MatematikaKomputasi PTI15004

PencacahanCounting

Justanintermezzo

Pengelola Pantai Hanakapiai, Hawaii memperingatkan pengunjung agar tidak mendekati kawasan air, dan menegaskan peringatan tersebut

dengan membuat menyusun tally-marks yang berfungsi menghitung

secara diskrit jumlah korban yang nekat

Macam Pencacahan TallyMarks

Kombinatorial

• Cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek

• Jumlah cara/solusi yang diperoleh dari himpunannya

• Contoh: 1. Plat mobil di negara X teridiri dari 5 angka dan diikuti 2

huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat di buat.

2. Password sebuah sistem komputer panjang nya 6 – 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf dan atau angka. Tidak case sensitive. Berapa banyak password yang dapat dibuat?

Matematika Komputasi 5

Kombinatorial

• Kombinatorial didasarkan pada hasil yang di peroleh dari percobaan:

• Contoh: • Melempar dadu Enam hasil percobaan yang mungkin untuk pelemparan dadu adalah muka dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. • Melempar uang koin uang Rp.100 Hasil percobaan melempar koin 100 ada dua kemungkinan: muka koin gambar rumah gadang atau koin gambar wayang.

Matematika Komputasi 6

Case Password with 6 character,

consist of letter and number

abcdef 123789 aaaade 34qwer a123fr ............

COMBINATION

Kombinatorial cabang matematika untuk

menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua

kemungkinan susunannya

Rule of Sum (Kaidah Penjumlahan)

Misal: Percobaan 1: p hasil Percobaan 2: q hasil maka: Perc. 1 atau Perc. 2: p + q hasil

Rule of Product (Kaidah Perkalian)

Misal: Percobaan 1: p hasil Percobaan 2: q hasil maka: Perc. 1 dan Perc. 2: p x q hasil

Kaidah Dasar Menghitung

Latihan 1

Dari seluruh mahasiswa PTIIK angkatan 2014, terdapat 700 laki2

dan 300 perempuan. Dengan tanpa memperhitungkan gender, berapa

cara memilih satu ketua himpunan?

Solusi: 700 + 300 = 1000 cara

Latihan 2

Dari seluruh mahasiswa PTIIK 2011, terdapat 300 peminat jaringan dan

100 peminat vision. Dari setiap bidang minat akan dipilih 1 wakil untuk ikut seminar, berapa cara

memilih dua orang peserta seminar?

Solusi: 300 x 100 = 30.000 cara

Perluasan kaidah menghitung

• Dapat mengandung lebih dari dua percobaan. • Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p1,

p2, p3,...pn. hasil percobaan tidak bergantung pada percobaan sebelumnya:

• Rule of product – p1 x p2 x p3 . . . x pn

– Hal. 231 Rinaldi Munir

• Rule of sum – P1 + p2 + p3 . . . + p4

– Hal. 232 Rinaldi Munir

Matematika Komputasi 12

Rule of Sum

p1 + p2 + … + pn hasil

Rule of Product

p1 x p2 x … x pn hasil

Perluasan Kaidah Dasar Menghitung Ada n percobaan, masing-masing dengan pi hasil

Latihan 3

Dari seluruh pemain Arema yang siap bertanding, terdapat 1 kiper, 3 bek, 4 gelandang dan 3 penyerang.

Dengan tanpa memperhitungkan posisinya, berapa cara memilih satu

kapten tim?

Solusi: 1 + 3 + 4 + 3 = 11 cara

Latihan 4

Pemain Arema yang menuntut pembayaran gaji mengirim 4

perwakilan menghadap manajemen. Di antara 3 kiper, 6

bek, 8 gelandang dan 6 penyerang, ada berapa cara mengirimkan wakil, bila tiap posisi diwakili satu orang?

Solusi: 3 x 6 x 8 x 6 = 864 cara

Soal 2

Password pada sebuah sistem komputer panjangnya enam sampai

delapan karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf dan atau angka;

TIDAK case sensitive. Berapa banyak kombinasi password yang

dapat dibuat?

Pembahasan Soal 1

Terdapat 1 byte string yang berupa bilangan biner.

Berapa banyak string yang dapat dibentuk?

Solusi: 2x2x2x2x2x2x2x2 = 28 = 256 cara

8 digit 2 kemungkinan: 0 / 1

Prinsip InklusiEksklusi

Kaidah Perkalian & Penjumlahan

dalam Operasi Himpunan

Kasus

Berapa banyak kombinasi susunan byte yang dimulai dengan ‘11’ atau berakhir dengan ‘11’?

Prinsip Divide & Conquer

A = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’, B = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’

|A| = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

|B| = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 64

|A B| = 128 ?

11******

11******

11******

11******

................

******11

******11

******11

******11

................ 11****11

A B

|A B| = |A| + |B| - |A B|

|A B| = 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 16

|A B| = |A| + |B| - |A B|

|A B| = 64 + 64 - 16 = 112

P H P

igeon- ole rinciple

1 2 3

4 5 6

7 8 9

9 holes

1 2 3 4

5 6 7

8 9 10

10 pigeons Bila

terdapat n obyek yang diletakkan

pada m buah tempat, dengan

nilai n > m, maka: Paling tidak, satu

tempat berisi lebih dari 1 obyek

GustavLejeuneDirichlet

Dirichlet drawer principle Pigeon-holeprinciple

1834

(1805 – 1859)

1.Di antara tiga orang, maka pasti ada dua orang yang berjenis kelamin sama

2.Dari 32 orang, pasti ada 2 orang yang memiliki tanggal lahir yang sama.

3.Bila sebuah tim sepakbola menang 12-0, pasti ada pemain yang mencetak lebih dari satu gol

Case

Kombinatioral - Permutasi - Kombinasi

27

Bentuk khusus Rule of Product Permutasi

Jumlah urutan berbeda dari pengaturan obyek-obyek

Terdapat tiga buah bola: Merah, Biru dan Hijau

Dan tiga buah wadah berurutan:

Berapa banyak urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam wadah-wadah tersebut?

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

2

3

4

5

6

3 x 2 x 1 =3!=6

P(n, n) = n x (n-1) x (n-2) x ... 2 x 1 P(n, n) = n !

Permutasi r dari n elemen

Permutasi n obyek

P(n, r) = n x (n-1) x (n-2) x ... (n-(r-1)) P(n, r) =

n ! (n-r) !

Permutasi

• Mengabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan

• Permutasi dari n unsur yang berbeda x1, x2, …, xn adalah pengurutan dari n unsur tersebut.

• Contoh: ABC; Tentukan permutasi dari tiga huruf yang berbeda! Permutasi: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA # 6 permutasi huruf ABC

32

Permutasi • Permutasi-r dari n unsur yang berbeda x1, x2, …, xn

adalah pengurutan dari sub himpunan dengan r anggota dari himpunan {x1, x2, …, xn}

• Dinotasikan P(n,r) • Contoh: Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda,

ABCDE! Banyaknya permutasi-3 dari 5 : 60

ABC ABD ABE ACB ACD ACE

ADB ADC ADE AEB AEC AED

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

ECA ECB ECD EDA EDB EDC

33

Permutasi

• Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda: • P(n,r) = n!/(n-r)!

• Contoh: Permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, ABDCE P(5,3) = 5!/(5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60

34

Kombinasi Jumlah pengaturan obyek-obyek tanpa memperhitungkan urutan

Kombinasi r dari n elemen

C(n, r) = C(n, r) = =

P(n, r) r !

n x (n-1) x (n-2) x ... (n-(r-1)) r !

n! r ! (n- r)!

Kombinasi • Menggabungkan beberapa objek dari suatu grup

tanpa memperhatikan urutan • Kombinasi-r dari n unsur yang berbeda x1, x2, …, xn

adalah seleksi tak terurut r anggota dari himpunan {x1, x2, …, xn}

• Banyaknya kombinasi-r dari n unsur dinotasikan C(n,r)

• Contoh: Kombinasi-3 dari dari huruf ABCDE adalah: Kombinasi-3 dari 5 huruf : 10

ABC ABD ABE ACD ACE

ADE BCD BCE BDE CDE

36

Kombinasi

• Banyaknya kombinasi-r dari n unsur yang berbeda adalah

C(n,r) = n!/(n-r)!.r!

• Contoh: Kombinasi-3 dari 5 huruf berbeda, ABCDE adalah C(5-3) = 5!/(5-3)!.3! = 5!/2!.3! = 5 × 4/2 = 10

37

Kombinasi

• Contoh: Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 2

mahasiswa dan 3 mahasiswi yang bisa dipilih dari 5 mahasiswa dan 6 mahasiswi?

• Jawab: Pertama: memilih 2 mahasiswa dari 5 mahasiswa C(5,2) = 10 Kedua: memilih 3 mahasiswi dari 6 mahasiswi C(6,3) = 20 Sehingga terdapat 10 × 20 = 200 cara

38

Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2010, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga: a. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya; b. mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya; c. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi

B tidak; d. mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi

A tidak; e. mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya; f. setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau

B termasuk di dalamnya.

Soal 3

Terimakasih