SIMULASI NUMERIK PERPINDAHAN PANAS KONVEKSI ALAMI PADA LAPIS BATAS ALIRAN LAMINAR

DENGAN METODE BEDA HINGGA

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Teknik

Oleh:

WENDY DESTYANTO NIM. I0401051

JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA 2007

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

MOTTO

You dont know what youve got till its gone

(Counting Crows)

Bukan hasil yang menjadikan kita besar,

tetapi proses yang membuat kita lebih besar

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk :

Ibunda Sri Supraptiwi dan Ayahanda Waluyo

Adikku : Dhimas Willy Ferdianto

My Soulmate : Eka Wiziyanti

Orang-orang yang senantiasa berdiri di belakangku

Wendy Destyanto. Komputasi Konversi Energi. SIMULASI NUMERIK PERPINDAHAN PANAS KONVEKSI ALAMI

PADA ALIRAN LAMINAR DENGAN METODE BEDA HINGGA

Abstrak

Penelitian ini dilakukan untuk menghitung nilai koefisien perpindahan panas konveksi pada aliran laminar, serta distribusi kecepatan dan distribusi temperatur udara disekitar plat datar vertikal panas. Penulisan program menggunakan bahasa pemrograman Fortran Power Station 4.0 dan divisualisasi dengan perangkat lunak Matlab R13.

Temperatur plat yang disimulasikan adalah 50 oC dan temperatur arus bebas (free stream) 10 oC dengan panjang plat 3 cm. Sifat-sifat udara dihitung pada temperatur film 30 oC, yaitu : viskositas kinematik, = 16 x 10-6 m2/s dan konduktivitas termal, k = 26,38 x 10-3 W/m oC. Properti lain yang digunakan adalah percepatan gravitasi, g = 9,81 m/s2 dan Pr = 0,7 dengan kondisi batas di y = 0 adalah u = 0, v = 0 dan T = Tw; di y = adalah u = 0 dan T = T; dan di x = 0 adalah u = 0 dan T = T. Metode yang digunakan adalah metode beda hingga dengan diskritisasi dari persamaan energi, persamaan momentum dan persamaan kontinuitas .

Hasil perancangan program dapat dijalankan untuk menghasilkan simulasi numerik distribusi kecepatan dan distribusi temperatur aliran laminar konveksi alami pada plat datar vertikal panas, dan distribusi nilai koefisien perpindahan panas konveksi alami lokal. Semakin jauh jarak dari ujung plat, nilai koefisien perpindahan panas konveksi alami lokalnya semakin kecil. Kata kunci : konveksi alami, udara, plat datar vertikal, metode beda hingga.

Wendy Destyanto. Computation of Energy Conversion. NUMERICAL SIMULATION FOR NATURAL CONVECTION HEAT

TRANSFER IN THE LAMINAR FLOW AREA USING FINITE DIFFERENCE METHODE

Abstract

The main objective of this study is to calculate the heat transfer coefficient for natural convection in the laminar flows area as well as velocity and temperature distributions along the plate for vertical, heated flat- plate. A Fortran Power Station 4.0 was written to obtain the heat transfer coefficient and the velocity and temperature distributions, and the results are ploted using Matlab R13.

The plate temperature set at 50 oC and the free stream temperature set at 10 oC, with plate length 3 cm. The air properties are evaluated at film temperature 30 oC, which is viscous kinematic, v = 16 x 10-6 m2/s and thermal conductivity, k = 26,38 x 10-3 W/m oC. Other properties are gravitational acceleration, g = 9,81 m/s2 and Pr = 0,7, with boundary condition at y = 0 are u = 0, v = 0, T = Tw; at y = are u = 0 and T = T; and at x = 0 are u = 0 and T = T. A finite difference methode was used by discritizing the energy, momentum and continuity equations.

The program was running properly and showing a good agreement with the classical literature in simulating the velocity and temperature distributions in laminar flows area for natural convection along a vertical, heated flat-plate, and also for the heat transfer convection coefficient. The more distances x from the leading edge of the plate, the less heat transfer convection coefficient obtained. Key words : natural convection, air, vertical-flat-plate, finite difference methode.

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah. Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt., yang

telah memberikan rahmat, hidayah serta kekuatan kepada penulis, sehingga

penulis dapat melaksanakan penelitian dan menyelesaikan laporan tugas akhir

dengan judul Simulasi Numerik Perpindahan Panas Konveksi Alami pada

Lapis Batas Aliran Laminar dengan Metode Beda Hingga, sebagai salah satu

syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Teknik di Jurusan Teknik Mesin Fakultas

Teknik Universitas Sebelas Maret Surakarta.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih

dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah

memberikan bantuan, doa, dukungan dan semangat, baik moril maupun materiil

kepada :

1. Ibunda, Ayahanda, Dhimas dan Eka Wiziyanti, yang tanpa jemu dan dengan

sabar memberikan doa, semangat, keyakinan, nasehat dan cinta kasihnya.

2. Bapak Ir. Agustinus Sujono, MT., selaku Ketua Jurusan Teknik Mesin UNS.

3. Bapak Eko Prasetya Budiana, ST., MT., selaku Pembimbing I tugas akhir, atas

bimbingan, nasehat, kepercayaan dan ilmu pengetahuan yang diajarkannya.

4. Bapak R. Lulus Lambang GH, ST., MT., selaku Pembimbing II tugas akhir,

atas bimbingan, kesabaran dan ilmu pengetahuan yang diajarkannya.

5. Bapak Dwi Aries Himawanto, ST., MT., selaku Pembimbing Akademik, atas

saran dan nasehatnya.

6. Bapak-bapak dosen dan staf karyawan di lingkungan Teknik Mesin UNS, atas

didikan, nasehat, ilmu yang diajarkan dan kerjasamanya.

7. Keluarga besar H. Abdul Kadir HS, SE.; pakde, bude, Mbak Tika, Abang,

Mas Caca, Mbak Ayu, Mbak Illa, Mas Zuchri dan Dinda Endo Virajati,

yang telah memberikan nasehat, kepercayaan dan dukungan yang besar

kepada penulis.

8. Bude Yam, Pakde Joni, kedua Mbah Putri, om dan tante, pakde dan bude, dan

sepupu-sepupu penulis, atas doa, dukungan dan dorongan semangatnya.

9. Teman-teman almamater Mahasiswa Mesin angkatan 2001 atas kerjasama, dukungan, keceriaan dan petualangan dari pantai ke pantai yang tak

terlupakan; Adit, Ali, Andy P, Andy supit, Aris jenggot, Arif ini-itu,

Bambang bams, Bambang bombot, Budi cobrut, Fendy fenoy, Fauzi,

Jamal Lou Han, Joko, Irawan, Imbar, Imam W, Imam Fahad, Irvan irfun,

Kurniawan, Rizka karjo, Risharyanto, Hadi, Said swat, si gede

Sulistyana, Taufik, Uki ukri, Tri Wahyudi kentang, kakak-adik angkatan

Teknik Mesin UNS, Lets get Solidarity M Forever!!

10. Teman-teman ex-Asrama Ceria UNS; Halim hamil si lugu tak tahu malu, Aris sipit, Indro, Bayu Cikibul, Wahyu Dabull, Latief, Imam gundul,

Andika, Toni, Teguh san, Okta kuro, Pras sube buat tiket kretanya,

Timbul, Agus SH, Raden SH, Bowo pak RT, Jaka kecu yang sering

ngajarin komputer, Arfan, Dedi oe, Dhana grepes sohib dari SMA, Satir,

Wisnu bose, Gendenk, Azis, Rojak, Doa, Filmon, Wiwid, Rere, Pak Dal.

Salam Ceria !!

11. Semua pihak yang belum sempat disebutkan, yang telah membantu penelitian

dan penyusunan laporan tugas akhir ini.

Akhirnya, penulis menyadari bahwa karya kecil ini masih memiliki

kekurangan dan kelemahan. Sehingga kritik dan saran penulis harapkan demi

perbaikan dan pembelajaran untuk penelitian selanjutnya. Terimakasih.

Surakarta, Januari 2007

penulis

DAFTAR ISI

ABSTRAK .. iv KATA PENGANTAR .... vi DAFTAR ISI ... viii DAFTAR GAMBAR .. x BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ..... 1 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Batasan Masalah .. 2 1.4 Tujuan Penelitian . 2 1.5 Manfaat Penelitian ... 2 1.6 Sistematika Penulisan .. 3

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka . 4 2.2 Konveksi Alami (Natural Convection) ... 4 2.3 Lapis Batas (Boundary Layer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 2.4 Metode Beda Hingga .................. 6

2.4.1 Pendekatan Beda Maju Orde Pertama . . . . . . . . . . . . . . .. 6 2.4.2 Pendekatan Beda Mundur Orde Pertama ... 7 2.4.3 Pendekatan Beda Tengah Orde Pertama .. . . . . . . . . . . . 8 2.4.4 Pendekatan Beda Tengah Orde Kedua .... . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Persamaan Lapis Batas Pada Plat Datar .. 9 2.6 Angka Grashof dan Angka Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.7 Koefisien Perpindahan Panas Konveksi Alami . . . . . . . . . . . . . . 10

BAB III PELAKSANAAN PENELITIAN

3.1 Alat dan Bahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . 12 3.1.1 Alat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.2 Bahan .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Garis Besar Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 Diskritisasi Persamaan Lapis Batas Dalam Bentuk Tak Berdimensi (Dimensionless) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.1 Diskritisasi Persamaan Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3.2 Diskritisasi Persamaan Momentum .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.3 Diskritisasi Persamaan Kontinuitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Kondisi Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5 Perhitungan Koefisien Perpindahan Panas Konveksi Alami 23 3.6 Penyusunan Algoritma dan Bagan Alir (Flow Chart) Program .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

BAB IV DATA DAN ANALISIS 4.1 Validasi Program .. . . . . . . . . . ........... 27 4.2 Simulasi Konveksi Alami Plat Datar Vertikal Panas ... 28

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan .. 35 5.2 Saran 36

DAFTAR PUSTAKA .. 37 LAMPIRAN . 38

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Daerah Lapis Batas, (a) Profil Kecepatan, dan (b) profil

temperatur pada konveksi alami

Gambar 2.2 Ilustrasi Pendekatan Beda Maju Orde Pertama

Gambar 2.3 Ilustrasi Pendekatan Beda Mundur Orde Pertama

Gambar 2.4 Ilustrasi Pendekatan Beda Tengah Orde Pertama

Gambar 2.5 Ilustrasi Pendekatan Beda Tengah Orde Kedua

Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian

Gambar 3.2 Grid yang digunakan dalam analisa

Gambar 3.3 Grid untuk Derivasi Pendekatan Beda Hingga

Gambar 3.4 Nodal untuk Diskritisasi Persamaan Kontinuitas

Gambar 3.5 Kondisi Batas

Gambar 3.6 Diagram Alir Program

Gambar 4.1 Kondisi Batas Penelitian Rolando A. Chavez

Gambar 4.2 Grid Penelitian Rolando A. Chavez

Gambar 4.3 Profil Kecepatan Hasil Penelitian Rolando A. Chavez

Gambar 4.4 Profil Kecepatan pada Penelitian

Gambar 4.5 Profil Temperatur Hasil Penelitian Rolando A. Chavez

Gambar 4.6 Profil Temperatur pada Penelitian

Gambar 4.7 Distribusi Kecepatan Hasil Penelitian Rolando A. Chavez

Gambar 4.8 Distribusi Kecepatan pada Penelitian

Gambar 4.9 Distribusi Temperatur Hasil Penelitian Rolando A. Chavez

Gambar 4.10 Distribusi Temperatur pada Penelitian

Gambar 4.11 Distribusi Koefisien Perpindahan Panas Konveksi Lokal

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah Persoalan perpindahan panas serta metode penyelesaiannya mengalami

perkembangan pesat diberbagai bidang kehidupan. Bidang teknologi industri

banyak menggunakan prinsip-prinsip dasar proses perpindahan panas. Sehingga

pendalaman di bidang ini perlu ditingkatkan, terutama pada metode

penyelesaiannya. Metode yang lebih cepat, akurat dengan sedikit kesalahan sangat

dibutuhkan untuk mendapatkan hasil yang lebih cepat.

Perpindahan panas (heat transfer) adalah ilmu untuk memprediksikan

perpindahan energi yang terjadi akibat perbedaan suhu pada benda atau material.

Proses perpindahan panas dapat terjadi melalui tiga cara, yaitu perpindahan panas

secara konduksi, konveksi dan radiasi.

Perpindahan panas konveksi adalah perpindahan panas yang terjadi di

antara permukaan benda dengan fluida yang bergerak, karena terdapat gradien

suhu diantara keduanya.

Konveksi alami terjadi karena adanya perubahan densitas (kerapatan) fluida

akibat proses pemanasan, yang menyebabkan fluida bergerak ke atas. Gerakan

fluida pada konveksi alami (baik gas maupun zat cair) terjadi karena gaya apung

(buoyancy force) yang timbul apabila densitas fluida berkurang akibat proses

pemanasan.

Konveksi alami memegang peranan penting dalam rekayasa industri, seperti

pada perancangan alat penukar kalor, pendinginan transformator, dan komponen

elektronika. Penelitian mengenai fenomena konveksi alami telah banyak

dilakukan, baik secara eksperimen di laboratorium maupun secara numerik.

Penelitian secara eksperimen di laboratorium untuk mengetahui fenomena yang

terjadi pada proses konveksi alami membutuhkan biaya yang mahal dan proses

yang cukup rumit. Oleh karena itu, dikembangkanlah suatu penelitian mengenai

metode penyelesaian dengan biaya yang jauh lebih rendah serta waktu yang lebih

cepat, yaitu dengan metode simulasi numerik yang didasarkan pada metode beda-

hingga (finite-difference methode).

Pada konveksi alami, kecepatan aliran fluidanya sangat rendah. Dan pada

aliran dengan kecepatan rendah, aliran laminar akan lebih sering terbentuk

dibandingkan dengan aliran Turbulen. Oleh sebab itu penelitian ini difokuskan

pada aliran laminar.

1.2 Perumusan Masalah Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana mensimulasikan

secara numerik perpindahan panas konveksi alami plat datar vertikal di daerah

lapis batas aliran laminar dengan metode beda hingga.

1.3 Batasan Masalah Masalah pada penelitian ini dibatasi pada persoalan konveksi alami pada

plat datar vertikal panas yang diselesaikan dengan menggunakan metode beda

hingga untuk memperoleh distribusi kecepatan, distribusi temperatur dan

koefisien perpindahan panas konveksi alami dengan udara sebagai fluida

penghantar kalor.

1.4 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk menampilkan distribusi nilai koefisien

perpindahan panas konveksi alami lokal, distribusi kecepatan udara dan distribusi

temperatur udara pada lapis batas aliran laminar secara kualitatif, dengan

menggunakan metode beda-hingga sebagai alternatif metode penyelesaian

persoalan perpindahan panas.

1.5 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah :

a. Mengembangkan dan menerapkan ilmu pengetahuan terutama ilmu

pengetahuan Komputasi Perpindahan Panas, Metode Numerik,

Perpindahan Panas dan Mekanika Fluida yang diperoleh di bangku kuliah

b. Mempelajari fenomena konveksi alami yang terjadi pada plat datar

vertikal panas.

c. Sebagai dasar pengembangan untuk penelitian yang lebih kompleks.

1.6 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang digunakan adalah :

BAB I : PENDAHULUAN

Berisi latar belakang masalah, batasan dan perumusan masalah,

tujuan dan manfaat penelitian serta sistematika penulisan.

BAB II : LANDASAN TEORI

Berisi tentang tinjauan pustaka, dasar teori konveksi alami dan

penjelasan mengenai metode beda hingga.

BAB III : PELAKSANAAN PENELITIAN

Berisi tentang alat dan bahan yang digunakan dalam penelitian, tata

dan cara penelitian, penurunan persamaan kontinuitas, persamaan

momentum dan persamaan energi dengan metode beda hingga, dan

diagram alir program.

BAB IV : HASIL DAN PEMBAHASAN

Berisi data hasil penelitian (simulasi) dan pembahasannya.

BAB V : PENUTUP

Berisi kesimpulan penelitian dan saran-saran untuk penelitian

selanjutnya.

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka Rolando A Chavez (2004) menggunakan metode numerik untuk

menghitung koefisien perpindahan panas konveksi alami dan menyelesaikan

persamaan lapis batas plat datar vertikal panas pada fluida superkritis. Chavez

menggunakan bahasa pemrograman Fortran untuk menghitung kecepatan dan

temperatur di sepanjang plat.

Hasil dari penelitian Chavez menunjukkan bahwa profil kecepatan

meningkat dengan bertambahnya jarak tegak lurus terhadap plat sampai mencapai

titik maksimum, kemudian menurun sampai mencapai batas lapis aliran. Profil

temperatur mengalami penurunan dengan semakin bertambahnya jarak tegak lurus

terhadap plat, hingga menjadi sama dengan temperatur arus bebas.

2.2 Konveksi Alami (Natural Convection) Sudah umum diketahui bahwa plat logam panas akan menjadi lebih cepat

dingin ketika diletakkan di depan kipas angin dibandingkan dengan ketika

diletakkan di udara tenang. Dikatakan bahwa kalor dikonveksi atau diili keluar

dan proses terjadinya perpindahan panas ini disebut perpindahan kalor secara

konveksi atau ilian (Holman, 1997).

Perpindahan panas konveksi adalah proses perpindahan energi dari

permukaan benda ke fluida yang mengalir di atasnya karena perbedaan suhu

diantara keduanya (benda fluida) (Oosthuizen, 1999).

Konveksi alami terjadi karena fluida, yang karena proses pemanasan,

berubah densitasnya (kerapatannya) dan bergerak ke atas. Gerakan fluida pada

konveksi alami terjadi karena gaya apung (buoyancy force) yang timbul apabila

densitas fluida berkurang akibat proses pemanasan (Holman, 1997).

2.3 Lapis Batas (Boundary Layer) Daerah lapis batas (Boundary Layer) adalah daerah atau lapisan tipis yang

dekat permukaan benda, yang masih berada dalam pengaruh viskositas fluida dan

perpindahan panas fluida. Tebal lapis batas dibagi menjadi dua, yaitu lapis batas

kecepatan dan lapis batas termal. Tebal lapis batas kecepatan () adalah jarak

yang diukur dari permukaan benda sampai suatu titik dimana efek viskositas

sudah tidak berpengaruh lagi. Tebal lapis batas termal (T) adalah jarak yang

diukur dari permukaan benda sampai suatu titik dimana efek perpindahan panas

sudah tidak berpengaruh.

Fluida disekitar permukaan plat panas menjadi lebih ringan dibandingkan

dengan fluida yang lebih jauh dari permukaan plat. Sifat ringan fluida ini yang

menyebabkan terjadinya pergerakan ke atas, bergesekan dengan dinding dan

memindahkan panas dari dinding (panas). Fluida yang jauh dari dinding tidak

terpengaruh oleh efek panas yang ditimbulkan plat (Bejan, 1993).

Pada plat datar vertikal panas (gambar 2.1a) akan terbentuk lapis-batas

(boundary layer) konveksi alami. Pada dinding, kecepatannya adalah nol karena

terdapat kondisi tanpa gelincir (no-slip). Kecepatan bertambah sampai mencapai

suatu nilai maksimum, kemudian turun secara bertahap sampai nol pada tepi

lapisan batas. Perkembangan awal lapisan batas adalah laminar, tetapi pada suatu

jarak tertentu dari tepi depan, bergantung pada sifat-sifat fluida dan beda suhu

antara dinding dan lingkungan, terbentuk pusaran-pusaran dan transisi ke lapisan

batas turbulen akan terbentuk (Ozisik, 1988).

Plat vertikal panas

X

u

V .y

Lapis batas

Profil kecepatan

Plat vertikal panas

X

u

V .y

Lapis batasTermal

Profil Temperatur

(a) (b)

Gambar 2.1 Daerah Lapis Batas, (a) Profil Kecepatan, (b) profil temperatur

pada konveksi alami

2.4 Metode Beda Hingga Salah satu metode penyelesaian persamaan lapis batas adalah dengan

metode beda hingga. Metode beda hingga merupakan suatu cara, selain metode

elemen hingga, untuk menentukan penyelesaian numerik dari persamaan-

persamaan diferensial parsial.

Metode beda hingga didasarkan pada ekspansi deret Taylor, yaitu metode

pendekatan agar sebuah persamaan diferensial parsial dapat diubah menjadi

operasi aritmatika dan operasi logika yang dapat dibaca oleh komputer

(Hoffmann, 1989).

Ekspansi deret Taylor menghasilkan pendekatan beda maju orde pertama,

beda mundur orde pertama, beda tengah orde pertama dan beda tengah orde

kedua.

2.4.1 Pendekatan Beda Maju Orde Pertama

Ekspansi deret Taylor untuk f(x + x) pada x :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...!3!2 3

33

2

22

+

+

+

+=+x

fxx

fxxfxxfxxf

( ) ( ) nn

n

n

xf

nxxf

+=

=1 ! (2.1)

penyelesaian untuk xf diperoleh :

( ) ( ) ( ) ...!3!2 3

32

2

2

+

+=

xfx

xfx

xxfxxf

xf

( ) ( ) ( xO )x

xfxxfxf

+

+=

atau bisa ditulis ( xOx

ffxf ii

i

+

= +1 ) (2.2)

Persamaan di atas disebut dengan pendekatan beda maju orde pertama.

1+ifif1if

)(+)(

x

Gambar 2.2 Ilustrasi Pendekatan Beda Maju Orde Pertama

2.4.2 Pendekatan Beda Mundur Orde Pertama

Ekspansi deret Taylor untuk f(x - x) pada x :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...!3!2 3

33

2

22

+

+

=x

fxx

fxxfxxfxxf (2.3)

( ) ( ) nn

n

n

xf

nxxf

+=

=1 !

+ untuk n genap

- untuk n ganjil

penyelesaian untuk xf diperoleh :

( ) ( ) ( )xOx

xxfxfxf

+

=

atau bisa ditulis ( xOxff

xf ii

i

+

= 1 ) (2.4)

Persamaan di atas disebut pendekatan beda mundur orde pertama.

1+ifif1if

)(+)(

x

Gambar 2.3 Ilustrasi Pendekatan Beda Mundur Orde Pertama

2.4.3 Pendekatan Beda Tengah Orde Pertama

Dengan mengurangkan ekspansi deret Taylor untuk f(x + x) (persamaan

(2.1)) dengan ekspansi deret Taylor untuk f(x - x) (persamaan 2.3)), diperoleh :

( ) ( ) ( ) ...!3

22 333

+

+

=+x

fxxfxxxfxxf (2.5)

penyelesaian untuk xf diperoleh :

( ) ( ) ( )22

xOx

xxfxxfxf

+

+=

atau bisa ditulis ( )212

xOxff

xf iix

i

+

= + (2.6)

Persamaan di atas disebut pendekatan beda tengah orde pertama.

1+ifif1if

)(+)(

x

Gambar 2.4 Ilustrasi Pendekatan Beda Tengah Orde Pertama

2.4.4 Pendekatan Beda Tengah Orde Kedua Pendekatan beda hingga untuk persamaan turunan orde yang lebih tinggi

dapat ditentukan dengan menambahkan ekspansi deret Taylor pada f(x). Dengan

menambahkan persamaan (2.1) dan persamaan (2.3) didapat :

( ) ( ) ( ) ( ) ...!4

2!2

22 444

2

22

+

+

+=++x

fxx

fxxxxfxxf . (2.7)

penyelesaian untuk 22

xf

diperoleh :

( ) ( ) ( ) ( )2222 2 xO

xxxfxfxxf

xf

+

++=

atau bisa ditulis ( )22 1122 2

xOx

fffx

f iiii

+

+=

+ (2.8)

Persamaan di atas disebut Pendekatan Beda Tengah Orde Kedua.

1+ifif1if

)(+)(

x

Gambar 2.5 Ilustrasi Pendekatan Beda Tengah Orde Kedua

2.5 Persamaan Lapis Batas Pada Plat Datar Persamaan lapis batas yang berlaku pada perpindahan panas konveksi alami

untuk plat datar pada kondisi tunak (steady), tak mampu mampat (incompressible)

adalah sebagai berikut :

a) Persaman Kontinuitas : 0=

+

yv

xu (2.9)

Pada konveksi alami berlaku pendekatan Boussinesq, yaitu dalam analisa

mengenai aliran pada konveksi alami, sifat-sifat fluida diasumsikan konstan

kecuali perubahan densitas terhadap temperatur yang menyebabkan munculnya

gaya apung (buoyancy force) (Oosthuizen, 1999).

Meskipun gerakan fluida akibat perbedaan densitas, tetapi angka

perbedaannya sangat kecil. Sehingga dapat diperoleh penyelesaian dengan

mengandaikan aliran tak mampu mampat (Incompressible) (Holman, 1997).

b) Persamaan Momentum : ( ) 22

yuTTg

yuv

xuu

+=

+

(2.10)

Dengan asumsi dasar teori lapis batas, apabila (/L) kecil maka ( ) bernilai kecil. Untuk konveksi alami pada lapis batas, komponen kecepatan arah y,

(v), memiliki besaran yang sangat kecil dibandingkan komponen kecepatan u.

Sehingga momentum pada arah y dapat diabaikan (Oosthuizen, 1999).

uv /

c) Persamaan Energi : 22

yT

yTv

xTu

=

+ (2.11)

2.6 Angka Grashof dan Angka Rayleigh Angka Grashof adalah satuan rasio perbesaran gaya apung (buoyancy force)

terhadap viskositas pada aliran konveksi alami. Secara matematis dituliskan

sebagai :

23)(

vLTTg

Gr w

=

(2.12)

Angka Rayleigh didefinisikan sebagai satuan tak berdimensi hasil kali

antara angka Grashof dengan angka Prandtl (Pr), yang dirumuskan sebagai :

( )

2

3 Pr..Pr.

LTTg

GrRa w

== (2.13)

Dimana, Ra = Angka Rayleigh

= Koefisien ekspansivitas termal ( 1 / oC )

g = Percepatan gravitasi ( m / s2 )

Tw - Tf = Selisih temperatur plat dengan fluida ( oC )

L = Panjang plat ( m )

Pr = Angka Prandtl

= Viskositas kinematik ( m2 / s )

Angka Rayleigh digunakan sebagai salah satu acuan untuk menentukan

jenis aliran dalam konveksi alami, yaitu :

Ra < 109 : Aliran Laminar

Ra = 109 : Aliran Transisi

Ra > 109 : Aliran Turbulen

2.7 Koefisien Perpindahan Panas Konveksi Alami Koefisien perpindahan panas (h) berpengaruh terhadap laju perpindahan

panas pada suatu sistem konveksi. Besarnya nilai h dipengaruhi oleh jenis fluida

yang digunakan, bentuk permukaan yang dilewati fluida dan kecepatan fluidanya

(laminar, turbulen atau transien). Viskositas mempengaruhi profil kecepatan yang

akan berpengaruh terhadap laju perpindahan energi pada daerah dinding (Holman,

1997)

Persamaan koefisien perpindahan panas konveksi :

( ) 0

=

ywx y

TTT

kh (2.14)

Persamaan di atas disebut sebagai persamaan koefisien perpindahan panas

konveksi lokal. Tanda negatif menyatakan gradien temperatur terhadap y

mengalami penurunan. Semakin besar y, semakin kecil gradien temperaturnya.

BAB III

PELAKSANAAN PENELITIAN

3.1 Alat dan Bahan

3.1.1 Alat

a. Komputer pribadi dengan spesifikasi :

- Prosesor AMD Sempron 2400+

- Memori DDR RAM 256 MB

b. Perangkat lunak Microsoft Fortran PowerStation 4.0

c. Perangkat lunak Matlab 6.5.1 (R13)

d. Printer

3.1.2 Bahan

Hasil diskritisasi persamaan kontinuitas, persamaan momentum dan

persamaan energi dengan metode Beda Hingga dan persamaan koefisien

perpindahan panas konveksi.

3.2 Garis Besar Penelitian Penelitian yang dilakukan menggunakan metode studi pustaka dengan

langkah pelaksanaan secara garis besar sebagai berikut :

a. Mengumpulkan literatur berupa hasil-hasil penelitian terdahulu dan buku

penunjang.

b. Mempelajari literatur

1. Mempelajari penelitian-penelitian yang pernah dilakukan.

2. Mempelajari persamaan lapis batas yang digunakan.

c. Merencanakan algoritma program

1. Membuat diskritisasi persamaan lapis batas dalam bentuk tak berdimensi

(Dimensionless Form).

2. Menyusun bagan alir program.

d. Menulis bagan alir dalam bahasa program (Fortran).

e. Menjalankan program.

f. Memperbaiki kesalahan dalam pemrograman

1. Kesalahan penulisan

2. Kesalahan algoritma

g. Membuat visualisasi hasil program dengan perangkat lunak Matlab.

h. Menyusun laporan.

Diagram alir penelitian yang dilakukan adalah :

ya

tidak

Mempelajari literatur

Membuat diskritisasi persamaan lapis batas tak berdimensi : Persamaan Energi Persamaan Momentum Persamaan Kontinuitas

Membuat algoritma program

Menulis bagan atur dalam bahasa Fortran

Program benar

Menjalankan program : Distribusi Kecepatan Distribusi Temperatur Menghitung Koefisien Perpindahan Panas

Membuat visualisasi : Distribusi Kecepatan Distribusi Suhu Distribusi Koefisien Perpan

A

Mengumpulkan literatur

Mulai

Gambar 3.1 Diagram alir penelitian

Gambar 3.1 (lanjutan)

Menyusun Laporan

A

Selesai

3.3 Diskritisasi Persamaan Lapis Batas Dalam Bentuk Tak Berdimensi (Dimensionless)

Untuk menyederhanakan penyelesaian derivasi persamaan lapis batas,

digunakan variabel referensi yang mengubah persamaan lapis batas menjadi

persamaan lapis batas tak berdimensi (dimensionless).

Y

X

j = 1 j = ny

.i = 1

.i = nx

.y

.x

Gambar 3.2 Grid yang digunakan dalam analisa

Variabel referensi tak berdimensi yang digunakan adalah sebagai berikut :

GLxX.

= GLXx ..=

XGLx = ..

WyY = YWy .=

YWy =

YWy 222 =

=

LGWuWU

2

...W

UGLu =

UW

GLu = 2..

UW

GLu 222 .. =

vWV = WVv .=

VW

v =

=TTTT

w

( ) = TTTT w

( ) += TTTT w

( ) = TTT w

( ) 22 = TTT w

( )

LWTTg

G wref.

..2

4

= ( ) 4

2 ..WTT

LGgwref

=

f

ref T1

=

( )+= TTT wf 21

ref =*

Pr =

Gambar 3.3 Grid untuk Derivasi Pendekatan Beda Hingga

3.3.1 Diskritisasi Persamaan Energi Persamaan dasar energi :

22

yT

yTv

xTu

=

+ (3.1)

Dengan mensubstitusikan variabel tak berdimensi, tiap suku dari persamaan di

atas dapat diubah ke bentuk persamaan tak berdimensi sebagai berikut :

xTu =

( )X

UW

TTw

2 (3.2)

yTv =

( )

2WTTw

YV (3.3)

22

yT

=

( )

2WTTw

2

2

Pr1

Y (3.4)

Substitusi persamaan (3.2), (3.3) dan (3.4) ke persamaan (3.1), diperoleh :

( )

XU

WTTw

2 + ( )

2WTTw

YV =

( )

2WTTw

2

2

Pr1

Y

Persamaan di atas disederhanakan dengan mengeliminasi ( )

2WTTw , menjadi :

X

U +

YV = 2

2

Pr1

Y (3.5)

Persamaan (3.5) disebut persamaan energi dalam bentuk tak berdimensi.

Diskritisasi tiap suku persamaan di atas adalah sebagai berikut :

jiX

U,

=

X

Uk

jik

jikji

,1,1,

(3.6)

i-1, j

y y

i, j-1 i, j i, j+1

x

jiY

V,

=

+Y

Vk

jik

jikji 2

1,1,1,

(3.7)

jiY ,

2

2

=

+ +2

1,,1,

)(2

Y

kji

kji

kji (3.8)

Dengan menyusun ulang persamaan (3.6), (3.7) dan (3.8) identik dengan

persamaan (3.5), diperoleh :

X

Uk

jik

jikji

,1,1,

+

+Y

Vk

jik

jikji 2

1,1,1,

=

Pr1

+ +2

1,,1,

)(2

Y

kji

kji

kji

Variabel yang sudah diketahui disusun disebelah kanan tanda "=", dan variabel

data yang belum diketahui diletakkan di sebelah kiri tanda "=". Diperoleh

persamaan baru :

k jikji

YYV

1,2

1,

)Pr(1

2

+

( )k

ji

kji

YXU

,2

1,

Pr2

+

+

( )

kji

kji

YYV

1,2

1,

Pr1

2 +

= k ji

kji

XU

,1

1,

(3.9)

Koefisien matriks untuk persamaan di atas adalah :

=

2

1,

)Pr(1

2 YYV

akji

j (3.10)

( )

+

=

2

1,

Pr2YX

Ub

kji

j (3.11)

( )

=

2

1,

Pr1

2 YYV

ckji

j (3.12)

k jik

jij X

Ud ,1

1,

= (3.13)

Persamaan (3.9) berubah menjadi :

+ + = (3.14) k jija 1, k

jijb ,k

jijc 1, + jd

Persamaan (3.14) disebut persamaan diskritisasi energi.

Dari persamaan (3.14) dapat dibuat Matriks Tridiagonal pada arah i, untuk j = 1,2,

3, 4, ..., ny ( j = 1 dan j = ny adalah kondisi batas),

wi =1, 23,22,21,2 dcba iii =++

34,33,32,3 dcba iii =++

45,44,43,4 dcba iii =++ . . .

1,11,12,1 =++ nynyinynyinynyiny dcba

0, =nyi

Persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks berikut ini :

=

0

.

.

.

.

.

.

100000000000000

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.000...00000...00000...00000...00001

1

4

3

2

,

1,

4,

3,

2,

1,

111

444

333

222

ny

w

nyi

nyi

i

i

i

i

nynyny d

ddd

cba

cbacba

cba

Matriks di atas disebut Matriks Tridiagonal untuk persamaan energi.

3.3.2 Diskritisasi Persamaan Momentum Persamaan dasar momentum :

( ) 22

yuTTg

yuv

xuu

+=

+

(3.15)

Dengan mensubstitusikan variabel tak berdimensi, tiap suku dari persamaan di

atas dapat diubah kedalam bentuk persamaan tak berdimensi sebagai berikut :

xuu =

XUU

WGL

4

2 .. (3.16)

yuv =

YUV

WGL

4

2 .. (3.17)

g. = ( )

4

2 ..WTT

GL

wref

(3.18)

= TT ( TTw ) (3.19)

22

yu

= 2

2

4

2 ..YU

WGL

(3.20)

Substitusi persamaan (3.16), (3.17), (3.18), (3.19) dan (3.20) ke persamaan (3.15),

diperoleh :

XUU

WGL

4

2 .. + YUV

WGL

4

2 .. = ( )

4

2 ..WTT

GL

wref

( )TTw

+ 22

4

2 ..YU

WGL

Persamaan di atas disederhanakan dengan mengeliminasi

4

2 ..W

GL menjadi :

XUU +

YUV = + * 2

2

YU

(3.21)

Persamaan (3.21) disebut persamaan momentum dalam bentuk tak berdimensi.

Dari persamaan (3.21) dapat dibuat koefisien Matriks tridiagonal berikut ini :

jiX

UU,

=

XUU

Uk

jik

jikji

,1,1, (3.22)

jiY

UV,

=

+YUU

Vk

jik

jikji 2

1,1,1, (3.23)

jiY

U

,2

2

=

+ +2

1,,1,

)(2

YUUU k ji

kji

kji (3.24)

Dengan menyusun ulang persamaan (3.22), (3.23) dan (3.24) identik dengan

persamaan (3.21), diperoleh :

XUU

Uk

jik

jikji

,1,1, +

+YUU

Vk

jik

jikji 2

1,1,1, = +

*, ji

+ +2

1,,1,

)(2

YUUU k ji

kji

kji

Dengan cara yang sama dengan persamaan energi, didapat :

( )k

ji

kji U

YYV

1,2

1, 1

2

k ji

kji U

YXU

,2

1,

)(2

+

+

( )=

+ +

k

ji

kji U

YYV

1,2

1, 1

2

+*, jik

ji

kji U

XU

,1

1,

(3.25)

Koefisien matriksnya adalah :

( )

=

2

1, 1

2 YYV

akji

j (3.26)

+

=

2

1,

)(2YX

Ub

kji

j (3.27)

( )

=

2

1, 1

2 YYV

ckji

j (3.28)

k jik

jijij UX

Ud ,1

1,*

,

+= (3.29)

Sehingga persamaan (3.25) menjadi :

(3.30) jk

jijk

jijk

jij dUcUbUa =++ + 1,,1,

Persamaan (3.30) disebut persamaan diskritisasi momentum.

Dari persamaan (3.30) dapat dibuat Matriks Tridiagonal pada arah i, untuk j = 1,2,

3, 4, ..., ny ( j = 1 dan j = ny merupakan kondisi batas),

01, =iU 23,22,21,2 dUcUbUa iii =++

34,33,32,3 dUcUbUa iii =++

45,44,43,4 dUcUbUa iii =++. . .

1,11,12,1 =++ nynyinynyinynyiny dUcUbUa

=UU nyi,

Persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai

berikut :

=

Ud

ddd

UU

UUUU

cba

cbacba

cba

ny

nyi

nyi

i

i

i

i

nynyny 1

4

3

2

,

1,

4,

3,

2,

1,

111

444

333

222

.

.

.

0

.

.

.

100000000000000

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.000...00000...00000...00000...00001

Matriks Tridiagonal untuk persamaan momentum.

3.3.3 Diskritisasi Persamaan Kontinuitas Untuk mendiskritisasi persamaan kontinuitas digunakan titik-titik nodal

pada gambar 3.4. Persamaan kontinuitas di diskritisasi pada midpoint (bukan pada

titik nodal), dinotasikan dengan (i,j-1/2), yang terletak pada baris ke-i dan berjarak

setengah dari jarak antara j - 1 dengan j.

i, j-1 i, j-1/2 i, j

Gambar 3.4 Nodal untuk Diskritisasi Persamaan Kontinuitas

Persamaan dasar kontinuitas :

0=

+

yv

xu (3.31)

Dengan mensubstitusikan variabel tak berdimensi, tiap suku dari persamaan di

atas dapat diubah kedalam bentuk persamaan tak berdimensi sebagai berikut :

xu =

XU

W

2

(3.32)

yv =

YV

W

2

(3.33)

Substitusi persamaan (3.32) dan (3.33) ke persamaan (3.31), diperoleh :

i-1, j-1 i-1, j

y x

XU

W

2

+ YV

W

2

= 0

Persamaan di atas disederhanakan dengan mengeliminasi

2W

menjadi :

XU +

YV = 0 (3.34)

Persamaan (3.34) disebut persamaan kontinuitas dalam bentuk tak berdimensi.

Dari persamaan (3.34) dapat dibuat koefisien Matriks tridiagonal berikut ini :

Diasumsikan derivatif x dititik (i,j-1/2) sama dengan rata-rata dari derivatif

dititik (i,j) dan (i,j-1), yaitu :

+

=

1,,2/1, 21

jijiji XU

XU

XU

dimana,

=

XUU

XU jiji

ji

,1,

,

;

=

XUU

XU jiji

ji

1,11,

1,

Sehingga,

+

=

XUU

XUU

XU jijijiji

ji

1,11,,1,

2/1, 21 (3.35)

Derivatif y menggunakan pendekatan beda tengah,

=

YVV

YV jiji

ji

1,,

2/1,

(3.36)

Dengan menyusun ulang persamaan (3.35) dan (3.36) identik dengan persamaan

(3.34), diperoleh :

YVV jiji 1,, =

+

XUU

XUU jijijiji 1,11,,1,

21

( 1,11,,1,1,, 2 +

= jijijijijiji UUUUXYVV ) (3.37)

Persamaan (3.37) adalah persamaan kontinuitas hasil diskritisasi yang digunakan

dalam penulisan program.

3.4 Kondisi Batas Kondisi batas yang digunakan pada penelitian ini adalah daerah pada lapis

batas aliran laminar konveksi alami pada plat datar vertikal seperti gambar (3.2) :

y = 0

.x = 0 .y

.x

y

0

U 00000

0U 00000

==

10U 0000=

=

V 0000=

Gambar 3.5 Kondisi Batas

Untuk Y = 0, 100

===

VU

Untuk , Y00

U

Untuk X = 0, 00

==

U

Kondisi batas pada Metode Beda Hingga digunakan untuk modifikasi

koefisien matriks persamaan lapis batas, yaitu persamaan energi, momentum dan

persamaan kontinuitas.

3.5 Perhitungan Koefisien Perpindahan Panas Konveksi Alami Untuk menghitung koefisien perpindahan panas konveksi, digunakan

persamaan (2.14) :

( ) 0

=

ywx y

TTT

kh

Dengan menggunakan beda mundur, derivatif dari persamaan diatas adalah :

0

yyT

yTT wi

2,

3.6 Penyusunan Algoritma dan Bagan Alir (Flow Chart) Program Algoritma yang digunakan dalam penulisan program adalah sebagai berikut :

a. Membaca data-data masukan (input); properti udara, temperatur, tebal lapis

batas, syarat awal dan kondisi batas yang digunakan.

b. Menghitung parameter tak berdimensi dan grid.

c. Mengontrol angka Raleigh. Apabila Raleigh kurang dari 109, lanjutkan

pengerjaan. Jika tidak, tulis Aliran Turbulen dan sesuaikan masukan.

d. Mengerjakan persamaan energi untuk menghitung temperatur, dengan

menggunakan persamaan diskritisasi koefisien matriks (3.10) sampai dengan

(3.13)

e. Mengerjakan persamaan momentum untuk menghitung kecepatan U pada arah

i dengan menggunakan persamaan diskritisasi koefisien matriks (3.26) sampai

(3.29).

f. Mengerjakan persamaan kontinuitas menghitung kecepatan V arah j dengan

menggunakan persamaan diskritisasi (3.37).

g. Melakukan looping iterasi dengan memeriksa konvergensi, jika belum

konvergen ulangi langkah c sampai d, jika sudah tulis data.

h. Melakukan looping untuk i = 2 sampai dengan i = nx.

i. Menulis data.

j. Selesai.

Diagram alir (Flow Chart) program :

A

Baca : Grav, Pr, w, vis, Tw, Tf, PL

Mulai

Gambar 3.6 Diagram Alir Program

A

Gambar 3.6 (lanjutan)

YA

Ra < 109

Menghitung : TA, Betar, Ra, Gr, G,Xmax

TIDAK

Menghitung Grid : x, y

Mengerjakan Persamaan Momentum

Panggil Subroutine Tridag VCHX = V (i,NY)

Baca : Syarat Awal & Kondisi Batas U(1,1)=0, V(1,1)=0, T(1,1)=0 U(1,J)=0, V(1,J)=0, T(1,J)=0

U(i,1)=0, V(i,1)=0, T(i,1)=1, T(i,N)=0 VCHX=0

Mengerjakan Persamaan Energi

Panggil Subroutine Tridag

Mengerjakan Persamaan kontinuitas

B

Menghitung : VDIFF = ABS ( V(i,NY) VCHX )

B

VDIFF < 0.01

TIDAK

Menghitung : velu (i,j), velv (i,j), temp (i,j), hx (i)

YA

Selesai

Tulis : velu, velv, temp, hx

Gambar 3.6 (lanjutan)

BAB IV

DATA DAN ANALISIS

4.1 Validasi Program Sebagai validasi program pada penelitian ini, digunakan penelitian yang

dilakukan oleh Rolando A. Chavez untuk fluida superkritis. Kondisi batas yang

digunakan adalah :

u = 0 T = T

u = 0 v = 0 T = Tw

y

x

u = 0 T = T

Gambar 4.1 Kondisi batas penelitian Rolando A. Chavez

Grid yang digunakan adalah grid dengan x tidak seragam yang rapat di

bagian bawah dan lebih renggang di bagian atas. Sedangkan grid y konstan,

seperti pada gambar 4.2.

Y

X

j = 1 j = ny

.i = 1

.i = nx

.y

.x

Gambar 4.2 Grid penelitian Rolando A. Chavez

4.2 Simulasi Konveksi Alami Plat Datar Vertikal Panas Simulasi kasus konveksi alami pada plat datar vertikal ditampilkan dengan

kondisi :

a. Data ditentukan :

- Angka Prandtl, Pr = 0.7

- Temperatur Plat, Tw = 50 oC

- Temperatur udara, T = 10 oC

- Panjang plat, PL = 3 cm

b. Data perhitungan :

- Temperatur film, ( )

2+=

TTT wf = 30

oC

- Viskositas kinematik pada temperatur film, = 16 x 10-6 (m2/s)

- Konduktivitas termal pada Tf, k = 26.38 x 10-3 W/m oC

- Koefisien ekspansivitas termal,fT

1=

- Angka Rayleigh, ( )( )

2

3 Pr..

PLTTgRa w

=

Kondisi batas yang digunakan adalah sebagai berikut :

Untuk y = 0 : u = 0, v = 0 dan T = Tw Untuk y = : u = 0 dan T = T Untuk x = 0 : u = 0 dan T = T

Gambar 4.3 menunjukkan profil kecepatan dari penelitian Rolando A.

chavez pada kasus konveksi alami plat datar vertikal dengan fluida air untuk

ekspansivitas termal konstan dan ekspansivitas bervariasi. Nilai u diukur pada x =

0.02176 (m) dengan Pr = 1.05.

Gambar 4.3 Profil kecepatan hasil penelitian Rolando A. Chavez

(0,0012; 0,347)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010

y (m)

u (m

/s)

Gambar 4.4 Profil kecepatan udara hasil penelitian

Gambar 4.4 menunjukkan profil kecepatan udara pada plat datar vertikal

konveksi alami. Nilai u di ukur pada x = 0.03 m dengan Pr = 0.7 dan Tf = 30 oC.

Temperatur plat, Tw = 50 oC, temperatur udara T = 10 oC dan Ra = 9.66 x 105

(angka Rayleigh total) yang dihitung dengan menggunakan persamaan 2.13

dengan panjang plat, PL = 0.03 m. Angka Rayleigh yang dihasilkan lebih kecil

dari 109, menandakan bahwa aliran tersebut adalah laminar ( Ra < 109 ).

Kecepatan fluida meningkat dari u = 0, di y = 0, hingga mencapai u

maksimum pada u = 0.347 m/s di y = 1.2 x 10-3 m, kemudian secara bertahap

turun hingga mencapai 0 pada lapis batas kecepatan.

Secara kualitatif hasil yang diperoleh menunjukkan kesesuaian dengan hasil

penelitian Rolando A. Chavez pada gambar 4.3.

Gambar 4.5 Profil temperatur hasil penelitian Rolando A. Chavez

Gambar 4.5 menunjukkan profil temperatur dari penelitian Rolando A.

Chavez yang dihitung dengan kondisi yang sama dengan gambar 4.3.

05

101520253035404550

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010

y (m)

Tem

pera

tur (

C)

Gambar 4.6 Profil temperatur udara hasil penelitian

Gambar 4.6 menunjukkan profil temperatur udara pada kondisi yang sama

dengan gambar 4.4. Semakin besar y, temperatur udara semakin mengecil dari 50 oC pada plat sampai mencapai temperatur konstan 10 oC pada daerah lapis batas.

Hal ini terjadi karena pada daerah lapis batas sudah tidak terjadi transfer panas,

dimana efek panas yang ditimbulkan plat sudah tidak ada. Sehingga

temperaturnya menjadi sama dengan temperatur arus bebas (free stream), yaitu 10 oC.

Secara kualitatif, grafik gambar 4.6 menunjukkan kesesuian dengan hasil

penelitian Rolando A. Chavez pada gambar 4.5.

Gambar 4.7 Distribusi kecepatan hasil penelitian Rolando A. Chavez

Gambar 4.7 menunjukkan plot kontur kecepatan dari penelitian Rolando A.

Chavez untuk fluida superkritis air dengan Pr = 1.05.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 10-3

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

y (m)

x (m

)

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

VELU

Gambar 4.8 Distribusi kecepatan udara hasil penelitian

Gambar 4.8 menunjukkan kontur kecepatan udara yang di visualisasikan

dengan perangkat lunak Matlab R13. Kecepatan diplot dengan domain 0.01 m

sepanjang plat 0.03 m. Warna merah tua pada kontur menunjukkan nilai tertinggi

dari kecepatan dan warna biru tua menunjukkan besar kecepatan sama dengan nol.

Di daerah sekitar plat, kecepatan fluida sama dengan nol. Kemudian naik hingga

mencapai suatu titik maksimum dan turun kembali mencapai nol pada batas

domain.

Hasil yang didapat menunjukkan kesesuian dengan teori yang ada. Dimana

pada dinding, kecepatannya adalah nol karena terdapat kondisi tanpa gelincir (no-

slip condition). Kecepatan bertambah sampai mencapai suatu nilai maksimum,

kemudian turun secara bertahap mencapai nol pada tepi lapis batas (Ozisik, 1988).

Secara kualitatif kontur gambar 4.8 menunjukkan kesesuaian dengan hasil

penelitian Rolando A. Chavez pada gambar 4.7.

Gambar 4.9 Distribusi temperatur hasil penelitian Rolando A. Chavez

Gambar 4.9 menunjukkan plot kontur temperatur dari penelitian Rolando A.

Chavez untuk fluida superkritis air dengan Pr = 1.05.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 10-3

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

y (m)

x (m

)

10

15

20

25

30

35

40

45

TEMPERATUR

Gambar 4.10 Distribusi temperatur udara hasil penelitian

Gambar 4.10 adalah kontur temperatur udara yang diplot dengan kondisi

yang sama dengan gambar 4.8. Warna merah tua menunjukkan temperatur udara

tertinggi dan warna biru tua menunjukkan temperatur udara terendah. Temperatur

udara yang bersentuhan dengan plat adalah 50 oC. Semakin jauh dari plat

temperatur udara turun sampai mencapai 10 oC. Temperatur ini sama dengan

temperatur arus bebas (free stream).

Hasil ini menunjukkan kesesuaian dengan teori yang ada bahwa pada aliran

konveksi alami, temperatur udara dekat plat adalah yang tertinggi dan secara

bertahap turun hingga memiliki temperatur sama dengan temperatur arus bebas

dimana efek panas plat sudah tidak berpengaruh.

Secara kualitatif kontur temperatur udara gambar 4.10 menunjukkan

kesesuaian dengan hasil penelitian Rolando A. Chavez gambar 4.9.

0

20

40

60

80

100

120

140

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035

x (m)

hx (W

/m2.

C)

Gambar 4.11 Distribusi koefisien perpindahan panas konveksi alami lokal

pada Pr = 0.7 dan Tf = 30 oC

Gambar 4.11 menunjukkan distribusi koefisien perpindahan panas konveksi

alami lokal pada plat. Grafik koefisien perpindahan panas konveksi alami lokal

menurun atau berbanding terbalik dengan jarak titik (x) pada plat. Semakin jauh

jarak dari ujung plat, semakin kecil harga koefisien perpindahan panas konveksi

lokalnya. Hal ini menunjukkan kesesuaian dengan teori yang ada dan dapat

dikoreksi dengan persamaan (2.14) :

( ) 0

=

ywx y

TTT

kh

Kondisi pada lapis batas termal sangat dipengaruhi oleh gradien

temperatur,0

/

y

yT . Karena (Tw T) konstan tidak terpengaruh oleh x dan t

meningkat dengan bertambahnya x, maka gradien temperatur mengecil jika x

bertambah. Dengan mengecilnya gradien temperatur 0

/

y

yT ketika x

bertambah, mengakibatkan nilai hx mengecil. Atau dengan kata lain koefisien

perpindahan panas konveksi alami lokal berbanding terbalik dengan jarak x dari

ujung plat.

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dari penelitian dan pembahasan yang telah dilakukan dapat ditarik beberapa

kesimpulan, yaitu :

a. Kode program yang dirancang dalam penelitian ini dapat bekerja dengan baik

sesuai dengan tujuan awal penelitian untuk membuat simulasi perpindahan

panas konveksi alami pada plat datar vertikal panas.

b. Kecepatan udara yang diukur pada x = 0.03 m dengan Pr = 0.7 dan Tf = 30 oC,

mengalami peningkatan hingga mencapai titik maksimum di y = 1.2 x 10-3 m

dengan nilai u = 0.347 m/s kemudian turun secara bertahap sampai u = 0 pada

daerah lapis batas.

c. Temperatur udara turun dari 50 oC, yang bersinggungan dengan plat, hingga

mencapai 10 oC, yaitu sama dengan temperatur arus bebas, di daerah lapis

batas.

d. Koefisien perpindahan panas konveksi alami lokal berbanding terbalik dengan

jarak x dari ujung plat. Semakin jauh jarak pada plat, semakin kecil nilai

koefisien perpindahan panas konveksi lokalnya.

e. Secara kualitatif, profil kecepatan udara dan profil temperatur udara yang

dihasilkan dari penelitian ini menunjukkan hasil yang sama dengan penelitian

pada fluida superkritis yang dilakukan oleh Rolando A. Chavez.

f. Secara kualitatif, plot distribusi kecepatan udara dan plot distribusi temperatur

udara yang dihasilkan dari penelitian ini menunjukkan hasil yang sama dengan

hasil penelitian pada fluida superkritis yang dilakukan oleh Rolando A.

Chavez

g. Secara kualitatif, hasil perhitungan koefisien perpindahan panas konveksi alami lokal menunjukkan kesesuaian dengan teori perpindahan panas.

5.2 Saran

Untuk lebih mengembangkan ilmu komputasi perpindahan panas dan

simulasi numerik, penulis memberikan saran untuk :

a. Melakukan pengembangan penelitian lebih lanjut dengan perhitungan secara

kuantitatif.

b. Melakukan penelitian kasus perpindahan panas konveksi alami pada plat datar

vertikal panas dengan metode yang berbeda.

DAFTAR PUSTAKA

Anderson, J.D. 1995. Computational Fluid Dynamics The Basics With

Applications. Singapore: McGraw-Hill, Inc.

Bejan, Adrian. 1993. Heat transfer. Singapore: John Wiley & Sons, Inc.

Chavez, R.A.C. 2004. Natural Convection Heat Transfer in Supercritical

Fluids. Perto Rico: Mechanical Engineering Dept. University of Puerto

Rico.

Fox, R. and McDonald, A. 1991. Introduction to Fluid Mechanics.

El Hadidi, B.M. 1998. A Computational Study of Flow In Mechanically Ventilated

Space. Egypt: Cairo University.

Hoffmann, K.A. 1989. Computational Fluid Dynamics for Engineers. Austin,

Texas: A Publication of Engineerng Education System.

Holman, J.P. 1988. Perpindahan Kalor. Jakarta: Erlangga.

Incropera, F.M. 1996. Introduction to Heat Transfer. USA: John Wiley & Sons.

Lemos, C.M. 1993. FDFlow : A Fortran-77 Solver for 2-D Incompressible Fluid

Flow. Computers & Geosciences, Vol. 20, No.3, pp. 265-291.

Oosthuizen, PH. 1999. An Introduction to Convective Heat Transfer Analysis.

Queen's University. USA: WCB/McGraw-Hill Book Company.

Ozisik, M Necati. 1988. Elements of Heat Transfer. McGraw-Hill Book

Company.

Lampiran 1. Program dengan FORTRAN PS 4.0 ************************************************************ ****** PROGRAM ****** ****** SIMULASI NUMERIK PERPINDAHAN PANAS ****** ****** KONVEKSI ALAMI PLAT DATAR VERTIKAL ****** ************************************************************ ************************************************************ ************ KETERANGAN SIMBOL ****************** ************************************************************ *** a = koefisien matriks *** b = koefisien matriks *** BETAR = koefisien ekspansivitas termal *** c = koefisien matriks *** d = koefisien matriks *** dx = jarak grid arah x *** dxmax = jarak grid maksimum arah x *** dy = jarak grid arah y *** G = modifikasi angka Grashof *** Gr = angka grashof *** grav = percepatan gravitasi *** hx = koefisien perpindahan panas lokal *** iter = iterasi *** k = konduktivitas termal udara *** m = indeks baris *** n = indeks kolom *** nump = 100 *** nx = jumlah grid arah x *** ny = jumlah grid arah y *** PL = panjang plat *** Pr = angka Prandtl *** Ra = angka Rayleigh *** rex = under relaxation *** sum = penjumlahan *** T = temperatur non-dimensional *** TA = temperatur rata-rata *** temp = temperatur dimensional *** TF = temperatur fluida *** TW = temperatur dinding (wall) *** U = kecepatan non-dimensional arah x *** V = kecepatan non-dimensional arah y *** VCHX = nilai V kontrol *** vdiff = selisih harga V *** velu = kecepatan dimensional arah x *** velv = kecepatan dimensional arah y *** vis = viskositas kinematik udara *** W = tebal domain *** x = koordinat non-dimensional arah x *** Xmax = panjang domain non-dimensional *** xx = koordinat berdimensi arah x sejajar plat *** y = koordinat non-dimensional arah y *** yy = koordinat berdimensi arah y normal terhadap plat ************************************************************ ************************************************************

Lampiran 1. (sambungan) ************************************************************ parameter(m=500,n=500) dimension U(m,n),V(m,n),T(m,n),a(m),b(m) dimension c(m),d(m),X(m),Y(m) dimension xx(m),yy(n) dimension velu(m,n),velv(m,n),temp(m,n) dimension hx(m) real k ************************************************************

open(2,file='c:\matlab6p5p1\work\temp') open(3,file='c:\matlab6p5p1\work\velu') open(4,file='c:\matlab6p5p1\work\num') open(7,file='c:\matlab6p5p1\work\hx') ************************************************************

grav = 9.81 W = 0.02 Pr = 0.7 VIS = 16.E-6 ****************** DATA SUHU ****************** TW = 50. TF = 10. TA = (1./2)*(TW+TF) BETAR = 1./TA ****************** PANJANG PLAT ****************** PL = 0.03 write(*,*)' Panjang Plat= ',PL ************* PARAMETER TAK BERDIMENSI ************* Ra = (BETAR*grav*(tw-tf)*pr*pl**3)/vis**2 write(*,*)' Raleigh = ',Ra if(Ra.GT.10E9)then write(*,*) Aliran Turbulen

stop endif Gr=Ra/Pr G=BETAR*grav*(TW-TF)*(W**4)/((VIS**2)*PL) Xmax = 1./G write(*,*)' Grashof = ',Gr write(*,*)' Xmax = ',xmax write(*,*)' G = ',G x(1)=0.0 sum=0 nump=100 do it=1,nump sum+1.05**it sum= enddo

Lampiran 1. (sambungan) dx=0.75*Xmax/sum dxmax=dx*(1.05**nump) do i=2,500 if(dx.lt.dxmax)then dx=1.05*dx else dx=dxmax endif x(i)=x(i-1)+dx nx=i if(x(i).gt.xmax)goto 200 enddo 200 ny=301 y(1)=0.0 dy=1./(ny-1) rex=0.5 do j=2,ny y(j)=y(j-1)+dy enddo write(*,*)' x(nx) =',x(i) write(*,*)' nx =',nx *********** SYARAT AWAL & KONDISI BATAS ********** U(1,1) = 0.0 V(1,1) = 0.0 T(1,1) = 1.0 do j= 2,ny U(1,J) = 0.0 T(1,J) = 0.0 V(1,J) = 0.0 enddo do i=2,nx V(i,1) = 0.0 U(i,1) = 0.0 U(i,ny) = 0.0 T(i,ny) = 0.0 T(i,1) = 1.0 enddo do i=2,nx dx=x(i)-x(i-1) ITER=0 VCHX=0.0 500 ITER=ITER+1

Lampiran 1. (sambungan) ****** MENGERJAKAN PERSAMAAN ENERGI MENGHITUNG "T" ***** a(1)=0.0 b(1)=1.0 c(1)=0.0 d(1)=t(i,1) do j=2,ny-1 a(j)=(-v(i,j)/2/dy) - (1./pr/dy/dy) b(j)=(u(i,j)/dx) + (2./pr/dy/dy) c(j)=(v(i,j)/2/dy) - (1./pr/dy/dy) d(j)=u(i,j)*t(i-1,j)/dx enddo a(ny)=0.0 b(ny)=1.0 c(ny)=0.0 d(ny)=t(i,ny) call tridag(a,b,c,d,1,ny) do j=1,ny t(i,j)=t(i,j)+rex*(d(j)-t(i,j)) enddo ******* MENGERJAKAN PERSAMAAN MOMENTUM MENGHITUNG "U" ***** a(1)=0.0 b(1)=1.0 c(1)=0.0 d(1)=u(1,j) do j=2,ny-1 a(j)=(-v(i,j)/2/dy) - (1./dy/dy) b(j)=(u(i,j)/dx) + (2./dy/dy) c(j)=(v(i,j)/2/dy) - (1./dy/dy) d(j)=t(i,j) + u(i,j)*u(i-1,j)/dx enddo a(ny)=0.0 b(ny)=1.0 c(ny)=0.0 d(ny)=u(ny,j) call tridag(a,b,c,d,1,ny) do j=1,ny u(i,j)=u(i,j)+rex*(d(j)-u(i,j)) enddo ***** MENGERJAKAN PERSAMAAN KONTINUITAS MENGHITUNG "V" ***** do j=2,ny v(i,j) = v(i,j-1)-(dy/(2.0*dx))*(u(i,j)-u(i-1,j)+ c u(i,j-1)-u(i-1,j-1)) enddo

Lampiran 1. (sambungan) vdiff=v(i,ny)-vchx if(iter.lt.50) goto 500 if(iter.gt.100) goto 101 if(vdiff.lt.0.01) goto 300 vchx=v(i,ny) goto 500 300 CONTINUE write(*,*)' i= ',i,' x = ',X(i),' iter= ',iter IF(X(i).GE.XMAX) goto 102 enddo 101 write(6,*)' ny>100' goto 103 102 write(6,1000) write(*,*)' ny = ',ny write(*,*)' nx = ',i write(4,*)ny write(4,*)nx ************* PARAMETER BERDIMENSI ***************

do i=1,nx xx(i)=x(i)*PL*G enddo do j=1,ny )=y(j)*w yy(j enddo do j=1,ny do i=1,nx velu(i,j)=u(i,j)*vis*PL*G/(w**2) velv(i,j)=v(i,j)*vis/w temp(i,j)=t(i,j)*(Tw-Tf)+Tf enddo enddo ************ KOEFISIEN PERPAN KONVEKSI ************* k=26.38E-3 do i=2,nx i)=-k*(temp(i,2)-Tw)/(dy*w*(Tw-Tf)) hx( write(7,*)xx(i),hx(i) enddo do j=1,ny write(3,*)yy(j),velu(100,j) enddo

Lampiran 1. (sambungan) do i=1,nx do 1,ny j= write(2,*)yy(j),xx(i),velu(i,j) enddo enddo 103 CONTINUE 1000 FORMAT (/,1X,' X > Xmax') STOP END subroutine tridag(a,b,c,d,l1,l2) Parameter(m=500) dimension a(m),b(m),c(m),d(m) do 1 i=l1+1,l2 r=-a(i)/b(i-1) b(i)=b(i)+r*c(i-1) 1 d(i)=d(i)+r*d(i-1) d(l2)=d(l2)/b(l2) do 2 j=l2-1,l1,-1 2 d(j)=(d(j)-c(j)*d(j+1))/b(j) return end

Lampiran 2. Program Visualisasi dengan Matlab R13

Program Matlab untuk Plot 1 Dimensi

load VELU -ascii;

im=301;

jm=1;

imax=im*jm;

for j=1:jm

for i=1:im

is=i+(j-1)*im;

x(i,j)=VELU(is);

y(i,j)=VELU(is+imax);

end

end

hold on;

box on;

plot(x,y);

clear;

hold off;

Lampiran 2. (sambungan)

Program Matlab untuk Plot 2 Dimensi

load temp -ascii;

load num -ascii;

im=num(1);

jm=num(2);

imax=im*jm;

for j=1:jm

for i=1:im

is=i+(j-1)*im;

x(i,j)=temp(is);

y(i,j)=temp(is+imax);

o(i,j)=temp(is+2*imax);

end

end

hold on;

box on;

contourf(x,y,o,100);

contour(x,y,o,100);

colorbar;

clear

hold off;

Lampiran 3. Simulasi dengan Fluida Air

Air

PL = 0.02 m

Tw = 40 oC

T = 20 oC

Tf = 30 oC

Pr = 5.42

= 0.8012 x 10-6 m2/s

k = 0.6150 W/m.C

W = 0.004 m

48

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-3

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

y (m)

x (m

)

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

VELU

Gambar L3.1 Plot distribusi kecepatan air pada x = 1,14 x 10-3 m

(0,000107; 0,0245)

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040

y (m)

u (m

/s)

Gambar L3.2 Profil kecepatan air

Kecepatan maksimum terjadi pada jarak y = 1.07 x 10-4 dengan u = 0.0245 m/s

Lampiran 3. (sambungan)

49

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-3

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

y (m)

x (m

)

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

TEMPERATUR

Gambar L3.3 Plot distribusi temperatur air pada x = 1,14 x 10-3 m

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040

y (m)

Tem

pera

tur (

C)

Gambar L3.4 Profil temperatur air

0

5000

10000

15000

20000

25000

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

x (m)

hx (W

/m2.

C)

Gambar L3.5 Distribusi koefisien perpindahan panas lokal

50

Lampiran 4. Simulasi dengan Fluida Udara

Udara

PL = 0.1 m

Tw = 60 oC

T = 20 oC

Tf = 40 oC

Pr = 0.71

= 16.96 x 10-6 m2/s

k = 27.10 x 10-3 W/m.oC

W = 0.02 m

51

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.0180

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

y (m)

x (m

)

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

VELU

Gambar L4.1 Plot distribusi kecepatan udara pada x = 0.071 m

(0,00167; 0,461)

0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,50

0,00 0,01 0,01 0,02 0,02

y (m)

u (m

/s)

Gambar L4.2 Profil kecepatan udara

Kecepatan maksimum terjadi pada jarak y = 0.00167 m dengan u = 0.461 m/s.

Lampiran 4. (sambungan)

52

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.0180

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

y (m)

x (m

)

20

25

30

35

40

45

50

55

TEMPERATUR

Gambar L4.3 Plot distribusi temperatur udara pada x = 0.071 m

0

10

20

30

40

50

60

0,00 0,01 0,01 0,02 0,02

y (m)

Tem

pera

tur (

C)

Gambar L4.4 Profil temperatur udara

Lampiran 4. (sambungan)

53

0102030405060708090

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

x (m)

hx (W

/m2.

C)

Gambar L4.5 Distribusi koefisien perpindahan panas lokal

54

Lampiran 5. Simulasi dengan fluida Karbon Dioksida (CO2)

Karbon Dioksida (CO2)

PL = 0.0161 m

Tw = 67.7 oC

T = 25.12 oC

Tf = 46.41 oC

Pr = 2.02

= 2.716 x 10-7 m2/s

k = 6.596 x 10-5 W/m.oC

W = 0.001 m

55

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 10-4

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

y (m)

x (m

)

0

0.05

0.1

0.15VELU

Gambar L5.1 Plot distribusi kecepatan CO2 pada x = 1.413 x 10-4 m

(4,0E-05; 0,0139)

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010

y (m)

x (m

)

Gambar L5.2 Profil kecepatan CO2

Kecepatan maksimum terjadi pada jarak y = 4 x 10-5 dengan u = 0.0139 m/s

Lampiran 5. (sambungan)

56

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 10-4

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

y (m)

x (m

)

30

35

40

45

50

55

60

65

TEMPERATUR

Gambar L5.3 Plot distribusi temperatur CO2 pada x = 1.413 x 10-4 m

0

10

20

30

40

50

60

70

0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010

y (m)

Tem

pera

tur (

C)

Gambar L5.4 Profil temperatur CO2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

x (m)

hx (W

/m2.

C)

Gambar L5.5 Distribusi koefisien perpindahan panas lokal