p, b >=< d >= R. Dari sini elemen satuan di

RIU dapat dinyatakan sebagai 1 = sp+ tb untuk suatu s, t R. Oleh karenaitu terbentuk

a = asp+ atb = asp+ tpr = (as+ tr)p

Artinya p membagi habis a.

(ii). Jika d unit, maka berlaku d = pq1 . Oleh karena itu diperoleh< d >< p, b >=< d >. Artinya =< p, b > dan b mengakibatkan p membagi habis b.

Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa p merupakan elemen prima.

Akibat 2.2.6 Diberikan D daerah ideal utama dan p D. p elemen iredusibel jikadan hanya jika p elemen prima.

Apabila R diperluas menjadi ring komutatif dengan elemen satuan yang

memuat pembagi nol, maka terdapat definisi lain untuk elemen iredusibel seperti

yang akan sebagai berikut.

25

Definisi 2.2.7 DiberikanR ring komutatif dengan elemen satuan yang memuat pem-

bagi nol.

(i). Dua buah elemen a, b R disebut associate jika a|b dan b|a dan dinotasikansebagai a b.

(ii). Suatu elemen bukan unit di a R disebut iredusibel jika untuk a = bcberakibat a b atau a c.

Selanjutnya terdapat beberapa sifat untuk elemen terkait definisi di atas se-

bagai berikut.

Teorema 2.2.8 Diberikan a, b R ring komutatif dengan elemen satuan.

(i). a|b jika dan hanya jika < a >.

(ii) a dan b associate jika dan hanya jika < a >=.

(ii). a b merupakan relasi ekuvalensi di R.Bukti.

(i). () Diketahui a|b untuk suatu a, b R, artinya terdapat x R sehinggaax = b. Diambil sebarang p , maka p dapat dinyatakan sebagaip = by, sehingga diperoleh

p = by = axy = aq

untuk suatu q R. Artinya p < a >, dengan kata lain < a >.

() Diketahui < a > maka b dapat dinyatakan sebagai b = b.1 < a >, sehingga b < a >. Artinya b dapat nyatakan pula sebagaib = ar unutk suatu r R, dengan kata lain a|b.

(ii) () Diketahui a b maka a|b dan b|a, artinya terdapat r, s R sedemikiansehingga a = rb dan b = sa. Selanjutnya diambil sebarang x < a >maka dapat dinyatakan sebagai x = pa untuk suatu p R sehingga diperoleh

26

x = pa = p(rb) = (pr)b untuk suatu pr R dengan kata lain x .Sebaliknya juga untuk sebarang x dapat dinyatakan sebagai x = qbuntuk suatu q R sehingga diperoleh x = qb = q(sa) = (qs)a untuk suatuqs R,artinya x dan berlaku < a >=.() Diketahui < a >= artinya a = bx dan b = ay untuk suatux, y R sehingga memenuhi definisi a|b dan b|a atau a b.

(iii). a b memenuhi sifat relasi ekuivalensi yaitu,

(a). Simetris, karena untuk setiap a R jelas berlaku a = 1R.a yang artinyaa a.

(b). Refleksif, karena untuk setiap a, b R dengan a b artinya a = bxdan b = ay untuk suatu x, y R, dengan kata lain a, b R memenuhisifat b a

(c). Transitif, karena untuk setiap a, b, c R dengan a b dan b c dapatdinyatakan sebagai a = bx, b = ay, b = cp, dan c = bq untuk suatu

x, y, p, q R sehingga diperoleh bentuk

a = bx = (cp)x = c(px)

dan

c = bq = (ay)q = a(yq)

yang memenuhi definisi a c.

Selanjutnya akan dijelaskan konsep faktorisasi yang terjadi pada ring komu-

tatif dengan elemen satuan yang memuat pembagi nol. Berikut diberikan teorema-

teorema yang berhubungan dengan hal tersebut.

Definisi 2.2.9 Suatu elemen tak nol a dan bukan unit atas daerah integralD disebut

memiliki faktorisasi jika dapat dinyatakan sebagai :

a = p1.p2...pn

27

dengan p1, p2, ..., pn merupakan elemen irredusibel di D dan p1.p2...pn disebut se-

bagai bentuk faktorisasi dari a.

Contoh 2.2.10 Pada Z, 12 memiliki faktorisasi diantaranya 12 = 3.4 = 2.6. Diper-

hatikan bahwa (1.12) atau (1. 12) bukan merupakan faktorisasi dari 12 karena1 dan 1 merupakan unit di Z.

Suatu daerah integral D dikatakan daerah faktorisasi (Factorization Do-

main) jika untuk setiap elemen tak nol dan bukan unit di D memilki faktorisasi.

Selanjutnya, jika dilihat dari jenis elemennya, suatu elemen a D selalu dapatdibagi oleh elemen yang ber-associate dengan a serta dapat dibagi dengan unit di

D. Elemen - elemen yang ber-associate dengan a dan elemen unit di D ini yang

disebut dengan faktor trivial dari a. Sedangkan elemen lainnya disebut faktor non-

trivial dari s.Contohnya pada ring himpunan bilangan bulat Z, 6 Z memilikifaktor nontrivial 2, 2,3, 3.

Sebelum diberikan definisi daerah faktorisasi tunggal, terlebih dahulu diberi-

kan terkait dengan daerah faktorisasi sebagai berikut.

Definisi 2.2.11 Suatu daerah integral D memenuhi kondisi rantai naik atas ideal

utama (Ascending Chain Condition for Principal Ideal(ACCP)) jika untuk setiap

himpunan ideal utama < a1 >,< a2 >,< a3 > ... dengan

< a1 >< a2 >< a3 > ...,

terdapat bilangan bulat positif n sedemikian sehingga < an >=< at > untuk

semua t n.

Definisi di atas menjelaskan bahwa suatu ring komutatif memenuhi ACCP

jika untuk setiap ideal utama < a1 >< a2 >< a3 > ... terbatas, artinyaterdapat ideal utama maksimal pada ring tersebut.

Teorema 2.2.12 Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan. Untuk setiap

ideal sejati I R, I termuat di dalam suatu ideal maksimal di R.

28

Pembuktikan teorema ini akan lebih mudah menggunakan Zorns Lemma

sebagai berikut:

Lemma 2.2.13 (Zorns Lemma) Diberikan himpunan tak kosong P yang meru-

pakan himpunan terurut parsial (). Untuk setiap L = {a, b |, a b atau b a}memiliki batas atas u sehingga u x untuk setiap x L. Dengan begitu Pmemiliki elemen maksimal.

Dari Definisi Zorns Lemma tersebut, Teorema 2.2.12 dapat dibuktikan se-

bagai berikut.Bukti. Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan. Didefinisikan himpunan

P = {J | I J, J ideal sejati di R}.

Akan dibuktikan terdapat elemen maksimal (yang berupa ideal) di P , dengan kata

lain akan dibuktikan Zorns Lemma berlaku pada P . Diambil sebarang himpunan

L P , maka L merupakan himpunan ideal sejati di R dimana saat A,B Lberlaku A B atau B A. Selanjutnya didefinisikan

ML =JL

J

Karena ML merupakan gabungan seluruh ideal J L maka ML J untuk setiapJ L. Dari sini ML merupakan batas atas L. Untuk membuktikan bahwa Pmemenuhi Zorns Lemma, hanya cukup mebuktikan bahwa ML P . Berikut halyang dapat membuktikan bahwa ML ideal sejati di R dan memuat I :

(i). Diperhatikan bahwa untuk setiap ideal sejati J L berlaku 1 / J sehingga1 /ML. Dari sini diperoleh bahwa ML 6= R.

(ii). Akan dibuktikan ML ideal di R.

Diambil sebarang a, b ML , maka a Ji dan b Jj untuk suatu i, j.Karena Ji, Jj L maka berlaku Ji Jj atau Jj Ji. Katakan Ji Jj ,maka a, b Jj . Oleh karena Jj R ideal , maka berlaku a b Jj ML.Selanjutnya diambil sebarang r R dan a ML, jelas bahwa ra dan arberada pada suatu ideal J ML. terbukti bahwa ML ideal.

29

(iii). Diperhatikan bahwa I J ML untuk setiap J L, maka jelas bahwa MLmemuat I .

Dari (i), (ii), (iii) terbukti bahwa P memenuhi Zorns Lemma, artinya utnuk setiap

ideal sejati I R dapat ditemukan ML maksimal ideal (sejati) di R yang memuatI .

Lemma 2.2.14 Untuk setiap D Daerah ideal utama memenuhi ACCP.

Bukti. Diberikan < a1 >< a2 >< a3 > ... merupakan rantai ideal utama diD. Jelas bahwa I =

iN< ai > ideal di D. Karena D merupakan daerah ideal

utama maka terdapat elemen a D dengan I =< a >. Dari sini diperoleh bahwaa < an > untuk suatu bilangan bulat positif n, sehingga berlaku bahwa

I < an > I

dengan kata lain berlaku I =< an >. Diperhatikan bahwa untuk t n berlaku< at > I =< an >< at >, sehingga < an >=< at > untuk t n. Terbuktibahwa Daerah ideal utama memenuhi ACCP .

Teorema 2.2.15 Suatu daerah integral yang memenuhi ACCP merupakan daerah

faktorisasi.

Bukti. Andaikan D bukan merupakan daerah faktorisasi, artinya terdapat a Delemen tak nol dan bukan unit di D yang tidak memenuhi definisi faktorisasi. Kare-

na a tidak memenuhi definisi faktorisasi, maka a bukan elemen iredusibel dan jika

a = a1b1 dengan a1, b1 faktor nontrivial dari a berakibat bahwa salah satu dari a1

atau b1 tidak memenuhi definisi faktorisasi juga. Misalkan a1 yang tidak memenuhi

definisi faktorisasi, maka a dan a1 tidak associate, sehingga diperoleh

< a >< a1 > .

Selanjutnya jika a1 tidak memenuhi definisi faktorisasi, maka a1 dapat dinyatakan

sebagai a1 = a2b2 dengan a2, b2 faktor nontrivial dari a2. Sekali lagi diperoleh

30

bahwa salah satu dari a2 atau b2 tidak memenuhi definisi faktorisasi. Dengan begitu

a2 dan a1 tidak associate, sehingga terbentuk

< a >< a1 >< a2 > .

Begitu seterusnya hingga terbentuk rantai berhingga ideal utama di D, dengan kata

lain D merupakan daerah faktorisasi. Hal ini kontradiksi dengan hipotesa awal,

sehingga yang benar adalah daerah integral D merupakan daerah faktorisasi.

Akibat 2.2.16 Setiap daerah ideal utama D merupakan daerah faktorisasi.

Dapat dilihat bahwa suatu elemen a D dapat memiliki lebih dari satufaktorisasim untuk itu akan dijelaskan definisi lain dari faktorisasi dimana bentuk

yang didapat dari faktorisasi ini tunggal.

Definisi 2.2.17 Suatu daerah integral D diakatakan Daerah Faktorisasi tunggal

(Unique Factorization Domain) jika memenuhi :

(i). untuk setiap elemen tak nol r D dapat dinyatakan sebagai

r = a1.a2...an

dengan ai elemen iredusibel di D.

(ii). Jika r = a1.a2...an = b1.b2...bm merupakan duah buah faktorisasi dari r

dengan ai, bj elemen iredusibel, maka n = m dan ai bpi(i) untuk suatupermutasi pi dari {1, 2, ..., n}.

Dari Definisi 2.2.17 di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu daerah integral

D merupakan daerah faktorisasi tunggal jika dan hanya jika D merupakan daerah

faktorisasi. Selain itu juga berlaku bahwa untuk setiap elemen tak nol dan bukan

unit di D merupakan perkalian berhingga elemen iredusibel yang tunggal.

Selanjutnya dijelaskan keterkaitan elemen - elemen iredusibel maupun ele-

men prima dengam daerah faktorisasi tunggal berikut.

31

Teorema 2.2.18 Pada Daerah Faktorisasi Tunggal, setiap elemen iredusibel meru-

pakan elemen prima.

Bukti. Diberikan daerah integral D yang merupakan daerah faktorisasi tunggal.

Misalkan diketahui p elemen iredusibel di D dan p|ab D dengan a, b D. Akandibuktikan jika p|ab berlaku p|a atau p|b. Diasumsikan a, b D elemen tak nol danbukan unit di D, maka terdapat c D sehingga ab = pc. Misalkan d = pc = ab.Karena a, b bukan unit, maka d bukan unit. Jika c unit dan d iredusibel, maka salah

satu dari a, b merupakan unit. Hal ini kontradiksi dengan asumsi di atas bahwa

a, b bukan unit sehingga pernyataan yang benar adalah c bukan unit. Diperhatikan

bahwa daerah intgral D yang merupakan daerah faktorisasi tunggal mengakibatkan

terdapat c, a, b D yang memiliki faktorisasi c = c1c2...cn, a = a1a2...am, danb = b1b2...br dimana semua ci, bi, ai elemen iredusibel. Dari sini diperoleh bahwa

bentuk d = pc = ab menjadi

d = pc1c2...cn = a1a2...amb1b2...br

Hal ini menyatakan bahwa d memiliki dua buah bentuk faktorisasi. Selanjutnya,

karenaD merupakan daerah faktorisasi tunggal maka p pasti associate dengan salah

satu elemen

a1, a2, ..., am, b1, b2, ..., br.

Dari sini diperoleh bahwa jika p associate dengan salah satu a1, a2, ..., am maka

berlaku p|a, sedangkan jika p associate dengan salah satu b1, b2, ...br maka berlakup|b. Terbukti bahwa p elemen prima.

Teorema 2.2.19 Suatu daerah faktorisasi D merupakan daerah faktorisasi tunggal

jika dan hanya jika untuk setiap elemen iredusibel di D merupakan elemen prima.

Bukti. () Diketahui daerah faktorisasi merupakan daerah faktorisasi tunggalDFT , maka menurut Teorema 2.2.18 setiap elemen iredusibel di D merupakan

elemen prima.

() Diketahui untuk setiap elemen iredusibel di daerah faktorisasi meru-pakan elemen prima. Misalkan a = p1.p2...pn = q1.q2...qm merupakan dua fak-

32

torisasi dari a dengan pi, qi elemen iredusibel. Diperhatikan bahwa p1.p2...pn =

q1(q2.q3...qm) berakibat q1|(p1.p2...pn), dan karena q1 elemen iredusibel maka q1elemen prima. Artinya, untuk q1|(p1.p2...pn) berlaku paling tidak salah satu darip1, p2, ..., pn habis dibagi oleh q1. Misalkan q1|p1, karena p1, q1 elemen iredusibel,maka terdapat unit u1 sehingga p1 = u1q1. Dari sini diperoleh

u1q1p2...pn = q1q2...qm

dan dengan proses kanselasi elemen q1 diperoleh

u1p2...pn = q2...qm = q2(q3...qm).

Terlihat bahwa q2|(u1p2...pn), dan karena q2 elemen prima maka q2 tidak membagihabis u1, sehingga jelas q2 membagi habis salah satu dari p2, p3, ..., pm. Misalkan

q2|p2, maka terdapat unit u2 sehingga p2 = u2q2 dan terbentuk

u1u2q2p3...pn = q2a3...qm

Selanjutnya proese kanselasi elemen q2 diperoleh

u1u2p3...pn = q3...qm

Analog dilakukan pada elemen q3, q4, ..., qm.

Diperhatikan tiga keadaan berikut:

(i). Jika n > m maka terbentuk

u1u2...umpm+1...pn = 1

Hal ini berakibat bahwa pm+1...pn merupakan unit. Kontradiksi dengan keteran-

gan bahwa pi elemen iredusibel.

(ii). Jika n < m maka berlaku bahwa

u1u2...un = qn+1qn+2...qm

Hal ini berakibat bahwa qn+1, qn+2, ..., qm membagi habis unit. Hal ini juga

kontradiksi dengan pernyataan bahwa qi elemen prima.

33

(iii). Jika n = m maka berlaku relasi associate pada elemen pi, qi untuk i =

1, 2, ..., n.

Dari pernyataan (iii) inilah maka D memenuhi definisi definisi daerah faktorisasi

tunggal.

Selain itu dapat ditemukan juga hubungan antara daerah ideal utama dengan

daerah faktorisasi tunggal berikut.

Teorema 2.2.20 Untuk setiap daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi

tunggal.

Bukti. Telah dibuktikan pada Lemma 2.2.14 bahwa setiap daerah ideal utama

memenuhi sifat ACCP , dan dari Teorema 2.2.15 telah dijelaskan juga bahwa se-

tiap daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi. Selanjutnya Teorema 2.2.5

telah menyatakan bahwa setiap elemen iredusibel di daerah ideal utama merupakan

elemen prima, dan dengan bukti Teorema 2.2.19 di atas terbukti bahwa untuk setiap

elemen iredusibel di daerah faktorisasi merupakan elemen prima sehingga daerah

faktorisasi merupakan daerah faktorisasi tunggal.

BAB III

FAKTORISASI-U

Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi Faktorisasi U sebagai se-buah metode baru dalam hal pemfaktoran suatu elemen. Ring yang digunakan pada

metode ini merupakan komutatif dengan elemen satuan yang memuat pembagi nol.

Dijelaskan juga keunggulan dari metode ini dibanding faktorisasi yang biasa digu-

nakan hingga aturan - aturan dalam pembentukan Faktorisasi U tersebut.

3.1. DEFINISI DAN EKSISTENSI FAKTORISASI-U

Pada subbab ini akan dijelaskan tentang definisi FaktorisasiU , ketentuan- ketentuan yang berlaku serta eksistensi metode ini pada setiap pemfaktoran suatu

elemen. Metode ini memiliki keunggulan yang lebih dibanding metode faktorisasi

biasa terutama dalam hal pemfaktoran elemen idempoten di ring komutatif dengan

elemen satuan yang memuat pembagi nol.

Contohnya pada Z6, dimana terdapat elemen idempoten 3 yang dapat difak-

torkan menjadi 3 = 3.3 = 32 atau lebih lanjut 3 = 3n untuk setiap n N. Telahdiketahui bahwa Z6 merupakan ring berhingga, artinya faktorisasi biasa dari 3 ini

membuat Z6 tidak dapat menerapkan sifat-sifat ke-berhingga-an yang dimilikinya

dengan baik karena bentuk faktorisasi elemen tersebut yang relatif panjang. Hal

inilah yang dapat diselesaikan dengan lebih baik oleh metode Faktorisasi U .Sebelum dijelaskan lebih lanjut mengenai kelebihan metode ini, diberikan definisi

Faktorisasi U sebagai berikut.

Definisi 3.1.1 Diberikan elemen bukan unit r R, jika r = a1.a2...an.b1.b2...bmdengan ai, bj bukan unit diRmaka r = a1.a2...andb1.b2...bme adalahFaktorisasiU jika :

(1) ai < b1.b2...bm >=< b1.b2...bm > untuk 1 i n, dan

34

35

(2) bj < b1.b2...bj...bm >6=< b1.b2...bj...bm > untuk 1 i mElemen bj didenotasikan sebagai elemen yang dipindahkan

Pada definisi di atas, elemen ai disebut sebagai elemen inesensial dan bj

sebagai elemen esensial.

Selanjutnya untuk a R didefinisikan himpunan sebagai berikut.

U(a) = {r R| s R dengan rsa = a}= {r R|r < a >=< a >}

sehingga untuk (a1.a2...an) R berlaku

U(a1.a2...an) = {r R| s R dengan rs(a1.a2...a3) = (a1.a2...an)}= {r R|r < a1.a2...an >=< a1.a2...an >}

dan dengan definisi tersebut, maka Definisi (3.1.1) dapat dituliskan juga sebagai

berikut:

Diberikan elemen bukan unit r R, jika r = a1.a2...an.b1.b2...bm dengan ai, bjbukan unit di R, maka r = a1.a2...andb1.b2...bme adalah Faktorisasi U jika :

(1). ai U < b1.b2...bm > untuk 1 i n, dan

(2). bj / U < b1.b2...bj...bm > untuk 1 i m.

Selain itu dijelaskan juga beberapa ketentuan-ketentuan yang berlaku pada

bentuk Faktorisasi U sebagai berikut :

(1). Panjang sebuah FaktorisasiU ditentukan oleh banyaknya elemen esensial,misalnya pada R = Z6 Z8, r = (0, 3) dapat dibentuk Faktorisasi Uyaitu r = (2, 1)d(4, 3)(3, 1)e dengan panjang dua.

(2). Pada FaktorisasiU sebuah elemen, diperbolehkan tidak memiliki elemeninesensial, sehingga bentuk Faktorisasi U menjadi r = db1.b2...bme.

36

Dari Definisi (3.1.1) di atas, kini 3 Z6 dapat difaktorkan menjadi 3 =3nd3e dengan panjang satu. Dengan panjang elemen esensial satu ini akan lebihefisien dan mudah dalam menerapkan sifat-sifat keberhinggaan ring Z6 dibanding

faktorisasi biasa yang memiliki elemen relatif panjang.

Selain itu, dari definisi Faktorisasi U di atas dapat dihasilkan informasitambahan dibanding bentuk faktorisasi biasa, dimana dengan mengelompokkan el-

emen menjadi dua jenis, yaitu elemen esensial dan elemen inesensial, dapat dike-

tahui bahwa ideal yang dibangun oleh hasil kali seluruh elemen esensial akan sama

dengan ideal yang dibangun oleh elemen yang difaktorisasikan tersebut.

Definisi 3.1.2 Diberikan r = a.b1.b2...bn dengan r, a, b1, b2, ..., bn R elemen taknol dan bukan unit. Untuk suatu bentuk FaktorisasiU r = a1.a2...andb1.b2...bneberlaku < r >=< b1.b2...bn >.

Contoh 3.1.3 Pada Z6Z8, elemen (0, 3) dapat dibentuk menjadi FaktorisasiU(0, 3) = (4, 3)d(2, 1)(3, 1)e. Dapat dilihat bahwa

< (0, 3) > = {(0, 3)(a, b) | (a, b) Z6 Z8}= {(0, 3b) | b Z8}= {(0, 0), (0, 3), (0, 6), (0, 1), (0, 4), (0, 7), (0, 2), (0, 5)}= {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (0, 7)}= {(0, 1)(a, b) | (a, b) Z6 Z8}= {(2, 1)(3, 1)(a, b) | (a, b) Z6 Z8}=< (2, 1)(3, 1) >

Setelah mengetahui definisi dan kegunaan metode Faktorisasi U ini,selanjutnya akan diselidiki eksistensi bentuk FaktorisasiU tersebut pada setiapfaktorisasi yang telah umum digunakan.

Lemma 3.1.4 Setiap faktorisasi dari a R dapat dibentuk menjadi FaktorisasiU .

Bukti. Diberikan a = a1.a2...an adalah faktorisasi dari a. Terdapat dua kemungki-

nan bentuk Faktorisasi U , yaitu

37

(1). Jika untuk setiap i berlaku ai < a1.a2...ai...an >6=< a1.a2...ai...an > makaa = da.a2...ane merupakan Faktorisasi U yang tidak memiliki elemeninesensial.

(2). Jika terdapat i dengan ai < a1.a2...ai...an >=< a1.a2...ai...an > maka akan

dibuktikan terdapat bentuk Faktorisasi U yang terdiri dari elemen in-esensial dan elemen ensensial. Digunakan metode induksi metematika pada

bentuk faktorisasi biasa di atas.

Untuk n = 1 berlaku a = a1, maka terbentuk Faktorisasi U a =da1e.

Diasumsikan benar untuk n = k, yaitu a = a1.a2...ak. Dari sini terben-tuk FaktorisasiU a = a1...asdas+1...ake untuk suatu s k1 Z.

Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1, yaitu a = a1.a2...ak+1. Tanpamengurangi keumumannya, misalkan terdapat i = 1 sehingga diketahui

a1 < a2...ak+1 >=< a2...ak+1 >. Diperhatikan bahwa menurut hipote-

sis sebelumnya

a2...ak+1 = a2...asdas+1...ak+1e

maka akan dibuktikan bahwa

a = a1.a2...ak+1

= a1(a2...ak+1)

= a1(a2...as)das+1...ak+1e= a1.a2...asdas+1...ak+1e

merupakan Faktorisasi U dari a. Dari hipotesis sebelumnya, telahberlaku a = a2...asdas+1...ak+1e, sehingga untuk membuktikan

a = a1.a2...asdas+1...ak+1e

merupakan Faktorisasi U hanya dengan membuktikan

a1 < as+1...ak+1 >=< as+1...ak+1 >

38

Dari yang diketahui di atas a1 < a2...ak+1 >=< a2...ak+1 > sehingga

diperoleh,

a1 < a2...ak+1 > =< a2...ak+1 >

= a2...as < as+1...ak+1 >

= a2...as1.as < as+1...ak+1 >

= a2...as1 < as+1...ak+1 >

= ...

=< as+1...ak+1 >

dari sini < a1.a2...ak+1 >=< as+1...ak+1 > atau dengan kata lain

berlaku a1 < as+1...ak+1 >=< as+1...ak+1 >. Jadi, terbukti bahwa un-

tuk setiap faktorisasi a = a1.a2...an dapat dibentuk suatuFaktorisasiU yaitu a = a1.a2...asdas+1...ak+1e.

Contoh 3.1.5 Pada Z6 Z8, r = (0, 3) = (2, 1)(4, 3)(3, 1) dapat dibentuk menjadiFaktorisasi U r = (2, 1)d(4, 3)(3, 1)e dan r = (4, 3)d(2, 1)(3, 1)e.

Contoh 3.1.6 Pada Z, 12 = 2.6 = 3.4 dapat dibentuk Faktorisasi U yaitu12 = d2.6e = d3.4e.

Pada Contoh (3.1.5) di atas dapat terlihat bahwa terdapat penukaran elemen

inesensial dengan elemen esensial dari suatu Faktorisasi U sehingga terbentukFaktorisasi U yang baru, artinya bentuk faktorisasi ini tidak tunggal. Namunlain halnya saat Faktorisasi U tidak memiliki elemen inesensial seperti padaContoh (3.1.6), bentuk Faktorisasi U yang terbentuk tersebut adalah tunggal.

Perlu diperhatikan bahwa ketunggalan yang dimaksud adalah tidak ada ben-

tuk Faktorisasi U yang terdiri dari elemen inesensial dan elemen esensial yangdapat dibentuk jika diketahui Faktorisasi U tersebut hanya memiliki elemenesensial. Ketunggalan dan aturan pembentukan Faktorisasi U tersebut akandijelaskan lebih lanjut pada subbab berikut.

39

3.2. PEMBENTUKAN FAKTORISASI-U

Pada subbab ini akan diselidiki ketunggalan suatu Faktorisasi U yangtidak memiliki elemen inesensial dan aturan - aturan pembentukan FaktorisasiUyang berbeda jika Faktorisasi U tersebut memiliki elemen esensial dan elemeninesensial. Dimulai dari ketunggalan Faktorisasi U berikut.

Lemma 3.2.1 Jika r = db1.b2...bme FaktorisasiU , maka FaktorisasiU yangterbentuk adalah tunggal.

Bukti. Diketahui r = db1.b2...bme Faktorisasi U , maka menurut definisinyabi < b1.b2...bj...bm >6=< b1.b2...bj...bm > untuk 1 i m. Tanpa mengurangikeumumannya, diandaikan r = b1.b2db3.b4...bme adalah Faktorisasi U artinya

b1 < b3.b4...bm >=< b3.b4...bm > (3.1)

dan

b2 < b3.b4...bm >=< b3.b4...bm > (3.2)

diperhatikan bahwa,

b1 < b3.b4...bm >=< b1.b3.b4...bm >

dan

b2 < b3.b4...bm >=< b2b3.b4...bm >

Dari (3.1) dan (3.2) diperoleh,

b1 < b2.b3...bm > = b1 < b3.b4...bm >

=< b1.b3.b4...bm >

=< b3.b4...bm >

< b1.b2...bm >= b1 < b2.b3...bm >

maka b1 < b2.b3...bm > b1 < b2.b3...bm > (Tidak mungkin terjadi).Analog untuk semua elemen esensial lainnya. Artinya pengandaian salah

dan harus diingkar yaitu r = b1.b2db3.b4...bme bukan U Faktori

40

sasi. Terbukti jika Jika r = db1.b2...bme FaktorisasiU , maka FaktorisasiUyang terbentuk adalah tunggal.

Setelah mengetahui ketunggalan bentuk FaktorisasiU yang tidak memi-liki elemen inesensial. Selanjutnya akan diselidiki aturan pembentukanFaktorisasiU yang terdiri dari elemen esensial dan elemen inesensial. Dimulai dengan lemma

yang menyatakan bahwa suatu elemen esensial maupun inesensail dapat dinyatakan

sebagai hasil perkalian elemen - elemen tersebut dan bentuk Faktorisasi U lainyang terjadi jika hal tersebut dilakukan.

Lemma 3.2.2 Pernyataan berikut benar untuk ring komutatif dengan elemen satu-

an:

(1). r = a1.a2...andb1.b2...bme Faktorisasi U jika dan hanya jikar = (a1.a2)a3...andb1.b2...bmeFaktorisasi U .

(2). jika r = adb1.b2...bme Faktorisasi U maka r = ad(b1.b2)b3...bmeFaktorisasi U .

(3). Jika r = ad(b1.b2)...bme Faktorisasi U maka salah satu pernyataanberikut pasti berlaku :

(i). r = adb1.b2...bme Faktorisasi U .

(ii). r = a.b1db2.b3...bme Faktorisasi U .

(iii). r = a.b2db1.b3...bme Faktorisasi U .Bukti.

(1). Diketahui r = a1.a2...andb1.b2...bme FaktorisasiU , menurut definisi, un-tuk 1 i n, ai < b1.b2...bm >=< b1.b2...bm > . Artinya untuk i = 1, 2berlaku,

a1 < b1.b2...bm >=< b1.b2...bm >

a2 < b1.b2...bm >=< b1.b2...bm >

41

sehingga diperoleh,

a1 < b1.b2...bm >=< b1.b2...bm >= a2 < b1.b2...bm >

artinya,

(a1a2) < b1.b2...bm >=< b1.b2...bm >

atau

r = (a1a2)db1.b2...bmeFaktorisasi U

Sebaliknya, jika diketahui r = (a1a2)db1.b2...bmeFaktorisasi U , makamenurut definisi,

(a1a2) < b1.b2...bm >=< b1.b2...bm >

perhatikan bahwa,

< b1.b2...bm >= (a1a2) < b1.b2...bm > a1 < b1.b2...bm >< b1.b2...bm >

dan

< b1.b2...bm >= (a1a2) < b1.b2...bm > a2 < b1.b2...bm >< b1.b2...bm >

maka,

a1 < b1.b2...bm >=< b1.b2...bm >

a2 < b1.b2...bm >=< b1.b2...bm >

artinya, r = a1.a2...andb1.b2...bmeFaktorisasi U

(2). Diketahui adb1.b2...bmeFaktorisasi U , maka menurut definisi,

bj < b1.b2...bm >6=< b1.b2...bm >, untuk 1 j m

akan dibuktikan r = ad(b1.b2)...bme Faktorisasi U atau

(b1b2) < b3b4...bm >6=< b3b4...bm >

andaikan

(b1b2) < b3b4...bm >=< b3b4...bm >

42

dari bukti (1) di atas maka diperoleh,

b1 < b3b4...bm >=< b3b4...bm > (3.3)

b2 < b3b4...bm >=< b3b4...bm > (3.4)

perhatikan bahwa,

< b2b3...bm > = {b2b3...bm.r|r R}= b2{b3b4...bm.r|r R}= b2 < b3b4...bm >

(3.5)

maka dari (3.3),(3.4) dan (3.5) diperoleh,

< b2b3...bm > = b2 < b3b4...bm >

=< b3b4...bm >

= b1 < b3b4...bm >

= b1b2 < b3b4...bm >

= b1 < b2b3...bm >

dengan kata lain,

b1 < b2b3...bm >=< b2b3...bm > .

Analog unutk b2 didapat,

b2 < b1b3...bm >=< b1b3...bm > .

Hal ini kontaradiksi dengan yang diketahui diawal bahwa

bj < b1.b2...bm >6=< b1.b2...bm >, untuk 1 j m

sehingga pengandaian salah dan harus diingkar. Dengan kata lain,

(b1b2) < b3b4...bm >6=< b3b4...bm >

atau

r = ad(b1b1)b3...bmeFaktorisasi U

43

(3). Diketahui bahwa r = ad(b1.b2).b3...bme FaktorisasiU dari r, maka menu-rut definisi berlaku

(b1.b2) < b3.b4...bm >6=< b3.b4...bm > .

Akan dibuktikan bahwa salah satu bentuk FaktorisasiU dibawah ini pastiberlaku yaitu

(i). r = adb1.b2...bme.

(ii). r = a.b1db2.b3...bme.

(iii). r = a.b2db1.b3...bme.

Bila dilihat dari definisi elemen esensialnya, lemma ini menerangkan

bahwa suatu elemen esensial yang dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua

buah elemen, tidak langsung berakibat bahwa keduanya merupakan elemen

esensial, dengan kata lain salah satu elemennya bisa merupakan elemen in-

esensial. Diperhatikan bahwa jika salah satu bentuk di atas berlaku maka buk-

ti selesai. Dalam hal ini jika bentuk (i) merupakan Faktorisasi U , makabukti selesai, sehingga diandaikan bentuk (i) tersebut bukan Faktorisasi U , artinya berlaku

b1 < b2.b3...bm >=< b2.b3...bm > (3.6)

atau

b2 < b1.b3...bm >=< b1.b3...bm > (3.7)

untuk bentuk (3.6) diperoleh

b1 < b2.b3...bm >=< b1.b2.b3...bm >=< b2.b3...bm > (3.8)

dan diperhatikan pula bahwa menurut definisi elemen inesensial berlaku

a < (b1.b2)...bm >=< (b1.b2)...bm > (3.9)

44

sehingga diperoleh

a < b2.b3...bm > = a < b1.b2.b3...bm >

=< b1.b2.b3...bm >

=< b2.b3...bm >

(3.10)

Diklaim bahwa dari (3.8) dan (3.10) terbentuk r = a.b1db2.b3...bme. yangmerupakan FaktorisasiU . Untuk membuktikan klaim tersebut diandaikan

b2 < b3.b4...bm >=< b3.b4...bm > .

Dari (3.8) diperoleh,

< b3.b4...bm > = b2 < b3.b4...bm >

=< b2.b3...bm >

= b1 < b2.b3...bm >

=< b1.b2...bm >

= (b1.b2) < b3.b4...bm >

(3.11)

Hal ini kontradiksi dengan pernyataan diawal bahwa

(b1.b2) < b3.b4...bm >6=< b3.b4...bm > .

Artinya pernyataan yang benar adalah

b2 < b3.b4...bm >6=< b3.b4...bm > . (3.12)

Dengan begitu klaim terbukti, yaitu terbentuk r = a.b1db2.b3...bme yangmerupakan Faktorisasi U . Analog untuk bentuk (3.7) yang akan meng-hasilkan bentuk Faktorisasi U r = a.b2db1.b3...bme.Jadi, terbukti bahwasatu dari tiga kemungkinan bentuk Faktorisasi U di atas pasti terjadi.

Penggunaan teorema di atas dapat dijelaskan dengan lebih sederhana pada

contoh berikut.

45

Contoh 3.2.3 Pada Z30, 10 = 2.4.5 memiliki Faktorisasi U 10 = 2d4.5e.diperhatikan bahwa 10 juga dapat dinyatakan sebagai 10 = 2.(2.2)5, namun 10 =

2d(2.2)5e bukan FaktorisasiU karena melanggar syarat (ii) dari definisi bentukFaktorisasi U , yaitu

2 < 2.5 >=< 20 > = {20.r|R Z30}= {0, 10, 20}= {10.r|r Z30}=< 10 >

=< 2.5 > .

Namun menggunakan Lemma 3.2.2 (3.i) dan (3.iii), dapat dibuat FaktorisasiUlain untuk 10, yaitu 10 = 2.2d2.5e = 4d2.5e.

Teorema dan contoh di atas menggambarkan bahwa FaktorisasiU yangbaru dapat dibentuk dengan menukar elemen esensial dengan elemen inesensial.

Selanjutnya akan diselidiki syarat perlu dan cukup penukaran elemen esensial den-

gan elemen inesensial tersebut. Diawali dengan syarat perlu dan cukup penukaran

elemen suatu Faktorisasi U yang terdiri dari dua buah elemen berikut.

Lemma 3.2.4 Diberikan 0 6= r = adbe di R. r = bdae jika dan hanya jika terdapatelemen idempoten e R dengan < a >==< r >=< e >.Bukti. () Diberikan r = adbe . Diketahui r = bdae, diasumsikan r = adbe =bdae, maka dari Definisi 3.1.2 diperoleh bahwa < r >=< a >= dan denganr = ab didapat,

< a >=< r >=< ab >=< a >=< a >< a >=< a >2

Selanjutnya, karena < a >=< a >2 maka terdapat s, t R dengan as, at < a >dan a = as.at < a >2. Dari sini dapat dibentuk

sat = s(as.at)t = (sat)2

dengan kata lain sat elemen idempoten di R. Selanjutnya akan dibuktikan berlaku

< sat >=< a >=< r >. Untuk setiap a < a > maka dapat dituliskan sebagai

46

a = a.sat untuk suatu sat R, sehingga a < sat >, begitu juga sebaliknya,untuk setiap sat < sat > dapat dituliskan sebagai sat = a.st untuk suatu st Ryang artinya sat < a >. Maka terbukti bahwa terdapat e = sat elemen idempotendengan < r >=< a >==< sat >. Dan karena r R elemen tak nol danbukan unit, maka sat adalah elemen idempoten tak nol.

() Diberikan 0 6= r = adbe dan < a >==< r >=< e > dengan eelemen idempoten. Perhatikan bahwa,

b < a >=< ba >=< a >=< e >< e >=< e >2=< e >=< a >

maka berlaku,

b < a >=< a >

artinya, r = bdae Faktorisasi U

Contoh 3.2.5 Pada Z12, elemen 3 dapat dibentuk Faktorisasi U 3 = 3d9e.Diperhatikan bahwa

< 3 > = {3.r|r Z12}= {0, 3, 6, 9}= {0, 9, 6, 3}=< 9 >,

Selanjutnya dapat ditemukan elemen idempoten, yaitu 9 Z12 karena 92 = 9 diZ12. Dari sini berlaku bahwa < 3 >=< 9 > dengan 9 elemen idempoten di Z12,

sehingga pada bentuk Faktorisasi U 3 tersebut, elemen esensial dapat ditukardengan elemen inesensial sehingga menjadi Faktorisasi U yang baru yaitu 3 =3d9e = 9d3e.

Lemma 3.2.4 di atas hanya menerangkan bentuk Faktorisasi U yangterdiri dari dua buah elemen. Hal ini dapat diperluas lagi menjadi tiga buah elemen

sebagaimana dijelaskan pada Akibat berikut.

Akibat 3.2.6 Diberikan elemen tak nol dan bukan unit r R dengan r = abc,

47

(1). Jika r = dabce maka Faktorisasi U yang terbentuk adalah tunggal.

(2). Diberikan r = adbce. r = bcdae jika dan hanya jika terdapat e R elemenidempoten dengan < a >=< bc >=< r >=< e > .

Bukti.

(1). r = dabce adalah bentuk khusus dari r = db1.b2.b3...bme yang telah dibuk-tikan pada 3.2.1, sehingga bentuk r = dabce juga berlaku.

(2). Lemma 3.2.2 telah menjelaskan bahwa elemen esensial dan elemen inesensial

dapat dinyatakan sebagai sebuah elemen yang didapat dari hasil kali elemen -

elemen esensial maupun inesensial tersebut, dan dengan menggunakan lem-

ma 3.2.4 di atas, diambil b = bc, sehingga bukti analog dengan pembuktian

lemma 3.2.4.

Akibat 3.2.6 (2) di atas telah menerangkan aturan penukaran tiga buah el-

emen saat r = bcdae = adbce. Namun diperhatikan bahwa Akibat 3.2.6 di atastidak menjelaskan semua aturan penukaran yang mungkin terjadi, misalnya saat

r = adbce = bdace.

Contoh 3.2.7 Berikut contoh elemen yang memenuhi bentuk FaktorisasiU r =adbce = bdace.

(1). Pada Z24 terdapat dua buah elemen yang dapat dibuat menjadi bentuk r =

adbce = bdace, yaitu

(i). 16 = 21d22.4e = 22d21.4e.

(ii). 8 = 4d2.4e = 2d4.4e.

(2). PadaZ6Z8 juga terdapat dua buah elemen yang dapat dibuat menjadi bentukr = adbce = bdace, yaitu

(i). (4, 2) = (2, 1)1d(2, 1)2(1, 2)e = (2, 1)2d(2, 1)1(1, 2)e.

48

(ii). (3, 4) = (3, 1)d(3, 3)(1, 4)e = (3, 3)d(3, 1)(1, 4)e.

Terdapat dua perbedaan mendasar pada Contoh 3.2.7 (1) dan (2) di atas,

dimana pada Contoh 3.2.7 (1.ii) berlaku

< 8 > = {8r | r Z24}= {0, 8, 16}= {0, 16, 8}=< 16 >

dan 8, 16 Z24 merupakan elemen idempoten karena 162 = 16 Z24 dan 82 =8 Z24. Contoh ini secara tidak langsung menjelaskan bahwa lemma 3.2.4 jugamerupakan syarat perlu dan cukup bentuk FaktorisasiU r = adbce = bdace, na-mun hal ini dibantah oleh Contoh 3.2.7 (2.i), karena pada contoh tersebut diperoleh

bahwa walaupun berlaku

< 4, 2 > = {(4, 2)(a, b) | (a, b) Z6 Z8}= {(4a, 2b) | a Z6, b Z8}= {(0, 0), (4, 2), (2, 4), (0, 6), (4, 0), (2, 2), (0, 4), (4, 6)

(2, 0), (0, 2), (4, 4), (2, 6)}= {(2, 1)(1, 2)(a, b) | (a, b) Z6 Z8}=< (2, 1)(1, 2) >

namun (4, 2)2 = (4, 4) 6= (4, 2) bukan merupakan elemen idempoten di Z6 Z8.Dari sini disimpulkan bahwa Lemma 3.2.4 bukan merupakan syarat perlu dan cukup

pembentukan Faktorisasi U r = adbce = bdace. Oleh karena itu selanjutnyadiselidiki syarat perlu dan cukup bentuk Faktorisasi U r = adbce = bdace.Dimulai dengan syarat cukup bentuk Faktorisasi U tersebut.

Lemma 3.2.8 Jika r = adbce dan a maka r = bdace atau r = bcdae.Bukti. Diketahui r = adbce dan a . Dari definisi Faktorisasi Udiperoleh bahwa < r >=< bc > dan karena a maka a dapat dinyatakan

49

sebagai a = bd untuk suatu d R sehingga untuk < ac > berlaku

< ac >=< bdc >< bc > .

Diperhatikan bahwa saat < ac >=< bc > maka berlaku < r >=< bc >=< ac >,

sehingga terbentuk r = bdace. Namun saat < ac >< bc > diperoleh bahwa

< r >=< bc >< ac > b < ac >=< abc >=< r > .

dengan kata lain < r >< r >. Hal ini tidak mungkin terjadi. Oleh karena ituyang berlaku adalah

< r >=< bc >=< ac >

Diasumsikan bahwa r = abc dan < r > 6=< c >, maka terdapat dua kemungkinan,yaitu

i. Jika < r >6=< a > maka terbentuk r = bdace.

ii. Jika < r >=< a > maka terbentuk r = bcdae.

Lemma 3.2.8 di atas memberikan aturan sederhana dalam membentukFakto

risasiU r = bdace atau r = bcdae, namun contoh berikut akan menjelaskan bah-wa saat r = adbce dan b < a > tidak selalu berakibat r = bdace.

Contoh 3.2.9 Pada Z36, 18 dapat dibuat FaktorisasiU yaitu 18 = 3d9.2e dengan9 < 3 >, namun dapat dilihat bahwa 18 = 9d3.2e = 9d6e bukan merupakanFaktorisasi U dari 18 karena

9 < 6 > =< 18 >

= {18r | r Z36}= {0, 18}6= {0, 6, 12, 18, 24, 30}= {6r | r Z36}=< 6 >

Hal ini melanggar definisi elemen inesensial dari bentuk Faktorisasi U .

50

Lemma 3.2.8 memberikan kondisi ketika r = adbce untuk dapat meng-hasilkan r = bdace. Selanjutnya diberikan syarat perlu untuk kondisi r = adbce =bdace.

Lemma 3.2.10 Jika r = adbce = bdace maka terdapat ideal tak kosong I Rdengan a, b I .Bukti. Diketahui r = adbce = bdace. Didefinisikan himpunan bagian < a, b >sebagai berikut,

< a, b >= {ax+ by | x, y R}

Dapat terlihat bahwa a, b < a, b > karena a, b dapat dinyatakan sebagai

a = a.1R + b.0R < a, b > dan b = a.0R + b.1R < a, b > .

Akan dibuktikan < a, b >= I ( R. Dengan menggunakan syarat perlu dan cukup

suatu ideal, akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa < a, b > ideal.

(i). ( p, q < a, b >) p q < a, b > .Diambil sebarang p, q < a, b > maka p = ax + by dan q = as + bt untukx, y, s, t R. Perhatikan bahwa,

p q = (ax+ by) (as+ bt)= (ax as) + (by bt)= a(x s) + b(y t)= am+ bn untuk suatu m,n R

(ii). (r R)pr, rp < a, b > . Diambil sebarang r R, p < a, b > makap = ax+ by untuk x, y R. Diperoleh,

pr = (ax+ by)r

= (axr + byr)

= a(xr) + b(yr)

= am+ bn untuk suatu m,n R

51

dan

rp = r(ax+ by)

= (rax+ rby)

= a(rx) + b(ry)

= am+ bn untuk suatu m,n R

Dengan begitu pr, rp < a, b >. Dari (i) dan (ii) maka < a, b > Ideal.

Selanjutnya akan ditunjukkan < a, b >= I ( R. Andaikan < a, b >= R, karena R

Ring dengan elemen satuan, maka terdapat s, t R dengan as+ bt = 1, dan untuksuatu c R diperoleh c(as + bt) = c.1 atau acs + bct = c. Telah diketahui di atasbahwa r = adbce = bdace berlaku < r >=< bc >=< ac >, sehingga rm = acdan rn = bc untuk suatu m,n R. Dari sini diperoleh,

c = (ac)s+ (bc)t = (rm)s+ (rn)t = r(ms+ nt)

dan berakibat r|c. Telah diketahui bahwa r = abc = (ab)c, dengan begitu berlakubahwa c|r, sehingga bersama - sama dengan r|c berakibat r c atau< r >=< c >.Hal ini bertentangan dengan bentuk FaktorisasiU r = adbce = bdace yang tidakpernah menghasilkan bentuk < r >=< c >, sehingga pengandaian salah. Artinya

< a, b >= I R. Jadi, terbukti bahwa jika r = adbce = bdacemaka terdapat ideal< a, b >= I R.

Diperhatikan bahwa lemma di atas berlaku pada R ring komutataif dengan

elemen satuan dan jika R merupakan Ring Ideal Utama, maka terdapat akibat lain

yang dihasilkan oleh bentuk r = adbce = bdace. Hal inilah yang akan dijelaskanpada lemma berikut.

Lemma 3.2.11 Diberikan R Ring Ideal Utama. Jika r = adbce = bdace maka a, bdibagi habis oleh suatu elemen iredusibel.

Bukti. Lemma 3.2.11 di atas telah menerangkan bahwa < a, b >= I ideal se-

jati di R yang tak kosong. Jika R ring ideal utama, maka untuk setiap ideal di R

52

merupakan ideal utama < x > dengan x R. Dari sini terdapat d R denganI =< a, b >=< d >. Pada dasar teori telah dijelaskan bahwa untuk sebarang

ideal utama bertingkat I1 I2 I3 ...di R ring ideal utama panjangnya pastiterbatas, artinya untuk setiap ideal di R pasti terdapat ideal maksimal. Misalkan

< d >M 6= R dengan M ideal maksimal di R, karena R ring ideal utama, makaM =< m > untuk suatu m R. Lebih lanjut karena M ideal maksimal di Rmaka m merupakan elemen iredusibel. Dari sini diperoleh a, b < m > sehinggaterdapat x, y R dengan mx = a dan my = b. Dengan kata lain m|a dan m|b ataua, b disebut juga sebagai elemen yang dibagi habis oleh elemen iredusibel m.

Sampai disini telah diselidiki aturan pembentukan Faktorisasi U yangterdiri dari tiga buah elemen yaitu bentuk r = dabce dan r = adbce serta bentukFaktorisasi U lain yang dihasilkan oleh masing - masing bentuk tersebut. Se-lanjutnya akan diselidiki bentuk FaktorisasiU terakhir yang dapat dibentuk daritiga buah elemen berikut.

Lemma 3.2.12 Diberikan r = abdce. r = acdbe jika dan hanya jika terdapat e Relemen idempoten dengan =< c >=< r >=< e >.

Bukti. () Diberikan r = abdce . Diketahui r = acdbe, diasumsikan r = abdce =acdbe, maka menurut definisi Faktorisasi U diperoleh

< r >==< c > .

Selain itu dari definisi elemen inesensial bentuk U Faktorisasi r = abdce danr = acdbe, diperoleh a = dan b < c >=< c >. Maka dengan asumsir = abc diperoleh

=< r >=< abc >= a < bc > = a < c >

=< c >

=2

dengan begitu berlaku &l

Skripsi semigrup

Documents

Transcript of Skripsi semigrup