SISTEM TEORI ANTRIAN.

OBSERVASI SISTEM ANTRIAN DI BANK


TUGAS KELOMPOK


Dosen Pengampu : Bpk. Walid

1. Fatkhur Rohman

2. Khusnul Khotimah

3. Dwi mulyono

4. Yuni Ambarwati D.

5. M. Umam Khamdani

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

TUGAS KELOMPOK


JATENG UNNES


Disusun oleh :

1. Fatkhur Rohman

2. Khusnul Khotimah

3. Dwi mulyono

4. Yuni Ambarwati D.

5. M. Umam Khamdani


PENGETAHUAN ALAM


TUGAS KELOMPOK TEORI ANTRIAN


JATENG UNNES


Disusun oleh :

(4151306535)

2. Khusnul Khotimah (4151307004)

(4151307013)

4. Yuni Ambarwati D. (4151307019)

5. M. Umam Khamdani (4151307033)


PENGETAHUAN ALAM


2009

TEORI ANTRIAN


JATENG UNNES


(4151306535)

(4151307004)

(4151307013)

(4151307019)

(4151307033)


PENGETAHUAN ALAM


TEORI ANTRIAN


(4151306535)

(4151307004)

(4151307013)

(4151307019)

(4151307033)




BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari – hari banyak sekali kita temui hal – hal yang dekat dan

sering berhubungan langsung dengan sisitem antrian. Tanpa disadari kadang kita

mengalami secara langsung system antrian itu sendiri. Seperti misalnya kita mengantri

untuk mendapatkan pelayanan kasir swalayan, mengunggu untuk mendapatkan pesanan

makanan, menunggu untuk mendapatkan pelayanan registrasi mahasiswa, dan lain

sebagainya.

Garis – garis tunggu tersebut sering disebut dengan antrian (queues), dan fasilitas

pelayanannya disebut server. Sistem antrian tersebut sebenarnya dapat diefisienkan

dengan menggunakan teori antrian. Dan penyelesaian untuk mengatasi masalah antrian

tersebut salah satunya adalah menggunakan ilmu matematika. Ilmu matematika terdiri

dari dua, yakni Matematika Murni (pure mathematics) dam Matematika Terapan

(Applied Mathematics).

Ilmu matematika terapan paling dekat hubungannya dengan teori antrian dalam

aplikasinya. Sehingga banyak para ilmuwan menerapkan ilmu matematika terapan untuk

membantu ilmu lain dalam memenuhi kebutuhan – kebutuhan dan pengembangannya.

Karena aplikasinya sangat luas dalam kehidupan sehari – hari maupun dalam ilmu – ilmu

lain sehingga dalam perkembangannya sanngat pesat. Termasuk dalam menyelesaikan

permasalahan system antrian.

Penyelesaian permasalahan sistem antrian berdasarkan teori antrian dengan

menggunakan ilmu matematika terapan mengacu pada model keputusan antrian. Ada dua

model keputusan antrian, yakni model biaya dan model tingkat aspirasi. Model biaya

dalam antrian berusaha menyeimbangkan biaya menunggu dengan biaya kenaikan tingkat

pelayanan yang bertentangan. Tingkat pelayanan meningkat sedangkan biaya waktu

menunggu pelanggan menurun. Tingkat pelayanan optimum terjadi ketika jumlah kedua

biaya ini minimum. Sedangkan model tingkat aspirasi memanfaatkan karakteristik yang

terdapat dalam sistem untuk memutuskan nilai-nilai optimum dari parameter

perancangan. Optimasi dipandang dalam arti memenuhi tingkat aspirasi tertentu yang

ditentukan oleh pengambilan keputusan. Untuk kasus dimana sulit untuk mengestimasi

parameter biaya, digunakan model tingkat aspirasi. Dalam penelitian ini digunakan model

tingkat aspirasi sehingga ukuran-ukuran kinerja yang digunakan adalah jumlah pelanggan

rata-rata dalam sistem (L), jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian (Lq), waktu

menunggu rata-rata dalam sistem (W) , waktu menunggu rata-rata dalam antrian (Wq).

Ukuran-ukuran tersebut pada akhirnya akan digunakan untuk menentukan jumlah pelayan

yang ideal.

Berdasarkan uraian diatas, dilakukan penelitian mengenai sistem dan model

antrian serta pengambilan keputusan di Bank Jateng UNNES.

Sistem antrian yang terjadi di Bank Jateng UNNES mengikuti pola antrian

Multichannel single phase, dimana terdapat dua atau lebih fasilitas pelayanan dengan

dialiri oleh satu antrian atau antrian tunggal. Situasi antrian yang terjadi di Bank Jateng

UNNES dapat digambarkan sebagai berikut :

Tujuan dasar model-model antrian adalah untuk meminimumkan total dua biaya,

yaitu biaya langsung penyediaan fasilitas pelayanan dan biaya tidak langsung yang timbul

karena para individu harus menunggu untuk dilayani. Bila suatu sistem mempunyai

fasilitas pelayanan lebih dari jumlah optimal, ini berarti membutuhkan investasi modal

yang berlebihan, tetapi bila jumlahnya kurang dari optimal hasilnya adalah tertundanya

pelayanan. Model antrian yang akan dibahas merupakan peralatan penting untuk sistem

pengelolaan yang menguntungkan dengan menghilangkan antrian.

Sistem antrian yang terjadi dapat sederhana atau sangat kompleks. Sistem yang

sederhana akan dapat dirumuskan dengan menggunakan teknik-teknik. Dan untuk sistem

yang lebih kompleks membutuhkan analisa yang menggunakan simulasi.

Dalam sistem antrian saluran tunggal ini, ada dua tempat pelayanan, dimana terdapat

n pelanggan di dalam sistem dalam satuan waktu tertentu. Keadaan seperti tersebut dapat

diasumsikan akan terjadi hal sebagai berikut.

a. Tidak ada antrian sebab semua pelanggan yang datang sedang dilayani di tempat

pelayanan atau pelanggan yang datang kurang dari kemampuan tempat pelyanan

(n ≤ s)

b. Terjadi antrian sebab pelayanan yang diminta oleh pelanggan yang datang jauh

lebih besar dari kemampuan tempat pelayanan untuk melayani (n >s).

Dalam hal (a) tidak ada persoalan, sedang dalam hal (b) muncul permasalahan

yaitu sering kali terjadi ketidakseimbangan. Mungkin terjadi suatu antrian yang panjang

(long queue) yang mengakibatkan pelanggan harus menunggu lama untuk memperoleh

giliran dilayani atau mungkin tersedia fasilitas pelayanan yang berlebihan yang

mengakibatkan fasilitas tersebut tidak dapat dimanfaatkan sepenuhnya.

Dalam banyak hal tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi

antrian atau mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi, biaya karena memberikan

tambahan pelayanan akan menimbulkan pengurangan keuntungan mungkin sampai

tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya, sering timbulnya antrian yang panjang akan

sangat membosankan.

B. Rumusan Masalah

Dari penjelasan diatas, maka dapat diperoleh rumusan masalahb adalah sebagai

berikut :

1. Bagaimana laju kedatangan antrian di Bank Jateng UNNES ?

2. Bagaimana laju pelayanan antrian di Bank Jateng UNNES ?

3. Bagaimana model antrian di Bank Jateng UNNES ?

4. Berapa rata – rata waktu pelanggan menunggu dalam antrian dan sistem di Bank

Jateng UNNES ?

5. Berapa faktor kegunaan pada antrian di Bank Jateng UNNES ?

C. Batasan Masalah

Untuk membatasi ruang lingkup pada penelitian ini diberikan batasan masalah

sebagai berikut.

1. Tidak terjadi penolakan (balking) terhadap kedatangan para pelanggan.

2. Pelangan dalam makalah ini adalah orang yang hendak melakukan transaksi

perbankan di Bank Jateng UNNES.

3. Server dalam makalah ini adalah pelayan yang melayani pelanggan di Bank Jateng

UNNES.

D. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka tujuan penulisan makalah ini adalah

sebagai berikut :

1. Untuk mengetahui laju kedatangan antrian di Bank Jateng UNNES.

2. Untuk mengetahui laju pelayanan antrian di Bank Jateng UNNES.

3. Untuk mengetahui model antrian di Bank Jateng UNNES.

4. Untuk mengetahui rata – rata waktu pelanggan menunggu dalam antrian dan sistem di

Bank Jateng UNNES.

5. Untuk mengetahui faktor kegunaan pada antrian di Bank Jateng UNNES.

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Elemen - Elemen Dasar Teori Antrian

1. Sumber Masukan (Input)

Sumber masukan dari suatu sistem antrian dapat terdiri atas suatu populasi

orang,barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada sistem untuk dilayani.

Bila populasi relative besar sering dianggap bahwa hal itu merupakan besaran yang

tak terbatas. Anggapan ini adalah hamper umum karena perumusan sumber masukan

yang tak terbatas lebih sederhana daripada sumber yang terbatas. Suatu populasi

dinyatakan “besar” bila populasi tersebut besar disbanding dngan kapasitas sistem

pelayanan. Sebagai contoh, suatu masyarakat kecil yang terdiri dari 10.000 orang

mungkin akan menjadi suatu populasi yang tak terbatas bagi 100 shopping center

yang ada. Bila dirumuskan sistem pemeliharaan sejumlah mesin sebagai populasi dan

perawat mesin sebagai fasilitas pelayanan, tntu saja sejumlah mesin tersebut tidak

akan dinyatakansebagai sumber yang tak terbatas.

2. Pola kedatangan

Cara dengan mana individu-individu dari populasi memasuki sistem disebut pola

kedatangan (arrival pattern). Individu-individu mungkin datang dengan tingkat

kedatangan (arrival rate) yang konstan ataupun acak/random (yaitu berapa banyak

individu-individu per periode waktu). Tingkat kedatangan produk-produk yang

bergerak sepanjang lini perakitan produksi massa mungkin konstan, sedang tingkat

kedatangan telephone calls sangat sering mengikuti suatu distribusi probabilitas

Poisson.

Distribusi probabilitas Poisson adalah salah satu dari pola-pola kedatangan yang

paling sering (umum) bila kedatangan-kedatangan didistribusikan secara random. Hal

ini terjadi karena distribusi Poisson menggambarkan jumlah kedatangan per unit

waktu bila sejumlah besar variabel-variabel random mempengaruhi tingkat

kedatangan.

Bila pola kedatangan individu-individu mengikuti suatu distribusi Poisson, maka

waktu antar kedatangan atau interarrival time (yaitu waktu antara kedatangan setiap

individu) adalah random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial (exponential

distribution).

Bila individu-individu (komponen, produk, kertas kerja , atau karyawan)

memasuki suatu sistem, mereka mungkin memperagakan perilaku yang berbeda. Bila

individu ter sebut adalah orang, antrian dan antrian relative panjang, dia mungkin

meninggalkan sistem. Perilaku seperti ini disebut penolakan ( balking). Penolakan

akan sering terjadi bila kepanjangan antrian kelewat panjang.

Variasi yang mungkin lainnya dalam pola kedatangan adalah kedatangan dari

kelompok-kelompok individu. Bila lebih dari satu individu memasuki suatu sistem

seketika secara bersama, maka terjadi dengan apa yang disebut bulk arrivals.

3. Disiplin Antrian

Displin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan untuk

menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu

(prioritas). Disiplin antrian yang paling umum adalah pedoman first come, first

served (FCFS), yang pertama kali datang pertama kali dilayani. Tetapi bagaimanapun

juga ada beberapa tipe disiplin antrian lainnya yang dapat termasuk dalam model-

model matematis antrian. Model-model yang disajikan disini dibatasi untuk

disiplinantrian FCFS.

Beberapa disiplin antrian lainnya ialah pedoman-pedoman shortest-operating

(service)-time (SOT), last come-first served (LCFS), longest-operating-time (LOT),

dan service in random order (SIRO). Dalam rumah sakit-rumah sakit dan fasilitas-

fasilitas kesehatan lainnya mungkin mempunyai pedoman-pedoman yang berbeda,

seperti “emergency first” atau “critical condition first”.

4. Kepanjangan Antrian

Banyak sistem antrian dapat dapat menampung jumlah individu-individu yang

relative besar, tetapi ada beberapa sistem yang mempunyai kapasitas yang yang

terbatas. Bila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu

yang dapat dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistem mempunyai

kepanjangan antrian antrian yang terbatas (finite); dan model antrian terbatas harus

digunakan untuk menganalisa sistem tersebut. Sebagai contoh sistem yang mungkin

mempunyai antrian yang terbatas adalah jumlah tempat parker atau station pelayann,

jumlah tempat minum di pelabuhan udara, atau jumlah tempat tidur di rumah sakit.

Secara umum model antrian terbatas lebih kompleks daripada sistem antrian tak-

terbatas (infinite).

5. Tingkat Pelayanan

Waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatu sistem

disebut waktu pelayanan (service time). Waktu ini mungkin konstan, tetapi juga

sering acak (random). Bila waktu pelyanan mengikuti distribusi eksponensial atau

distribusinya acak, waktu pelayanan (yaitu unit/jam) akan mengikuti suatu distribusi

Poisson.

Pebedaan distribusi-distribusi waktu pelayanan dapat diliput oleh model-model

antrian dengan lebih mudah disbanding perbedaan distribusi waktu kedatangannya.

6. Keluar (Exit)

Sesudah seseorang (individu) telah selesai dilayani, dia keluar (exit) dari sistem.

Sesudah keluar, dia mungkin bergabung pada satu di antara kategori populasi. Dia

mungkin bergabung dengan populasi asal dan mempunyai probabilitas yangf sama

untuk memasuki sistem kembali, atau dia mungkin bergabung dengan populasi lain

yang mempunyai probalitas lebih kecil dalam hal kebutuhan pelayanan tersebut

kembali.

B. Karakteristik Penting Sistem dan Struktur Antrian

Berikut ini daftar karakteristik-karakteristik tersebut dengan asumsi-asumsi yang

paling umum:

Karakteristik-

karakteristik Antrian Asumsi-asumsi Umum

Sumber populasi Tak terbatas atau terbatas

Pola kedatangan Tingkat kedatangan Poisson (waktu antar

kedatangan eksponensial)

Kepanjangan antrian Tak terbatas atau terbatas

Disiplin antrian First come – first served

Pola pelayanan Tingkat pelayanan Poisson (waktu

pelayanan eksponensial)

Keluar Langsung kembali ke populasi

SISTEM DAN STRUKTUR ANTRIAN

Banyak perbedaan sistem-sistem dan struktur-struktur antrian yang terdapat dalam

masyarakat yang semakin kompleks. Perbedaan-perbedaan dalam jumlah antrian, fasilitas

pelayanan, dan hubungan-hubungan yang terjadi dapat menghasilkan bentuk/susunan

yang bervariasi tidak terbatas.

Sistem-sistem Antrian

Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang

berbeda-beda dimana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara luas. Klasifikasi

menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut:

1) Sistem pelayanan komersial

2) Sistem pelayanan bisnis-industri

3) Sistem pelayanan transportasi

4) Sistem pelayanan sosial

Sistem-sistem pelayanan sosial merupakan sistem-sistem pelayanan yang dikelola

oleh kantor-kantor dan jawatan-jawatan local maupun nasional, seperi kantor tenaga

kerja, kantor regritrasi SIM dan STNK dan sebagainya, serta kantor pos, rumah sakit,

puskesmas, dan lain-lainya.

Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dri model-

model antrian, seperti restoran, cafeteria, took-toko, tempat potong rambut (salon),

boutiques, supermarkets, dan sebagainya.

Sistem pelayanan bisnis-industri mencakup lini produksi, sistem material-

handing, sistem penggudangan, dan sistem-sistem informasi computer.

Struktur-struktur Antrian

Atas dasar sifat proses pelayanannya, dapat diklasifikasikan fasilitas-failitas

pelyanan dalam susunan atau channel (single atau multiple) yang akan membentuk suatu

struktur antrian yang berbeda-beda. Istilah saluran atau channel menunjukkan jumlah

jalur (tempat) untuk memasuki sistem pelayanan, yang juga menunjukkan jumlah fasilitas

pelayanan. Istilah phase berarti jumlah station-station pelayanan, dimana para langganan

harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap.

Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi didalam seluruh sistem antrian:

1) Single Channel-Single Phase

Sistem ini adalah yang paling sederhana. Single channel berarti bahwa hanya ada

satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single

phase menunjukkan bahwa hanya ada satu fasilitas pelayanan. Single phase

menunjukkan bahwa hanya ada satu station pelayanan atau sekumpulan tunggal

operasi yang dilaksanakan. Setelah menerima pelayanan, individu-individu keluar dari

sistem.

Contoh untuk model struktur ini adalah seorang tukang cukur, pembelian tiket kerteta

api antarkota kecil yang dilayani oleh satu loket, seorang pelayan took, dan

sebagainya.

2) Single channel-Multiphase

Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan

secara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh, lini produksi massa, pencucian

mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya.

3) Multichannel-Single Phase

Sistem multichannel-single phase terjadi (ada) kapan saja dua atau lebih fasilitas

pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Sebagai contoh model ini adalah pembelian

tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket pelayanan potong rambut oleh beberapa

tukang potong, dan sebagainya.

4) Multichannel-Multiphase

Contoh model ini yaitu herregistrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan

kepada pasien di rumah sakit dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai

pembayaran. Setiap sistem-sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada

setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu. Pada

umumnya, jaringan antrian ini terlalu kompleks untuk dianalisa dengan teori antrian,

mungkin simulasi lebih sering digunakan untuk menganalisa sistem ini.

Selain empat model struktur antrian diatas sering terjadi struktur antrian diatas sering

terjadi struktur campuran(mixed arrangements) yang merupakan campuran dari dua atau

lebih struktur antrian diatas. Misal, Toko-toko dengan beberapa pelayanan

(multichannel), namun pembayarannya hanya pada seorang kasir (single channel).

C. Model – Model Antrian

Dalam mengelompokkan model-model antrian yang berbeda-beda akan digunakan suatu

notasi yang disebut Kendall’s Notation. Notasi ini sering dipergunakan karena beberapa alasan.

Pertama, karena notasi tersebut merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya

model-model antrian, tetapi juga asumsi-asumsi yang harus dipenuhi. Kedua, hampir semua

buku (literature) yang membahas teori antrian menggunakan notasi ini.

Model khusus diatas : M/M/1/I/I.

Singkatan Penjelasan

M Tingkat kedatangan dan pelayanan Poisson

D Tingkat kedatangan atau pelayanan deterministic

(diketahui konstan)

K Distribusi Erlang waktu antarkedatangan atau pelayanan

S Jumlah fasilitas pelayanan

I Sumber populasi atau kepanjangan antrian tak-terbatas

(infinite)

F Sumber populasi atau kepanjangan qantrian terbatas

(finite)

Tanda pertama notasi selalu menunjukkan distribusi tingkat kedatangan. Dalam hal ini,

M menunjukkan tingkat kedatangan mengikuti suatu distribusi probabilitas Poisson. Tanda

kedua menunjukkan distribusi probabilitas Poisson. Tanda kedua menunjukkan distribusi tingkat

pelayanan. Lagi, M menunjukkan bahwa tingkat pelayanan mengikuti distribusi probalitas

Poisson.

Tanda ketiga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan (channels) dalam sistem. Model diatas

adalah model yang mempunyai fasilitas pelayanan tunggal.

Tanda keempat dan kelima ditambahkan untuk menunjukkan apakah sumber populasi dan

kepanjangan antrian adalah tak-terbatas(F). Model diatas, baik sumber populasi dan kepanjangan

antrian adalah tak-terbatas.

Dengan tanda-tanda tersebut ditunjukkan empat model yang berbeda yang akan dirumuskan dan

dipecahkan dalam bagian ini:

Model 1: M/M/1/I/I

Model 2:M/M/S/I/I

Model 3:M/M/1/I/F

Model 4:M/M/S/F/I

Walaupun tidak ditunjukkan dalam notasi ini, seluruh model menganggap bahwa displin

antrian adalah first come first served.Sebelum memberikan rumusan-rumusan untuk setiap

model, Tabel 13.1 menyediakan suatu daftar notasi-notasi yang digunakan dalam penyajian

model-model antrian. Tabel 9.1 berisi symbol-simbol yang menunjukkan suatu konsep atau

definisi khusus, misal �� p menunjukkan besarnya jumlah individu rata-rata dalam antrian.

Model-model dan aplikasinya

Model 1 : M/M/1/I/I

Gambar dibawah menunjukkan rumusan yang harus diikuti agar model ini dapat dipergunakan.

Model ini merupakan teori antrian yang paling sederhana, tetapi mengandung banyak asumsi-

asumsi (lihat gambar) yang harus ditepati. Sebagia contoh, rumusan model ini akan dipakai

untuk memecahkan persoalan di bawah :

( )λµµλ−

=2

qn ( )λµµλ−

=qt

n

np

−=

µλ

µλ

1

λµλ−

=tn λµ −

=1

tt µλ

=p

Model 2 :M/M/S/I/I

Model 2 ditunjukkan dalam gambar di bawah. Ini adalah system multichannel – singke phase

yang mempunyai antrian tunggal dengan melalui beberapa fasilitas pelayanan pelayanan. Model

ini identik dengan model I dengan perbedaan bahwa dua atau lebih individu dapat dilayani pada

waktu bersamaan oleh fasilitas-fasiltas pelayanan yang berlainan.

Sumber tak

terbatas

Tingkat

kedatangan

poisson

Keluar

Tingkat

pelayanan

poisson

Populasi 1 Antrian (M) Fasilitas

pelayanan (M/1)

Kepanjangan

antrian tak

terbatas

FCFS

Sumber tak

terbatas

Tingkat

kedatangan

poisson

Keluar

Tingkat

pelayanan

poisson

Populasi 1 Antrian (M)

Fasilitas

pelayanan (M/1)

Kepanjangan

antrian tak

terbatas

FCFS

Tingkat

pelayanan

poisson

( ) ( ) 02!1

PSS

n

S

q λµµ

λλµ

−−

= ( ) ( )[ ]

2

2

0

!

−=

µλ

µ µλS

qSS

Pt

µλ

+= qt nn λ1

+= qt tt

µλS

P =

( ) ( )( )µλ

µλ

µλ

S

SS

n

n

Sn

P

−+

=

∑−

= 1!!

1

1

0

0

( )[ ]µλµ

λ

S

S

S

PP

−

=

1!

00

Model 3 : M/M/1/I/F

Pada gambar dibawah menunjukkan model antrian 3. model 3 ini identik dengan model 1,

dengan perbedaan bahwa kepanjangan antrian adalah terbatas.

�� λµ�2 1 � �λµ� �1 � � � 1� �λµ� �1 � λ

µ� �1 � �λµ� � �

�� λµ� 1 � � � 1� �λµ� � �λµ� �1�1 � �λµ�� 1 � �λµ� �1� �

Sumber tak

terbatas

Tingkat

kedatangan

poisson

Keluar

Tingkat

pelayanan

poisson

Populasi 1 Antrian (M) Fasilitas

pelayanan (M/1)

Kepanjangan

antrian tak

terbatas

FCFS

�� 1 � �λµ�1 � �λµ� �1� �

λ

µ��

Model 4 : M/M/S/F/I

Model ini adalah ekuivalen dengan model 2 dengan perbedaan bahwa model ini mempunyai

sumber populasi yang terbatas. Sabagai contoh, sejumlah mesin-mesin dalam suatu departemen

produksi yang rusak atau memerlukan penyesuaian (adjustment), sejumlah pasien dalam suatu

rumah sakit yang memerlukan tipe-tipe perawatan tertenu, dan sebagainya, merupakan system-

sistem yang mempunyai jumlah individu-individu terbatas yang memerlukan pelayanan.

Karena formula antrian dengan populasi terbatas sulit dipecahkan, table-tabel antrian terbatas

(finite queuning tables) telah digeneralisasikan untuk beberapa model-model yang berbeda.

Apendik table 1 menyajikan table antrian terbatas untuk populasi 5, 10, dan 20 individu.

Beberapa variable yang haris diketahui dalam table tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut :

U = waktu rata-rata antarkedatangan per unit

T = Waktu rata-rata pelayanan per unit

H = Jumlah rata-rata yang sedang dilayani

J = jumlah rata-rata unit yang sedang beroperasi

N = jumlah unit dalam populasi

M = jumlah channel pelayanan

X = Faktor pelayanan (proporsi waktu pelayanan yang diperlukan)

D = Probabilitas bawha suatu kedatangan harus menunggu

F = Faktor efisiensi menunggu dalam garis (antrian)

Untuk dapat menggunakan tabel antrian terbatas, harus diketahui nilai-nilai N dan M, dan

menghitung nilai X. Rumusan yang dipakai diberikan dalam gambar sebagai berikut :

Sumber

terbatas

Tingkat

kedatangan

poisson

Keluar

Tingkat

pelayanan

poisson

Populasi F Antrian (M)

Fasilitas

pelayanan (M/S)

Kepanjangan

antrian tak

terbatas (I)

FCFS

Tingkat

pelayanan

poisson

� � ��

��

��

�� 1 � ��

� ��

J = NF (1-X)

D. Gambaran Tempat Observasi

Bank Jateng UNNES terletak diantara ATM BRI dan poliklinik jalan raya sekaran

Gunung Pati. Satu lokasi dengan kantor pos di lingkungan sekitar unnes, dan terletak

tepat didepan koperasi Handayani.

Bank Jateng unnes ini terdiri dari dua sistem pelayanan dengan satu sistem

antrian. Adapun yang kami amati adalah antrian pelanggan yang datang untuk melakukan

transaksi.

E. Model Distribusi Poisson dan Eksponensial

1. Model Distribusi Poisson

Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada interval

waktu ataupun pada daerah yang spesifik dikenal sebagai eksperimen Poisson.

Menurut Tarliyah, dkk. (1992 : 309) mengemukakan sifat eksperimen Poisson adalah

sebagai berikut :

a. Jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu atau daerah yang bersifat

independent terhadap yang terjadi pada interval waktu atau daerah tertentu yang

lain.

b. Besar kemungkinan terjadinya sukses pada interval waktu atau daerah tertentu

yang sempit, proporsional dengan panjang jangka waktu ataupun ukuran daerah

terjadinya sukses tersebut.

c. Besar kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses pada interval waktu yang

singkat ataupun daerah yang sempit, diabaikan.

Model distribusi Poisson adalah model distribusi probabilitas yang digunakan

untuk menggambarkan distribusi variabel random pada suatu eksperimen yang

memenuhi kriteria sebagai eksperimen Poisson. Menurut Maman A Djauhari, (

1990:163), eksperimen Poisson adalah eksperimen yang memiliki sifat-sifat sebagai

berikut :

a. Peluang terjadinya 1 kali sukses dalam setiap selang yang sempit, sebanding

dengan “ lebar “ selang.

b. Peluangnya sangat kecil (dapat diabaikan) untuk terjadi lebih dari 1 kali sukses

dalam setiap selang yang sempit

c. Jika A dan B dua selang dimana kejadian A dan kejadian B saling asing, maka

banyaknya sukses dalam A independent dengan banyaknya sukses dalam B.

Pada dasarnya sifat-sifat dari eksperimen Poisson yang dikemukakan oleh kedua

ahli tersebut di atas adalah sama. Eksperimen Poisson adalah suatu eksperimen yang

menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun daerah yang

spesifik, dimana jumlah sukses anatar interval waktu saling bebas atau independent.

Definisi

Variabel Random X dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter λ, ditulis

X ~ POI ( λ ), jika X memiliki fungsi kepadatan peluang sebagai berikut :

!x

ex λλ −

, x = 0,1,…

f(x) =

0 , x yang lain

(Djauhari, 1990 : 163-164)

Pada definisi di atas, parameter λ adalah mean dan juga variansi dari X. Parameter

λ juga menyatakan rata-rata banyaknya sukses dalam suatu selang.

2. Model Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial digunakan untuk menggambarkan distribusi waktu pada

fasilitas jasa yang mengasumsikan bahwa waktu pelayanaan bersifat acak. Artinya,

waktu untuk melayani pendatang (pelanggan) tidak tergantung dari banyaknya waktu

yang telah dihabiskan untuk melayani pendatang atau pelanggan sebelumya, dan tidak

tergantung jumlah pendatang yang sedang menunggu untuk dilayani. Contoh dari

kejadian atau peristiwa Eksponensial antara lain adalah waktu yang dibutuhkan untuk

melayani nasabah bank, waktu yang dibutuhkan kasir untuk melayani pembeli pada

suatu supermarket, waktu yang dibutuhkan untuk memproses ijin penggunaan

kendaraan bermotor, waktu yang digunakan dokter untuk memeriksa pasien, dan lain-

lain.

Definisi

Variabel random kontinu X memiliki distribusi Eksponensial dengan parameter 1/

λ, jika fungsi kepadatan peluang dari X adalah :

xe λλ − , untuk x > 0, λ > 0

f(x) =

0 , untuk x yang lain

(Djauhari, 1990 : 175-176)

Disini X dapat menyatakan waktu yang dibutuhkan sampai terjadinya 1 kali

sukses dengan λ = rata-rata banyaknya sukses dalam selang waktu satuan.

F. Goodness of-fit Test

Goodness of-fit Test adalah uji yang dilakukan untuk menentukan distribusi

probabilitas dari dat yang diperoleh dengan membandingkan frekuensi teroritis atau

frekuensi yang diharapkan

1. Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap peristiwa yang berdistribusi Poisson

Misalkan Variabel random X berdistribusi Poisson. Untuk menghitung frekuensi

harapan digunakan fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi Poisson.

sehingga untuk sejumlah n frekuensi observasi ,maka

Nilai dari chi square hitung ( ) dihitung dengan menggunakan rumus sebagi

berikut:

Dengan m adalah jumlah sel atau baris yang dipergunakan dalam

mengembangkan fungsi kepadatan empiris.

2. Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap peristiwa yang berdistribusi Eksponensial

Misalkan variable acak X berdistribusi eksponensial. Frekunsi teoritis ( ) yang

berkaitan dengan interval dihitung sebagai

Dengan m adalah banyaknya interval yang dipergunakan. Sedangkan f(t) adalah

fungsi kepadatan peluang dari distribusi eksponensial dengan

Dengan demikian diperoleh :

mitdtff

i

i

e ,...,2,1,)()(1

== ∫=

0,0

1

>>=

=

− µµλ

µ

µ tef t

t

)()()( 1 ii II

e eenfµµ −− −= −

fe

[ ]ii II ,1−

fe

of

2X

mxx

exp

x

,......2,1,0,!

)( ==− λλ

)(xnpfe =

∑=

−=

m

x e

e

f

ffX

0

2

02 )(

Nilai Chi Square hitung diperoleh denagn menggunakan rumus berikut :

Dalam uji Chi square Goodness of-fit keputusan diambil berdasarkan hipotesis

penelitian yang telah ditentukan sebelumnya. diterima jika harga

F < dengan dk = m – k – 1 dan dengan tingkat signifikan α , dengan m

adalah jumlah baris yang digunakan dan k adalah jumlah parameter yang diestimasi dari

dat mentah untuk dipergunakan dalam mendefinisikan distribusi teoritis yang

bersangkutan.(Taha,1997:11:12)

∑=

−=

m

x e

e

f

ffX

0

2

02 )(

0H

hitungX 2 tabelX 2

BAB III

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

SISTEM TEORI ANTRIAN.

Documents

Transcript of SISTEM TEORI ANTRIAN.