Definisi Seasonal ARIMA adalah model ARIMA yang mengandung

faktor musiman.

Musiman berarti kecenderungan mengulangi pola tingkahgerak dalam periode musim, biasanya satu tahun untuk dataMusiman berarti kecenderungan mengulangi pola tingkahgerak dalam periode musim, biasanya satu tahun untuk databulanan.

Karena itu, time series musiman mempunyai karakteristik yangditunjukkan oleh adanya korelasi beruntun yang kuat padajarak semusim (periode musim), yakni waktu yang berkaitandengan banyak observasi pada per periode musim.

Notasi Notasi ARIMA dapat diperluas untuk mencakup aspek musiman yaitu:

ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)s Jumlah periodeper musim

Keterangan:

(p,q): komponen non-musiman model ARMA

d: orde diferensi non-musimam

P : nilai dari seasonal AR (SAR)

D : nilai dari differencing seasonal

Q : nilai dari moving average seasonal (SMA)

Bagian non-musiman

Bagianmusiman

Identifikasi Identifikasi bagian non-musiman:

Model ACF PACF

AR(1) Menurun secara eksponensial Signifikan di lag 1AR(1) Menurun secara eksponensial Signifikan di lag 1

AR(p) Menurun secara eksponensial Signifikan sampai lag p

MA(1) Signifikan di lag 1 Menurun secara ekponensial

MA(q) Signifikan sampai lag q Menurun secara ekponensial

ARMA(p,q) Signifikan keluar sampai lag q Signifikan keluar sampai lag p

Menurun secara eksponensial (diesdown)

Dies down

Identifikasi bagian musiman:

Model ACF PACF

SAR(1)Menurun secara exponensial pada level

seasonal (lag 1s)Signifikan pada lag 1s dan selanjutnya

tidak signifikanseasonal (lag 1s) tidak signifikan

SAR(P)Menurun secara exponensial pada level

seasonal (lag 1s, 2s, …, Ps)Signifikan pada lag 1s, 2s,…, Ps dan

setelah lag Ps tidak signifikan

SMA(1)Signifikan pada lag 1s dan selanjutnya tidak

signifikanMenurun secara exponensial pada

level seasonal (lag 1s)

SMA(Q)Signifikan pada lag 1s, 2s, …, Qs dan setelah

lag Qs tidak signifikanMenurun secara exponensial pada

level seasonal (lag 1s, 2s, …, Qs)

SARMA(P,Q)

Signifikan pada lag 1s, 2s, …, Qs dan setelahlag Qs tidak signifikan

Signifikan pada lag 1s, 2s, …, Ps dansetelah lag Ps tidak signifikan

Diferensi Diferensi non-musiman:

Jika data mengandung tren, maka data perlu didiferensi untukmenstasionerkannya.

Seringkali (namun tidak selalu), diferensi data orde pertama cukup untukmenstasionerkan data.menstasionerkan data.

Diferensi musiman:

Jika data mengandung musiman, maka data perlu didiferensi musiman.

Jika data mengandung tren dan musiman, maka dilakukan diferensi non-musiman dan diferensi musiman.

Contoh Identifikasi: Contoh data produksi beer di Australia:

Data dengan panjang periode s = 4

Data mengalami diferensi non-musimanorde 1 (d = 1) dan diferensi musimanorde 1 (D = 1)

Identifikasi non-musiman: Identifikasi non-musiman:

Berdasarkan plot PACF yang signifikansampai lag ke-2, diperoleh p = 2

Identifikasi musiman:

Berdasar plot ACF yang signifikansecara musiman (kuartal) di lag 1x4,diperoleh Q = 1

Sehingga modelnya: ARIMA(2,1,0)(0,1,1)4

Dapat dicoba juga model: ARIMA(2,1,0)(0,1,2)4, ARIMA (2,1,1)(0,1,2)4

Model AR(p) dan Seasonal AR(P) Model AR dan AR musiman (SAR):

Musiman (AR) Non Musiman (SAR)

Model AR(1): Model AR(1)12:

Model AR(2): Model AR(2)12:

Model AR(p) Model AR(P)s:

1 12t t tZ Z a 1 1t t tZ Z a

1 1 2 2t t t tZ Z Z a 1 12 1 24t t t tZ Z Z a

1 1 ...t t p t p tZ Z Z a 1 2 2 ...

...

t t s t s

P t Ps t

Z Z Z

Z a

Model MA(q) dan Seasonal MA(Q) Model MA dan MA musiman (SMA):

Musiman (MA) Non Musiman (SMA)

Model AR(1): Model AR(1)12:

Model AR(2): Model AR(2)12:

Model AR(p) Model AR(P)s:

1 12t t tZ a a 1 1t t tZ a a

1 1 2 2t t t tZ a a a 1 12 1 24t t t tZ a a a

1 1 ...t t t p t qZ a a a 1 2 2 ...

...

t t t s t s

Q t Qs

Z a a a

a

Contoh: Diberikan data bulanan jumlah

turis yang mengunjungi negaraSpanyol selama Januari 1970sampai Maret 1989

1970M01 820671 796113 1297542 1188844 1671536 2302318

1970M07 4204587 5270484 2496770 1538107 1101932 1163845

1971M01 983136 980217 1236050 1898694 1937907 2586122

1971M07 4689122 5223043 2853964 1753837 1254621 1360902

1972M01 1113857 1117236 1689481 1925956 2163178 2943452

1972M07 6237912 6774008 3367080 1902552 1414334 1797537

1973M01 1202174 1126462 1477043 2388930 2126606 3148788

1973M07 6637510 7236634 3655213 2177020 1538605 1753958

1974M01 1241184 1144593 1524258 2225725 1981724 2814555

1974M07 5521607 6464274 3205520 1589380 1180996 1451959

1975M01 1204519 1013728 1547030 1493496 2118609 2939469

1975M07 5950696 6697118 3265465 1396028 1043701 1452619

1976M01 1201802 1054301 1334284 1969020 2002472 2775668

1976M07 5561911 6159885 3060935 1959262 1338885 1595662

1977M01 1329367 1239682 1548567 2157524 2234009 2995528

1977M07 6423660 7037003 3421103 2266724 2134599 2002474

1978M01 1606495 1482481 2223206 2124732 2789463 3363263

1978M07 7017592 7968573 4242651 2747310 2050642 2354083

1979M01 2041841 1708735 2137271 2868814 2897433 38672781979M01 2041841 1708735 2137271 2868814 2897433 3867278

1979M07 5878686 6746902 4029229 2514236 1837401 2374483

1980M01 1926865 1601051 1995573 2469649 2589818 3138548

1980M07 6365971 7918659 3930044 2249793 1671046 2132434

1981M01 1808070 1463234 1748698 2571631 2719622 3343539

1981M07 7100990 7877330 4562962 2770367 1870463 2323017

1982M01 1956456 1656160 2000723 2769373 2997200 3791947

1982M07 6953878 8029299 4665631 2875148 1910816 2357866

1983M01 1861374 1660730 2199483 2671888 2943001 3797188

1983M07 6645627 7674030 4590932 2972699 1939699 2306683

1984M01 1893032 1727653 2057087 3124812 3197066 3966746

1984M07 7365809 8277600 4765686 3129638 2028559 2413525

1985M01 1809238 3489028 2149235 2919590 3079927 4019152

1985M07 6837385 8002015 4696554 3385040 2073529 2875588

1986M01 1984935 1760252 2626673 2645591 3501433 4248450

1986M07 7403956 9102854 5253947 3279344 2398096 3183039

1987M01 2178426 2047278 2372760 3337538 3864519 4672446

1987M07 7911943 9376459 5368966 3602793 2411988 3394269

1988M01 2412604 2362577 2920339 3505098 4000187 4515161

1988M07 8735355 9684267 5818146 4243678 2624818 3356166

1989M01 2597707 2335168 3194855

Plot Data

6,000,000

8,000,000

10,000,000

SARIMA

Dari plot data diatas terlihat data memiliki musiman dan trend.

0

2,000,000

4,000,000

6,000,000

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88

Uji Stasioner:

• Nilai ADF Test Statisticnya lebih besar dari nilai critical value, sehingga data dapatdikatakan belum stasioner dalam mean.

Plot ACF dan PACF Dari plot disamping terlihat bahwa

terdapat musiman pada Autokorelasi

Karena data belum stasioner dalam meanmaupun variansi maka dilakukantransformasi log dan diferencing ordesatu.

Transformasi dan diferensing dilakukanpada kedua situasi baik yang musimanatau non-musiman, kemudiandibandingkan mana yang lebih baik.

Hasil dari transformasi dan diferensingyang non-musiman diberi namadlogsarima sedangkan yang musimandslogsarima

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

DLOGSARIMA

Plot data setelah ditransformasi dandidiferencing (non-musiman)

-.8

-.6

-.4

-.2

.0

.2

.4

.6

.8

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88

DSLOGSARIMA

-1.270 72 74 76 78 80 82 84 86 88

Plot data setelah ditransformasi dandidiferencing (musiman)

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

-1.270 72 74 76 78 80 82 84 86 88

DLOGSARIMA DSLOGSARIMA

Terlihat bahwa masih terdapat pola seasonal yang kuat pada obyek seriesdlogsarima, dengan variasi yang lebih besar dari dibanding dslogsarima. Karenaitu, akan relatif lebih mudah untuk melakukan identifikasi model runtun waktuyang baik bagi data dslogsarima dibanding dlogsarima.

Plot ACF dan PACF Terlihat disini fungsi ACF dari

dslogsarima menurun perlahan,mengindikasikan bahwa data non-stasioner dalam mean. Untuk itudilakukan diferensi terhadapdslogsarimadslogsarima

Uji Stasioner: Setelah didiferensi, hasil diferensi orde 1 diuji:

Nilai ADF Test Statistiknya lebih kecil dari nilai critical value 1%, sehinggadata sudah stasioner dalam mean.

Identifikasi: Identifikasi Non-Musiman:

Plot ACF: signifikan pada lag 1,menunjukkan proses MA non-musiman (q = 1)

Plot PACF: menurun (dies down)

Identifikasi Musiman:Plot ACF: signifikan pada lag 12, Plot ACF: signifikan pada lag 12,menunjukkan adanya proses MAmusiman (Q = 1).

Plot PACF: signifikan pada lag 12,menunjukkan adanya proses ARmusiman (P = 1)

Sehingga modelnya:ARIMA (0,1,1)(1,1,1)12

Model lainnya:ARIMA (0,1,1)(1,1,0)12

ARIMA (0,1,1)(0,1,1)12

Rangkuman Hasil Modeling Berdasrkan rangkuman hasil

modeling di atas, dari uji tterhadap koefisian dari modeldan dari uji diagnostik dapatdisimpulkan bahwa modelterbaik secara statistik adalahmodel 2

Model 1 Model 2 Model 3

SAR(12) -0.407999(0.0000)

MA(1) -0.738231(0.0000)

-0.726371(0.0000)

-0.531553(0.0000)

MA(12) -0.453018(0.0000)

Pada model 1 dan 3 masihterdapat korelasi serial dalamresidual dari model, sehinggamodel belum cukup baikmenggambarkan data.

Model 2 dapat dituliskanARIMA(0, 1, 1)(0,1,1)12

SMA(12) -0.806210(0.0000)

MA(12)-0.453018(0.0000)

SSR 2.821980 2.333060 3.287744

AIC -1.433143 -1.681088 -1.338068

SBC/BIC -1.400833 -1.650038 -1.307017

Q(12) 8.8502(0.546)

11.663(0.308)

24.094(0.007)

Q(24) 48.485(0.001)

29.838(0.122)

69.530(0.000)

Q(36) 61.988(0.002)

44.013(0.117)

88.355(0.000)

Peramalan 1 periode: Hasil fitting dan peramalan untuk data 1 bulan ke depan dengan

menggunakan metode static

12,000,000

14,000,000

Forecast: SARIMAFActual: SARIMAForecast sample: 1970M01 1989M04

0

2,000,000

4,000,000

6,000,000

8,000,000

10,000,000

72 74 76 78 80 82 84 86 88

SARIMAF ± 2 S.E.

Adjusted sample: 1971M02 1989M04Included observations: 218

Root Mean Squared Error 353121.1Mean Absolute Error 218711.3Mean Abs. Percent Error 7.104879Theil Inequality Coefficient 0.045911

Bias Proportion 0.008252Variance Proportion 0.082656Covariance Proportion 0.909091

Peramalan n periode: Peramalan untuk 12 bulan ke depan:

12,000,000

14,000,000

16,000,000

0

2,000,000

4,000,000

6,000,000

8,000,000

10,000,000

12,000,000

1989Q2 1989Q3 1989Q4 1990Q1

SARIMAF2 ± 2 S.E.

Terima Kasih