RPP INDUKSI MATEMATIKA.pdf

0

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Matematika SMA Kelas XII Semester 1 Kurikulum 2013

Topik : Induksi Matematika

Disusun oleh:

Nur Ayu Istiqomah

Mahasiswa PPP 2015

Pendidikan Matematika

Universitas Negeri Surabaya

DINAS PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

SMA NEGERI 7 SURABAYA

2015

1

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas/Semester : XII/I

Materi Pokok : Induksi Matematika

Alokasi Waktu : 12 JP (6 Pertemuan)

I. Kompetensi Inti

KI 1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya

KI 2 Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong

royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan

sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara

efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai

cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI 3 Memahami, menerapkan, menganalisis dan mengevaluasi pengetahuan faktual,

konseptual, procedural dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu

pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan,

kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian,

serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai

dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

KI 4 Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait

dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri secara efektif

dan kreatif, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

II. Kompetensi Dasar

1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.

2.1 Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis dan cermat dalam bekerja

menyelesaikan masalah kontekstual.

3.5 Mendekripsikan prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam membuktikan

rumus jumlah deret persegi dan kubik.

4.5 Mengidentifikasi, menyajikan model matematika dan menyelesaikan masalah induksi

matematika dalam membuktikan rumus jumlah deret persegi dan kubik.

III. Indikator

1.1.1 Menjawab salam sebelum dan sesudah pembelajaran dimulai.

2.1.1 Menunjukkan perilaku kritis dalam mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan

pendapat selama proses pembelajaran.

2

2.1.2 Menunjukkan perilaku disiplin selama proses pembelajaran.

3.5.1 Mengamati dan menemukan pola induksi matematis.

3.5.2 Menyebutkan dan menggunakan prinsip induksi matematis dengan tepat

3.5.3 Menyebutkan dan menggunakan prinsip induksi matematis kuat dengan tepat

4.5.1 Membuktikan suatu pernyataan menggunakan induksi matematis.

IV. Materi Ajar

Induksi Matematika

V. Pembelajaran

Pendekatan : Saintifik (Scientific Approach)

Model : Pembelajaran Kooperatif

VI. Sumber Pembelajaran

Buku Siswa Matematika SMA/MA Kelas XII Semester 1 Kurikulum 2013 (2015)

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

VII. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran

Pertemuan ke-1

Pembelajaran Kooperatif Tipe TPS (Think Pair Share)

Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi

Waktu

Pendahuluan

1. Guru memberikan salam kepada siswa.

2. Guru mengecek kehadiran siswa.

Fase 1. Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa

3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang diharapkan

dapat dicapai siswa.

4. Guru memberikan motivasi kepada siswa terkait perlunya

mempelajari induksi matematika.

Ilustrasi :

Penalaran induktif dan deduktif adalah dua cara mengambil

kesimpulan. Jika penalaran deduktif berangkatnya dari

sesuatu yang berlaku secara umum ke sesuatu yang khusus,

penalaran induktif justru sebaliknya. Penalaran induktif

diperoleh dari menyimpulkan kasus-kasus. Penalaran

5 menit

3

induktif biasanya digunakan untuk mengembangkan

pengetahuan yang bersifat empiris, dan penalaran deduktif

biasanya digunakan untuk mengembangkan pengetahuan

yang bersifat abstrak. Namun demikian, dua cara ini perlu

dimiliki siswa yang sedang belajar, termasuk belajar

matematika. Dengan penalaran induktif, siswa akan sampai

pada suatu pernyataan yang dikenal dengan istilah

konjektur (dalam bahasa Inggris disebut conjecture) yang

belum tentu benar secara mutlak. Dengan penalaran

deduktif, kebenaran yang diperoleh merupakan kebenaran

mutlak. Bagaimana dengan induksi matematis, apakah ini

termasuk penalaran induktif atau deduktif? Mari kita

perhatikan contoh-contoh berikut.

Kegiatan

Inti

Fase 2. Menyajikan Informasi

5. Siswa diajak untuk mengamati Contoh 3.1, Contoh 3.2,

Contoh 3.3, dan Contoh 3.4 pada buku siswa. (Mengamati)

6. Siswa diminta untuk mencatat hal-hal penting dalam

masing-masing contoh khususnya terkait dengan penalaran

induktif. Siswa juga diajak untuk mengenali induksi

matematis sebagai salah satu penalaran deduktif.

7. Dari hasil pengamatan siswa diminta untuk membuat

beberapa pertanyaan yang berkaitan dengan induksi

matematis. (Think)

Fase 3. Mengorganisasikan Siswa dalam Kelompok-

kelompok Belajar

8. Siswa diminta berpasangan dengan teman sebangkunya.

(Pair)

9. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan-pertanyaan

yang telah mereka buat.

10. Beberapa kelompok diminta untuk menyampaikan

pertanyaan-pertanyaan yang telah mereka diskusikan.

11. Pertanyaan-pertanyaan yang dibuat siswa ditulis di papan

tulis kemudian pertanyaan-pertanyaan tersebut diarahkan ke

pertanyaan-pertanyaan berikut

Apa sebenarnya induksi matematis itu?

Apa bedanya induksi matematis dengan penalaran induktif

yang biasa kita kenal itu?

Ada berapa macam prinsip induksi matematis?

Untuk hal yang bagaimana induksi matematis itu

digunakan?

75

menit

4

Mengapa induksi matematis bisa diterima sebagai prinsip

pembuktian yang valid dalam matematika (penalaran

deduktif)?

Fase 4. Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar

12. Setiap pasangan diminta untuk berdiskusi dalam menjawab

pertanyaan-pertanyaan yang telah mereka buat, khususnya

dalam menjawab apa itu induksi matematis dengan

membaca buku siswa halaman 135-136. (Mengeksplorasi)

13. Siswa dibimbing dalam memahami bahwa cara kerja

induksi matematis secara intuisi sesungguhnya bekerja pada

semua bilangan asli n.

14. Setelah mendapatkan informasi cara kerja induksi

matematis, siswa diminta untuk berdiskusi dengan

pasangannya mengenai pertanyaan pada kegiatan Ayo

Menalar pada buku siswa. (Mengasosiasi)

15. Guru meminta siswa menuliskan hasil diskusinya pada

selembar kertas dan mengumpulkannya setelah selesai

mengerjakannya.

Fase 5. Evaluasi

16. Beberapa kelompok diminta untuk memamaparkan

kesimpulan yang diperoleh dan siswa dari kelompok lain

dipersilahkan untuk menanggapinya.

(Mengkomunikasikan) (Share)

17. Guru membantu siswa dalam diskusi kelas sehingga

diperoleh kesimpulan yang seragam.

18. Pada diskusi kelompok maupun diskusi kelas, guru

melakukan pengamatan untuk melakukan penilaian sikap.

Fase 6. Memberikan Penghargaan

19. Guru meminta siswa untuk memberika apresiasi berupa

tepuk tangan kepada kelompok yang telah memaparkan

hasil diskusinya.

Penutup

20. Guru membimbing siswa menyimpulkan materi yang telah

dipelajari.

21. Guru meminta siswa untuk mempelajari materi pertemuan

selanjutnya yaitu tentang “Prinsip Induksi Matematika”

10

menit

Pertemuan ke-2

5

Pembelajaran Kooperatif


Waktu

Pendahuluan






4. Guru memberikan apersepsi terkait materi yang telah

dipelajari di pertemuan sebelumnya.


mempelajari prinsip induksi matematika.

5 menit

Kegiatan

Inti


6. Siswa diajak untuk mengamati dan memahami Contoh 3.5,

Contoh 3.6 dan Contoh 3.7 pada buku siswa. (Mengamati)

7. Dari hasil pengamatan siswa diminta untuk membuat

beberapa pertanyaan yang berkaitan pembuktian pernyataan

yang menggunakan prinsip induksi matematis. Salah satu

pertanyaan yang diharapkan muncul dari siswa adalah

“bagaimana langkah – langkah pembuktian dalam induksi

matematis?” (Menanya)


kelompok Belajar

8. Siswa diminta untuk membentuk kelompok-kelompok

dengan anggota masing-masing kelompok 3-4 orang.



yang telah mereka buat.

10. Siswa diajak untuk memahami prinsip induksi matematis,

maupun prinsip induksi matematis yang diperluas

berdasarkan contoh yang diberikan sebelumnya.

(Mengeksplorasi)

11. Untuk lebih memperjelaskan tentang prinsip induksi

matematis, siswa diajak untuk mencermati ilustrasi prinsip

induksi matematis melalui gambar kartu remi pada buku

siswa halaman 145. (Mengeksplorasi)

12. Setiap kelompok diminta untuk mendiskusikan pertanyaan:

(Mengasosiasi)

a. Bagaimana langkah-langkah suatu bukti dengan

75

menit

6

menggunakan prinsip induksi matematis bahwa suatu

pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n?

b. Bagaimana langkah-langkah suatu bukti dengan

menggunakan prinsip induksi matematis yang diperluas

bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan

asli n m, untuk suatu bilangan asli m?

13. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam

diskusi kelompok.

Fase 5. Evaluasi




(Mengkomunikasikan)








hasil diskusinya.

Penutup


dipelajari.


selanjutnya yaitu tentang “Penerapan Induksi Matematis”

10

menit

Pertemuan ke-3

Pembelajaran kooperatif TPS (Think Pair Share)


Waktu

Pendahuluan









5 menit

7

mempelajari penerapan induksi matematis.

Kegiatan

Inti


6. Siswa diajak mengamati langkah-langkah pembuktian

dengan prinsip induksi matematis pada Contoh 3.8, 3.9, dan

3.10 pada buku siswa. (Mengamati)

7. Siswa dipandu membuat pertanyaan yang berkenaan dengan

langkah-langkah pembuktian dalam penerapan induksi

matematis dalam pembutian. (Menanya) (Think)


kelompok Belajar

8. Siswa diminta untuk berpasangan dengan teman

sebangkunya. (Pair)

9. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan –

pertanyaan yang telah mereka buat.


10. Siswa dipandu dalam mengumpulkan informasi dengan

memberikan soal dan buktinya. (Mengeksplorasi)

(Lampiran 5)

11. Siswa diminta untuk mengerjakan kegiatan “Ayo Menalar”

di buku siswa. (Mengasosiasi)


diskusi kelompok.

Fase 5. Evaluasi




(Mengkomunikasikan) (Share)





16. Guru memberikan tes tulis individu kepada siswa.


17. Setelah pengerjaan tes tulis selesai, guru mengumumkan

hasil diskusi kelompok terbaik.


tepuk tangan kepada kelompok terbaik.

75

menit

8

Penutup


dipelajari.


selanjutnya yaitu tentang “Prinsip Induksi Matematis Kuat”

10

menit

Pertemuan ke-4

Pembelajaran Kooperatif TPS (Think Pair Share)


Waktu

Pendahuluan









mempelajari induksi matematika.

Ilustrasi :

Prinsip induksi matematis kuat ini perlu dikembangkan

karena ternyata, dengan prinsip induksi matematis yang ada

tersebut, terdapat beberapa pernyataan benar yang tidak

bisa dibuktikan.

5 menit

Kegiatan

Inti


6. Siswa diminta untuk mengamati tentang prinsip induksi

matematis kuat pada contoh 3.11 di buku siswa.

(Mengamati)

7. Siswa dipandu membuat pertanyaan yang berkenaan dengan

induksi matematis kuat. (Menanya) (Think)


kelompok Belajar

8. Siswa diminta untuk berpasangan dengan teman

sebangkunya. (Pair)

9. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan –

pertanyaan yang telah mereka buat.


10. Siswa diminta untuk membaca informasi tentang prinsip

induksi matematis kuat dan induksi matematis kuat yang

75

menit

9

diperluas. Selanjutnya juga diminta untuk membaca

langkah-langkah dimana ditunjukkan secara induktif bahwa

induksi matematis kuat ekuivalen dengan induksi matematis,

yaitu diperoleh kesimpulan yang sama bahwa P(n) benar

untuk semua bilangan asli n. (Mengeksplorasi)


pada kegiatan “Ayo Menalar” di buku siswa.

(Mengasosiasi) 12. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam

diskusi kelompok.

Fase 5. Evaluasi




(Mengkomunikasikan)(Share)






16. Guru meminta siswa untuk memberikan apresiasi berupa


hasil diskusinya.

Penutup


dipelajari.


selanjutnya yaitu tentang “Penerapan Prinsip Induksi

Matematis Kuat”

10

menit

Pertemuan ke-5

Pembelajaran Kooperatif


Waktu

Pendahuluan









5 menit

10

mempelajari penerpan prinsip induksi matematis kuat.

Kegiatan

Inti


6. Siswa diajak mengamati penerapan induksi matematis kuat

pada Kegiatan 3.2.1 dan 3.2.2. Siswa diminta mengamati

langkah-langkah perbuktian yang dilakukan, dan

membandingkan dengan langkah-langkah pada induksi

matematis. (Mengamati)


kelompok Belajar

7. Siswa diminta untuk membentuk kelompok yang masing-

masing terdiri dari 3-4 siswa.

8. Setiap kelompok diminta untuk membuat pertanyaan yang

berhubungan dengan induksi matematis dan induksi

matematis kuat. (Menanya)

9. Pertanyaan yang telah dibuat siswa ditulis di papan tulis dan

diarahkan agar pertanyaan berhubungan tentang perbedaan

prinsip induksi matematis dan prinsip induksi matematis

kuat..


10. Siswa diajak untuk membandingkan prinsip induksi

matematis dan prinsip induksi matematis kuat. Khususnya

pembuktian pada langkah induksi. (Mengeksplorasi)


membandingkan kedua prinsip induksi tersebut.

12. Selanjutnyadengan membandingkan kedua prinsip induksi

tersebut dan dengan melihat penggunaan prinsip induksi

tersebut dalam menyelesaikan soal, siswa diajak untuk

memperoleh informasi kapan prinsip induksi kuat digunakan

dalam pembuktian suatu pernyataan. (Mengeksplorasi)


pada kegiatan “Ayo Menalar” di buku siswa.

(Mengasosiasi) 14. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam

diskusi kelompok.

Fase 5. Evaluasi




(Mengkomunikasikan) 16. Guru membantu siswa dalam diskusi kelas sehingga


75

menit

11



18. Guru memberikan tes tulis kepada siswa.


19. Guru meminta siswa untuk memberikan apresiasi berupa


hasil diskusinya.

Penutup


dipelajari.

21. Guru meminta siswa untuk mempersiapkan ulangan harian

di pertemuan selanjutnya.

10

menit

Pertemuan ke-6

Ulangan harian

A. Penilaian

1. Teknik penilaian

Lembar Pengamatan Penilaian Sikap, Tes Tertulis.

2. Prosedur penilaian

Nmr. Aspek yang dinilai Teknik penilaian Waktu

penilaian

1 Spiritual:

Menjawab Salam Pengamatan

Sebelum dan

sesudah

pelajaran

2

Sikap :

Kritis dan Disiplin

Pengamatan

Kegiatan inti

3 Pengetahuan matematika Lembar Kerja Siswa Kegiatan inti

4 Keterampilan matematka Tes Tertulis Kegiatan inti

3. Instrumen penilaian

a. Instrumen Penilaian Spiritual

Lembar Pengamatan (Lampiran 1)

b. Instrumen Penilaian Sikap

Lembar Pengamatan Penilaian Sikap (Lampiran 2)

c. Instrumen penilaian pengetahuan matematika

Pertemuan ke-1 : Kegiatan ayo menalar (lampiran 3)

12





d. Instrumen penilaian keterampilan matematika

Pertemuan ke-3 : tes tulis (lampiran 7)

Pertemuan ke-5 : tes tulis (lampiran 10)

Surabaya,……………….2015

Mengetahui, Kepala SMAN 7 Surabaya

(Drs. R. Achmad Djunaidi, M.Pd.)

NIP. 196412111989031014

Guru Mapel Matematika

( …………………………… )

NIP.

13

Lampiran 1

LEMBAR PENGAMATAN SPIRITUAL

Spiritual (Menjawab salam Sebelum dan Sesudah Proses Pembelajaran)

Indikator sikap spiritual adalah sebagai berikut

SB = Menjawab salam secara lengkap sebelum dan sesudah pembelajaran

B = Menjawab salam sebelum dan sesudah pembelajaran

C = Menjawab salam sebelum atau sesudah pembelajaran saja

KB = Tidak menjawab salam sama sekali

Bubuhkan tanda cek (√) pada kolom berikut

Nmr. Nama Siswa SB B C KB

Keterangan

Sangat Baik = (SB)

Baik = (B)

Cukup = (C)

Kurang = (K)

14

Lampiran 2

LEMBAR PENGAMATAN SIKAP

Sikap yang dikembangkan dalam proses pembelajaran adalah kritis dan disiplin.

Indikator penilaian terhadap sikap kritis.

Skor 4 jika mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat lebih dari 2 kali

Skor 3 jika mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat 2 kali

Skor 2 jika mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat 1 kali

Skor 1 jika tidak pernah mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat sama

sekali.

Indikator penilaian terhadap sikap disiplin.

Skor 4 jika datang ke kelas tepat waktu dan mengumpulkan tugas tepat waktu

Skor 3 jika datang ke kelas tepat waktu atau mengumpulkan tugas tepat waktu

Skor 2 jika datang ke kelas tidak tepat waktu dan mengumpulka tugas tidak tepat waktu

Skor 1 jika tidak hadir dan tidak mengumpulkan tugas.

Berilah tanda cek (√) pada kolom berikut sesuai hasil pengamatan

Nmr. Nama Siswa Kritis Disiplin

4 3 2 1 4 3 2 1

Keterangan:

Sangat Baik (SB) : Skor 4 Baik (B) : Skor 3

Cukup (C) : Skor 2 Kurang (K) : Skor 1

15

Lampiran 3

Pertemuan ke-1

Pedoman Penskoran dan Alternatif Jawaban

Pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli n, apabila pernyataan P(n) yang berkenaan

dengan semua bilangan asli n, dan memenuhi dua sifat: (Skor 1)

a. P(1) benar (Skor 1)

b. Untuk setiap bilangan asli k, apabila P(k) benar, maka P(k + 1) juga benar. (Skor 2)

16

Lampiran 4

Pertemuan ke-2

Diskusikan jawaban dari pertanyaan berikut dengan kelompokmu!

a. Bagaimana langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi

matematis bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n?

b. Bagaimana langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi

matematis yang diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan

asli n m, untuk suatu bilangan asli m?

Alternatif jawaban dan pedoman penskoran :

Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis bahwa

suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut:

1. Membuktikan bahwa P(1) benar. (Skor 2)

2. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila P(k) benar, maka

P(k+1) juga benar. (Skor 2)

3. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 2)

Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis yang

diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m adalah

sebagai berikut:

1. Membuktikan bahwa P(m) benar. (Skor 2)

2. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k m, apabila P(k) benar, maka


3. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m. (Skor 2)

Nilai =

17

Lampiran 5

Pertemuan ke-3

Contoh soal dibuktikan bersama siswa

18

Lampiran 6

Pertemuan Ke-3

Alternatif jawaban

Terdapat 3 langkah yang digunakan dalam pembuktian itu, yaitu

1. Langkah Dasar, 2.angkah Induksi, dan 3. Kesimpulan

a. Langkah Pertama (Dasar), membuktikan bahwa P(1) benar untuk induksi matematis

atau P(m) benar untuk induksi matematis yang diperluas. (Skor 3)

b. Langkah Kedua (Induksi)

Untuk induksi matematis, membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila

P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. Untuk induksi matematis yang diperluas,

membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k m, apabila P(k) benar, maka P(k +

1) juga benar. (Skor 3)

c. Kesimpulan

Untuk induksi matematis, menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan asli

n Untuk induksi matematis yang diperluas, menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk

semua bilangan asli n m untuk suatu bilangan asli m. (Skor 3)

Nilai =

19

Lampiran 7

Pertemuan ke-3

Tes tulis

20

ALTERNATIF JAWABAN DAN PEDOMAN PENSKORAN TES TULIS

PERTEMUAN KE-3

Nmr. Jawaban Skor

1. Generalisasi

a. Banyak persegi

- Banyak persegi terbesar (4×4) =1

- Banyak persegi (3 × 3) = 4

- Banyak persegi (2×2) = 9

- Banyak persegi (1×1) = 16

Jadi banyak pesergi yang ditemukan = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

20

b. Banyak persegi panjang

- Banyak persegi panjang (4×4) =1

- Banyak persegi panjang (4×3 atau 3×4) = 4



- Banyak persegi panjang (3×3) = 4






Jadi banyak persegi panjang = 1 + 4 + 6+ 8 + 4 + 12 + 16 + 9 + 24 + 16

= 70.

20

2. a. Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P(k) benar.

Artinya 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k = k(k + 1).

Akan ditunjukkan P(k + 1) benar.

Perhatikan bahwa

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1) + (k + 2).

Jadi P(k + 1) benar.

20

b.Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P(k) benar.

Artinya 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2k-1

= 2k - 1.

Akan ditunjukkan P(k + 1) benar. Perhatikan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + ... +

2k-1

+ 2(k-1)-1

= 2k -1 + 2k = 2.2

k -1

= 2k-1

-1


20

c.Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P(k) benar. 20

21

Artinya 12 + 22 + 32 + ... + k2 =

Akan ditunjukkan P(k + 1) benar.

Perhatikan bahwa

12 + 2

2 + 3

2 + ... + k

2 + (k + 1)

2 =

=

(k+2)(2k+3) =


Skor total 100

Nilai =

22

Lampiran 8

Pertemuan Ke-4

Alternatif jawaban dan pedoman penskoran

Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat bahwa


1. Membuktikan bahwa P(1) benar. (Skor 3)

2. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, jika P(1), P(2), …, P(k) benar,

maka P(k+1) juga benar. (Skor 3)


Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat yang

diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m adalah sebagai

berikut:

1. Membuktikan bahwa P(m) benar. (Skor 3)

2. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n m, apabilaP(m), P(m+1), …, P(k)

benar, maka P(k+1) juga benar. (Skor 3)


Nilai =

23

Lampiran 9

Pertemuan Ke-5

Alternatif Jawaban dan Pedoman Penskoran

1. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis bahwa


a. Membuktikan bahwa P(1) benar. (Skor 3)

b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila P(k) benar, maka P(k+1)

juga benar. (Skor 3)

c. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 3)

Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis yang

diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m adalah

sebagai berikut:

a. Membuktikan bahwa P(m) benar (Skor 3)

b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k m, apabila P(k) benar, maka


c. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m. (Skor 3)

2. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat

bahwa suatu pernyataanP(n) benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut:

a. Membuktikan bahwa P(1) benar. (Skor 3)

b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, jika P(1), P(2), …,P(k) benar, maka



Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat

yang diperluas, bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m

adalah sebagai berikut:

a. Membuktikan bahwa P(m) benar. (Skor 3)

24

b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n m, apabila P(m), P(m+1), …, P(k)

benar, maka P(k+1) juga benar. (Skor 3)


3. Induksi matematis kuat digunakan apabila dalam langkah pembuktian pernyataan

P(k+1) benar tidak hanya memerlukan kebenaran P(k) tetapi juga kebenaan P(n)

untuk n sebelum k. Sedangkan induksi matematis digunakan apabila dalam langkah

pembuktian pernyataan P(k+1) benar hanya memerlukan kebenaran P(k). (Skor 4)

Nilai =

25

Lampiran 10

Pertemuan ke-5

Tes Tulis

26

Lampiran 11

Tabel Konversi Nilai

Nilai Ketuntasan Pengetahuan dan

Keterampilan

Rentang Angka Huruf

3,85 – 4,00 A

3,51 – 3,84 A-

3,18 – 3,50 B+

2,85 – 3,17 B

2,51 – 2,84 B-

2,18 – 2,50 C+

1,85 – 2,17 C

1,51 – 1,84 C-

1,18 – 1,50 D+

1,00 – 1,17 D

RPP INDUKSI MATEMATIKA.pdf

Documents

Transcript of RPP INDUKSI MATEMATIKA.pdf