Ruangvektor-ADIWIJAYA

Bab 5

RRUUAANNGG VVEEKKTTOORR

Pada bab sebelumnya, kita telah membahas tentang vektor di bidang dan diruang. Selanjutnya, kita akan mencoba memahami pengertian ruang vektor secara umum menurut definisi aljabar. Ini diperlukan sebagai landasan dalam memahami tentang basis dan ruang hasil kali dalam yang banyak dipakai dalam beberapa metode optimasi, sistem kontrol, operation research, dan lain-lain. 5.1 RUANG VEKTOR UMUM Misalkan u , v , dan w adalah unsur pada ruang V dan k, l merupakan skalar bilangan Riil, maka V dinamakan ruang vektor jika memenuhi syarat berikut ini : 1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada V maka u + v

berada pada V juga. 2. =+ vu uv + 3. ( ) ( ) wvuwvu ++=++ 4. Terdapat 0 di V sehingga uuu =+=+ 00 untuk setiap vektor

u di V 5. Untuk setiap u di V, terdapat – u di V yang dinamakan

negatif u sehingga ( ) ( ) 0=+−=−+ uuuu 6. Jika k adalah sebarang skalar dan u berada di V, maka k u

berada di V. 7. ( ) vkukvuk +=+ 8. ( ) ulukulk +=+ 9. ( ) ( ) ( ) ukluklulk == 10. Terdapat unsur 1 sebagai unsur identitas perkalian sehingga

uu =.1

64 Bab 5 ● Ruang Vektor

Contoh 5.1 : Berikut adalah beberapa contoh ruang vektor : 1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi

penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasinya Rn

2. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar. Bentuk umum polinom orde n pn(x) = a0+a1x+…+anxn

qn(x) = b0+b1x+…+bnxn

Operasi standar pada polinom orde n pn(x)+qn(x) = a0 + b0 + a1x + b1x + … + anxn +bnxn

kpn = ka0 + ka1x + … + kanxn

Notasi untuk ruang vektor ini adalah Pn

3. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), ruang vektor ini sering dinotasikan dengan Mmxn

Ruang n–Euclides

Secara geometri vektor-vektor di R4 dan seterusnya belum

bisa digambarkan, tapi operasi-operasi vektor masih sama seperti pada vektor-vektor di R2 dan R3. Orang yang pertama kali mempelajari vektor-vektor di Rn adalah Euclides sehingga vektor-vektor yang berada di ruang Rn dikenal sebagai vektor Eucides sedangkan ruang vektornya disebuat ruang n–Euclides. Contoh vektor di ruang n–Euclides adalah a = (a1, a2,…, an). Seperti halnya di R2 dan R3 , dua vektor ( )nuuuu ,...,, 21= dan

( nvvvv ,...,, 21= ) pada Rn dikatakan sama jika u1 = v1, u3 = v3, … , un = vn. Beberapa sifat yang berlaku pada ruang vektor Euclides adalah : 1. =+ vu uv + 2. ( ( ) ( ) wvuwvu ++=++ 3. uuu =+=+ 00

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 65 4. ( ) 0=−+ uu , yakni 0=− uu 5. ( ) ( ) ( ) ukluklulk == 6. ( ) vkukvuk +=+ 7. ( ) ulukulk +=+ 8. uu =.1

Sebelum melangkah lebih jauh dalam beberpa pengertian ruang Euclides, berikut adalah beberapa operasi standar pada ruang vektor Euclides, yaitu : • Penjumlahan

( )nn vuvuvuvu +++=+ ...,,, 2211 • Perkalian dengan skalar

( )nkukukuuk ,...,, 21= k adalah sebarang skalar. • Perkalian Titik (Euclidean inner product)

nnvuvuvuvu +++=• ...2211 Contoh 5.2 :

Diketahui u = (–1, 3, 5, 7) dan v = (5, –4, 7, –1) Tentukan u ⋅ v !

Jawab:

u . v = (–1)(5) + (3)( –4) + (5)(7) + (7)( –1) = –5 + (–12) + 35 + (– 7) = 11

Panjang vektor dalam suatu ruang vektor Euclides didefinisikan oleh :

( ) 21

uuu •=

222

21 ... nuuu +++= (5.1)

Sementara itu, jarak antara dua vektor didefinisikan oleh : ( ) vuvud −=,

( ) ( ) ( )2222

211 ... nn vuvuvu −++−+−= (5.2)


Contoh 5.3 :

Diketahui ( )3,2,1,1=u dan ( )1,1,2,2=v Tentukan jarak antara u dan v !

Jawab:

Dengan menggunakan definisi

u – v = (–1, –1, 1, 2) maka jarak dua vektor tersebut adalah :

d( u , v ) = ((–1)2+(–1)2+12+22)1/2

= 7 5.2 SUBRUANG

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan

subruang V jika W itu sendiri adalah ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. Dengan demikian, syarat agar W dikatakan sebagai subruang dari V adalah :

1. W ≠ { } 2. W ⊆ V 3. Jika u dan v berada pada W maka u + v juga berada

pada W 4. Jika u berada di W maka k u juga berada di W, dimana k

adalah suatu skalar Riil. Contoh 5.4 :

Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 yang setiap unsur diagonalnya nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2

Jawab :

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 67

(i) Misal . Jadi W ≠ { } WO ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0000

(ii) Jelas bahwa W ⊆ Matriks 2x2 (iii) Akan diperiksa apakah BA + ∈ W Ambil sembarang matriks A, B ∈ W

Tulis :

dan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00

2

1a

aA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00

2

1b

bB

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

00

00

00

22

11

2

1

2

1

baba

bb

aa

BA

Terlihat bahwa BA + ∈ W (iv) Akan diperiksa apakah WkA∈ Untuk k ∈ Riil maka

Wka

kakA ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00

2

1

Jadi W merupakan subruang dari ruang vector matriks 2x2

Contoh 5.5 :

Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2

Jawab : Ambil sembarang matriks A, B ∈ W Pilih a ≠ b : , jelas bahwa det (A) = 0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00ba

A


, jelas bahwa det (A) = 0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

abB

00

Perhatikan bahwa :

BA + = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛abba

Terlihat bahwa det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0 Jadi D bukan merupakan subruang karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

5.3 Basis dan Dimensi

Sebuah vektor u dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor 1v , 2v , … , nv , jika vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

nnvkvkvku +++= ...2211 (5.3) dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil. Contoh 5.6 :

Misal u =(2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3), adalah vektor-vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas !

a. a = (4, 2, 6) b. b = (1, 5, 6) c. c = (0, 0, 0) Jawab:

a. Tulis avkuk =+ 21 , akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dapat terpenuhi :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6 2 4

3 1- 1

0 4 2

21 kk

ini dapat ditulis menjadi :


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6 2 4

3 0 1- 4 1 2

2

1

k

k

dengan OBE dapat kita peroleh:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

0 0 0 2 1 0 2 1

~6 3 0 6- 3- 1 2 1 2

12

1

Dengan demikian a merupakan kombinasi linear dari vektor u dan v yang ditulis dalam bentuk :

vua rrr 2+= b. Tulis :

bvkukvrr

=+ 21 akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dapat terpenuhi;

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6 5 1

3 1- 1

0 4 2

21 kk

ini dapat ditulis menjadi:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6 5 1

3 0 1- 4 1 2

2

1

kk

dengan OBE dapat kita peroleh:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3 0 0 2 1 0

1 ~

6 3 0 3 3- 0 0 1

~ 6 3 0

5 1- 4 1 1 2 2

12

12

1

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten(tidak mempunyaisolusi). Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi persamaan.

c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis cvkuk rrr

=+ 21


artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun. Ini berkorespondensi dengan pernyataan bahwa SPL homogen merupakan SPL yang konsisten (selalu punya solusi).

Sebelum memahami pengertian tentang basis suatu

ruang vektor, terlebih dahulu harus dipahami tentang definisi membangun dan bebas linear.

Definisi membangun dan bebas linear a. Himpunan vektor { }nvvvS ,...,, 21= dikatakan membangun

suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada ruang vektor V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.

Contoh 5.7 :

Tentukan apakah 1v = (1, 1, 2), 2v = (1, 0, 1), dan 3v = (2, 1, 3)

membangun 3R !

Jawab :

Ambil sembarang vektor di 3R , misalkan ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

uuu

u

Akan diperiksa apakah u merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor 1v , 2v , dan 3v . Tulis : 332211 vkvkvku ++= Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

3

2

1

312101211

uuu

kkk


Syarat agar dapat dikatakan bahwa 1v , 2v , dan 3v membangun (dari definisi kombinasi linear) adalah SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten). Dengan operasi baris elementer diperoleh :

3R

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 2 u10 -1 -1 − u2 u10 0 0 − − u3 u1 u2

Terlihat bahwa agar SPL itu konsisten, haruslah u3 – u2 – u1 = 0. Padahal diawal vektor u adalah vektor sembarang (unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat). Dengan demikian vektor – vektor 1v , 2v , dan 3v tidak membangun 3R .

b. Misalkan { }nuuuS ,...,, 21= adalah himpunan vektor diruang vektor V, himpunan S dikatakan bebas linear (linearly independent), jika SPL homogen :

0...1211 =+++ nnukukuk (5.4) hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni

01 =k , , ... , 02 =k 0=nk Jika solusinya lebih dari satu, artinya ada solusi 0≠ik untuk

suatu i, maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (linearly dependent), ini dapat dikatakan bahwa himpunan S merupakan himpunan vektor yang bergantung linear.

Contoh 5.8 : Diketahui ( )2,3,1−=u dan ( )1,1,1 −=a Apakah saling bebas linear di 3R Jawab :

Tulis :

021

rrr=+ akuk

atau


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 000

121311-

2

1

kk

dengan operasi baris elementer dapat diperoleh :

~000

121311-

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−~

000

104011

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

000

001001

dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :

k1 = 0, dan k2 = 0. Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.

Contoh 5.9 :

Misal :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

231

a , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

111

b , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

46

2c di 3R

Periksa apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear ? Jawab :

Tulis : ckbkak 3210 ++=

atau

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

412613

211 =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321

kkk

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

000

dengan operasi baris elementer dapat diperoleh :


~010040211

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

000010211

k1, k2, k3 merupakan solusi tak hingga banyak, artinya vektor cba ,, adalah vektor-vektor yang bergantung linear.

Perhatikan bahwa jika kita ingin memeriksa sejumlah n

vektor di Rn maka dapat dilakukan lebih cepat untuk memeriksa apakah himpunan vektor tersebut bebas linear atau tidak. Cara yang dilakukan adalah kumpulkan vektor – vektor tersebut dalam sebuah matriks sehingga vektor – vektor tadi merupakan vektor kolom pada matriks tersebut. Selanjutnya, cukup diperiksa determinan dari matriks tersebut. Jika determinan matriks tersebut tidak sama dengan nol maka himpunan vektor tersebut adalah bebas linear. Sebaliknya, jika determinan matriks tersebut sama dengan nol maka himpunan vektor tersebut adalah bergantung linear.

Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2, … , ūn} merupakan himpunan berhingga dari vektor – vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi :

• S membangun V • S bebas linear

Contoh 5.10 :

Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=2101

,41280

,0110

,63

63M

merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 (M2 x 2) !


Jawab : Tulis kombinasi linear :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− dc

bakkkk

2101

41280

0110

6363

4321

atau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−−−

−−+dcba

kkkkkkkkkkkk

4314321

32141

246123863

dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks tersebut, diperoleh :

(5.5)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

dcba

kkkk

4

3

2

1

240611213

08161003

Perhatikan bahwa determinan matriks koefisiennya (MK) tidak sama dengan nol,

yaitu 48. • Karena det(MK) ≠ 0 maka SPL (5.5) memiliki solusi

untuk setiap a, b, c, d. Ini menunjukan bahwa M membangun M2x2.

• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, SPL (*) merupakan SPL homogen. Karena det(MK) ≠ 0 maka SPL homogen tersebut memiliki solusi tunggal. Dengan demikian, ini menunjukan bahwa M bebas linear.

Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 maka M merupakan basis bagi M2 x 2. Yang perlu diingat, basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal. Jadi, suatu ruang vektor dapat mempunyai lebih dari satu basis. Sekedar contoh, untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

,0100

,0010

,1001

juga merupakan basisnya.


Misalkan matriks : Vektor kolom

A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

12211321

1121Vektor baris

dengan melakukan OBE kita peroleh bahwa matriks A berkorespondensi dengan :

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

1 2 0 -10 0 1 00 0 0 0

Dengan memperhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal. ini berarti, bahwa matriks A tersebut mempunyai basis ruang kolom :

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

231

,111

Sedangkan basis ruang baris diperoleh dengan cara, mentransposkanterlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 0-12

0 112

0 0 00 0 0

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, bahwa matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

1321

,

1121


Dimensi dari basis ruang baris dan ruang kolom senantiasa sama dan dinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2. Contoh 5.11 : Diberikan SPL homogen (dengan peubah p, q, r, dan s) berikut :

2p + q – 2r – 2s = 0 p – q + 2r – s = 0 –p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s = 0

Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas Jawab :

Sistem persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−−−

03003014210121102212

dengan melakukan OBE diperoleh :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

00000000000021001001

Solusi SPL homogen tersebut adalah : p = a, q = 2b , s = a, dan r = b,

dimana a, b merupakan parameter. atau


ba

srqp

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0120

1001

Dengan demikian, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0120

,

1001

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.


Latihan Bab 5

1. Nyatakanlah matriks sebagai kombinasi linear dari

matriks berikut :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡8036

, , dan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 31

21⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4210

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

2024

2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !

a. {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } b. {1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2}

3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } membangun polinom orde 2

4. Periksa apakah { , , }

merupakan himpunan yang bebas linear ! Jelaskan. 221 xx +− 222 xx −+ 21051 xx +−−

5. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagi

polinom orde 2 (P2) a. {4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2} b. {– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}

6. Misalkan ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +=++= 2222 cbacxbxaJ merupakan

himpunan bagian dari ruang vektor Polinom orde dua. Periksa apakah merupakan subruang dari ruang vektor Polinom orde dua Jika ya, tentukan basisnya

J

7. Diberikan SPL homogen (dengan peubah p, q, dan r) berikut :

p + 2q + 3 r = 0 p + 2q – 3 r = 0 p + 2q + 3 r = 0,

Tentukan basis ruang solusi (buktikan) dan dimensinya.

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 79 8. Tentukan rank dari matriks :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

12211321

1121

Ruangvektor-ADIWIJAYA

Documents

Transcript of Ruangvektor-ADIWIJAYA