TEORI ANTRIAN PERTEMUAN #10 - Taufiqur Rachman...• Teori antrian adalah studi mengenai jalur-jalur...

TEORI ANTRIAN

6623 – TAUFIQUR RACHMAN

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS ESA UNGGUL

TKT101 |

PENGANTAR TEKNIK

INDUSTRI

PERTEMUAN #10

KEMAMPUAN AKHIR YANG DIHARAPKAN

• Mampu membandingkan antara kondisi nyata dengan penerapan teori yang telah dipelajari dan menghitung serta menganalisis permasalahan dengan pendekatan metode keilmuan teknik industri.

Materi #10 TKT101 - Pengantar Teknik Industri 6623 - Taufiqur Rachman 2

INDIKATOR PENILAIAN

• Ketepatan dalam memberikan perbandingan antara kondisi nyata dengan penerapan teori yang telah dipelajari dan menghitung serta menganalisis permasalahan dengan pendekatan metode keilmuan teknik industri terkait dengan teori antrian.

PENDAHULUAN

Pengembangan model matematis dari suatu sistem dunia nyata, menemukan beberapa elemen penting adalah acak dan tidak dapat diabaikan variasinya.

Sehingga, perlu beralih pada model penelitian operasional yang bersifat probabilistik.


GAMBAR KONSEP DASAR

Calling Population

QUEUEService Facility

Queuing System


KONSEP DASAR • Teori antrian adalah studi mengenai jalur-jalur

penantian.

• Suatu jalur penantian, atau antrian, akan muncul bilamana fasilitas pelayanan tidak selalu dapat memenuhi permintaan yang terjadi.

• Tujuannya adalah menentukan jumlah fasilitas pelayanan yang akan memberikan besaran biaya yang minimum.

• Klasifikasi: Pelayan Tunggal vs. Multi Pelayan.

• Kriteria performansi: LS ; LQ ; WS ; WQ


DEFINISI

• Analisis antrian ►► merupakan bentuk analisis probabilitas.

• Hasil dari analisis antrian ►► karakteristik operasional ►► merupakan nilai rata-rata dari karakteristik yang menggambarkan kinerja suatu sistem antrian.

• Hasil karakteristik operasional ►► statistik operasi ►► dapat digunakan untuk mengambil putusan dalam suatu operasi yang mengandung masalah antrian.


MODEL ANTRIAN

Sistem pelayanan tunggal (single-server system).

Merupakan bentuk paling sederhana dari sistem antrian. Dalam sistem ini, kombinasi antara mesin kas dan tempat kasir disebut server (fasilitas

pelayanan) dan para pelanggan yang menunggu

giliran yang membentuk suatu baris disebut waiting

line atau antrian (queue).

Sistem pelayanan multiple (multiple-server system).

Adalah baris antrian tunggal yang dilayani oleh lebih dari

satu pelayan. Contoh penerapan sistem ini terdapat

pada bank yang ada bagian tertentu menangani

pertanyaan-pertanyaan atau pengaduan-pengaduan dari

customer.


KOMPONEN MODEL ANTRIAN ...(1/3)

• Satu saluran banyak tahap

• Satu saluran satu tahap


Antrian Server (fasilitas pelayanan)



• Banyak saluran satu tahap




• Banyak saluran banyak tahap



FAKTOR-FAKTOR ANALISIS ANTRIAN

• Disiplin antrian

– Urutan di mana para pelanggan yang menunggu dilayani.

• Populasi pelanggan

– Sumber pelanggan yang mungkin terbatas atau tidak terbatas.

• Tingkat kedatangan

– Frekuensi pelanggan datang dalam antrian berdasarkan suatu distribusi probabilitas.

• Tingkat pelayanan

– Jumlah rata-rata pelanggan yang dapat dilayani selama suatu periode tertentu.


SISTEM ANTRIAN PELAYANAN TUNGGAL

• Memiliki karakteristik sebagai berikut:

– Populasi pelanggan yang tidak terbatas.

– Disiplin antrian “pertama datang, pertama dilayani”.

– Tingkat kedatangan Poisson.

– Waktu pelayanan eksponensial.

• Dengan karakteristik di atas, dan asumsi bahwa:

– λ < µ ; dimana: λ = tingkat kedatangan

µ = tingkat pelayanan

• Berlaku formula sebagai berikut:


FORMULA SISTEM ANTRIAN PELAYANAN TUNGGAL ...(1/2)

Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam suatu sistem antrian (baik sedang dalam antrian maupun sedang dilayani)

𝑷𝟎 = 𝟏 −𝝀

𝝁

Probabilitas terdapat n pelanggan dalam suatu sistem antrian

𝑷𝒏 =𝝀

𝝁

𝒏

× 𝑷𝟎

Rata-rata jumlah pelanggan dalam suatu sistem antrian

𝑳 =𝝀

𝝁 − 𝝀

Rata-rata jumlah pelanggan yang berada dalam baris antrian

𝑳𝒒 =𝝀𝟐

𝝁 𝝁 − 𝝀


FORMULA SISTEM ANTRIAN PELAYANAN TUNGGAL ...(2/2)

Waktu rata-rata dihabiskan seorang

pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian

(yaitu, waktu menunggu dan dilayani) 𝑾 =

𝟏

𝝁 − 𝝀=𝑳

𝝀

Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani

𝑾𝒒 =𝝀

𝝁 𝝁 − 𝝀

Probabilitas bahwa pelayan sedang sibuk (yaitu, probabilitas seorang pelanggan harus menunggu), dikenal dengan faktor utilisasi

𝑷𝒘 =𝝀

𝝁= 𝑼

Probabilitas bahwa pelayan menganggur

𝑰 = 𝟏 − 𝑼

𝑰 = 𝟏 −𝝀

𝝁= 𝑷𝟎


SISTEM ANTRIAN PELAYANAN MULTIPLE

• Formula antrian untuk sistem pelayanan multiple dikembangkan berdasarkan asumsi:

– Disiplin antrian pertama datang pertama dilayani.

– Kedatangan Poisson.

– Waktu pelayanan eksponensial.

– Populasi yang tidak terbatas.

• Parameter model pelayanan multiple adalah sebagai berikut

– λ = tingkat kedatangan

– μ = tingkat pelayanan

– c = jumlah pelayan

– cμ = rata-rata pelayanan efektif sistem tersebut, dimana nilainya harus melebihi tingkat kedatangan (cμ > λ).


FORMULA SISTEM ANTRIAN PELAYANAN MULTIPLE ...(1/3)

Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem antrian

𝑷𝟎 =𝟏

𝟏𝒏!

𝝀𝝁

𝒏𝒏=𝒄−𝟏𝒏=𝟎 +

𝟏𝒄!

𝝀𝝁

𝒄 𝒄𝝁𝒄𝝁 − 𝝀

Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian

𝑷𝒏 =𝟏

𝒄! 𝒄𝒏−𝒄𝝀

𝝁

𝒏

𝑷𝟎

Untuk 𝒏 > 𝒄

; 𝑷𝒏 =

𝟏

𝒏

𝝀

𝝁

𝒏

𝑷𝟎

Untuk 𝒏 ≤ 𝒄



Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem antrian tersebut

𝑳 =𝝀𝝁 𝝀

𝝁 𝒄

𝒄 − 𝟏 ! 𝒄𝝁 − 𝝀 𝟐𝑷𝟎 +

𝝀

𝝁

Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem antrian 𝑾 =

𝑳

𝝀

Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem antrian

𝑳𝒒 = 𝑳 −𝝀

𝝁



Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrian menunggu untuk dilayani

𝑾𝒒 = 𝑾−𝟏

𝝁=𝑳𝒒

𝝀

Probabilitas seorang pelanggan yang datang dalam sistem tersebut harus menunggu untuk dilayani

𝑷𝒘 =𝟏

𝒄!

𝝀

𝝁

𝒄𝒄𝝁

𝒄𝝁 − 𝝀𝑷𝟎


Dalam formula di atas jika 𝒄 = 𝟏 (yaitu, terdapat satu pelayan), maka formula tersebut menjadi pelayanan tunggal.

CONTOH KASUS Petugas pelayanan pinjaman pada sebuah bank mewawancara seluruh nasabah yang ingin membuka rekening pinjaman baru. Tingkat kedatangan para nasabah tersebut adalah 4 nasabah per jam berdasarkan distribusi Poisson, dan petugas rekening tersebut menghabiskan waktu rata-rata 12 menit untuk setiap nasabah yang ingin membuka rekening baru.

A. Tentukan karakteristik operasi (P0 ; L ; Lq ; W ; Wq ; dan Pw) untuk sistem ini.

B. Tambahkan seorang petugas baru pada sistem tersebut, sehingga sekarang menjadi sistem antrian pelayanan multiple dengan dua saluran dan tentukan karakteristik operasi yang diminta pada bagian A.


JAWABAN A ...(1/2)

• Karakteristik operasi untuk sistem pelayanan tunggal

λ = 4 nasabah per jam kedatangan

μ = 5 nasabah per jam yang dilayani

• Probabilitas tidak adanya nasabah dalam sistem

𝑷𝟎 = 𝟏 −𝝀

𝝁= 𝟏 −

𝟒

𝟓= 𝟎, 𝟐

• Jumlah nasabah rata-rata dalam sistem antrian

𝑳 =𝝀

𝝁 − 𝝀=

𝟒

𝟓 − 𝟒= 𝟒

• Jumlah nasabah rata-rata dalam baris antrian

𝑳𝒒 =𝝀𝟐

𝝁 𝝁 − 𝝀=

𝟒𝟐

𝟓 𝟓 − 𝟒= 𝟑, 𝟐


JAWABAN A ...(2/2)

• Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian.

𝑾 =𝟏

𝝁 − 𝝀=

𝟏

𝟓 − 𝟒= 𝟏 𝒋𝒂𝒎

• Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani.

𝑾𝒒 =𝝀

𝝁 𝝁 − 𝝀=

𝟒

𝟓 𝟓 − 𝟒= 𝟎, 𝟖 𝒋𝒂𝒎 = 𝟒𝟖 𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕

• Probabilitas petugas rekening baru akan sibuk dan nasabah harus menunggu

𝑷𝒘 =𝟒

𝟓= 𝟎, 𝟖


JAWABAN B ...(1/2)

• Karakteristik operasi untuk sistem pelayanan multipel

• λ = 4 nasabah per jam kedatangan ; μ = 5 nasabah per jam yang dilayani ; c = 2 petugas yang datang

• Probabilitas tidak adanya nasabah dalam sistem

𝑷𝟎 =𝟏

𝟏𝒏!

𝝀𝝁

𝒏𝒏=𝒄−𝟏𝒏=𝟎 +

𝟏𝒄!

𝝀𝝁


𝑷𝟎 =𝟏

𝟏𝟎!

𝟒𝟓

𝟎

+𝟏𝟏!

𝟒𝟓

𝟏

+𝟏𝟐!

𝟒𝟓

𝟐 𝟐 × 𝟓𝟐 × 𝟓 − 𝟒

= 𝟎, 𝟒𝟐𝟗

• Jumlah nasabah rata-rata dalam sistem antrian

𝑳 =𝝀𝝁 𝝀

𝝁 𝒄

𝒄 − 𝟏 ! 𝒄𝝁 − 𝝀 𝟐𝑷𝟎 +

𝝀

𝝁=

𝟒 × 𝟓 𝟒𝟓

𝟐

𝟐 − 𝟏 ! 𝟐 × 𝟓 − 𝟒 𝟐𝟎, 𝟒𝟐𝟗 +

𝟒

𝟓= 𝟎, 𝟗𝟓𝟐


JAWABAN B ...(2/2)

• Jumlah nasabah rata-rata dalam baris antrian.

𝑳𝒒 = 𝑳 −𝝀

𝝁= 𝟎, 𝟗𝟓𝟐 −

𝟒

𝟓= 𝟎, 𝟏𝟓𝟐

• Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian.

𝑾 =𝑳

𝝀=𝟎, 𝟗𝟓𝟐

𝟒= 𝟎, 𝟐𝟑𝟖 𝒋𝒂𝒎

• Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani.

𝑾𝒒 =𝟎, 𝟏𝟓𝟐

𝟒= 𝟎, 𝟎𝟑𝟖 𝒋𝒂𝒎

• Probabilitas petugas rekening baru akan sibuk dan nasabah harus menunggu

𝑷𝒘 =𝟏

𝒄!

𝝀

𝝁

𝒄𝒄𝝁

𝒄𝝁 − 𝝀𝑷𝟎 =

𝟏

𝟐!

𝟒

𝟓

𝟐 𝟐 × 𝟓

𝟐 × 𝟓 − 𝟒𝟎, 𝟒𝟐𝟗 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟗


LATIHAN 1. Restoran cepat saji mempunyai loket drive-through.

Pelanggan dalam mobil datang rata-rata 10 orang per jam. Dibutuhkan rata-rata 4 menit untuk menerima dan mencatat pesanan. Restoran mempunyai target penyiapan pesanan 3 menit. Apakah sistem saat ini dapat mencapai target tersebut?

2. Sebuah toserba memiliki 3 pramuniaga dengan 10 pelanggan datang per jamnya dan tiap pramuniaga dapat melayani 4 pelanggan per jam. Tentukan probabilitas tidak adanya pelanggan yang akan dilayani dan jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani oleh tiap pramuniaga.


JAWABAN LATIHAN 1

• λ = 10

• μ = 15

𝑾𝒒 =𝝀

𝝁 𝝁 − 𝝀=

𝟏𝟎

𝟏𝟓 𝟏𝟓 − 𝟏𝟎= 𝟖 𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕

• Karena Wq lebih besar dari target 3 menit, maka sistem tersebut tidak dapat mencapai target.


JAWABAN LATIHAN 2 …(1/2)

• c = 3 pramuniaga

• λ = 10 pelanggan per jam

• μ = 4 pelanggan per jam

𝑷𝟎 =𝟏

𝟏𝒏!

𝝀𝝁

𝒏𝒏=𝒄−𝟏𝒏=𝟎 +

𝟏𝒄!

𝝀𝝁


𝑷𝟎 =𝟏

𝟏𝟎!

𝟏𝟎𝟒

𝟎

+𝟏𝟏!

𝟏𝟎𝟒

𝟏

+𝟏𝟏!

𝟏𝟎𝟒

𝟐

+𝟏𝟑!

𝟏𝟎𝟒

𝟑 𝟑 × 𝟒𝟑 × 𝟒 − 𝟏𝟎

𝑷𝟎 = 𝟎, 𝟒𝟓


JAWABAN LATIHAN 2 …(2/2)

𝑳 =𝝀𝝁 𝝀

𝝁 𝒄

𝒄 − 𝟏 ! 𝒄𝝁 − 𝝀 𝟐𝑷𝟎 +

𝝀

𝝁

𝑳 =𝟏𝟎 × 𝟒 𝟏𝟎

𝟒 𝟑

𝟑 − 𝟏 ! 𝟑 × 𝟒 − 𝟏𝟎 𝟐𝟎, 𝟎𝟒𝟓 +

𝟏𝟎

𝟒= 𝟔

• Jadi probabilitas tidak adanya pelanggan yang akan dilayani = 0,45

• Jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani oleh tiap pramuniaga = 6


TEORI ANTRIAN PERTEMUAN #10 - Taufiqur Rachman...• Teori antrian adalah studi mengenai jalur-jalur...

Documents

Transcript of TEORI ANTRIAN PERTEMUAN #10 - Taufiqur Rachman...• Teori antrian adalah studi mengenai jalur-jalur...