Relasi Rekursif Homogen

8/12/2019 Relasi Rekursif Homogen

1/12

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu tujuan belajar matematika bagi siswa adalah agar ia mempunyai

kemampuan atau ketrampilan dalam memecahkan masalah atau soal-soal matematika,

sebagai sarana baginya untuk mengasah penalaran yang cermat, logis, kritis, dan kreatif.

Oleh karena itu, kemampuan pemecahan masalah menjadi fokus pembelajaran

matematika disemua jenjang. Lebih-lebih bagi seorang mahasiswa calon guru matematika,

tentu tidaklah cukup jika ia hanya mempunyai kemampuan tersebut untuk dirinya sendiri,

sebab kelak jika ia telah menjadi guru yang mana ia akan mendidik siswanya memiliki

kemampuan untuk memcahkan masalah matematika.

Dalam perkuliahan matematika diskrit, agar mahasiswa merasakan manfaatnya

langsung dari mempelajari matematika diskrit, dosen dituntut untuk dapat mengarahkan

mahasiswa agar dapat mengkoneksikan setiap materi dengan ilmu komputer. Koneksi

yang dimaksud misalnya, dosen harus mampu menjelaskan bahwa materi relasi rekursif

ada kaitanya banyak dipakai dalam progamming komputer. Di sisi lain, tuntunan tersebut

memunculkan permasalah dalam relasi rekursif dan secara tidak langsung dosen dituntut

untuk mengarahkan mahasiswa agar dapat memecahkan masalah tersebut.

1.2 Rumusan Masalah

dapun rumusan masalah yang dapat dibahas dalam pembahasan relasi rekursif

homogen, yaitu!

". pa pengertian dari relasi rekursif homogen #

$. %agaimana cara menyelesaikan masalah relasai rekursif dengan solusi linier

homogen #

1.3 Tujuan

- &engetahui pengertian dari relasi rekursif homogen.

1


2/12

- &emahami cara memcahkan rumusan masalah pada relasi rekursif homogen.

BAB II

PEMBAHAAN

2.1 !"nse#

De$%n%s% 1

Suatu realasi rekursif untuk sebuah barisan 'an( merupakan sebuah rumus untuk

menyatakan anke dalam satu atau lebih suku-suku sebelumnya dari barisan tersebut,

untuk suatu bilangan bulat non negatif n.

Suatu barisan disebut solusi dari sebuah relasi rekursif jika suku-suku pada barisan

tersebut memenuhi relasi rekursifnya.

&"nt"h 1'

&isal 'an( barisan yang memenuhi relasi rekursif an) an-" * an-$ untuk n + $, lalu

misalkan a ) dan a" ) .

/entukan nilai a$ dan a.

Pen(elesa%an '

Karena a$) a"* a, maka a$) $.

Karena a ) a$* a", maka a) -.

De$%n%s% 2

Suatu relasi rekursif linear homogen berderajat k dengan koefisien konstan

memiliki bentuk umum !

2


3/12

an ) c"an-" 0 c$an-$0 ... 0 ckan-k

dengan c", c$, ... , ckadalah bilangan real, dan ck1 .

&"nt"h 1 '

/entukan solusi dari relasi rekursi an) an-" 0 $an-$, dengan a) $, dan a") 2.

Pen(elesa%an '

%entuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi an) an-" 0 $an-$.

pindahkan semua suku ke ruas kiri.

n* an-"* $an-$)

Karena relasi diatas memiliki derajat $, &aka bentuk polinomial derajat $ yang

bersesuaian dengan masing-masing suku dari relasi tersebut, perhatikan setiap

koefesien dan tanda tiap suku.

an* an-"* $an-$ )

r$* r - $r)

r$* r * $ )

persamaan diatas disebut persamaan karakteristik, dan memiliki $ akar berbeda yaitu !

r") $ dan r$) -" yang akar-akar karakteristik.

%entuk s"lus% umumdari relasi rekursi yang memiliki 2 akar )er)e*aadalah

an ) c".r"n0 c$.r$

n

sehingga solusi umum dari relasi rekursi diatas adalah !

an ) c".$n0 c$.3-"4

n

untuk suatu c", c$bilangan real.

5ntuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang diketahui.

3


4/12

a ) $ ) c".$0 c$.3-"4

$) c"0 c$ .................. 3"4

a") 2 ) c".$"0 c$.3-"4

"

2) $c"* c$ ..................3$4

6ersamaan 3"4 dan 3$4 dapat diselesaikan dengan metode subtitusi 7 eliminasi untuk

mendapatkan c") dan c$) -"

Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi an) an-"0 $an-$ adalah an) .$n* 3-"4n.

%entuk s"lus% umumdari relasi rekuersi yang memiliki 2 akar kem)aradalah !

an) c".r"n0 c$.nr"

n

sehingga solusi umum dari relasi rekursi diatas adalah

an ) c".n0 c$.n34

n

untuk suatu c", c$bilangan real.

%entuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 3 akar )er)e*aadalah

an ) c".r"n0 c$.r$

n0 c.rn

sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah

an ) c"."n0 c$.$

n0 c.n

untuk suatu c", c$,cbilangan real.

5ntuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang diketahui.

a) $ ) c"0 c$0 c

a" ) ) c"0 $c$ 0 c

a$ ) " ) c"0 8c$0 9c

persamaan diatas dapat diselesaikan dengan metode subtitusi 7 eliminasi untuk

mendapatkan c") ", c$) -", dan c ) $.

4


5/12

Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi an) :an-"* ""an-$0 :an-adalah an ) " * $n0

$.n.

5


6/12

BAB III

RAN+!UMAN

De$%n%s% 1

Suatu realasi rekursif untuk sebuah barisan 'an( merupakan sebuah rumus untuk

menyatakan anke dalam satu atau lebih suku-suku sebelumnya dari barisan tersebut, untuk

suatu bilangan bulat non negatif n.

Suatu barisan disebut solusi dari sebuah relasi rekursif jika suku-suku pada barisan tersebut

memenuhi relasi rekursifnya.

De$%n%s% 2

Suatu relasi rekursif linear homogen berderajat kdengan koefisien konstan memiliki

bentuk umum !

an ) c"an-" 0 c$an-$0 ... 0 ckan-k

dengan c", c$, ... , ckadalah bilangan real, dan ck1 .

%entuk s"lus% umumdari relasi rekursi yang memiliki 2 akar )er)e*aadalah

an ) c".r"n0 c$.r$n

6


7/12

%entuk s"lus% umumdari relasi rekuersi yang memiliki 2 akar kem)aradalah !

an) c".r"n0 c$.nr"

n

%entuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 3 akar )er)e*aadalah

an ) c".r"n0 c$.r$

n0 c.rn

BAB I,

LATIHAN -AL DAN PEMBAHAAN

.1 Lat%han "al

a. an* an-"0 $an-$) dengan kondisi awal a ) " dan a") $

b. an) -8an-"* 8an-$ dengan kondisi awal a) " dan a") $

c. an) an-"0 8an-$untuk n + $ dengan kondisi awal a) " dan a" ) .

d. an- an-"0 an-$* an-) untuk n + dengan kondisi awal a) "; a") $ dan a$) 8.

e. an* 2an-"0 ":an-$* "$an-) untuk n + dengan kondisi awal a) "; a") 8 dan

a$)


8/12

t$* t 0 $ ) 3 t * $ 4 3 t * " 4 ) yang memiliki akar * akar karakteristik

=") $ dan =$) "

Oleh karena semua akar * akar karakteristik berbeda, maka penyelesaiannya adalah !

an) c"$n0 c$"

n

untuk menentukan c"dan c$, digunakan kondisi awal !

a) " sehingga " ) c"3 $40 c$3 " 4

" ) c"0 c$

a" ) $ sehingga $ ) c"3 $ 4"

0 c$3 " 4"

$ ) $c"0 c$

Didapatkan sistem persamaan linier !

c" 0 c$ ) "

$c"0 c$) $

>ang memiliki penelesaian c" ) " dan c$)

Dengan demikian, penyelesaian relasi rekurensi an* an-"0 $an-$) adalah

an) $n

b. 6ersamaan karakteristis yang sesuai dengan an) -8an-"* 8an-$atau

an0 8an-"0 8an-$ ) adalaht$ 0 8t 0 8 ) 3 t 0 $ 4$) yang memiliki akar * akar

karakteristik

=") =$) -$


an) 3 c"0 c$n4 $n


8


9/12

a) " sehingga " ) 3 c"0 c$3 4 4$

" ) c"

a" ) $ sehingga $ ) 3 c"0 c$3 " 4 4$"

$ ) $c"0 $c$


c" ) "

$c"0 $c$ ) $

>ang memiliki penelesaian c" ) " dan c$) -$

Dengan demikian, penyelesaian relasi rekurensi an) -8an-"* 8an-$adalah

an) -$n* $n3 -$ 4n

c. 6ersamaan karakteristis yang sesuai dengan an- an-"- 8an-$) adalah

t$* t * 8 ) 3 t * 8 4 3 t 0 " 4 ) yang memiliki akar * akar karakteristik

=") 8 dan =$) -"


an) c"8n0 c$3 -" 4

n


a) " sehingga " ) c"3 8 40 c$3 -" 4

" ) c"0 c$

a" ) sehingga ) c"3 8 4"0 c$3 -" 4

"

) 8c"- c$


c" 0 c$ ) "

9


10/12

8c"- c$)

>ang memiliki penelesaian c" 0 c$) dan c" 0 c$)

Dengan demikian, penyelesaian relasi rekurensi an- an-"- 8an-$) adalah

an) 3 8 4n0 3 -" 4n

d. persamaan karakteristik yang sesuai dengan relasi rekurensi

an- an-"0 an-$* an-) adalah t* t$0 t * " ) 3 t-" 4)

6ersamaan karakteristik memiliki akar kembar, yaitu =" ) =$ ) =) " sehingga

penyelesaiannya adalah

an) 3 c"0 c$n 0 cn$4 . "n) c"0 c$n 0 cn

$

untuk menentukan koefisien * koefisien c",c$dan c, digunakan kondisi awalnya !

a) " sehingga " ) c"0 c$3 4 0 c3 4$

" ) c"

a") $ sehingga $ ) c"0 c$3 " 4 0 c3 " 4$

$ ) c"0 c$0 c

a$) 8 sehingga 8 ) c"0 c$3 $ 4 0 c3 $ 4$

8 ) c"0 $c$0 8c


c" ) "

c"0 c$0 c ) $

c"0 $c$0 8c ) 8

>ang memiliki penyelesaian c") " ; c$) ; dan c) ;

10


11/12

6enyelesaian relasi rekurensi an- an-"0 an-$* an-) adalah an ) " 0 n 0 n$

e. 6ersamaan karakteristik yang sesuai dengan relasi rekurensi

an* 2an-"0 ":an-$* "$an-) adalah t* 2t$0 ":t * "$ ) 3 t - $ 4$3 t- 4 )

6ersamaan karakteristik yang memiliki $ akar kembar =") =$) $ dan=) sehingga

penyelesaiannya adalah

an) 3 c"0 c$n 4 $n0 c.

n

&enggunakan kondisi awalnya

a) " sehingga " ) 3 c"0 c$ 4 $0 c.

" ) c"0 c

a") 8 sehingga 8 ) 3 c"0 c$" 4 $"0 c.

"

8 ) $c"0 $c$0 c

a$) < sehingga < ) 3 c"0 c$$ 4 $$0 c.

$

< ) 8c"0 ang memiliki penyelesaian c") ; c$) ; dan c) -8

penyelesaian relasi rekurensi an* 2an-"0 ":an-$* "$an-) adalah

an) 3 0 n 4 $

n

- 83

n

4

11


12/12

DA/TAR PUTA!A

- http!77clonofo.blogspot.com7$""7"7relasi-rekursi.html

- http!77math-solar.blogspot.com7$"$77relasi-rekursif.html

- ?ong ?ek Siang, Drs., &.Sc. &atematika Diskrit dan plikasinya @lmu Komputer.

>ogyakarta! AD@, $:.

12
http://clonofo.blogspot.com/2011/10/relasi-rekursi.htmlhttp://math-solar.blogspot.com/2012/05/relasi-rekursif.htmlhttp://clonofo.blogspot.com/2011/10/relasi-rekursi.htmlhttp://math-solar.blogspot.com/2012/05/relasi-rekursif.html

Relasi Rekursif Homogen

Documents

Transcript of Relasi Rekursif Homogen