PROSIDING

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Jakarta

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA IV

Jakarta, 20 Oktober 2012

“Peran Matematika dalam Meningkatkan

Kemampuan Menyelesaikan Masalah”

“Peran Matematika dalam Meningkatkan

Kemampuan Menyelesaikan Masalah”

PROSIDING

ISSN: 2302-5867

Jurusan Matematika FMIPA UNJ

Jl. Pemuda No. 10 Rawamangun,

Jakarta Timur 13220

Telp./Fax. 021 4894909

ii

DAFTAR ISI

Sambutan Ketua Panitia i

Daftar Isi ii

Jadwal Kegiatan iv

Jadwal Sidang Paralel v

1 Iwan Pranoto, Mengkaji Relevansi Kecakapan Pemecahan Masalah Tak Rutin dalam Matematika Sekolah

1

2 Didi Suryadi, Pemecahan Masalah Matematis: Dimensi Berpikir, Proses Kognitif, dan Strategi Heuristic

6

3 Kartinah, S.Si., M.Pd., Asessment for Learning (AfL) untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Mahasiswa Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Semarang pada Mata Kuliah Kalkulus II

25

4 Drs. Rasiman, M.Pd., Penjenjangan Kemampuan Berpikir Kritis Mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Semarang dalam Menyelesaikan Masalah Matematika

33

5 Baso Amri, Efektifitas Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD Dalam Meningkatkan Pemahaman Siswa Pada Materi Bangun Ruang Prisma Melalui Implementasi Alat Peraga

40

6 Ester Simbolon, Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Siswa Melalui Penerapan Tutor Sebaya pada Materi Pertidaksamaan Kuadrat di Kelas X SMA Damai Jakarta Barat

47

7 Suhas Caryono, Hubungan Prestasi Belajar Matematika Dengan Kemampuan Menyelesaikan Masalah Siswa Menurut Persepsi Guru Matematika dan Guru BK

56

8 Wiryanto, Abstraksi Siswa Sekolah Dasar dalam Merepresentasikan Konsep Pecahan Ditinjau Berdasarkan Perbedaan Gender

62

9 Sutrisno, S.Si., M.Pd, Peran Matematika dalam Meningkatkan kemampuan Menyelesaikan Masalah

77

10 Elda Herlina, Advanced Mathematical Thinking: Apa, Mengapa, dan Bagaimana Mengembangkannya pada Mahasiswa?

85

11 Mustamin Idris, Pengaruh Kriteria Penilaian dan Model Pembelajaran Terhadap Hasil Belajar Matematika Siswa SMP Negeri Kota Palu (Suatu Eksperimen pada Siswa SMP Negeri Kota Palu)

98

12 Martina Sri Handani, Upaya Meningkatkan Pemahaman Tentang Operasi Pecahan Dengan Pembelajaran Menggunakan Alat Peraga Di Tingkat SMP

110

13 Agustina Purwaningsih, Upaya Menumbuhkan Pemahaman Pada Penjumlahan Bilangan Cacah Sampai 20 Melalui Pendekatan Realistik di Sekolah Dasar Damai Kelas I

117

14 Makmuri, Pengembangan Multimedia Pembelajaran Matematika Berbasis Ict Untuk Meningkatkan Hasil Belajar Siswa Sma

126

15 Hepsi Nindiasari, Meningkatkan Disposisi Berpikir Reflektif Matematis Melalui Pembelajaran dengan Pendekatan Metakognitif

133

16 Dra. Enny Widawati., MT, Usulan Perencanaan Pengadaan Obat-obatan dalam 143

iii

Instalasi Farmasi Rumah Sakit (Studi Kasus: Rumah Sakit Atma Jaya, Jakarta)

17 Yuli Andriani, Penentuan Rumus Persentil Peubah Acak Kontinu Distribusi Eksponensial Menggunakan Statistika Tataan

155

18 Muhammad Zaki Riyanto, Protokol Perjanjian Kunci Rahasia Menggunakan Metode Penyembunyian Subgrup Atas Grup Non-Komutatif

160

19 Vera Maya Santi, Penerapan Model Log-Linier dan Tabel Kontingensi untuk Menganalisis Data Bertipe Kategorik(Studi Kasus: Penyakit Kulit Ganas Melanoma Pada Manusia)

167

20 Fevi Novkaniza, Penaksiran Parameter Univariate Partial Least Square Regression Menggunakan Algoritma NIPALS (Non Linier Iterative Partial Least Square)

175

21 Yudhi Mahatma, Estimasi Parameter Reservoir Komposit Menggunakan Ensembel Kalman Filter

188

22 Pudji Ismartini, Perbandingan Model Unilevel dan Multilevel pada Analisis Data Berstruktur Hirarki dengan Pendekatan Bayesian

200

23 Teguh Yuniarko, Metode Ekstrapolasi untuk Penyelesaian Sistem Persamaan Linier secara Iteratif

207

24 Suyono, Pendekatan Nonparametrik untuk Menentukan Availabilitas Suatu Sistem

213

25 Ida Dwijayanti, M.Pd., Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Humanistik Berideologi Pancasila Berbasis Konstruktivisme Menggunakan ICT Materi Segi Empat di SMP

26 Kristina Intan Kartika Putri, Bagan Kendali Exponentially Weighted Moving Average Untuk Mean Proses

213

Pendekatan Nonparametrik untuk Menentukan Availabilitas Suatu Sistem

Suyono

Jurusan Matematika FMIPA UNJ

Perhatikan sebuah sistem yang pada sebarang titik waktu dapat dikategorikan sebagai

dalam keadaan bekerja atau sedang dalam perbaikan. Waktu-waktu bekerja sistem

dianggap saling independen dan berdistribusi identik dengan distribusi sebarang,

demikian pula untuk waktu-waktu perbaikan sistem. Pada makalah ini dibahas

pendekatan nonparametrik untuk menentukan availabilitas sistem tersebut, yakni waktu-

waktu bekerja dan perbaikan sistem tidak dimodelkan dengan distribusi parametrik

tertentu. Dengan pendekatan ini pertama-tama diturunkan transformasi Laplace dari

availabilitas sistem yang memuat transformasi Laplace Stieltjes dari waktu-waktu bekerja

dan perbaikan. Selanjutnya dengan menggunakan fungsi distribusi empirik dari sample

untuk waktu bekerja dan waktu perbaikan transformasi Laplace ini diiversi secara

numerik.

Kata Kunci: Availabilitas sistem, transformasi Laplace, fungsi distribusi empirik

1. Pendahuluan

Perhatikan sebuah sistem yang mulai dioperasikan pada waktu t = 0. Setelah

bekerja selama T1 sistem tersebut gagal dan segera diperbaiki selama R1 sehingga sistem

dapat bekerja kembali. Segera setelah selesai perbaikan sistem bekerja kembali selama T2

sampai gagal dan segera diperbaiki selama R2. Proses ini dianggap berlangsung terus

menerus. Jadi pada sembarang titik waktu t sistem dapat dikategorikan sedang dalam

keadaan bekerja atau sedang diperbaiki. Probabilitas sistem bekerja pada waktu t

dinamakan availabilitas sistem pada waktu t dan merupakan salah satu ukuran kinerja

sistem. Semakin besar availabilitas sistem maka semakin baik kinerja sistem tersebut.

Banyak literatur membahas tentang availabilitas sistem. Barlow dan Proschan

(1975) menyajikan rumus eksplisit untuk availabilitas sistem dimana waktu bekerja dan

waktu perbaikan sistem diasumsikan saling independen dan berdistribusi eksponensial.

Pham Gia dan Turkan (1999) membahas availabitas sistem dengan waktu bekerja dan

waktu perbaikan sistem diasumsikan berdistribusi Gamma yang merupakan generalisasi

dari distribusi eksponensial. Suyono (2002) membahas availabilitas sistem dimana waktu

bekerja dan waktu perbaikan sistem berdistribusi sebarang dan mungkin berkorelasi.

Selanjutnya Suyono (2008) juga membahas availabilitas sistem yang dimodelkan dengan

delayed delayed alternating renewal process. Dalam makalah ini akan dibahas

pendekatan nonparametrik untuk menentukan availabilitas sistem, yakni waktu-waktu

bekerja dan perbaikan sistem tidak dimodelkan dengan distribusi parametrik tertentu

(bebas distribusi).

Susunan makalah ini adalah sebagai berikut. Di Bagian 2 akan dibahas

availabilitas sistem. Transformasi Laplace dari availabilitas sistem disajikan di bagian ini.

Bagian 3 membahas inversi transformasi Laplace secara numerik Selanjutnya di bagian

terakhir dibahas pendekatan nonparametrik untuk menentukan availabilitas sistem.

Sebuah contoh perhitungan availabilitas sistem disajikan dalam bagian ini.

214

2. Availabilitas Sistem

Misalkan (Tn) dan (Rn), n≥1, adalah barisan waktu-waktu bekerja dan waktu-

waktu perbaikan suatu sistem. Anggap (Tn) dan (Rn), n≥1, merupakan barisan variabel

acak non-negatif yang saling independen dan berdistribusi identik. Anggap pula barisan

(Tn) dan (Rn) saling independen. Notasikan berturut-turut dengan F dan G fungsi-fungsi

distribusi kumulatif dari Ti dan Ri, yakni

F(t) = P(Ti t) dan G(t) = P(Ri t).

Untuk selanjutnya akan dianggap F dan G kontinu. Transformasi Laplace Stieltjes dari F

dan G akan dinotasikan dengan F dan G , yakni untuk s > 0,

][)()( 1

0

sTst eEtdFesF

dan ][)()( 1

0

sRst eEtdGesG

.

Jelas bahwa kedua transformasi Laplace Stieltjes ini dijamin ada.

Misalkan Zn = Xn + Yn, n≥1. Notasikan dengan H fungsi distribusi kumulatif dari

Zn. Seperti sebelumnya transformasi Laplace Stieltjes dari H akan dinotasikan dengan H .

Notasikan dengan A(t) availabilitas sistem pada waktu t.

Teorema 2.1. Availabilitas sistem A(t) memenuhi persamaan integral

t

zdHztAtFtA0

)()()()( (1)

dimana ).(1)( tFtF

Bukti:

Dengan mengkondisikan pada Z1 diperoleh

t

t

t

zdHztAtF

zdHzZtTtP

zdHzZtTtPtTP

tTtPtTtP

tPtA

0

11

0

111

11

)()()(

)()|, waktu pada bekerja Sistem(

)()|, waktu pada bekerja Sistem()(

), waktu pada bekerja Sistem(), waktu pada bekerja Sistem(

) waktupada bekerja Sistem()(

Untuk menentukan availabilitas sistem A(t) dengan menggunakan persamaan

integral di atas pada umumnya sulit dilakukan. Salah satu cara untuk mengatasinya

adalah dengan mencari transformasi Laplace dari A(t) dan kemudian menginversi

transformasi Laplace yang diperoleh untuk mendapatkan kembali A(t). Dalam beberapa

kasus transformasi Laplace dari A(t) dapat diinversi secara analitik, tetapi pada umumnya

harus diinversi secara numerik. Untuk inversi transformasi Laplace secara numerik lihat

misalnya Abate dan Whitt (1992). Transformasi Laplace dari A(t) diberikan dalam

teorema berikut.

215

Teorema 2.2. Transformasi Laplace dari A(t) diberikan oleh, untuk s > 0,

)](1[

)(1)(

0sHs

sFdtetA st

(2)

Bukti: Dengan mengambil transformasi Laplace pada kedua ruas persamaan (1)

diperoleh

0

000

0 0

)(

0

00

0 000

)()()](1[1

)()()(11

)()()(1

)()()](1[

)()()()(

dwewAsHsFs

zdHedwewAtdFess

zdwdHewAdtetFs

zdtdHeztAdtetF

dtzdHeztAdtetFdtetA

sw

szswst

z w

zwsst

z zt

stst

t

t

z

ststst

Sebagai akibatnya

)](1[

)(1)(

0sHs

sFdtetA st

.

Akibat 2.3. Jika (Tn) dan (Rn) independen maka

)]()(1[

)(1)(

0sGsFs

sFdtetA st

. (3)

Bukti: Gunakan sifat bahwa jika Tn dan Rn independen maka

].[exp()][exp())]([exp( nnnn sREsTERTsE

3. Inversi Secara Numerik dari Transformasi Laplace

Misalkan f merupakan fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval [0,).

Transformasi Laplace dari f didefinisikan sebagai

0

,)()(ˆ dxexfsf sx

dimana s adalah variabel kompleks, bilamana nilai integral ini ada. Apabila diketahui

transformasi Laplace f̂ , fungsi f dapat ditemukan kembali dengan menggunakan rumus

inversi:

dueiuafe

xf ituax

)(ˆ2

)(

(4)

216

dimana 1i dan a adalah bilangan real yang dipilih sedemikian hingga )(ˆ sf tidak

memiliki titik singular di sebelah kanan atau pada garis vertikal s=a, lihat Abate dan

Whitt (1992). Untuk beberapa transformasi Laplace f̂ , fungsi f dapat ditemukan kembali

secara analitik, tabel untuk ini tersedia, lihat misalnya Oberhettinger (1973). Pada

umumnya transformasi Laplace f̂ tidak dapat diinversi secara analitik dan untuk itu

diperlukan suatu prosedur untuk menginversi transformasi Laplace secara numerik.

Beberapa algoritma untuk menginversi transformasi Laplace secara numerik telah

dibahas oleh beberapa peneliti, antara lain Iseger dan Smith (1998), dan Abate dan Whitt

(1992). Mengikuti Abate dan Whitt disini akan digunakan aturan trapesium untuk

mengaproksimasi integral (4).

Integral suatu fungsi g pada interval terbatas [a,b] dapat diaproksimasi dengan

aturan trapesium sebagai berikut:

b

a

n

k

khagbgag

hxg1

1

)(2

)()()(

dimana h=(b-a)/n, lihat Abate dan Whitt (1992). Jika a=- dan b= dan fungsi g

terintegralkan pada seluruh garis real maka rumus di atas menjadi

k

khghxg )()( 11 (5)

dimana h1 adalah suatu konstanta positif yang cukup kecil.

Dengan menerapkan rumus (5) terhadap (4) dan dengan mengambil h1=/x, x>0,

dan a=A/x, maka diperoleh

x

kiAf

x

exf k

A ˆ)1(2

)( .

Dalam praktek rumus ini diaprokasimasi dengan

M

M

kA

x

kiAf

x

exf

ˆ)1(2

)( (6)

Dengan menggunakan fakta bahwa ))(ˆRe()(ˆ)(ˆ sfsfsf , dimana s dan Re(s)

masing-masing menyatakan konjugasi kompleks dan bagian real dari s, rumus (6) dapat

dituliskan sebagai

M

k

kAA

x

kiAf

x

exAf

x

exf

1

ˆRe)1()/(ˆ2

)(

(7)

Pada bagian selanjutnya rumus (6) dan (7) akan dipakai untuk menginversi secara

numerik transformasi Laplace dari A(t).

3. Pendekatan Nonparametrik untuk Menentukan Availabilitas Sistem

Pada bagian ini akan dibahas pendekatan nonparametrik untuk menentukan

availabilitas sistem dimana waktu bekerja dan waktu perbaikan dianggap tidak

mempunyai distribusi parametrik tertentu (bebas distribusi). Sebagai gantinya akan

digunakan fungsi distribusi empirik dari waktu bekerja dan waktu perbaikan sistem.

217

Misalkan T1, T2,…, Tn merupakan sampel acak dari waktu-waktu bekerja sistem

yang bebas distribusi. Fungsi distribusi empirik dari sampel tersebut didefinisikan

sebagai:

n

nitTtF i

n

},...,2,1:{#)(

Fungsi distribusi empirik ini mempunyai sifat ‘baik’ karena (menurut teorema Glivenko-

Cantelli, lihat Chung (2001)) dengan probabilitas 1,

0|)()(|sup

tFtFt

n untuk n → .

Secara serupa, misalkan R1, R2,…, Rn merupakan sampel acak dari waktu-waktu

perbaikan sistem. Maka fungsi distribusi empirik dari sampel tersebut adalah

n

nirRrG i

n

},...,2,1:{#)(

Transformasi Laplace-Stieltjes dari Fn dan Gn masing-masing adalah

n

i

st

nie

nsF

1

* 1)( dan

n

i

sr

nie

nsG

1

* 1)(

Dengan menggunakan Akibat 2.3, dengan F dan G masing-masing diganti dengan Fn dan

Gn, maka diperoleh

n

i

srn

i

st

n

i

st

n

i

srn

i

st

n

i

st

st

ii

i

ii

i

eens

enn

en

en

s

en

dtetA

11

2

1

11

1

0 111

11

)( (8)

Rumus ini dapat digunakan untuk menentukan availabilitas sistem dengan pendekatan

nonparametrik. Berikut ini akan diberikan sebuah contoh.

Misalkan diberikan 100 sampel dari waktu-waktu bekerja sistem yang telah

diurutkan sebagai berikut:

0.2014 0.6664 0.6853 0.6880 0.7258 0.8102 0.8203 0.8766

0.9077 0.9619 0.9773 1.1325 1.1913 1.4386 1.4804 1.5057

1.5111 1.5537 1.5630 1.6572 1.6781 1.7720 1.7829 1.7913

1.8070 1.8203 1.8663 1.9589 2.0389 2.0503 2.1057 2.1692

2.2219 2.2773 2.2907 2.3005 2.3186 2.3366 2.4586 2.4815

2.5102 2.5111 2.5831 2.6499 2.6733 2.6824 2.6898 2.7248

2.7412 2.8018 2.8168 2.8419 2.8496 2.8593 2.8599 2.8849

2.9712 3.0078 3.0950 3.1470 3.1570 3.1773 3.1913 3.1937

3.2173 3.2430 3.2982 3.3542 3.3828 3.3853 3.4103 3.5151

3.5523 3.6049 3.7846 3.8340 3.9133 4.0322 4.1204 4.1537

4.2675 4.3298 4.3583 4.3838 4.4286 4.4987 4.5142 4.7532

5.0715 5.1105 5.3887 5.6598 5.7930 6.1923 6.5495 6.6028

7.0349 7.0449 8.2473 9.5257

Misalkan juga diberikan 100 sampel dari waktu-waktu perbaikan sistem yang telah

diurutkan sebagai berikut:

0.0099 0.0118 0.0154 0.0198 0.0596 0.0670 0.1468 0.1495

0.1635 0.1899 0.1939 0.2103 0.2150 0.2215 0.2217 0.2221

0.2265 0.2266 0.2561 0.2908 0.3167 0.3177 0.3346 0.3421

218

0.3549 0.3606 0.3633 0.3700 0.4064 0.4173 0.4185 0.4352

0.4627 0.4754 0.4772 0.5204 0.5281 0.5424 0.5508 0.5602

0.5672 0.5886 0.5890 0.6273 0.6334 0.6863 0.6988 0.7247

0.7394 0.7448 0.7546 0.7637 0.7802 0.7909 0.8395 0.8670

0.8742 0.9003 0.9258 0.9556 0.9710 1.0231 1.0354 1.0795

1.0831 1.1152 1.1434 1.1464 1.1860 1.1970 1.2131 1.2361

1.2987 1.3368 1.3402 1.3735 1.4286 1.5699 1.5839 1.6775

1.7036 1.7239 1.7826 1.8209 1.8232 1.8722 1.9218 1.9662

2.0854 2.1214 2.2410 2.2434 2.3003 2.4878 2.5487 2.6855

2.7406 3.1429 3.8994 4.4512

Availabilitas sistem dapat diperoleh dengan menginversi secara numerik transformasi

Laplace dari A(t) yang diberikan pada persamaan (8) dengan menggunakan data-data di

atas. Berikut ini program yang ditulis dalam MATLAB untuk menginversi transformasi

Laplace dari A(t).

function [f]=availabilitas(t,M)

%Program untuk menghitung A(t)

A=5;

B=A/t;

C=i*pi/t;

P=exp(A)/(2*t);

m=0;

for j=-M:M

s = B+C*

E1=exp(-0.2014*s); E2=exp(-0.6664*s); E3=exp(-0.6853*s); E4=exp(-0.6880*s);

E5=exp(-0.7258*s); E6=exp(-0.8102*s); E7=exp(-0.8203*s); E8=exp(-0.8766*s);

E9=exp(-0.9077*s); E10=exp(-0.9619*s); E11=exp(-0.9773*s); E12=exp(-1.1325*s);

E13=exp(-1.1913*s); E14=exp(-1.4386*s); E15=exp(-1.4804*s); E16=exp(-1.5057*s);

E17=exp(-1.5111*s); E18=exp(-1.5537*s); E19=exp(-1.5630*s); E20=exp(-1.6572*s);

E21=exp(-1.6781*s); E22=exp(-1.7720*s); E23=exp(-1.7829*s); E24=exp(-1.7913*s);

E25=exp(-1.8070*s); E26=exp(-1.8203*s); E27=exp(-1.8663*s); E28=exp(-1.9589*s);

E29=exp(-2.0389*s); E30=exp(-2.0503*s); E31=exp(-2.1057*s); E32=exp(-2.1692*s);

E33=exp(-2.2219*s); E34=exp(-2.2773*s); E35=exp(-2.2907*s); E36=exp(-2.3005*s);

E37=exp(-2.3186*s); E38=exp(-2.3366*s); E39=exp(-2.4586*s); E40=exp(-2.4815*s);

E41=exp(-2.5102*s); E42=exp(-2.5111*s); E43=exp(-2.5831*s); E44=exp(-2.6499*s);

E45=exp(-2.6733*s); E46=exp(-2.6824*s); E47=exp(-2.6898*s); E48=exp(-2.7248*s);

E49=exp(-2.7412*s); E50=exp(-2.8018*s); E51=exp(-2.8168*s); E52=exp(-2.8419*s);

E53=exp(-2.8496*s); E54=exp(-2.8593*s); E55=exp(-2.8599*s); E56=exp(-2.8849*s);

E57=exp(-2.9712*s); E58=exp(-3.0078*s); E59=exp(-3.0950*s); E60=exp(-3.1470*s);

E61=exp(-3.1570*s); E62=exp(-3.1773*s); E63=exp(-3.1913*s); E64=exp(-3.1937*s);

E65=exp(-3.2173*s); E66=exp(-3.2430*s); E67=exp(-3.2982*s); E68=exp(-3.3542*s);

E69=exp(-3.3828*s); E70=exp(-3.3853*s); E71=exp(-3.4103*s); E72=exp(-3.5151*s);

E73=exp(-3.5523*s); E74=exp(-3.6049*s); E75=exp(-3.7846*s); E76=exp(-3.8340*s);

E77=exp(-3.9133*s); E78=exp(-4.0322*s); E79=exp(-4.1204*s); E80=exp(-4.1537*s);

E81=exp(-4.2675*s); E82=exp(-4.3298*s); E83=exp(-4.3583*s); E84=exp(-4.3838*s);

E85=exp(-4.4286*s); E86=exp(-4.4987*s); E87=exp(-4.5142*s); E88=exp(-4.7532*s);

E89=exp(-5.0715*s); E90=exp(-5.1105*s); E91=exp(-5.3887*s); E92=exp(-5.6598*s);

E93=exp(-5.7930*s); E94=exp(-6.1923*s); E95=exp(-6.5495*s); E96=exp(-6.6028*s);

E97=exp(-7.0349*s); E98=exp(-7.0449*s); E99=exp(-8.2473*s); E100=exp(-9.5257*s);

219

S1=E1+E2+E3+E4+E5+E6+E7+E8+E9+E10+E11+E12+E13+E14+E15...

+E16+E17+E18+E19+E20+E21+E22+E23+E24+E25+E26+E27+E28+E29+E30...

+E31+E32+E33+E34+E35+E36+E37+E38+E39+E40+E41+E42+E43+E44+E45...

+E46+E47+E48+E49+E50+E51+E52+E53+E54+E55+E56+E57+E58+E59+E60...

+E61+E62+E63+E64+E65+E66+E67+E68+E69+E70+E71+E72+E73+E74+E75...

+E76+E77+E78+E79+E80+E81+E82+E83+E84+E85+E86+E87+E88+E89+E90...

+E91+E92+E93+E94+E95+E96+E97+E98+E99+E100;

F1=exp(-0.0099*s); F2=exp(-0.0118*s); F3=exp(-0.0154*s); F4=exp(-0.0198*s);

F5=exp(-0.0596*s); F6=exp(-0.0670*s); F7=exp(-0.1468*s); F8=exp(-0.1495*s);

F9=exp(-0.1635*s); F10=exp(-0.1899*s); F11=exp(-0.1939*s); F12=exp(-0.2103*s);

F13=exp(-0.2150*s); F14=exp(-0.2215*s); F15=exp(-0.2217*s); F16=exp(-0.2221*s);

F17=exp(-0.2265*s); F18=exp(-0.2266*s); F19=exp(-0.2561*s); F20=exp(-0.2908*s);

F21=exp(-0.3167*s); F22=exp(-0.3177*s); F23=exp(-0.3346*s); F24=exp(-0.3421*s);

F25=exp(-0.3549*s); F26=exp(-0.3606*s); F27=exp(-0.3633*s); F28=exp(-0.3700*s);

F29=exp(-0.4064*s); F30=exp(-0.4173*s); F31=exp(-0.4185*s); F32=exp(-0.4352*s);

F33=exp(-0.4627*s); F34=exp(-0.4754*s); F35=exp(-0.4772*s); F36=exp(-0.5204*s);

F37=exp(-0.5281*s); F38=exp(-0.5424*s); F39=exp(-0.5508*s); F40=exp(-0.5602*s);

F41=exp(-0.5672*s); F42=exp(-0.5886*s); F43=exp(-0.5890*s); F44=exp(-0.6273*s);

F45=exp(-0.6334*s); F46=exp(-0.6863*s); F47=exp(-0.6988*s); F48=exp(-0.7247*s);

F49=exp(-0.7394*s); F50=exp(-0.7448*s); F51=exp(-0.7546*s); F52=exp(-0.7637*s);

F53=exp(-0.7802*s); F54=exp(-0.7909*s); F55=exp(-0.8395*s); F56=exp(-0.8670*s);

F57=exp(-0.8742*s); F58=exp(-0.9003*s); F59=exp(-0.9258*s); F60=exp(-0.9556*s);

F61=exp(-0.9710*s); F62=exp(-1.0231*s); F63=exp(-1.0354*s); F64=exp(-1.0795*s);

F65=exp(-1.0831*s); F66=exp(-1.1152*s); F67=exp(-1.1434*s); F68=exp(-1.1464*s);

F69=exp(-1.1860*s); F70=exp(-1.1970*s); F71=exp(-1.2131*s); F72=exp(-1.2361*s);

F73=exp(-1.2987*s); F74=exp(-1.3368*s); F75=exp(-1.3402*s); F76=exp(-1.3735*s);

F77=exp(-1.4286*s); F78=exp(-1.5699*s); F79=exp(-1.5837*s); F80=exp(-1.6775*s);

F81=exp(-1.7036*s); F82=exp(-1.7239*s); F83=exp(-1.7826*s); F84=exp(-1.8209*s);

F85=exp(-1.8232*s); F86=exp(-1.8722*s); F87=exp(-1.9218*s); F88=exp(-1.9662*s);

F89=exp(-2.0854*s); F90=exp(-2.1214*s); F91=exp(-2.2410*s); F92=exp(-2.2434*s);

F93=exp(-2.3003*s); F94=exp(-2.4878*s); F95=exp(-2.5487*s); F96=exp(-2.6855*s);

F97=exp(-2.7406*s); F98=exp(-3.1429*s); F99=exp(-3.8994*s); F100=exp(-4.4512*s);

S2=F1+F2+F3+F4+F5+F6+F7+F8+F9+F10+F11+F12+F13+F14+F15...

+F16+F17+F18+F19+F20+F21+F22+F23+F24+F25+F26+F27+F28+F29+F30...

+F31+F32+F33+F34+F35+F36+F37+F38+F39+F40+F41+F42+F43+F44+F45...

+F46+F47+F48+F49+F50+F51+F52+F53+F54+F55+F56+F57+F58+F59+F60...

+F61+F62+F63+F64+F65+F66+F67+F68+F69+F70+F71+F72+F73+F74+F75...

+F76+F77+F78+F79+F80+F81+F82+F83+F84+F85+F86+F87+F88+F89+F90...

+F91+F92+F93+F94+F95+F96+F97+F98+F99+F100;

U1=100*S1;

U2=10000-U1;

V1=S1*S2;

V2=10000-V1;

V3=s*V2;

R=U2*V3;

m=m+(-1)^j*R;

end

f=real(P*m); %f=A(t).

Dari output-output program di atas dapat dibuat grafik untuk A(t) dan disajikan dalam

gambar berikut. Dari grafik terlihat bahwa availabilitas system mendekati konstan untuk t

220

yang makin besar dan ini sesuai dengan hasil teoritis, lihat misalnya Barlow dan Proschan

(1975).

Gambar 1. Grafik availabilitas sistem.

Daftar Pustaka

Abate, J. dan Whitt, W., (1992), The Fourier-series method for inverting transforms of

probability distributions, Queuing Systems, vol. 10, hal. 5 – 88.

Barlow, R. E. dan Proschan, F., (1975), Statistical Theory of Reliability and Life

Testing, Holt, Rinehart and Winston, New York.

Chung, K.L., (1968), A Course in Probability Theory, Academic Press, San Diego.

Iseger, P.W. and Smith, M.A.J., (1998), A new method for inverting Laplace transforms,

Econometric Institute, EUR Roterdam, hal. 1-14

Oberhettinger, F., (1973), Fourier Transforms of Distributions and Their Inverses: a

collection of tables, Academic Press, New York.

Pham-Gia, T. dan Turkkan, N., (1999), System availability in a Gamma alternating

renewal process, Naval Research Logistics, vol. 46 no. 7, hal. 822 – 844.

Suyono, (2002), Renewal Processes and Repairable Systems, Disertasi, Belanda.

Suyono, (2008), Availabilitas sistem yang dimodelkan dengan delayed alternating

renewal process, Disajikan pada Konferensi Nasional Matematika XIV di

Universitas Sriwijaya, Palembang.