Rente Abadi

Sebelum mempelajari rente akan dibahas terlebih Sebelum mempelajari rente akan dibahas terlebih dahulu mengenai deret.dahulu mengenai deret.

PENGERTIAN DERETPENGERTIAN DERETDeret adalah rangkaian bilangan yang tersusun Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur.secara teratur.

MACAM-MACAM DERETMACAM-MACAM DERET1.1.Dilihat dari banyaknya suku yang Dilihat dari banyaknya suku yang membentuknya:membentuknya: a. Deret berhinggaa. Deret berhingga b. Deret tak berhinggab. Deret tak berhingga2.2.Dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada Dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku- sukunya:suku- sukunya: a. Deret hitunga. Deret hitung b. Deret ukurb. Deret ukur

DERET HITUNGDERET HITUNGAdalah serangkaian bilangan yang tersusun secara Adalah serangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dimana selisih antara 2 suku yang berurutan teratur dimana selisih antara 2 suku yang berurutan sama besarnya.sama besarnya.

Contoh: 5Contoh: 5 1010 1515 2020 25 . . . . . . . . . .n25 . . . . . . . . . .naa SS11 SS22 SS33 SS44 . . . . . . . . . .S . . . . . . . . . .S

Rumus besarnya suku ke-n:Rumus besarnya suku ke-n:

Sn = a + (n-1) bSn = a + (n-1) b

Jumlah nilai-nilai sampai dengan suku ke-n:Jumlah nilai-nilai sampai dengan suku ke-n:

)(2 nn San

J

dimana:dimana: aa : besarnya suku pertama atau S1: besarnya suku pertama atau S1bb : : selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan

nn : banyaknya suku: banyaknya sukuSnSn : besarnya atau nilai suku ke-n: besarnya atau nilai suku ke-nJnJn : jumlah nilai-nilai sampai dengan suku : jumlah nilai-nilai sampai dengan suku

ke-nke-n

DERET UKURDERET UKUR

Adalah serangkaian bilangan yang tersusun secara Adalah serangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dimana ratio antara 2 suku yang berurutan sama teratur dimana ratio antara 2 suku yang berurutan sama besarnya.besarnya.Contoh:Contoh: 55 1010 2020 4040 80 ……………….. n80 ……………….. n

aa S2S2 S3S3 S4S4 S5 ……………….. SnS5 ……………….. SnRumus besarnya suku ke-n:Rumus besarnya suku ke-n:

Sn = a r Sn = a r n-1n-1

Jumlah nilai-nilai sampai dengan suku ke-n:Jumlah nilai-nilai sampai dengan suku ke-n:a.a.Untuk deret ukur dengan ratio <1Untuk deret ukur dengan ratio <1

b.b. Untuk deret ukur dengan ratio >1Untuk deret ukur dengan ratio >1

dimana:dimana:aa : besarnya suku pertama atau S: besarnya suku pertama atau S11

rr : : hasil bagi antara nilai-nilai dua suku yang berurutan hasil bagi antara nilai-nilai dua suku yang berurutan

nn : banyaknya suku: banyaknya sukuSnSn : besarnya atau nilai suku ke-n: besarnya atau nilai suku ke-nJnJn : jumlah nilai-nilai sampai dengan suku : jumlah nilai-nilai sampai dengan suku

ke-nke-n

r

raJ

n

n

1

)1(

1

)1(

r

raJ

n

n

RENTERENTEAdalah suatu deret jumlah-jumlah uang yang tunai secara Adalah suatu deret jumlah-jumlah uang yang tunai secara berkala. Tiap-tiap jumlah uang tersebut dinamakan cicilan, berkala. Tiap-tiap jumlah uang tersebut dinamakan cicilan, waktu antara hari tunai dua cicilan yang berurutan dinamakan waktu antara hari tunai dua cicilan yang berurutan dinamakan kala.kala.

Macam-macam rente:Macam-macam rente:1. Menurut banyaknya cicilan:1. Menurut banyaknya cicilan: a. Rente abadi/ terus menerusa. Rente abadi/ terus menerus b. Rente berhinggab. Rente berhingga2. Menurut saat dimulainya rente2. Menurut saat dimulainya rente a. Rente yang dimulai segeraa. Rente yang dimulai segera b. Rente yang ditangguhkanb. Rente yang ditangguhkan3. Menurut besar kecilnya cicilan:3. Menurut besar kecilnya cicilan: a. Rente dengan cicilan yang sama besarnyaa. Rente dengan cicilan yang sama besarnya b. Rente dengan cicilan yang berupa deret hitungb. Rente dengan cicilan yang berupa deret hitung c. Rente dengan cicilan yang berupa deret ukurc. Rente dengan cicilan yang berupa deret ukur d. Rente dengan cicilan yang tak berurutan besarnyad. Rente dengan cicilan yang tak berurutan besarnya

Ilustrasi Ilustrasi RenteRente

Seseorang bermaksud untuk membeli rumah dan diberi dua alternatif pembayaran sebagai berikut:

- Membayar tunai sebesar Rp 100.000.000 (Nilai tunai)

- Membayar selama 10 kali setiap 3 bulan sebesar @ Rp 10.000.000 dengan dikenakan bunga tertentu.

Tunai

Angsuran

Untuk mengetahui apakah secara ekonomis pembayaran lebih menguntungkan apabila secara tunai atau secara angsuran maka harus dicari nilai tunainya dari pembayaran secara angsuran sehingga nilai nominalnya bisa dibandingkan dengan pembayaran secara tunaiUntuk mencari nilai tunai dengan menggunakan rumus deret ukur

C1 C2 C3 . . . . C10

1.000.000 1.000.000 1.000.000 . . . . 1.000.000

• • • •

Apabila angsuran tersebut digambarkan maka Apabila angsuran tersebut digambarkan maka adalah sebagai berikut:adalah sebagai berikut:F U T U R EPRESENT

RENTE ABADI/ TERUS MENERUSRENTE ABADI/ TERUS MENERUSUntuk rente abadi karena banyaknya cicilan tak terbatas, Untuk rente abadi karena banyaknya cicilan tak terbatas, maka nilai akhir dari rente tidak dipersoalkan.maka nilai akhir dari rente tidak dipersoalkan.

Nilai tunai suatu rente abadi dapat dihitung dengan jalan Nilai tunai suatu rente abadi dapat dihitung dengan jalan menentukan satu demi satu nilai tunai dari cicilan-menentukan satu demi satu nilai tunai dari cicilan-cicilannya lalu menjumlahkan nilai-nilai tersebut.cicilannya lalu menjumlahkan nilai-nilai tersebut.

Nilai Tunai Rente Abadi Post Numerando (cicilan Nilai Tunai Rente Abadi Post Numerando (cicilan tunai pada tiap akhir periode)tunai pada tiap akhir periode)

Nilai tunai rente = Nilai tunai rente = + + + + +….. +…..

ni

c

)1( i

c

1 2)1( i

c

3)1( i

c

Apabila digambarkan maka garis Apabila digambarkan maka garis rentenya adalah sebagai berikut:rentenya adalah sebagai berikut:

C1 C2 C3 . . . . . .Cn

______+

i

c

1

2)1( i

c

3)1( i

c

ni

c

)1(

• • • •

Dimana: aDimana: a : Suku pertama, dalam hal ini : Suku pertama, dalam hal ini

rr : Ratio dalam hal ini : Ratio dalam hal ini

maka :maka : ==

Contoh soal:Contoh soal:Suatu yayasan sosial setiap akhir tahun akan memberikan bantuan Suatu yayasan sosial setiap akhir tahun akan memberikan bantuan sebesar Rp 1.000.000 kepada Badan sosial yang sebesar Rp 1.000.000 kepada Badan sosial yang menangani anak-anak cacad. Kewajiban tersebut akan diambil alih menangani anak-anak cacad. Kewajiban tersebut akan diambil alih oleh sebuah bank yang memperhitungkan bunga 5% setahun. oleh sebuah bank yang memperhitungkan bunga 5% setahun. Berapa uang tebusan yang harus dibayar oleh yayasan tersebut?Berapa uang tebusan yang harus dibayar oleh yayasan tersebut?

i

c

1

i11

r

raJ

n

n

1

1

i

ixi

cn

1

11

)1

1(1

1

Karena n tak terhingga maka dihilangkan shg:

r

aJ n

1

Apabila digambarkan maka garis Apabila digambarkan maka garis rentenya adalah sebagai berikut:rentenya adalah sebagai berikut:

C1 C2 C3 . . . . . .Cn

______+

05,1

000.000.1

2)05,1(

000.000.1

3)05,1(

000.000.1

n)05,1(

000.000.1

• • • •

Penyelesaian:Penyelesaian:

Nilai tunai rente =Nilai tunai rente =

= 20.000.000= 20.000.000

r

aJ n

1 1)05,1(

000.000.1

)05.1(1

1

)05.1(000.000.1

)05,0(

000.000.1

SELANG WAKTU TUNAINYA BERBEDA SELANG WAKTU TUNAINYA BERBEDA DENGAN JANGKA WAKTU SUKU BUNGADENGAN JANGKA WAKTU SUKU BUNGA

Contoh :Contoh :

Suatu yayasan sosial tiap akhir semester akan Suatu yayasan sosial tiap akhir semester akan memberikan bantuan sebesar Rp 500.000 kepada memberikan bantuan sebesar Rp 500.000 kepada suatu badan pendidikan anak-anak cacad. Kewajiban suatu badan pendidikan anak-anak cacad. Kewajiban tersebut pada awal tahun akan diambil alih oleh tersebut pada awal tahun akan diambil alih oleh sebuah bank yang memperhitungkan bunga 5% sebuah bank yang memperhitungkan bunga 5% setahun. Berapa uang tebusan yang harus dibayar setahun. Berapa uang tebusan yang harus dibayar oleh yayasan tersebut?oleh yayasan tersebut?

Penyelesaian:Penyelesaian:

Apabila digambarkan maka garis rentenya adalah Apabila digambarkan maka garis rentenya adalah sebagai berikut:sebagai berikut:

05,1000.500

n05,1

000.500

______+

C1 C2 C3 . . . . . . ~

21105,1

000.500

21

05,1

000.500

Sehingga : a = dan r = 2

1

05,1

000.500

21

05,1

1

• • • •

Nilai tunai rente =Nilai tunai rente = r

aJNT

1 1)05,1(

000.500

)05.1(

11

)05.1(

000.500

2

1

2

1

2

1

10246951,1

000.500

= Rp = Rp 20.246.931,5720.246.931,57

Contoh:Contoh:Hitunglah dengan dasar bunga 4% setahun, nilai Hitunglah dengan dasar bunga 4% setahun, nilai tunai pada tanggal 1 Januari 1991 dari suatu rente tunai pada tanggal 1 Januari 1991 dari suatu rente terus menerus yang cicilan-cicilannya sebesar Rp terus menerus yang cicilan-cicilannya sebesar Rp 12.000 tunai tiap-tiap 3 tahun dimana cicilan 12.000 tunai tiap-tiap 3 tahun dimana cicilan pertama pada tanggal 1 Januari 1996.pertama pada tanggal 1 Januari 1996.


804,1

000.120

n05,1

000.500

______+

1-1-91 92 93 94 95 1-1-96 1-1-99 1-1-02 . . . . . . . . . . . ~

1104,1

000.12

504,1

000.12

Sehingga : a = dan r = 504,1

000.12 304,1

1

• • • • • • • • •

c 1 2 3 4 5

Jawab:Jawab:

Nilai tunai rente =Nilai tunai rente =

== 88.854,0788.854,07

MENGALIHKAN RENTEMENGALIHKAN RENTEContoh 1:Contoh 1:Suatu rente abadi post-numerando yang ditangguhkan selama 3 Suatu rente abadi post-numerando yang ditangguhkan selama 3 tahun dengan cicilan sebesar Rp 10.000 per semester, bunga 5% tahun dengan cicilan sebesar Rp 10.000 per semester, bunga 5% per tahun dialihkan menjadi rente pre numerando abadi dimulai per tahun dialihkan menjadi rente pre numerando abadi dimulai segera dengan cicilan per tahun dengan tingkat bunga sama. segera dengan cicilan per tahun dengan tingkat bunga sama. Hitung besarnya cicilan rente yang dialihkan?Hitung besarnya cicilan rente yang dialihkan?

Penyelesaian:Penyelesaian: 1. Rente Abadi Post Numerando1. Rente Abadi Post Numerando

r

aJNT

1

35

3

5

)04,1()04,1(

000.12

)04.1(

11

)04.1(

000.12

0816,12166529,1

000.12

1350529,0

000.12


405,1

000.10

n05,1

000.10

______+

1 2 3 C1 C2 C3 . . . . . . ~

2

1405,1

000.10

21305,1

000.10


1305,1

000.10

21

05,1

1

• • • • •

• •

r

aJNT

1

32

13

2

1

2

13

)05,1()05,1(

000.10

)05.1(

11

)05.1(

000.10

157625,1186212638,1

000.10

028587638,0

000.10 = 349.801,58

Penyelesaian:

2. Rente Abadi Pre Numerando2. Rente Abadi Pre NumerandoApabila digambarkan maka garis rentenya adalah Apabila digambarkan maka garis rentenya adalah sebagai berikut:sebagai berikut:

05,1x

nx

05,1

______+

C1 C2 C3 . . . . . . ~

205,1

x

x

Sehingga : a = dan r = x 05,11

• • • •

PenyelesaPenyelesaianian

58,801.349

1:

ra

cicilanBesarnya

58,801.349

05,11

1:

x

58,801.349952380952,01

:

x

58,801.349047619048,0

: x

047619048,058,801.349: xx

22,657.16:

Contoh:Contoh:

Suatu rente abadi pre numerando yang Suatu rente abadi pre numerando yang ditangguhkan selama 5 tahun dengan angsuran ditangguhkan selama 5 tahun dengan angsuran sebesar Rp 15.000 setiap bulan diubah menjadi sebesar Rp 15.000 setiap bulan diubah menjadi rente abadi pos numerando yang dimulai segera rente abadi pos numerando yang dimulai segera dengan nagsuran setiap 6 bulan. Hitung dengan dengan nagsuran setiap 6 bulan. Hitung dengan tingkat suku bunga 5% setahun besarnya tiap tingkat suku bunga 5% setahun besarnya tiap angsuran dari rente tersebut.angsuran dari rente tersebut.

Rente Rente Pertama:Pertama:

n05,1

000.15

505,1

000.15______+

5 tahun C1 C2 C3 . . . . . . ~

21505,1

000.15

505,1

000.15


1

05,1

1

• • • •

41505,1

000.15

Rente Kedua:Rente Kedua:

nx

05,1

______+

C1 C2 C3 . . . . . . ~

21105,1

x


1

05,1

1

• • • •

05,1x

21

05,1

x

21

05,1

x

Jadi Persamaannya adalah:Jadi Persamaannya adalah:

26,940.23015472937,0

4261,370

015472937,0

024695076,0000.15

260808624,1276281563,1

1024695076,1000.15

05,105,1

)1)05,1((000.15

105,105,105,1

000.15

05,1

11

05,1

05,1

11

05,1

000.15

11

4

345

2

1

2

1

4

345

2

1

2

1

4

1

5

xx

xx

xx

x

xr

a

r

a

Rente Abadi

Documents

Transcript of Rente Abadi