PENDAHULUAN

Logika ProposisiPembuktian Validitas Kalimat Proposisi dengan Pohon Semantik

1 POHON SEMANTIK Misalkan suatu kalimat logika A terdiri dari 3 proposisi p, q dan r Pohon semantik dimulai dengan cabang tertinggi untuk proposisi pertama (p) Cabang tertinggi ini terdiri cabang kiri (T) dan cabang kanan (F)Perhatikan cabang kiri No. 2 :Bila dengan p = T nilai kebenaran dari A sudah dapat ditentukan (bernilai benar atau salah), maka cabang No. 2 ini tidak bercabang, misalkan nilainya salahBila belum dapat ditentukan, maka cabang ini akan bercabang lagi, yaitu cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) untuk proposisi kedua q p = Tp = FF3p = Tp = F231p = Tp = F435q = Tq = FPerhatikan cabang kiri No. 4 :Bila dengan p = T dan q = T nilai kebenaran dari A sudah dapat ditentukan (bernilai benar atau salah), maka cabang No. 4 ini tidak bercabang, misalkan nilainya benarBila belum dapat ditentukan, maka cabang ini akan bercabang lagi, yaitu cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) untuk proposisi ketiga r p = Tp = FT35q = Tq = Fp = Tp = F35q = Tq = F67r = Tr = FLangkah-langkah tersebut di atas diulangi lagi untuk cabang-cabang lainKalimat logika dikatakan valid bila semua cabangnya bernilai benar, bila ada cabangnya yang bernilai salah, maka kalimat tsb dikatakan tidak validBila semua cabang bercabang lagi, maka pohon semantiknya menjadi :p = TTTr = Tr = FTTr = Tr = FTFr = Tr = FTTr = Tr = Fp = Fq = Tq = Fq = Tq = FMetoda pohon semantik dapat lebih efisien dari metoda tabel kebenaranContoh Soal 2.4 Tentukan validitas kalimat G : if (if x then y) then (if (not x) then not y)Jawab :Bentuk kalimat G implikasi :G1 G2p = Tp = F231G : (p q) (~ p ~ q)Periksa cabang No. 2 :Bila p = T, maka ~ p = FG2 : (~ p ~ q) = T apapun nilai qBila (~ p ~ q) = T, maka G = T apapun nilai G1 : (p q) Nilai G sudah dapat ditentukan, yaitu bernilai Tp = Tp = FT31Bentuk kalimat G implikasi :G1 G2G : (p q) (~ p ~ q)Periksa cabang No. 3 :Bila p = F, maka G1: (p q) = T apapun nilai q~ p = T, nilai G2 : (~ p ~ q) tergantung pada nilai qBila ~ q = T, maka G2 = T dan bila ~ q = F, maka G2 = FBila G2 = T, maka G = T dan bila G2 = F, maka G = FJadi nilai G belum sudah dapat ditentukan, cabang No. 3 bercabang lagip = Tp = FT45q = Tq = FBentuk kalimat G implikasi :G1 G2G : (p q) (~ p ~ q) Periksa cabang No. 4 :Bila p = F dan q = T, maka G1: (p q) = T dan G2 : (~ p ~ q) = FAkibatnya G : G1 G2 bernilai salah (F) Periksa cabang No. 5 :Bila p = F dan q = F, maka G1: (p q) = T dan G2 : (~ p ~ q) = TAkibatnya G : G1 G2 bernilai benar (T)p = Tp = FTFTq = Tq = FKarena ada cabang yang bernilai salah, maka kalimat G tidak validLatihan Soal 3 Tentukan validitas kalimat B : [p (q r)] [(p q) r]Bentuk kalimat biimplikasi B1 B2B1 : [p (q r)] B2 : [(p q) r]

NopqrNilai B1, B2 dan BLangkah berikut2T3FJawab :p = Tp = F231Contoh Soal 2.5 Tentukan validitas kalimat B : [p (q r)] [(p q) r]Jawab :Bentuk kalimat B biimplikasi : B1 B2p = Tp = F231NopqrNilai B1, B2 dan BLangkah berikut2TB1 tergantung pada nilai q, rB belum dapat ditentukanBercabang 4 dan 53FB1 = T dan B2 = T apapun nilai q, r B = T4TTBila r = T, maka B1 = T dan B2 = TBila r = F, maka B1 = F dan B2 = FB = T5TFB1 = T dan B2 = T apapun nilai r B = Tp = Tp = FTTTKarena semua cabang nilainya benar, maka kalimat B valid Lebih efisien dari tabel kebenaranLatihan Soal 4 (UTS Logika Matematika 3 Desember 2007)Periksalah validitas kalimat p (p q) dengan menggunakan pohon semantikJawab : Bentuk kalimat OR Eksklusif A = A1 A2 pq p qTTFTFTFTTFFFp = Tp = F231Soal latihan