1

PEMBUKTIAN RUMUS LUASSEGITIGA BINTANG PERTAMA MORLEY

DI DALAM SEGITIGA SEMBARANG

Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika

FKIP UNSRI

Ambarsari Kusuma Wardani

E-mail : ambarkusuma28@yahoo.com

Abstrak

Makalah ini berisi tentang sebuah rumus luas segitiga yangmerupakan segitiga khusus, yang disebut segitiga bintang Morley pertama(First Morley Triangle Star) beserta pembuktiannya. Segitiga iniditemukan oleh seorang profesor matematika yang bernama Morley. Jikadiberikan sebuah segitiga sembarang, kemudian setiap sisinya dibagi tigabagian sama panjang, lalu tiap bagian tersebut dihubungkan dengan sudutyang ada dihadapan sisi tersebut, maka akan terbentuk segi enam. Tiaptitik dari segi enam tersebut dihubungkan dengan titik yang berada selangsatu titik dari titik tersebut, sehingga terbentuk bangun datar yang disebutsegitiga bintang Morley pertama. Luas segitiga bintang tersebut dariluas segitiga aslinya. Rumus luas tersebut akan dibuktikan denganmenggunakan sistem koordinat cartesius. Rumus lain yang digunakandalam pembuktian luas segitiga bintang ini adalah rumus luas segitiga.Makalah ini dibuat dengan tujuan agar dapat menambah pengetahuandalam pelajaran matematika, khususnya bidang geometri. Semogamakalah ini dapat bermanfaat bagi penulis maupun pembaca.

Kata kunci : Segitiga sembarang, koordinat cartesius, luas segitiga bintang

1. PENDAHULUAN

Matematika terdiri dari berbagai cabang. Geometri merupakan

cabang matematika yang membahas bentuk, bidang, dan ruang suatu obyek

geometri (terutama luas dan volume). Obyek-obyek geometri merupakan

bagian dari obyek matematika yang abstrak. Obyek-obyek geometri antara

2

Gambar 1

Gambar 2

lain titik, garis, segitiga, jajar-genjang, lingkaran, elips, kubus dan masih

banyak obyek geometri yang lain.

Segitiga merupakan salah satu contoh bangun datar yang

merupakan bagian kecil dari geometri yang kerap kita temui didalam

pembelajaran matematika. Salah satunya segitiga sembarang.

Frank Morley, seorang Profesor Matematika dari Universitas Johns

Hopkins Amerika Serikat, menemukakan Segitiga Bintang Morley Pertama

(First Morley Triangle Star). Makalah ini membahas perbandingan antara

luas segitiga bintang dengan segitiga aslinya.

2. MATERI PENUNJANG

A. Segitiga

Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan

mempunyai tiga buah titik sudut. (Lihat Gambar 1)

C

A B

B. Luas Segitiga

C

A D B

Berdasarkan Gambar 2, luas segitiga dengan alas AB dan tinggi

CD dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

Luas ∆ABC = . .

3

y

y

xO

A(x1,y1)

B(x2,y2)

Gambar 3

= . .C. Koordinat Cartesius

Koordinat ini terdiri dari 2 garis saling tegak lurus, yaitu satu

mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertikal). Garis mendatar ini

disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y.

Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal dan diberi tanda

O. Titik-titik di sebelah kanan dan atas O adalah bilangan-bilangan real

positif sedangkan titik-titik di sebelah kiri dan bawah O adalah bilangan-

bilangan real negatif.

Letak sebuah titik dalam bidang dinyatakan dengan pasangan

terurut (x,y) (Gambar 3) yang disebut koordinat.

D. Persamaan Garis Melalui Dua Titik Sebarang

Persamaan garis yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2)(Perhatikan Gambar 3) adalah − = ( − ) atau dapat

dituliskan−− = −−

4

Gambar 4

3. MATERI POKOK

Luas Segitiga Bintang Pertama Morley

(Area of First Morley Triangle Star)

Misalnya diberikan sebuah segitiga sembarang ∆ABC, First

Morley Triangle Star (Segitiga Bintang Morley Pertama) yaitu di dalam

segitiga sembarang ∆ABC terdapat “Segitiga Bintang” yang luasnya

dari luas ∆ABC.

BUKTI:

Luas segitiga bintang akan dibuktikan dengan menggunakan sistem

koordinat cartesius.

Diberikan sebuah segitiga sembarang, ∆ABC (Gambar 4).

y

C

A B x

5

C

C”

C’

A’

A”

A B” B’ B

Gambar 5

C”

C’

A’

A”

A B” B’ B

Gambar 6

C

FE

D

I

H

G

y

x

y

x

Tiap sisi segitiga dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang (Gambar 5).

Setelah membagi tiap sisi segitiga menjadi tiga bagian samapanjang, hubungkan tiap titik pada sisi segitiga dengan sudut yang ada dihadapannya (Gambar 6).

6

C”

C’

A’

A”

A B” B’ B

Gambar 7

FE

D

I

H

G

C

L

KJ

MNO

x

y

Selanjutnya, hubungkan tiap titik dengan titik yang berada selangsatu titik dengan titik tersebut (Gambar 7).

Dari gambar di atas, Daerah segitiga bintang adalahDJEKFLGMHNIO. Untuk mencari luas segitiga bintang, akan dicarikoordinat masing-masing titiknya.

Dari Gambar 7, dapat ditentukan koordinat titik pada sisi segitiga.

A (0,0)

A’ ( − ) + ,A” ( − ) + ,B ( , )B’ , 0B” , 0C (a , c)

7

C’ ,C” ,

Setelah diperoleh titik-titik tersebut, dapat ditentukan titik-titik D,E, F, G, H, I.

1. Titik D merupakan perpotongan dari garis CB” dengan garis BC’- Persamaan garis CB”−− = −−−13 − = −0 −− ( − ) = 13 − ( − )− = 13 − 13 − +− = − + −−3 = −3 + − . . . . . (1)

- Persamaan garis BC’−− = −−−13 − = −13 − 0( − ) 13 = 13 − ( − )− = −13 = 13 − + 13= − 3 + . . . . . (2)- Eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2)−3 = −3 + − x1 −3 = −3 + −= − 3 + x3 3 = 3 − 9 + 3 +0 = −8 + 28 = 2= . . . . . (3)

8

- Substitusi persamaan (3) ke persamaan (2)= − 3 += − 3 += − += 14 + 14= +Jadi, D + ,

2. Titik E merupakan perpotongan dari garis AA” dengan garis BC’- Persamaan garis AA”−− = −−− 0(23 ( − ) + ) + 0 = − 013 − 013 = 23 ( − ) +13 = − 23 + 23= += + 2 ..... (1)- Persamaan garis BC’= − 3 + . . . . . (2)- Eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2)= + 2= − 3 + -0 = 5 −5 == . . . . . (3)- Substitusi persamaan (3) ke persamaan (1)= + 2= 15 + 2 15= 15 + 25

9

= 15 + 25Jadi, E + ,

3. Titik F merupakan perpotongan dari garis AA” dengan garis CB’- Persamaan garis AA”= + 2 ..... (1)- Persamaan garis CB’−− = −−−23 − = −0 −( − )(− ) = 23 − ( − )− = − + + −− = − + 23 − 33− = − + − . . . . . (2)- Eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2)= + 2− = − + − +0 = −83 = 238 = 2= . . . . .(3)- Substitusi persamaan (3) ke persamaan (1)= + 2= 14 + 2 14= 14 + 24= 14 + 24Jadi, F + ,

10

4. Titik G merupakan perpotongan dari garis CB’ dengan garis BC”- Persamaan garis CB’− = − + − . . . . . (1)- Persamaan garis BC”−− = −−−23 − = − 023 − 0( − ) 23 = 23 − ( )

− = −23 = 23 − + 232 = 2 − 3 + 2 . . . . . (2)

- Eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2)− = − + − x 6 −6 = −6 + 4 − 42 = 2 − 3 + 2 x 3 6 = 6 − 9 + 6 +0 = −5 + 25 = 2= . . . . . (3)- Substitusi persamaan (3) ke persamaan (2)2 = 2 − 3 + 22 = 2 − 3 + 22 = − + 2= += +Jadi, G + ,

5. Titik H merupakan perpotongan dari garis AA’ dengan BC”- Persamaan garis AA’−− = −−

11

− 013 ( − ) + ) + 0 = − 023 − 023 = 13 ( − ) +23 = −13 + + 13= +2 = 2 + . . . . .(1)- Persamaan garis BC”2 = 2 − 3 + 2 . . . . .(2)- Eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2)2 = 2 +2 = 2 − 3 + 2 -0 = 4 − 24 = 2= . . . . .(3)- Substitusi persamaan (3) ke persamaan (1)2 = 2 +2 = 2 24 + 242 = + 24= 24 + 14Jadi, H + ,

6. Titik I merupakan perpotongan dari garis AA’ dan CB”- Persamaan garis AA’2 = 2 + . . . . .(1)- Persamaan garis CB”−3 = −3 + − . . . . .(2)- Eliminasi Persamaan (1) dan Persamaan (2)2 = 2 + x3 6 = 6 + 3−3 = −3 + − x2 −6 = −6 + 2 − 2 -0 = 5 − 25 = 2= . . . . .(3)

12

- Substitusi persamaan (3) ke persamaan (1)2 = 2 +2 = 2 25 + 252 = 45 + 25= 25 + 15Jadi, I + ,

Selanjutnya, dapat ditentukan titik-titik J, K, L, M, N, O denganbantuan titik-titik D, E, F, G, H, I.

7. Titik J adalah perpotongan antara garis DF dan garis EI- Persamaan garis DF−− = −−− 14 + 1414 + 24 − 14 + 14 = − 1414 − 140 = − 14 140 = 14 − 116== . . . . .(1)- Persamaan garis EI−− = −−− 15 + 2525 + 15 − 15 + 25 = − 1525 − 15− 15 − 25 15 = − 15 15 − 1515 − 125 − 225 = 15 − 15 − 125 + 125= − +5 = 5 − 5 + 3 . . . . . (2)

13

- Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)5 = 5 − 5 + 35 = 5 14 − 5 14 + 35 = 54 − 54 + 35 = 54 − 74= 14 − 720Jadi, J − ,

8. Titik K merupakan perpotongan antara garis DF dan garis EG- Persamaan garis DF= . . . . .(1)- Persamaan garis EG−− = −−− 15 + 2525 + 25 − 15 + 25 = − 1525 − 15− 15 − 25 15 = − 15 1515 − 125 − 225 = 15 − 125= +5 = 5 + 2 . . . . . (2)- Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)5 = 5 +5 = 5 14 + 25 = 54 + 2= 14 + 25Jadi, K + ,

9. Titik L merupakan perpotongan antara garis EG dan FH- Persamaan garis EG5 = 5 + 2 . . . . .(1)

14

- Persamaan garis FH−− = −−− 14 + 2424 + 14 − 14 + 24 = − 1424 − 14− 14 − 24 14 = − 14 14 − 1414 − 116 − 18 = 14 − 14 − 116 + 11614 = 14 − 14 + 3164 = 4 − 4 + 3 . . . . .(2)- Eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2)5 = 5 + 2 x4 20 = 20 + 84 = 4 − 4 + 3 x5 20 = 20 − 20 + 15 -0 = 20 − 720 = 7= . . . . .(3)- Substitusi persamaan (3) ke persamaan (1)5 = 5 +5 = 5 720 + 25 = 74 + 2= 720 + 25Jadi, L + ,

10. Titik M merupakan perpotongan antara garis FH dan GI- Persamaan garis FH4 = 4 − 4 + 3 . . . . .(1)- Persamaan garis GI−− = −−− 25 + 1525 + 25 − 25 + 15 = − 2525 − 250 = − 25 15

15

0 = 15 − 225== . . . . .(2)- Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)4 = 4 − 4 + 34 = 4 25 − 4 25 + 34 = 85 − 85 + 34 = 85 + 75= 25 + 720Jadi, M + ,

11. Titik N merupakan perpotongan antara garis GI dan DH- Persamaan garis GI= . . . . .(1)- Persamaan garis DH−− = −−− 14 + 1424 + 14 − 14 + 14 = − 1424 − 14− 14 − 14 14 = − 14 1414 − 116 − 116 = 14 − 11614 = 14 + 1164 = 4 + . . . . .(2)- Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)4 = 4 +4 = 4 25 +4 = 85 += 25 + 14

16

Jadi, N + ,12. Titik O merupakan perpotongan antara garis DH dan garis EI

- Persamaan garis DH4 = 4 + . . . . .(1)- Persamaan garis EI5 = 5 − 5 + 3 . . . . . (2)- Eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2)4 = 4 + x 5 20 = 20 + 55 = 5 − 5 + 3 x 4 20 = 20 − 20 + 12 -0 = 20 − 720 = 7= . . . . .(3)- Substitusi persamaan (3) ke persamaan (1)4 = 4 +4 = 4 720 +4 = 75 += 720 + 14

Jadi, O + ,Dari uraian di atas, maka diperoleh titik-titik pembentuk segitiga

bintang, yaitu:

1. D + ,2. E + ,3. F + ,4. G + ,5. H + ,6. I + ,7. J − ,8. K + ,

17

9. L + ,10. M + ,11. N + ,12. O + ,

Setelah mendapatkan koordinat-koordinat keduabelas titikpembentuk Segitiga Bintang, luas segitiga bintang dapat ditentukan.Luas segitiga bintang dapat dibagi menjadi 4 bagian, yaitu:1. ∆DFH2. ∆EKJ3. ∆LGM4. ∆ONI

1. Luas daerah 1 = Luas ∆DFHLuas ∆DFH = . .

= . ( − ). ( − )= . + − + . −= . .=

2. Luas daerah 2 = Luas ∆EKJLuas ∆EKJ = . .

= . − . −= . + − − . −= . − + − . −= . − .= . .=

18

3. Luas daerah 3 = Luas ∆LGH

Luas ∆LGH = . .= . ( − ). ( − )= . + − + . −= . − + − . −= . − .= . .=

4. Luas daerah 4 = Luas ∆ONILuas ∆ONI = . .

= . ( − ). ( − )= . + − + . −= . − + − . −= . − .= . .=

Luas Segitiga Bintang = L 1 + L 2 + L 3 + L 4= + + += + + +=

=

Luas ∆ABC = . .= . ( − ). ( − )= . ( − 0). ( − 0)=

19

D EF

G H

IJK

LMN

O

Sehingga diperoleh perbandingan antara luas Segitiga Bintangdengan luas Segitiga ABC seperti berikut:= 720012= 7100

Contoh Soal:

Diberikan segitiga sembarang ABC seperti pada gambar. Tentukan luasDEFGHIJKLMNO!

Diketahui: Segitiga sembarang ABC: A(0,0)

B (6,0)

C (4,4)

Ditanya : Luas DEFGHIJKLMNO= ...

Penyelesaian:

L ABC= . .= . ( − ). ( − )

x

y

A(0.0) B(6.0)

C(4.4)

20

= . (6 − 0). (4 − 0)= 12

L DEFGHIJKLMNO =

= . 12=

Jadi, Luas daerah DEFGHIJKLMNO adalah satuan luas.

4. KESIMPULAN

Jika diberikan sebuah segitiga sembarang ABC , dimana setiap sisinya

dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang, melalui setiap titik di tiap

sisinya ditarik garis lurus menuju sudut dihadapannya, maka akan terbentuk

sebuah segienam. Selanjutnya setiap titik pada segienam dihubungkan

dengan titik yang berada selang satu titik dari titik tersebut, maka akan

membentuk sebuah daerah yang disebut Segitiga Bintang Morley Pertama.

Luas daerah Segitiga Bintang tersebut dari luas segitiga aslinya.

21

5. DAFTAR PUSTAKA

Nurharini, D dan T. Wahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinyauntuk Kelas VII SMP/MTs. Jakarta: Pusat Perbukuan, DepartemenPendidikan Nasional.

Nurharini, D dan T. Wahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinyauntuk Kelas VIII SMP/MTs. Jakarta: Pusat Perbukuan, DepartemenPendidikan Nasional.

http://mathworld.wolfram.com/FirstMorleyTriangle.html. Diakses tanggal12 Maret 2010.

http://www.aprender-mat.info/indonesio/historyDetail.htm?id=Morley.Diakses tanggal 27 Maret 2010.

http://www.gogeometry.com/problem/p125_area_triangle_star.htm. Diaksestanggal 12 Maret 2010.