Prosiding Seminar Nasional Matematika VIII · PDF file8 0 11. Berpikir Kreatif Matematika pada...

i

PROSIDING

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA VIII “Peran serta Cendekia Matematika dan Pendidikan Matematika dalam Akselerasi

Perubahan Karakter Bangsa”

ISBN 978-602-1034-06-4

EDITORIAL

Penanggungjawab

Prof. Dr. Wiyanto, M.Si.

Tim Review

Prof. Dr. Zaenuri Mastur, S.E. M. Si.,Akt.

Dr. Masrukan, M.Si

Dr. Wardono, M. Si

Dr. Iwan Junaedi, S.Si., M.Pd

Tim Editor

Ary Woro Kurniasih, S.Pd., M.Pd

Riza Arifudin, S.Pd., M.CS

Bambang Eko Susilo, S.Pd., M.Pd

Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc

Nuriana R. D. N., S.Pd., M.Pd

Amidi, S.Si., M.Pd

Layout

Zaidin Asyabah

Tiara Budi Utami

Cover Layouter

Luky Triohandoko

Penerbit:

Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang

ii

PRAKATA

Seminar Nasional Matematika VIII Jurusan Matematika FMIPA Unnes bertema,”Peran

serta Cendekia Matematika dan Pendidikan Matematika dalam Akselerasi Perubahan

Karakter Bangsa”. Seminar berlangsung pada hari Sabtu, tanggal 8 November 2014 di

kampus Universitas Negeri Semarang.

Tujuan seminar adalah tukar menukar hasil penelitian maupun gagasan konseptual

dalam bidang Pendidikan Matematika dan Matematika, serta mencari alternatif solusi

setiap permasalahan sebagai upaya akselerasi perubahan karakter bangsa.

Pemakalah yang hadir berasal dari berbagai kalangan, baik dosen, peneliti (praktisi),

maupun guru yang tersebar di seluruh Indonesia, seperti Unsyah (NAD), Surya

Research and Education Center Tangerang, Lembaga Penerbangan Antariksa Nasional,

UPI Bandung, Unswagati (Cirebon), Unnes Semarang, IKIP Veteran Semarang, UKSW

Salatiga, ITS Surabaya, Unesa Surabaya, dan Universitas Muhammadiyah Ponorogo.

Setiap makalah ditelaah oleh tim review, terkait substansi dan tata tulis, sebelum

diterbitkan.

Semoga penerbitan prosiding ini memberikan sumbangan bagi kemajuan ilmu

pengetahuan, khususnya Pendidikan Matematika dan Matematika.

Tim Editor

iii

DAFTAR ISI

Halaman

Editorial i

Prakata ii

Daftar Isi Iii

Bidang Kajian: Pendidikan Matematika

1. Pendidikan Karakter Terintegrasi dan Berkelanjutan di Tingkat

Sekolah hingga Perguruan Tinggi dengan Sistem Spiral guna

Militansi Bangsa (Sukestiyarno,, D.A.S.Q. Rizki, Universitas Negeri Semarang,

Jawa Tengah)

1

2. Pembelajaran Materi Segi Empat dengan Pendekatan Contextual

Teaching and Learning (CTL) untuk Meningkatkan Kemampuan

Pemecahan Masalah Siswa di SMP Negeri 1 Banda Aceh Tahun

Ajaran 2011/2012 (Ari Hestaliana. R, Universitas Syah Kuala, NAD)

7

3. Keefektifan Resource Based Learning dengan Jurnal Reflektif

terhadap Kemampuan Pemecahan Mahasiswa Matematika (Arief

Agoestanto, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

15

4. Implementasi Group Investigation untuk Meningkatkan Pemahaman

Mahasiswa tentang Pendekatan Ilmiah Melalui Telaah Kurikulum

Matematika 1 (Ary Woro Kurniasih, Univeritas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

21

5. Tinjauan Peran Teknologi dalam Pengajaran Geometri (Hery Sutarto,

Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

30

6. Faktor-faktor yang mempengaruhi Mahasiswa Memilih Program

Studi di Jurusan Matematika MIPA UNESA dengan menggunakan

Analisa Diskriminan (Hery Tri Sutanto, Universitas Negeri Surabaya, Jawa

Timur)

36

7. Pengembangan Model Assessment for Learning (AfL) melalui Self

Assessment pada Pembelajaran Matematika di SMP Terpadu

Ponorogo (Intan Sari Rufiana, Universitas Muhammadiyah Ponorogo, Jawa

Timur)

49

8. Penerapan Model Pembelajaran Learning Cycle 7E dalam

Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa (Laelasari, Unswagati,

Jawa Barat)

64

9. Pembelajaran Matematika dengan Permainan Tangram untuk

Meningkatkan Keahlian Berpikir Geometri (Geometric Thinking

Skills) Siswa Sekolah Dasar (Olanda Dwi Sumintra, Ayu Erawati,, dan

Sulistiawati, Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) Surya,

Banten)

73

10. Analisis Kemampuan Guru PAUD dan Identifikasi Instrumen

Polytomous dengan Program Parscale di Kota Semarang (Risky

Setiawan, IKIP Veteran Semarang, Jawa Tengah)

80

11. Berpikir Kreatif Matematika pada Pembelajaran Sinektik (Studi 90

iv

Kasus di SMPN 2 Jatibarang Brebes) (Rochmad dan Laeli Rahmawati,

Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

12. Pembelajaran Perkalian Bilangan 1–10 dengan Matematika GASING

untuk Meningkatkan Hasil Belajar pada Siswa Sekolah Dasar

(Sulistiawati, Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) Surya,

Banten)

99

13. Pembelajaran ARIAS dengan Asesmen Kinerja untuk Meningkatkan

Kemampuan Pemecahan Masalah (Wardono dan Suryati, Universitas Negeri

Semarang, Jawa Tengah)

113

14. Eksplorasi Bentuk-Bentuk Etnomatematika dan Relasinya dengan

Konsep-Konsep Matematika (Zaenuri Mastur, Fathur Rokhman, dan SB

Waluya, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

121

15. Discovery-Learning dengan Asesmen Kinerja untuk Meningkatkan

Penalaran Matematis (Masrukan, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

132

16. Implementasi Brain-based learning berbantuan Web terhadap

Peningkatan Self Efficacy Mahasiswa (Nuriana Rachmani Dewi (Nino

Adhi), Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

139

17. Peran Menalar dalam Pembelajaran Matematika untuk Menanamkan

Nilai Karakter Religius (Bambang Eko Susilo, Universitas Negeri Semarang,

Jawa Tengah)

147

18. Menumbuhkan Kreativitas melalui Pendekatan Saintifik sebagai

Upaya Penerapan Kurikulum 2013 (Jayanti Putri Purwaningrum,

Universitas Pendidikan Indonesia, Jawa Barat)

157

19. Konsep Pembelajaran Science Technology Engineering Mathematics

(STEM) dengan Matematika sebagai Alat atau Bahasa Komunikasi

dalam Kurikulum 2013 (Suhud Wahyudi, Surya Rosa Putra, Darmaji, Soleha,

Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa Timur)

166

20. Mengklasifikasi Kesalahan Siswa dalam Mengerjakan Soal Uraian

Matematika Berdasarkan Prosedur Newman (Amin Suyitno, Universitas

Negeri Semarang, Jawa Tengah)

176

21. Membangun Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya

(Iwan Junaedi, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

184

22. Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Konstruktivis

berbasis Humanistik berbantuan E-Learning (Amidi, Universitas Negeri

Semarang, Jawa Tengah)

190

Bidang Kajian: Matematika dan Komputasi

No Judul Hal

23 Perbandingan Metode Arima Box – Jenkins dengan Metode Double

Exponential Smoothing dari Brown Dalam Memprediksi Jumlah

Pengunjung Perpustakaan Daerah Provinsi Jawa Tengah (Izza Hasanul

Muna dan Riza Arifudin, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

201

24 Penerapan Jaringan Kohonen Self Organizing Maps Untuk Clustering

Kualitas Air Kali Surabaya (Sri Rahmawati F., M. Isa Irawan, Nieke

Karnaningroem, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa Timur)

215

v

25 Resampling untuk Memperbesar Koefisien Determinasi dalam Model

Regresi Linear (Adi Setiawan, Universitas Kristen Satya Wacana, Jawa

Tengah)

224

26 Penerapan Estimator Robust RMCD pada Grafik Pengendali T2

Hotelling untuk Pengamatan Individual Bivariat dan Trivariat

(Angelita Titis Pertiwi, Adi Setiawan, Bambang Susanto, Universitas Kristen Satya

Wacana , Jawa Tengah)

233

27 Pemodelan Jaringan Syaraf Tiruan Backpropagation untuk Simulasi

Kualitas Air dan Daya Tampung Lingkungan di Kali Surabaya (Bima

Prihasto, M. Isa Irawa), Ali Masduqi, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa

Timur)

247

28 Penerapan Regresi Multivariate dalam Penentuan Terjadinya

Anomali Curah Hujan Ekstrim di P. Jawa (Eddy Hermawan, Lembaga

Penerbangan dan Antariksa Nasional, Jawa Barat)

261

29 Penerapan Metode Eliminasi Gauss-Jordan dalam Memecahkan

Masalah Kemacetan Lalu Lintas (Eliza Verdianingsih, Universitas

Pendidikan Indonesia, Jawa Barat)

267

30 Dimensi Partisi Graf Garis dari Graf Kincir K_1+mK_n dengan m≥2

dan n≥2 yang Diperumum (F. Kurnia Nirmala Sari dan Darmaji, Institut

Teknologi Sepuluh Nopember, Jawa Timur)

276

31 Penggunaan Aljabar Max Plus dan Petri Net untuk Perancangan

Penjadwalan Sistem Pelayanan Pasang Instalasi Baru di PDAM

(Margaretha Dwi Cahyani dan Subiono, Institut Teknologi Sepuluh Nopember,

Jawa Timur)

285

32 Pemodelan Matematika untuk Epidemi Chikungunya pada Populasi

Manusia dengan Non Specific Treatment (Muhammad Kharis, Universitas

Negeri Semarang Jawa Tengah)

298

33 Model GSTAR Termodifikasi untuk Produktivitas Jagung di Boyolali

(Priska Dwi Apriyanti, Hanna Arini Parhusip, dan Lilik Linawati, Universitas

Kristen Satya Wacana, Jawa Tengah)

314

34 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid 2 Dimensi menjadi 3

Dimensi dengan Sistem Koordinat Bola (Purwoto, Hanna Arini Parhusip,

dan Tundjung Mahatma, Universitas Kristen Satya Wacana, Jawa Tengah)

326

35 Estimasi Kurva Regresi Semiparametrik dengan Komponen

Parametrik Berpola Polinomial (Lilis Anisah, Institut Teknologi Sepuluh

Nopember Surabaya Jawa Timur)

337

36 Model Jaringan Syaraf Fuzzy Radial Basis Function untuk Peramalan

Nilai BOD pada Kali Surabaya (Nisa Ayunda, Mohammad Isa Irawan, Nieke

Karnaningroem, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Jawa Timur)

342

37 Masalah Penugasan Optimal dengan Algoritma Kuhn-Munkres

(Mulyono, Universitas Negeri Semarang, Jawa Tengah)

351

Penerapan Estimator Robust RMCD

ISBN 978-602-1034-06-4 233

PENERAPAN ESTIMATOR ROBUST RMCD PADA GRAFIK

PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PENGAMATAN

INDIVIDUAL BIVARIAT DAN TRIVARIAT

Angelita Titis Pertiwi

1), Adi Setiawan

2), Bambang Susanto

3)

1)Mahasiswa Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya

Wacana

Jalan Diponegoro No. 52-60, Salatiga

Surel: 1)[email protected] 2)3)Dosen Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana

Jalan Diponegoro No. 52-60, Salatiga

Surel: 2)[email protected], 3)[email protected]

Abstrak

Untuk memonitor proses atau kualitas produk secara multivariat, biasa digunakan grafik

pengendali T2 Hotelling. Grafik pengendali T2 Hotelling sensitif terhadap titik-titik ekstrim

(outliers) karena grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan vektor rata-rata dan matriks

kovariansi dari sampel. Untuk itu digunakan estimator robust (tegar) RMCD (Reweighted

Minimum Covariance Determinant) pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan

individual supaya grafik pengendali T2 Hotelling yang didapat lebih tegar terhadap outliers di

phase I. Dalam tulisan ini akan diuraikan tentang penerapan estimator robust RMCD pada grafik

pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (dua variabel) dan trivariat (tiga

variabel), karena studi kasus dilakukan pada data karakteristik kualitas parfum remaja dari

perusahaan “X” yang mempunyai tiga variabel. Variabel yang digunakan adalah karakteristik

kualitas yang diukur dalam memonitor kualitas produk parfum remaja, yaitu pH parfum remaja,

refractive index (RI) atau index bias parfum remaja setelah dikemas, dan masa jenis parfum

remaja. Dari penerapan didapat grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual

menggunakan estimator robust RMCD bivariat dan trivariat yang hanya memerlukan dua kali

iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I.

Kata Kunci – Hotelling’s T

2 Control Chart; Robust Estimator; RMCD; Multivariate

Statistical Process Control

A. Pendahuluan

Grafik pengendali kualitas atau yang disebut control chart merupakan salah satu

alat yang digunakan dalam usaha mengendalikan kualitas proses karena dalam grafik

pengendali dapat diketahui kapan proses di luar kendali (out of control). Sering kali

dalam pengendalian kualitas tidak cukup dengan pengamatan univariat namun harus

secara multivariat. Menurut Montgomery (2009), grafik pengendali T2 Hotelling paling

banyak digunakan dalam pengendalian proses secara multivariat untuk memonitor

vektor rata-rata proses karena dalam grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan

vektor rata-rata dan matriks kovariansi dari sampel. Padahal vektor rata-rata dan matriks

kovariansi sampel sangat sensitif terhadap titik ekstrim (outliers). Karena itu dibutuhkan

estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi populasi yang tegar untuk membuat

grafik pengendali T2

Hotelling. Chenouri dkk (2009) mengusulkan untuk menggunakan

estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang robust (tegar), estimator

Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD), dalam penerapan grafik

pengendali T2

Hotelling untuk pengamatan individual. Grafik pengendali T2

Hotelling

mailto:[email protected]




ISBN 978-602-1034-06-4 234

untuk pengamatan individual menggunakan estimator RMCD ini selanjutnya disebut

dengan grafik pengendali .

Permasalahannya adalah bagaimanakah menerapkan grafik pengendali

bivariat dan trivariat? Studi kasus pun dilakukan untuk menerapkan grafik pengendali

bivariat dan trivariat. Studi kasus dilakukan menggunakan Data Karakteristik

Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 2011 yang diperoleh dari Lampiran I

Puspitoningrum (2011). Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi

pembaca tentang penerapan estimator robust khususnya RMCD pada grafik pengendali

T2

Hotelling untuk pengamatan individual dalam pengendalian kualitas produk atau

proses.

B. Tinjauan Pustaka

Puspitoningrum (2011) menggunakan grafik pengendali T2

Hotelling untuk

memonitor vektor rata-rata proses secara multivariat karena dalam grafik pengendali T2

Hotelling menggunakan rata-rata vektor dan matriks kovariansi dari sampel.

Pengestimasian parameter pengendali pada phase I, dalam hal ini vektor rata-rata dan

matriks kovariansi Ʃ dari distribusi normal multivariat N(,Ʃ) adalah hal yang paling

penting. Asumsi in control pada data historis phase I tidak selalu benar, maka dari itu

dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang lebih tegar terhadap

outliers dibanding vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel. Chenouri dkk (2009)

mengusulkan untuk menggunakan estimator RMCD untuk diterapkan dalam grafik

pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual.

Chenouri dkk (2009) mengusulkan RMCD sebagai estimator rata-rata vektor dan

matriks kovariansi yang tegar karena RMCD merupakan estimator yang affine

equivariant dengan titik breakdown yang tinggi, laju konvergensi n-1/2

, efisiensi tinggi,

dan memiliki algoritma aproksimasi yang baik untuk tujuan komputasional. Penjelasan

tentang affine equivariant, titik breakdown, laju konvergensi, efisiensi secara statistik

dan efisiensi secara komputasi dapat dilihat pada Zhang (2011) dan Vanpaemel (2013).

Algoritma aproksimasi untuk estimator RMCD yang baik untuk tujuan komputasional

adalah FAST-MCD yang diberikan oleh Rousseeuw dan van Driessen (1999). FAST-

MCD sudah diterjemahkan ke dalam software R dalam paket rrcov, robust dan

robustbase, dapat dilihat dalam Hubert dkk (2008).

Sudah dibuktikan oleh Chenouri dkk (2009) bahwa grafik pengendali lebih

tegar dibanding grafik pengendali T2

Hotelling untuk pengamatan individual biasa

ketika terdapat outliers pada proses selama phase I. Penelitian juga dilakukan oleh

Prastyowati (2009) yang membandingkan ketegaran grafik pengendali T2

Hotelling

berbasis overlapping groups menggunakan estimator RMCD dengan grafik pengendali

. Penelitian lain dilakukan Variyath dan Vattathoor (2013) yang mengemukakan

bahwa pada phase I, grafik pengendali T2

Hotelling menggunakan estimator RMCD

baik untuk data dengan jumlah pengamatan dan dimensi (variabel) yang lebih besar dari

pada grafik pengendali T2

Hotelling menggunakan estimator RMVE (Reweighted

Minimum Volume Ellipsoid). Penelitian tentang grafik pengendali dilakukan pula

oleh Mohammadi dkk (2010) dan penelitian tentang ketegaran grafik pengendali

phase II dilakukan oleh Mohammadi dkk (2011).


ISBN 978-602-1034-06-4 235

C. Metode Penelitian

1. Estimator Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD)

Estimator RMCD merupakan pengembangan dari estimator Minimum Covariance

Determinant (MCD), yaitu dengan pembobotan, karena itu perlu mengestimasi

estimator MCD terlebih dahulu kemudian barulah mengestimasi estimator RMCD.

Algoritma yang terkenal dalam menaksir estimator MCD adalah FAST-MCD yang

diusulkan oleh Rousseuw dan van Driessen (1999). Penelitian ini menggunakan

Algoritma FAST-MCD yang sudah diterjemahkan ke dalam fungsi CovMcd() pada

paket rrcov yang ditulis oleh Todorov (2007) dalam software R. Estimator RMCD

untuk vektor rata-rata dan matriks kovariansi adalah vektor rata-rata yang diberi

bobot

(1)

dan matriks kovariansi

(2)

pembobotan berdasar pada jarak

(3)

sehingga bobot ditentukan dengan persamaan (4)

(4)

dan merupakan quantil ke- dari distribusi chi kuadrat. Chenouri dkk (2009)

mengusulkan untuk menggunakan =0,975 yang dianjurkan dan digunakan oleh

Rousseeuw dan van Driessen (1999). Dengan menggunakan

membuat konsisten dibawah distribusi normal multivariat. Faktor adalah

koreksi sampel terbatas (finite sample correction) yang diberikan oleh Pison dkk (2002)

pada (5)

(5)

dengan


ISBN 978-602-1034-06-4 236

Menurut Pison dkk (2002) bernilai sangat kecil ketika ukuran sampel m

kecil, dan untuk p tertentu naik secara monoton ke 1 ketika m mendekati

tak hingga. Dalam penelitian ini faktor koreksi sampel terbatas belum digunakan

dalam penghitungan , sehingga dianggap .

2. Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan

Estimator RMCD

Pengamatan dikatakan individual apabila ukuran masing-masing sampel n=1.

Diberikan m pengamatan individual dengan p karakteristik kualitas yang disusun ke

dalam matriks berukuran pada persamaan (6)

(6)

dengan , i=1,2,...,m menunjukkan pengamatan ke-i dari p-variat

dan diasumsikan vektor pengamatan in control, adalah vektor random identik,

independen, dan berdistribusi normal multivariat dinotasikan sebagai .

Bagian yang terpenting dari phase I penerapan grafik pengendali T2

Hotelling

adalah mengestimasi parameter vektor rata-rata populasi dan matriks kovariansi

populasi . Estimator dari dan adalah vektor rata-rata sampel dan matriks

kovariansi sampel S, sehingga diperoleh statistik T2 Hotelling pada persamaan (7)

. (7)

Karena asumsi vektor pengamatan in control tidak selalu benar, serta dan S sangat

sensitif terhadap outliers, jadi estimator klasik ( dan S) digantikan oleh estimator

RMCD yang tegar. Didapat statistik T2 Hotelling baru yang diberikan oleh persamaan

(8)

(8)

Chenouri dkk (2009) mengusulkan estimasi batas pengendali atas (BPA) untuk grafik

pengendali yang diberikan pada persamaan (9)


ISBN 978-602-1034-06-4 237

(9)

dengan nilai estimasi Least-Square parameter regresi dan diberikan

oleh Chenouri dkk (2009) pada Tabel 1 halaman 264. Sedangkan BPB (Batas

Pengendali Bawah) sama dengan grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan

individual biasa, BPB = 0.

3. Langkah-langkah Penerapan Grafik Pengendali T2

Hotelling untuk

Pengamatan Individual Menggunakan Estimator RMCD

Phase I

a. Menggunakan data phase I untuk menaksir vektor rata-rata dan matriks kovariansi

menggunakan estimator MCD kemudian dilanjutkan dengan menaksir estimator

robust RMCD sehingga didapat dan .

b. Menghitung dengan menggunakan persamaan (8).

c. Menentukan titik breakdown atau 0,25 dan =0,01 atau 0,001 untuk

memilih estimasi least square dan dari Chenouri dkk. (2009)

pada Tabel 1 halaman 264, kemudian menghitung BPA dari persamaan (9).

d. Mengkonstruksi grafik pengendali dengan memetakan nilai-nilai pada

langkah 2 dengan batas pengendali atas pada langkah 3.

e. Membuang pengamatan yang dengan asumsi penyebab diketahui.

f. Melakukan iterasi dari langkah 1 sampai langkah 5 hingga tercapai kondisi in

control.

Phase II

a. Menghitung menggunakan pengamatan baru dari dan yang

sudah didapat dari phase I.

b. Memetakan ke dalam grafik pengendali dengan batas pengendali yang sudah

diperoleh pada Phase I (langkah 4).

c. Mendeteksi pengamatan-pengamatan atau titik-titik di luar kendali (out of control

points), yaitu jika , atau polanya. Mendiagnosa proses jika

diperlukan.

Data yang digunakan dalam penelitian adalah data sekunder yang diperoleh dari

Lampiram I Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 2010,

Puspitoningrum (2011) yang berdistribusi normal secara multivariat dengan

menggunakan uji chi-square (Johnson & Wichern, 2002). Data yang digunakan

memiliki tiga variabel (p=3) yang telah ditetapkan sebagai pengendali kualitas, yaitu

pH (batas spesifikasi perusahaan 4 sampai 8), refractive index (RI) atau index bias

parfum remaja setelah dikemas (batas spesifikasi perusahaan 1,349 sampai 1,369), dan

masa jenis parfum remaja (batas spesifikasi perusahaan 0,884 sampai 0,930). Data

memiliki sebanyak m=320 pengamatan, 160 pengamatan pertama dianggap sebagai data

historis untuk phase I dan 160 pengamatan berikutnya dianggap sebagai pengamatan


ISBN 978-602-1034-06-4 238

baru untuk phase II. Pengolahan data dan komputasi menggunakan software R 3.0.1 dan

Matlab R2009a. Penelitian dilakukan dengan menerapkan estimator RMCD pada grafik

pengendali T2

Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (p=2, yaitu kombinasi

dua dari tiga variabel) dan trivariat (p=3). Grafik pengendali yang sudah didapat

kemudian diamati dan diidentifikasi titik-titik di luar kendali.

D. Hasil dan Pembahasan

Sebut variabel adalah karakteristik kualitas pH, adalah karakteristik kualitas

refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas, dan adalah

karakteristik kualitas masa jenis. Uji chi-square menunjukkan bahwa data karakteristik

kualitas parfum remaja periode April-Desember 2010 berdistribusi normal multivariat.

1. Penerapan Estimator RMCD pada Grafik Pengendali T2

Hotelling untuk

Pengamatan Individual Bivariat

Hasil penerapan phase I dari grafik pengendali bivariat dengan memilih

=0,01; =0,5 diberikan oleh Tabel 1. Menurut Davies dalam Chenouri dkk (2009)

kemungkinan titik breakdown tertinggi dari suatu estimator yang affine equivariant

adalah . Dipilih =0,5 karena pada kasus ini kemungkinan titik

breakdown tertinggi yang diperoleh adalah .

Tabel 1. Hasil Penerapan Prosedur Phase I Grafik Pengendali Bivariat

Pembeda

Kombinasi

dan dan dan

Iterasi

I

Jumlah

titik di luar

kendali

1 2 1

Indeks titik

di luar

kendali

155 23 & 39 155

Nilai

titik di luar

kendali

&

BPA 9,6958 9,6958 9,6958

Iterasi

II

Jumlah

titik di luar

kendali

0 ( in control) 0 ( in control) 0 ( in control)

Indeks titik

di luar

kendali

- - -

Nilai

titik di luar

- - -


ISBN 978-602-1034-06-4 239

kendali

BPA 9,7006 9,7055 9,7006

Dari Tabel 1 diketahui bahwa dibutuhkan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in

control pada prosedur phase I grafik pengendali bivariat di semua kombinasi

variabel, yaitu dan , dan , serta dan . Sesuai pada prosedur phase I

dilakukan iterasi I untuk langkah 1 sampai 5. Pada langkah 1 didapat estimator MCD

dari paket rrcov software R yang diberikan oleh Todorov (2007). Dari estimator MCD

dapat dihitung estimator RMCD ( dan ). iterasi I untuk semua

kombinasi secara berurutan adalah , dan .

iterasi I untuk semua kombinasi secara berurutan adalah

dan

.

dan digunakan untuk menentukan nilai sesuai langkah 2

menurut persamaan (8). Kemudian BPA dihitung berdasarkan langkah 3, yaitu memilih

=0,01; =0,5. Karena sudah diketahui p=2, sehingga digunakan nilai estimasi

1387,415 dan 1,6321. Dengan menggunakan persamaan (9)

didapatkan BPA untuk setiap kombinasi sama, yaitu 9,6958 karena pada iterasi I jumlah

pengamatan masih sama (160 pengamatan) untuk setiap kombinasi. Untuk mendapatkan

grafik pengendali dilakukan pemetaan dan BPA, grafik pengendali

bivariat iterasi I pada phase I ini ditunjukkan oleh Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3.

Gambar 1. Grafik pengendali

iterasi I phase I untuk variabel dan


iterasi I phase I untuk

variabel dan


ISBN 978-602-1034-06-4 240


iterasi I phase I untuk variabel dan

Dari grafik pengendali iterasi I pada Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3 dapat

diketahui ada titik-titik di luar kendali ( ). Pada kombinasi pertama ( dan

) terdapat satu titik di luar kendali di indeks ke-155 dengan nilai .

Pada kombinasi kedua ( dan ) terdapat dua titik di luar kendali di indeks 23 dan 39

dengan nilai dan . Pada kombinasi ketiga ( dan

) terdapat titik di luar kendali di indeks 155 dengan nilai . Titik-

titik di luar kendali ini kemudian dihapus dengan asumsi penyebab diketahui.

Setelah menghapus titik-titik di luar kendali dilakukan iterasi II, yaitu dengan

mengulang langkah 1 sampai 5. Pada iterasi II estimator RMCD vektor rata-rata,

yang baru untuk semua kombinasi, secara berurutan yaitu ,

dan . Sedangkan yang baru untuk semua kombinasi secara

berurutan yaitu: .

Dengan menggunakan dan yang baru dihitung kembali nilai-nilai

. BPA dihitung kembali menggunakan parameter-parameter yang sama pada

iterasi I, yang berubah adalah jumlah pengamatan karena sudah dilakukan penghapusan

pada iterasi I. Didapat BPA yang baru untuk kombinasi pertama hingga ketiga, secara

berurutan yaitu 9,7006; 9,7055; dan 9,7006. BPA untuk kombinasi pertama dan ketiga

sama karena jumlah titik di luar kendali yang dihapus sama. Kemudian dilakukan

pemetaan dan BPA. Ternyata pada iterasi II sudah dicapai kondisi in control,

yaitu kondisi dimana tidak ada nilai > BPA atau dengan kata lain tidak ada titik

di luar kendali. Iterasi dihentikan karena sudah dicapai kondisi in control, artinya phase

I selesai dilakukan dan dapat dilanjutkan dengan phase II, langkah 7 sampai langkah 9.

Grafik pengendali bivariat dalam kondisi in control iterasi II phase I pada semua

kombinasi ditunjukkan secara berurutan oleh Gambar 4, Gambar 5, dan Gambar 6.


ISBN 978-602-1034-06-4 241


bivariat iterasi II phase I untuk variabel

dan

Gambar 5. Grafik pengendali bivariat

iterasi II phase I untuk variabel dan


iterasi II phase I untuk variabel dan

Pada langkah 7 dihitung dari pengamatan baru (data ke-161 sampai ke-320)

mengunakan dan yang sudah didapat pada kondisi in control phase I.

Kemudian dan BPA (dari kondisi in control phase I) dipetakan sehingga didapat

grafik pengendali bivariat baru. Titik-titik di luar kendali pengamatan baru dapat

dideteksi dengan grafik pengendali bivariat pada phase II ini. Grafik pengendali

bivariat phase II untuk semua kombinasi secara berurutan diberikan oleh Gambar

7, Gambar 8, dan Gambar 9. Hasil penerapan estimator RMCD pada grafik pengendali

bivariat phase II diberikan oleh Tabel 3.


phase II untuk variabel dan


Bivariat phase II untuk variabel dan


ISBN 978-602-1034-06-4 242

Gambar 9. Grafik pengendali bivariat phase II untuk variabel dan

Tabel 3. Hasil Penerapan Prosedur Phase II Grafik Pengendali Bivariat

Kombinasi Jumlah Titik di Luar

Kendali

Indeks Titik di Luar

Kendali Nilai Titik di Luar

Kendali

dan 3 32 ;94;123 22,25; 10,64; 23,41

dan 6 61;73;78;93;103;104 11,09; 17,49; 20,92; 18,39;

28,55; 26,59

dan 2 32;123 24,11; 23,22

Dari Tabel 3 diketahui bahwa pada grafik pengendali bivariat phase II untuk

variabel dan yang diberikan oleh Gambar 7, ada tiga titik di luar kendali, yaitu

pada indeks 32, 94, dan 123, dengan nilai secara berurutan adalah 22,25; 10,64;

dan 23,41. Diketahui pula pada grafik pengendali bivariat phase II untuk variabel

dan yang diberikan oleh Gambar 8, ada enam titik di luar kendali, yaitu pada

indeks 61,73,78,93,103, dan 104, dengan nilai secara berurutan adalah 11,09;

17,49; 20,92; 18,39; 28,55; dan 26,59. Pada grafik pengendali bivariat phase II

untuk variabel dan yang diberikan oleh Gambar 9, ada dua titik di luar kendali,

yaitu pada indeks 32 dan 123, dengan nilai secara berurutan adalah 24,11 dan

23,22.

2. Penerapan Estimator RMCD pada Grafik Pengendali T2

Hotelling untuk

Pengamatan Individual Trivariat

Masih dipilih =0,5 karena pada kasus ini kemungkinan titik breakdown tertinggi

yang diperoleh adalah . Hasil penerapan

prosedur phase I dari grafik pengendali trivariat dengan memilih =0,01 ;

=0,5 diberikan oleh Tabel 4.


ISBN 978-602-1034-06-4 243

Tabel 4. Hasil Penerapan Prosedur Phase I Grafik Pengendali Trivariat

Pembeda Iterasi

I II

Jumlah Titik di

Luar Kendali 3 0(in control)

Indeks Titik di

Luar Kendali 23;39;155 -

Nilai

Titik di Luar

Kendali

16,46; 15,58; 17,51 -

BPA 14,5162 14,6166

Dari Tabel 4 diketahui bahwa dibutuhkan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in

control pada prosedur phase I grafik pengendali trivariat ( , , dan ). Sesuai

pada prosedur phase I dilakukan iterasi I untuk langkah 1 sampai 5. Pada langkah 1

didapat estimator MCD dari paket rrcov sofware R. Dari estimator MCD dapat dihitung

estimator RMCD, dan secara berurutan yaitu:

; .

dan digunakan untuk menentukan nilai sesuai langkah 2 menurut

persamaan (8). Kemudian BPA dihitung berdasarkan langkah 3, yaitu memilih =0,01 ;

=0,5. Karena sudah diketahui p=3, sehingga digunakan nilai estimasi

13533,973 dan . Sesuai langkah 3 digunakan persamaan (9) untuk

mendapatkan BPA=14,5162. Berikutnya dilakukan pemetaan dan BPA untuk

mendapatkan grafik pengendali trivariat. Grafik pengendali trivariat

iterasi I pada phase I ini ditunjukkan oleh Gambar 10.

Gambar 10. Grafik pengendali trivariat iterasi I phase I


ISBN 978-602-1034-06-4 244

Dari grafik pengendali trivariat iterasi I phase I pada Gambar 10 dapat

diketahui ada tiga titik di luar kendali pada indeks 23, 39, dan 155 dengan nilai

secara berturutan adalah 16,46; 15,58; dan 17,51. Sesuai langkah 5, titik-titik di luar

kendali ini dihapus dengan asumsi penyebab diketahui. Setelah menghapus titik-titik di

luar kendali dilakukan iterasi II, yaitu dengan mengulang langkah 1 sampai 5. Pada

iterasi II diperoleh estimator RMCD yang baru secara berurutan adalah

dan .

Dengan menggunakan dan yang baru dihitung kembali nilai-nilai

sesuai langkah 2. BPA dihitung kembali menggunakan parameter-parameter

yang sama pada iterasi I, yang berubah adalah jumlah pengamatan karena sudah

dilakukan penghapusan pada iterasi I. Dari langkah 3 didapat BPA yang baru, yaitu

14,6166. Kemudian dilakukan pemetaan dan BPA sesuai langkah 4. Ternyata

pada iterasi II sudah dicapai kondisi in control, yaitu kondisi dimana tidak ada nilai-

nilai > BPA. Iterasi dihentikan karena sudah dicapai kondisi in control, artinya

phase I selesai dilakukan dan dilanjutkan dengan prosedur phase II, langkah 7 sampai

langkah 9. Grafik pengendali trivariat dalam kondisi in control iterasi II phase I

ditunjukkan oleh Gambar 11.

Gambar 11. Grafik pengendali trivariat iterasi II phase I

Pada langkah 7 dihitung dari pengamatan baru (data ke-161 sampai ke-320)

mengunakan dan yang sudah didapat pada kondisi in control phase I.

Kemudian dan BPA (dari kondisi in control phase I) dipetakan sehingga didapat

grafik pengendali baru. Titik-titik di luar kendali pengamatan baru dapat dideteksi

dengan grafik pengendali trivariat pada phase II ini. Grafik pengendali

trivariat hasil penerapan phase II diberikan oleh Gambar 12.


ISBN 978-602-1034-06-4 245

Gambar 12. Grafik pengendali trivariat phase II

Pada Gambar 12 diketahui ada sebanyak delapan titik di luar kendali, yaitu pada indeks

32 , 46 , 73, 78, 93, 103, 104, dan 123 dengan nilai , secara berurutan yaitu

27,19415; 15,37344; 20,58837; 24,71327; 24,29873; 34,98609; 31,98614; dan

26,98379.

E. Simpulan dan Saran

Sudah diterapkan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling

untuk pengamatan individual bivariat dan trivariat pada data karakteristik kualitas

Parfum Remaja periode April-Desember 2010. Ternyata hanya diperlukan dua kali

iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I baik pada grafik pengendali

bivariat maupun grafik pengendali trivariat. Puspitoningrum (2011)

menyebutkan bahwa seluruh data memenuhi batas spesifikasi perusahaan, berarti

semakin sedikit titik di luar kendali semakin tegar grafik pengendali T2 Hotelling. Dapat

dilihat bahwa titik di luar kendali pada grafik pengendali lebih sedikit

dibandingkan dengan hasil penelitian Puspitoningrum (2011) yang menggunakan grafik

pengendali T2 Hotelling biasa. Perlu penelitian lebih lanjut dengan menggunakan faktor

koreksi sampel terbatas ( ) pada dan perlu juga penelitian lanjutan mengenai

ketegaran grafik pengendali pada banyaknya outliers.

F. Daftar Pustaka

Chenouri, S., Steiner, S. H., Variyath, A. M. 2009. A Multivariate Robust Control

Chart for Individual Observations. Journal of Quality Technology, Vol 41, No.

3, 259-271.

Hubert, Mia, Rousseeuw, Peter J. dan van Aelst, Stefan. 2008. High-Breakdown

Robust Multivariate Methods. Statistical Science 2008, Vol. 23, No. 1, 92–119.

DOI: 10.1214/088342307000000087.

Johnson, R.A. and Wichern, D.W. 2002. Applied Multivariate Statistical Analysis.

Third Edition. New Jersey: Prentice Hall.

Mohammadi, M., Midi, H., Arasan, J. dan Al-Talib, B. 2011. High Breakdown

Estimators to Robustify Phase II Multivariate Control Charts. Journal of Applied

Science 11 (3): 503-511.


ISBN 978-602-1034-06-4 246

Mohammadi, Mandana, Midi, Habshah dan Arasan, Jayanthi. 2010. Re-weighted

Robust Control Charts for Individual Observations. Proceedings of the 6th IMT-

GT Conference on Mathematics, Statistics and its Applications (ICMSA2010)

Universiti Tunku Abdul Rahman. Kuala Lumpur.

Montgomery D.C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control. Sixth

Edition.United States of America: John Wiley and Sons.

Pison, G.,van Alest, S., Willems, G. 2002. Small Sample Corrections for LTS and

MCD. Metrika 55, 111-123.

Prastyowati, Retno. 2009. Diagram Kontrol T2 Hottelling Berbasis Overlapping

Groups Covariance Matrix dengan Penaksir Robust RMCD. Tesis. Program

Magister Bidang Keahlian Perencanaan dan Evaluasi Pendidikan Jurusan

Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Surabaya: Institut

Teknologi Sepuluh Nopember.

Puspitoningrum, Fitria. 2011. Penerapan Grafik Hotelling T2 pada Karakteristik

Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan “X”. Skripsi. Program Studi

Matematika Fakultas Sains dan Matematika. Salatiga: Univ. Kristen Satya

Wacana.

Rosseeauw, P. J. and van Driessen, Katrien. 1999. A Fast Algorithm for the Minimum

Covariance Determinant Estimator. Technometrics, Vol 41, No. 3, 212-223.

Vanpaemel, Dina. 2013. Improved Outlier Detection Combining Extreme Value,

Nonparametric and Robust Statistics. Dissertation. Doctor in Science. Arenberg

Doctoraatsschool, Groep Wetenschap & Technologie. Heverlee: Katholieke

Universiteit Leuven.

Variyath, Asokan M. dan Vattathoor, Jayasankar. 2013. Robust Control Charts for

Monitoring Process Mean of Phase-I Multivariate Individual Observations.

Journal of Quality and Reliability Engineering, Volume 2013, Article ID

542305. Hindawi Publishing Corporation.

(http://dx.doi.org/10.1155/2013/54230, diakses 8 Oktober 2014).

Zhang, Jianfeng. 2011. Applications of A Robust Dispersion Estimator. Research

Dissertation. Doctor of Philosophy in Mathematics Department of Mathematics.

Carbondale: Southern Illionis University.

http://dx.doi.org/10.1155/2013/54230

Prosiding Seminar Nasional Matematika VIII · PDF file8 0 11. Berpikir Kreatif Matematika pada...

Documents

Transcript of Prosiding Seminar Nasional Matematika VIII · PDF file8 0 11. Berpikir Kreatif Matematika pada...