1

RUMUS-RUMUS SEGITIGA BOLA

A. Pendahuluan

Matahari yang bersinar yang terlihat melintas di langit pada siang hari,

kemudian diganti dengan bulan yang bercahaya dan bintang gemintang yang

gemerlapan di malam hari, ketika dipandang terlihat bahwa kesemuanya

hanyalah titik cahaya di langit yang terlihat seakan-akan menempel pada

permukaan sebuah bola raksasa yang mana pusat bola itu adalah kita sebagai

pengamat. Meski begitu sebenarnya benda-benda langit yang seakan

menempel pada satu permukaan merupakan benda yang sangat jauh dengan

jarak yang tidak sama antara satu dengan yang lainnya.

Kemampuan mata kita tak akan mampu memperkirakan seberapa jauh

jarak matahari, bulan dan bintang-bintang itu dari kita. Meskipun begitu,

dengan menganggap bahwa benda-benda langit tersebut menempel pada

permukaan sebuah bola, kita bisa memperkirakan sudut yang terbentuk dua

benda langit terhadap kita sebagai observer apabila kita menggunakan

instrumen yang sesuai. Bola imajiner yang pada permukaannya tertempel

benda-benda langit ini disebut sebagai bola langit atau celestial sphere.

Bola (sphere) adalah benda tiga dimensi yang unik dimana jarak antara

setiap titik di permukaan bola dengan titik pusatnya selalu sama. Sebagaimana

langit yang diserupakan dengan bola, begitu juga bumi yang memang

berbentuk mendekati bentuk bola, penentuan posisi satu titik pada kedua bola

langit dan bola bumi bisa menggunakan instrumen yang sama dengan

mengandaikan langit dan bumi sebagai bola.

Instrumen yang dapat digunakan untuk pengukuran pada bola bumi dan

bola langit adalah spherical trigonometry atau trigonometri bola yang di

dalamnya membahas komponen-komponen segitiga bola. Penggunaan rumus-

rumus trigonometri bola sangat membantu umat Islam dam menentukan

waktu-waktu syar’inya.

2

B. Pembahasan

1. Trigonometri bola

Kata Trigonometri diambil dari tiga kata dalam bahasa Yunani ‘tries’

(tiga), ‘goni’ (sudut) dan ‘metron’ (pengukuran). Sehingga secara trigonometri

berarti pengukuran pada tiga sudut.

Trigonometri bola merupakan cabang dari geometri bola yang

membahas tentang hubungan antara fungsi-fungsi trigonometri dari sisi dan

sudut pada poligon bola (khususnya trigonometri bola) yang dibentuk oleh

perpotongan lingkaran-lingkaran besar pada permukaan bola. Trigonometri

bola mempunyai peranan yang sangat penting dalam perhitungan di bidang

astronomi, geodesi dan navigasi.

Dalam geometri bola, garis-garisnya adalah lingkaran yang terbentuk

pada permukaan bola hasil dari perpotongan antara bidang dengan bola yang

melalui titik pusat bola. Panjang keliling lingkaran besar yang terdapat pada

suatu lingkaran adalah sama yaitu 2 πR . Setiap titik bisa menjadi titik Polar.

Suatu titik akan menjadi titik Polar apabila ada lingkaran besar pada bidang

yang tegak lurus terhadap sumbu yang melalui titik tersebut. Pada dua titik

yang berbeda hanya terdapat satu garis jarak terpendek di antara keduanya.

Dikarenakan panjang keliling lingkaran besar adalah 2 πR , dan dua buah titik

yang berlawanan tempat akan membagi lingkaran besar menjadi dua bagian

yang sama panjang, maka bisa disimpulkan bahwa jarak maksimal di antara

dua titik pada pemukaan bola adalah πR .

Apabila pada sebuah bidang terdapat tiga titik sembarang, maka garis

jarak terpendek yang menghubungkan tiga titik tersebut akan membentuk

sebuah segitiga. Sehingga semua segitiga pasti terdiri atas enam komponen,

yaitu tiga buah garis dan tiga buah sudut. Secara umum 3 garis tersebut tidak

selalu garis lurus melainkan garis geodetic yaitu garis terpendek yang terdapat

pada permukaan bidang. Jika permukaan tersebut merupakan sebuah bidang

maka garis geodetiknya berupa sebuah garis lurus yang membentuk sebuah

segitiga bidang. Jika permukaan tersebut merupakan sebuah bola maka jarak

terdekat merupakan busur yang dibentuk dari pusat lingkaran yang melalui

3

kedua titik tersebut. Segitiga yang dibentuk oleh tiga busur dari lingkaran

besar disebut sebagai segitiga bola.

Trigonometri Bola membahas hubungan di antara komponen segitiga

bola (tiga buah garis dan tiga buah sudut) dan permasalahan yang dapat

diselesaikan melalui hubungan keenam komponen tersebut.

2. Segitiga Bola

Apabila ada bidang datar memotong sebuah bola melalui titik pusatnya

maka perpotongan antara bidang dengan permukaan bola ini akan membentuk

lingkaran yang disebut dengan lingkaran besar. Jadi lingkaran besar pada bola

bumi merupakan lingkaran yang ada hanya secara teoritis, sebagai contoh

adalah lingkaran ekuator, yang dibentuk oleh perpotongan antara permukaan

bumi dengan sebuah bidang imajiner yang menembus bola bumi melalui titik

pusat bumi dan membagi bumi menjadi dua bagian yang sama.

Jika ada bidang datar lain yang memotong bola tersebut akan tetapi

tidak melalui titik pusat bola maka perpotongan antara bidang dengan

permukaan bola akan menghasilkan lingkaran yang dalam hal ini

lingkarannya adalah lingkaran kecil.

Gambar 1. Lingkaran kecil dan lingkaran besar

Sebuah segitiga bola pada permukaan bola dibentuk oleh tiga busur

lingkaran besar yang memotong permukaan bola melalui titik pusat lingkaran

tersebut (lihat Gambar 2). Segitiga bola ABC terdiri atas enam unsur:

- Tiga sudut antara bidang-bidang lingkaran besar, yaitu A, B, C

. P. P. P. P. P. P. P. P. P. P

4

- Tiga busur sisi (sudut pada pusat bola yang ada di hadapan busur),

yaitu a, b, dan c ( COB, COA dan BOA).

Gambar 2: Delapan buah segitiga bola yang dibentuk oleh tiga lingkaran besar

Pada gambar 3 di bawah, EAB merupakan lingkaran besar karena

bidangnya memotong lingkaran melalui titik pusat lingkaran yaitu titik O.

QOP adalah diameter bola tegak lurus terhadap Bing yang membentuk

lingkaran besar EAB. Apabila R adalah sembarang titik yang terletak pada

garis OP yang dilalui oleh bidang yang sejajar dengan bidang EAB, maka

perpotongan antara bidang dengan permukaan bola membentuk sebuah

lingkaran kecil FCD. QOP adalah diameter lingkaran yang dalam hal ini

tegak lurus terhadap lingkaran besar EAB dan lingkaran kecil FCD sehingga

titik P dan Q disebut sebagai kutub dari lingkaran besar dan lingkaran kecil

yang sejajar dengan lingkaran besar EAB. Kemudian kita masukkan PCAQ

sebagai lingkaran besar yang melalui kedua kutub P dan Q dan memotong

lingkaran besar EAB di A dan lingkaran kecil FCD di C. selain itu lingkaran

PDB yang juga merupakan lingkaran besar yang melalui P dan Q. Kita

perhatikan pada gambar di atas bahwa lingkaran besar PA dan PB

berpotongan di P. Kemudian kita gambar garis PS menyinggung lingkaran

PA dan garis PT yang menyinggung lingkaran PB.

5

Gambar 3

Sebagaimana pada gambar 3 garis PT tegak lurus terhadap jari-jari OP

pada lingkaran besar PB pada bidang PBO sehingga sejajar dengan jari-jari

OB sama halnya dengan garis PS sejajar dengan jari-jari OA. Sudut SPT

mendefinisikan sudut bola di P yang dibentuk oleh dua lingkaran besar PA

dan PB, sudut ini sama dengan sudut AOB. AB adalah busur yang terdapat

pada lingkaran besar dengan P adalah kutub dari dua lingkaran besar PA dan

PB. Titik P dan Q dihubungkan oleh garis yang melalui titik pusat lingkaran

dan tegak lurus terhadap lingkaran besar EAB sehingga garis ini PQ disebut

sumbu dari lingkaran besar EAB. Kutub adalah titik potong antara garis

tengah yang tegak lurus bidang lingkaran besar dengan permukaan bola

(Ilyas, 1984: 3). Hal ini menegaskan bahwa sebuah sudut bola hanya bisa

terbentuk oleh busur dari dua lingkaran besar yang saling berpotongan. Segi

tiga bola tidak akan pernah terbentuk oleh busur lingkaran kecil.

Perhatikan gambar 4 di bawah, B adalah kutub dari lingkaran besar DC

dan A adalah kutub dari lingkaran besar EC. BO adalah garis normal terhadap

bidang ODC dan AO adalah garis normal terhadap bidang OEC. DO dan EO

keduanya merupakan garis normal terhadap garis perpotongan kedua bidang,

yaitu CO. Dengan demikian, sudut di antara bidang dua lingkaran besar dapat

didefinisikan sebagai busur dari sebuah lingkaran besar yang melalui kutub

dua lingkaran besar dengan bidang yang dimaksud, dalam ilustrasi gambar ini

6

sudut tersebut adalah EOD, dan EOD = BOA. Garis CT menyinggung

lingkaran besar CD di C dan CT’ menyinggung lingkaran besar CE di C.

Sudut bola DCE didefinisikan sebagai sudut di antara garis persinggungan

lingkaran-lingkaran besar yang digambar pada titik perpotongan, jadi TCT’

adalah sudut bola yang dibentuk oleh dua lingkaran besar di C, sehingga

.TCT’ = EOD

Gambar 4

Sebagaimana telah disebutkan di atas bahwa sisi-sisi dari segitiga bola

hanya bisa dibentuk oleh busur lingkaran besar, tidak pernah terbentuk oleh

lingkaran kecil, maka segitiga bola didefinisikan sebagai sebuah segitiga yang

terbentuk pada permukaan sebuah bola karena perpotongan busur dari tiga

lingkaran besar (lihat gambar 5). Busur-busur yang melingkupi atau

membentuk segitiga bola dikatakan sebagai sisi-sisi dari segitiga bola

tersebut. Tiga sisi dan tiga sudut diistilahkan sebagai bagian dari segitiga bola

walaupun jarang digunakan karena pada kenyataannya kesemuanya adalah

sudut karena sisi-sisinya sebenarnya adalah sudut. Panjang sisi pada segitiga

bola didefinisikan sebagai besar sudut yang ada di hadapan sisi tersebut pada

pusat bola. Sebagai contoh, panjang sisi PB adalah POB; sisi PA = POA

dan seterusnya. Jadi, satuan sisi memakai satuan yang sama dengan sudut,

yaitu derajat, menit dan detik busur.

7

Gambar 5

Sesuai kesepakatan, untuk busur yang menghubungkan dua titik selalu

diambil segmen yang lebih kecil dari lingkaran besar yang melalui dua titik

tersebut. Maka pada segitiga PAB dengan busur PA, yang dimaksud adalah

PA yang sebenarnya, bukan PQA (gambar 6). Setiap sisi pada segitiga bola

pasti lebih kecil daripada 180o, dengan besar sudutnya lebih kecil dari pada

180 o, hasil penjumlahan dari ketiga sisi bernilai antara 0 o sampai 360 o, hasil

penjumlahan dari ketiga sudut bernilai antara 180 o sampai 540 o dan luas area

dari sebuah segitiga bola pasti bernilai lebih kecil dari 2R2. Di mana R

adalah panjang jari-jari bola.

Gambar 6

8

3. Rumus-Rumus Segitiga Bola

a. Rumus/aturan Cosinus

Perhatikan segitiga ABC sebagaimana pada gambar di bawah, O adalah

titik pusat bola, sisi a, b, dan c merupakan sudut-sudut pada pusat

bola, AE dan AD tegak lurus terhadap OA, dan EAD = A.

Gambar 7

Maka bisa kita peroleh sebagai berikut;

Pada segitiga datar AED berlaku aturan sinus

DE2 = AE2 + AD2 – 2AE AD Cos A, ....................... (1)

Sedang pada OED,

DE2 = OE2 + OD2 – 2OD OD cos a ....................... (2)

Sedangkan

OE2 = AE2 + OA2 dan OD2 = AD2 + OA2,

maka persamaan (2) menjadi

DE2 = 2OA2 + AE2 + AD2 – 2OD OD cos a ......... (3)

dari persamaan (1) dan (3)

2OA2 – 2OE OD cos a = - 2AE AD cos A

OE OD cos a = OA2 + AE AD cos A

cos a = OAOE

.OAOD

+ AEOE

.ADOD

cos A

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

dengan cara yang sama dapat diperoleh

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

9

dengan mengubah urutan rumus di atas maka bisa diperoleh

cos A = cosa−cosb cosc

sin b sin c

cos B = cosb−cos a cosc

sin a sin c

cos C = cosc−cosb cosc

sin b sin c

aturan cosinus untuk segitiga bola yang kita peroleh adalah bahwa

untuk setiap segitiga bola akan berlaku:

Contoh 1: pada PXZ , P = 50o , z = 70o 45’, x = 62o10o.

Tentukan p dan Z.

Penyelesaian:

cos p = cos x cos z + sin x sin z cos P

= cos 62o10’ cos 70o45’ + sin 62o10’ sin 70o45’ cos

50o

= 0.6906

p = 46o 19’

cos Z = cos z−cos p cos x

sin p sin x

cos Z = cos7 0o 45’−cos4 6o 19’ cos62o 10 ’

sin 4 6o 19’ sin 6 2o 10’

= 0.01128

Z = 89o 21’

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

10

b. Rumus/aturan sinus

Gambar 8

Gambar di atas adalah sebuah segitiga bola dan O adalah pusat bola. P

merupakan titik sembarang yang terletak pada garis OA. Dari titik P

ditarik garis PD ke bawah tegak lurus terhadap bidang OBC kemudian

tarik garis DF tegak lurus terhadap OC dan DE tegak lurus terhadap

OB, hubungkan garis PF, PE dan OD.

Maka PDF, PDE, dan PDO semuanya adalah sudut siku-siku,

begitu juga DFO, dan DEO merupakan sudut siku-siku.

Untuk menunjukkan bahwa DEO juga merupakan siku-siku, kita

bisa membuktikan:

PF2 = PD2 + DF2

= (PO2 – OD2) + (OD2 – OF2)

= PO2 – OF2

Sehingga PFO adalah bersudut siku-siku di F. Begitu juga PEO

bersudut siku-siku di E. Dari perbandingan trigonometri maka kita

dapati:

PF = PO sin b ; PD = PF sin C

PD = PO sin b sin C ..................... (4)

PE = PO sin c ; PD = PE sin B

PD = PO sin c sin B ..................... (5)

Dari persamaan (4) dan (5)

sin b sin c = sin c sin B

11

sin bsin B

= sin csin C

Dengan cara yang sama, dengan menarik sebuah garis tegak lurus dari

buah titik di OB ke bidang OAC, maka bisa didapatkan

sin asin A

= sin csin C

Maka :

Rumus sinus menyatakan hubungan antara dua sudut dan dua sisi yang

ada di hadapannya, apabila tiga bagian ini diketahui maka bagian

keempat bisa ditemukan. Kesulitan yang ada pada rumus sinus

berkenaan dengan kenyataan bahwa sin A = sin (180o – A), artinya baik

A maupun (180o – A) keduanya adalah jawaban yang untuk persamaan

yang dihitung. Untuk mengatasi hal ini kita bisa menggunakan seting

fisik dari permasalahan atau sisi yang lebih besar menghadap ke sudut

yang lebih besar sehingga (A – B) dan (a – b) tandanya harus sama.

Contoh 2: Pada segitiga bola PAB, P merupakan titik kutub, A dan B

adalah dua tempat pada belahan bumi utara. Diketahui A = 68o ,

AB = p = 60o 30o, P= 80o 16o, tentukan posisi lintang titik B !

Penyelesaian:

sin asin A

= sin bsin B

Sin a = sin A sin p

sin P

= sin 6 8o sin 60o 30o

sin 80o 16o = 0.8188

a = 54o 58’ atau a = 125o 02’

sin asin A

= sin bsin B

= sin csin C

12

Sehingga nilai lintang B adalah 90o – 54o 58o = 35o 02’

dikarenakan P A p a maka 54o 58’ adalah jawaban yang

tepat, bukan 125o 02’

Contoh 3: dua tempat di muka bumi mempunyai posisi lintang dan

bujur sebagai berikut, A (40o U, 18o T) dan B (0o U, 58o T). Tentukan

sudut untuk berangkat dari A menuju B dengan rute melalui lingkaran

besar!

Penyelesaian:

Dari lintang dan bujur yang telah diketahui, AN = 50o, BN = 90o dan

ANB = 58o – 18o = 40o, pertama kita menentukan sisi AB

menggunakan rumus cosinus:

cos AB = cos AN cos BN + sin AN sin BN cos ANB

= cos 50o cos 90o + sin 50o sin 90o cos 40o

= 0.5868

a

p

b

Meridian utama

equator

13

AB = 54o 04’

Kemudian kita hitung sudut dari A ke B atau NAB menggunakan

aturan sinus:

sin NABsin BN

= sin ANBsin AB

Sin NAB = sin ANB sin BN

sin AB

= sin 40o sin 90o

sin54o 4 '

= 0.7939

NAB = 52o 33’ atau 127o 27’

Dengan melihat keadaan gambar, bisa kita simpulkan bahwa

NAB = 127o 27’

4. Urgensi Rumus-Rumus Segitiga Bola dalam Ilmu Falak

Pelaksanaan ibadah dalam Islam tidak lepas dari peredaran matahari,

bulan dan keadaan bumi sebagai tempat berpijak manusia. Dengan

keadaan langit dan bumi yang diasumsikan berbentuk bola sempurna,

maka umat Islam menggunakan rumus-rumus segitiga bola untuk

menentukan kedudukan matahari dan bulan membantu pelaksanaan

ibadah. Pelaksanaan ibadah yang berkaitan dengan kedudukan matahari,

bulan dan bumi ini dibahas dalam kajian ilmu falak, sehingga Ilmu falak

tidak bisa lepas dari rumus-rumus segitiga bola. Di antara pengaplikasian

rumus-rumus segitiga bola dalam perhitungan Ilmu Falak secara garis

besar adalah sebagaimana berikut:

a. Untuk menghitung panjang siang dan malam

b. Untuk menghitung sudut waktu (t)

c. Untuk menghitung arah kiblat suatu tempat

d. Untuk menghitung posisi hilal

C. Penutup

Sebagai penutup dari makalah ini, diambil beberapa simpulan dari

pembahasan di atas yaitu sebagai berikut:

14

Segitiga bola adalah sebuah segitiga pada permukaan bola yang

dibentuk oleh perpotongan busur tiga lingkaran besar dengan ketentuan;

jumlah semua sisi selalu kurang dari 360o, jumlah semua sudut pusatnya lebih

besar dari 180o dan kurang dari 540o, jumlah dua sisi selalu lebih besar dari

pada panjang sisi yang ketiga.

Rumus cosinus untuk segitiga bola adalah sebagai berikut:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

sedangkan untuk nilai Sinus adalah seimana berikut::

sin asin A

= sin bsin B

= sin csin C

Urgensi rumus-rumus segitiga bola dalam Ilmu Falak secara garis

besar adalah untuk menghitung panjang siang dan malam Untuk menghitung

sudut waktu (t), untuk menghitung arah kiblat suatu tempat dan untuk

menghitung posisi hilal

DAFTAR PUSTAKA

Ichtijanto SA. 1981. Almanak Hisab Rukyat Badan Hisab & Rukyat Dep. Agama. Jakarta: Proyek Pembinaan Badan Peradilan Agama Islam.

Ilyas, Mohammad, 1984, A Modern Guide do Astronomical Calculations of Islamic Calendar, Times & Qibla, Kuala Lumpur: Berita Publishing Sdn. Bhd.

Izzudin, Ahmad. 2012. Kajian Terhadap Metode-Metode Penentuan Arah Kiblat Dan Akurasinya. Jakarta: Kementrian Agama Republik Indonesia.

Kartunnen, Hannu dkk, Fundamental Astronomy, Fifth Edition, 1995, New York: Springer.

Khazin, Muhyiddin. 2005. Kamus Ilmu Falak. Yogyakarta: Buana Pustaka.

Murray, Daniel A. 1908. Spherical Trygonometry, for Colleges and Secondary Schools. New York, Amerika Serikat: Longman, Green and Co.

15

Murray, Daniel A., 1908, Spherical Trigonometry for Colleges and Secondary School, New York: Long Man

Nur, Muhaimin dkk. 1983. Pedoman Perhitungan Awal Bulan Qamariyah dengan Ilmu Ukur Bola. Jakarta: Bagian Proyek Pembinaan Administrasi Hukum dan Peradilan Agama.

Rietz, H.L. dkk. 1936. Plane And Spherical Trigonometry. New York, Amerika Serikat: The Macmillan Company.

Smart, William Marshall. 1977. Textbook on Spherical Astronomy. Melbourne, Australia: Cambridge University Press.