PENERAPAN METODE ARIMA UNTUK PERAMALAN SUPLAI … · permintaan konsumen. Dalam makalah ini, akan...

i

PENERAPAN METODE ARIMA UNTUK PERAMALAN

SUPLAI SUKU CADANG KENDARAAN BERMOTOR

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Antonius Andika Rian Perdana

123114012

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

THE APPLICATION OF ARIMA METHOD FOR

AUTOMOTIVE SPARE PART SUPPLY FORECASTING

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement

to Obtain the Sarjana Sains Degree

In Mathematics

By:

Antonius Andika Rian Perdana

Student Number: 123114012

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017


vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Sebab itu janganlah kamu kuatir akan hari besok, karena

hari besok mempunyai kesusahannya sendiri.

Kesusahan sehari cukuplah untuk sehari.

Mateus 6:34

“ Do not stop fighting because somewhere, someone is wishing

for your happiness “

-Anonymous-

Sebuah karya sederhana untuk Bapak, Mama, dan adik

tercinta, juga untuk segenap keluarga serta teman-teman

terkasih, yang tak pernah letih dalam memberi perhatian

lebih.


viii

ABSTRAK

Peningkatan jumlah kendaraan bermotor dalam beberapa tahun terakhir

tentunya memberikan angin segar pada berbagai perusahaan yang bergerak di

bidang otomotif. Terlebih lagi perusahaan yang bertindak sebagai produsen dan

distributor suku cadang kendaraan bermotor. Tidak dapat dipungkiri bahwa

meningkatnya jumlah kendaraan bermotor selalu diiringi juga dengan tingginya

permintaan akan berbagai macam suku cadangnya. Oleh karena itu, tiap-tiap

perusahaan harus memutar otak untuk menyusun berbagai perencanaan yang

berkaitan dengan suplai dan persediaan barang.

Proses perencanaan tidak bisa lepas dari peramalan, sebab peramalan dapat

dijadikan acuan dalam pengambilan keputusan. Salah satu metode peramalan

yang sering digunakan adalah metode ARIMA (Autoregressive Integrated Moving

Average). Metode ARIMA sangat sesuai untuk peramalan jangka pendek. Metode

ini memang terlihat sederhana, namun mempunyai tingkat keakuratan yang cukup

tinggi. Pada penelitian ini, metode ARIMA akan digunakan untuk peramalan

suplai suku cadang kendaraan bermotor, agar persediaan barang menjadi optimal.

Data yang digunakan dalam penelitian merupakan data suplai suku cadang

kendaraan bermotor periode Januari 2015 – Januari 2017.

Berdasarkan hasil peramalan dengan metode ARIMA, diperoleh kesimpulan

bahwa suplai suku cadang kendaraan bermotor tidak mengalami kenaikan ataupun

penurunan yang signifikan. Banyaknya suplai masih berada pada batas wajar,

yaitu berfluktuasi pada kisaran 10.000 sampai 11.000, dalam periode dua belas

minggu ke depan.

Kata kunci: peramalan, suplai, ARIMA


ix

ABSTRACT

The increase in the number of motor vehicles in recent years certainly provide

big chance on various companies engaged in automotive. Moreover, the company

acting as a manufacturer and distributor of automobile parts. It can not be denied

that the increasing number of motor vehicles is always accompanied by high

demand for various spare parts. Therefore, each company must have to develop

various plans that related to the supply and inventory.

Planning process can not be separated from forecasting, because forecasting

can be used as a reference in decision making. One of the most frequently used

forecasting methods is the ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)

method. The ARIMA method is well suited for short-term forecasting. This

method does look simple, but has a fairly high level of accuracy. In this research,

ARIMA method will be used for forecasting the supply of automobile parts, so

that the inventory becomes optimal. The data used in this research is motor

vehicle spare parts supply data from January 2015 - January 2017.

Based on the result of forecasting with ARIMA method, it can be concluded

that the supply of automobile parts does not increase or decrease significantly.

The amount of supply is still within reasonable limits, ie fluctuating in the range

of 10,000 to 11,000, within the next twelve-week period.

Keyword: forecasting, supply, ARIMA


x

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur saya haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus, oleh

karena berkat dan anugerah-Nya yang melimpah, juga atas kasih setia-Nya yang

besar sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir yang berjudul:

“Penerapan Metode ARIMA untuk Peramalan Suplai Suku Cadang

Kendaraan Bermotor”, dalam rangka memperoleh gelar Sarjana Sains di

Universitas Sanata Dharma.

Dalam penyusunan tugas akhir ini, tentunya tidak lepas dari dukungan dan

bantuan berbagai pihak, baik perorangan maupun instansi/lembaga. Oleh karena

itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima

kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas

akhir yang telah banyak meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta atas

kesabarannya dalam memberikan berbagai ilmu sehingga tugas akhir ini

dapat terselesaikan.

2. Bapak YG. Hartono, S.Si, M.Sc., Ph.D., selaku Kepala Program Studi

Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik yang selalu

memberikan motivasi dan dorongan moral selama kegiatan perkuliahan.

3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan fakultas Sains

dan Teknologi.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si.,

Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusi Krismiyati

Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah

memberikan berbagai wawasan dan pengetahuan kepada penulis selama

proses perkuliahan.

5. Kedua orangtuaku tercinta, Bapak Yohanes Andum B., Mama Chatarina

Rosarianti, adikku Bernadetta Andina Rosa N., dan segenap keluarga terdekat

yang selalu memberikan perhatian, dukungan, doa, dan semangat sehingga

penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL…………………………………………………………….... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………………. iii

HALAMAN PERNYATAAN…………………………………………………… iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………………………….. v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS………………………………………... vi

HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………………… vii

ABSTRAK……………………………………………………………………… viii

ABSTRACT……………………………………………………………………… ix

KATA PENGANTAR……………………………………………………………. x

DAFTAR ISI……………………………………………………………………..xii

BAB I PENDAHULUAN………………………………………………………… 1

A. Latar Belakang Masalah……………………………………………………. 1

B. Rumusan Masalah…………………………………………………………...3

C. Batasan Masalah……………………………………………………………. 4

D. Tujuan Penulisan…………………………………………………………… 4

E. Manfaat Penulisan………………………………………………………….. 4

F. Metode Penulisan……………………………………………………………5

G. Sistematika Penulisan………………………………………………………. 5

BAB II LANDASAN TEORI…………………………………………………….. 6

A. Data Runtun Waktu………………………………………………………… 6

B. Pola Data Runtun Waktu…………………………………………………… 7

C. Proses Stokastik…………………………………………………………… 10

D. Stasioneritas……………………………………………………………….. 12

E. Transformasi Data Runtun Waktu………………………………………… 14


xiii

F. Fungsi Autokovariansi, fungsi Autokorelasi (ACF) dan fungsi

Autokorelasi Parsial (PACF)……………………………………………… 16

G. Model Runtun Waktu……………………………………………………... 19

H. Estimasi…………………………………………………………………….26

BAB III METODE BOX-JENKINS…………………………………………….. 40

A. Peramalan (Forecasting)………………………………………………….. 40

B. Tahapan Peramalan dengan Metode Box-Jenkins………………………… 41

BAB IV APLIKASI METODE BOX-JENKINS UNTUK PERAMALAN SUKU

CADANG KENDARAAN BERMOTOR……………………………... 48

A. Metode Penelitian…………………………………………………………. 48

B. Peramalan Suplai Suku Cadang Kendaraan Bermotor dengan Metode

Box-Jenkins……………………………………………………………….. 49

BAB V PENUTUP……………………………………………………………….59

A. Kesimpulan………………………………………………………………... 59

B. Saran………………………………………………………………………. 59

DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………………… 60

LAMPIRAN……………………………………………………………………... 63


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Peramalan (forecasting) adalah seni dan ilmu yang digunakan untuk

memperkirakan sesuatu yang belum terjadi atau yang akan terjadi pada waktu

mendatang. Peramalan merupakan bagian dari cabang ilmu statistika yaitu

statistika inferensi. Namun, dalam perkembangannya ilmu ini lebih sering

diasosiasikan dengan cabang ilmu ekonometrika. Peramalan merupakan salah satu

unsur yang sangat penting dalam proses pengambilan keputusan. Data masa lalu

dikumpulkan, dipelajari, dianalisis dan dihubungkan dengan perjalanan waktu.

Berdasarkan data hasil analisis tersebut dapat diperoleh estimasi / pendekatan

mengenai apa yang akan terjadi di masa yang akan datang. Pada situasi ini,

ketidakpastian menjadi kendala utama sehingga akan ada faktor akurasi /

ketelitian yang harus diperhitungkan.

Secara umum, peramalan dapat dilakukan melalui dua metode, yaitu metode

kuantitatif dan metode kualitatif. Metode kuantitatif melibatkan pengambilan data

pada masa lampau dan memproyeksikan data tersebut pada masa mendatang

dengan suatu bentuk model matematis. Metode ini biasa digunakan pada kondisi

yang stabil. Sementara, metode kualitatif merupakan prediksi intuisi yang bersifat

subjektif. Metode kualitatif digunakan apabila data yang akan dievaluasi, terbatas

dan cenderung berubah-ubah.

Selanjutnya, pada metode kuantitatif dan metode kualitatif masih dibedakan

lagi ke dalam beberapa model. Menurut Makridakis, metode kuantitatif dibedakan

menjadi dua, yaitu Model Runtun Waktu (time series models) dan Model Kausal

(causal models). Sementara metode kualitatif dibedakan menjadi empat, yaitu

Metode Delphi (Delphi Method), Juri dari Opini Eksekutif (jury of executive

opinion), Komposit dari Tenaga Penjualan (sales force composite), dan Survei

Konsumen Pasar (consumer market survey).


Dalam meramalkan suatu nilai dari variabel tertentu di waktu yang akan

datang, harus diperhatikan dan dipelajari terlebih dahulu sifat dan perkembangan

dari variabel itu di waktu lampau. Nilai dari suatu variabel dapat diramalkan jika

sifat dari variabel tersebut diketahui di waktu sekarang dan di waktu yang lalu.

Untuk mempelajari bagaimana perkembangan historis suatu variabel, biasanya

nilai-nilai variabel itu diamati menurut urutan waktu. Model Runtun Waktu

merupakan salah satu model peramalan yang berkaitan erat dengan himpunan data

observasi yang disusun berdasarkan rentang waktu tertentu, atau yang biasa

disebut data runtun waktu. Rentang waktu disini dapat berupa tahun, bulan,

minggu, dan sebagainya. Pada perkembangan selanjutnya, runtun waktu juga

dapat didefinisikan sebagai himpunan variabel acak yang diindeks berdasarkan

urutan waktu. Sebagai contoh, asumsikan runtun waktu sebagai barisan variabel

acak , dengan merupakan nilai yang diambil pada periode waktu

pertama, merupakan nilai yang diambil pada periode waktu kedua,

merupakan nilai yang diambil pada periode waktu ketiga, dan seterusnya. Secara

umum, himpunan variabel acak * + yang diindeks oleh , , disebut proses

stokastik.

Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan

salah satu metode yang menggunakan data runtun waktu. Metode ARIMA

dikembangkan oleh George Box dan Gwilym Jenkins pada tahun 1970. Metode

ini biasa digunakan pada data runtun waktu yang tidak memiliki pola tertentu.

Kelompok model runtun waktu yang termasuk dalam metode ini antara lain :

Autoregressive (AR), Moving Average (MA), Autoregressive-Moving Average

(ARMA), dan Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).

Dewasa ini, peranan dari peramalan sudah menjelajah ke berbagai bidang,

salah satunya bidang industri. Khususnya, industri kendaraan bermotor. Industri

ini merupakan salah satu dari sekian banyak industri yang berkembang pesat di

Indonesia. Berdasarkan data statistik (https://data.go.id/dataset/jumlah-

kendaraan-bermotor-unit), setiap tahun jumlah kendaraan yang terjual di

Indonesia terus mengalami peningkatan yang signifikan. Kendaraan bermotor


merupakan salah satu barang kebutuhan yang dalam penggunaannya memerlukan

barang pendukung lain, yaitu suku cadang. Dalam teori ekonomi, suku cadang

disebut sebagai barang komplementer (pelengkap) untuk kendaraan bermotor,

artinya barang tersebut selalu digunakan bersama-sama dengan barang yang

dilengkapinya (Yessa, 2016). Kenaikan atau penurunan permintaan dari barang

komplementer selalu sejalan dengan barang yang dilengkapinya. Jika angka

penjualan kendaraan bermotor meningkat, kebutuhan tiap suku cadangnya juga

akan cenderung meningkat (Asmoro, 2012).

Maka, perencanaan dan pengendalian suplai (pasokan) suku cadang dari

perusahaan yang bertindak sebagai pemasok, harus benar-benar diperhitungkan.

Perencanaan yang baik dapat dicapai dengan peramalan yang baik. Oleh karena

itu, perlu dilakukan suatu penelitian terkait tentang peramalan suplai suku cadang

kendaraan bermotor agar tercapai persediaan yang optimal dan sesuai dengan

permintaan konsumen. Dalam makalah ini, akan dibahas peramalan suplai suku

cadang kendaraan bermotor dengan metode ARIMA. Pada penelitian ini, objek

data yang diambil berupa rencana suplai bulanan suku cadang kendaraan bermotor

dari salah satu perusahaan yang bertindak sebagai pemasok.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut, secara garis besar uraian rumusan

masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana landasan matematis model ARIMA?

2. Bagaimana merumuskan masalah peramalan suplai suku cadang kendaraan

bermotor dengan metode ARIMA?

3. Bagaimana memodelkan masalah peramalan suplai suku cadang kendaraan

bermotor dengan metode ARIMA?

4. Bagaimana menentukan ramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor?


C. Batasan Masalah

Agar penulisan dan pembahasan isi menjadi lebih terarah dan tidak

menyimpang dari masalah yang dibahas, penulisan tugas akhir ini dibatasi, yaitu:

1. Membahas metode peramalan kuantitatif khususnya metode ARIMA yang

tidak memuat musiman.

2. Landasan teori yang dibahas hanya yang berkaitan langsung dengan pokok

perkara tugas akhir.

3. Pendugaan parameter dan estimasi model dilakukan dengan menggunakan

program R.

4. Data yang digunakan adalah data suplai suku cadang kendaraan bermotor dari

Januari 2015-Januari 2017.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penulisan tugas akhir ini selain

untuk memenuhi syarat tugas akhir dalam program studi Matematika Universitas

Sanata Dharma, adalah sebagai berikut :

1. Mengetahui landasan matematis dari model ARIMA.

2. Merumuskan masalah peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor.

3. Memodelkan masalah peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor.

4. Menentukan ramalan untuk suplai suku cadang kendaraan bermotor.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan dari tugas akhir ini adalah:

1. Dapat memodelkan dan mengaplikasikan peramalan dengan metode ARIMA

dalam masalah suplai suku cadang kendaraan bermotor.

2. Dapat membantu berbagai pihak untuk meramalkan suplai suku cadang

kendaraan bermotor.


F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir yaitu studi

pustaka, yaitu dengan mempelajari buku atau jurnal yang berkaitan dengan

peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor. Penulis juga menggunakan

studi kasus untuk memperoleh data yang akan digunakan dalam penelitian.

G. Sistematika Penulisan

BAB I : PENDAHULUAN

Bab ini secara garis besar menjelaskan tentang latar belakang masalah,

rumusan masalah, dan juga tujuan penelitian.

BAB II : LANDASAN TEORI

Bab ini membahas definisi-definisi dan berbagai landasan teori yang terkait

dengan analisis data runtun waktu.

BAB III : METODE BOX-JENKINS

Bab ini membahas tentang metode Box-Jenkins yang digunakan dalam

peramalan dan beberapa tahapannya.

BAB IV : APLIKASI METODE BOX-JENKINS UNTUK PERAMALAN

SUPLAI SUKU CADANG KENDARAAN BERMOTOR

Bab ini menjelaskan tentang aplikasi metode Box-Jenkins untuk peramalan

dalam masalah suplai suku cadang kendaraan bermotor.

BAB V : PENUTUP

Bab ini berisi tentang kesimpulan yang diperoleh dari penelitian dan juga

saran dari penulis.


6

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas definisi-definisi dan berbagai landasan teori terkait

dengan analisis data runtun waktu.

A. Data Runtun Waktu

Definisi 2.1 Runtun waktu (time series)

Runtun waktu (time series) adalah koleksi dari variabel acak , yang diindeks

berdasarkan urutan waktu dengan .

Contoh :

Misalkan, runtun waktu merupakan barisan dari variabel acak ,

dengan merupakan nilai yang diambil pada periode waktu pertama,

merupakan nilai yang diambil pada periode waktu kedua, merupakan nilai

yang diambil pada periode waktu ketiga, dan seterusnya (Shumway dan Stoffer,

2011:11).

Dalam praktiknya, terdapat beberapa jenis data menurut waktu, yaitu:

1. Data cross-section, yakni jenis data yang terdiri atas variabel-variabel yang

dikumpulkan pada sejumlah individu atau kategori pada satu waktu tertentu.

Misalnya data penjualan perusahaan pada bulan Januari 2014, terdiri dari data

penjualan bersih dan data penjualan kotor pada bulan Januari 2014. Contoh

lainnya: data kinerja keuangan perusahaan pada bulan Juli 2011, terdiri dari

data DER (Debt to Equity Ratio), data ROA (Return On Assets), data laba

bersih (earning after interest and tax), dan data keuangan lainnya pada bulan

Juli 2011.

2. Data runtun waktu (time series), yakni jenis data yang terdiri atas variabel-

variabel yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu

tertentu untuk suatu kategori atau individu tertentu. Jika waktu dipandang

bersifat diskrit, frekuensi pengumpulan selalu sama. Pada kasus diskrit,

frekuensi dapat berupa detik, menit, jam, hari, minggu, bulan atau tahun, dan


lain-lain. Contohnya, data harian saham, data bulanan BI rate dari tahun 2008-

2014, dan lain-lain.

3. Data panel atau pooled, dapat dipandang sebagai gabungan dari data cross-

section dan data runtun waktu, yakni tipe data yang terdiri atas variabel-

variabel yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu

tertentu pada sejumlah individu / kategori. Contohnya: faktor eksternal dan

faktor internal perusahaan dari tahun 2009-2013; Jumlah ekspor dan impor

rempah-rempah Indonesia pada periode 2008-2010 per tiga bulanan

(triwulanan).

B. Pola Data Runtun Waktu

Langkah penting dalam memilih suatu model runtun waktu yang tepat

adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data, sehingga metode yang paling

tepat dengan pola tersebut dapat diuji. Pola data runtun waktu dapat dibedakan

menjadi empat jenis, yaitu:

1. Pola Horizontal (H)

Pola ini terjadi apabila nilai data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang

konstan, yang membentuk garis horizontal. Data ini disebut juga dengan data

stasioner. Contoh plot data horizontal pada gambar 2.1 yaitu berupa plot data

jumlah curah hujan tahunan (Cryer dan Chan, 2008:2). Dapat dilihat bahwa

jumlah curah hujan bervariasi dalam kurun waktu 100 tahun. Adakalanya

jumlah curah hujan tinggi, terkadang juga rendah, ataupun berfluktuasi pada

suatu nilai tertentu. Pola horizontal tampak jelas dalam plot tersebut.

Jumlah Curah Hujan Tahunan di LA, California

Tahun

Inches

1880 1900 1920 1940 1960 1980

10

20

30

40


Gambar 2.1

Contoh pola data horizontal

2. Pola Musiman (S)

Pola ini terjadi apabila suatu deret dipengaruhi oleh faktor musiman (misalnya

kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada minggu tertentu). Pola data

musiman dapat mempunyai pola musim yang berulang dari periode ke periode

berikutnya. Misalnya, pola yang berulang setiap bulan tertentu, tahun

tertentu atau pada minggu tertentu. Contoh dari data musiman ada pada gambar

2.2 yaitu plot kadar karbondioksida bulanan (Cryer dan Chan, 2008:227) . Dari

plot tersebut terlihat bahwa terjadi pola yang berulang setiap periode dua belas

bulan, sehingga bisa disimpulkan bahwa data tersebut merupakan pola data

musiman.

Gambar 2.2

Contoh pola data musiman

3. Pola Siklus (C)

Pola siklus terjadi bila data observasi berfluktuasi secara jangka panjang

membentuk pola sinusoid atau gelombang atau siklus. Pola siklus mirip dengan

pola musiman. Pola musiman tidak harus berbentuk gelombang, bentuknya

dapat bervariasi, namun waktunya akan berulang setiap tahun (umumnya).

Sementara pola siklus bentuknya selalu mirip gelombang sinusoid. Untuk

menentukan data berpola siklus tidaklah mudah. Pada pola musiman, rentang

waktu satu tahun dapat dijadikan pedoman, sedangkan rentang waktu

Kadar Karbondioksida Bulanan di Alert, NWT, Canada

Time

CO

2

1994 1996 1998 2000 2002 2004

350

360

370

380


perulangan pada pola siklus tidak tertentu. Pola siklus bisa terulang setelah

jangka waktu tertentu.

Pola ini biasanya akan kembali normal setiap 10 atau 20 tahun sekali, bisa juga

tidak terulang dalam jangka waktu yang sama. Ini yang membedakan antara

pola siklis dengan pola musiman. Gerakan siklus tiap barang / komoditas

mempunyai jarak waktu muncul dan sebab yang berbeda-beda, yang sampai

saat ini belum dapat dimengerti. Contoh yang menunjukkan pola siklis seperti,

industri konstruksi bangunan mempunyai gerakan siklus antara 15-20 tahun

sedangkan industri mobil dan pakaian gerakan siklusnya lebih pendek lagi.

Contoh lain dari data yang menunjukkan pola siklus ada pada gambar 2.3 yaitu

plot rata-rata temperatur bulanan (Cryer dan Chan, 2008:6). Dari plot tersebut

terlihat bahwa terjadi pola yang berulang yang membentuk pola sinusoid,

sehingga bisa disimpulkan bahwa data tersebut merupakan data yang memuat

pola siklus.

Gambar 2.3

Contoh pola data siklus

4. Pola Trend (T)

Pola trend terjadi apabila data observasi menunjukkan pola kecenderungan

gerakan penurunan atau kenaikan jangka panjang. Data yang kelihatannya

berfluktuasi, apabila dilihat pada rentang waktu yang panjang akan dapat

ditarik suatu garis maya yang disebut trend. Suatu data observasi yang

mempunyai trend disebut data nonstasioner. Plot data trend dicontohkan pada

gambar 2.4, yaitu berupa data pendapatan Johnson & Johnson tiap kuartal

Rata-rata Temperatur Bulanan, Dubuque, Iowa

Time

Tem

pera

tur

1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976

10

30

50

70


tahun (Shumway dan Stoffer, 2011:4). Dari plot tersebut dapat dilihat bahwa

terjadi pola tren naik pada tiap periode kuartal tahun.

Gambar 2.4

Contoh pola data trend naik

C. Proses Stokastik

Definisi 2.2 Proses Stokastik

Proses stokastik adalah keluarga variabel acak * + yang didefinisikan pada

ruang probabilitas ( ). Disini menunjukkan suatu himpunan yang

beranggotakan titik waktu.

Jika (himpunan bilangan real) atau (himpunan bilangan real

positif) model disebut runtun waktu kontinu.

Jika (himpunan bilangan bulat) atau (himpunan bilangan asli) model

disebut runtun waktu diskrit.

Lebih jauh, untuk yang tetap, ada fungsi ( ), yang disebut realisasi

dari proses stokastik. Suatu runtun waktu (time series) adalah proses stokastik

dengan T adalah himpunan waktu.

Definisi 2.3 Fungsi Distribusi Kumulatif (FDK) dari suatu proses stokastik

Misalkan T menyatakan himpunan dari semua vektor * ( )

+ Maka FDK (dimensi berhingga) dari * +

Pendapatan Johnson & Johnson Tiap Kuartal Tahun

Time

Pendapata

n

1960 1965 1970 1975 1980

05

10

15


adalah fungsi * ( ) + didefinisikan pada ( )

( ) sebagai

( ) ( ) ( )

( )( )

Definisi 2.4 Fungsi Mean / Nilai Harapan

Fungsi mean / nilai harapan dari suatu proses stokastik didefinisikan sebagai

( ) ( ) ∫ ( )

Fungsi ini menyatakan nilai rata-rata dari proses pada keseluruhan data runtun

waktu.

Definisi 2.5 Fungsi Kovariansi

Fungsi Kovariansi didefinisikan sebagai

( ) ( ) .( ( ))( ( ))/

dengan ( ) = fungsi kovariansi antara data pengamatan dan

= data runtun waktu ke-t

= data runtun waktu ke-s

( ) = rata-rata dari data runtun waktu

( ) = rata-rata dari data runtun waktu

Fungsi kovariansi menyatakan ukuran hubungan antar beberapa data runtun

waktu.

Definisi 2.6 Fungsi Korelasi

Fungsi Korelasi didefinisikan sebagai


( ) ( )

√ ( ) ( )

dengan ( ) = fungsi korelasi antara data pengamatan dan

( ) = fungsi kovariansi antara data pengamatan dan

( ) = fungsi variansi data pengamatan

( ) = fungsi variansi data pengamatan

Fungsi korelasi menyatakan derajat asosiasi (hubungan) antara dua data

pengamatan pada data runtun waktu.

D. Stasioneritas

Stasioneritas berarti bahwa tidak terjadinya pertumbuhan dan penurunan data.

Suatu data dapat dikatakan stasioner apabila pola data tersebut berada pada

kesetimbangan di sekitar nilai rata-rata yang konstan dan variansi di sekitar rata-

rata tersebut konstan selama waktu tertentu (Makridakis, 1999: 61). Data runtun

waktu dikatakan stasioner apabila tidak ada unsur trend dalam data dan tidak ada

unsur musiman atau rata-rata dan variansinya tetap.

Selanjutnya stasioneritas dibagi menjadi 2, yaitu:

1. Wide-Sense Stationary (Stasioner Lemah)

Proses stokastik * + dengan * + disebut

proses Stasioner W-S jika

(i) (| | )

(ii) ( ) konstanta, tidak bergantung pada t,

(iii) ( ) ( )

Jika * + stasioner, maka ( ) ( ), dengan fungsi

kovariansi hanya bergantung pada jarak waktu ( ) (tetapi tidak

bergantung pada dan/atau secara sendiri-sendiri).


Fungsi kovariansi untuk proses stasioner dapat didefinisikan ulang sebagai

( ) ( ) ( )

dibaca sebagai kovariansi pada lag- . Secara ekuivalen, fungsi korelasi

dari proses * + stasioner pada lag- didefinisikan sebagai

( ) ( )

( ) ( )

2. Strictly Stationary (Stasioner Kuat)

Proses stokastik * + disebut bersifat stasioner kuat jika fungsi

distribusi kumulatif (FDK) dari ( ) dan ( )

sama untuk semua nilai dan untuk semua . Dengan

kata lain, seluruh sifat statistik dari proses stokastik yang bersifat stasioner

kuat tidak berubah karena pergeseran waktu.

Selain itu, stasioneritas dapat ditentukan berdasarkan pola data runtun waktu

yang dapat dilihat dari plot grafiknya. Secara visual, stasioneritas dari data

runtun waktu dapat dibagi menjadi 2, yaitu :

1. Stasioner dalam mean (rata-rata)

Stasioner dalam mean adalah fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai

rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan variansi dari

fluktuasi tersebut. Dari bentuk plot data seringkali dapat diketahui bahwa

data tersebut stasioner atau tidak stasioner.

2. Stasioner dalam Variansi

Suatu data runtun waktu dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur

data dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan

dan tidak berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat

dibantu dengan menggunakan plot runtun waktu, yaitu dengan melihat

fluktuasi data dari waktu ke waktu.

Di dalam analisis runtun waktu, asumsi stasioneritas data merupakan sifat yang

penting. Pada model stasioner, sifat-sifat statistik di masa yang akan datang dapat

diramalkan berdasarkan data historis yang telah terjadi di masa lalu. Oleh karena


itu, untuk mengetahui kestasioneran data runtun waktu perlu dilakukan pengujian

terhadap data tersebut. Pengujian stasioneritas dari suatu data runtun waktu dapat

dilakukan dengan beberapa cara berikut.

1. Pengujian kestasioneran data dalam mean dapat menggunakan plot dari

data dalam urutan waktu, plot fungsi autokorelasi (ACF), dan plot fungsi

autokorelasi parsial (PACF). Jika data mengandung komponen tren, data

nonstasioner dalam mean dan plot ACF/PACF akan meluruh secara

perlahan. ACF dan PACF akan didefinisikan kemudian.

2. Pengujian kestasioneran dalam variansi dapat menggunakan plot ACF dan

PACF dari residual kuadrat.

3. Stasioneritas dari data juga dapat diperiksa dengan mengamati apakah data

runtun waktu mengandung akar unit (unit root), yakni apakah terdapat

komponen tren dalam data. Konsep tentang akar unit akan dibahas pada

halaman 22. Beberapa metode yang sering digunakan dalam uji akar unit,

di antaranya adalah Dickey-Fuller dan Augmented Dickey - Fuller.

Setelah dilakukan pengujian kestasioneran data, kita dapat mengetahui apakah

data tersebut stasioner atau tidak. Apabila data tidak stasioner, maka data tersebut

harus dibuat mendekati stasioner dengan menggunakan transformasi data.

E. Transformasi Data Runtun Waktu

Pada data runtun waktu yang tidak stasioner dalam mean maupun tidak

stasioner dalam variansi, perlu dilakukan suatu transformasi data agar nantinya

dapat diperoleh data yang stasioner. Beberapa jenis transformasi yang sering

digunakan sebagai berikut.

1. Differencing (Pembedaan)

Salah satu jenis transformasi yang sering digunakan dalam analisis

runtun waktu adalah transformasi diferens. Differencing dilakukan untuk

menstasionerkan data nonstasioner. Operator langkah mundur (backward


shift) sangat tepat untuk menggambarkan proses differencing (Makridakis,

1999:383). Penggunaan backward shift adalah sebagai berikut :

(2.1)

dengan = nilai variabel X pada waktu

= nilai variabel X pada waktu

B = backward shift

Notasi B yang dipasang pada X mempunyai pengaruh untuk menggeser data

satu satuan waktu ke belakang. Sebagai contoh, jika suatu data time series

nonstasioner maka data tersebut dapat dibuat mendekati stasioner dengan

melakukan differencing orde pertama dari data. Rumus untuk differencing

orde pertama, yaitu :

(2.2)

dengan = nilai variabel X pada waktu t setelah differencing.

Dengan menggunakan notasi backward shift persamaan (2.2) dapat ditulis

menjadi :

atau

( )

2. Transformasi Logaritma

Untuk menstabilkan variansi dari data runtun waktu, dapat digunakan

transformasi Box-Cox. Salah satu jenis transformasi Box-Cox yang sering

digunakan adalah transformasi logaritma, yang biasanya digabungkan dengan

melakukan pembedaan terhadap data hasil transformasi logaritma.

Transformasi logaritma dilakukan dengan cara memberikan operasi logaritma

pada data runtun waktu.

( )


F. Fungsi Autokovariansi, fungsi Autokorelasi (ACF) dan fungsi

Autokorelasi Parsial (PACF)

Pada subbab ini, akan dibahas beberapa fungsi yang berkaitan langsung

dengan analisis data runtun waktu model ARIMA. Fungsi-fungsi tersebut adalah

fungsi autokovariansi, fungsi autokorelasi, dan fungsi autokorelasi parsial.

Definisi 2.7 Fungsi Autokovariansi

Fungsi Autokovariansi didefinisikan sebagai

( ), untuk (2.3)

dengan

( ) ,( )( - ( )

dengan = autokovariansi pada lag-k

= nilai variabel X pada waktu t+k

= rata-rata

Definisi 2.8 Fungsi Autokorelasi (ACF)

Autokorelasi merupakan korelasi atau hubungan keeratan antar pengamatan dalam

suatu data runtun waktu. Koefisien autokorelasi untuk lag---k dari data runtun

waktu dinyatakan sebagai berikut:

( )

√ ( ) ( )

,( )( -

√ ( ) √ ( )

(2.4)

Definisi 2.9 Fungsi Autokorelasi Parsial

Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) pada lag-k adalah korelasi di antara dan

setelah dependensi linear antara dan , variabel antara

diabaikan.


Lebih lanjut, fungsi PACF akan dijabarkan dalam proses berikut. Misalkan

* + adalah suatu proses stasioner dengan mean nol. Misalkan dapat ditulis

sebagai model linear :

dengan adalah parameter ke-i dari persamaan regresi, dan adalah

komponen error yang tidak berkorelasi dengan untuk

Kalikan dengan pada kedua sisi dan ambil nilai harapannya, maka

diperoleh :

( ) ( ) (

)

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Untuk j=1,2,…,k diperoleh sistem persamaan berikut (subsitusikan ( )

( ))

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

. . . . .

. . . . .

. . . . .

( ) ( )

( ) ( )

atau dapat ditulis dalam bentuk matriks :

[

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ]

[

]

[ ( )

( )

( )

( )]


atau

dengan

[

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ]

[

]

, dan

[ ( )

( )

( )

( )]

Menggunakan metode Cramer diperoleh nilai-nilai fungsi autokorelasi parsial

untuk lag

|

|

|

|

|

|

|

|


|

|

|

|

Selanjutnya, akan dibahas Algoritma Durbin-Levinson yang akan digunakan

dalam estimasi PACF.

Teorema 2.1 Algoritma Durbin-Levinson untuk PACF (Rosadi, 2011:69)

Jika * + adalah proses yang stasioner dengan mean 0 dan memiliki kovariansi

( ) dan ACF ( ) sedemikian hingga ( ) dan ( ) jika maka

PACF dapat dihitung secara rekursif sebagai

( ) ∑ ( )

∑ ( )

dengan nilai awal ( ).

G. Model Runtun Waktu

Salah satu langkah yang paling penting dalam proses peramalan adalah

menentukan model yang tepat dan sesuai. Model merupakan representasi simbolik

dari realita (Makridakis, 1999:524). Dengan adanya model, proses peramalan

menjadi lebih teratur dan terarah. Peramalan dengan metode kuantitatif dilakukan

dengan melibatkan pengambilan data masa lalu dan menempatkannya ke masa

yang akan datang dengan suatu bentuk model yang matematis. Dalam metode

tersebut, model spesifik digunakan untuk merepresentasikan pola dasar yang

dimuat dalam data runtun waktu.


1. Proses White Noise

Definisi 2.11

Proses White Noise * + adalah barisan variabel random yang tidak berkorelasi

dengan mean (sering diasumsikan bernilai 0) dan variansi , yakni

( ) {

Dari definisi 2.11 diperoleh bahwa

( ) {

( ) {

Dengan demikian proses White Noise bersifat stasioner. Proses ini menjadi dasar

bagi proses stasioner lainnya dan sering ditulis dengan ( ).

Contoh 2.1:

Diberikan contoh koleksi dari 500 variabel acak dengan , dapat diperoleh

plot grafik pada gambar 2.5, grafik dibuat dengan menggunakan program R yang

prosesnya dapat dilihat pada lampiran 1 (Shunway dan Stoffer, 2011:12).

Gambar 2.5

Plot Grafik White Noise

White Noise

Time

w

0 100 200 300 400 500

-2-1

01

2


2. Model Autoregressive (AR)

Model Autoregressive didasarkan pada ide bahwa nilai saat ini pada deret

, dapat dinyatakan sebagai fungsi dari nilai di masa lampau,

dengan adalah banyaknya langkah menuju ke masa lampau

yang diperlukan untuk meramalkan nilai saat ini.

Definisi 2.12

Suatu model autoregressive dengan orde , yang dinotasikan ( ),

mempunyai bentuk sebagai berikut

, (2.5)

dengan stasioner, dan adalah konstanta. Diasumsikan white

noise dengan rata-rata 0 dan variansi . Lebih lanjut, jika rata-rata adalah ,

subsitusi dengan akan diperoleh

( ) ( ) ( ) ,

atau dapat ditulis

,

dengan ( ).

Lebih jauh, dapat juga ditulis dalam bentuk

( )

Contoh 2.2:

Berdasarkan contoh pada proses white noise, dapat dihitung output menggunakan

persamaan orde kedua

untuk .

Dari persamaan tersebut diperoleh plot grafik pada gambar 2.6, grafik dibuat

dengan menggunakan program R yang dapat dilihat pada lampiran 1 (Shunway

dan Stoffer, 2011:14).


Gambar 2.6

Plot Grafik Autoregressive

3. Akar Unit (Unit Root)

Masalah akar unit pada runtun waktu berkaitan dengan akar-akar polinomial

autoregresifnya (Rusdi, 2011: 68). Untuk memahami konsep akar unit, pandang

model runtun waktu ( ) :

( )

Model runtun waktu ( ) dikatakan mempunyai akar unit jika

Lebih jauh, model runtun waktu ( ) :

( )

dikatakan mempunyai akar unit jika

∑

Model runtun waktu yang mempunyai akar unit merupakan model runtun waktu

yang tidak stasioner, namun tidak berlaku sebaliknya (Jing, 2014). Untuk

Autoregressive

Time

x

0 100 200 300 400 500

-50

5


memeriksa akar unit pada suatu model runtun waktu, dapat dilakukan dengan

menggunakan uji Dickey – Fuller atau Augmented Dickey – Fuller. Pada model

( ) uji akar unit dikatakan tidak relevan sehingga dapat diabaikan (Magee,

2013).

Contoh 2.3:

Diketahi model runtun waktu ( ) :

( )

Dapat ditulis dengan operator backshift sebagai berikut :

( )

dengan

( ) merupakan polinomial dalam operator dan dinamakan

polinomial autoregresif , ( ) polinomial berderajat 1 dalam . Akar

polinomial autoregresif adalah penyelesaian dari ( )

Jadi, polinomial ( ) mempunyai akar

, sebab ( ) apabila

. Jika

diperoleh sehinga dinamakan akar unit dan mempunyai akar

unit.

4. Model Moving Average (MA)

Sebagai suatu alternatif dari representasi autoregressive, dengan pada

ruas kiri dari persamaan (2.5) diasumsikan sebagai kombinasi linear, model

moving average dengan orde , ditulis dengan ( ), mengasumsikan white

noise pada ruas kanan dari persamaan yang didefinisikan merupakan suatu

kombinasi linear untuk membentuk data yang diobservasi.

Definisi 2.13

Model Moving Average dengan orde , atau model ( ), didefinisikan sebagai

(2.6)

dengan terdapat lag dalam moving average dan …, ( ) adalah

konstanta. Diasumsikan white noise dengan mean 0 dan variansi .


Model moving average juga dapat ditulis dengan menggunakan operator

Backshift, yaitu

( )

Contoh 2.4:

Diketahui model Moving Average(MA),

( )

Dari persamaan tersebut dapat dibentuk plot sebagai berikut (gambar 2.7), grafik

dibuat dengan menggunakan program R yang dapat dilihat dalam lampiran 1

(Shunway dan Stoffer, 2011:13).

Gambar 2.7

Plot Grafik Moving Average

5. Model Autoregressive Moving Average (ARMA)

Model ini merupakan gabungan antara model Autoregressive (AR) dan

model Moving Average (MA). Suatu runtun waktu * + merupakan ARMA( )

jika * + stasioner dan

Moving Average

Time

v

0 100 200 300 400 500

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5


dengan dan Secara berturut-turut, parameter dan

disebut orde dari autoregressive dan moving average.

Jika mempunyai rata-rata tak nol dan didefinisikan

( ) maka model ARMA ( ) dapat ditulis sebagai

berikut

(2.7)

dengan asumsi white noise dengan mean 0 dan variansi .

Model ARMA ( ) juga dapat ditulis dengan menggunakan operator backshift

( ) ( )

Beberapa kejadian khusus pada model ARMA, yaitu :

a. Saat model ini disebut model autoregressive dengan orde p, ( )

b. Saat model ini disebut model moving average dengan orde q, ( )

6. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan

gabungan dari model AR(p), proses differencing, dan model MA(q). Dengan kata

lain, apabila unsur nonstasioner ditambahkan pada model campuran ARMA maka

model umum ( ) terpenuhi. Bentuk umum ( ) dapat

ditulis menggunakan bentuk operator backshift yaitu :

( )( ) ( )

(2.8)

dengan

( ) (

) adalah operator backshift untuk AR

(Autoregressive)

( ) (

) adalah operator backshift untuk MA

(Moving Average)

( ) adalah proses differencing orde ke-d


H. Estimasi

Salah satu langkah yang paling penting dalam peramalan yaitu estimasi atau

pendugaan. Estimasi adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk

menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui.

Dalam kasus ini, populasi yang digunakan berupa data runtun waktu. Pada subbab

ini, akan dibahas beberapa estimasi fungsi dan model yang digunakan dalam

proses peramalan.

1. Estimasi Mean

Misalkan ( ) adalah fungsi mean dari suatu proses (W-S) stasioner.

Diberikan data maka penduga untuk fungsi mean diberikan oleh

∑

(2.9)

Diperoleh ( )

yang merupakan penduga tak bias untuk . Tak bias

artinya nilai harapan dari penduga sama dengan parameter yang diduga.

2. Sampel Autokovariansi

Estimator untuk koefisien autokovariansi dapat didefinisikan sebagai

∑( )( )

atau

∑( )( )

(2.10)

dengan = koefisien autovarian lag-k

= ukuran sampel

= rata-rata pengamatan

= pengamatan pada waktu ke-t

= pengamatan pada waktu ke- , dengan


3. Sampel Autokorelasi (ACF)

Koefisien fungsi autokorelasi pada persamaan (2.4) dapat diduga dengan

koefisien autokorelasi sampel, yaitu

∑ ( )( )

∑ ( )

(2.11)

dengan koefisien autokorelasi lag-k

Contoh 2.5 :

Diberikan contoh cara menghitung secara numerik fungsi autokorelasi, dengan

diketahui data runtun waktu pada tabel 2.1

Tabel 2.1

Data runtun waktu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12 8 15 7 6 5 10 12 11 14

Autokorelasi sampel untuk data runtun waktu pada tabel 2.1 dapat dihitung

dengan persamaan (2.11)

∑ ( )( )

∑ ( )

dengan dan . Misalkan , sehingga

diperoleh

∑ ( )( )

∑ ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


adalah koefisien autokorelasi pada lag 0, adalah koefisien autokorelasi

pada lag 1. Dengan cara yang sama, dapat dihitung koefisien autokorelasi

, dan seterusnya.

Setelah dihitung semua nilai koefisiennya, diperoleh plot grafik ACF sebagai

berikut:

Gambar 2.8

Plot Grafik Sampel ACF

4. Sampel PACF

Koefisien fungsi autokorelasi parsial pada persamaan (2.5), dapat diduga

dengan koefisien autokorelasi parsial sampel secara rekursif. Metode rekursif

dimulai dengan . Untuk perhitungan diberikan sebagai berikut

0 2 4 6 8

-0.5

0.0

0.5

1.0

Lag

AC

F

Series data_contoh


∑

∑

(2.12)

dan

(2.13)

dengan

koefisien autokorelasi parsial

Contoh 2.6

Berdasarkan pada contoh 2.5, selanjutnya dapat dihitung koefisien auokorelasi

parsial dengan menggunakan persamaan (2.12) dan (2.13). Pada proses

perhitungan koefisien sampel ACF diperoleh dan

, selanjutnya dapat dicari koefisien autokorelasi parsial yaitu

( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

Untuk lainnya dapat dihitung dengan cara yang sama seperti contoh di atas.

Kemudian, dapat diperoleh plot grafik PACF sebagai berikut:


Gambar 2.9

Plot Grafik Sampel PACF

5. Estimasi Model Autoregressive (AR)

Asumsikan bahwa data runtun waktu adalah realisasi dari proses ( ) yang

dapat digambarkan dengan persamaan

dengan adalah proses ( ). Akan diestimasi parameter

dan berdasarkan observasi .

Salah satu metode estimasi paramater adalah metode maksimum likelihood yang

prinsipnya menentukan penduga parameter , yang dapat

memberikan nilai likelihood (kemungkinan) paling besar.

Definisi 2.14

Fungsi likelihood adalah suatu fungsi dari parameter dari model statistik

( | ) ( | )

2 4 6 8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

Lag

Part

ial A

CF

Series data_contoh


dengan adalah data sampel, ( | ) adalah fungsi densitas peluang

dengan data pengamatan dari parameter .

Definisi 2.15

Misalkan adalah fungsi densitas peluang bersama dari ( ) yang

bergantung pada parameter , yaitu ( ) ( | ). Nilai dari yang

menghasilkan nilai maksimum untuk ( ) disebut Maximum Likelihood

Estimator (MLE) dan dinyatakan dalam simbol . Jadi,

( | )

( | )

Diketahui, nilai harapan dari untuk dengan adalah

, | - ( ) ( )

dan variansi bersyarat yaitu

( | ) ( )

dimana semua distribusi bersyarat untuk normal dengan rata-rata

sama dengan prediksi pada langkah pertama dan variansi .

Fungsi likelihood bersyarat diperoleh dari fungsi densitas gabungan dari data

observasi ( ) bersyarat pada orde p yang pertama :

( | )

∑ ( ∑ ( )

)

(2.14)

Memperhatikan persamaan (2.14), diperoleh bahwa maksimisasi fungsi L

terhadap parameter dan adalah ekuivalen dengan minimisasi dari jumlahan

kuadrat dari prediksi galat pada langkah pertama dan dapat ditulis sebagai berikut

∑

∑ ( ∑ ( )

)

(2.15)


dengan ( ∑ ( ))

Selanjutnya, diperoleh penduga untuk yaitu

( ) ∑

Untuk penduga bagi dapat diperoleh sebagai derivatif parsial dari L relatif

terhadap , yaitu

∑ ( ∑

)

Diperoleh penyelesaian untuk sebagai berikut

∑ ( ∑

)

Kemudian, untuk mendapatkan penduga , subsitusikan dengan pada

persamaan (2.15) dan misalkan ( ) dapat diperoleh:

( ∑

)

( ∑ ( )

)

(2.16)

Contoh 2.6 :

Diketahui persamaan untuk model ARIMA(1,0,0) atau AR(1) :

Akan diduga parameter dengan diketahui data seperti pada contoh 2.5 pada

tabel 2.1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12 8 15 7 6 5 10 12 11 14


Karena dan , maka berdasarkan persamaan (2.16) diperoleh :

∑ ( )( )

∑ ( )

(( )( )) (( )( )) (( )( ))

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Jadi, diperoleh nilai koefisien untuk persamaan model AR(1) adalah

.

6. Estimasi Model Moving Average (MA)

Diketahui proses dibangkitkan oleh proses MA(q)

dengan adalah proses White Noise dengan mean 0 dan variansi , dan

adalah suatu konstanta yang tidak berhubungan dengan . Pada bagian ini akan

ditentukan penduga untuk parameter-parameter dan

berdasarkan observasi .

Untuk mendapatkan penduga maksimum likelihood, perlu dibentuk fungsi

densitas gabungan Diasumsikan bahwa proses White Noise

berdistribusi normal, sehingga juga akan berdistribusi normal.

Berdasarkan fungsi densitas peluang dari ,

Pendekatan sederhana pada asumsi bahwa nilai q yang pertama dari adalah nol:


Misalkan, menyatakan ( ) vektor ( ) . Maka

( | ) ( )

atau dapat ditulis

| ( | )

√ [

( )

]

√ 0

1

Selanjutnya, berdasarkan distribusi dari pengamatan kedua bersyarat dengan

, diperoleh

Lebih jauh, pengamatan yang diberikan pada , nilai dari maka dapat

diketahui secara jelas:

dan

dengan

( | ) (( ) ),

yang artinya

| ( | )

√ [

( )

]

√ 0

1

Karena sudah diketahui, maka dapat dicari

Berdasarkan langkah-langkah perhitungan di atas, dapat diketahui bahwa ,

untuk memperoleh deret yang lengkap * + dapat dihitung dari

* + melalui iterasi pada

untuk , dimulai dari . Fungsi likelihood (bersyarat pada

) dari keseluruhan sampel dapat dihitung sebagai hasil dari masing-masing

densitas:

| ( | )

| ( | ) ∏ | ( | )


Logaritma dari fungsi likelihood bersyarat adalah

( ) | ( | )

( )

( ) ∑

( )

Fungsi tersebut merupakan persamaan non-linear dari dan sehingga sulit

untuk diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu, perhitungan dilakukan dengan

bantuan program R.

Contoh 2.7 :

Diketahui persamaan untuk model ARIMA(0,0,1) atau MA(1) :

Akan diduga parameter dengan diketahui data seperti pada contoh 2.4 pada

tabel 2.1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12 8 15 7 6 5 10 12 11 14

Proses perhitungan penduga untuk parameter dari model MA(1) tidak dapat

dilakukan secara analitik, oleh karena itu penulis menggunakan program R.

Dengan bantuan program R, diperoleh nilai pendugaan yaitu .

Dengan perintah dalam program R sebagai berikut:

> data=read.csv(file.choose())

> xt=data[,2]

> arima(xt,c(0,0,1))

Call:

arima(x = xt, order = c(0, 0, 1))

Coefficients:

ma1 intercept

0.0777 10.0469

s.e. 0.2897 1.1015


sigma^2 estimated as 10.32: log likelihood = -25.86, aic = 57.73

7. Estimasi Model Autoregressive Moving Average (ARMA)

Diketahui persamaan untuk model MA(1) :

dengan nilai harapan 0.

Nilai harapan dari bergantung pada nilai sebelumnya, seperti pada AR dan

untuk memperolehnya kita harus menyatakan sebagai fungsi dari nilai

sebelumnya. Dimulai dengan , karena , dan ,

dapat diperoleh :

dan ambil nilai harapan dari persamaan di atas, dengan mengasumsikan

( | ) , sehingga diperoleh nilai harapan dari distribusi bersyarat :

( | )

dan variansi

( | ) ( )

Kemudian, dengan cara yang sama untuk diperoleh :

dengan

( | )

dan

( | ) ( )

Persamaan-persamaan di atas merupakan persamaan non-linear dalam parameter

dan sulit untuk memperoleh solusinya dalam proses MA(q). Oleh karena itu,

digunakan alternatif lain untuk memperoleh nilai dari parameter . Akan diamati

setiap nilai dari parameter dengan persamaan :

(2.17)

Dan selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2.17) dilakukan perhitungan

secara rekursif untuk , yang bergantung pada suatu nilai awal .


Ambil , dapat dihitung semua kemungkinan nilai yang dimulai dari .

Sehingga diperoleh :

( | )

dan

( | ) ,( ) -

, -

dengan fungsi likelihood bersyarat :

( | ) ( )

∑

Maksimisasi dari fungsi tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan

penyelesaian dari algoritma non-linear. Penduga dari fungsi likelihood pada model

ARMA(p,q) dapat diperoleh dengan menggunakan prinsip yang sama.

Misalkan, ( ) dan ( ) merupakan vektor parameter,

fungsi likelihood bersyarat yaitu :

( | ) ( )

∑

(2.18)

Sehingga dapat diperoleh

( | ), yang dapat dihitung dari vektor

dan dari nilai awal. Penduga tersebut dihitung secara rekursif dengan rata-

rata dari :

(2.19)

dengan dan ( ) dengan asumsi nilai r

(residual) awal 0.

Maksimisasi dari persamaan (2.18) memerlukan nilai awal dari parameter yang

dapat diperoleh dengan menggunakan algoritma Hannan-Rissanen.

Dalam algoritma Hannan-Rissanen, akan dicari penduga awal dari proses

ARMA(p,q) melalui dua langkah, yaitu :


1.) Penduga dari residual model dapat diperoleh dengan menggunakan AR

dari orde . Misalkan, adalah koefisien yang diduga dari

persamaan (2.16). Residualnya dapat dihitung dengan rata-rata dari :

∑

2.) Dengan menggunakan residual yang diduga pada langkah (1), dapat

diduga regresi :

(2.20)

Penduga dari regresi tersebut memberikan penduga awal.

Algoritma Hannan-Rissanen dapat digunakan untuk memperoleh penduga dari

model ARMA dengan melakukan iterasi seperti langkah di atas yang memerlukan

persamaan regresi. Selain itu, dengan menggunakan parameter yang diduga pada

langkah (2) dapat dihitung nilai residual-residual baru dengan mengulang penduga

dari persamaan (2.20) sampai konvergensi dipenuhi.

Contoh 2.8 :

Diketahui persamaan untuk model ARIMA(1,0,1) atau ARMA(1,1) :

Akan diduga parameter dan dengan diketahui data seperti pada contoh 2.4

pada tabel 2.1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12 8 15 7 6 5 10 12 11 14

Kesulitan yang sama dalam pendugaan parameter model MA juga terjadi pada

pendugaan parameter model ARMA. Proses perhitungan penduga untuk

parameter dan juga tidak dapat dilakukan secara analitik, oleh karena itu

penulis menggunakan program R. Dengan bantuan program R, diperoleh nilai

pendugaan yaitu dan . Dengan perintah dalam

program R sebagai berikut:


> data=read.csv(file.choose())

> xt=data[,2]

> arima(xt,c(1,0,1))

Call:

arima(x = xt, order = c(1, 0, 1))

Coefficients:

ar1 ma1 intercept

0.1957 -0.0935 10.0738

s.e. 1.0651 1.0271 1.1605



40

BAB III

METODE BOX-JENKINS

A. Peramalan (Forecasting)

1. Definisi dan Tujuan Peramalan

Peramalan merupakan prediksi nilai-nilai sebuah variabel berdasarkan pada

nilai yang diketahui dari variabel tersebut atau variabel yang berhubungan

(Makridakis, 1999:519). Peramalan menjadi dasar untuk berbagai perencanaan

dan proses pengambilan keputusan sehingga tak jarang peramalan disebut sebagai

bagian integral dari kegiatan pengambilan keputusan (Makridakis, 1999:4). Pada

berbagai peristiwa yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari, seringkali terdapat

senjang waktu antara kesadaran akan kebutuhan mendatang dengan peristiwa itu

sendiri. Oleh karena itu, peramalan diperlukan untuk menetapkan kapan suatu

peristiwa akan terjadi atau timbul sehingga tindakan yang tepat dapat dilakukan

(Makridakis, 1999:3).

Selanjutnya, peramalan memegang peranan penting dalam berbagai aspek

bidang, terutama bidang yang sangat berkaitan erat dengan proses perencanaan,

yaitu ekonomi dan manajemen. Dalam perkembangannya, setiap perusahaan

ataupun organisasi yang bergerak di bidang tersebut akan semakin meningkatkan

usahanya untuk mengurangi ketergantungan pada hal-hal yang belum pasti. Hal

itu berakibat pada meningkatnya kebutuhan akan peramalan.

2. Klasifikasi Peramalan

Peramalan dapat diklasifikasikan berdasarkan periode waktunya, yaitu :

a. Peramalan Jangka Pendek

Meliputi jangka waktu kurang dari tiga bulan sampai dengan satu tahun.

Biasanya, ditujukan untuk merencanakan pembelian bahan baku, jadwal

kerja, tenaga kerja, dan tingkat produksi.

b. Peramalan Jangka Menengah

Meliputi jangka waktu bulanan sampai dengan tiga tahun. Ditujukan untuk

merencanakan penjualan, anggaran produksi, dan kas.


c. Peramalan Jangka Panjang

Meliputi jangka waktu tiga tahun atau lebih. Ditujukan untuk merencanakan

produk baru, pembelanjaan modal, pengembangan lokasi dan fasilitas, serta

penelitian dan pengembangan.

Metode ARIMA sering juga disebut metode runtun waktu Box-Jenkins.

Metode Box-Jenkins merupakan salah satu metode yang sering digunakan dalam

peramalan. Metode ini sangat baik ketepatannya untuk peramalan jangka pendek,

sedangkan untuk peramalan jangka panjang ketepatan peramalannya kurang baik.

Dalam proses peramalan, metode ini menggunakan nilai di masa lalu dan

sekarang dari variabel dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek

yang akurat.

B. Tahapan Peramalan dengan Metode Box-Jenkins

Tahapan dalam proses peramalan dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Preprocessing Data dan Identifikasi Model Stasioner

Pada tahap awal, dilakukan identifikasi model runtun waktu yang mungkin

digunakan untuk memodelkan sifat-sifat atau karakteristik data. Identifikasi secara

sederhana dapat dilakukan secara visual dengan melihat plot dari data, untuk

melihat adanya tren, komponen musiman, nonstasioneritas dalam variansi, dan

lain-lain. Tahapan ini juga dapat digunakan untuk melihat teknik preprocessing

data manakah yang perlu digunakan untuk membentuk data yang stasioner.

Beberapa teknik preprocessing data yang umum dilakukan adalah seperti

membuang outlier dari dalam data, filtering data menggunakan model atau teknik

statistika tertentu, transformasi data, melakukan operasi difference, detrend

(membuang komponen tren), deseasonal-isasi (membuang komponen musiman),

dan lain-lain. Stasioneritas dari data dapat dilihat dari bentuk fungsi sampel ACF

dan fungsi sampel PACF, ataupun dengan menggunakan uji unit root terhadap

data.


Selanjutnya, jika telah dilakukan preprocessing terhadap data sehingga

menghasilkan data yang stasioner, dapat ditentukan bentuk model ARMA

(Autoregressive Moving Average) yang tepat dalam menggambarkan sifat atau

karakteristik data. Hal tersebut dapat dilakukan dengan cara membandingkan plot

sampel ACF dan PACF dengan sifat-sifat fungsi sampel ACF dan PACF teoretis

dari model ARMA. Rangkuman plot sampel dan gambar ilustrasi ACF/PACF dari

model ARMA diberikan pada tabel 3.1 dan tabel 3.2 :

Tabel 3.1

Rangkuman Plot Sampel ACF dan Sampel PACF

Proses Sampel ACF Sampel PACF

White

Noise

Tidak ada yang melewati batas

interval pada lag > 0

Tidak ada yang melewati batas

interval pada lag > 0

AR(p) Meluruh menuju nol secara

eksponensial

Di atas batas interval maksimum

sampai lag ke p dan di bawah

batas pada lag > p

MA(q) Di atas batas interval maksimum

sampai lag ke q dan di bawah

batas pada lag > q

Meluruh menuju nol secara

eksponensial

ARMA(p,q) Meluruh menuju nol secara

eksponensial

Meluruh menuju nol secara

eksponensial


Tabel 3.2

Gambar Ilustrasi Sampel ACF dan Sampel PACF

Proses Sampel ACF Sampel PACF

White

Noise

AR(p)

MA(q)

ARMA(p,q)

2 4 6 8 10 12

-0.0

50.0

00.0

5

White Noise

Lag ke-

AC

F

2 4 6 8 10 12

-0.0

50.0

00.0

5

Lag ke-

Part

ial A

CF

White Noise

2 4 6 8 10

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

AR(p) untuk p=1

Lag ke-

AC

F

2 4 6 8 10

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag ke-

Part

ial A

CF

AR(p) untuk p=1

2 4 6 8 10 12

-0.1

00.0

00.1

00.2

0

MA(q) untuk q=1

Lag ke-

AC

F

2 4 6 8 10 12

-0.1

5-0

.05

0.0

50.1

5

Lag ke-

Part

ial A

CF

MA(q) untuk q=1

2 4 6 8 10 12 14

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

ARMA(p,q) untuk p=1 dan q=1

Lag ke-

AC

F

2 4 6 8 10 12 14

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

Lag ke-

Part

ial A

CF

ARMA(p,q) untuk p=1 dan q=1


2. Estimasi Model

Setelah digunakan bentuk model yang kira-kira sesuai untuk data, selanjutnya

dilakukan estimasi terhadap parameter dalam model, seperti koefisien dari model

ARMA dan nilai variansi dari residual. Estimasi dari model ARMA dapat

dilakukan dengan beberapa metode, seperti Maximum Likelihood Estimator

(MLE), Least Square (Kuadrat Terkecil), Hannan Rissanen, metode Whittle, dan

lain-lain. Dalam tugas akhir ini, metode estimasi yang digunakan adalah

Maximum Likelihood Estimator (MLE).

3. Diagnostic Check dan Pemilihan Model Terbaik

Langkah selanjutnya adalah melakukan diagnostic check dari model yang

telah diestimasi pada tahap sebelumnya, yakni dengan cara melakukan verifikasi

kesesuaian model dengan sifat-sifat data. Jika model tersebut merupakan model

yang tepat, maka data yang dihitung dengan model (fitted value) akan memiliki

sifat-sifat yang mirip dengan data asli. Dengan demikian, residual yang dihitung

berdasarkan model yang telah diestimasi harus memenuhi asumsi-asumsi dari

model teoretis, seperti sifat White Noise, tidak adanya korelasi serial pada

residual, normalitas dari residual, dan homogenitas dari residual. Oleh karena itu,

perlu dilakukan pengujian terhadap masing-masing asumsi. Beberapa uji yang

digunakan adalah sebagai berikut.

a. Uji White Noise

Pengujian white noise pada residual dapat dilakukan dengan menggunakan

uji statistik Q Box-Pierce dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. : Residual memenuhi proses white noise

:

2. : Residual tidak memenuhi proses white noise

:

3.

4. Statistik Uji (Box-Pierce)


( ) ∑

banyaknya observasi dalam runtun waktu

banyaknya lag yang diuji

nilai koefisien autokorelasi pada lag k

5. Wilayah Kritis

ditolak jika ( )

( ) atau p-value .

6. Kesimpulan

b. Uji Normalitas Residual

1. Residual berdistribusi normal

( ) ( )

2. Residual tidak berdistribusi normal

( ) ( )

3.

4. Statistik Uji

maksimum | ( ) ( )|

Dengan ( ) fungsi distribusi kumulatif berdasarkan data

sampel

( ) fungsi distribusi kumulatif di bawah

( )


( ) ( ) nilai diperoleh dari

,

dengan adalah rata-rata dari sampel dan adalah standar

deviasi dari sampel.

5. Wilayah Kritis

ditolak (residual tidak berdistribusi normal) jika ( )

atau , dengan adalah ukuran sampel.

6. Kesimpulan

Apabila model yang diidentifikasikan tidak memenuhi asumsi-asumsi di atas,

maka model tersebut tidak dapat digunakan, dan selanjutnya dapat

diidentifikasikan kembali model lain yang mungkin sesuai untuk data.

Selanjutnya, dalam praktik akan banyak model yang memenuhi pengujian

diagnostik di atas. Untuk memilih model terbaik, dapat dipilih model yang

meminimumkan ukuran kriteria informasi seperti Akaike Information Criteria

(AIC). AIC adalah suatu kriteria pemilihan model terbaik yang diperkenalkan oleh

Akaike pada tahun 1973. Kriteria ini mempertimbangkan banyaknya parameter

dalam model. Kriteria AIC dapat dituliskan sebagai berikut:

dengan penduga maximum likelihood

banyaknya data runtun waktu

banyaknya parameter dalam model

Akan tetapi, diketahui model Autoregressive, kriteria AIC tidak memberikan

orde p yang konsisten, sehingga untuk pembanding, dapat digunakan kriteria

informasi lain, seperti Schwarzt Information Criteria (SIC). Kriteria ini

mempunyai prinsip yang sama dengan AIC. Kriteria SIC dapat dituliskan sebagai

berikut:


dengan penduga maximum likelihood

banyaknya data runtun waktu

banyaknya parameter dalam model

Dalam pengujian diagnostik, dipilih model yang mempunyai nilai AIC dan

SIC paling kecil, karena semakin kecil nilai kedua kriteria tersebut maka model

semakin baik dan layak digunakan dalam peramalan. Menurut beberapa

penelitian, kriteria AIC lebih cocok digunakan pada sampel berukuran kecil,

sementara SIC lebih sesuai untuk sampel berukuran besar (Shunway dan Stoffer,

2011: 53).

4. Aplikasi Model untuk Peramalan

Setelah model terbaik diperoleh dari langkah-langkah pemodelan di atas,

model tersebut dapat digunakan untuk meramalkan sifat-sifat data di masa yang

akan datang. Dalam analisis runtun waktu, seringkali data dibagi menjadi dua

bagian yang disebut data in sample, yakni data-data yang digunakan untuk

memilih model terbaik dengan langkah-langkah pemodelan di atas, dan data out

sample, yakni bagian data yang digunakan untuk memvalidasi keakuratan

peramalan dari model terbaik yang diperoleh berdasarkan data in sample. Model

yang baik tentunya diharapkan merupakan model terbaik untuk data in sample dan

sekaligus merupakan model yang baik untuk peramalan, yang dapat diukur

dengan data out sample. Beberapa ukuran kebaikan peramalan dapat dikenalkan,

seperti ukuran Mean Square Error (MSE), Root of MSE (RMSE), Median atau

Mean Absolut Deviation (MAD), dan lain-lain.


48

BAB IV

APLIKASI METODE BOX-JENKINS UNTUK PERAMALAN SUKU

CADANG KENDARAAN BERMOTOR

A. Metode Penelitian

1. Studi Pustaka

Pada tahap ini dilakukan penelaahan sumber pustaka yang relevan dengan

permasalahan yang dikaji yaitu tentang penggunaan metode ARIMA untuk

peramalan suplai suku cadang kendaraan bermotor untuk mendapatkan informasi

yang diperlukan sehingga memunculkan ide atau gagasan yang akhirnya dapat

dijadikan landasan dalam melakukan penelitian di PT Astra Otoparts, Tbk.

2. Observasi

Setelah permasalahan dirumuskan, dilakukan observasi untuk mengumpulkan

data. Data yang dibutuhkan merupakan data jenis kuantitatif, yaitu laporan harian

suplai barang pada perusahaan suku cadang kendaraan bermotor PT Astra

Otoparts, Tbk.

3. Metode Pengumpulan Data

Pengumpulan data dapat dilakukan dengan beberapa cara. Data yang

dikumpulkan merupakan data sekunder yaitu memanfaatkan data yang sudah ada

dalam bentuk data kuantitatif pada PT Astra Otoparts, Tbk mengenai data suplai

barang dari bulan Januari 2015 sampai dengan Januari 2017.

Beberapa cara pengumpulan data yang digunakan, yaitu :

a. Dokumentasi

Metode ini digunakan untuk mengumpulkan informasi melalui buku-

buku panduan perusahaan dan dokumen lain yang menunjang untuk

melengkapi data.


b. Metode Wawancara

Metode ini digunakan dengan cara mewawancarai langsung kepada

pimpinan, staf serta pegawai lain yang bekerja di PT Astra Otoparts,

Tbk.

c. Metode Observasi

Melakukan observasi untuk mengetahui proses suplai barang ke

perusahaan dan mencari berbagai kendala yang sering muncul dalam

proses tersebut. Observasi dilakukan dengan kunjungan langsung ke

perusahaan yang bersangkutan dan magang kerja selama satu bulan.

d. Metode Studi Pustaka

Mengumpulkan berbagai data yang terkait dengan masalah, hal-hal dan

materi yang menjadi pokok studi penelitian.

4. Pengolahan dan Analisa Data

Proses pengolahan dan analisa data dilakukan sesuai dengan tahapan-tahapan

metode peramalan Box-Jenkins yang telah dibahas di bab tiga. Data suplai barang

yang telah terkumpul kemudian disortir dan diseleksi agar sesuai dengan yang

dibutuhkan. Data hasil seleksi inilah yang selanjutnya akan digunakan sebagai

acuan pada metode Box-Jenkins untuk meramalkan nilai yang menunjukkan

banyaknya suplai barang yang dibutuhkan untuk periode mendatang. Dalam tahap

pengolahan data, peneliti menggunakan bantuan program R untuk mempermudah

proses perhitungan.

B. Peramalan Suplai Suku Cadang Kendaraan Bermotor dengan Metode

Box-Jenkins

1. Preprocessing Data dan Identifikasi Model

Data yang akan digunakan untuk proses peramalan merupakan data suplai

suku cadang kendaraan periode Januari 2015-Januari 2017 (dalam minggu), data

tersebut diolah dengan bantuan program R. Data tersebut dapat dilihat pada


lampiran 2. Tahap pertama dilakukan dengan memanggil data suplai suku cadang

kendaraan (data asli), untuk selanjutnya membuat plot grafik dari data tersebut.

Plot grafik data asli dapat dilihat pada gambar 4.1.

Gambar 4.1

Plot Grafik Data Asli

Secara visual, berdasarkan plot grafiknya, data terlihat tidak stasioner dalam rata-

rata maupun variansi. Lebih lanjut, untuk identifikasi kestasioneran pada data,

dilakukan uji akar unit (Uji Augmented Dickey Fuller). Pada uji akar unit,

didefinisikan hipotesis sebagai berikut:

: Data tidak stasioner

: Data stasioner

Uji akar unit dilakukan dengan program R menggunakan perintah adf.test( ).

Berdasarkan uji akar unit pada lampiran 3 (Uji akar unit terhadap data asli),

diperoleh nilai p-value = 0.1493. Karena p-value > 0.05 maka diterima, artinya

data tersebut tidak stasioner.

Plot Suplai Suku Cadang Mingguan

Minggu ke-

Banyaknya S

upla

i

0 20 40 60 80 100

05000

15000

25000


Karena data tidak stasioner, dilakukan transformasi pada data. Transformasi yang

dilakukan yaitu transformasi akar dengan perintah sqrt( ), kemudian dilanjutkan

dengan proses differencing pada data. Differencing dapat dilakukan dengan

perintah diff( ). Setelah diperoleh data hasil proses differencing, kemudian dibuat

plot grafik berdasarkan data tersebut. Plot data setelah mengalami proses

differencing dapat dilihat pada gambar 4.2.

Gambar 4.2

Plot Grafik Data Setelah Differencing

Berdasarkan plot grafik, data terlihat stasioner, baik stasioner dalam rata-rata

maupun stasioner dalam variansi. Kesimpulan yang sama juga diperoleh dari uji

akar unit (Uji Augmented Dickey Fuller). Berdasarkan uji akar unit pada lampiran

3 (Uji akar unit terhadap data hasil differencing), diperoleh nilai p-value = 0.01.

Karena p-value < 0.05 maka ditolak, artinya data tersebut stasioner.

Selanjutnya, akan dilakukan identifikasi model ARIMA yang tepat untuk

menggambarkan data hasil differencing menggunakan plot ACF dan PACF.

Plot Setelah Differencing

Minggu ke-

Banyaknya S

upla

i

0 20 40 60 80 100

-100

-50

050

100


2. Estimasi Model

Pada tahap ini, akan dilakukan identifikasi model ARIMA yang mungkin

terhadap data hasil differencing. Proses identifikasi model ini menggunakan plot

ACF dan plot PACF sebagai acuannya. Plot ACF dapat dibuat dengan perintah

acf( ) dan plot PACF dibuat dengan perintah pacf( ). Berdasarkan pada data hasil

proses differencing, dibuat plot grafik ACF dan PACF sehingga diperoleh plot

grafik seperti pada gambar 4.3 dan gambar 4.4.

Gambar 4.3

Plot ACF dari Data Setelah Differencing

Gambar 4.4

Plot PACF dari Data Setelah Differencing

0 5 10 15 20 25 30 35

-0.4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lag

AC

F

Series datamingguan_diff

0 5 10 15 20 25 30 35

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

Lag

Part

ial A

CF

Series datamingguan_diff


Berdasarkan plot di atas, terlihat bahwa fungsi ACF signifikan pada lag-3 (MA =

3), dan fungsi PACF signifikan pada lag-1 (AR = 1). Pemilihan model dilakukan

menurut prinsip parsimony. Prinsip parsimony menyatakan bahwa semakin

sederhana sebuah model statistik dengan jumlah variabel dependen yang cukup

informatif, semakin baik pula model statistik tersebut. Sehingga dapat

disimpulkan beberapa model yang mungkin, dengan Xt = sqrt(datamingguan),

yaitu :

1. Model 1 : model ARIMA (0,1,1)







Untuk mengestimasi parameter-parameter dari model-model di atas, dapat

digunakan perintah arima pada package forecast. Berikut diberikan contoh estimasi

model 1 (ARIMA(0,1,1)) menggunakan fungsi arima.

> library(forecast)

> ArimaModel_1=arima(datamingguan_trans,order=c(0,1,1))

> summary(ArimaModel_1)

Dalam estimasi di atas, orde dari model ARIMA yang akan diestimasi dapat

diisikan melalui pilihan order. Hasil estimasi akan disimpan ke dalam objek

bernama ArimaModel_1. Selanjutnya, output dari data dapat ditampilkan dengan

perintah summary dan diperoleh hasil sebagai berikut.

Call:

arima(x = datamingguan_trans, order = c(0, 1, 1))

Coefficients:


ma1

-0.8688

s.e. 0.1384


Training set error measures:

ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1

Training set 2.020433 29.46041 22.28516 -Inf Inf 0.7812383 0.1189481

Untuk mengestimasi parameter-parameter dari model lainnya dapat dilakukan

dengan perintah yang sama, sehingga diperoleh hasil seperti pada tabel 4.1.

Tabel 4.1

Hasil Estimasi Model

ARIMA

(0,1,1)

ARIMA

(0,1,2)

ARIMA

(0,1,3)

ARIMA

(1,1,0)

ARIMA

(1,1,1)

ARIMA

(1,1,2)

ARIMA

(1,1,3)

-0.4408

(0.0918)

0.1745

(0.1044)

0.781

(0.215)

-0.6599

(0.1998)

-0.8688

(0.1384)

-0.8532

(0.1017)

-0.8073

(0.1199)

-1.0000

(0.0392)

-1.6507

(0.2497)

-0.1185

(0.2130)

-0.1467

(0.0926)

-0.0907

(0.1118)

0.6507

(0.2485)

-0.5838

(0.1749)

-0.1020

(0.1009)

-0.2977

(0.1167)

RMSE 29.46041 28.69615 28.5849 32.85074 28.65567 28.63663 28.24225

AIC 1053.23 1052.55 1053.49 1075.79 1052.14 1053.51 1052.96

3. Diagnostic Checking dan Pemilihan Model Terbaik

Untuk melakukan diagnostic checking, diperlukan data residual dari masing-

masing model. Kemudian, berdasarkan data residual tersebut dilakukan beberapa


uji dan analisis. Uji white noise dan uji normalitas harus dipenuhi, sementara itu

analisis yang digunakan adalah dengan melakukan uji Q-Ljung-Box dan plot

ACF/PACF untuk residual, guna melihat apakah terdapat korelasi serial dalam

residual dari model yang diamati. Pada tahap ini, digunakan perintah tsdiag.

Misalnya, untuk hasil estimasi model 1 di atas, dapat digunakan perintah berikut :

> tsdiag(ArimaModel_1)

Untuk menampilkan nilai stastistik ACF beserta nilai dari statistik Ljung-Box dari

residual model 1 dapat digunakan fungsi sebagai berikut :

> hasil_1=acfStat(ArimaModel_1$residual)

Selanjutnya, dengan perintah yang sama dapat dilakukan uji diagnostik untuk

model-model lain. Hasil uji diagnostik dapat dilihat pada tabel 4.2.

Tabel 4.2

Hasil Uji Diagnostik

Alternatif

Model

Uji White Noise Uji Normalitas Kesimpulan

1 Memenuhi Memenuhi Tidak memenuhi uji

diagnostik karena

mengandung korelasi

serial di Q(32)

2 Tidak memenuhi Memenuhi Tidak memenuhi uji

diagnostik karena

mengandung korelasi

serial di Q(20)

3 Memenuhi Memenuhi Tidak memenuhi uji

diagnostik karena

mengandung korelasi

serial di Q(32)


diagnostik karena

mengandung korelasi


serial di lag


diagnostik karena

mengandung korelasi

serial di Q(23)

6 Memenuhi Memenuhi Memenuhi uji

diagnostik

7 Memenuhi Memenuhi Memenuhi uji

diagnostik

Model ARIMA(1,1,2) dan ARIMA(1,1,3) keduanya memiliki koefisien yang

signifikan dan memenuhi uji diagnostik tidak adanya korelasi serial pada residual.

Namun, pada model ARIMA(1,1,3) memiliki nilai RMSE dan AIC yang lebih

kecil daripada model ARIMA(1,1,2). Jadi, dapat disimpulkan bahwa model

ARIMA(1,1,3) merupakan model terbaik.

Karena merupakan data yang sudah mengalami transformasi akar, maka

√ . Jadi, diperoleh model terbaik:

atau

( )

4. Peramalan

Langkah terakhir dalam metode Box-Jenkins yaitu melakukan peramalan

dengan menggunakan model terbaik yang sudah diperoleh dalam tahap

sebelumnya. Untuk mendapatkan hasil dari peramalan, dapat digunakan perintah

forecast. Dalam menggunakan perintah forecast, perlu dimasukkan juga model

ARIMA yang akan digunakan serta jangka waktu peramalan. Setelah diperoleh

hasil peramalan, kemudian dibuat plot grafiknya (lampiran 3 langkah 4). Data


yang digunakan dalam peramalan adalah data asli , bukan menggunakan data

yang sudah mengalami transformasi akar . Oleh karena itu, hasil peramalan

perlu dikuadratkan agar sesuai dengan data asli. Jadi, hasil peramalan suplai suku

cadang kendaraan bermotor untuk 12 waktu ke depan dengan menggunakan

model ARIMA(1,1,3) adalah

Tabel 4.3

Data Hasil Peramalan

t 1 2 3 4 5 6 7

8231.93 8028.16 13185.93 9639.31 11918.09 10387.69 11384.89

t 8 9 10 11 12

10722.60 11157.70 10868.06 11058.63 10932.79

Keterangan :

t = minggu ke-

= data hasil peramalan

Berdasarkan data hasil peramalan pada tabel 4.3 diperoleh nilai rata-rata sebagai

berikut :

∑

Kemudian, diketahui nilai rata-rata dari data aktual untuk dua belas minggu ke

depan yaitu :

Sehingga dapat dihitung perbedaan atau selisih antara nilai rata-rata data hasil

peramalan dan nilai rata-rata data aktual, yaitu :

Keterangan :

rata-rata dari data hasil peramalan

rata-rata dari data aktual

Plot grafik data dan hasil peramalan dapat dilihat pada gambar 4.5.


Gambar 4.5

Plot Grafik Data

Plot grafik data asli ( ) dan hasil peramalan dapat dilihat pada gambar 4.6.

Gambar 4.6

Plot Grafik Data

Forecasts from ARIMA(1,1,3)

Minggu ke-

Xt*

0 20 40 60 80 100 120

050

100

150

0 20 40 60 80 100 120

05000

10000

20000

Plot Grafik Data Asli dan Hasil Peramalan

t

Xt

0 20 40 60 80 100 120

05000

10000

20000

Plot Grafik Data Asli dan Hasil Peramalan

t

Xt


59

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan pada bab sebelumnya,

diperoleh kesimpulan bahwa model terbaik dari metode ARIMA yang digunakan

untuk melakukan peramalan jangka pendek suplai suku cadang kendaraan

bermotor adalah ARIMA(1,1,3). Dari plot grafik hasil peramalan, dapat dilihat

bahwa banyaknya suplai suku cadang kendaraan bermotor tidak mengalami

kenaikan ataupun penurunan yang signifikan. Banyaknya suplai suku cadang

kendaraan bermotor sering mengalami fluktuasi pada kisaran 10000 sampai

dengan 11000. Itu berarti, permintaan konsumen akan suku cadang kendaraan

bermotor masih tergolong normal dan berada dalam batas wajar.

B. Saran

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah dikemukakan, penulis

memberikan saran sebagai berikut :

1. Untuk perusahaan yaitu PT Astra Otoparts, Tbk. diharapkan agar ke depannya

mampu menerapkan metode peramalan baik peramalan jangka pendek maupun

jangka panjang yang mungkin dapat berguna dalam perencanaan suplai suku

cadang sehingga persediaan barang bisa optimal dan flow process dapat

berjalan sebagaimana mestinya.

2. Untuk peneliti atau pembaca diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat

mencoba untuk menemukan metode lain ataupun mengembangkan metode

ARIMA untuk dipadukan dengan variabel pendukung lainnya, agar diperoleh

hasil peramalan yang lebih akurat.

3. Selain itu, peneliti atau pembaca juga diharapkan untuk membahas lebih lanjut

tentang aplikasi metode ARIMA dengan menggunakan program-program

lainnya, selain program R.


60

DAFTAR PUSTAKA

Abraham, B. dan Ledolter, J. (2005). Statistical Methods for Forecasting.

Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.

Alonso, M.A. dan Garci-Martos, C., 2012, Time Series Analysis: Estimation and

Selection of ARIMA Models, [online], (http://www.etsii.upm.es/ingor/

estadistica/Carol/TSAtema9petten.pdf, diakses tanggal 8 Juni 2017).

Asmoro, R.W., 2012, Karakterisasi Mekanis Bahan Kampas Kompling Sepeda

Motor Dengan Bahan Serat Kelapa, Arang Tempurung Kelapa, Serbuk

Aluminium, dan Resin Phenolic, [online], (http://eprints.ums.ac.id/20094/2/

BAB_1.pdf, diakses tanggal 11 Desember 2017).

Baillie, R., 2004, Maximum Likelihood Estimation Of Time Series Models,

[online], (https://msu.edu/~baillie/822/MLE.pdf, diakses tanggal 2 Agustus

2017).

Berg, A., 2008, AR and MA Models in R, [online],

(http://www.personal.psu.edu/asb17/old/sta4853/files/sta4853-11print.pdf,

diakses tanggal 3 Agustus 2017).

Box, G.E.P. dan Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and

Control. Oakland: Holden-Day.

Box, G.E.P., Jenkins, G.M., dan Reinsel, G.C. (1994). Time Series Analysis:

Forecasting and Control. 3rd

edition. Upper Sadle River, NJ: Prentice Hall,

Inc.

Brockwell, P.J. dan Davis, R.A. (2002). Introduction to Time Series and

Forecasting. New York: Springer.

Chatfield, C. (2000). Time Series Forecasting. Boca Raton, Florida: Chapman &

Hall.

Coghlan, A., 2015, A Little Book of R For Time Series, [online],

(https://media.readthedocs.org/pdf/a-little-book-of-r-for-timeseries/latest/a-

littlebook-of-r-for-time-series.pdf, diakses tanggal 22 Agustus 2016).

Cryer, J.D. dan Chan, K-S. (2008). Time Series Analysis With Applications in R.

second edition. New York: Springer.


http://eprints.ums.ac.id/20094/2/BAB_1.pdf

http://www.personal.psu.edu/asb17/old/sta4853/files/sta4853-11print.pdf

https://media.readthedocs.org/pdf/a-little-book-of-r-for-timeseries/latest/a-

https://media.readthedocs.org/pdf/a-little-book-of-r-for-timeseries/latest/a-

Grunig, R., Kuhn, R., dan Clark, A. (2002). Principles of Forecasting: A

Handbook for Reserachers and Practitioners. New York: Kluwer Academic

Publishers.

Jing, L., 2014, Lecture 6a: Unit Root and ARIMA Models, [online],

(http://www.fsb.miamioh.edu/lij14/672_2014_S6.pdf, diakses tanggal 11

Desember 2017).

Julliard, C., 2008, Maximum Likelihood: An Introduction, [online], (http://stat.uni

cas.it/downloadStatUnicas/seminari/2008/Julliard0708_1.pdf, diakses tanggal

2 Agustus 2017).

Magee, L., 2013, Unit Roots and Characteristics Roots, [online],

(http://socialsciences.mcmaster.ca/magee/761_762/other_material/un, diakses

tanggal 11 Desember 2017).

Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. (1999). Metode dan Aplikasi

Peramalan. Jakarta: Erlangga.

Montgomery, D.C., Jennings, C.L., dan Kulahci, M. (2008). Introduction to Time

Series Analysis and Forecasting. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.

Moshonov, H., 2008, ACF and PACF of an AR(p), [online],

(http://www.utstat.utoronto.ca/hadas/STA457/Lecture%20notes/week6_1.pdf,


Moshonov, H., 2008, Simulating AR, MA, and ARMA Time Series, [online],

(http://www.utstat.utoronto.ca/hadas/STA457/Lecture%20notes/R_armasimul

ation.pdf, diakses tanggal 30 Agustus 2017).

Render, B., Stair, R.M, dan Hanna, M.E. (2006). Quantitative Analysis for

Management. 9th

edition. Upper Sadle River, NJ: Prentice Hall.

Rosadi, D. (2011). Analisis Ekonometrika & Runtun Waktu Terapan dengan R.

Yogyakarta : Andi Offset.

Rosadi, D. (2014). Analisis Runtun Waktu dan Aplikasinya dengan R. Yogyakarta:

Gadjah Mada University Press.

Rusdi, R. (2011). Uji Akar-Akar Unit dalam Model Runtun Waktu Autoregresif.

Jurnal Statistika, Vol.11, No.2, hlm. 67-68.


http://www.fsb.miamioh.edu/lij14/672_2014_S6.pdf

http://socialsciences.mcmaster.ca/magee/761_762/other_material/un%09it_and_char_roots.pdf

http://www.utstat.utoronto.ca/hadas/STA457/Lecture%20notes/R_armasimul

Shunway, R. H. dan Stoffer, D.S. (2011). Time Series Analysis and Its Application

with R Examples Third Edition. New York: Springer.

Stine, R.A., 2011, Estimating an ARMA Process, [online],

(http://www.stat.wharton.upenn.edu/~stine/stat910/lectures/12_est_arma.pdf,


Wei, Z., 2017, Estimation of Stationary Time Series, [online], (https://ams.sunysb.

edu/~zhu/ams586/Estimation%20of%20Stationary%20Time20%series.pdf,

diakses tanggal 8 Juni 2017).

Yessa, Y., 2016, Pengaruh Promosi Penjualan terhadap Proses Keputusan

Pembelian Suku Cadang Mobil Merk Sparepart Factory di Kota Bandung,

Kota Cimahi, dan Kabupaten Bandung, [online],

(http://repository.widyatama.ac.id/xmllui/bitstream/handle/123456789/Bab%

25201.pdf, diakses tanggal 11 Desember 2017).

Zivot, E., 2005, Estimation of ARMA Models, [online], (https://faculty.washing

ton.edu/ezivot/econ584/notes/armaestimation.pdf, diakses tanggal 2 Agustus

2017).


http://www.stat.wharton.upenn.edu/~stine/stat910/lectures/12_est_arma.pdf

http://ams.sunysb.edu/~zhu/ams586/Estimation%20of%20Stationary%20Tim

http://repository.widyatama.ac.id/xmlui/bitstream/handle/123456789/Bab%25

http://repository.widyatama.ac.id/xmlui/bitstream/handle/123456789/Bab%25

LAMPIRAN

Berikut adalah lampiran program untuk contoh-contoh dan analisis data yang

disebut dalam Tugas Akhir ini.

Lampiran 1 : Program R untuk membuat plot grafik proses white noise, moving

average, dan autoregressive

Contoh 2.1: plot grafik untuk proses white noise

> w = rnorm(500,0,1)

> plot.ts(w, main="white noise")

Contoh 2.2: plot grafik untuk proses autoregressive

> w = rnorm(550,0,1)

> x = filter(w, filter=c(1,-.9), method="recursive")[-(1:50)]

> plot.ts(x, main="autoregression")

Contoh 2.4: plot grafik untuk proses moving average

> v = filter(w, sides=2, rep(1/3,3))

> plot.ts(v, main="moving average")

Lampiran 2 : Data Suplai Suku Cadang Kendaraan Bermotor Periode Januari

2015– Januari 2017 (dalam minggu)

Minggu

ke- Suplai

1 159

2 9439

3 11839

4 11591

5 16260

6 7851


7 333

8 17701

9 21600

10 16639

11 17401

12 10888

13 14009

14 1635

15 11109

16 9681

17 13618

18 4427

19 9643

20 8737

21 15215

22 16724

23 5627

24 15028

25 13999

26 13002

27 7165

28 17149

29 1927

30 5617

31 16904

32 15189

33 20661

34 9930

35 12698

36 5685


37 11191

38 11674

39 9950

40 7579

41 13247

42 8469

43 16066

44 13286

45 10258

46 11299

47 11675

48 14934

49 7864

50 6835

51 10263

52 8169

53 17280

54 6012

55 14819

56 19094

57 20170

58 14869

59 12017

60 10871

Minggu

ke- Suplai

61 21699

62 19869

63 11460


64 9734

65 15040

66 13612

67 15856

68 16210

69 22895

70 19580

71 6980

72 18763

73 9633

74 18411

75 6542

76 10967

77 10778

78 10638

79 4807

80 0

81 4219

82 7943

83 14153

84 6994

85 11702

86 3791

87 12792

88 6902

89 13310

90 7385

91 14576

92 13724

93 9886


94 11197

95 19885

96 21417

97 12298

98 13874

99 16460

100 27091

101 13137

102 7467

103 13702

104 18287

105 8622

106 4619

107 13421

108 10336

109 13871

110 419

Lampiran 3: Analisis data dengan program R untuk bab IV

1. Preprocessing Data dan Identifikasi Model

- Memanggil data asli dan membuat plot grafiknya

> data=read.table(file.choose(),header=T)

> datamingguan=data[,2]

> plot.ts(datamingguan,xlab="Minggu ke-",ylab="Banyaknya Suplai",main="Plot Suplai

Suku Cadang Mingguan",col="blue")

- Uji akar unit (Uji Augmented Dickey Fuller) terhadap data asli

> adf.test(datamingguan)


Augmented Dickey-Fuller Test

data: datamingguan

Dickey-Fuller = -3.0299, Lag order = 4, p-value = 0.1493

alternative hypothesis: stationary

- Transformasi akar terhadap data asli

> datamingguan_trans=sqrt(datamingguan)

- Differencing terhadap data hasil transformasi akar

> datamingguan_diff=diff(datamingguan_trans)

- Membuat plot grafik data hasil differencing

> plot.ts(datamingguan_diff,xlab="Minggu ke-",ylab="Banyaknya Suplai",main="Plot

Setelah Differencing",col="blue")

- Uji akar unit (Uji Augmented Dickey Fuller) terhadap data hasil differencing

> adf.test(datamingguan_diff)

Augmented Dickey-Fuller Test

data: datamingguan_diff

Dickey-Fuller = -7.3517, Lag order = 4, p-value = 0.01

alternative hypothesis: stationary


2. Estimasi Model

- Membuat plot grafik ACF berdasarkan data hasil differencing

> acf(datamingguan_diff,lag.max=36)

- Membuat plot grafik PACF berdasarkan data hasil differencing

> pacf(datamingguan_diff,lag.max=36)

- Hasil estimasi model

Model 1 : model ARIMA (0,1,1)

> library(forecast)



Call:


Coefficients:

ma1

-0.8688

s.e. 0.1384






Model 2 : ARIMA(0,1,2)



Call:


Coefficients:

ma1 ma2

-0.8532 -0.1467

s.e. 0.1017 0.0926

sigma^2 estimated as 831: log likelihood = -523.27, aic = 1052.55







Call:


Coefficients:


ma1 ma2 ma3

-0.8073 -0.0907 -0.1020

s.e. 0.1199 0.1118 0.1009








Call:


Coefficients:

ar1

-0.4408

s.e. 0.0918

sigma^2 estimated as 1089: log likelihood = -535.9, aic = 1075.79




Training set 0.4143045 32.85074 25.74348 -Inf Inf 0.9024744 -0.0590526




Call:


Coefficients:

ar1 ma1

0.1745 -1.0000

s.e. 0.1044 0.0392








Call:


Coefficients:


ar1 ma1 ma2

0.781 -1.6507 0.6507

s.e. 0.215 0.2497 0.2485








Call:


Coefficients:

ar1 ma1 ma2 ma3

-0.6599 -0.1185 -0.5838 -0.2977

s.e. 0.1998 0.2130 0.1749 0.1167




Training set 4.322898 28.24225 21.72207 -Inf Inf 0.7614984 -0.00107188

3. Diagnostic Checking dan Pemilihan Model


- Nilai residual untuk masing-masing model

Model 1 : model ARIMA (0,1,1)

> residual_1=resid(ArimaModel_1)

> residual_1

Time Series:

Start = 1

End = 110

Frequency = 1

[1] 0.01260951 63.82163528 46.49235575 31.18720016 42.31984412

[6] -3.97745713 -71.71512835 53.10733280 58.33702799 31.65707713

[11] 29.90473336 -1.77622990 12.42586344 -66.95791892 6.96085460

[16] -0.97233790 17.43686898 -34.99551063 1.28868535 -3.60597082

[21] 26.73421200 29.17940251 -28.95744750 22.41863383 15.20052656

[26] 8.91262475 -21.63557722 27.51024872 -63.15361458 -23.81679081

[31] 34.37600777 23.09364039 40.55892466 -8.85192282 5.34531709

[36] -32.64216419 2.02853989 4.02117927 -4.80291160 -16.86506064

[41] 13.38544008 -11.43888728 24.78619254 10.04794046 -5.25326228

[46] 0.45082351 2.14584394 16.01818384 -19.60860414 -23.04151215

[51] -1.38655480 -12.12861313 30.53329090 -27.38834231 20.40064301

[56] 34.17224438 33.52966868 9.04868504 -4.45473769 -9.22836270

[61] 35.02391522 24.08117125 -12.98380817 -19.67096709 6.88607997


[66] 0.01557369 9.26366453 9.44636056 32.19964233 16.59336114

[71] -41.96548763 16.97118230 -24.08532231 16.61344322 -40.37039012

[76] -11.23385429 -10.66651410 -9.94376461 -42.44750647 -106.21184428

[81] -27.32531913 0.42885143 30.21546741 -9.08439171 16.65292865

[86] -32.13626096 23.60994802 -9.51061399 24.02766970 -8.55719116

[91] 27.36041060 20.18968783 -0.17987327 6.23123386 40.61213669

[96] 40.61600123 -0.16107280 6.75165352 16.37456916 50.52348704

[101] -6.08078686 -33.48806718 1.54858013 19.51933222 -25.41589116

[106] -46.97337617 7.07432857 -8.03658973 9.12672632 -89.37622278



> residual_2

Time Series:

Start = 1

End = 110

Frequency = 1

[1] 0.01260951 63.91789986 38.93907639 27.54882270 39.66336239

[6] -5.63658354 -64.42604964 60.37277863 49.38849326 27.83376069

[11] 30.45762962 0.67443351 18.09954831 -60.93212895 17.43344793

[16] -1.37891176 19.07233595 -33.76419462 6.47447417 -4.11023408

[21] 26.76087140 26.86059808 -27.64348115 27.93732703 14.63025364


[26] 11.64190792 -17.27404335 33.01189396 -60.98490016 -14.77015549

[31] 33.40656332 18.68562241 40.30704789 -7.58710109 12.33693992

[36] -27.66978765 8.88354512 5.62187245 -2.26922940 -13.60872456

[41] 16.09448353 -11.39596384 27.17014357 9.57104663 -1.97857607

[46] 4.68901163 5.35190720 19.13425975 -16.48118033 -16.92518589

[51] 1.97190725 -11.60976515 31.28171258 -28.98044773 24.10268262

[56] 32.25805677 34.23566706 13.35962342 3.89701898 -0.12615369

[61] 43.14588019 29.79952896 -2.45621577 -6.07827997 18.34511677

[66] 8.57345885 19.01930790 18.57431678 42.14692735 26.74241442

[71] -27.44877804 33.89216432 -14.08426644 30.36502959 -30.97575351

[76] 2.05978836 -3.65564718 -3.44592407 -37.02033257 -100.52191517

[81] -25.33667076 -11.85552287 16.01799119 -23.36883578 7.06036270

[86] -43.78100547 15.40739725 -23.23320452 14.78284656 -20.19196007

[91] 19.74304379 10.13776085 -6.21940612 2.58490641 36.28847218

[96] 36.26296130 0.56977031 12.60344439 21.16454642 55.79283154

[101] 0.39674820 -19.62574174 13.99808968 27.04344309 -17.32199764

[106] -35.45958722 15.22051903 -6.42662866 12.82371129 -86.97318266



> residual_3

Time Series:


Start = 1

End = 110

Frequency = 1

[1] 0.01260951 65.41678662 41.51476926 22.32337103 37.84588049

[6] -7.14859283 -66.25512077 65.59417497 53.78900784 19.46247845

[11] 26.58486761 -0.80009129 16.70797580 -60.47499350 19.27274275

[16] 4.44374495 16.83383029 -33.93695369 7.01032789 -0.40857699

[21] 26.14582811 26.40489722 -30.87522848 27.68658509 17.08576644

[26] 8.19902160 -18.38821968 33.66807481 -60.29024582 -15.10506336

[31] 40.72453273 17.70582353 35.90046342 -9.99049412 9.87840128

[36] -26.36580293 9.26202845 8.18943294 -3.61684240 -13.74114491

[41] 17.44579494 -10.66984626 26.09219773 9.93211709 -4.84376904

[46] 4.61769698 5.93762795 18.59316627 -17.57966906 -17.57874533

[51] 4.93776651 -10.21513394 31.30263300 -29.12543026 22.51871489

[56] 34.67520819 30.23620406 9.26206296 1.22652181 -0.50095975

[61] 43.33155208 28.06309057 -7.68465936 -7.59777036 19.92189845

[66] 8.41955886 16.83767353 17.47455794 39.99878869 23.64613990

[71] -31.95625403 33.81371429 -12.16527365 27.39170158 -30.36141851

[76] 0.76338401 -0.21220265 -3.83144020 -36.58150105 -98.33453010

[81] -17.22913942 -2.04649185 16.60218460 -23.83991911 6.69841266

[86] -41.43916078 16.44758708 -19.75358416 13.66057834 -18.48332107


[91] 19.10310022 11.39297431 -8.72473266 2.34136004 37.25611599

[96] 34.31783175 -4.37681951 10.17473828 21.64459108 53.83345773

[101] -3.85608734 -24.17594217 16.31099632 28.56035118 -20.38413373

[106] -36.85129052 19.33380165 -4.02534038 10.81607140 -86.63496341



> residual_4

Time Series:

Start = 1

End = 110

Frequency = 1

[1] 0.01260951 75.88752167 48.92117454 3.99097694 19.34817577

[6] -30.15729089 -87.50909679 83.78229064 64.52819334 -11.83913524

[11] -5.00395094 -26.27983132 1.86203442 -71.74691835 30.61399091

[16] 21.62984625 15.21526404 -42.09179318 9.55168755 9.23063294

[21] 27.79351777 19.14245123 -51.67534738 23.63575805 16.70047972

[26] -6.17393347 -31.27154289 33.35679003 -66.64347866 -7.32662182

[31] 68.75555206 17.50328462 17.51062390 -35.05519989 -6.39940502

[36] -31.54001962 13.95223102 15.65444219 -7.30090766 -16.34948228

[41] 22.44325993 -10.70886086 24.55568971 3.82021739 -19.04666232

[46] -1.14897303 3.96482248 14.92708838 -27.28635776 -20.78363162


[51] 15.98526471 -2.71054064 36.25547775 -35.81174777 20.42921715

[56] 35.92999107 11.09045354 -18.38985744 -21.16910654 -10.78723152

[61] 40.67984554 12.62497838 -36.70449136 -23.33657704 20.27806604

[66] 4.60201056 6.61971455 5.47546632 24.60864704 -0.80620881

[71] -61.39966060 28.57772520 -15.27686937 20.42241755 -38.25670610

[76] -0.31771832 9.60303926 -1.07597430 -34.10634364 -84.23559885

[81] 34.39115774 52.80216377 40.49717788 -22.18112182 8.96897398

[86] -35.78464979 30.98668201 -7.30808451 19.05597495 -15.19879598

[91] 21.82066023 11.75649138 -19.29993914 -1.42418204 38.01400316

[96] 20.84716398 -33.09902893 -8.73483708 13.54649110 40.92922708

[101] -33.97654229 -50.23531395 18.21063374 31.68204604 -34.36342391

[106] -43.57081691 36.91332100 6.92576348 9.85707604 -90.20462629



> residual_5

Time Series:

Start = 1

End = 110

Frequency = 1

[1] 0.01260951 64.78962333 39.16209759 26.18838365 38.91611284

[6] -6.64206481 -64.80749460 62.70199390 49.87368529 25.43033269


[11] 28.88390214 -0.46640967 17.68026395 -61.12551465 18.94992170

[16] -0.01936598 18.94020623 -34.00428561 7.15734530 -3.20094493

[21] 26.92919127 26.44088403 -28.86909904 28.21172639 14.75444608

[26] 10.70721498 -17.79487320 33.36528067 -61.29670802 -13.77104614

[31] 35.52787808 18.28649728 39.08175561 -9.04021265 11.65497916

[36] -27.68434237 9.46546791 6.21080527 -2.52868654 -13.56964584

[41] 16.64794964 -11.37962673 27.18744014 9.21974831 -2.83129906

[46] 4.60505663 5.37649581 18.96826455 -17.04932238 -16.86022560

[51] 2.95910640 -11.13788026 31.64595529 -29.46162093 24.19526313

[56] 32.41908129 32.81052621 11.66955377 2.73448468 -0.49292277

[61] 43.13262434 28.68711367 -4.30736684 -6.69350856 18.65544991

[66] 8.29733446 18.38833312 17.90266166 41.21974401 25.17138324

[71] -29.19710597 34.04260754 -14.25085730 29.95953016 -31.38852833

[76] 2.21143798 -2.85168195 -3.33006172 -36.76524264 -99.34177786

[81] -21.53431894 -8.51610875 17.05717269 -23.44997120 7.35873778

[86] -43.32031166 16.50041507 -22.48306366 15.09003913 -19.95196806

[91] 19.98051315 10.16114903 -6.95250426 2.55154659 36.42916451

[96] 35.24179970 -1.31428055 11.71102260 20.85154068 54.93376029

[101] -1.64388345 -21.01505279 14.58312508 27.20695322 -18.38246444

[106] -35.62246888 16.69719369 -5.89371676 12.65971742 -87.11846232




> residual_6

Time Series:

Start = 1

End = 110

Frequency = 1

[1] 0.01260951 63.75447129 44.85589610 28.76761488 39.40843404

[6] -6.51904972 -70.35482087 55.89614419 56.56797130 27.99430048

[11] 26.59421229 -3.63866860 12.48847048 -64.16015735 12.30298380

[16] 2.90846694 20.25202558 -32.25488928 4.88218493 -0.91814180

[21] 28.35582377 29.24257310 -28.41393527 24.16296374 16.15622833

[26] 10.00832100 -19.56383262 30.17528511 -60.10657284 -18.89894012

[31] 37.66900740 23.98378764 40.53716812 -8.63945483 7.13699138

[36] -29.78695451 5.81072721 7.14284515 -2.00961320 -13.95091059

[41] 16.08503069 -9.39701068 26.62420198 11.17343769 -3.70823053

[46] 2.60631057 4.47412848 18.29543651 -17.15683598 -19.69119995

[51] 1.92112989 -9.52936193 32.37307844 -26.27495452 21.93990272

[56] 34.73852432 33.80095263 10.11943042 -1.75614978 -5.12420977

[61] 39.60543350 28.39892628 -7.65925181 -12.77822800 14.31006722

[66] 7.09609751 16.24616603 16.25306820 38.92354521 23.37701082

[71] -33.88475391 26.32407935 -15.16296598 25.68529518 -31.77317045


[76] -2.32966520 -2.80356927 -3.06519927 -36.29915414 -100.18864062

[81] -22.46430579 1.20694955 27.33076233 -14.28053401 10.85278238

[86] -38.42498055 17.45320998 -16.53393987 17.08867867 -15.68931452

[91] 20.74112119 13.52886506 -6.01083124 1.54979414 36.47136246

[96] 36.79429553 -2.54024326 6.53129090 17.45636438 52.39368175

[101] -3.21242421 -28.26923354 8.09497059 25.78093417 -19.20681767

[106] -39.98944193 13.75603652 -2.97624545 13.30668380 -85.63617068



> residual_7

Time Series:

Start = 1

End = 110

Frequency = 1

[1] 0.01260951 64.41291981 42.66716553 14.34603447 45.35480698

[6] -10.60914126 -65.66934325 71.84476583 51.08621681 10.02405923

[11] 36.26902156 -4.57644723 17.07083739 -57.91585917 17.84492820

[16] 10.03384350 7.15560246 -26.25995189 3.55048197 3.90407039

[21] 20.89541539 29.74404672 -34.60063148 31.04474005 18.55122673

[26] 1.64862089 -12.39710624 31.65144290 -59.26658335 -17.02603386

[31] 49.12854923 6.84573682 38.81375537 -8.67846074 7.02785293


[36] -21.27856289 5.18559489 12.61481426 -8.81124841 -10.17853946

[41] 17.17964873 -11.17273928 24.92763011 12.38179836 -9.33019378

[46] 9.17475921 4.23723766 18.03259057 -17.10370552 -18.09099656

[51] 8.31608303 -13.05914103 31.67789287 -28.38256819 19.85839954

[56] 40.34586371 21.61794144 13.52885072 0.11585455 0.66117233

[61] 43.27748934 26.71433219 -10.20927133 -3.67285073 19.92855259

[66] 6.75148837 16.26395384 18.83090140 37.95739703 23.89656760

[71] -33.74303552 37.38108894 -11.90397994 22.05212324 -23.34604076

[76] -5.58228523 7.26033076 -10.55434417 -32.63881257 -98.44005959

[81] -13.15978544 -0.77066473 8.94676392 -18.90915768 4.10569794

[86] -38.00406005 13.38386802 -15.20257019 7.27351643 -12.08440581

[91] 13.68945669 15.95064941 -13.95610706 6.40935370 36.57919191

[96] 31.93418951 -5.40496979 12.12838230 22.59731369 50.84721121

[101] -3.80769144 -25.39667649 22.00911257 24.87501414 -22.35224045

[106] -34.23982670 22.04823932 -6.55541933 8.59635318 -82.61318078

- Hasil uji white noise terhadap nilai residual


> Box.test(residual_1,lag=36,type="Ljung")

Box-Ljung test

data: residual_1


X-squared = 50.153, df = 36, p-value = 0.05876

Karena p-value > 0.05 maka residualnya white noise.



Box-Ljung test

data: residual_2


Karena p-value < 0.05 maka residualnya tidak white noise.



Box-Ljung test

data: residual_3






Box-Ljung test

data: residual_4





Box-Ljung test

data: residual_5





Box-Ljung test

data: residual_6






Box-Ljung test

data: residual_7



- Hasil uji normalitas terhadap nilai residual


> ks.test(residual_1,"pnorm",mean(residual_1),sd(residual_1))

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: residual_1

D = 0.088621, p-value = 0.3534

alternative hypothesis: two-sided

Karena p-value > 0.05 maka residualnya berdistribusi normal





data: residual_2

D = 0.077388, p-value = 0.5253






data: residual_3

D = 0.073548, p-value = 0.5913






data: residual_4


D = 0.068694, p-value = 0.6769






data: residual_5

D = 0.07433, p-value = 0.5777






data: residual_6

D = 0.084928, p-value = 0.4057







data: residual_7

D = 0.070829, p-value = 0.6392



- Hasil diagnostic checking terhadap nilai residual


> tsdiag(ArimaModel_1)



Berdasarkan perintah di atas, diperoleh p-value yang tidak signifikan (< 0.05)

pada Q(32) yaitu 0.03839275.


Standardized Residuals

Time

0 20 40 60 80 100-3

0

0 5 10 15 20

-0.2

0.8

Lag

AC

F

ACF of Residuals

2 4 6 8 10

0.0

0.8

p values for Ljung-Box statistic

lag

p v

alu

e




pada Q(20) yaitu 0.03944205



Time

0 20 40 60 80 100-3

0

0 5 10 15 20

-0.2

0.8

Lag

AC

F

ACF of Residuals

2 4 6 8 10

0.0

0.8


lag

p v

alu

e




pada Q(32) yaitu 0.04943449



Time

0 20 40 60 80 100-3

0

0 5 10 15 20

-0.2

0.8

Lag

AC

F

ACF of Residuals

2 4 6 8 10

0.0

0.8


lag

p v

alu

e




pada lag .

> hasil_4

ACF PACF Q-stats P-Value

[1,] 1.000000000 1.000000000 NA NA

[2,] -0.059052601 -0.059052601 0.3941507 0.530125663

[3,] -0.285524726 -0.290023308 9.6939676 0.007852025

[4,] -0.206179599 -0.268499257 14.5885800 0.002204229

[5,] 0.137950457 0.001988306 16.8004069 0.002113369

[6,] 0.042654716 -0.090345396 17.0138861 0.004473537


Time

0 20 40 60 80 100-2

1

0 5 10 15 20

-0.2

0.8

Lag

AC

F

ACF of Residuals

2 4 6 8 10

0.0

0.8


lag

p v

alu

e


[7,] -0.026605545 -0.052111347 17.0977397 0.008930670

[8,] 0.047788061 0.075987586 17.3708966 0.015154919

[9,] 0.017695139 0.010001449 17.4087164 0.026123632

[10,] 0.095009628 0.156292344 18.5098108 0.029698927

[11,] -0.171773767 -0.110063573 22.1449780 0.014382826

[12,] -0.023214560 0.007965602 22.2120431 0.022781026

[13,] -0.020120779 -0.068703046 22.2629380 0.034676420

[14,] 0.188453417 0.104776375 26.7736698 0.013359360

[15,] -0.140156401 -0.152491260 29.2946262 0.009531631

[16,] -0.052709964 -0.023702410 29.6549331 0.013228436

[17,] 0.067863767 0.038370630 30.2585464 0.016706872

[18,] 0.080431591 0.019585871 31.1155469 0.019335495

[19,] -0.069811331 -0.033417034 31.7681884 0.023417619

[20,] -0.112070848 -0.037052716 33.4686023 0.021212929

[21,] -0.024270000 -0.121056926 33.5492343 0.029340629

[22,] -0.067160678 -0.164463095 34.1736170 0.034718141

[23,] 0.246995482 0.152842397 42.7145646 0.005115774

[24,] -0.007987037 0.002240168 42.7235982 0.007467235

[25,] -0.122812034 -0.100482384 44.8842964 0.006011259

[26,] -0.050529154 0.058080629 45.2543595 0.007821451

[27,] 0.139792973 0.067108127 48.1205305 0.005231522


[28,] -0.104620845 -0.102353433 49.7452151 0.004869069

[29,] -0.058623344 -0.007125023 50.2615578 0.006046244

[30,] 0.001952498 -0.105232995 50.2621377 0.008461752

[31,] 0.153027689 0.080376248 53.8684286 0.004755093

[32,] 0.095537961 0.099276743 55.2918567 0.004647285

[33,] -0.122391601 -0.002931553 57.6578818 0.003574751

[34,] -0.097933154 -0.032673260 59.1924262 0.003398327

[35,] 0.033083686 0.072973596 59.3698553 0.004525979

[36,] 0.150566644 0.015809497 63.0938323 0.002488999

[37,] -0.038393314 0.058311307 63.3392411 0.003261095



Time

0 20 40 60 80 100

-30

0 5 10 15 20

-0.2

0.8

Lag

AC

F

ACF of Residuals

2 4 6 8 10

0.0

0.8


lag

p v

alu

e




pada Q(23) yaitu 0.02702787



Berdasarkan perintah di atas, diperoleh p-value yang semuanya signifikan (>0.05).

> hasil_6


[1,] 1.0000000000 1.0000000000 NA NA


Time

0 20 40 60 80 100

-30

0 5 10 15 20

-0.2

0.8

Lag

AC

F

ACF of Residuals

2 4 6 8 10

0.0

0.8


lag

p v

alu

e


[2,] 0.0575409469 0.0575409469 0.3742297 0.54070771

[3,] -0.0015379701 -0.0048650386 0.3744995 0.82923661

[4,] -0.1325960684 -0.1326695962 2.3988617 0.49384655

[5,] 0.1458397588 0.1644933893 4.8709087 0.30080136

[6,] 0.0400134807 0.0200703179 5.0587686 0.40875021

[7,] 0.0001051761 -0.0246056145 5.0587699 0.53629787

[8,] 0.0785324075 0.1286796924 5.7964555 0.56370724

[9,] 0.0121703142 -0.0198867984 5.8143456 0.66801895

[10,] 0.0844834905 0.0747103363 6.6849744 0.66988019

[11,] -0.1943859028 -0.1855604695 11.3401948 0.33163507

[12,] -0.0063970817 -0.0076947311 11.3452874 0.41480592

[13,] -0.0916367957 -0.0792861265 12.4009482 0.41403959

[14,] 0.1178548563 0.0597719662 14.1650918 0.36232102

[15,] -0.1735173957 -0.1615686014 18.0289886 0.20546374

[16,] -0.0570100228 -0.0388723632 18.4504808 0.23972322

[17,] -0.0146775042 0.0297138723 18.4787158 0.29661871

[18,] -0.0026259560 -0.0423551233 18.4796293 0.35920462

[19,] -0.1261794123 -0.1099008140 20.6116915 0.29945423

[20,] -0.1713189434 -0.0946981835 24.5852544 0.17465163

[21,] -0.0366153226 -0.0784837622 24.7687789 0.21042060


[22,] -0.0955689097 -0.0909552841 26.0330900 0.20519013

[23,] 0.1981337872 0.2028247402 31.5290697 0.08578686

[24,] -0.0160523500 0.0331076222 31.5655592 0.10952106

[25,] -0.0333646249 -0.0966482376 31.7250313 0.13395908

[26,] -0.0622800964 0.0555603111 32.2872307 0.14986819

[27,] 0.1071994759 0.0712616651 33.9726841 0.13571337

[28,] -0.0911680312 -0.1242591734 35.2064074 0.13371405

[29,] 0.0075429969 0.0253443510 35.2149558 0.16369631

[30,] 0.0593300772 0.0005060749 35.7503523 0.18095106

[31,] 0.1894754848 0.1363186550 41.2791000 0.08237224

[32,] 0.1185654192 0.0912589095 43.4713986 0.06773474

[33,] -0.0717286541 -0.0450106029 44.2840447 0.07283746

[34,] -0.0377716116 -0.0717168549 44.5123158 0.08700997

[35,] 0.0231492650 0.0473035824 44.5991862 0.10549542

[36,] 0.1338686836 -0.0035972536 47.5429803 0.07667142

[37,] -0.0260773095 -0.0038363467 47.6561954 0.09256652




Berdasarkan perintah di atas, diperoleh p-value yang semuanya signifikan (>0.05).

> hasil_7


[1,] 1.000000000 1.000000000 NA NA

[2,] -0.001071880 -0.001071880 1.298602e-04 0.9909078

[3,] -0.024521150 -0.024522327 6.872109e-02 0.9662231

[4,] 0.014229904 0.014185237 9.203585e-02 0.9927757

[5,] 0.130175515 0.129704693 2.061570e+00 0.7244355


Time

0 20 40 60 80 100

-30

0 5 10 15 20

-0.2

0.8

Lag

AC

F

ACF of Residuals

2 4 6 8 10

0.0

0.8


lag

p v

alu

e


[6,] 0.068297915 0.070672629 2.608883e+00 0.7600151

[7,] 0.003939110 0.010932121 2.610722e+00 0.8558762

[8,] 0.066640854 0.067708596 3.141917e+00 0.8715706

[9,] 0.014690495 -0.002311556 3.167984e+00 0.9233774

[10,] 0.079945275 0.067056511 3.947589e+00 0.9148280

[11,] -0.156821651 -0.168274658 6.977451e+00 0.7275720

[12,] -0.032260168 -0.051774962 7.106962e+00 0.7903565

[13,] -0.089105509 -0.119576386 8.105108e+00 0.7768636

[14,] 0.109460600 0.094640166 9.626897e+00 0.7241224

[15,] -0.173546759 -0.165891897 1.349210e+01 0.4881929

[16,] -0.092373649 -0.053563911 1.459868e+01 0.4806920

[17,] -0.012859807 -0.009088372 1.462036e+01 0.5525997

[18,] -0.012004078 0.007620074 1.463945e+01 0.6214341

[19,] -0.140078036 -0.121823902 1.726707e+01 0.5048209

[20,] -0.132535776 -0.061892818 1.964520e+01 0.4162049

[21,] -0.029731771 -0.064651127 1.976621e+01 0.4726375

[22,] -0.134900800 -0.120144084 2.228533e+01 0.3832304

[23,] 0.177049866 0.190669629 2.667386e+01 0.2238760

[24,] -0.004684062 0.086679028 2.667697e+01 0.2699610

[25,] -0.083958423 -0.087865905 2.768678e+01 0.2734723


[26,] -0.019407843 0.024811973 2.774138e+01 0.3198957

[27,] 0.118049402 0.082539700 2.978527e+01 0.2766023

[28,] -0.098231828 -0.105614675 3.121758e+01 0.2622989

[29,] 0.020051229 0.017787444 3.127799e+01 0.3048757

[30,] 0.041927498 -0.036878370 3.154537e+01 0.3401785

[31,] 0.163675902 0.130367817 3.567100e+01 0.2190460

[32,] 0.122999028 0.103897346 3.803032e+01 0.1797314

[33,] -0.056657435 -0.020795204 3.853734e+01 0.1978117

[34,] -0.037284561 -0.111407876 3.875976e+01 0.2258661

[35,] 0.033777558 0.026859047 3.894471e+01 0.2569325

[36,] 0.118857144 -0.022413286 4.126531e+01 0.2156448

[37,] -0.022765153 -0.002167762 4.135159e+01 0.2483656

4. Peramalan

- Peramalan dengan model ARIMA(1,1,3) untuk 12 waktu ke depan:

> fcast=forecast(ArimaModel_7,h=12)

> fcast

Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95

111 90.73549 54.21190 127.2591 34.87747 146.5935

112 89.60800 52.12763 127.0884 32.28673 146.9293

113 114.83339 76.88866 152.7781 56.80194 172.8648

114 98.18731 60.11048 136.2641 39.95382 156.4208


115 109.17195 70.99269 147.3512 50.78181 167.5621

116 101.92326 63.72916 140.1174 43.51043 160.3361

117 106.70663 68.48649 144.9268 48.25397 165.1593

118 103.55011 65.33156 141.7687 45.09988 162.0003

119 105.63308 67.40669 143.8595 47.17086 164.0953

120 104.25854 66.03436 142.4827 45.79971 162.7174

121 105.16559 66.93866 143.3925 46.70255 163.6286

122 104.56703 66.34136 142.7927 46.10591 163.0282

-Membuat plot grafik pada gambar 4.5

> plot.forecast(fcast,xlab="Minggu ke-",ylab="Xt*")

-Membuat plot grafik pada gambar 4.6

>plot(x1,y1,col="black",type="l",xlim=c(0,122),ylim=c(0,25000),xlab="t",ylab="Xt",main=

"Plot Grafik Data Asli dan Hasil Peramalan")

> par(new=T)

>plot(x2,y2,col="blue",type="l",xlim=c(0,122),ylim=c(0,25000),xlab="t",ylab="Xt",main="

Plot Grafik Data Asli dan Hasil Peramalan")


PENERAPAN METODE ARIMA UNTUK PERAMALAN SUPLAI … · permintaan konsumen. Dalam makalah ini, akan...

Documents

Transcript of PENERAPAN METODE ARIMA UNTUK PERAMALAN SUPLAI … · permintaan konsumen. Dalam makalah ini, akan...