SISTEM PEMBELAJARAN MATEMATIKA EFEKTIFOleh:Dr. Jackson Pasini MairingA. Tujuan Pembelajaran Matematika Sebelum membahas mengenai sistem pembelajaran matematika efektif terlebih dahulu kita bahas apa makna dari efektif. Kamus besar bahasa Indonesia menjelaskan efektif sebagai (1) ada efeknya (akibatnya, pengaruhnya, kesannya); (2) manjur atau mujarab (obat); (3) dapat membawa hasil; berhasil guna (usaha, tindakan); mangkus; dan (4) mulai berlaku (undang-undang, peraturan). Berdasarkan itu, pembelajaran matematika dikatakan efektif apabila dapat memberikan hasil seperti yang diharapkan. Dengan kata lain, pembelajaran matematika efektif jika tujuan dari pembelajaran tersebut tercapai. Pertanyaan lebih lanjut, apa sesungguhnya tujuan dari pembelajaran secara khusus tujuan dari pembelajaran matematika. Tujuan dari pembelajaran bukan sekedar memperoleh nilai yang baik atau lulus sekolah. Tujuan dari pembelajaran memiliki dimensi yang lebih luas dari itu. Marzano, Pickering dan McTighe (1993) mengungkapkan lima dimensi dari belajar yaitu (Gambar 1): Dimensi 1. Sikap dan persepsi positif mengenai belajar.Dimensi 2. Memperoleh dan mengintegrasikan pengetahuan.Dimensi 3. Memperluas dan memperhalus pengetahuan.Dimensi 4. Menggunakan pengetahuan secara bermakna.Dimensi 5. Kebiasaan berpikir yang produktif.Pada makalah ini akan dibahas mengenai salah satu dimensi dari belajar saja yaitu menggunakan pengetahuan secara bermakna. Marzano, dkk. (1993) menyatakan bahwa cara yang paling efektif dalam menggunakan pengetahuan adalah siswa menyelesaikan tugas yang bermakna. Lebih lanjut, Marzano, dkk. menyatakan bahwa merancang pembelajaran yang memungkinkan siswa menyelesaikan tugas yang bermakna merupakan salah satu keputusan paling penting yang dapat dibuat oleh guru. Gambar 1 Dimensi Belajar (Marzano, dkk. : 1993: 4)Ada lima tugas yang dapat mendorong siswa menggunakan pengetahuan secara bermakna yaitu:Pengambilan keputusan InvestigasiPenyelidikan EkperimentalPEMECAHAN MASALAHPenemuanTujuan pembelajaran matematika juga diungkap oleh NCTM (National Council of Teachers of Mathematics). NCTM merupakan Dewan Nasional Guru-guru Matematika di AS serupa dengan MGMP Matematika yang ada di Indonesia. NCTM dalam Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000: 52): Solving problem is not only a goal of learning mathematics but also a majors means of doing so By learning problem solving in mathematics, students should acquire ways of thinking, habits of persistence and curiosity and confidence in unfamiliar situations . Kutipan tersebut menyatakan bahwa pemecahan masalah merupakan tujuan dari matematika. Bukan hanya itu, melalui pemecahan masalah matematika, siswa-siswa memperoleh cara berpikir, kebiasaan untuk bertekun dan keingintahuan yang besar serta percaya diri dalam situasi yang tidak biasa.Ahli lain berpendapat bahwa pembelajaran matematika dikatakan efektif jika pembelajaran tersebut dapat mendorong sisiwa memiliki kemampuan berpikir tingkat tinggi. Krulik (2003) menyatakan kemampuan berpikir tingkat tinggi adalah berpikir kritis dan kreatif (Gambar 2). Gambar 2 Tingkat Kemampuan Berpikir (Krulik, 2003)Penjelasan singkat untuk masing-masing tingkatan adalah sebagai berikut.Berpikir memanggil merupakan kemampuan berpikir yang hampir otomatis dan refleksif (tanpa disadari) seperti mengingat operasi-operasi dasar matematika atau mengingat definisi konsep tertentu. Soal yang tergolong pada tingkat ini misalnya sebutkan rumus dari luas trapesium! atau sebutkan definisi dari jajargenjang!.Berpikir dasar merupakan pengenalan konsep-konsep matematika dan aplikasinya dalam soal-soal matematika. Sebagai contoh, suatu tanah berbentuk persegipanjang dengan panjang 20 m dan lebar 30 m. Tentukan luas dan keliling tanah tersebut.Berpikir kritis merupakan kemampuan dalam mengumpulkan, mengorganisasikan, mengingat dan menganalisis informasi yang digunakan untuk memecahkan masalah matematika tertentu. Dengan demikian, tugas yang menuntut siswa untuk berpikir kritis adalah masalah matematika. Contohnya adalah masalah berikut untuk siswa SMP kelas VIIMasalah Matematika 1Pada suatu kelas, 3/5 bagian siswanya adalah wanita. Ke dalam kelas tersebut ditambahkan 5 siswa pria dan 5 siswa wanita. Sekarang, 3/7 bagian siswanya adalah pria. Berapa banyak siswa mula-mula?Berpikir kreatif melibatkan sintesis dan membangun ide-ide baru untuk membuat keputusan dan menghasilkan produk yang baru. Contohnya adalah masalah matematika berikut untuk siswa SMP kelas VII.Masalah Matematika 2Wati mempunyai teka-teki kepada Anton. Wati berkata: Aku mempunyai sekumpulan permen. Jika permen-permen itu dikelompok-kelompokkan dimana setiap kelompok anggotanya 2 permen, maka banyak permen yang tersisa adalah 1. Jika setiap kelompok anggotanya 3 permen, maka banyak permen yang tersisa tetap 1.Jika setiap kelompok anggotanya 4 permen, maka banyak permen yang tersisa juga tetap 1. Berapa banyak permen yang kumiliki?Anton bingung dan tidak dapat menjawab teka-teki itu. Dapatkah kamu membantu Anton untuk menjawab teka-teki itu? Jelaskan!Apakah kamu memiliki jawaban yang lain? Jelaskan!Masalah Matematika 3Kila sedang menyelesaikan tugas kesenian. Berikut adalah satu persegi dan satu segitiga yang dipotongnya dari selembar karton. Ia menempel sebagian segitiga di atas dari sebagian persegi. Bentuk barunya adalah sebagai berikut. a. Berapa luas daerah bentuk yang baru itu? Jelaskan jawabanmu.b. Apakah ada cara lain untuk menghitung luas daerah bentuk baru tersebut? Jika ya, jelaskan cara lain itu! B. Masalah dan Pemecahan Masalah MatematikaBerdasarkan uraian di atas, maka secara sederhana PEMBELAJARAN MATEMATIKA EFEKTIF JIKA SISWA MAMPU MENYELESAIKAN MASALAH-MASALAH MATEMATIKA. Kita akan membedakan antara masalah dan soal matematika. Masalah matematika adalah suatu situasi yang membutuhkan penyelesaian dimana jalan/cara untuk memperoleh penyelesaian tersebut tidak dapat dilihat secara langsung. Berbeda dengan soal matematika dimana siswa dapat menggunakan rumus/prosedur/aturan tertentu secara langsung untuk mencari jawaban dari soal tersebut. Perbedaan antara soal dan masalah matematika akan tampak dari contoh-contoh berikut.Soal Matematika Masalah Matematika1. Anita memperoleh nilai ulangan harian matematika sebagai berikut: 7, 8, 9, 8, 10, 8, 8, 9. Tentukan rata-rata, median dan modus nilai ulangan Anita tersebut!2. Jika f(x)=2x+3 dan g(x)=5x-1, tentukan fg(x)!1. Adi adalah karyawan pada salah satu perusahan tekstil yang bertugas menyimpan data. Suatu ketika Adi diminta pimpinan perusahaan untuk menyiapkan data tentang kenaikan produksi selama lima periode. Setelah dicari, Adi hanya menemukan empat data kenaikan, yaitu 4%, 9%, 7% dan 5%. Satu data lagi, yaitu data ke-5 tidak diketemukan. Selidiki data kenaikan produksi yang ke-5, jika Adi hanya ingat bahwa rata-rata hitung dan median dari lima data tersebut adalah sama!2. Misalkan N adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Misalkan f:N?N adalah suatu fungsi sehingga f(x+1)=f(x)+x untuk x?N dan f(1)=5. Tentukan nilai f(2005)?3. Misalkan f adalah suatu fungsi yang memenuhif(1/x)+1/x f(-x)=2xuntuk setiap bilangan real x?0, tentukan nilai f(2)!Polya (1973) menyatakan bahwa siswa akan memiliki kemampuan dalam memecahkan masalah matematika dengan jalan meniru (imitation) and praktik (practice). Artinya siswa belajar memecahkan masalah melalui meniru dari buku-buku, meniru dari apa yang dilakukan guru dalam kelas atau meniru dari teman yang lebih mampu. Setelah siswa mampu memecahkan masalah dengan meniru, selanjutnya siswa mempraktikkan pengetahuannya secara bermakna dan pengalamannya dengan memecahkan masalah-masalah matematika lainnya. Kegiatan meniru dan praktik ini jika dilakukan berulang-ulang dapat mendorong siswa menjadi pemecah masalah yang baik. Dalam memecahkan masalah ada tahap-tahap yang dapat membantu siswa. Tahap-tahap tersebut adalah (1) memahami masalah (understand the problem), (2) membuat rencana (devise a plan), (3) melaksanakan rencana (carry out the plan), dan (4) memeriksa kembali (look back) (Polya, 1973).Memahami MasalahDalam memecahkan masalah, siswa harus memahami masalah yang dihadapinya. Langkah-langkah berikutnya tidak dapat dilakukan kalau ia tidak memahami masalah terlebih dahulu. Memahami masalah melibatkan pengonstruksian suatu representasi internal. Sebagai contoh, jika siswa memahami suatu kalimat, maka ia akan membentuk suatu representasi internal atau pola dalam pikirannya sedemikian sehingga konsep-konsep dikaitkan satu sama lain dengan cara tertentu. Untuk membentuk pola ini, siswa harus menggunakan pengetahuan latar seperti makna kata-kata dalam kalimat itu.Matlin (1994: 345) menyatakan bahwa ada dua tahap yang harus dilakukan siswa untuk memahami masalah yaitu (1) memberikan perhatian pada informasi yang relevan dengan mengabaikan informasi yang tidak relevan dan (2) menentukan bagaimana merepresentasikan masalah. Setelah seseorang menentukan informasi-informasi mana yang penting dan mana yang diabaikan, langkah berikutnya adalah menemukan cara yang baik untuk merepresentasikan masalah itu. Jika pemecah masalah mempertahankan masalah tetap abstrak (tidak merepresentasikannya), maka ia akan menghadapi kesulitan. Ini karena masalah yang abstrak sangat sulit untuk dipertahankan dalam memori pada waktu seseorang melakukan suatu operasi tertentu. Karena itu, pemecah masalah perlu mencari suatu metode untuk merepresentasikan masalah abstrak dengan cara yang konkrit. Beberapa metode yang efektif untuk merepesentasikan masalah adalah (1) simbol, (2) daftar, (3) matriks, (4) diagram pohon hirarkis, (5) grafik atau (6) gambar visual (Matlin, 1994: 347). Heuristik yang dapat digunakan siswa untuk memahami masalah adalah sebagai berikut.Apa yang tidak diketahui? Mana yang merupakan data? Apa kondisi/syaratnya? Apakah mungkin untuk memenuhi syarat/kondisi pada masalah? Apakah syarat cukup untuk menentukan yang tidak diketahui? Atau tidak cukup? Atau berlebihan? Atau kontradiksi? Lukis suatu gambar. Perkenalkan suatu notasi yang sesuai. Pilah-pilah bagian yang berbeda dari kondisi masalah. Dapatkah kamu menuliskannya?Membuat RencanaSiswa akan sulit mempunyai ide untuk membuat rencana jika ia mempunyai pengetahuan yang sedikit mengenai subjek masalah. Ide yang baik didasarkan pada pengalaman dan pengetahuan siswa sebelumnya. Hanya mengingat tidaklah cukup untuk memunculkan suatu ide yang tepat, tetapi siswa tidak dapat mempunyai ide tersebut tanpa mengumpulkan kembali fakta-fakta yang berkaitan. Fakta-fakta yang diperlukan untuk memecahkan masalah matematika adalah pengetahuan matematis yang diperoleh sebelumnya seperti masalah yang telah diselesaikan atau teorema yang telah dibuktikan.Heuristik yang dapat digunakan untuk membuat rencana adalah sebagai berikut.Apakah kamu pernah melihat masalah ini sebelumnya? Atau apakah kamu pernah melihat masalah yang mirip dengan masalah ini? Apakah kamu mengetahui masalah yang berkaitan? Apakah kamu mengetahui teorema yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah? Lihat pada yang tidak diketahui! Dan coba pikirkan suatu masalah yang kamu kenal dengan yang tidak diketahui sama atau serupa. Ini masalah yang berkaitan dengan masalah yang sedang kamu hadapi dan telah diselesaikan. Dapatkah kamu menggunakannya? Dapat kamu menggunakan hasilnya? Dapatkah kamu menggunakan metodenya? Apakah kamu dapat memperkenalkan beberapa unsur tambahan untuk membuat masalah yang telah diselesaikan ini dapat digunakan? Apakah kamu menggunakan semua datanya? Apakah kamu menggunakan semua kondisinya? Apakah kamu telah menggunakan semua ide-ide dasar yang dilibatkan dalam masalah ini?Melaksanakan RencanaMembuat rencana dan menyusun ide untuk memecahkan masalah tidaklah mudah. Kegiatan ini membutuhkan pengetahuan prasyarat, kebiasaan mental yang baik dan konsentrasi pada tujuan agar berhasil. Pelaksanaan rencana lebih mudah dibanding membuat rencana, yang dibutuhkan adalah kesabaran. Rencana memberikan suatu garis besar, siswa harus menyakinkan diri sendiri bahwa rincian pelaksanaan sesuai dengan garis besar itu dan ia harus menguji rincian itu satu per satu dengan sabar sampai semuanya terlihat jelas. Heuristik yang dapat digunakan dalam melaksanakan rencana adalah sebagai berikut.Laksanakan rencana penyelesaian yang telah dibuat, uji setiap tahap. Dapatkah kamu melihat dengan jelas bahwa tahapnya benar? Dapatkah kamu membuktikan bahwa tahapnya benar?Memeriksa KembaliSekarang siswa sudah melaksanakan rencananya dan menuliskan penyelesaian, selanjutnya ia perlu memeriksa setiap langkah. Ini dilakukan agar ia mempunyai alasan yang kuat untuk menyakini bahwa penyelesaiannya benar. Heuristik untuk memeriksa kembali adalah sebagai berikut.Dapatkah kamu memeriksa penyelesaiannya? Dapatkah kamu memeriksa argumennya? Dapatkah kamu menghasilkan penyelesaian dengan cara yang berbeda? Dapatkah kamu melihatnya secara sekilas? Dapat kamu menggunakan penyelesaiannya untuk masalah-masalah yang lain? c. Pembelajaran Berbasis Masalah (PBM)Salah satu metode belajar yang menggunakan masalah matematika sebagai komponen utama adalah PBM (Pembelajaran Berbasis Masalah). (PBL) merupakan model pembelajaran yang dimulai dengan pemberian masalah. Ciri-ciri PBM adalah 1. Menyajikan pertanyaan atau masalah.2. Berfokus pada interdisiplin3. Penyelidikan otentik4. Menghasilkan suatu produk.5. KolaborasiTujuan PBM adalah 1. membantu siswa memperoleh wawasan sedemikian sehingga mereka dapat memahami materi pelajaran dan memungkinkan siswa melihatnya dari sudut pandang yang berbeda,2. membantu siswa mengembangkan berpikir mereka, ketrampilan menyelesaikan masalah, belajar peran orang dewasa, menjadi siswa yang mandiri,3. membantu siswa mengembangkan ketrampilan berpikirnya menjadi lebih tinggi.Tahap-tahap PBMTahap Perilaku Guru1. Memberikan orientasi tentang permasalahan kepada siswa Guru membahas tujuan pembelajaran, mendeskripsikan berbagai kebutuhan logistik penting dan memotivasi siswa untuk terlibat dalam kegiatan menyelesaikan masalah.2. Mengorganisasikan siswa untuk meneliti atau memahami masalah dan merencanakan penyelesaiannya Guru membantu siswa untuk mendefinisikan dan mengorganisasikan tugas-tugas belajar yang terkait dengan masalah.3. Membantu investigasi mandiri atau kelompok Guru mendorong siswa untuk mendapatkan informasi yang tepat, melaksanakn eksprimen dan mendapatkan penyelesaian masalah.4. Mengembangkan dan mempresentasikan model solusi dan penyajian Guru membantu siswa dalam merencanakan dan menyiapkan bahan-bahan untuk presentasi dan diskusi seperti laporan, rekaman video dan membantu siswa menyiapkan presentasi.5. Menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan masalah Guru membantu siswa untuk melakukan refleksi terhadap proses investagasinya dan proses-proses lainnya yang digunakan untuk menyelesaikan masalah.Keuntungan dari PBM1. Pengembangan penyelesaian bermakna dari suatu masalah menjadi pencapaian pemahaman yang sangat baik.2. Menyediakan tantangan bagi siswa dan mereka akan memperoleh kepuasaan yang besar dari proses penemuan pengetahuan baruya oleh mereka sendiri.3. Mendorong siswa untuk belajar secara aktif.4. Membantu siswa belajar bagaimana mentransfer pengetahuannya terhadap masalah dunia nyata.5. Membantu membuat siswa lebih bertanggung jawab untuk membentuk dan mengarahkan kemandirian belajar.6. Membantu siswa mengembangkan pengetahuan baru bagi mereka dan merasa bertanggung jawab atas belajarnya.7. Mendatangkan pengalaman belajar yang menarik dan memberi rasa senang.8. Mengembangkan ketrampilan berpikir kritis dan kemampuan dalam mengadaptasi situasi pembelajaran baru.9. Membantu kemampuan siswa dalam menjustifikasi keputusan yang telah dibuatnya. 10. Menyediakan kesempatan bagi siswa untuk mengaplikasikan pengetahuannya dalam menyelesaikan masalah dunia nyata.11. Membantu meningkatkan daya ingat dan menyediakan dasar yang bermakna dari proses kontruksi pengetahuan.12. Membantu meningkatkan kepercayaan untuk mencoba cara lain ketika cara yang dilakukan belum berhasil.13. Mendorong siswa berinteraksi secara aktif dan bekerja sama.14. Memberikan pemahaman yang lebih baik mengenai kemampuan siswa. Keterbatasan PBM1. Jika masalah yang diberikan tidak bermakna bagi siswa, maka tujuan PBM menjadi tidak tercapai.2. Jika siswa tidak percaya dapat menyelesaikan masalah, maka siswa mungkin malas untuk mencobanya.3. Kesuksesan PBM membutuhkan banyak persiapan.4. Jika siswa-siswa belum memahami mengapa mereka diminta untuk menyelesaikan masalah, maka mereka tidak akan belajar seperti yang kita harapkan.5. Karena siswa belajar relatif independen dari guru, maka siswa mungkin tidak menemukan semua yang kita harapkan.6. Siswa yang belum siap kemampuan berpikirnya mungkin tidak akan memperoleh kesimpulan.7. Siswa-siswa memiliki gaya belajar yang berbeda-beda sehingga ada kemungkinan gaya belajar siswa kurang mampu mengimbangi penggunaan pemecahan masalah.Dalam melaksanakan metode ini, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan guru. 1. Gunakan masalah matematika sesering mungkin dalam kelas. 2. Ajukan berbagai tipe dari masalah matematika.3. Pilih masalah matematika secara hati-hati.4. Ajukan masalah sedemikian rupa sehingga siswa dapat memahami apa yang diharapkan dari masalah.5. Bantu siswa untuk menentukan apa yang diketahui dan yang ditanyakan dari masalah.6. Bentuk kelompok kecil sehingga siswa dapat bekerjasama menyelesaikan masalah matematika.7. Gunakan waktu yang cukup banyak untuk menyelesaikan suatu masalah.8. Diskusikan dalam kelas, bagaimana suatu masalah diselesaikan dengan cara lain yang berbeda dengan sebelumnya.9. Guru seharusnya menjadi model sikap yang positif terhadap pemecahan masalah matematika.10. Dorong siswa-siswa untuk menjelaskan penyelesaian mereka secara lisan dan tulisan.11. Dorong siswa-siswa untuk memikirkan apa yang mereka pikirkan pada waktu menyelesaikan suatu masalah.