RESTORASI GAMBAR DIGITAL MENGGUNAKAN INVERSE … · PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT...

RESTORASI GAMBAR DIGITAL

MENGGUNAKAN INVERSE PROBLEM

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

Pandu Arya Wijaya

NIM: 103114012

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2015

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i


MENGGUNAKAN INVERSE PROBLEM

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

Pandu Arya Wijaya

NIM: 103114012

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2015


ii

DIGITAL IMAGE RESTORATION

USING INVERSE PROBLEM

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Sarjana Sains Degree in

Mathematics Study Program

Written By :

Pandu Arya Wijaya

Student Number: 103114012

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2015


a


MENGGI'NAKAN INVERSE PROBLEM

SKRIPSI

Disusutr Oleh:

Pandu Arya Wijaya

NIM: 103114012

Telah disetujui oleh:

Dosen Pembimbing Slripsi,

(Hadono, S.Si., M.Sc-, Ph.D) - /3/d/ /2ol <'Taneeal

lll



MENGGTJNAKAI\I NTVERSE PROBLEM

Dipersiapkan dan ditutis oleh :

Patdu Arya Wiiaya

NIM: l03l l,l0l2

Telab dipe alErkan di depan Paoitia P€nguji

psda rugal 17 Des€oDber 2014

dan dinyatakan telah m€metruhi syaiat

Susuan Panitia Penguji

Nama I engkef

Ketua : h. Ig. Ads Ilwiahoko, M.Sc.

Sekretaris : Dr. rer-nat Horry Pdbar.,aoto Surlawa!. M.Si.

Anggota : Harto.o, S.Si., M.Sc., Ph.D.

SKRIPSI

Y os$klirt,- ...P-.... L?.2!.?:....? | 5

Fakultas Sains dan Teknologi


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini adalah hadiah terindah Yesus Kristus untuk kado Natal 2014.

“Terpujilah TUHAN, karena Ia telah mendengar suara permohonanku.

TUHAN adalah kekuatanku dan perisaiku; kepada-Nya hatiku percaya.

Aku tertolong sebab itu beria-ria hatiku, dan dengan nyanyianku aku bersyukur

kepada-Nya”.

(Mazmur 28:6-7)

Karya ini aku persembahkan untuk:

Allah Bapa, Putra dan Roh Kudus,

Papa, Mama dan Adikku tercinta,

Kekasih hatiku tersayang,

Teman-teman matematika angkatan 2010,

Serta orang-orang yang selalu berada di sisi saya.


1

PER}TYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skipsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian kfiya ora[g lain, kecuali yang disebutkan dalam

kutipan dan daffar pustaka, sebagaimana layaknya kaxya ilmiah.

Yogyakart4 Desember 20 I 4

Penulis

vPardu Arya Wijaya


vii

ABSTRAK

Pandu Arya Wijaya. 2014. Restorasi Gambar Digital Menggunakan

Inverse Problem. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika,

Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Topik yang dibahas dalam skripsi ini adalah aplikasi inverse problem

dalam restorasi gambar, terutama restorasi gambar digital. Inverse Problem

merupakan suatu metode penyelesaian masalah menggunakan invers dari

permasalahan yang diselesaikan. Tulisan ini akan membahas bagaimana

mengurangi efek kabur pada gambar digital dengan meminimalkan galat yang

terjadi, sehingga diperoleh hasil restorasi yang memuat galat terkecil. Untuk itu,

diperlukan suatu kontrol galat dengan cara menghitung besarnya norma pada

gambar hasil restorasi. Dalam hal ini, teori matematika yang digunakan adalah

Singular Value Decomposition (SVD) dan model permasalahan inversnya adalah

model gambar kabur. Model gambar kabur merupakan transformasi gambar asli

berdasarkan operator pengaburan.

Model gambar kabur akan ditransformasi menjadi gambar yang lebih baik

(noise minimum) dengan metode Truncated Singular Value Decomposition

(TSVD) dan metode Regularisasi Tikhonov.

Kata Kunci: restorasi gambar, inverse problem, norma, gambar kabur, Singular

Value Decomposition, Truncated Singular Value Decomposition, Regularisasi

Tikhonov.


viii

ABSTRACT

Pandu Arya Wijaya. 2014. Digital Image Restoration Using Inverse

Problem. Thesis. Mathematics Study Program, Department of Mathematics,

Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

The topic of this thesis is the application of inverse problems in image

restoration, especially in digital image restoration. Inverse Problem is a problem

solving method using inverse of problem being solved. This paper discuss how to

reduce the blurring effect on digital image by minimizing the error, such that the

restoration results obtained has a minimum error. For this purpose, we need to

control the error by calculate the norm of image restoration. In this case, we need

a mathematical theory so called Singular Value Decomposition (SVD) and the

model of inverse problem is blurred image model. Blurred image model is an

original image transformed by blurring operator.

The blurred image model will be transformed into a clearer image (with

minimum noise) using Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) method

and Tikhonov regularization method.

Keywords: images restoration, inverse problem, norm, blurred image, Singular

Value Decomposition, Truncated Singular Value Decomposition, Tikhonov

regularization.


LEMBAR PER}TYATAAN PERSf, TUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAII I]NTUK KEPENTINGAII AKADEMIS

Yang bertandatangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharna:

Nama : Pandu Arya Wijaya

NIM :103114012

demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan karya ilmiah saya

kepada Perpustakaan Univemitas Sanata Dharma yang bedudul:


MENGGIJNAKAN IN\'ERSE PROBLEM

beserta perangkal yang diperlukao (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Uriversitas Sanata Dhaxma hak untuk menyimpan,

mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan

dat4 mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet

atau media lain untuk kepentingan akad€mis tanpa meminta izin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama tetap mencal-up nama saya sebagai

penulis.

Demikian pemyataan ini saya buat dengan sebenaxnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tarygal: 7 Januari 2015

Yang menyatakan,

A

W(Pandu Arya Wijaya)


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah

melimpahkan berkat dan kasihNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi

ini dengan baik.

Dalam penulisan skripsi ini penulis mendapatkan bantuan baik moril

maupun materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan

terima kasih kepada:

1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

2. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku dosen pembimbing skripsi dan

Ketua Program Studi Matematika yang telah meluangkan banyak waktu

dan membimbing penulis dengan penuh kesabaran.

3. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik.

4. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen-dosen yang telah memberikan ilmu yang

berguna kepada penulis.

5. Kedua orang tua, Bapak Bambang Wijaya dan Ibu Tri Endang Hidrayani,

yang selalu mendukung penulis dengan doa, semangat, dan materi.

6. Teman-temanku: Arga, Ratri, Ayu, Tika, Astri, Sari, Dini, Celly, Leni,

Agnes, Yohan, Roy, Marsel, dan Yosi, terima kasih untuk canda tawa,

kebersamaan, dan semangat yang selalu diberikan pada penulis.


xi

7. Teman-teman 2009, 2011 dan 2012: Jojo, Indra, Bayu, Rian, Budi, Ega,

Happy, Tika terima kasih untuk doa, semangat, dan keceriaan yang selalu

diberikan kepada penulis.

8. Semua pihak yang telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan

skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh

karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun serta

menyempurnakan skripsi ini. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat

memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca.

Yogyakarta, Desember 2014

Penulis


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ..................................................................... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................................... vi

ABSTRAK ...................................................................................................... vii

ABSTRACT .................................................................................................... viii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............ ix

KATA PENGANTAR ..................................................................................... x

DAFTAR ISI ................................................................................................... xii

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xv

DAFTAR TABEL ........................................................................................... xvii

DAFTAR PROGRAM .................................................................................... xviii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1

A. Latar Belakang .................................................................................... 1

B. Perumusan Masalah ............................................................................ 7

C. Pembatasan Masalah ........................................................................... 8

D. Tujuan Penulisan ................................................................................. 8

E. Manfaat Penulisan ............................................................................... 9


xiii

F. Metode Penulisan ................................................................................ 9

G. Sistematika Penulisan ......................................................................... 10

BAB II LANDASAN TEORI ......................................................................... 12

A. Aljabar Linier ...................................................................................... 12

2.1 Sistem Persamaan Linier Homogen ...................................... 12

2.2 Ruang Vektor ........................................................................ 13

2.3 Ortogonalitas ......................................................................... 22

2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................... 34

2.5 Dekomposisi Nilai Singular .................................................. 36

2.6 Norma Matriks dan Bilangan Kondisi .................................. 49

B. Kalkulus .............................................................................................. 65

2.7 Big-O ..................................................................................... 65

2.8 Fungsi Bernilai Vektor .......................................................... 66

BAB III INVERSE PROBLEM ...................................................................... 70

A. Prinsip Dasar Inverse Problem ............................................................ 70

3.1 Kestabilan Algoritma pada Sistem ........................................ 71

3.2 Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian ............................ 75

B. Metode Regularisasi ............................................................................ 85

3.3 Regularisasi ........................................................................... 85

3.4 Regularisasi Tikhonov .......................................................... 91

BAB IV APLIKASI ........................................................................................ 94

A. Gambar Digital .................................................................................... 94

4.1 Representasi Gambar Digital ................................................ 94


xiv

4.2 Model Degradasi Gambar Digital ......................................... 96

B. Restorasi Gambar menggunakan TSVD ............................................. 98

C. Restorasi Gambar menggunakan Regularisasi Tikhonov ................... 107

BAB V PENUTUP ........................................................................................... 117

A. Kesimpulan .......................................................................................... 117

B. Saran .................................................................................................... 118

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 119

LAMPIRAN .................................................................................................... 120


xv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1 Contoh Gambar Sebelum dan Sesudah Restorasi ...................... 3

Gambar 1.2 Contoh Gambar Sebelum dan Sesudah Restorasi ....................... 3

Gambar 1.3 Contoh Gambar Sebelum dan Sesudah Restorasi ....................... 3

Gambar 1.4 Koordinat Spasial ........................................................................ 4

Gambar 1.5 Algoritma Inverse Problem ......................................................... 7

Gambar 2.1 Hubungan geometris di antara 𝐱 dan 𝐴𝐱 ..................................... 34

Gambar 3.1 Prosedur metode Inverse Problem .............................................. 70

Gambar 4.1 Gambar Asli dan Gambar kabur .................................................. 97

Gambar 4.2 Gambar Asli ................................................................................ 101

Gambar 4.3 Gambar terkena efek motion ....................................................... 101

Gambar 4.4 Visualisasi Matriks Pengaburan .................................................. 102

Gambar 4.5 Gambar Asli hasil Restorasi TSVD dengan 𝑘 = 200 ................. 103

Gambar 4.6 Grafik TSVD ............................................................................... 104

Gambar 4.7 Grafik TSVD dengan axis([50 100 0 10]) ..................... 105

Gambar 4.8 Grafik TSVD dengan axis([70 75 5 6]) .......................... 105

Gambar 4.9 Grafik TSVD dengan axis([70 75 5.7 5.8]) ................ 106

Gambar 4.10 Gambar hasil Restorasi TSVD dengan 𝑘 = 74 .......................... 106

Gambar 4.11 Gambar hasil restorasi Tikhonov dengan 𝛼 = 0.01 .................. 111

Gambar 4.12 Grafik Regularisasi Tikhonov ................................................... 112

Gambar 4.13 Gambar Regularisasi Tikhonov dengan 𝛼 ∈ 0,0.2


xvi

dan axis([0 0.2 0 20]) .................................................. 112

Gambar 4.14 Gambar Regularisasi Tikhonov dengan 𝛼 ∈ 0.06 , 0.12

dan axis([0.06 0.12 6 8]) ........................................... 113

Gambar 4.15 Gambar hasil restorasi regularisasi Tikhonov

dengan 𝛼 = 0,0874 .................................................................... 113

Gambar 4.16 Hasil restorasi metode TSVD dan regularisasi Tikhonov ......... 115


xvii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Hasil Numerik Faktor Perbesaran Galat ......................................... 89


xviii

DAFTAR PROGRAM

Halaman

Program 4.1a ................................................................................................... 120

Program 4.1b ................................................................................................... 121

Program 4.2a .................................................................................................... 122

Program 4.2b ................................................................................................... 123


BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Dewasa ini, perkembangan teknologi dapat dikatakan sangat

berkembang pesat. Banyak peralatan elektronik yang diciptakan untuk

memenuhi kebutuhan manusia, baik dari membantu pekerjaan sampai

memenuhi kebutuhan gaya hidup. Salah satu yang cukup berkembang

adalah perkembangan gambar digital. Istilah digital merujuk pada sinyal

atau data yang dinyatakan sebagai rangkaian angka 0 dan 1. Gambar

digital, merupakan bentuk perwakilan visual dari sesuatu, karena gambar

digital dapat digunakan sebagai sarana untuk memberikan penjelasan

mengenai sesuatu. Makna visual yang diberikan gambar dapat

memberikan informasi dengan jelas, tanpa perlu ada penyampaian

informasi detail secara lisan. Karena alasan tersebut maka banyak

peralatan elektronik dikembangkan guna menghasilkan ketajaman gambar

yang lebih baik. Gambar dengan kualitas yang baik dapat memberikan

makna visual yang jelas, sehingga tidak memberikan kesalahan persepsi

bagi yang melihat.

Memanipulasi gambar tentunya bukan merupakan sesuatu yang aneh

lagi pada era modern seperti saat ini. Banyak gambar, seperti poster,

spanduk, foto dan sebagainya dapat memiliki kualitas ketajaman gambar

yang lebih bagus dari aslinya. Selain itu, dapat disaksikan juga animasi-


2

animasi menarik dari video dengan kualitas grafis yang mengagumkan.

Dan itu semua, tidak lain merupakan hasil dari perkembangan teknologi

yang sangat cepat dalam pemrosesan gambar digital.

Salah satu bidang dalam pemrosesan gambar digital yang cukup

populer adalah mengenai restorasi gambar. Restorasi berasal dari kata

restore yang artinya memperbaiki. Restorasi gambar adalah cara untuk

memperoleh kembali gambar asli dari gambar yang telah terdegradasi

berdasarkan informasi dari model degradasi yang masuk akal. Kata

degradasi dalam tulisan ini, berasal dari istilah degradation yang artinya

bentuk asli yang telah turun kualitasnya karena suatu penyebab tertentu.

Restorasi gambar mengambil peranan yang sangat penting dalam era

gambar digital, sebab telah diketahui bahwa peralatan optik digital seperti

kamera juga memiliki keterbatasan dalam menangkap gambar. Akibatnya,

gambar yang dihasilkan menjadi kabur atau dalam pemrosesan signal

disebut sebagai derau (noise). Adapun penyebab dari derau tersebut dapat

disebabkan oleh keterbatasan alat maupun manusia. Gambar yang

mengandung derau sering kali membatasi informasi yang akan

disampaikan. Itu sebabnya, derau tersebut harus dihilangkan. Sebagai

contoh, di bawah ini terdapat beberapa gambar yang menunjukkan

perbandingan antara gambar sebelum dan sesudah dilakukan proses

restorasi.


3

Sebelum Sesudah

Sumber: image-restore.co.uk

Gambar 1.1.

Sebelum Sesudah

Sumber: carlmason-liebenberg.com

Gambar 1.2.

Sebelum Sesudah

Sumber: retouchphoto.net

Gambar 1.3.


4

Dari beberapa contoh di atas, terlihat bahwa proses restorasi dapat

merubah penampilan gambar menjadi lebih bagus dibandingkan dengan

gambar aslinya. Kemudian, dengan melakukan restorasi ternyata dapat

menghilangkan efek derau yang mengganggu kualitas gambar asli,

sehingga dapat dihasilkan gambar yang lebih jelas.

Untuk lebih memudahkan dalam melakukan proses restorasi, terlebih

dahulu pastikan gambar yang akan direstorasi sudah dalam bentuk digital,

jika belum dapat digunakan scanner untuk mengubah gambar kasar

menjadi gambar digital. Gambar kasar merupakan gambar hasil karya

tangan manusia misalnya lukisan. Ketika sebuah gambar sudah diubah ke

dalam bentuk digital barulah proses restorasi dapat dimulai.

Gambar digital dapat didefinisikan sebagai fungsi dua variabel,

𝑓(𝑥, 𝑦), dimana 𝑥 dan 𝑦 adalah koordinat spasial dan nilai 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah

intensitas (warna) gambar pada koordinat tersebut. Koordinat spasial

merupakan koordinat yang digunakan untuk merepresentasikan fakta dari

dunia nyata. Hal tersebut dapat diilustrasikan seperti pada gambar 1.4.

Sumber: anezblog.com

Gambar 1.4. f(0,0)

f(0,y) f(x,y)

f(x,0)


5

Namun dalam kondisi riil, terkadang didapatkan gambar yang mengalami

efek derau. Hal ini menyebabkan intensitas (warna) gambar pada setiap

koordinat spasial menjadi terganggu. Akibatnya, gambar yang dihasilkan

menjadi kabur.

Dalam usaha mengatasi kendala inilah, penulis menggunakan teknik

restorasi gambar digital menggunakan Inverse Problem. Untuk definisi

Inverse Problem sebenarnya belum diketahui secara pasti. Namun, penulis

mencoba untuk memaparkan beberapa pendapat dari matematikawan

mengenai Inverse Problem. Menurut Julia Robinson (dalam C. W.

Groetsch, 1999), Inverse Problem adalah “Here you were given a solution

and you had to find the equation”, artinya situasi dimana penyelesaian

suatu masalah telah diberikan dan harus ditemukan bagaimana

persamaannya. Menurut Per Christian Hansen (2010), “The inverse

problem is to compute either the input or the system, given the other two

quantities”, artinya inverse problem adalah proses mendapatkan inputatau

sistem, saat diketahui dua kuantitas (dalam kasus ini adalah sistem dan

output). Dari uraian di atas, secara umum Inverse Problem diartikan

sebagai suatu metode penyelesaikan masalah secara tidak langsung,

artinya penyelesaian masalah menggunakan invers dari permasalahan yang

akan diselesaikan.

Pertama kali inverse problem diperkenalkan oleh Hadamard sekitar

awal abad ke-20 (seseorang yang bekerja dalam bidang matematika-

fisika). Hadamard mengatakan bahwa suatu permasalahan adalah well-


6

posed jika memenuhi tiga persyaratan. Pertama, existence yaitu suatu

masalah harus memiliki penyelesaian. Kedua, uniqueness bahwa hanya

akan ada tepat satu penyelesaian pada suatu masalah. Ketiga, stability

adalah penyelesaian yang didapat bergantung pada data, sehingga jika data

diberi gangguan sedikit maka tidak akan menimbulkan galat yang sangat

besar pada hasil. Jika terdapat satu dari tiga persyaratan yang tidak

dipenuhi, maka masalah dikatakan ill-posed.

Metode Inverse Problem bertujuan untuk mendapatkan suatu input

yang tidak diketahui, berdasarkan informasi sistem dan output dari

masalah. Prinsip dariinverse problem ini sebenarnya merupakan

pengembangan dari invers matriks yang dikenal dalam aljabar linier.

Dengan cara memandang permasalahan yang akan diselesaikan sebagai

bentuk matriks, misalkan matriks 𝐴𝐱 = 𝐛, dimana 𝐱 merupakan input dari

masalah, 𝐴 merupakan sistem dari masalah, dan 𝐛 merupakan output yang

didapat dari masalah. Dari persamaan matriks tersebut, dapat ditentukan

matriks 𝐱 = 𝐴−1𝐛, dimana 𝐴−1 merupakan invers dari matriks 𝐴. Dengan

menggunakan konsep tersebut maka inverse problem dapat juga

diterapkan pada restorasi gambar digital, sehingga dapat diperoleh kembali

gambar asli yang kabur atau terdegradasi karena efek derau.

Secara umum,proses restorasi dapat dipandang sebagai persamaan

𝐱 = 𝐀−1𝐛, dimana 𝐛 adalah gambar yang telah terdegradasi, 𝐀−1 adalah

model transformasi untuk mengurangi efek derau pada 𝐛, dan 𝐱 adalah

gambar hasil restorasi. Kemudian agar mendapatkan hasil optimal dalam


7

restorasi maka harus didapatkan 𝐀−1terbaik yang mampu meredam efek

derau dari 𝐛. Untuk mengatasi masalah itu, penulis menggunakan metode

Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) dan metode regularisasi

Tikhonov. Skema berikut ini akan menjelaskan bagaimana alur algoritma

dari invers problem,

Gambar 1.5. Inverse problem adalah proses mendapatkan input, saat

diketahui dua kuantitas (sistem dan output).

B. Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini akan dirumuskan

sebagai berikut:

1. Apakah yang dimaksud dengan metode Inverse Problem dan

bagaimana landasan teoritiknya?

2. Bagaimana penerapan metode Inverse Problem pada proses restorasi

gambar digital?

Inverse Problem

Input Sistem

Output


8

3. Bagaimana algoritma dan pemrograman MATLAB pada proses

restorasi gambar digital?

C. Pembatasan Masalah

Penulis akan membatasi beberapa hal untuk uraian masalah yang akan

dibahas, yaitu:

1. Tulisan ini dibatasi pada proses editing dengan restorasi untuk

menghilangkan efek derau pada gambar.

2. Data yang digunakan berupa foto atau gambar yang mengalami derau.

3. Metode dalam Inverse Problem yang digunakan adalah metode

Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) dan Regularisasi

Tikhonov untuk menghilangkan efek derau dan meningkatkan

ketajaman gambar pada data yang disediakan.

4. Gambar yang direstorasi berupa gambar grayscale.

D. Tujuan Penulisan

Tulisan ini disusun dengan tujuan agar dapat lebih memahami salah

satu teknik restorasi yang sering digunakan dalam restorasi gambar digital.

Terlebih lagi, akan dipelajari juga prinsip Truncated Singular Value

Decomposition (TSVD) dan Regularisasi Tikhonov untuk restorasi gambar

digital. Selain itu, akan dipelajari juga bagaimana penerapan prinsip-


9

prinsip restorasi gambar digital tersebut dalam pemrograman MATLAB.

Tulisan ini juga disusun sebagai pemenuhan tugas akhir dalam Program

Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

E. Manfaat Penelitian

Dengan mempelajari topik ini kita dapat mempelajari kegunaan

Inverse Problem dalam proses restorasi gambar digital. Kita juga dapat

mempelajari prinsip Truncated Singular Value Decomposition (TSVD)

dan Regularisasi Tikhonov dalam restorasi gambar digital. Terlebih lagi,

kita juga dapat menerapkan metode tersebut dalam algoritma dan

pemrograman MATLAB sehingga proses restorasi dapat lebih mudah

dilakukan.

F. Metode Penulisan

Penulisan menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan

mempelajari buku dan jurnal yang berkaitan dengan topik Inverse

Problem, teknik Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) dan

Regularisasi Tikonov dalam proses restorasi gambar digital.


10

G. Sistematika Penulisan

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Perumusan Masalah

C. Pembatasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II. LANDASAN TEORI

A. Aljabar Linier

B. Kalkulus

BAB III. INVERSE PROBLEM

A. Prinsip Dasar Inverse Problem

B. Metode Regularisasi

BAB IV. APLIKASI

A. Gambar Digital

B. Restorasi Gambar menggunakan TSVD

C. Restorasi Gambar menggunakan Regularisasi Tikhonov


11

BAB V. PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


BAB II

LANDASAN TEORI

A. Aljabar Linier

Pada subbab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori aljabar linier

yang akan digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab-bab

berikutnya.

2.1 Sistem Persamaan Linier Homogen

Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier dalam

peubah 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 dinamakan sistem persamaan linier (SPL). Sebuah

sistem persamaan-persamaan linier dikatakan homogen jika ruas kanan

pada sistem persamaan tersebut adalah sama dengan nol, yakni sistem

yang mempunyai bentuk

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0

dan ditulis sebagai 𝐴𝐱 = 𝟎.


13

Teorema 2.1.1

Misalkan 𝐴 matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝐴 adalah taksingular jika dan hanya jika

𝐴𝐱 = 𝟎 mempunyai penyelesaian trivial 0.

Bukti:

→ Jika 𝐴 taksingular dan 𝐱′ adalah penyelesaian dari 𝐴𝐱 = 𝟎, maka

𝐱′ = 𝐼𝐱′ = 𝐴−1𝐴 𝐱′ = 𝐴−1 𝐴𝐱′ = 𝐴−1𝟎 = 𝟎.

← Jika 𝐴𝐱 = 𝟎 mempunyai penyelesaian 𝐱′ = 𝟎, maka 𝐱′ = 𝐴−1𝟎 = 𝟎.

Sehingga 𝐴 haruslah matriks taksingular.

2.2 Ruang Vektor

Himpunan 𝑉 yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan

perkalian dengan skalar disebut sebagai ruang vektor, jika memenuhi

aksioma-aksioma berikut dipenuhi.

A1. 𝐱 + 𝐲 = 𝐲 + 𝐱 untuk setiap 𝐱 dan y di 𝑉.

A2. 𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝐱 + 𝐲 + 𝐳 untuk setiap 𝐱, 𝐲, 𝐳 di 𝑉.

A3. Terdapat elemen 𝟎 di 𝑉 sehingga 𝐱 + 𝟎 = 𝐱 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝑉.

A4. Untuk setiap 𝐱 ∈ 𝑉 terdapat −𝐱 elemen di 𝑉, sehingga

𝐱 + −𝐱 = 𝟎.

A5. 𝛼 𝐱 + 𝐲 = 𝛼𝐱 + 𝛼𝐲 untuk setiap 𝛼 ∈ ℝ dan setiap 𝐱 dan y di 𝑉.

A6. 𝛼 + 𝛽 𝐱 = 𝛼𝐱 + 𝛽𝐱 untuk setiap skalar 𝛼 dan 𝛽 dan setiap 𝐱 ∈ 𝑉.

A7. 𝛼𝛽 𝐱 = 𝛼 𝛽𝐱 untuk setiap skalar 𝛼 dan 𝛽 dan setiap 𝐱 ∈ 𝑉.

A8. 1. 𝐱 = 𝐱 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝑉.


14

A9. Jika 𝐱 ∈ 𝑉 dan 𝛼 ∈ ℝ, maka 𝛼𝐱 ∈ 𝑉.

A10. Jika 𝐱, 𝐲 ∈ 𝑉, maka 𝐱 + 𝐲 ∈ 𝑉.

Contoh 2.2.1

Himpunan matriks berukuran 𝑚 × 𝑛, dinotasikan 𝑀𝑚×𝑛 merupakan ruang

vektor terhadap operasi penjumlahan matriks biasa serta perkalian dengan

skalar.

2.2.1 Ruang bagian

Definisi 2.2.1.1

𝑆 disebut ruang bagian dari 𝑉, jika 𝑆 adalah subhimpunan tak kosong dari

suatu ruang vektor 𝑉 dan 𝑆 memenuhi

𝑖 𝛼𝐱 ∈ 𝑆 jika 𝐱 ∈ 𝑆 untuk sembarang skalar 𝛼 ∈ ℝ

𝑖𝑖 𝐱 + 𝐲 ∈ 𝑆 jika 𝐱 ∈ 𝑆 dan 𝐲 ∈ 𝑆.

Contoh 2.2.1.2

Misalkan 𝑆 =

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑥1 = 𝑥2 . Maka 𝑆 adalah ruang bagian dari ℝ3,

sebab

i Jika 𝐱 ∈ 𝑆, maka 𝐱 harus berbentuk 𝐱 =

𝑥2

𝑥2

𝑥3

, sehingga


15

𝛼𝐱 = 𝛼

𝑥2

𝑥2

𝑥3

=

𝛼𝑥2

𝛼𝑥2

𝛼𝑥3

. Karena 𝛼𝑥1 = 𝛼𝑥2, berarti 𝛼𝐱 ∈ 𝑆.

ii Jika 𝐱, 𝐲 ∈ 𝑆, maka 𝐱 dan 𝐲 harus berbentuk

𝐱 =

𝑥2

𝑥2

𝑥3

dan 𝐲 =

𝑦2

𝑦2

𝑦3

sehingga

𝐱 + 𝐲 =

𝑥2

𝑥2

𝑥3

+

𝑦2

𝑦2

𝑦3

=

𝑥2 + 𝑦2

𝑥2 + 𝑦2

𝑥3 + 𝑦3

.

Karena 𝑥1 + 𝑦1 = 𝑥2 + 𝑦2, berarti 𝐱 + 𝐲 ∈ 𝑆.

2.2.1.3 Kernel dari matriks

Misalkan 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dan 𝑁 𝐴 merupakan himpunan

semua penyelesaian sistem 𝐴𝐱 = 𝟎 yang membentuk ruang bagian dari

ℝ𝑛 . Ruang bagian 𝑁 𝐴 disebut kernel (ruang nol), yang ditulis sebagai

𝑁 𝐴 = 𝐱 ∈ ℝ𝑛 𝐴𝐱 = 𝟎 .

Teorema 2.2.1.4

𝑁 𝐴 adalah ruang bagian dari ℝ𝑛 .

Bukti:

Jika 𝐱 ∈ 𝑁 𝐴 dan 𝛼 suatu skalar, maka

𝐴 𝛼𝐱 = 𝛼𝐴𝐱 = 𝟎


16

sehingga 𝛼𝐱 ∈ 𝑁 𝐴 . Jika 𝐱 dan 𝐲 adalah elemen-elemen dari 𝑁 𝐴 , maka

𝐴 𝐱 + 𝐲 = 𝐴𝐱 + 𝐴𝐲 = 𝟎 + 𝟎 = 𝟎

akibatnya 𝐱 + 𝐲 ∈ 𝑁 𝐴 . Karena 𝛼𝐱 ∈ 𝑁 𝐴 dan 𝐱 + 𝐲 ∈ 𝑁 𝐴 , berarti

𝑁 𝐴 adalah ruang bagian dari ℝ𝑛 .

2.2.2 Kebebasan Linier

Sebuah vektor 𝐰 disebut sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor

𝐯1, 𝐯2 , …𝐯𝑛 jika vektor tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

𝐰 = 𝑐1𝐯1 + 𝑐2𝐯2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝐯𝑛

dimana 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 adalah skalar. Himpunan semua kombinasi linier dari

𝐯1, 𝐯2 , …𝐯𝑛 disebut rentang dari 𝐯1, 𝐯2, …𝐯𝑛 .

Definisi 2.2.2.1

Himpunan 𝐯1, 𝐯2, …𝐯𝑛 disebut himpunan perentang untuk 𝑉 jika dan

hanya jika setiap vektor dalam 𝑉 dapat ditulis sebagai kombinasi linier

dari 𝐯1 , 𝐯2, …𝐯𝑛 .

Definisi 2.2.2.2

Himpunan 𝐯1, 𝐯2, …𝐯𝑛 dikatakan bebas linier jika kombinasi linier

𝑐1𝐯1 + 𝑐2𝐯2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝐯𝑛 = 0

mengakibatkan 𝑐1 = 𝑐2 = ⋯ = 𝑐𝑛 = 0.


17

2.2.3 Basis dan Dimensi

Definisi 2.2.3.1

Vektor-vektor 𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯𝑛 yang bebas linear dan merentang pada ruang

vektor 𝑉 disebut sebagai basis dan banyaknya vektor dalam basis pada

ruang vektor 𝑉 dikatakan sebagai dimensi.

Contoh 2.2.3.2

Tentukan 𝑁 𝐴 dari matriks

𝐴 = 1 1 1 02 1 0 1

dan kemudian tentukan basis dan dimensi dari 𝑁 𝐴 yang diperoleh.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan proses eliminasi Gauss untuk menyelesaikan

𝐴𝐱 = 𝟎, diperoleh

1 1 1 02 1 0 1

00

𝑅2+ −2 𝑅1

1 1 1 00 −1 −2 1

00

1 1 1 00 −1 −2 1

00

𝑅1+𝑅2

1 0 −1 10 −1 −2 1

00

sehingga

1 0 −1 10 −1 −2 1

00

−1 𝑅2

1 0 −1 10 1 2 −1

00

Bentuk eselon baris tersebut melibatkan dua peubah bebas, 𝑥3 dan 𝑥4

sehingga


18

𝑥1 = 𝑥3 − 𝑥4

𝑥2 = −2𝑥3 + 𝑥4

kemudian jika didefinisikan 𝑥3 = 𝛼 dan 𝑥4 = 𝛽, maka

𝐱 =

𝛼 − 𝛽−2𝛼 + 𝛽

𝛼𝛽

= 𝛼

1−210

+ 𝛽

−1101

adalah penyelesaian dari 𝐴𝐱 = 𝟎.

Jadi, 𝑁 𝐴 adalah semua vektor yang berbentuk

𝛼

1−210

+ 𝛽

−1101

dimana 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ.

Dari hasil tersebut terlihat bahwa 𝑁 𝐴 adalah ruang bagian dari ℝ4 yang

direntang vektor-vektor

1−210

dan

−1101

.

Selain itu kedua vektor tersebut juga bebas linear, akibatnya vektor-vektor

tersebut membentuk basis untuk 𝑁 𝐴 . Dan karena 𝑁 𝐴 mempunyai 2

vektor dalam basis 𝑁 𝐴 , berarti dimensi dari 𝑁 𝐴 = 2.


19

2.2.4 Ruang Baris dan Ruang Kolom

Definisi 2.2.4.1

Jika 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛, maka ruang bagian dari ℝ𝑛 yang direntang

oleh vektor-vektor baris dari 𝐴 disebut ruang baris dari 𝐴, sedangkan

ruang bagian dari ℝ𝑚 yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari 𝐴

disebut ruang kolom dari 𝐴.

Contoh 2.2.4.2

Misalkan 𝐴 = 1 0 00 1 0

, maka tentukan ruang baris dan ruang kolom

dari 𝐴.

Penyelesaian:

Ruang baris dari 𝐴 adalah himpunan semua vektor yang berbentuk

𝛼 1,0,0 + 𝛽 0,1,0 = 𝛼, 𝛽, 0

dan ruang kolom dari 𝐴 adalah himpunan semua vektor yang berbentuk

𝛼 10 + 𝛽

01 + 𝛾

00 =

𝛼𝛽 .

Misalkan 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛, vektor 𝐛 ∈ ℝ𝑚 berada di dalam

ruang kolom dari 𝐴 jika dan hanya jika 𝐛 = 𝐴𝐱 untuk 𝐱 ∈ ℝ𝑛 . Maka,

ruang kolom dari 𝐴 dapat dinyatakan sebagai 𝑅 𝐴 ,

𝑅 𝐴 = 𝐛 ∈ ℝ𝑚 𝐛 = 𝐴𝐱 untuk 𝐱 ∈ ℝ𝑛 ,

dan ruang kolom dari 𝐴𝑇 dinyatakan sebagai 𝑅 𝐴𝑇


20

𝑅 𝐴𝑇 = 𝐲 ∈ ℝ𝑛 𝐲 = 𝐴𝑇𝐱 untuk 𝐱 ∈ ℝ𝑛 .

Ruang kolom dari 𝑅 𝐴𝑇 sesungguhnya sama dengan ruang baris dari 𝐴.

Jadi 𝐲 ∈ 𝑅 𝐴𝑇 jika dan hanya jika 𝐲𝑇 berada di dalam ruang baris dari 𝐴.

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa 𝑅 𝐴 dan 𝑅 𝐴𝑇 adalah ruang

bagian dari ℝ𝑛 .

(i) Jika 𝐛 ∈ 𝑅 𝐴 dan 𝛼 suatu skalar, maka untuk 𝛼𝐱 ∈ ℝ𝑛

𝛼𝐛 = 𝛼 𝐴𝐱 = 𝐴𝛼𝐱

sehingga 𝛼𝐛 ∈ 𝑅 𝐴 . Jika 𝐛1 dan 𝐛2 adalah elemen-elemen dari

𝑅 𝐴 , maka untuk 𝐱1 + 𝐱2 ∈ ℝ𝑛

𝐛1 + 𝐛2 = 𝐴𝐱1 + 𝐴𝐱2 = 𝐴 𝐱1 + 𝐱2

akibatnya 𝐛1 + 𝐛2 ∈ 𝑅 𝐴 . Karena 𝛼𝐛 ∈ 𝑅 𝐴 dan 𝐛1 + 𝐛2 ∈

𝑅 𝐴 , berarti 𝑅 𝐴 adalah ruang bagian dari ℝ𝑛 .

(ii) Jika 𝐲 ∈ 𝑅 𝐴𝑇 dan 𝛼 suatu skalar, maka untuk 𝛼𝐱 ∈ ℝ𝑛

𝛼𝐲 = 𝛼 𝐴𝑇𝐱 = 𝐴𝑇𝛼𝐱

sehingga 𝛼𝐲 ∈ 𝑅 𝐴𝑇 . Jika 𝐲1 dan 𝐲2 adalah elemen-elemen dari

𝑅 𝐴𝑇 , maka untuk 𝐱1 + 𝐱2 ∈ ℝ𝑛

𝐲1 + 𝐲2 = 𝐴𝑇𝐱1 + 𝐴𝑇𝐱2 = 𝐴𝑇 𝐱1 + 𝐱2

akibatnya 𝐲1 + 𝐲2 ∈ 𝑅 𝐴𝑇 . Karena 𝛼𝐲 ∈ 𝑅 𝐴 dan 𝐲1 + 𝐲2 ∈

𝑅 𝐴𝑇 , berarti 𝑅 𝐴𝑇 adalah ruang bagian dari ℝ𝑛 .


21

Teorema 2.2.4.3

Dua matriks yang ekivalen baris memiliki ruang baris yang sama.

Bukti:

Jika matriks 𝐵 ekivalen baris dengan matriks 𝐴, maka 𝐵 dapat dibentuk

dari 𝐴 dengan operasi baris yang berhingga banyaknya. Ini berarti vektor-

vektor baris dari 𝐵 harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor

baris dari 𝐴. Akibatnya, ruang baris dari 𝐵 harus merupakan ruang bagian

dari ruang baris 𝐴. Karena matriks 𝐴 ekivalen baris dengan matriks 𝐵,

maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari 𝐴 adalah ruang bagian

dari ruang baris 𝐵.

Definisi 2.2.4.4

Rank dari suatu matriks 𝐴 adalah dimensi dari ruang baris 𝐴.

Contoh 2.2.4.5

Misalkan

𝐴 = 1 −2 32 −5 11 −4 −7

Dengan mereduksi 𝐴 menjadi bentuk eselon baris, diperoleh

𝑈 = 1 −2 30 1 50 0 0


22

sehingga 1, −2,3 dan 0,1,5 membentuk basis untuk ruang baris 𝑈.

Karena 𝑈 dan 𝐴 ekivalen baris, maka menurut Teorema 2.2.4.3 matriks

memiliki ruang baris yang sama sehingga rank dari 𝐴 adalah 2.

2.3 Ortogonalitas

2.3.1 Ruang Hasil Kali Dalam

Definisi 2.3.1.1

Hasil kali dalam pada ruang vektor riil 𝑉 adalah fungsi yang

mengasosiasikan bilangan riil 𝐱, 𝐲 dengan vektor 𝐱 dan 𝐲 pada 𝑉,

sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut terpenuhi untuk semua

𝐱, 𝐲, 𝐳 di 𝑉 dan semua skalar 𝛼, 𝛽 di ℝ:

(i) 𝐱, 𝐱 ≥ 0; dan 𝐱, 𝐱 = 0 jika dan hanya jika 𝐱 = 0.

(ii) 𝐱, 𝐲 = 𝐲, 𝐱 untuk setiap 𝐱 dan 𝐲 di dalam 𝑉.

(iii) 𝛼𝐱 + 𝛽𝐲 , 𝐳 = 𝛼 𝐱, 𝐳 + 𝛽 𝐲, 𝐳 untuk setiap 𝐱, 𝐲, 𝐳 di dalam 𝑉

dan setiap skalar 𝛼, 𝛽.

Sebuah ruang vektor 𝑉 yang dilengkapi dengan sebuah hasil kali

dalam disebut ruang hasil kali dalam. Salah satu contoh dari ruang hasil

kali dalam adalah ruang vektor ℝ𝑛 , dimana hasil kali dalam baku untuk

ℝ𝑛 dihitung sebagai hasil kali skalar

𝐱, 𝐲 = 𝐱𝑇𝐲.


23

Definisi 2.3.1.2

Dua vektor 𝐱 dan 𝐲 dikatakan ortogonal jika 𝐱, 𝐲 = 0, yang dinotasikan

sebagai 𝐱 ⊥ 𝐲.

Definisi 2.3.1.3

Sebuah ruang vektor 𝑉 dikatakan ruang linier bernorma jika untuk setiap

vektor 𝐯 ∈ 𝑉 dikaitkan dengan sebuah bilangan riil 𝐯 yang disebut norma

dari 𝐯 yang memenuhi:

(i) 𝐯 ≥ 0.

(ii) 𝐯 = 0 jika dan hanya jika 𝐯 = 𝟎.

(iii) 𝛼𝐯 = 𝜶 v untuk setiap 𝛼 ∈ ℝ.

(iv) 𝐯 + 𝐰 ≤ 𝐯 + 𝐰 untuk setiap 𝐯 dan 𝐰 di 𝑉.

Teorema 2.3.1.4

Jika 𝑉 sebuah ruang hasil kali dalam, maka

𝐯 = 𝐯, 𝐯 untuk setiap 𝐯 ∈ 𝑉

mendefinisikan sebuah norma pada 𝑉.

Bukti:

(i) Karena nilai dari 𝐯 = 𝐯, 𝐯 ≥ 0, berarti nilai terkecil yang

mungkin hanyalah 𝐯 = 𝟎.


24

(ii) Jika 𝐯 = 𝟎, maka 𝐯 2 = 𝐯, 𝐯 = 𝟎, 𝟎 = 0. Jadi 𝐯 = 0.

Kemudian jika 𝐯 = 𝐯, 𝐯 = 𝟎, 𝟎 = 0, berarti haruslah 𝐯 = 𝟎.

(iii) 𝛼𝐯 2 = 𝛼𝐯, 𝛼𝐯 = 𝛼2 𝐯, 𝐯 = 𝛼 𝐯 2. Jadi, 𝛼𝐯 = 𝛼 𝐯 .

(iv) 𝐮 + 𝐯 2 = 𝐮 + 𝐯, 𝐮 + 𝐯

= 𝐮, 𝐮 + 2 𝐮, 𝐯 + 𝐯, 𝐯

≤ 𝐮 2 + 2 𝐮 𝐯 + 𝐯 2 (ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

= 𝐮 + 𝐯 2

Jadi, 𝐮 + 𝐯 ≤ 𝐮 + 𝐯

Kemudian dapat didefinisikan beberapa norma yang berbeda pada

ruang vektor yang diberikan. Seperti, di ℝ𝑛 kita dapat mendefinisikan

𝐱 2 = 𝑥𝑖 2

𝑛

𝑖=1

1

2

= 𝐱, 𝐱 = 𝐱𝑇𝐱

disebut sebagai norma-2 vektor. Selain itu, norma lainnya yang penting

pada ℝ𝑛 adalah

𝐱 ∞ = max1≤𝑖≤𝑛

𝑥𝑖


25

Bukti:

(i) Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑥𝑖 ≥ 0 sehingga max1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖 . Akibatnya,

max1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖 = 𝐱 ∞ ≥ 0.

(ii) Jika 𝐱 ∞ = 0, maka max1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖 = 0. Karena maksimal dari

𝑥𝑖 = 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 berarti 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0, akibatnya

𝐱 =

00⋮0

sehingga 𝐱 = 𝟎. Oleh karena itu 𝐱 haruslah suatu vektor nol.

Jika 𝐱 = 𝟎, berarti 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0. Akibatnya

max1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖 = 0 sehingga 𝐱 ∞ = 0.

(iii) 𝛼𝐱 ∞ = max1≤𝑖≤𝑛 𝛼𝑥𝑖 = 𝛼 max1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖 = 𝛼 𝐱 ∞ .

(iv) 𝐱 + 𝐲 ∞ = max1≤𝑖≤𝑛 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖

≤ max1≤𝑖≤𝑛

𝑥𝑖 + max1≤𝑖≤𝑛

𝑦𝑖

≤ 𝐱 ∞ + 𝐲 ∞ .

Berdasarkan bukti di atas 𝐱 ∞ memenuhi definisi sebagai norma, maka

𝐱 ∞ disebut sebagai norma-∞ vektor.


26

Contoh 2.3.1.5

Misalkan 𝐱 adalah vektor 4, −5,3 𝑇 di ℝ3. Hitunglah 𝐱 2 dan 𝐱 ∞ .

𝐱 2 = 16 + 25 + 9 = 50 = 5 2.

𝐱 ∞ = max 4 , −5 , 3 = 5.

Teorema 2.3.1.6 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

Jika 𝐮 dan 𝐯 adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam

𝑉, maka

𝐮, 𝐯 ≤ 𝐮 𝐯

Bukti:

Jika 𝐯 = 𝟎 maka 𝐮, 𝐯 = 𝐮 𝐯 = 0, sehingga ketaksamaan berlaku.

Jika 𝐯 ≠ 𝟎, untuk setiap bilangan 𝑡 ∈ ℝ nilai

𝑡𝐮 + 𝐯 𝑡𝐮 + 𝐯 ≥ 0

𝐮, 𝐮 𝑡2 + 2 𝐮, 𝐯 𝑡 + 𝐯, 𝐯 ≥ 0

merupakan fungsi kuadrat dalam 𝑡 sehingga haruslah 𝑡 ≥ 0. Ini berarti

fungsi kuadrat tersebut tidak mempunyai akar berbeda. Oleh karena ini,

diskriminannya tidak mungkin positif, sehingga

4 𝐮, 𝐯 2 − 4 𝐮, 𝐮 𝐯, 𝐯 ≤ 0

atau

4 𝐮, 𝐯 2 ≤ 4 𝐮, 𝐮 𝐯, 𝐯

𝐮, 𝐯 2 ≤ 𝐮, 𝐮 𝐯, 𝐯


27

𝐮, 𝐯 2 ≤ 𝐮 2 𝐯 2

dengan mengambil akar dari kedua ruas diperoleh

𝐮, 𝐯 ≤ 𝐮 𝐯 .

2.3.2 Ruang Bagian Ortogonal

Vektor 𝐱 dan himpunan 𝑌 = 𝐲1, 𝐲2, . . , 𝐲𝑛 adalah ortogonal jika

terdapat 𝐱 ∈ 𝑋 dan untuk setiap 𝐲 ∈ 𝑌 berlaku 𝐱, 𝐲 = 0. Dan apabila 𝐱

dan 𝑌 ortogonal, dinotasikan sebagai 𝐱 ⊥ 𝑌.

Definisi 2.3.2.1

Dua ruang bagian 𝑋 dan 𝑌 dari ℝ𝑛 dikatakan ortogonal jika 𝐱, 𝐲 = 0

untuk setiap 𝐱 ∈ 𝑋 dan setiap 𝐲 ∈ 𝑌, dan apabila 𝑋 dan 𝑌 ortogonal ditulis

𝑋 ⊥ 𝑌.

Misalkan 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dan misalkan 𝐱 ∈ 𝑁(𝐴). Karena

𝐴𝐱 = 𝟎 sehingga

𝑎𝑖1𝑥1 + 𝑎𝑖2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝑥𝑛 = 0

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚. Persamaan tersebut menunjukkan bahwa 𝐱 ortogonal

pada setiap vektor kolom dari 𝐴𝑇 , maka 𝐱 ortogonal ke setiap kombinasi

linier dari vektor-vektor kolom 𝐴𝑇 . Sehingga jika 𝐲 adalah vektor kolom

dalam ruang vektor 𝐴𝑇 , maka 𝐱𝑇𝐲 = 0. Jadi setiap vektor di dalam 𝑁 𝐴


28

ortogonal terhadap setiap vektor di dalam ruang kolom 𝐴𝑇 , yang ditulis

sebagai 𝑁 𝐴 ⊥ 𝑅 𝐴𝑇 . Jika dua ruang bagian memiliki sifat ini, maka

dapat dikatakan bahwa ruang bagian tersebut adalah ortogonal.

Definisi 2.3.2.2

Misalkan 𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯𝑛 adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil

kali dalam 𝑉. Jika semua pasangan vektor 𝐯𝑖 , 𝐯𝑗 = 0, dimana 𝑖 ≠ 𝑗, maka

𝐯1, 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 disebut sebagai himpunan ortogonal.

Definisi 2.3.2.3

Misalkan 𝑌 adalah ruang bagian dari ℝ𝑛 . Himpunan semua vektor-vektor

di dalam ℝ𝑛 yang ortogonal pada setiap vektor di 𝑌 akan dinotasikan

dengan 𝑌⊥,

𝑌⊥ = 𝐱 ∈ ℝ𝑛 𝐱, 𝐲 = 0 untuk setiap 𝐲 ∈ 𝑌 .

Himpunan 𝑌⊥ disebut komplemen ortogonal dari 𝑌.

2.3.2.4 Ruang-Ruang Bagian Pokok (Fundamental Subspaces)

Telah dijelaskan bahwa 𝑅 𝐴𝑇 ⊥ 𝑁 𝐴 , selanjutnya akan diperlihatkan

bahwa 𝑁 𝐴 sebenarnya merupakan komplemen ortogonal dari 𝑅 𝐴𝑇 .


29

Teorema 2.3.2.5

Jika 𝐴 adalah sebuah matriks 𝑚 × 𝑛, maka 𝑁 𝐴 = 𝑅 𝐴𝑇 ⊥ dan 𝑁 𝐴𝑇 =

𝑅 𝐴 ⊥.

Bukti:

Diketahui bahwa 𝑁 𝐴 ⊥ 𝑅 𝐴𝑇 , sehingga 𝑁 𝐴 ⊂ 𝑅 𝐴𝑇 ⊥. Ambil

sebarang vektor 𝐱 di 𝑅 𝐴𝑇 ⊥. Berdasarkan definisi komplemen ortogonal

maka 𝐱 ortogonal pada setiap vektor kolom dari 𝐴𝑇 , akibatnya 𝐴𝐱 = 𝟎.

Padahal 𝑁 𝐴 = 𝐱 ∈ ℝ𝑛 𝐴𝐱 = 𝟎 .

Jadi 𝐱 haruslah menjadi sebuah elemen dari 𝑁 𝐴 , yaitu 𝑁 𝐴 = 𝑅 𝐴𝑇 ⊥.

Secara khusus, hasil ini juga berlaku untuk matriks 𝐵 = 𝐴𝑇 . Jadi

𝑁 𝐴𝑇 = 𝑁 𝐵 = 𝑅 𝐵𝑇 ⊥ = 𝑅 𝐴 ⊥.

2.3.3 Masalah Kuadrat Terkecil

Masalah kuadrat terkecil pada umumnya dapat dirumuskan sebagai

sebuah sistem kelebihan persamaan linier, yaitu sistem yang memiliki

lebih banyak persamaan daripada peubah. Sistem yang seperti ini biasanya

tidak mempunyai penyelesaian. Misalkan diberikan sebuah sistem 𝑚 × 𝑛

yaitu 𝐴𝐱 = 𝐛 dengan 𝑚 > 𝑛, kemudian penyelesaian dari sistem tersebut

adalah mencari sebuah vektor 𝐱 ∈ ℝ𝑛 sehingga 𝐴𝐱 sama dengan 𝐛. Berarti

vektor 𝐱 yang didapat untuk 𝐴𝐱 harus sedekat mungkin dengan 𝐛.

Diberikan sistem 𝐴𝐱 = 𝐛. Untuk setiap 𝐱 ∈ ℝ𝑛 dapat dihitung sebuah

selisih antara 𝐛 dan 𝐴𝐱 sebagai


30

𝑟 𝐱 = 𝐛 − 𝐴𝐱

dan jarak antara 𝐛 dan 𝐴𝐱 diberikan sebagai

𝐛 − 𝐴𝐱 = 𝑟 𝐱 .

Untuk mendapatkan vektor 𝐱 ∈ ℝ𝑛 yang terbaik dalam mendekati 𝐛, maka

harus dicari nilai 𝑟 𝐱 yang paling minimum. Sebuah vektor 𝐱 yang

memenuhi ini disebut sebagai penyelesaian kuadrat terkecil untuk sistem

𝐴𝐱 = 𝐛.

Teorema 2.3.3.1

Jika 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 yang memiliki rank 𝑛, maka persamaan

normal

𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐴𝑇𝐛

mempunyai sebuah penyelesaian tunggal

𝐱′ = 𝐴𝑇𝐴 −1𝐛

dimana 𝐱′ adalah penyelesaian kuadrat terkecil yang tunggal dari sistem

𝐴𝐱 = 𝐛.

Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa 𝐴𝑇𝐴 adalah taksingular. Misalkan 𝐳 adalah

penyelesaian untuk 𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝟎, berarti 𝐴𝐳 ∈ 𝑁 𝐴𝑇 . Sehingga

𝑎1𝑗𝑧1 + 𝑎2𝑗 𝑧2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝑧𝑛 = 0

menunjukkan bahwa 𝐳 ortogonal pada setiap vektor kolom dari 𝐴, maka 𝐳

ortogonal ke setiap kombinasi linier dari vektor-vektor kolom 𝐴.


31

Akibatnya 𝑁 𝐴𝑇 ortogonal terhadap 𝑅(𝐴), maka 𝐴𝐳 ∈ 𝑅 𝐴 = 𝑁 𝐴𝑇 ⊥.

Karena 𝑁 𝐴𝑇 dan 𝑁 𝐴𝑇 ⊥ adalah ruang bagian yang ortogonal, berarti

𝐴𝐳 ∈ 𝑁 𝐴𝑇 ∩ 𝑁 𝐴𝑇 ⊥ dan 𝑁 𝐴𝑇 ⊥ 𝑁 𝐴𝑇 ⊥, maka 𝐴𝐳 𝑇𝐴𝐳 = 0

sehingga 𝐴𝐳 = 𝟎. Jika 𝐴 mempunyai rank 𝑛 maka vektor-vektor kolom

dari 𝐴 adalah bebas linear, sehingga 𝐴𝐱 = 𝟎 akan mempunyai

penyelesaian trivial. Jadi 𝐳 = 𝟎 dan 𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝟎 juga mempunyai

penyelesaian trivial. Berdasarkan Teorema 2.1.1, 𝐴𝑇𝐴 adalah taksingular.

Ini mengakibatkan bahwa 𝐱′ = 𝐴𝑇𝐴 −1𝐴𝑇𝐛 adalah penyelesaian tunggal

untuk persamaan 𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐴𝑇𝐛, sehingga 𝐱′ merupakan penyelesaian

kuadrat terkecil yang tunggal untuk sistem

𝐴𝐱 = 𝐛.

2.3.4 Himpunan Ortonormal

Definisi 2.3.4.1

Himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 disebut

sebagai himpunan ortonormal.

Himpunan 𝐮1, 𝐮2, … , 𝐮𝑛 akan menjadi ortonormal jika dan hanya

jika

𝐮𝑖 , 𝐮𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 ,

dimana𝛿𝑖𝑗 = 1 jika 𝑖 = 𝑗0 jika 𝑖 ≠ 𝑗

.


32

Untuk membentuk sebuah himpunan ortonormal dari himpunan ortogonal

vektor-vektor taknol 𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯𝑛 dapat dilakukan dengan

mendefinisikan

𝐮𝑖 = 1

𝐯𝑖 𝐯𝑖 =

1

𝐯𝑖 . 𝐯𝑖 = 1 untuk 𝑖 = 1,2, …𝑛

Proses pengalian vektor 𝐯𝑖 taknol ini dengan kebalikan panjangnya untuk

mendapatkan vektor yang normanya 1 dinamakan menormalisasikan 𝐯𝑖 .

Definisi 2.3.4.2

Suatu basis yang anggota-anggotanya saling ortogonal dan masing-masing

memiliki norma 1 disebut basis ortonormal.

Definisi 2.3.4.3

Matriks 𝑍 yang berukuran 𝑛 × 𝑛 disebut sebagai matriks ortogonal, jika

vektor-vektor kolom dari 𝑍 membentuk sebuah himpunan ortonormal di

dalam ℝ𝑛 .

2.3.4.4 Sifat-sifat Matriks Ortogonal

Jika 𝑍 adalah matriks ortogonal 𝑛 × 𝑛, maka

(i) 𝑍𝑇𝑍 = 𝐼

(ii) 𝑍𝑇 = 𝑍−1

(iii) 𝑍𝐱, 𝑍𝐲 = 𝐱, 𝐲

(iv) 𝑍𝐱 2 = 𝐱 2


33

Bukti:

(i) Berdasarkan definisi 2.3.4.1, sebuah matriks 𝑍 yang berukuran 𝑛 × 𝑛

adalah ortogonal jika dan hanya jika vektor-vektor kolom dari 𝑍

membentuk sebuah himpunan ortonormal, yaitu

𝐳𝑖 , 𝐳𝑗 = 𝐳𝑖𝑇𝐳𝑗 = 𝛿𝑖𝑗

dimana 𝛿𝑖𝑗 = 1 jika 𝑖 = 𝑗0 jika 𝑖 ≠ 𝑗

.

Dan dari perhitungan 𝐳𝑖 , 𝐳𝑗 akan menghasilkan nilai-nilai untuk

entri 𝑖, 𝑗 , ( 𝑖 = 1,2, . . 𝑛 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛) dari 𝑍𝑇𝑍 sehingga

𝑍𝑇𝑍 =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 1

= 𝐼 .

(ii) Berdasarkan sifat (i) 𝑍𝑇𝑍 = 𝐼 maka 𝑍𝑇 = 𝐼𝑍−1, sehingga 𝑍𝑇 = 𝑍−1.

(iii) 𝑍𝐱, 𝑍𝐲 = 𝑍𝐱 𝑇𝑍𝐲 = 𝐱𝑇𝑍𝑇𝑍𝐲 = 𝐱𝑇𝐼 𝐲 = 𝐱𝑇𝐲 = 𝐱, 𝐲 .

(iv) 𝑍𝐱 2 = 𝑍𝐱, 𝑍𝐱 = 𝑍𝐱 𝑇𝑍𝐱 = 𝐱𝑇𝑍𝑇𝑍𝐱 = 𝐱𝑇𝐼 𝐱

= 𝐱𝑇𝐱 = 𝐱, 𝐱 = 𝐱 2.


34

2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Apabila sebuah matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 dan sebuah vektor 𝐱 ∈ ℝ𝑛 ,

maka biasanya tidak ada hubungan geometris di antara vektor 𝐱 dan vektor

𝐴𝐱 (Gambar 2.1a). Akan tetapi, ada beberapa vektor taknol 𝐱, sehingga 𝐱

dan 𝐴𝐱 merupakan kelipatan satu sama lainnya (Gambar 2.1b). Vektor-

vektor tersebut muncul secara alami dalam telaah getaran, sistem elektris,

genetik, reaksi kimia, mekanika kuanturm, tekanan mekanis, ekonomi dan

geometris. Pada bagian ini akan ditunjukkan bagaimana mencari vektor-

vektor ini.

(a) (b)

Gambar 2.1. Hubungan geometris di antara 𝐱 dan 𝐴𝐱

Definisi 2.4.1

Misalkan 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛. Skalar 𝜆 disebut sebagai nilai

eigen dari 𝐴, jika terdapat vektor tak nol 𝐱 sehingga 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱. Vektor 𝐱

disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆.

Ax x

Ax

x


35

Contoh 2.4.2

Diberikan matriks 𝐴 = 3 08 −1

, maka 𝐱 = 12 merupakan vektor eigen

dari matriks 𝐴. Sebab 𝐴𝐱 merupakan kelipatan dari 𝐱, yaitu

𝐴𝐱 = 3 08 −1

12 =

36 = 3

12 = 3𝐱

Dari persamaan ini terlihat bahwa 𝜆 = 3 merupakan nilai eigen dari

matriks 𝐴.

Untuk dapat mencari nilai eigen dari matriks persegi 𝐴, perlu

diperhatikan kembali definisi nilai eigen dan vektor eigen, bahwa bentuk

𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 dapat ditulis sebagai

𝐴𝐱 = 𝜆𝐼𝐱

𝐴𝐱 − 𝜆𝐼𝐱 = 𝟎

𝐴 − 𝜆𝐼 𝐱 = 𝟎,

dimana 𝐼 adalah matriks identitas yang mempunyai bentuk

𝐼 =

1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 00 0 1 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 0 1

.

Agar 𝜆 menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian tak nol dari

persamaan 𝐴 − 𝜆𝐼 𝐱 = 𝟎. Sehingga persamaan tersebut akan mempunyai

penyelesaian tak nol jika dan hanya jika

det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0.

Jika det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0 diuraikan, akan didapatkan suatu polinomial

berderajat ke-𝑛 dalam peubah 𝜆,


36

𝑝 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 .

Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan 𝑝 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼

tersebut disebut sebagai persamaan karakteristik dari matriks 𝐴.

Contoh 2.4.3

Carilah nilai-nilai eigen dari matriks

𝐴 = 1 14 1

Penyelesaian:

Polinomial karakteristik dari matriks 𝐴 adalah

det 𝐴 − 𝜆𝐼 = det 1 14 1

− 𝜆 00 𝜆

= det 1 − 𝜆 1

4 1 − 𝜆

= 1 − 𝜆 2 − 4.

Dan persamaan karakteristik dari matriks 𝐴 adalah

𝜆2 − 2𝜆 − 3 = 0,

dengan memfaktorkan 𝜆2 − 2𝜆 − 3 = 0, diperoleh

𝜆 − 3 𝜆 + 1 = 0

sehingga penyelesaian dari persamaan ini adalah 𝜆1 = 3 dan 𝜆2 = −1.

Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks 𝐴 tersebut adalah 𝜆1 = 3 dan 𝜆2 = −1.

2.5 Dekomposisi Nilai Singular (Singular Value Decomposition)

Dekomposisi nilai singular merupakan suatu teknik pemfaktoran

matriks yang berkaitan erat dengan nilai singular dari sebuah matriks yang

merupakan karakteristik dari matriks tersebut.


37

Teorema 2.5.1

Misalkan 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dan 𝑝 = min 𝑚, 𝑛 . Maka terdapat

basis ortonormal 𝐮1, 𝐮2, … , 𝐮𝑚 untuk ℝ𝑚 , 𝐯1, 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 untuk ℝ𝑛 dan

skalar-skalar 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑝 > 0, sehingga 𝐴 mempunyai suatu

dekomposisi nilai singular, 𝐴 = 𝑈Λ𝑉𝑇 ,

dengan Λ adalah matriks 𝑚 × 𝑛 yang berbentuk

Λ =

σ1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ σ𝑛

0 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 0

jika 𝑚 > 𝑛 = 𝑝, atau

Λ = σ1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ σ𝑚

0 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 0

jika 𝑝 = 𝑚 < 𝑛,

atau

Λ =

σ1 0 0 00 σ2 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 σ𝑝

jika 𝑚 = 𝑛 = 𝑝,

𝑈 = 𝐮1, 𝐮2 , … , 𝐮𝑚 adalah matriks ortogonal 𝑚 × 𝑚, dan

𝑉 = 𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯𝑛 adalah matriks ortogonal 𝑛 × 𝑛 dan Λ merupakan

matriks diagonal yang entrinya nilai-nilai singular.

Bukti:

𝐴𝑇𝐴 adalah matriks simetris berukuran 𝑛 × 𝑛, yaitu matriks persegi yang

elemen-elemennya simetri terhadap diagonal utama. Misalkan 𝜆 adalah

nilai eigen dari 𝐴𝑇𝐴 dan 𝐱 adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆.


38

Dengan menggunakan Teorema 2.3.1.4, 𝐱 2 = 𝐱𝑇𝐱 2

= 𝐱𝑇𝐱

𝐴𝐱 2 = 𝐴𝐱 𝑇𝐴𝐱 = 𝐱𝑇𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐱𝑇𝜆𝐱

karena 𝜆 merupakan suatu skalar, berlaku

𝐴𝐱 2 = 𝐱𝑇𝜆𝐱 = 𝜆𝐱𝑇𝐱 = 𝜆 𝐱 2

akibatnya

𝜆 = 𝐴𝐱 2

𝐱 2≥ 0.

Asumsikan bahwa kolom-kolom dari 𝑉 tersusun terurut sehingga

nilai-nilai eigen yang bersesuaian memenuhi

𝜆1 ≥ 𝜆2 ≥ ⋯ ≥ 𝜆𝑛 ≥ 0.

dan nilai-nilai singular dari matriks 𝐴 diberikan oleh

𝜎𝑗 = 𝜆𝑗 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.

Misalkan 𝑝 merupakan rank dari 𝐴. Karena matriks 𝐴𝑇𝐴 simetris maka

ranknya ditentukan dari banyaknya nilai eigen taknol dari 𝐴𝑇𝐴. Jadi

𝜆1 ≥ 𝜆2 ≥ ⋯ ≥ 𝜆𝑝 > 0 dan 𝜆𝑝+1 = 𝜆𝑝+2 = ⋯ = 𝜆𝑛 = 0

sehingga matriks 𝐴𝑇𝐴 juga mempunyai rank 𝑝. Dan hubungan yang sama

juga berlaku bagi nilai-nilai singularnya

𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑝 > 0 dan 𝜎𝑝+1 = 𝜎𝑝+2 = ⋯ = 𝜎𝑛 = 0

Sekarang, misalkan 𝑉1 = 𝐯1, 𝐯2, … , 𝐯𝑝 dan 𝑉2 = 𝐯𝑝+1, 𝐯𝑝+2, … , 𝐯𝑛

dan

Λ1 =

σ1 0 0 00 σ2 0 00 0 ⋱ 00 0 0 σ𝑝


39

Jadi Λ1 adalah matriks diagonal 𝑝 × 𝑝 yang entri-entri diagonalnya adalah

nilai-nilai singular taknol σ1, … , σ𝑝 . Selanjutnya matriks Λ 𝑚 × 𝑛 dapat

dinyatakan oleh

Λ = Λ1 𝑂𝑂 𝑂

.

Vektor-vektor dari 𝑉2 adalah vektor-vektor eigen dari 𝐴𝑇𝐴 untuk 𝜆 = 0,

sehingga

𝐴𝑇𝐴𝐯𝑗 = 𝟎, 𝑗 = 𝑝 + 1, … , 𝑛

dan akibatnya, vektor-vektor kolom dari 𝑉2 membentuk basis ortonormal

untuk 𝑁 𝐴𝑇𝐴 = 𝑁 𝐴 . Dengan demikian,

𝐴𝑉2 = 𝑂

dan karena 𝑉 adalah matriks ortogonal, maka

𝐼 = 𝑉𝑉𝑇 = 𝑉1𝑉1𝑇 + 𝑉2𝑉2

𝑇

𝐴 = 𝐴𝐼 = 𝐴𝑉1𝑉1𝑇 + 𝐴𝑉2𝑉2

𝑇 = 𝐴𝑉1𝑉1𝑇 . 2.1

Kemudian akan dibuktikan bahwa matriks ortogonal 𝑈 berorde 𝑚 × 𝑚

memenuhi

𝐴 = 𝑈Λ𝑉𝑇 ↔ 𝐴𝑉 = 𝑈Λ 2.2

dan dengan membandingkan 𝑝 kolom-kolom pertama dari setiap ruas dari

2.2 , diperoleh

𝐴𝐯𝑗 = 𝜎𝑗𝐮𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑝

sehingga

𝐮𝑗 =1

𝜎𝑗𝐴𝐯𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑝 2.3


40

akibatnya

𝑈1 = 𝐮1, … , 𝐮𝑝

dan berdasarkan hal itu, maka

𝐴𝑉1 = 𝑈1Λ1. 2.4

Vektor-vektor kolom dari 𝑈1 akan membentuk suatu himpunan ortonormal

karena

𝐮𝑖𝑇𝐮𝑗 =

1

𝜎𝑖𝐯𝑖

𝑇𝐴𝑇 1

𝜎𝑗𝐴𝐯𝑗 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝

=1

𝜎𝑖𝜎𝑗𝐯𝑖

𝑇 𝐴𝑇𝐴𝐯𝑗

=1


𝑇 𝜎𝑗𝐮𝑗 𝐯𝑗𝑇𝜎𝑗𝐯𝑗𝐮𝑗

𝑇 𝐯𝑗

=1


𝑇 𝜎𝑗2𝐮𝑗 𝐯𝑗

𝑇𝐯𝑗𝐮𝑗𝑇 𝐯𝑗

=𝜎𝑗

2


𝑇 𝐮𝑗𝐯𝑗𝑇𝐯𝑗𝐮𝑗

𝑇 𝐯𝑗

=𝜎𝑗

𝜎𝑖𝐯𝑖

𝑇𝐯𝑗 = 𝛿𝑖𝑗

Dari persamaan 2.3 maka setiap 𝐮𝑗 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝 berada dalam ruang

kolom 𝐴 dan dimensi dari ruang kolom tersebut adalah 𝑝, sehingga

𝐮1, … , 𝐮𝑝 membentuk basis ortonormal untuk 𝑅 𝐴 . Berarti ruang vektor

𝑅 𝐴𝑇 = 𝑁 𝐴 ⊥ mempunyai dimensi 𝑚 − 𝑝. Misalkan 𝐮𝑝+1, … , 𝐮𝑚

adalah basis ortonormal untuk 𝑁 𝐴𝑇 dan

𝑈2 = 𝐮𝑝+1, … , 𝐮𝑚

𝑈 = 𝑈1𝑈2


41

Karena 𝐮1, … , 𝐮𝑝 dan 𝐮𝑝+1, … , 𝐮𝑚 membentuk basis ortonormal,

berarti kita dapat menuliskan 𝐮1, … , 𝐮𝑝 , 𝐮𝑝+1, … , 𝐮𝑚 sebagai kombinasi

linear

𝑐1𝐮1 + ⋯ + 𝑐𝑝𝐮𝑝 + 𝑐𝑝+1𝐮𝑝+1 + ⋯ + 𝑐𝑚𝐮𝑚 = 0

sehingga 𝐮1 , … , 𝐮𝑚 akan membentuk basis ortonormal untuk ℝ𝑚 .

Akibatnya 𝑈 adalah matriks ortogonal, dan dari persamaan 2.1 dan 2.4

diperoleh

𝑈Λ𝑉𝑇 = 𝑈1𝑈2 = Λ1 𝑂𝑂 𝑂

𝑉1

𝑇

𝑉2𝑇

= 𝑈Λ1𝑉1𝑇

= 𝐴𝑉1𝑉1𝑇 = 𝐴.

Contoh 2.5.2

Tentukan dekomposisi nilai singular dari matriks

𝐴 = 1 11 10 0

Penyelesaian:

Langkah 1: akan dihitung

𝐴𝑇𝐴 = 1 1 01 1 0

1 11 11 0

= 2 22 2

.

Langkah 2: mencari nilai-nilai eigen dan nila-nilai singular dari 𝐴𝑇𝐴.

Dengan menerapkan persamaan karakteristik,


42

𝑝 𝜆 = det 2 − 𝜆 2

2 2 − 𝜆 = 2 − 𝜆 2 − 4 = 4 − 4𝜆 + 𝜆2 − 4 = 0

𝜆2 − 4𝜆 = 𝜆 𝜆 − 4 = 0

didapatkan nilai-nilai eigen 𝜆1 = 4 dan 𝜆2 = 0. Akibatnya nilai-nilai

singular dari 𝐴, adalah 𝜎1 = 𝜆1 = 2 dan 𝜎2 = 𝜆2 = 0.

Langkah 3:mencari vektor-vektor eigen dari 𝐴𝑇𝐴 dan kemudiaan

membentuk matriks 𝑉.

Dari nilai-nilai eigen yang telah diperoleh, dapat dicari vektor eigen yang

bersesuaian dengan 𝜆.

Untuk 𝜆1 = 4,

dengan mensubstitusikan nilai 𝜆1 ke 𝐴 − 𝜆𝐼, diperoleh

𝐴 − 4𝐼 = 2 − 4 2

2 2 − 4 =

−2 22 −2

.

Kemudian agar mendapatkan vektor eigen dari 𝜆1, harus dihitung bahwa

𝐴 − 𝜆1𝐼 𝐱 = 𝟎,

−2 22 −2

𝑥𝟏

𝑥2 =

00

dan bentuk matriks diperbesar sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai

−2 22 −2

00 .

kemudian dengan menggunakan eliminasi Gauss diperoleh

−2 22 −2

00

−1

2 𝑅1

1 −12 −2

00

−2 𝑅1+𝑅2

1 −10 0

00 .


43

Dari bentuk eselon baris didapat bahwa 𝑥𝟏 − 𝑥2 = 0 atau 𝑥𝟏 = 𝑥2,

sehingga

𝐱 = 𝑥𝟏

𝑥2 =

𝑥2

𝑥2 = 𝑥2

11

Jadi, vektor-vektor eigen dari 𝜆1 mempunyai bentuk 𝑥2 11 , 𝑥2 ∈ ℝ.

Dengan proses normalisasi dapat dibentuk 𝐯1 sebagai

𝐯1 =𝐱

𝐱 =

𝑥𝟏

𝑥2

𝑥𝟏 𝑥2 𝑥𝟏

𝑥2

12

=

11

2=

1

2

11 =

1

21

2

=

2

2

2

2

Untuk 𝜆2 = 0,

dengan mensubstitusikan nilai 𝜆2 ke 𝐴 − 𝜆𝐼, diperoleh

𝐴 − 0𝐼 = 2 − 0 2

2 2 − 0 =

2 22 2

.

Kemudian agar mendapatkan vektor eigen dari 𝜆2, harus dihitung bahwa

𝐴 − 𝜆2𝐼 𝐱 = 𝟎,

2 22 2

𝑥𝟏

𝑥2 =

00

dan bentuk matriks diperbesar sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai

2 22 2

00

kemudian dengan menggunakan proses eliminasi Gauss diperoleh

2 22 2

00

1

2 𝑅1

1 12 2

00

𝑅2+ −2 𝑅1

1 10 0

00 .


44

Dari bentuk eselon baris didapat bahwa 𝑥𝟏 + 𝑥2 = 0 atau 𝑥𝟐 = −𝑥𝟏,

sehingga

𝐱 = 𝑥𝟏

𝑥2 =

𝑥1

−𝑥1 = 𝑥1

1−1

Jadi, vektor-vektor eigen dari 𝜆2 mempunyai bentuk 𝑥1 1

−1 , 𝑥1 ∈ ℝ.

Dengan proses normalisasi dapat dibentuk 𝐯2 sebagai

𝐯2 =𝐱

𝐱 =

𝑥𝟏

𝑥2

𝑥𝟏 𝑥2 𝑥𝟏

𝑥2

12

=

1−1

2=

1

2

1−1

=

1

2

−1

2

=

2

2

− 2

2

.

Dari vektor 𝐯1 dan 𝐯2 yang diperoleh dapat dibentuk matriks

𝑉 = 𝐯1, 𝐯2 =

2

2

2

2

2

2

− 2

2

Langkah 4: menentukan ruang baris dari 𝐴

𝐴 = 1 11 10 0

Dengan mereduksi 𝐴 menjadi bentuk eselon baris, maka didapatkan

matriks


45

𝑆 = 1 10 00 0

sehingga 1,1 membentuk basis untuk ruang baris dari 𝑆. Karena 𝑆 dan 𝐴

ekivalen baris, maka matriks memiliki ruang baris yang sama sehingga

rank dari 𝐴 adalah 1.

Langkah 5: menentukan matriks 𝑈

Dari langkah 4, diketahui bahwa matriks 𝐴 mempunyai rank 1 sehingga

dapat dibentuk basis ortonormal untuk 𝑅 𝐴 . Dengan menggunakan

persamaan 2.3 , diperoleh

𝐮1 =1

𝜎1𝐴𝐯1 =

1

2

1 11 10 0

2

2

2

2

=1

2 2

20

=

2

2

2

20

.

Untuk mencari vektor-vektor kolom yang lain, maka harus dibentuk suatu

basis ortonormal untuk 𝑁 𝐴𝑇 . Karena itu perlu ditunjukkan bahwa

vektor-vektor kolom dari

𝐴𝑇 = 1 1 01 1 0

,

membentuk basis untuk 𝑁 𝐴𝑇 , sehingga

1 1 01 1 0

00

−1 𝑅1+𝑅2

1 1 00 0 0

00 .

Bentuk eselon baris tersebut melibatkan dua peubah bebas 𝑥1 dan 𝑥3

𝑥2 = −𝑥1 − 0𝑥3 ,


46

misalkan 𝑥1 = 𝛼 dan 𝑥3 = 𝛽, maka

𝐱 =

𝑥1

𝑥2

𝑥3

= 1

−𝛼 − 01

𝛽 = 𝛼 1

−10

+ 𝛽 001 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ

Sehingga diperoleh basis dari 𝑁 𝐴𝑇 adalah 𝐱2 = 1, −1,0 𝑇 dan 𝐱3 =

0,0,1 𝑇, dan vektor 𝐱2 dan 𝐱3 saling ortogonal. Selanjutnya akan

dilakukan proses normalisasi sehingga

𝐮2 =𝐱2

𝐱2 =

1

−10

2=

1

2

1−10

= 2

2

1−10

=

2

2

− 2

20

𝐮3 = 001

Akibatnya,

𝑈 = 𝐮1, 𝐮2, 𝐮3 =

2

2

2

20

2

2−

2

20

0 0 1

.

Berdasarkan hasil yang diperoleh bahwa 𝑈 = 𝐮1, 𝐮2, 𝐮3 dan

𝑉 = 𝐯1, 𝐯2 , maka didapat 𝑚 = 3 > 𝑛 = 2 dan 𝑝 = min 3,2 = 2.

Kemudian dapat dibentuk matriks diagonal Λ dengan entrinya adalah nilai-

nilai singular yang diperoleh pada langkah 2,


47

Λ = 2 00 00 0

.

Dari hasil 𝑈, Λ, dan 𝑉 dapat dibentuk dekomposisi nilai singular dari

matriks 𝐴 sebagai 𝐴 = 𝑈Λ𝑉𝑇 ,dengan

𝑈 =

2

2

2

20

2

2−

2

20

0 0 1

; Λ = 2 00 00 0

; dan𝑉𝑇 =

2

2

2

2

2

2

− 2

2

,

𝐴 = 𝑈Λ𝑉𝑇 =

2

2

2

20

2

2−

2

20

0 0 1

2 00 00 0

2

2

2

2

2

2

− 2

2

.

Apabila 𝐴 adalah matriks yang ortogonal, maka invers dari 𝐴 dapat

dihitung sebagai 𝐴−1 = 𝑉Λ−1𝑈𝑇,

dengan Λ−1 =

1

σ10 0 0

01

σ20 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 01

σ𝑛

.

Contoh 2.5.3

Diberikan matriks 𝐴 = 2 2

−1 1 , carilah dekomposisi nilai singular untuk

𝐴−1 untuk matriks 𝐴.


48

Penyelesaian:

Dari matriks 𝐴𝑇𝐴 = 2 −12 1

2 2

−1 1 =

5 33 5

diperoleh nilai eigen

𝜆1 = 8 dan 𝜆2 = 2. Dengan nilai eigen tersebut dapat dihasilkan vektor-

vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆1 dan 𝜆2 sebagai

𝑣1 =

−1

2

−1

2

dan 𝑣2 =

−1

21

2

.

Selain itu, diperoleh juga nilai singular dari matriks 𝐴 sebagai 𝜎1 = 2 2

dan 𝜎2 = 2. Akibatnya,

𝐮1 =1

𝜎1𝐴𝑣1 =

1

2 2

2 2−1 1

−1

2

−1

2

= −10

𝐮2 =1

𝜎2𝐴𝑣2 =

1

2

2 2−1 1

−1

21

2

= 01

Jadi, SVD dari matriks 𝐴 adalah

𝐴 = 𝑈Λ𝑉𝑇 = −1 00 1

2 2 0

0 2

−1

2−

1

2

−1

2

1

2

.


49

Dengan SVD matriks 𝐴 dapat ditentukan invers matriks 𝐴 sebagai

𝐴−1 = 𝑉Λ−1𝑈𝑇 =

−1

2−

1

2

−1

2

1

2

1

2 20

01

2

−1 00 1

=

1

4−

1

21

4

1

2

.

2.6 Norma Matriks dan Bilangan Kondisi

Dalam menyelesaikan masalah sistem linier, akurasi dari penyelesaian

menjadi sesuatu yang perlu diperhatikan. Sebab, semakin akurat

penyelesaian yang didapat maka semakin kecil pula galat yang terjadi.

Keakuratan penyelesaian sangat bergantung pada seberapa sensitif matriks

koefisien dari sistem terhadap adanya perubahan kecil yang terjadi.

Sensitifitas dari matriks dapat diukur dengan bilangan kondisi (condition

number) matriks tersebut. Bilangan kondisi suatu matriks taksingular

didefinisikan dari sudut pandang norma matriks dan norma inversnya.

Sebelum membahas bilangan kondisi, perlu dipelajari tipe-tipe dari norma-

norma matriks.

2.6.1 Norma Matriks

Berdasarkan penjelasan dalam subbab sebelumnya, kita telah

membahas mengenai perhitungan norma pada ruang vektor di ℝ𝑛 .


50

Selanjutnya pada subbab ini akan dijelaskan perhitungan norma pada

ruang vektor di 𝑀𝑚×𝑛 . Suatu fungsi . : 𝑀𝑚×𝑛 → ℝ disebut norma

matriks, jika untuk sebarang 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 dan 𝛼 ∈ ℝ, memenuhi:

(i) 𝐴 ≥ 0

(ii) 𝐴 = 0 jika dan hanya jika 𝐴 = 𝟎

(iii) 𝛼𝐴 = 𝛼 𝐴

(iv) 𝐴 + 𝐵 ≤ 𝐴 + 𝐵

Teorema 2.6.1.1

Andaikan . adalah norma vektor pada ℝ𝑛 , maka

𝐴 = max 𝐱 =1

𝐴𝐱

adalah norma matriks.

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa

𝐴 = max 𝐱 =1

𝐴𝐱

memenuhi definisi norma.

(i) Untuk setiap 𝐱 = 1,

𝐴𝐱 ≥ 0

max 𝐱 =1

𝐴𝐱 ≥ 0

akibatnya,


51

max 𝐱 =1

𝐴𝐱 = 𝐴 ≥ 0

(ii) Jika 𝐴 = 0, maka max 𝐱 =1 𝐴𝐱 = 0. Berarti 𝐴𝐱 = 𝟎 untuk setiap

𝐱 ∈ ℝ𝑛 , dan

𝐞𝑗 =

00⋮1

sehingga 𝐴𝐞𝑗 = 𝟎 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Oleh karena itu 𝐴 haruslah

suatu matriks nol.

Jika 𝐴 = 𝟎 dan 𝐱 ∈ ℝ𝑛 , maka 𝐴𝐱 = 𝟎. Berarti max 𝐱 =1 𝐴𝐱 = 0

sehingga 𝐴 = 0.

(iii) 𝛼𝐴 = max 𝐱 =1

𝛼 𝐴𝐱 = 𝛼 max 𝐱 =1

𝐴𝐱 = 𝛼 𝐴

(iv) 𝐴 + 𝐵 = max 𝐱 =1

𝐴 + 𝐵 𝐱

≤ max 𝐱 =1

𝐴𝐱 + 𝐵𝐱

≤ max 𝐱 =1

𝐴𝐱 + max 𝐱 =1

𝐵𝐱

≤ 𝐴 + 𝐵

Akibat 2.6.1.2

Untuk setiap 𝐳 ≠ 0, 𝐱 dapat ditulis sebagai vektor tak nol

𝐱 =𝐳

𝐳

sehingga


52

𝐴 = max 𝐱 =1

𝐴𝐱 = max𝐳≠0

𝐴. 𝐳

𝐳 = max

𝐳≠0 𝐴𝐳

𝐳 = max

𝐳≠0

𝐴𝐳

𝐳 .

Akibat 2.6.1.3

Untuk setiap matriks 𝐴 dan 𝐳 ≠ 𝟎, maka terdapat norma natural . ,

sehingga

𝐴𝐳 ≤ 𝐴 𝐳

Bukti:

𝐴𝐳 ≤ max 𝐳 =1

𝐴𝐳 . 𝐳 = 𝐴 . 𝐳 .

Dengan mengganti definisi norma vektor pada Teorema 2.6.1.1 dapat

diturunkan beberapa norma matriks. Apabila norma vektor . yang

digunakan dalam definisi adalah norma vektor . ∞ , maka

𝐴 ∞ = max 𝐱 ∞ =1

𝐴𝐱 ∞ .

disebut sebagai norma-∞ matriks. Sedangkan, jika digunakan norma

vektor . 2 , maka

𝐴 2 = max 𝐱 2=1

𝐴𝐱 2.

disebut sebagai norma-2 matriks.


53

Teorema 2.6.1.4

Jika 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dengan 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 , maka

𝐴 ∞ = max1≤𝑖≤𝑚

𝑎𝑖𝑗

𝑛

𝑗 =1

.

Bukti:

i Akan ditunjukkan bahwa

𝐴 ∞ ≤ max1≤𝑖≤𝑚

𝑎𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

Misalkan 𝐱 adalah matriks berukuran 𝑛 × 1, dengan 𝐱 ∞ =

max1≤𝑖≤𝑚 𝑥𝑖 = 1.

Diberikan matriks 𝐴𝐱 berukuran 𝑚 × 𝑛, sehingga

𝐴𝐱 ∞ = max1≤𝑖≤𝑚

𝐴𝐱 𝑖 = max1≤𝑖≤𝑚

𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗

𝑛

𝑗 =1

≤ max1≤𝑖≤𝑚

𝑎𝑖𝑗

𝑛

𝑗 =1

max1≤𝑗≤𝑛

𝑥𝑗 .

Karena max1≤𝑗≤𝑚 𝑥𝑗 = 𝐱 ∞ = 1, maka

𝐴𝐱 ∞ ≤ max1≤𝑖≤𝑚

𝑎𝑖𝑗

𝑛

𝑗 =1

dan akibatnya,

𝐴 ∞ = max 𝐱 ∞ =1

𝐴𝐱 ∞ ≤ max1≤𝑖≤𝑚

𝑎𝑖𝑗

𝑛

𝑗 =1

.


54

(ii) Sekarang akan ditunjukkan bahwa

𝐴 ∞ ≥ max1≤𝑖≤𝑚

𝑎𝑖𝑗

𝑛

𝑗 =1

.

Misalkan 𝑝 adalah suatu bilangan bulat dengan

𝑎𝑝𝑗

𝑛

𝑗=1

= max1≤𝑖≤𝑚

𝑎𝑖𝑗

𝑛

𝑗 =1

dan vektor 𝐱, dengan koordinat

𝑥𝑗 = 1 jika 𝑎𝑝𝑗 ≥ 0

−1 jika 𝑎𝑝𝑗 < 0

Diberikan 𝐱 ∞ = 1 dan 𝑎𝑝𝑗 𝑥𝑗 = 𝑎𝑝𝑗 , untuk setiap 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.

Sehingga

𝐴𝐱 ∞ = max1≤𝑖≤𝑚

𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗

𝑛

𝑗 =1

≥ 𝑎𝑝𝑗 𝑥𝑗

𝑛

𝑗 =1

= 𝑎𝑝𝑗

𝑛

𝑗 =1

= max1≤𝑖≤𝑚

𝑎𝑖𝑗

𝑛

𝑗 =1

maka,

𝐴 ∞ = max 𝐱 ∞ =1

𝐴𝐱 ∞ ≥ max1≤𝑖≤𝑚

𝑎𝑖𝑗

𝑛

𝑗 =1

.

Berdasar (i) dan (ii) diperoleh

𝐴 ∞ = max1≤𝑖≤𝑚

𝑎𝑖𝑗

𝑛

𝑗 =1

.


55

Teorema 2.6.1.5

Jika 𝐴 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 dengan dekomposisi nilai singular 𝑈Λ𝑉𝑇,

maka

𝐴 2 = 𝜎1

dimana, 𝜎1 adalah nilai singular terbesar dari matriks 𝐴.

Bukti:

Karena 𝑈 dan 𝑉 adalah ortogonal,

𝐴 2 = 𝑈Λ𝑉𝑇 2 = Λ 2 (sifat matriks ortogonal (iv))

Λ 2 = max𝐱=1

Λ𝐱 2

𝐱 2

= max𝐱=1

𝜎12𝑥1

2 + 𝜎22𝑥2

2 + ⋯ + 𝜎𝑛2𝑥𝑛

2

𝑥12 + 𝑥2

2 + ⋯ +𝑥𝑛2

≤ max𝐱=1

𝜎12𝑥1

2 + 𝜎12𝑥2

2 + ⋯ + 𝜎12𝑥𝑛

2

𝑥12 + 𝑥2

2 + ⋯ +𝑥𝑛2

≤ max𝐱=1

𝜎12 𝑥1

2 + 𝑥22 + ⋯ +𝑥𝑛

2

𝑥12 + 𝑥2

2 + ⋯ +𝑥𝑛2

= max𝐱=1

𝜎1

𝑥12 + 𝑥2

2 + ⋯ +𝑥𝑛2

𝑥12 + 𝑥2

2 + ⋯ +𝑥𝑛2

≤ 𝜎1.

Jika dipilih 𝐱 = 𝐞1, maka

Λ𝐱 2

𝐱 2= 𝜎1


56

sehingga

𝐴 2 = Λ 2 = 𝜎1.

Contoh 2.6.1.6

Hitunglah 𝐴 ∞ dan 𝐴 2 dari matriks

𝐴 = 1 1

−1 2

Penyelesaian:

1. Untuk dapat menghitung 𝐴 ∞ maka diperlukan menghitung nilai

maksimum yang ada pada setiap baris dari matriks 𝐴, sehingga

𝑎1𝑗 = 1 + 1 = 2

3

𝑗 =1

𝑎2𝑗 = −1 + 2 =

3

𝑗 =1

3

Jadi, 𝐴 ∞ = max 2,3 = 3.

2. Untuk menghitung 𝐴 2 maka diperlukan mencari nilai-nilai eigen

dari matriks 𝐴𝑇𝐴 kemudian menentukan nilai singularnya.

𝐴𝑇𝐴 = 1 −11 2

1 1

−1 2 =

2 −1−1 5

𝑝 𝜆 = det 2 − 𝜆 −1−1 5 − 𝜆

= 2 − 𝜆 5 − 𝜆 − 1 = 0

= 10 − 2𝜆 − 5𝜆 + 𝜆2 − 1 = 𝜆2 − 7𝜆 + 9 = 0.


57

Untuk mencari nilai eigennya digunakan

𝜆1,2 =7 ± 49 − 4.1.9

2=

7 ± 13

2

sehingga

𝜆1 =7

2+

13

2dan 𝜆2 =

7

2−

13

2,

dari hasil tersebut diperoleh

𝜎1 = 𝜆1 = 2,3028 dan 𝜎2 = 𝜆2 = 1,3028.

Berdasarkan nilai singular yang diperoleh, maka

𝐴 2 = 𝜎1 = 2,3028.

2.6.2 Bilangan Kondisi

Norma matriks dapat digunakan untuk memperkirakan sensitivitas

sistem linier terhadap perubahan yang terjadi pada matriks koefisiennya.

Definisi 2.6.2.1

Suatu matriks 𝐴 disebut berkondisi buruk (ill-condition) apabila perubahan

yang relatif kecil dalam entri-entri menyebabkan perubahan yang relatif

besar pada penyelesaian 𝐴𝐱 = 𝐛. Sedangkan, matriks 𝐴 dikatakan


58

berkondisi baik (well-condition) jika perubahan yang relatif kecil dalam

entri-entri mengakibatkan perubahan yang relatif kecil dalam penyelesaian

𝐴𝐱 = 𝐛.

Jika matriks 𝐴 adalah matriks berkondisi buruk, maka perhitungan

terhadap 𝐴𝐱 = 𝐛 memberikan hasil penyelesaian yang kurang begitu

akurat. Hal ini disebabkan karena galat-galat kecil yang terjadi dalam

proses perhitungan memberikan efek yang sangat drastis terhadap hasil

penyelesaian sehingga menyebabkan galat yang sangat besar. Sebaliknya,

apabila matriks tersebut berkondisi baik maka akan didapat perhitungan

yang memberikan hasil penyelesaian akurat untuk meyelesaikan sistem

𝐴𝐱 = 𝐛. Secara umum, akurasi dari penyelesaian bergantung pada kondisi

matriks yang bersangkutan.

Misalkan 𝐴 adalah matriks taksingular 𝑛 × 𝑛 yang memenuhi sistem

𝐴𝐱 = 𝐛. Jika 𝐱 adalah penyelesaian eksak terhadap sistem 𝐴𝐱 = 𝐛 dan 𝐱′

adalah penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksak dari sistem

𝐴𝐱 = 𝐛, maka selisih di antara 𝐱 dan 𝐱′ menghasilkan galat perhitungan

yang ditulis sebagai

𝐞 = 𝐱 − 𝐱′ .

Untuk menguji keakuratan dari 𝐱′ dilakukan dengan cara mensubstitusikan

kembali 𝐱′ ke dalam sistem 𝐴𝐱 = 𝐛 sehingga diperoleh 𝐴𝐱′ = 𝐛′ .

Kemudian akan dihitung selisih dari 𝐛′ dengan 𝐛 sehingga diperoleh

𝐫 = 𝐛 − 𝐛′ = 𝐛 − 𝐴𝐱′ ,


59

dimana vektor r ini adalah vektor sisa. Dengan menggunakan norma .

diperoleh 𝐛−𝐴𝐱′

𝐛 =

𝐫

𝐛 , dimana

𝐫

𝐛 disebut sebagai sisa relatif. Sisa relatif

memberikan nilai perkiraan dari galat relatif, dan nilai perkiraan tersebut

bergantung pada kondisi matriks 𝐴. Secara umum, jika matriks 𝐴

berkondisi buruk maka sisa relatif akan lebih kecil dari galat relatifnya.

Sebaliknya, untuk matriks berkondisi baik maka sisa relatif dan galat

relatif akan saling berdekatan.

Karena

𝐫 = 𝐛 − 𝐴𝐱′ = 𝐴𝐱 − 𝐴𝐱′ = 𝐴𝐞

dan 𝐴 adalah matrik taksingular 𝑛 × 𝑛, maka 𝐞 = 𝐴−1𝐫, sehingga dengan

menggunakan Akibat 2.6.1.3 diperoleh

𝐞 ≤ 𝐴−1 𝐫 2.5

dan

𝐫 = 𝐴𝐞 ≤ 𝐴 𝐞 2.6

dari ketaksamaan 2.5 dan 2.6 diperoleh

𝐫

𝐴 ≤ 𝐞 ≤ 𝐴−1 𝐫 2.7

Karena nilai 𝐱 merupakan penyelesaian eksak terhadap 𝐴𝐱 = 𝐛, dan 𝐴

adalah matrik taksingular maka 𝐱 = 𝐴−1𝐛. Sehingga dengan menggunakan

ketaksamaan 2.7 , didapatkan

𝐛

𝐴 ≤ 𝐱 ≤ 𝐴−1 𝐛 2.8


60

Dari ketaksamaan 2.7 dan 2.8 diperoleh

1

𝐴 𝐴−1

𝐫

𝐛 ≤

𝐞

𝐱 ≤ 𝐴 𝐴−1

𝐫

𝐛

Bilangan 𝐴 𝐴−1 disebut sebagai bilangan kondisi dari matriks 𝐴 yang

diberikan dengan lambang cond(𝐴), sehingga

1

cond(𝐴)

𝐫

𝐛 ≤

𝐞

𝐱 ≤ cond 𝐴

𝐫

𝐛 2.9

Ketaksamaan 2.9 tersebut menunjukkan hubungan galat relatif 𝐞

𝐱

terhadap sisa relatif 𝐫

𝐛 , bahwa semakin bilangan kondisi mendekati nilai 1,

maka galat relatif dan sisa relatif akan berdekatan. Namun jika bilangan

kondisi besar, maka galat relatif akan beberapa kali lebih besar dari sisa

relatif.

Bilangan kondisi dari 𝐴 sesungguhnya memberikan informasi penting

mengenai kondisi matriks 𝐴. Misalkan 𝐴′ adalah matriks baru yang

dibentuk dengan mengganti sejumlah kecil entri-entri dari 𝐴. Maka, kita

dapat membentuk matriks 𝐸 = 𝐴′ − 𝐴 sehingga 𝐴′ = 𝐴 + 𝐸, dimana entri-

entri dari 𝐸 relatif lebih kecil daripada entri-entri pada 𝐴. Matriks 𝐴 akan

berkondisi buruk jika untuk suatu matriks seperti 𝐸 memberikan pengaruh

buruk pada perhitungan penyelesaian terhadap 𝐴′𝐱′ = 𝐛 dan 𝐴𝐱 = 𝐛. Hal

tersebut mengakibatkan selisih dari kedua hasil penyelesaian tersebut

menjadi sangat besar bedanya. Bilangan kondisi dapat digunakan untuk


61

membandingkan perubahan penyelesaian relatif terhadap 𝐱′ , dengan

perubahan relatif dalam matriks 𝐴.

Dari

𝐱 = 𝐴−1𝐛 = 𝐴−1𝐴′𝐱′ = 𝐴−1 𝐴 + 𝐸 𝐱′ = 𝐴−1𝐴𝐱′ + 𝐴−1𝐸𝐱′

= 𝐱′ + 𝐴−1𝐸𝐱′

diperoleh,

𝐱 − 𝐱′ = 𝐴−1𝐸𝐱′

Dengan menggunakan Akibat 2.6.1.3, maka

𝐱 − 𝐱′ ≤ 𝐴−1 𝐸 𝐱′

atau

𝐱 − 𝐱′

𝐱′ ≤ 𝐴−1 𝐸 2.10

Jika ruas kanan pada ketaksamaan 2.10 dikali 𝐴

𝐴 , diperoleh

𝐱 − 𝐱′

𝐱′ ≤ 𝐴 𝐴−1

𝐸

𝐴 = cond 𝐴

𝐸

𝐴 2.11

Untuk lebih memahami maksud dan perhitungan dari ketaksamaan 2.11

akan digunakan . ∞ . Perhatikan contoh berikut.


62

Contoh 2.6.2.1

Diberikan sistem (a)

2,0000𝑥1 + 2,0000𝑥2 = 6,0000

2,0000𝑥1 + 2,0005𝑥2 = 6,0010

yang mempunyai penyelesaian eksak 𝐱 = 12 . Dan dengan melakukan

sedikit perubahan diperoleh sistem baru, sebagai sistem (b)

2,000𝑥1 + 2,000𝑥2 = 6,000

2,000𝑥1 + 2,001𝑥2 = 6,001

yang memiliki penyelesaian 𝐱′ = 21 . Hitunglah perbandingan perubahan

penyelesaian relatif terhadap 𝐱′dengan perubahan relatif dalam matriks 𝐴.

Penyelesaian:

Dari sistem (a) dan sistem (b) dapat diperoleh matriks koefisien 𝐴 dan 𝐴′ ,

sehingga

𝐴 = 2 22 2,0005

; 𝐴′ = 2 22 2,001

dan

𝐴−1 =1

0,001

2,0005 −2−2 2

= 2000,5 −2000−2000 2000

Kemudian dibentuk matriks 𝐸 = 𝐴′ − 𝐴,

𝐸 = 0 00 0,0005


63

dan galat relatif dalam matriks 𝐴 adalah

𝐸 ∞

𝐴 ∞=

0,0005

4,0005≈ 0,0001

Sedangkan bilangan kondisi dari matriks 𝐴 sebagai

cond∞ 𝐴 = 𝐴 ∞ 𝐴−1 ∞ = 4,0005 4000,5 ≈ 16004.

Dengan menggunakan ketaksamaan 2.10 dapat ditentukan batas dari

galat relatif sebagai

cond∞ 𝐴 𝐸 ∞

𝐴 ∞= 16004 0,0001 = 1,6004

dan galat relatif sesungguhnya bagi sistem adalah

𝐱 − 𝐱′ ∞

𝐱′ ∞=

12 −

21

∞

21

∞

=

−11

∞

21

∞

=1

2

Jadi, perbandingan perubahan penyelesaian relatif terhadap 𝐱′dengan

perubahan relatif dalam matriks 𝐴 adalah

1

2< 1,6004.

Selain menggunakan . ∞ , perhitungan bilangan kondisi dari matriks

𝐴, yang dinotasikan sebagai cond 𝐴 dapat juga dihitung menggunakan

. 2 .


64

Teorema 2.6.2.2

Jika 𝐴 = 𝑈Λ𝑉𝑇 adalah taksingular, maka

cond2 𝐴 =𝜎1

𝜎𝑛.

Bukti:

Karena 𝐴 adalah taksingular berarti 𝐴 memiliki invers, yaitu 𝐴−1 dan nilai-

nilai singular dari 𝐴−1 = 𝑉Λ−1𝑈𝑇 tersusun dalam urutan menurun sebagai

1

𝜎𝑛≥

1

𝜎𝑛−1≥ ⋯ ≥

1

𝜎1.

Akibatnya

𝐴−1 2 =1

𝜎𝑛

sehingga

cond2 𝐴 = 𝐴 2. 𝐴−1 2 = 𝜎1.1

𝜎𝑛=

𝜎1

𝜎𝑛.

Contoh 2.6.2.3

Dengan menggunakan matriks pada contoh 2.6.1.6,

𝐴 = 1 1

−1 2

Hitunglah bilangan kondisi dari 𝐴.


65

Penyelesaian:

Berdasarkan pembahasan pada contoh 2.6.1.6 didapatkan bahwa nilai-

nilai singular dari 𝐴 adalah 𝜎1 = 2,3028 dan 𝜎2 = 1,3028. Dari hasil

tersebut dapat dihitung

cond2 𝐴 =𝜎1

𝜎2=

2,3028

1,3028= 1,768.

B. Kalkulus

Pada subbab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori kalkulus yang

akan digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab-bab berikutnya.

2.7 Big-O

Andaikan 𝐠 adalah fungsi bernilai riil yang didefinisikan pada kitar-𝛿

dengan pusat 𝐱 ∈ ℝ𝑛 , yang ditulis 𝐲 ∈ ℝ𝑛 | 𝐲 − 𝑥 < 𝛿 , dengan 𝐲 ≠ 𝐱.

Misal 𝐡: Ω ↦ ℝ𝑚 adalah fungsi yang didefinisikan dalam suatu domain

(daerah asal) Ω ⊂ ℝ𝑛 yang memuat 𝐲, maka

𝐡 𝐲 = 𝛰(𝐠 𝐲 ), diartikan bahwa

𝐡(𝐲)

𝐠(𝐲)

terbatas. Jadi, terdapat bilangan 𝑀 > 0 dan 𝛿 > 0, sehingga jika

𝐲 − 𝐱 < 𝛿, 𝐲 ∈ Ω berakibat

𝐡(𝐲)

𝐠(𝐲) ≤ 𝑀


66

Contoh 2.7.1

Tunjukkan bahwa ℎ 𝑦 = 𝑦2 + 2𝑦 + 1 adalah 𝛰 𝑦2 .

Penyelesaian:

Akan ditentukan bilangan bulat positif 𝑀 dan 𝛿 sehingga untuk setiap

𝑦 ≥ 𝛿, berlaku

𝑦2 + 2𝑦 + 1 ≤ 𝑀 𝑦𝟐

Ambil 𝑦 > 1, maka didapat

0 ≤ 𝑦2 + 2𝑦 + 1 ≤ 𝑦2 + 2𝑦2 + 𝑦2 = 4 𝑦4

Dengan demikian, dari persamaan di atas diperoleh nilai 𝑀 = 4 dengan

𝛿 = 1.

2.8 Fungsi bernilai vektor

Teorema 2.8.1

Misalkan 𝐴 adalah matriks invertibel dan 𝑓 𝐱 =1

2 𝐴𝐱 − 𝐛 2. Maka,

(i) 𝐱∗ adalah titik minimum untuk 𝑓 jika dan hanya jika 𝐱∗ adalah

penyelesaian persamaan 𝐴𝐱 = 𝐛.

(ii) Persamaan titik kritis pada 𝑓 adalah 𝐴𝑇𝐾𝐱 = 𝐴𝑇𝐛.

(iii) Persamaan titik kritis dari 𝑓 ekuivalen dengan persamaan 𝐴𝐱 = 𝐛.


67

Bukti :

(i) ← Andaikan 𝐱∗ memenuhi 𝐴𝐱∗ = 𝐛, sehingga 𝑓 𝐱∗ =

1

2 𝐴𝐱∗ − 𝐛 2 =

1

2 0 2 = 0. Padahal 𝑓 𝐱∗ ≥ 0, sehingga 𝐱∗ titik

minimum dari 𝑓. Karena 𝐱∗ memenuhi 𝐴𝐱∗ = 𝐛 maka didapat

𝐱∗ = 𝐴−1𝐛, akibatnya 𝐱∗ adalah satu-satunya titik minimum dari 𝑓.

→ Andaikan 𝐱∗ titik minimum dari 𝑓 sehingga 𝑓 𝐱∗ = 0.

Berarti 𝑓 𝐱∗ =1

2 𝐴𝐱∗ − 𝐛 2 = 0, akibatnya 𝐴𝐱∗ − 𝐛 = 0

sehingga 𝐴𝐱∗ = 𝐛. Hal ini menunjukkan bahwa 𝐱∗ satu-satunya

penyelesaian yang memenuhi 𝐴𝐱∗ = 𝐛.

(ii) Turunan 𝑓 di 𝐱, pada arah 𝐡, diberikan oleh

𝑑𝑓𝑥 𝐡 = lim𝜖→0

𝑓 𝐱 + 𝜖𝐡 − 𝑓(𝐱)

𝜖

= lim𝜖→0

1

2𝜖 𝐴 𝐱 + 𝜖𝐡 − 𝐛 2 − 𝐴𝐱 − 𝐛 2

dengan aturan hasil kali dalam 𝐱 2 = 𝐱, 𝐱 , didapat


1

2𝜖 𝐴 𝐱 + 𝜖𝐡 − 𝐛, 𝐴 𝐱 + 𝜖𝐡 − 𝐛 − 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝐴𝐱 − 𝐛

= lim𝜖→0

1

2𝜖 𝐴𝐱 + 𝜖𝐴𝐡 − 𝐛, 𝐴𝐱 + 𝜖𝐴𝐡 − 𝐛 − 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝐴𝐱 − 𝐛

= lim𝜖→0

1

2𝜖 𝐴𝐱 − 𝐛 + 𝜖𝐾𝐡, 𝐴𝐱 − 𝐛 + 𝜖𝐴𝐡 − 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝐴𝐱 − 𝐛


68

= lim𝜖→0

1

2𝜖 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝐴𝐱 − 𝐛 + 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝜖𝐴𝐡 + 𝜖𝐴𝐡, 𝐴𝐱 − 𝐛

− 𝐾𝐱 − 𝐲, 𝐾𝐱 − 𝐲

dengan aturan 𝐱, 𝐲 = 𝐲, 𝐱 dan 𝐱, 𝛽𝐲 = 𝛽 𝐱, 𝐲 menjadi


1

2𝜖 2𝜖 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝐴𝐡 = 𝐴𝐱 − 𝐲, 𝐴𝐡

kemudian dengan aturan hasil kali dalam 𝒙, 𝐲 = 𝐱𝑇𝐲, diperoleh

𝑑𝑓𝑥 𝐡 = 𝐴𝐱 − 𝐲, 𝐴𝐡 = 𝐴𝐱 − 𝐛 𝑇𝐴𝐡 = 𝐴𝐱 − 𝐛 𝑇𝑎 𝐡

= 𝐴𝑇 𝐴𝐱 − 𝐛 , 𝐡 .

Sehingga 𝑑𝑓𝑥 𝐡 untuk setiap 𝐡 ∈ ℝ𝑛 ,

∇𝑓 𝐱 = 𝐴𝑇 𝐴𝐱 − 𝐛 .

dimana ∇𝑓 𝐱 adalah vektor gradien dari 𝑓.

Kemudian agar mendapatkan persamaan titik kritisnya maka nilai dari

∇𝑓 𝐱 = 0, sehingga

𝐴𝑇𝐾𝐱 = 𝐴𝑇𝐛. 2.12

Persamaan 2.12 yang diperoleh ini sebelumnya dikenal sebagai

persamaan normal.


69

(iii) Diketahui bahwa 𝐴 adalah matriks invertibel jika dan hanya jika

transposenya, yaitu 𝐴𝑇 juga invertibel dan 𝐴𝑇 −1 = 𝐴−1 𝑇.

Kemudian dengan mengalikan kedua sisi pada persamaan 2.12

dengan 𝐴𝑇 −1, diperoleh

𝐴𝑇 −1𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐴𝑇 −1𝐴𝑇𝐛

𝐼𝐴𝐱 = 𝐼𝐛, maka 𝐴𝐱 = 𝐛.


70

BAB III

INVERSE PROBLEM

A. Prinsip Dasar Inverse Problem

Dalam matematika, terdapat dua cara untuk meyelesaikan

permasalahan, yaitu metode penyelesaian langsung dan metode

penyelesaian tidak langsung. Metode penyelesaian langsung adalah cara

penyelesaian dengan mengoperasikan input dalam sistem kemudian

diperoleh output. Metode penyelesaian tidak langsung adalah cara

penyelesaian dengan menduga input, berdasar informasi sistem dan output

yang diberikan. Pada kesempatan ini, penulis akan membahas mengenai

metode penyelesaian secara tidak langsung.

Metode penyelesaian tidak langsung pada prinsipnya untuk menduga

input berdasar dua informasi penting, yaitu sistem dan output. Menduga

input berarti menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan invers

dari permasalahan, sehingga metode penyelesaian ini dinamakan sebagai

Inverse Problem. Agar dapat lebih memahami metode invers problem,

perhatikan gambar berikut.

Gambar 3.1. Prosedur metode Inverse Problem

Inverse Problem

Input Sistem

Output


71

Dalam melakukan perhitungan untuk mendapatkan penyelesaian

berupa input terkadang tidak mudah. Terlebih, apabila sistem yang ada

pada masalah sulit untuk diselesaikan, sehingga tidaklah mungkin

menyelesaikannya secara manual. Karena alasan tersebut, maka

digunakanlah perhitungan dengan komputer. Sebab, komputer dapat

membantu menyelesaikan perhitungan secara lebih akurat dan cepat. Ada

beberapa faktor yang dapat mempengaruhi keakuratan penyelesaian.

Pertama, sistem yang kurang stabil. Kedua, algoritma yang digunakan

untuk menyelesaikan masalah invers tersebut. Dengan mengetahui faktor-

faktor tersebut, maka mengontrol penyelesaian agar menghasilkan galat

yang terkecil adalah tujuan dari metode invers problem ini. Karena

semakin kecil galat, maka nilai dari penyelesaian yang didapat akan

semakin mendekati nilai penyelesaian eksaknya.

3.1 Kestabilan Algoritma pada Sistem

Seperti yang telah dijelaskan bahwa ada beberapa faktor yang dapat

mempengaruhi keakuratan penyelesaian, salah satunya mengenai

kestabilan algoritma. Sebuah algoritma dikatakan stabil, apabila perubahan

galat kecil yang terjadi dalam data awal memberikan perubahan galat kecil

pada hasil akhir. Sebaliknya, apabila perubahan galat kecil dalam data

awal menghasilkan perubahan galat yang besar pada hasil akhir, algoritma

dikatakan tidak stabil. Gagasan mengenai kondisi dan kestabilan sistem

penting untuk dipahami. Sebab, hal ini dapat mempengaruhi besarnya


72

galat pada perhitungan untuk mendapatkan input. Karena tidak mungkin

mendapatkan input optimal, apabila sebelumnya belum diketahui

bagaimana kondisi dan kestabilan sistem yang digunakan pada perhitungan

masalah invers.

Dalam melakukan perhitungan terdapat beberapa pilihan algoritma

yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah invers. Dari beberapa

kemungkinan itu harus dipilih algoritma terbaik, yang menghasilkan galat

terkecil pada penyelesaian. Perhatikan contoh berikut

Contoh 3.1.1

Selesaikan sistem

𝑥 + 2𝑦 = 31,001𝑥 + 2𝑦 = 3,001

dan tentukan kestabilan dari sistem tersebut.

Penyelesaian:

Dengan menjumlahkan persamaan pertama dan kedua, diperoleh

𝑥1 + 2𝑥2 = 31,001𝑥1 + 2𝑥2 = 3,001

−0,001𝑥1 + 0 = −0,001

dari −0,001𝑥1 = −0,001, didapat nilai 𝑥1 = 1. Kemudian substitusikan

𝑥1 = 1 ke persamaan 𝑥1 + 2𝑥2 = 3, sehingga didapatkan nilai 𝑦 = 1.

Jadi, penyelesaian dari sistem ini adalah 𝑥1 = 1 dan 𝑥2 = 1.

Algoritma yang

digunakan:

1. Eliminasi nilai 𝑦

2. Substitusikan

nilai 𝑦 ke salah

satu persamaan

3. Tentukan nilai 𝑥


73

Selanjutnya untuk melihat kestabilan sistem, bilangan di ruas kanan

pada persamaan kedua akan diberi perubahan kecil sebesar 𝛿 = 0,002,

sehingga

𝑥1 + 2𝑥2 = 31,001𝑥1 + 2𝑥2 = 3,003

dengan mengurangkan persamaan pertama dan kedua, diperoleh

𝑥1 + 2𝑥2 = 31,001𝑥1 + 2𝑥2 = 3,003

−0,001𝑥1 + 0 = −0,003

dari −0,001𝑥1 = −0,003, didapat nilai 𝑥1 = 3. Kemudian substitusikan

𝑥1 = 3 ke persamaan 𝑥1 + 2𝑥2 = 3, sehingga 2𝑥2 = 3 − 3 = 0 dan

diperoleh nilai 𝑥2 = 0. Jadi, penyelesaian dari sistem setelah dipengaruhi

𝛿 adalah 𝑥1′ = 3 dan 𝑥2

′ = 0.

Dari perhitungan tersebut didapatkan bahwa penyelesaian eksaknya

adalah 𝐱 = 11 dan penyelesaian hampirannya 𝐱′ =

30 . Maka galat dari

perhitungan tersebut ditulis sebagai 𝐞 = 𝐱 − 𝐱′ = −21

dan galat relatif

diberikan oleh

𝐞 ∞ 𝐱 ∞

=2

1= 2.

Selanjutnya akan dihitung vektor sisa sebagai

𝐫 = 𝐛 − 𝐛′ = 3

3,001 −

33,003

= 0

0,002


74

kemudian dengan menggunakan norma-∞ diperoleh sisa relatif sebagai

𝐫 ∞ 𝐛 ∞

= 𝐛 − 𝐛′ ∞

𝐛 ∞=

0,002

3,001≈ 0,000666.

Setelah itu, akan dilihat bagaimana bilangan kondisi dari

𝐴 = 1 2

1,001 2

dan diperoleh bahwa

𝐴−1 = −1

0,002

2 −2−1,001 1

=

−

2

0,002

2

0,0021,001

0,002−

1

0,002

= −1000 1000500,5 500

Dari perhitungan tersebut didapatkan bahwa 𝐴 ∞ = 3,001 dan

𝐴−1 ∞ = 2000, sehingga cond∞ 𝐴 = 𝐴 ∞ . 𝐴−1 ∞ = 6002.

Berdasarkan perhitungan di atas didapat bahwa galat relatif dari

sistem sebesar 2 dan sisa relatif sebesar 0,000666, sehingga galat relatif

besarnya 3003 kali sisa relatifnya. Ini tidak mengherankan, jika diperoleh

cond∞ 𝐴 = 6002. Karena diperoleh nilai cond∞ 𝐴 = 6002, hal

tersebut menunjukkan bahwa kondisi dari matriks 𝐴 adalah buruk.

Sehingga apabila dilakukan perubahan sebesar 𝛿 akan menyebabkan

perubahan besar pada penyelesaian sistem. Akibatnya, algoritma yang

digunakan untuk menyelesaikan sistem tersebut adalah tidak stabil.


75

Masalah kestabilan dalam menentukan penyelesaian sangat perlu

diperhatikan, sebab tidak semua permasalahan mempunyai penyelesaian

eksak. Sehingga untuk menyakinkan keakuratan dari perhitungan yang

dilakukan perlu untuk menunjukkan seberapa akurat penyelesaian yang

didapat tersebut. Agar meyakinkan bahwa penyelesaian yang diperoleh

memang stabil dan akurat untuk dijadikan penyelesaian dari masalah.

Setelah memahami masalah kestabilan algoritma, selanjutnya perlu

dipahami mengenai eksistensi dan ketunggalan suatu penyelesaian ketika

menyelesaikan permasalahan dengan metode inverse problem.

3.2 Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian

Dalam menyelesaikan masalah dengan metode inverse problem

muncul kesulitan ketika menghubungkan informasi yang diperoleh dari

output permasalahan dengan informasi yang sebenarnya dibutuhkan ketika

menentukan penyelesaian. Hal tersebut tentunya cukup rumit dilakukan,

sebab harus diketahui secara pasti bagaimana informasi yang ada pada

output memberikan pengaruh terhadap masalah yang akan diselesaikan.

Perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 3.2.1

Carilah persamaan garis, jika diketahui data 0,3 , 1,6 , 2,9 dan 3,15 .


76

Penyelesaian:

Diasumsikan bahwa data 0,3 , 1,6 , 2,9 dan 3,15 memenuhi

persamaan garis 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, dengan 𝑎 dan 𝑏 adalah konstanta yang

berubah-ubah. Sehingga, didapatkan sistem persamaan dengan variabel

yang tidak diketahui 𝑎 dan 𝑏,

0𝑎 + 𝑏 = 3𝑎 + 𝑏 = 6

2𝑎 + 𝑏 = 93𝑎 + 𝑏 = 15

Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis sebagai 𝐴𝐱 = 𝐛, dengan

𝐱 = 𝑎𝑏 , 𝐴 =

0 11 12 13 1

, 𝐛 =

369

15

sehingga didapat 𝐴𝐱 = 𝐛,

0 11 12 13 1

𝑎𝑏 =

369

15

.

Kemudian dari persamaan tersebut diperoleh persamaan normal

𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐴𝑇𝐛 sebagai

0 1 2 31 1 1 1

0 11 12 13 1

𝑎𝑏 =

0 1 2 31 1 1 1

369

15

14 66 4

𝑎𝑏 =

6933


77

Dari persamaan normal di atas didapat matriks 𝐱 = 𝐴𝑇𝐴 −𝟏𝐴𝑇𝐛, sebagai

𝑎𝑏 =

1

20

4 −6−6 14

6933

𝑎𝑏 =

78

2048

20

Sehingga, diperoleh nilai 𝑎 =78

20=

39

10= 3,9 dan 𝑏 =

48

20=

24

10= 2,4. Jadi,

persamaan garis yang digunakan untuk menghampiri data

0,3 , 1,6 , 2,9 dan 3,15 adalah 𝑦 = 3,9𝑥 + 2,4. Dengan

menggunakan persamaan 𝑦 = 3,9𝑥 + 2,4 dapat diperoleh nilai 𝐛 baru

yang ditulis sebagai 𝐛′ = 3,9

0123

+ 2,4

1111

=

2,46,3

10,214,1

.

Untuk menguji keakuratan persamaan 𝑦 = 3,9𝑥 + 2,4 dalam

menghampiri data 0,3 , 1,6 , 2,9 dan 3,15 . Akan ditunjukkan

dengan menghitung besar galat relatif yang terjadi antara 𝐛 dan 𝐛′ ,

sehingga

𝐛 − 𝐛′ =

369

15

−

2,46,3

10,214,1

=

0,6−0,3−1,20,9

dan 𝐛 =

369

15

diperoleh sisa relatif sebagai

𝐛 − 𝐛′ ∞ 𝐛 ∞

=1,2

15= 0,08.


78

Berdasarkan hasil di atas persamaan 𝑦 = 3,9𝑥 + 2,4 mempunyai sisa

relatif pada perhitungan sebesar 0,08, sehingga persamaan tersebut

merupakan persamaan yang akurat untuk digunakan sebagai penyelesaian.

Ketika menyelesaikan suatu sistem persamaan terkadang mendapatkan

sistem yang tidak memiliki penyelesaian. Hal ini menyebabkan eksistensi

dan ketunggalan dari penyelesaian menjadi tidak terpenuhi. Untuk itu

masalah yang akan diselesaikan perlu dimodifikasi ulang, sehingga dapat

ditentukan suatu nilai yang memberikan penyelesaian dari masalah.

Contoh 3.2.2

Diberikan sistem

𝑥1 + 𝑥2 = 1𝑥1 − 𝑥2 = 3

−𝑥1 − 2𝑥2 = −2

Carilah 𝑥1 dan 𝑥2 yang menyelesaikan persamaan tersebut.

Penyelesaian:

Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis sebagai 𝐴𝐱 = 𝐛, dengan

𝐱 = 𝑥1

𝑥2 , 𝐴 =

1 11 −1

−1 −2 , 𝐛 =

13

−2


1 11 −1

−1 −2

𝑥1

𝑥2 =

13

−2 .


79

Sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai matriks diperbesar

1 11 −1

−1 −2

13

−2

sehingga menggunakan eliminasi Gauss didapatkan

1 11 −1

−1 −2

13

−2 ⟶

1 10 10 0

1

−11

.

Dari baris terakhir dari matriks yang sudah dieliminasi tersebut

menunjukkan bahwa sistem adalah tak konsisten, sehingga menyebabkan

penyelesaian dari sistem menjadi tidak ada. Namun, nilai 𝐛 tersebut dapat

dihampiri dengan suatu 𝐴𝐱 tertentu sehingga galat di antara 𝐛′ dan 𝐛

dapat sekecil mungkin.

Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil akan dicari sebuah

vektor 𝐱, sehingga dapat ditentukan 𝐴𝐱 yang terdekat dengan 𝐛. Metode

kuadrat terkecil ini akan meminimumkan galat dari perhitungan 𝐛 − 𝐛′ .

Untuk menyelesaikan 𝐴𝐱 = 𝐛 dengan metode kuadrat terkecil, maka kita

harus menggunakan persamaan normal 𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐴𝑇𝐛, sehingga diperoleh

1 1 −11 −1 −2

1 11 −1

−1 −2

𝑥1

𝑥2 =

1 1 −11 −1 −2

13

−2

3 −2

−2 6

𝑥1

𝑥2 =

6−6

selanjutnya akan diselesaikan 𝐱 = 𝐴𝑇𝐴 −𝟏𝐴𝑇𝐛, sehingga didapat

penyelesaian tunggal untuk 𝐱, sebagai

𝐱 = 𝑥1

𝑥2 =

1

12

6 22 3

6

−6 =

2−0,5

.


80

Dari 𝐱 yang diperoleh dapat dibentuk

𝐛′ = 𝐴𝐱 = 1 11 −1

−1 −2

2−0,5

= 1,52,5−1

,

maka

𝐛 − 𝐛′ = 13

−2 −

1,52,5−1

= 0,50,51

dan sisa relatif 𝐛′ terhadap 𝐛 sebesar

𝐛 − 𝐛′ ∞ 𝐛 ∞

=1

3≈ 0,333

sehingga selisih antara 𝐛′ terhadap 𝐛 relatif cukup kecil. Berdasarkan

perhitungan di atas diperoleh penyelesaian

𝐱 = 2

−0,5 .

Dalam menyelesaikan suatu sistem terkadang diperoleh lebih dari satu

penyelesaian, bahkan mungkin sampai takhingga banyak penyelesaian.

Tentunya ini menjadikan ketunggalan penyelesaian menjadi tidak

terpenuhi. Untuk itu perlu ditambahkan suatu syarat tambahan agar

membatasi penyelesaian sehingga diperoleh penyelesaian tunggal.

Contoh 3.2.3

Diberikan sistem

𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = −2

−𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 0

𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 8


81

Carilah penyelesaian untuk SPL di atas dan memenuhi 𝐱 = 1 dan

𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3 > 0.

Penyelesaian:

Sistem persamaan linier dapat ditulis sebagai 𝐴𝐱 = 𝐛, dengan

𝐱 =

𝑥1

𝑥2

𝑥3

, 𝐴 = 1 1 3

−1 3 11 2 4

, 𝐛 = −208


1 1 3

−1 3 11 2 4

𝑥1

𝑥2

𝑥3

= −208

.

Sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai matriks diperbesar

1 1 3

−1 3 11 2 4

−208

sehingga menggunakan eliminasi Gauss didapatkan

1 1 3

−1 3 11 2 4

−208

𝑅3+ −1 𝑅1

1 1 3−1 3 10 1 1

−20

10

𝑅2+𝑅1

1 1 30 4 40 1 1

−2−210

1 1 30 4 40 1 1

−2−210

1

4 𝑅2

1 1 30 1 10 1 1

−2

−1

2

10

𝑅3+ −1 𝑅2

1 1 30 1 10 0 0

−2

−1

221

2

1 1 30 1 10 0 0

−2

−1

221

2

𝑅1+ −1 𝑅2

1 0 2

0 1 10 0 0

−3

2

−1

221

2


82

sehingga diperoleh bentuk eselon baris

1 0 2

0 1 10 0 0

−3

2

−1

221

2

.

Dari baris terakhir yang diperoleh terlihat bahwa sistem tidak

konsisten, sehingga menyebabkan penyelesaian dari sistem menjadi tidak

ada. Karena itu, sistem tersebut perlu dimodifikasi menggunakan

persamaan normal 𝐴𝑇𝐴𝐱 = 𝐴𝑇𝐛, sehingga diperoleh

1 −1 11 3 23 1 4

1 1 3

−1 3 11 2 4

𝑥1

𝑥2

𝑥3

= 1 −1 11 3 23 1 4

−208

3 0 60 14 146 14 26

𝑥1

𝑥2

𝑥3

= 6

1426

dan sistem baru tersebut dapat dinyatakan sebagai matriks diperbesar

3 0 60 14 146 14 26

6

1426

.

Dengan menggunakan proses eliminasi Gauss didapatkan

3 0 60 14 146 14 26

6

1426

𝑅3+ −2 𝑅1

3 0 60 14 140 14 14

6

1414

3 0 60 14 140 14 14

6

1414

𝑅3+ −1 𝑅2

3 0 60 14 140 0 0

6

140

3 0 60 14 140 0 0

6

140

1

14 𝑅2dan

1

3 𝑅1

1 0 20 1 10 0 0

210


83

dan diperoleh bentuk eselon baris

1 0 20 1 10 0 0

210 .

Dari bentuk eselon baris tersebut dapat dilihat bahwa sistem konsisten, dan

mempunyai satu peubah bebas. Jika peubah bebas tersebut dipindahkan ke

ruas kanan, akan diperoleh

𝑥1 = 2 − 2𝑥3

𝑥2 = 1 − 𝑥3

Misalkan 𝑥3 = 𝛼, dengan 𝛼 ∈ ℝ

sehingga didapatkan penyelesaian 𝐱 =

𝑥1

𝑥2

𝑥3

= 2 − 2𝛼1 − 𝛼

𝛼 .

Penyelesaian 𝐱 tersebut akan mempunyai takhingga banyak penyelesaian

yang mungkin terjadi untuk menyelesaikan sistem. Namun, kita cukup

memilih sebuah penyelesaian untuk 𝐱, yang memenuhi 𝐱 = 1 dan

𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3 > 0, sehingga

𝐱 = 2 − 2𝛼 2 + 1 − 𝛼 2 + 𝛼 2 = 1

2 − 2𝛼 2 + 1 − 𝛼 2 + 𝛼 2 = 1

4 − 8𝛼 + 4𝛼2 + 1 − 2𝛼 + 𝛼2 + 𝛼2 = 1

6𝛼2 − 10𝛼 + 5 = 1

6𝛼2 − 10𝛼 + 4 = 0


84

Dengan menerapkan rumus

𝛼1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

10 ± −10 2 − 4 6 4

2 6

=10 ± 100 − 96

12

𝛼1,2 =10 ± 4

12=

10 ± 2

12

akan diperoleh

𝛼1 =10 + 2

12=

12

12= 1 ; 𝛼2 =

10 − 2

12=

8

12=

2

3 .

sehingga penyelesaian untuk 𝛼1 = 1 adalah

𝐱 = 2 − 2𝛼1 − 𝛼

𝛼 =

2 − 2 1

1 − 1 1

= 001

dan penyelesaian untuk 𝛼2 = 23

𝐱 = 2 − 2𝛼1 − 𝛼

𝛼 =

2 − 2 2

3

1 − 2

3

23

=

23

13

23

.

Jadi, penyelesaian untuk sistem yang memenuhi 𝐱 = 1 dan 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 > 0

adalah

𝐱 =

23

13

23

Dengan demikian, diperoleh penyelesaian tunggal untuk menyelesaikan

sistem tersebut.


85

Sifat kestabilan, eksistensi dan ketunggalan dari penyelesaian

memberikan gambaran umum mengenai bagaimana metode inverse

problem digunakan dalam menyelesaikan suatu permasalahan.

B. Metode Regularisasi

3.3 Regularisasi

Dalam menyelesaikan inverse problem umumnya akan memunculkan

masalah ill-posed. Hal ini biasanya disebabkan karena adanya galat pada

perhitungan atau kesalahan dalam melakukan pemodelan masalah,

sehingga stabilitas dari penyelesaian menjadi tidak stabil. Kestabilan ini

dapat terlihat ketika sistem diberikan gangguan. Jika gangguan

menyebabkan galat yang besar pada perhitungan penyelesaian maka sistem

tidak stabil. Untuk mengatasi situasi ini maka digunakanlah regularisasi.

Ketika meregularisasi masalah akan didapatkan banyak penyelesaian yang

bersesuaian dengan pemilihan parameter regularisasi. Dari parameter

regularisasi ini akan didapatkan penyelesaian dari masalah regularisasi,

dan dapat diketahui pula besar galat dan faktor perbesaran galat yang

terjadi pada setiap penyelesaian. Setelah itu, akan dipilih penyelesaian

masalah regularisasi yang memiliki galat terkecil. Agar dapat memahami

penjelasan tersebut maka perhatikan contoh berikut.


86

Contoh 3.3.1

Diberikan matriks

𝐴 = 1 0

01

1024

dengan 𝐛 = 1, 2−10 𝑇 dan jelas 𝐱 = 1,1 𝑇 adalah penyelesaian eksak

dari sistem

𝐴𝐱 = 𝐛 3.1 .

Selain dapat menentukan penyelesaian dari suatu sistem, harus juga

ditentukan bagaimana kestabilan dari sistem tersebut. Untuk itu akan

diberikan gangguan di 𝐛 dan melihat faktor perbesaran galat yang terjadi

pada sistem 3.1 . Agar dapat lebih memahami efek yang terjadi, maka

permasalahan ini akan ditinjau melalui dua kasus. Kasus I jika 𝐛 diberikan

gangguan sebesar 𝐩 = 0, 2−10 𝑇 dan kasus II jika 𝐛 diberikan gangguan

sebesar 𝐬 = 2−10 , 0 𝑇 .

Pada kasus I, misalkan 𝐛 diberikan gangguan sebesar 𝐩 = 0, 2−10 𝑇,

sehingga sistem (3.1) akan berubah menjadi

𝐴𝐱 = 𝐛 + 𝐩 = 1

2−10 + 0

2−10 = 12

210

dan didapat penyelesaian 𝐱′ = 𝐴−1 𝐛 + 𝐩 = 12 . Dari hasil 𝐱′ dapat

dihitung selisih absolut penyelesaian 𝐱′ dan 𝐱 sebagai 𝐫 = 𝐱′ − 𝐱 = 12 −

11 =

01 . Setelah mendapatkan 𝐫, kemudian akan dihitung faktor


87

perbesaran galat yang terjadi pada sistem ketika diberikan gangguan

sebesar 𝐩 sebagai

𝐫 2

𝐩 2=

1

2−10= 1024.

Sedangkan pada kasus II, 𝐛 diberikan gangguan sebesar 𝐬 = 2−10 , 0 𝑇 ,

sehingga sistem (3.1) menjadi

𝐴𝐱 = 𝐛 + 𝐬 = 1

2−10 + 2−10

0 =

1025

10242−10

dan didapat penyelesaian 𝐱′ = 𝐴−1 𝐛 + 𝐬 = 1025

1024

1 . Dari hasil 𝐱′ ini

dapat dihitung selisih absolut penyelesaian 𝐱′ dan 𝐱 sebagai 𝐫 = 𝐱′ − 𝐱 =

1025

1024

1 −

11 2−10

0 . Setelah mendapatkan 𝐫, kemudian dihitung faktor

perbesaran galat yang terjadi pada sistem ketika diberikan gangguan

sebesar 𝐬, yaitu

𝐫 2

𝐬 2=

2−10

2−10= 1.

Berdasarkan kasus I dan kasus II terlihat bahwa penyebab selisih yang

sangat besar pada faktor perbesaran galat dalam kasus I dan kasus II

terletak pada perhitungan 𝐴−1. Dari perhitungan yang telah dilakukan

bahwa 𝐴−1 sangat sensitif terhadap perubahan galat yang diberikan,

sehingga menyebabkan ketidakstabilan pada sistem. Hal ini

mengakibatkan penyelesaian yang didapat menjadi tidak akurat. Situasi

seperti ini dapat dihindari dengan meregularisasi bentuk 3.1 menjadi

sistem


88

𝐴𝛼𝐱 = 𝐛𝛼 , 𝛼 > 0. 3.2

Tujuan dari regularisasi ini adalah untuk menekan galat yang terjadi pada

perhitungan 𝐴−1 sehingga sistem menjadi lebih stabil. Bentuk regularisasi

sistem 3.1 diberikan dengan memilih

𝐴𝛼 = 1 00 1

1−𝛼 101

210 dan 𝐛𝛼 = 𝐛, 0 < 𝛼 < 1 3.3

Setelah mendapatkan sistem 3.2 , maka selanjutnya masalah

regularisasi pada 3.2 dapat diselesaikan. Seperti kasus I, pada sistem

3.2 akan diberikan gangguan sebesar 𝐩 = 0, 2−10 𝑇 . Misalkan 𝐱𝛼

adalah penyelesaian sistem 3.2 pada pemilihan 𝐴𝛼 dan 𝐛𝛼 dalam

persamaan 3.3 . Dan ditentukan nilai 𝛼 sebagai 𝛼 =1

2𝑛 , 𝑛 = 1,2, … ,9.

Dari parameter 𝛼 ini, akan dihitung galat dari perhitungan 𝐱𝛼 yang

bersesuaian dengan faktor perbesaran galatnya. Sebagai contoh pilih

𝛼 =1

2 , diperoleh

𝐴12

= 1 00 1

1−12

101

210 =

1 00 1

dan 𝐛12

= 1

2−10 .

Karena sistem tersebut diberikan gangguan sebesar 𝐩 maka sistem menjadi

𝐴12𝐱 = 𝐛1

2+ 𝐩, dengan 𝐛1

2+ 𝐩 =

12−10 +

02−10 =

12

210

,

sehingga

𝐱12

= 𝐴12 −1

. 𝐛12

+ 𝐩 = 1 00 1

. 12

210

= 12

210

.


89

Setelah mendapat 𝐱12 kemudian akan dihitung besar galat yang terjadi pada

penyelesaian masalah regularisasi, galat tersebut dihitung dengan

menghitung norma dari selisih 𝐱12 dan 𝐱 yang dinotasikan sebagai

𝐫 2 = 𝐱12− 𝐱

2=

12

210

− 11

2

= 0

−511

512

2

= 0.998

dan faktor perbesaran galat dihitung sebagai

𝐫 2

𝐩 2=

0.998

2−10= 1022.

Tabel 3.1 di bawah ini merupakan hasil numerik perhitungan galat dan

faktor perbesaran galat yang dihasilkan pada setiap pemilihan parameter

regularisasi 𝛼 dengan gangguan sebesar 𝐩 = 0, 2−10 𝑇.

𝛼 ½ 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512

𝐫 0.998 0.887 0.474 0.049 0.456 0.709 0.849 0.923 0.961

𝐫 𝐩 1022 909 485 50 467 726 869 945 984

Tabel 3.1. Hasil Numerik Faktor Perbesaran Galat

Dari tabel 3.1 terlihat bahwa penyelesaian terbaik dari sistem 3.2 yaitu

saat memilih 𝛼 = 1/16. Karena penyelesaian yang dihasilkan memuat galat

sebesar 0.049 dan mempunyai faktor perbesaran galat sebesar 50.

Pada contoh 3.3.1 telah dijelaskan mengenai bagaimana teknik

regularisasi diterapkan untuk menyelesaikan masalah linier 𝐴𝐱 = 𝐛. Dari

contoh tersebut teknik regularisasi digunakan untuk menekan pembesaran

galat pada perhitungan 𝐴−1 . Berdasarkan Teorema 2.6.2.2 bahwa


90

perhitungan 𝐴−1 akan bergantung pada nilai singular terkecil matriks 𝐴

sehingga

𝐴−1 = 𝜎1 𝐴−1 =

1

𝜎𝑛 𝐴

dimana nilai 𝜎1 𝐴 merupakan nilai singular yang terbesar dari matriks 𝐴,

sedangkan 𝜎𝑛 𝐴 merupakan nilai singular terkecilnya. Sehingga untuk

mencari 𝐴−1 akan dipilih nilai singular terkecil dari 𝐴 dan kemudian

mensubstitusikannya ke 1𝜎𝑛 𝐴 . Hal ini menyebabkan apabila 𝐴

memiliki nilai singular terkecil 𝜎𝑛 𝐴 yang mendekati nol, maka nilai

𝐴−1 akan besar, sehingga penyelesaian menjadi tidak akurat.

Dengan meregularisasi masalah diharapkan akan memperoleh nilai

singular yang dapat membuat perhitungan 𝐴−1 kecil. Untuk itu, bentuk

regularisasi dari matriks 𝐴 akan ditulis sebagai 𝐴𝛼 , dimana 𝐴𝛼 adalah

matriks regularisasi. Sehingga dengan mempertimbangkan ketentuan

tersebut dalam menyelesaikan sistem 3.1 diperoleh masalah regularisasi

sebagai

𝐴𝛼𝐱 = 𝐛, 3.4

dan penyelesaian dari persamaan 3.4 tersebut adalah

𝐱𝛼 = 𝐴𝛼−1𝐛 ∈ ℝ𝑛 . 3.5


91

3.4 Regularisasi Tikhonov

Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai cara meregularisasi masalah

dengan menggunakan metode regularisasi Tikhonov. Metode regularisasi

ini digunakan untuk menyelesaikan masalah sistem 𝐴𝐱 = 𝐛. Penyelesaian

dari sistem adalah mencari 𝐱 sehingga 𝐴𝐱 = 𝐛 dan penyelesian dari sistem

3.1 tersebut dihitung dengan meminimalkan

𝑓 𝐱 = 𝐴𝐱 − 𝐛 2 3.6

Kemudian untuk menghindari perbesaran galat ketika meminimalkan

3.6 maka digunakan regularisasi Tikhonov. Dalam metode Tikhonov

proses regularisasi dilakukan untuk mendapatkan 𝐱𝛼 yang memuat galat

paling minimum. Agar dapat memperoleh hasil tersebut, maka pada

perhitungan 𝐴𝐱 − 𝐛 2 digunakanlah 2. Dan bentuk regulasisasinya

diberikan sebagai masalah fungsional

𝑓𝛼 𝐱 = 𝐴𝐱 − 𝐛 22 + 𝛼2 𝐱 2

2 3.7

dengan 𝛼 > 0 adalah parameter regularisasi. Peran dari 𝛼2 𝐱 22 adalah

untuk menekan galat yang terjadi pada 𝐴𝐱 − 𝐛 22 supaya menjadi lebih

kecil. Sehingga apabila perhitungan 𝛼2 𝐱 22 mendekati nol maka dapat

diperoleh hasil penyelesaian yang optimal.

Untuk mendapatkan penyelesaian 𝐱𝛼 yang minimum maka harus

dihitung turunan untuk 𝑓𝛼 𝐱 sebagai ∇𝑓𝛼 𝐱 = 0.


92

Dari definisi hasil kali dalam pada 𝐱 2 = 𝐱, 𝐱 diperoleh

∇𝑓𝛼 𝐱 =𝜕

𝜕𝐱 𝐴𝐱 − 𝐛 2

2 + 𝛼2 𝐱 22

=𝜕

𝜕𝐱 𝐴𝐱 − 𝐛, 𝐴𝐱 − 𝐛 + 𝛼2.

𝜕

𝜕𝐱 𝐱, 𝐱

=𝜕

𝜕𝐱 𝐴𝐱, 𝐴𝐱 − 2 𝐴𝐱, 𝐛 + 𝐛, 𝐛 + 𝛼2.

𝜕

𝜕𝐱 𝐱, 𝐱 .

≤𝜕

𝜕𝐱 𝐴𝐱, 𝐴𝐱 − 𝐴𝐱, 𝐛 + 𝐛, 𝐛 + 𝛼2.

𝜕

𝜕𝐱 𝐱, 𝐱 .

dengan menggunakan 𝐱, 𝐲 = 𝐱𝑇𝐲 dan 𝐱, 𝐱 = 𝐱𝑇𝐱 diperoleh

=𝜕

𝜕𝐱 𝐴𝐱 𝑇𝐴𝐱 − 𝐴𝐱 𝑇𝐛 + 𝐛𝑇𝐛 +

𝜕

𝜕𝐱 𝐱𝑇𝐱

=𝜕

𝜕𝐱 𝐱𝑇𝐴𝑇𝐴𝐱 − 𝐱𝑇𝐴𝑇𝐛 + 𝐛𝑇𝐛 + 𝛼2.

𝜕

𝜕𝐱 𝐱𝑇𝐱

= 𝐴𝑇𝐴𝐱 − 𝐴𝑇𝐛 + 𝛼2𝐱

Karena ∇𝑓𝛼 𝐱 = 0 maka 𝐴𝑇𝐴𝐱 − 𝐴𝑇𝐛 + 𝛼2𝐱𝛼 = 0, karena nilai

minimum 𝐱 adalah 𝐱𝛼 , maka

𝐴𝑇𝐴𝐱𝛼 + 𝛼2𝐱𝛼 − 𝐴𝑇𝐛 = 0

𝐴𝑇𝐴𝐱𝛼 + 𝛼2𝐱𝛼 = 𝐴𝑇𝐛

𝐴𝑇𝐴𝐱𝛼 + 𝛼2𝐱𝛼 = 𝐴𝑇𝐛

𝐴𝑇𝐴 + 𝛼2𝐼 𝐱𝛼 = 𝐴𝑇𝐛, 3.8


93

dan penyelesaian dari persamaan 3.8 tersebut adalah

𝐱𝛼 = 𝐴𝑇𝐴 + 𝛼2𝐼 −1𝐴𝑇𝐛.

Dengan demikian, untuk mendapatkan penyelesaian inverse problem

dengan kualitas terbaik maka harus dapat ditentukan parameter 𝛼 yang

tepat, sehingga galat yang terjadi dapat minimum.


BAB IV

APLIKASI

Pada bab ini akan dibahas bagaimana aplikasi inverse problem untuk

restorasi gambar digital dengan metode TSVD dan Regularisasi Tikhonov.

Adapun data yang digunakan dalam aplikasi ini adalah gambar grayscale,

yaitu setiap piksel gambar memiliki nilai antara 0 dan 1. Proses restorasi

yang dilakukan adalah untuk memperoleh gambar yang lebih baik dari

gambar input.

A. Gambar Digital

4.1 Representasi Gambar Digital

Image adalah gambar yang terletak pada bidang dua-dimensi. Ditinjau

dari sudut pandang matematis, gambar merupakan fungsi kontinu dari

intensitas cahaya pada bidang dua-dimensi. Sumber cahaya menerangi

objek, lalu objek memantulkan kembali sebagian dari berkas cahaya

tersebut. Kemudian pemantulan cahaya ini ditangkap oleh alat-alat optik,

seperti kamera, scanner dan sebagainya sehingga bayangan dari objek

dapat terekam dalam format digital maupun analog.

Agar memudahkan proses pengolahan maka digunakan gambar dalam

bentuk digital yang disebut sebagai gambar digital. Namun apabila

terdapat gambar dalam bentuk analog, terlebih dahulu gambar tersebut


95

harus diubah menjadi format digital melalui proses scanning. Proses

scanning memerlukan perangkat keras khusus yang disebut scanner.

Gambar digital hitam putih dapat dipandang sebagai suatu larik

(array) dua-dimensi atau suatu matriks yang elemen-elemennya

menyatakan tingkat keabuan gambar. Dan setiap tingkat keabuan gambar

akan direpresentasikan dengan bilangan riil antara 0 (hitam pekat) dan 1

(putih pekat). Sehingga informasi yang terkandung didalamnya bersifat

diskrit.

Untuk mengubah gambar kontinu menjadi gambar digital diperlukan

pembuatan kisi-kisi arah horizontal dan vertikal, sehingga diperoleh

gambar dalam bentuk larik dua-dimensi. Proses ini disebut sebagai proses

digitalisasi atau sampling. Setiap elemen pada larik dikenal sebagai elemen

gambar atau piksel. Pembagian sebuah gambar menjadi sejumlah piksel

dengan ukuran tertentu ini akan menentukan resolusi spasial yang

diperoleh. Semakin tinggi resolusi yang diperoleh berarti semakin kecil

ukuran pikselnya sehingga semakin halus gambar yang diperoleh karena

informasi yang hilang akibat pengelompokan tingkat keabuan pada proses

pembuatan kisi-kisi akan semakin kecil.

Pengolahan gambar digital yang akan dibahas sebatas pada gambar

grayscale, dimana secara umum gambar diberikan sebagai 𝐼 𝑖, 𝑗 yang

merupakan intensitas tingkat keabuan dari hitam ke putih pada piksel, 𝑖

menyatakan variabel baris 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 , 𝑗 menyatakan variabel kolom,

𝑗 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑖, 𝑗 menyatakan posisi piksel. Sebagai contoh,


96

gambar yang mempunyai ukuran 256 × 512, berarti jumlah piksel vertikal

adalah 512 piksel sedangkan jumlah piksel horizontal adalah 256 piksel,

sehingga jumlah piksel keseluruhan yang terdapat dalam gambar tersebut

adalah 131.072 piksel.

Pada saat mengambil gambar dengan menggunakan kamera terkadang

muncul efek derau dalam rekaman gambar digital. Hal ini disebabkan

karena saat merekam gambar sistem optik lensa kamera mungkin kurang

fokus, sehingga cahaya yang masuk memberikan efek derau pada gambar.

Untuk memulihkan gambar kabur tersebut digunakanlah proses restorasi.

Tujuan dari proses restorasi ini adalah menghilangkan atau mengurangi

pengaruh kabur maupun degradasi yang terjadi pada gambar asli karena

proses akuisisi.

4.2 Model Degradasi Gambar Digital

Untuk memperoleh gambar yang lebih baik dalam proses restorasi

maka perlu diberikan model yang menjelaskan proses kabur dari gambar

asli. Dengan melakukan itu maka dapat diperoleh informasi untuk

memulihkan gambar kabur, namun pemulihan gambar yang diperoleh

tidak mirip seperti aslinya. Hal ini disebabkan berbagai galat yang terjadi

tidak dapat dhindarkan dalam gambar yang direkam, seperti fluktuasi

dalam proses pendekatan galat ketika mewakili gambar dengan sebuah

digit. Sehingga model yang dibentuk sebaiknya memuat dua informasi,

yaitu derau dan proses kabur yang terjadi pada gambar asli. Perhatikan


97

contoh yang ditunjukkan pada Gambar 4.1. Gambar kiri merupakan

gambar asli dan kanan adalah versi kabur dari gambar yang sama.

Gambar 4.1. Sebuah gambar asli (kiri) dan gambar kabur yang

bersesuaian (kanan).

Sehingga gambar grayscale pada Gambar 4.1 dapat dituliskan sebagai

matriks 𝑚 × 𝑛, dimana notasi 𝐱 ∈ ℝ𝑚×𝑛 merepresentasikan gambar asli

dan 𝐛 ∈ ℝ𝑚×𝑛 dinotasikan sebagai gambar kabur. Kemudian terdapat

operator pengaburan (blurring) yang memetakan gambar asli menjadi

gambar kabur yang dinotasikan sebagai matriks 𝐀 ∈ ℝ𝑚×𝑛 , sehingga relasi

di antara gambar asli dan gambar kabur ditulis sebagai

𝐀𝐱 = 𝐛.

yang merupakan model dari gambar kabur.


98

B. Restorasi Gambar menggunakan TSVD

Bentuk kompak dari singular value decomposition (SVD) matriks 𝐀

banyak digunakan dalam berbagai aplikasi terutama dalam restorasi

gambar. Selain itu, algoritma restorasi gambar dengan SVD dilakukan

dengan membuang unsur-unsur yang mewakili nilai singular kecil. Untuk

menunjukkan bagaimana SVD digunakan, misalkan 𝐀 mewakili matriks

pengaburan yang digunakan untuk mendekati derau yang terjadi pada

gambar, dan 𝐀 = 𝑈Λ𝑉𝑇 maka 𝐀 dapat ditulis sebagai

𝐀 = σ1𝐮1𝐯1𝑇 + σ2𝐮2𝐯2

𝑇 + ⋯ + σ𝑛𝐮𝑛𝐯𝑖𝑇

karena σ1 ≥ σ2 ≥ ⋯ ≥ σ𝑛 > 0 maka semua nilai singular adalah positif

dan 𝐀 adalah matriks persegi, dimana invers dari matriks 𝐀 diberikan

sebagai

𝐀−1 = 𝑉Λ−1𝑈𝑇 .

Karena Λ adalah matriks diagonal maka inversnya Λ−1 juga diagonal,

dengan entri 1 σ𝑖 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, sehingga

𝐀−1 = 1

σ𝑖

𝑛

𝑖=1

𝐯𝑖𝐮𝑖𝑇 . 4.1

Seperti telah dijelaskan pada bab sebelumnya bahwa model gambar

kabur diberikan sebagai persamaan 𝐀𝐱 = 𝐛 dan penyelesaiannya adalah

𝐱 = 𝐀−1𝐛. Sehingga apabila 𝐀−1 di persamaan 4.1 disubstitusikan pada

penyelesaian akan diperoleh


99

𝐱 = 𝐀−1𝐛 = 𝑉Λ−1𝑈𝑇𝐛 = 1

σ𝑖

𝑛

𝑖=1

𝐯𝑖𝐮𝑖𝑇𝐛 =

𝐮𝑖𝑇𝐛

σ𝑖

𝑛

𝑖=1

𝐯𝑖 .

Pada kasus ini derau yang terjadi pada gambar direkonstruksikan dengan

bentuk 𝐀−1𝐛. Pendekatan SVD dapat digunakan untuk meredam efek yang

disebabkan oleh pembagian nilai-nilai singular kecil, khususnya nilai

singular yang mendekati nilai nol. Sementara itu, penyebab dari perubahan

nilai-nilai singular dan vektor singular terjadi karena pengaruh derau.

Untuk mengurangi efek derau tersebut yang perlu dilakukan adalah

membuang nilai-nilai singular kecil dengan sebuah parameter pemotongan

𝑘. Karena informasi mengenai galat yang besar terjadi ketika dilakukan

pembagian dengan nilai singular kecil σ𝑛 , maka komponen yang

menyebabkan galat besar tersebut dapat dibuang. Untuk itu digunakanlah

Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) yang didefinisikan

sebagai

𝐀𝑘 = 𝑈Λ𝑘𝑉𝑇 = σi𝐮𝑖𝐯𝑖

𝑇

𝑘

𝑖=1

4.2

dimana

Λ𝑘 = diag σ1, σ2 , … , σ𝑘 , 0, … ,0 ∈ ℝ𝑚×𝑛

atau

Λ𝑘 =

σ1 0 0 0 00 ⋱ 0 0 00 0 σ𝑘 0 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 0 0

.


100

Matriks Λ𝑘 sama seperti Λ namun perbedaanya terletak pada nilai singular

terkecil 𝑛 − 𝑘 yang diganti oleh nol, dengan 𝑘 ≤ 𝑛. Pemotongan nilai

singular ini dimaksudkan untuk mendapatkan bilangan kondisi yang kecil

dengan cara memilih 𝑘. Apabila 𝑘 yang dipilih tepat, maka perhitungan

bilangan kondisi σ1

σ𝑘 dari 𝐀𝑘 akan menjadi kecil. Dari 𝐀𝑘 yang

diperoleh dapat dibentuk 𝐀𝑘+ sebagai pseudo-invers dari 𝐀𝑘 ;

𝐀𝑘+ = 𝑉Λ𝑘

−1𝑈𝑇 = 1

σ𝑖

𝑘

𝑖=1

𝐯𝑖𝐮𝑖𝑇

dimana

Λ𝑘−1 = diag σ1

−1, σ2−1, … , σ𝑘

−1, 0, … ,0 ∈ ℝ𝑛×𝑚

atau

Λ𝑘−1 =

σ1−1 0 0 0 0

0 ⋱ 0 0 00 0 σ𝑘

−1 0 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 0 0

.

sehingga penyelesaian dari TSVD didefinisikan sebagai

𝐱𝑘 = 𝐀𝑘+𝐛 = 𝑉Λ𝑘

−1𝑈𝑇𝐛 = 𝐮𝑖

𝑇𝐛

σ𝑖

𝑘

𝑖=1

𝐯𝑖 4.3

Setelah memahami bagaimana metode TSVD digunakan dalam

menyelesaikan masalah 𝐀𝐱 = 𝐛. Selanjutnya metode tersebut akan

diaplikasikan untuk restorasi gambar digital. Seperti dijelaskan pada bab


101

sebelumnya bahwa untuk input dari proses restorasi ini diberikan sebagai

𝐀 dan 𝐛, dimana 𝐀 adalah matriks pengaburan yang digunakan sebagai

pendekatan model gambar blur sedangkan 𝐛 adalah gambar yang

mengalami efek derau. Untuk itu akan digunakan gambar digital

‘cameraman.tif’

Gambar 4.2. Gambar Asli ‘cameraman.tif’

yang ditambahkan derau berupa efek motion dengan sudut sebesar 110°

dan tingkat motion sebesar 10 sehingga diperoleh gambar blur sebagai

berikut

Gambar 4.3. Gambar ‘cameraman.tif’ terkena efek motion


102

Selanjutnya untuk memulihkan kembali gambar yang mengalami efek

derau dapat dilakukan restorasi gambar. Langkah awal yang perlu

dilakukan dalam proses restorasi adalah membentuk matriks pengaburan.

Pembentukkan matriks pengaburan ini dimaksudkan untuk memodelkan

efek derau yang terjadi, sehingga saat melakukan proses restorasi dapat

dihasilkan penyelesaian optimal. Dalam proses restorasi ini akan

digunakan matriks pengaburan yang dibentuk dengan

a=zeros(r,1);

a(1:5)=[5:-1:1]'/25;

A=toeplitz(a);

Gambar 4.4. Visualisasi matriks pengaburan

dimana toeplitz adalah matriks yang mempunyai entri konstan pada setiap

diagonalnya. Gambar 4.4 menunjukkan visualisasi dari matriks

pengaburan yang dibentuk dengan menggunakan toeplitz.

Notasikan matriks pengaburan yang dibentuk sebagai matriks 𝐀, dimana

matriks tersebut memliki ukuran piksel seperti gambar 4.3.


103

Setelah mendapatkan model dari matriks pengaburan selanjutnya akan

dihitung SVD dari matriks 𝐀. Dari perhitungan SVD tersebut didapatkan

nilai-nilai singular 𝐀 sebagai matriks Λ. Dengan memilih suatu parameter

𝑘 dapat dibentuk suatu matriks singular yang banyaknya nilai singularnya

akan sama dengan 𝑘 yang dipilih. Matriks yang demikian disebut sebagai

Λ𝑘 . Dengan Λ𝑘 yang diperoleh dapat dibentuk sebuah matriks Λ𝑘−1

. Dan

hasil restorasi gambar digital dengan metode TSVD dituliskan dalam

bentuk

𝐱𝑘 = 𝑉Λ𝑘−1𝑈𝑇𝐛.

Gambar di bawah ini menunjukkan hasil restorasi gambar dengan

pemilihan 𝑘 = 200,

Gambar 4.5. Gambar hasil restorasi TSVD dengan 𝑘 = 200

kemudian untuk mengetahui besar galat yang terjadi pada perhitungan

restorasi, maka perlu dihitung norma antara gambar asli dengan gambar

hasil restorasi. Semakin kecil norma yang didapat maka hasil restorasi

yang diperoleh akan semakin baik, sebab hasil yang diperoleh semakin


104

mendekati gambar aslinya. Pada gambar 4.5 hasil restorasi TSVD dengan

𝑘 = 200 memiliki norma sebesar 25,3104, tentunya hasil tersebut masih

kurang optimal. Untuk mendapatkan hasil restorasi terbaik, maka harus

dicari parameter 𝑘 yang mengoptimalkan proses restorasi. Berikut adalah

hasil perhitungan norma yang bersesuaian dengan pemilihan parameter 𝑘.

Gambar 4.6. Grafik TSVD

Dari gambar 4.6 di atas dapat dilihat besar norma yang terjadi pada setiap

pemilihan parameter 𝑘. Berdasarkan hasil tersebut nilai norma terkecil

berada pada interval parameter 𝑘 ∈ 50,100 dengan norma di antara nilai

0 sampai 10. Dengan mempertimbangkan hal ini maka diperoleh grafik

TSVD sebagai berikut


105

Gambar 4.7. Grafik TSVD dengan axis([50 100 0 10])

kemudian dengan mengubah axis([70 75 5 6]) diperoleh

Gambar 4.8. Grafik TSVD dengan axis([70 75 5 6])

Dari gambar 4.8 terlihat bahwa nilai norma terkecil terletak di antara nilai

5,7 dan 5,8 yang berada pada 𝑘 = 73 dan 𝑘 = 74. Untuk mengetahui letak

norma terkecil tersebut, maka dipilihlah axis([70 75 5.7 5.8])

sehingga diperoleh


106

Gambar 4.9. Grafik TSVD dengan axis([70 75 5.7 5.8])

Berdasarkan hasil grafik TSVD pada gambar 4.9 didapatkan bahwa nilai

norma terkecil diperoleh ketika dipilih parameter 𝑘 = 74. Dengan memilih

parameter 𝑘 = 74 didapatkan hasil restorasi TSVD sebagai berikut

Gambar 4.10. Gambar hasil restorasi TSVD dengan 𝑘 = 74 memiliki

norma sebesar 5,7171

Dari hasil tersebut dapat dikatakan bahwa parameter 𝑘 = 74 memberikan

nilai norma yang mengoptimalkan hasil restorasi gambar dengan metode

TSVD.

Bila dijelaskan dalam bentuk algoritma dan diagram alir, maka

metode TSVD dapat digambarkan sebagai berikut:


107

1. Bentuk matriks pengaburan yang berukuran sama seperti gambar

yang akan direstorasi.

2. Hitunglah SVD dari matriks pengaburan dengan menggunakan

fungsi svd Matlab, dan plot nilai-nilai singularnya.

3. Tentukan parameter pemotongan 𝑘 untuk nilai-nilai singular yang

diperoleh pada langkah 2, kemudian bentuk matriks Λ𝑘 .

4. Dari Λ𝑘 yang diperoleh bentuklah matriks Λ𝑘−1

.

5. Hitunglah 𝐱𝑘 = 𝑉Λ𝑘−1𝑈𝑇𝐛.

6. Ulangi langkah 3 sampai 5 sampai mendapatkan parameter 𝑘 yang

mengoptimalkan hasil restorasi.

Kode sintaks dalam program MATLAB akan dilampirkan pada program

4.1a dan program 4.1b.

C. Restorasi Gambar menggunakan Regularisasi Tikhonov

Dalam melakukan proses restorasi gambar digital tentunya tidak

hanya berhenti dengan menggunakan satu metode saja. Selain dengan

metode TSVD di tulisan ini juga akan dibahas metode restorasi dengan

menggunakan regularisasi Tikhonov. Regularisasi Tikhonov berbasis pada

meminimalkan suatu fungsional

min𝐱 𝐛 − 𝐀𝐱 22 + 𝛼2 𝐱 2

2 4.4


108

dengan 𝛼 adalah parameter regularisasi. Kemudian 4.4 dapat

diformulasikan menjadi

min𝐱

𝐛𝟎 −

𝐀𝛼𝐼

𝐱 2

2

dan penyelesaian dari masalah tersebut diberikan oleh

𝐀𝑇𝐀 + 𝛼2𝐼 𝐱 = 𝐀𝑇𝐛

𝑉Λ𝑇𝑈𝑇 𝑈Λ𝑉𝑇 + 𝛼2𝐼 𝐱 = 𝑉Λ𝑇𝑈𝑇𝐛

𝑉Λ𝑇Λ𝑉𝑇 + 𝛼2𝐼 𝐱 = 𝑉Λ𝑇𝑈𝑇𝐛

sehingga didapatkan hasil akhir

𝐱 = 𝜎𝑖

2

𝜎𝑖2 + 𝛼2

𝑛

𝑖=1

.𝐯𝑖𝐮𝑖

𝑇𝐛

𝜎𝑖=

𝜎𝑖2

𝜎𝑖2 + 𝛼2

𝑛

𝑖=1

𝐮𝑖𝑇𝐛

𝜎𝑖𝐯𝑖 .

Jika

𝜑𝑖 =𝜎𝑖

2

𝜎𝑖2 + 𝛼2

, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

maka dapat dibentuk

Φα =

𝜑1 0 0 00 𝜑2 0 00 0 ⋱ 00 0 0 𝜑𝑛

,

sehingga penyelesaian dari metode regularisasi Tikhonov didefinisikan

sebagai


109

𝐱𝛼 = 𝑉ΦαΛ−1𝑈𝑇𝐛 = 𝜑𝑖

𝑛

𝑖=1

𝐮𝑖𝑇𝐛

𝜎𝑖𝐯𝑖 4.5

Masalah meminimumkan fungsi persamaan 4.4 didasari pada fakta

bahwa perhitungan 𝐛 − 𝐀𝐱 22 harus memuat galat yang relatif kecil.

Tetapi, jika karena alasan tersebut dipilih 𝐱 = 𝐀−1𝐛 maka perhitungan

galat 𝐱 22 akan relatif besar. Sehingga dengan masalah meminimumkan

fungsi di 4.4 diharapkan bahwa norma dari perhitungan 𝐛 − 𝐀𝐱𝛼 dan

norma penyelesaian 𝐱𝛂 memiliki galat yang relatif kecil.

Sekarang akan dipertimbangkan efek dari pemilihan parameter

regularisasi 𝛼. Kasus pertama untuk faktor filter 𝜑𝑖 dimana 𝜎𝑖 > 𝛼,

dengan menggunakan ekspansi Taylor 1 + 𝜖 −1 = 1 − 𝜖 +1

2𝜖2 + 𝑂 𝜖3

diperoleh

𝜑𝑖 =𝜎𝑖

2

𝜎𝑖2 + 𝛼2

=1

1 + 𝛼2

𝜎𝑖2

= 1 −𝛼2

𝜎𝑖2 +

1

2

𝛼4

𝜎𝑖4 + ⋯ .

Selanjutnya kasus kedua untuk faktor filter 𝜑𝑖 dimana 𝜎𝑖 < 𝛼. Dengan

menggunakan ekspansi Taylor 1 + 𝜖 −1 diperoleh

𝜑𝑖 =𝜎𝑖

2

𝜎𝑖2 + 𝛼2

=𝜎𝑖

2

𝛼2

1

1 + 𝜎2

𝛼𝑖2

=𝜎𝑖

2

𝛼2 1 −

𝜎2

𝛼𝑖2 +

1

2

𝜎4

𝛼𝑖4 + ⋯ .

Kemudian dapat dituliskan bahwa faktor filter Tikhonov memenuhi

𝜑𝑖 = 1 −

𝛼

𝜎𝑖

2

+ 𝑂 𝛼

𝜎𝑖

4

, 𝜎𝑖 ≫ 𝛼

𝜎𝑖

𝛼

2

+ 𝑂 𝜎𝑖

𝛼

4

, 𝜎𝑖 ≪ 𝛼.

4.6


110

Ini berarti apabila dipilih 𝛼 ∈ 𝜎𝑛 , 𝜎1 maka 𝜑𝑖 ≈ 1 untuk indeks kecil 𝑖,

sedangkan 𝜑𝑖 ≈𝜎𝑖

2

𝛼2 untuk indeks 𝑖 yang besar.

Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya akan dilihat hasil

restorasi dari gambar 4.3 dengan metode regularisasi Tikhonov. Langkah

awal proses restorasi ini adalah membentuk matriks pengaburan seperti

terlihat pada gambar 4.4. Selanjutnya akan dihitung SVD dari matriks 𝐀,

sehingga didapatkan nilai-nilai singular 𝐀 sebagai matriks Λ. Kemudian

dari nilai singular yang ada dipilih 𝜎𝑛 dan 𝜎1. Hal ini dilakukan untuk

menentukan parameter regularisasi 𝛼, sebab nilai parameter regularisasi

harus berada pada 𝜎𝑛 , 𝜎1 . Dari parameter 𝛼 yang dipilih dapat dibentuk

sebuah matriks diagonal Φα yang elemen diagonalnya adalah 𝜑𝑖 . Hasil

restorasi gambar digital dengan metode regularisasi Tikhonov dituliskan

dalam bentuk

𝐱𝛼 = 𝑉ΦαΛ−1𝑈𝑇𝐛

dimana Φα diperoleh dari 𝜑𝑖 pada persamaan 4.6 .


111

Gambar berikut menunjukkan hasil restorasi gambar 4.3 dengan

menggunakan 𝛼 = 0.01,

Gambar 4.11. Gambar hasil restorasi Tikhonov dengan 𝛼 = 0.01

Berdasarkan pengamatan, hasil restorasi pada gambar 4.11 ternyata masih

memuat efek derau yang memiliki norma sebesar 22,89089. Akibatnya,

hasil restorasi dengan 𝛼 = 0.01 belum menghasilkan penyelesaian yang

optimal. Agar memperoleh penyelesaian terbaik harus dapat dicari nilai 𝛼

yang menghasilkan norma terkecil. Grafik di bawah ini menunjukkan hasil

perhitungan norma pada setiap pemilihan parameter regularisasi 𝛼 ∈

𝜎𝑛 , 𝜎1 dengan mengambil panjang langkah 0.01,


112

Gambar 4.12. Grafik Regularisasi Tikhonov

Berdasarkan gambar 4.12 di atas terlihat bahwa norma terkecil berada

pada 0 ≤ 𝛼 ≤ 0.2 dengan norma di antara nilai 0 sampai 20. Dengan

mempertimbangkan hal tersebut maka selanjutnya akan dipilih 𝛼 ∈ 0,0.2

dengan mengambil panjang langkah 0.01 sehingga diperoleh grafik

Gambar 4.13. Grafik Regularisasi Tikhonov dengan 𝛼 ∈ 0,0.2

dan axis([0 0.2 0 20])


113

kemudian dengan mengubah 𝛼 ∈ 0.06 , 0.12 dan axis([0.06 0.12 6

8])diperoleh

Gambar 4.14. Grafik Regularisasi Tikhonov dengan 𝛼 ∈ 0.06 , 0.12 dan axis([0.06 0.12 6 8])

Berdasarkan hasil grafik regularisasi Tikhonov pada gambar 4.14

didapatkan bahwa nilai norma terkecil diperoleh ketika 𝛼 = 0,0874.

Dengan memilih parameter regularisasi 𝛼 = 0,0874 didapatkan hasil

restorasi regularisasi Tikhonov sebagai berikut

Gambar 4.15. Gambar hasil restorasi regularisasi Tikhonov dengan

𝛼 = 0,0874 memiliki norma sebesar 6,59414


114

Dari hasil tersebut parameter 𝛼 = 0,0874 memberikan nilai norma yang

mengoptimalkan hasil restorasi gambar dengan metode regularisasi

Tikhonov.

Bentuk algoritma dan diagram alir metode regularisasi Tikhonov

dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Bentuk matriks pengaburan yang berukuran sama seperti gambar

yang akan direstorasi.

2. Hitunglah SVD dari matriks pengaburan dengan menggunakan

fungsi svd Matlab, dan plot nilai-nilai singularnya.

3. Tentukan parameter regularisasi 𝛼 yang dipilih pada interval

𝜎𝑛 , 𝜎1 .

4. Hitung faktor filter Tikhonov 𝜑𝑖 berdasarkan pemilihan nilai 𝛼

yang diperoleh pada langkah 3, kemudian bentuk matriksΦα .

5. Hitunglah 𝐱𝛼 = 𝑉ΦαΛ−1𝑈𝑇𝐛.

6. Ulangi langkah 3 sampai 5 sampai menemukan parameter 𝛼 yang

mengoptimalkan hasil restorasi.

Kode sintaks program MATLAB dari metode regularisasi Tikhonov ini

akan dilampirkan pada program 4.2a dan program 4.2b.


115

Dalam subbab sebelumnya telah dijelaskan mengenai aplikasi

restorasi gambar digital menggunakan metode TSVD dan regularisasi

Tikhonov. Berdasarkan pada persamaan 4.3 dan 4.5 diperoleh bahwa

persamaan untuk metode TSVD ditulis sebagai

𝐱𝑘 = 𝑉Λ𝑘−1𝑈𝑇𝐛 =

𝐮𝑖𝑇𝐛

σ𝑖

𝑘

𝑖=1

𝐯𝑖

dan metode regularisasi Tikhonov ditulis sebagai

𝐱𝛼 = 𝑉ΦαΛ−1𝑈𝑇𝐛 = 𝜑𝑖

𝑛

𝑖=1

𝐮𝑖𝑇𝐛

𝜎𝑖𝐯𝑖 .

Dari persamaan di atas perbedaan antara metode TSVD dan regularisasi

Tikhonov adalah pada TSVD kita hanya mengamati sebagian dari nilai

singular tertentu sejumlah 𝑘. Sedangkan pada regularisasi Tikhonov semua

nilai singular dimasukkan dalam perhitungan, tetapi dengan menambahkan

faktor filter 𝜑𝑖 . Dibawah ini akan ditampilkan perbedaan hasil restorasi

menggunakan metode TSVD dan regularisasi Tikhonov.

a) Hasil restorasi TSVD b) Hasil restorasi Tikhonov

Gambar 4.16. Hasil restorasi metode TSVD dan regularisasi Tikhonov


116

Gambar 4.16 menunjukkan perbandingan hasil restorasi dengan

menggunakan metode TSVD dan regularisasi Tikhonov. Dari hasil yang

telah diperoleh pada Gambar 4.10 menunjukkan bahwa hasil restorasi

terbaik dari metode TSVD tercapai ketika memilih parameter 𝑘 = 74

dengan selisih nilai norma antara gambar hasil restorasi dan gambar asli

sebesar 5,7171. Selanjutnya dilihat dari regularisasi Tikhonov (Gambar

4.15) hasil restorasi terbaik tercapai ketika dipilih parameter regularisasi

𝛼 = 0,0874 dengan selisih nilai norma antara gambar hasil restorasi dan

gambar asli sebesar 6,59414. Dengan demikian, berdasarkan hasil

restorasi yang telah diperoleh bahwa hasil restorasi dengan TSVD

memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan regularisasi

Tikhonov


BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Regularisasi inverse problem dengan menggunakan metode Truncated

Singular Value Decomposition (TSVD) dan regularisasi Tikhonov

memberikan peluang untuk tetap memberikan hasil restorasi yang relatif

mendekati gambar asli. Metode TSVD mensyaratkan pemotongan jumlah

nilai singular yang mendekati nilai nol sedangkan regularisasi Tikhonov

mensyaratkan nilai parameter 𝛼 yang tepat.

Pemotongan nilai singular pada metode TSVD dimaksudkan untuk

membuang nilai-nilai singular kecil yang mendekati nilai nol. Sedangkan

pada metode regularisasi Tikhonov semua nilai singular dimasukkan

dalam perhitungan tetapi dengan menggunakan faktor filter 𝜑𝑖 , dengan

nilai 𝜑𝑖 ≈ 1 jika 𝜎𝑖 > 𝛼 dan 𝜑𝑖 ≈𝜎𝑖

2

𝛼2 jika 𝜎𝑖 < 𝛼. Kedua metode

tersebut bertujuan untuk mengurangi bahkan menghindari perbesaran galat

yang terjadi pada perhitungan penyelesaian.

Berdasarkan aplikasi pada bab sebelumnya didapatkan bahwa hasil

restorasi gambar digital dengan menggunakan TSVD memberikan

penyelesaian yang lebih baik dibandingkan dengan regularisasi Tikhonov.

Hal tersebut terlihat dari perhitungan nilai norma pada metode TSVD jauh

lebih kecil bila dibandingkan dengan metode regularisasi Tikhonov. Selain


118

itu, kedua metode tersebut sama-sama memberikan hasil restorasi yang

cukup baik untuk mendapatkan kembali gambar asli yang mengalami efek

derau.

B. Saran

Aplikasi metode TSVD dan regularisasi Tikhonov yang dibahas

adalah restorasi gambar digital untuk menghilangkan efek derau pada

gambar grayscale. Dalam tulisan ini baru digunakan satu model matriks

pengaburan yang digunakan untuk proses restorasi. Dengan demikian,

disarankan agar pembaca dapat menemukan algoritma yang lebih baik

mengenai cara membentuk matriks pengaburan lainnya. Selain itu,

pembaca juga dapat memberikan pembahasan mengenai cara menentukan

parameter regularisasi 𝛼 menggunakan metode kurva L (L-curve).


DAFTAR PUSTAKA

Atkinson, K. E. 1989. An Introduction to Numerical Analysis (Second

Edition). John Wiley & Sons, Inc.

Bertero, M. & Boccacci, P. (1998). Introduction to Inverse Problems in

Imaging. Philadelphia, PA: IOP Publishing, Ltd

Budhi, W. S. (1995). Aljabar linear. Jakarta: Gramedia.

Burden, R. L. & Faires, J. D. 2010. Numerical Analysis (Nineth Edition).

USA: Brooks/Cole, Cengage Learning.

Chong, E. K. P. & Zak, S. H. 2008. An Introduction to Optimization

(Third Edition). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc.

Groetsch, C. W. (1999). Inverse Problems Activities for Undergraduates.

Washington, DC: MAA

Hansen, P. C. (2010). Discrete Inverse Problems Insight and Algorithms.

Philadelphia, PA: SIAM.

Leon, S. J. (1998). Aljabar Linear dan Aplikasinya (Edisi ke-5).

Terjemahkan oleh: Alit Bondan. 2001. Jakarta: Erlangga.

Moura Neto, F. D.&Silva Neto, A. J. (2013). An Introduction to Inverse

Problems with Applications. New York: Springer.

Peressini, A. L. dkk. (1988). The Mathematics of Nonlinear Programming.

New York: Springer.Solomon, C. & Breckon, T. (2011).

Fundamental of Digital Image Processing (First Edition).

Hoboken, NJ: John Wiley and Sons, Ltd.


120

LAMPIRAN

PROGRAM PADA BAB IV

Program 4.1a.

%PROGRAM 4.1a %Program Restorasi Gambar Digital Dengan Metode TSVD % Keterangan: % X=gambar asli grayscale % A=blurring matrix % PSF=point spread function pemberi efek blur % SVD=nilai-nilai singular matriks A % k=pemotongan nilai singular pada SVD % B=gambar asli yang terpengaruh efek PSF

tic

X=im2double(imread('cameraman.tif'));%Membaca gambar grayscale

lalu %mengkonversikannya ke bentuk double [r,c]=size(X);%Menentukan ukuran matriks X

%Membentuk Blurring Matriks (A) a=zeros(r,1); a(1:5)=[5:-1:1]'/25; A=toeplitz(a);

%Membentuk Gambar Blur dengan pemberian efek PSF pada X PSF=fspecial('motion',10,110); B=conv2(X,PSF,'same');

%Program TSVD untuk mendapatkan xk [m,n]=size(A);%Ukuran matriks A [U,S,V]=svd(A);

%Metode TSVD sesuai dengan pemilihan k k=200; SK=S(1:k,1:k); SKc=[inv(SK) zeros(k,m-k);zeros(n-k,k) zeros(n-k,m-k)]; xk=V*SKc*U'*B;

norm_X_B=norm(X-B) norm_X_xk=norm(X-xk)

subplot(131), imshow(X), title('Gambar Asli'); subplot(132), imshow(B), title('Gambar Blur'); subplot(133), imshow(xk), title('Gambar hasil Restorasi');

toc


121

Program 4.1b.

%PROGRAM 4.1b %Program Restorasi Gambar Digital Dengan Metode TSVD % Keterangan: % X=gambar asli grayscale % A=blurring matrix % PSF=point spread function pemberi efek blur % SVD=nilai-nilai singular matriks A % k=pemotongan nilai singular pada SVD % B=gambar asli yang terpengaruh efek PSF

tic X=im2double(imread('cameraman.tif'));%Membaca gambar grayscale


% Membentuk Blurring Matriks (A) a=zeros(r,1); a(1:5)=[5:-1:1]'/25; A=toeplitz(a);

% Membentuk Gambar Blur dengan pemberian efek PSF pada X PSF=fspecial('motion',10,110); B=conv2(X,PSF,'same');

% Program TSVD untuk mendapatkan xk [m,n]=size(A);%Ukuran matriks A [U,S,V]=svd(A);

% Metode TSVD untuk restorasi Gambar Digital z0=100; for i=1:r; k(i)=i; r=k(i); SK=S(1:r,1:r); SKc=[inv(SK) zeros(r,m-r);zeros(n-r,r) zeros(n-r,m-r)]; xk=V*SKc*U'*B; y(i)=norm(X-xk); if y(i)<z0; z0=y(i); indeks=i; XK=xk; end end XK; %Gambar hasil restorasi terbaik z0; %Norma paling minimum dari gambar hasil restorasi K=indeks; %Indeks dari parameter yang memiliki norma terkecil fprintf('\n Hasil restorasi TSVD terbaik memiliki norma %3.5f,

tercapai ketika parameter K=%1.0f\n',z0,K)

% Grafik plot antara k dan y % plot(k,y,'-o'); % title('Grafik TSVD');


122

% xlabel('parameter k'); % ylabel('nilai norma antara X dan xk'); % axis([72 75 5.7 5.8]); % grid on;

subplot(131), imshow(X), title('Gambar Asli'); subplot(132), imshow(B), title('Gambar Blur'); subplot(133), imshow(XK), title('Gambar hasil Restorasi'); toc

Program 4.2a.

%PROGRAM 4.2a %Program Restorasi Gambar Digital Dengan Regularisasi Tikhonov % Keterangan: % X=gambar asli grayscale % A=blurring matrix % PSF=point spread function pemberi efek blur % SVD=nilai-nilai singular matriks A % alfa=parameter regularisasi % B=gambar asli yang terpengaruh efek PSF

tic




%Membentuk Gambar Blur dengan pemberian efek PSF pada X PSF=fspecial('motion',10,110); B=conv2(X,PSF,'same');

%Program Tikhonov untuk mendapatkan xk [m,n]=size(A);%Ukuran matriks A [U,s,V]=svd(A); [S]=svd(A);%Nilai singular [m,n]=size(S);

%Menentukan parameter regularisasi alfa S(76) alfa=0.01;

for i=1:m; if S(i)>=alfa; q(i)=1-(alfa/S(i))^2;


123

elseif S(i)<alfa; q(i)=(S(i)/alfa)^2; end end

q;

Q=diag(q);

xk=V*Q*inv(s)*U'*B;

norma=norm(X-xk);

disp('Hasil restorasi menggunakan parameter:'); fprintf('\n alfa1=%1.5f menghasilkan norma %3.5f\n',alfa,norma);

subplot(131), imshow(X), title('Gambar Asli'); subplot(132), imshow(B), title('Gambar Blur');

subplot(133), imshow(xk), title('Gambar hasil Restorasi dengan alfa=0.01');

toc

Program 4.2b.

%PROGRAM 4.2b %Program Restorasi Gambar Digital Dengan Regularisasi Tikhonov % Keterangan: % X=gambar asli grayscale % A=blurring matrix % PSF=point spread function pemberi efek blur % SVD=nilai-nilai singular matriks A % alfa=parameter regularisasi % B=gambar asli yang terpengaruh efek PSF

tic




%Membentuk Gambar Blur dengan pemberian efek PSF pada X PSF=fspecial('motion',10,110);


124

B=conv2(X,PSF,'same');

%Program Tikhonov untuk mendapatkan xk [m,n]=size(A);%Ukuran matriks A [U,s,V]=svd(A); [S]=svd(A);%Nilai singular [m,n]=size(S);

%Menentukan parameter regularisasi alfa z0=100; % alfa=S(1):-0.01:S(m); % alfa=0:0.01:0.2; alfa=0.06:0.0001:0.12; for j=1:length(alfa); alfa_1=alfa(j); for i=1:m; if S(i)>=alfa_1; q1(i)=1-(alfa_1/S(i))^2; elseif S(i)<alfa_1; q1(i)=(S(i)/alfa_1)^2; end end Q=diag(q1); xk=V*Q*inv(s)*U'*B; y(j)=norm(X-xk); if y(j)<z0; z0=y(j); indeks=alfa(j); XK=xk; end end XK; %Gambar hasil restorasi terbaik z0; %Norma paling minimum dari gambar hasil restorasi indeks; %Nilai parameter alfa yang memiliki norma terkecil fprintf('\n Hasil restorasi Tikhonov terbaik memiliki norma %3.5f,

tercapai ketika parameter alfa=%1.5f\n',z0,indeks)

% Grafik plot antara alfa dan y plot(alfa,y); title('Grafik Regularisasi Tikhonov'); xlabel('parameter alfa'); ylabel('nilai norma antara X dan xk'); % axis([0 0.2 0 20]); axis([0.06 0.12 6 8]); grid on;

% subplot(131), imshow(X), title('Gambar Asli'); % subplot(132), imshow(B), title('Gambar Blur'); % subplot(133), imshow(XK), title('Gambar hasil Restorasi'); toc


RESTORASI GAMBAR DIGITAL MENGGUNAKAN INVERSE … · PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT...

Documents

Transcript of RESTORASI GAMBAR DIGITAL MENGGUNAKAN INVERSE … · PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT...