PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - … · Seseorang yang mengisi kisahku ... dengan DNS...

METODE KUASA DAN APLIKASINYA

PADA MESIN PENCARI INTERNET

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun oleh:

Lina Meiliana

NIM: 043114014

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2011

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

POWER METHOD AND ITS APPLICATION

TO INTERNET SEARCH ENGINES

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain SARJANA SAINS Degree

In Mathematics

By:

Lina Meiliana

Student Number: 043114014

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2011


v

Sang Till Friheten (Engkaulah yang Terbaik yang Aku Kenal)

Engkaulah yang terbaik yang aku kenal

Engkaulah yang terkasih di dunia ini Engkau seperti bintang, seperti angin,

seperti gelombang, seperti burung, seperti bunga di ladang.

Engkaulah pembimbing dan sahabatku.

Engkaulah kebenaranku, harapanku, kekasihku. Engkaulah darahku, nafasku, mataku,

bahuku, tanganku, dan hatiku.

Kebebasan adalah namamu yang indah. Persahabatan adalah ibumu yang bangga.

Perhatian adalah saudaramu lelaki. Perdamaian adalah saudaramu perempuan.

Keberanian adalah ayahmu. Masa depan adalah tanggung jawabmu.

Engkaulah yang terbaik di dunia ini.

Karya sederhana ini kupersembahkan untuk: Papa dan Mama Tercinta

Cici, Koko, Adik, dan “Sang Jagoan Kecil” Romo Susilo, Teman-teman, dan Segenap Keluarga Besar

Seseorang yang mengisi kisahku Sahabat-sahabat terbaikku


viii

ABSTRAK

Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan

pangkat untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dominan suatu matriks.

Pada aplikasinya, Metode Kuasa digunakan untuk mengembangkan suatu

algoritma pencarian yang disebut algoritma PageRank. Algoritma tersebut

digunakan dalam mesin pencari Google untuk mengonstruksikan matriks yang

menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan

pencarian. Kemudian dengan menggunakan vektor eigen dominan dari matriks itu

disusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan tertentu untuk menentukan

peringkat situs-situs tersebut dalam urutan kepentingannya sebagai otoritas dan

hub.


ix

ABSTRACT

The Power Method is an approximation method using power sequence to

obtain dominant eigenvalue and eigenvector of a matrix. In its application, the

Power Method is used to develop a search algorithm called the PageRank

algorithm. The algorithm in fact is used in Google search engine to construct a

matrix which describes the structure of the referring pages that match the search.

Then using the dominant eigenvector of the matrix, sites will be listed in

importance order as an authority and hub.


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis persembahkan kepada Tuhan Yesus Kristus, yang

karena berkat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang disusun untuk

memenuhi syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

Penulis merasa bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa bantuan,

bimbingan, dukungan dan dorongan dari berbagai pihak yang sangat berarti bagi

penulis. Karena itu, dengan rendah hati penulis ingin mengucapkan terima kasih

yang sebesar-besarnya kepada:

1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Kaprodi Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dan membimbing penulis

secara akademik baik di dalam maupun di luar kelas.

2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing skripsi yang

telah banyak memberikan waktunya untuk memberikan bimbingan,

pengarahan, masukan, kritik, saran dan dukungan sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

3. Ibu Maria Vianney Anny Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji yang

pernah memberikan masukan untuk penulis.

4. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing

sementara. Terimakasih atas lelucon, ide, dan semangat yang diberikan.

5. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen yang menginspirasiku

secara tak langsung lewat canda tawa.

6. Bapak/Ibu Dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

mendidik penulis selama menjalani studi di Fakultas Sains dan Teknologi ini.

Terima kasih atas bimbingan dan arahannya selama ini.

7. Bapak Zaerilus Tukija, Ibu Erma Linda Santyas Rahayu, Ibu Chatarina Maria

sri Wijayanti, Mas Dwiratno Susilo dan para staff lain yang telah banyak

memberikan bantuan di sekretariat FST dan laboratorium atas pelayanan

administrasi dan bantuan yang diberikan.


xi

8. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staff yang telah menyediakan

fasilitas dan pelayanan kepada penulis selama masa perkuliahan.

9. Mama dan Papa tercinta dan terkasih, terima kasih buat semua doa, didikan,

bimbingan, nasehat, dukungan dan kepercayaan yang diberikan pada penulis

untuk mengambil keputusan dan langkah dalam menjalani kehidupan ini.

10. Grace Dalinartha dan Esther Natalia, S.Sn., kedua kakakku yang cerewet tapi

baik hati ini. Terima kasih untuk bantuan yang tak terhingga kalian untukku.

11. Kie Van Ivanky Saputra, S.Si., Ph.D., yang banyak membantu aku

menjelaskan dan memecahkan persoalan-persoalan mata kuliah dan skripsi.

12. Untuk “Sang Pemberi Kisah” dalam hidupku yang tidak ingin disebutkan

namanya, yang mengajariku untuk selalu tegar untuk setiap cobaan.

13. Teman-teman Universitas Kristen Maranatha, khususnya Reymon

Marlisyuniardi dan Yohanes Daniel Pangaribuan yang bersedia membantu

dalam penjelasan-penjelasan bidang IT yang dibahas dalam skripsi ini.

14. Teman-teman Kost Wisma Manunggal, Riko, Doddy, Qnoy, Pipin, Desy

yang tidak pernah lelah memberikan semangat untukku.

15. Teman-teman Matematika, terima kasih untuk keceriaan, kebersamaan,

dinamika, pertemuan, dan dukungan.

16. Semua pihak yang belum penulis sebutkan satu per satu di sini, terima kasih

untuk semua dukungan dan perhatiannya.

Penulis juga menyadari bahwa tulisan ini jauh dari sempurna. Oleh karena

itu, penulis mengharapkan adanya saran dan kritikan dari pembaca yang dapat

membangun penulis untuk mengembangkan kemampuan penulis menjadi lebih

baik. Penulis berharap agar skripsi ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca.

Penulis,

Lina Meiliana


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ..................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................... vi

LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK

KEPENTINGAN AKADEMIS ....................................................................... vii

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

ABSTRACT ..................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ..................................................................................... x

DAFTAR ISI .................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah ....................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ................................................................................ 6

C. Batasan Masalah .................................................................................. 7

D. Tujuan Penulisan .................................................................................. 7

E. Metode Penulisan ................................................................................. 7

F. Manfaat Penulisan ................................................................................ 7

G. Sistematika Penulisan .......................................................................... 8

BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN ............................................. 9

A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen .............................................................. 9

B. Nilai Eigen Matriks Segitiga ................................................................ 14

C. Nilai Eigen Matriks Pangkat ................................................................ 16

D. Nilai Eigen Kompleks .......................................................................... 17

E. Kegandaan Aljabar ............................................................................... 18


xiii

F. Nilai Eigen Matriks 2×2 ....................................................................... 20

G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2×2 ........................................................ 23

H. Determinan dan Teras Dinyatakan dalam Nilai Eigen ......................... 28

I. Diagonalisasi ........................................................................................ 30

BAB III METODE KUASA ............................................................................ 39

A. Metode Kuasa ...................................................................................... 39

B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides ......................................... 42

C. Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum ........................... 44

D. Laju Konvergensi Hasil Bagi Rayleigh................................................ 48

E. Prosedur Penghentian Iterasi ................................................................ 49

F. Aplikasi Metode Kuasa pada Mesin Pencari Internet .......................... 51

BAB IV PENUTUP ......................................................................................... 60

DAfTAR PUSTAKA ....................................................................................... 63


BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Internet dapat diartikan sebagai jaringan komputer luas dan besar yang

mendunia, yaitu menghubungkan pemakai komputer dari suatu negara ke

negara lain di seluruh dunia, di mana di dalamnya terdapat berbagai sumber

daya informasi dari mulai yang statis hingga yang dinamis dan interaktif.

Sejarah internet dimulai pada 1969 ketika Departemen Pertahanan

Amerika, melalui U.S. Defense Advanced Research Projects Agency

(DARPA) memutuskan untuk mengadakan riset tentang bagaimana

menghubungkan sejumlah komputer sehingga membentuk jaringan organik.

Program riset ini dikenal dengan nama ARPANET. Pada 1970, sudah lebih

dari 10 komputer yang berhasil dihubungkan satu sama lain sehingga mereka

bisa saling berkomunikasi dan membentuk sebuah jaringan.

Tahun 1972, Roy Tomlinson berhasil menyempurnakan program e-

mail yang ia ciptakan setahun yang lalu untuk ARPANET. Program e-mail ini

begitu mudah sehingga langsung menjadi populer. Pada tahun yang sama,

lambang @ juga diperkenalkan sebagai lambang penting yang menunjukkan

"at" atau "pada". Tahun 1973, jaringan komputer ARPANET mulai

dikembangkan ke luar Amerika Serikat. Komputer University College di

London merupakan komputer pertama yang ada di luar Amerika yang

menjadi anggota jaringan Arpanet. Pada tahun yang sama, dua orang ahli


2

komputer yakni Vinton Cerf dan Bob Kahn mempresentasikan sebuah

gagasan yang lebih besar, yang menjadi cikal bakal pemikiran internet. Ide ini

dipresentasikan untuk pertama kalinya di Universitas Sussex.

Hari bersejarah berikutnya adalah tanggal 26 Maret 1976, ketika Ratu

Inggris berhasil mengirimkan e-mail dari Royal Signals and Radar

Establishment di Malvern. Setahun kemudian, sudah lebih dari 100 komputer

yang bergabung di ARPANET membentuk sebuah jaringan. Pada 1979, Tom

Truscott, Jim Ellis dan Steve Bellovin, menciptakan newsgroups pertama

yang diberi nama USENET. Tahun 1981 France Telecom menciptakan

gebrakan dengan meluncurkan telpon televisi pertama, dimana orang bisa

saling menelpon sambil berhubungan dengan video link.

Karena komputer yang membentuk jaringan semakin hari semakin

banyak, maka dibutuhkan sebuah protokol resmi yang diakui oleh semua

jaringan. Pada tahun 1982 dibentuk Transmission Control Protocol atau TCP

dan Internet Protokol atau IP yang kita kenal semua. Sementara itu di Eropa

muncul jaringan komputer tandingan yang dikenal dengan Eunet, yang

menyediakan jasa jaringan komputer di negara-negara Belanda, Inggris,

Denmark dan Swedia. Jaringan Eunet menyediakan jasa e-mail dan

newsgroup USENET.

Untuk menyeragamkan alamat di jaringan komputer yang ada, maka

pada tahun 1984 diperkenalkan sistem nama domain, yang kini kita kenal

dengan DNS atau Domain Name System. Komputer yang tersambung dengan

jaringan yang ada sudah melebihi 1000 komputer lebih. Pada 1987 jumlah


3

komputer yang tersambung ke jaringan melonjak 10 kali lipat menjadi 10.000

lebih.

Tahun 1988, Jarko Oikarinen dari Finland menemukan dan sekaligus

memperkenalkan IRC atau Internet Relay Chat. Setahun kemudian, jumlah

komputer yang saling berhubungan kembali melonjak 10 kali lipat dalam

setahun. Tak kurang dari 100.000 komputer kini membentuk sebuah jaringan.

Tahun 1990 adalah tahun yang paling bersejarah, ketika Tim Berners Lee

menemukan program editor dan browser yang bisa menjelajah antara satu

komputer dengan komputer yang lainnya, yang membentuk jaringan itu.

Program inilah yang disebut www, atau World Wide Web.

Tahun 1992, komputer yang saling tersambung membentuk jaringan

sudah melampaui sejuta komputer, dan di tahun yang sama muncul istilah

surfing the internet. Tahun 1994, situs internet telah tumbuh menjadi 3000

alamat halaman, dan untuk pertama kalinya virtual-shopping atau e-retail

muncul di internet. Dunia langsung berubah. Di tahun yang sama Yahoo!

didirikan, yang juga sekaligus kelahiran Netscape Navigator 1.0.

Secara umum ada banyak manfaat yang dapat diperoleh apabila

seseorang mempunyai akses ke internet. Berikut ini sebagian dari apa yang

tersedia di internet :

1. Informasi untuk kehidupan pribadi: kesehatan, rekreasi, hobi,

pengembangan pribadi, rohani, dan sosial.


4

2. Informasi untuk kehidupan profesional/pekerja: sains, teknologi,

perdagangan, saham, komoditas, berita bisnis, asosiasi profesi, asosiasi

bisnis, berbagai forum komunikasi.

Satu hal yang paling menarik adalah keanggotan internet tidak mengenal

batas negara, ras, ekonomi, ideologi, atau faktor-faktor lain yang biasanya dapat

menghambat pertukaran pikiran. Internet adalah suatu komunitas dunia yang

sifatnya sangat demokratis serta memiliki kode etik yang dihormati segenap

anggotanya. Manfaat internet terutama diperoleh melalu kerjasama antar pribadi

atau kelompok yang tanpa mengenal batas jarak dan waktu.

Keberadaan situs tidak ada gunanya dibangun tanpa dikunjungi atau

dikenal oleh masyarakat atau pengguna internet. Karena efektif atau tidaknya situs

sangat tergantung dari besarnya pengunjung dan komentar yang masuk. Untuk

mengenalkan situs kepada masyarakat memerlukan apa yang disebut publikasi

atau promosi. Publikasi situs di masyarakat dapat dilakukan dengan berbagai cara

seperti dengan pamflet-pamflet, selebaran, baliho dan lain sebagainya tapi cara ini

bisa dikatakan masih kurang efektif dan sangat terbatas. Cara yang biasanya

dilakukan dan paling efektif dengan tak terbatas ruang atau waktu adalah

publikasi langsung di internet melalui mesin pencari-mesin pencari (search

engine, seperti : Yahoo, Google, Search Indonesia, dan sebagainya).

Cara publikasi di mesin pencari ada yang gratis dan ada pula yang

membayar. Yang gratis biasanya terbatas dan cukup lama untuk bisa masuk dan

dikenali di mesin pencari terkenal seperti Yahoo atau Google. Cara efektif


5

publikasi adalah dengan membayar, walaupun harus sedikit mengeluarkan biaya,

akan tetapi situs cepat masuk ke mesin pencari dan dikenal oleh pengguna.

Teori yang mendasari cara kerja mesin pencari internet ini adalah Metode

Kuasa yang berkaitan dengan nilai eigen dan vektor eigen.

Banyak penerapan yang mengharuskan kita menemukan suatu matriks

taknol sedemikian sehingga λ , dengan A adalah matriks n × n yang

diketahui dan λ adalah skalar. Masalah ini dinamakan masalah nilai eigen dan

merupakan masalah matriks kedua yang paling sering dijumpai selain masalah

pemecahan sistem persamaan linear.

Nilai eigen matriks bujursangkar, secara teori dapat ditemukan dengan

menentukan persamaan karakteristik. Namun, prosedur ini memiliki begitu

banyak kesulitan perhitungan yang hampir tidak pernah digunakan dalam aplikasi.

Metode Kuasa akan membahas sebuah algoritma yang dapat digunakan untuk

mendekati nilai eigen dengan nilai mutlak terbesar dan vektor eigen yang sesuai.

Nilai eigen dan vektor eigen yang sesuai sangat penting karena mereka muncul

secara alami dalam berbagai proses iteratif. Metode yang akan dibahas dalam

bagian ini telah diterapkan untuk menghasilkan mesin pencari internet yang

sangat cepat, dan akan dijelaskan bagaimana hal tersebut dilakukan.

Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan

pangkat dari suatu matriks untuk mendapatkan nilai eigen dominan suatu matriks

yang memenui sifat | | | | untuk 2, 3, , , dengan merupakan nilai

eigen dominan.


6

Pengurutan hasil pencarian pada mesin pencari saat ini menjadi titik fokus

bagi mesin pencari untuk menampilkan hasil pencarian yang penting. Sistem

pengurutan diharapkan memberikan hasil yang signifikan. PageRank merupakan

sistem pengurutan yang digunakan Google dan merupakan salah satu sistem

pengurutan yang bekerja berdasarkan analisa jalur. Perhitungan pengurutan

dengan menggunakan algoritma PageRank saat ini menjadi banyak perbincangan

para peneliti karena perhitungan tersebut menghabiskan waktu yang lama, dan

berhari-hari sehingga jika ada halaman baru tiap detik, maka PageRank tidak

secara langsung memperbaharui halaman tersebut tetapi menunggu waktu

perhitungan PageRank selanjutnya yang akan dilakukan secara offline. Untuk

mempercepat perhitungan PageRank, dalam penelitian digunakan Hasil Bagi

Rayleigh. Hasil Bagi Rayleigh dapat mempercepat konvergensi dengan cara

menentukan nilai eigen dominan sehingga perhitungan galat berdasarkan selisih

nilai eigen dominan tersebut dengan nilai eigen dominan sebelumnya.

Berdasarkan analisa dari hasil uji coba, didapatkan bahwa waktu perhitungan

PageRank dengan menggunakan Hasil Bagi Rayleigh lebih cepat dibandingkan

dengan tanpa menggunakan Hasil Bagi Rayleigh.

B. Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan Metode Kuasa?

2. Bagaimana aplikasi metode kuasa pada mesin pencari internet?


7

C. Batasan Masalah

Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas aplikasi pada mesin

pencari internet berdasarkan operasi-operasi matriks.

D. Tujuan Penelitian

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengetahui prinsip dan landasan

teori yang digunakan dan bagaimana mesin pencari internet bekerja sehingga

menghasilkan kecepatan yang sangat tinggi dalam menyajikan suatu

informasi.

E. Metode Penulisan

Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan

menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan makalah yang telah

dipublikasikan. Oleh karena itu dalam skripsi ini tidak disajikan hal baru

dalam bidang matematika.

F. Manfaat Penulisan

Memahami cara kerja mesin pencari internet dengan kecepatan yang

sangat tinggi dalam penyajian suatu informasi.


8

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

Bab ini berisi gambaran secara umum tentang isi skripsi yang meliputi

latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan

penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika

penulisan.

BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan, yaitu nilai

eigen dan vektor eigen, nilai eigen pada matriks segitiga, matriks

pangkat, nilai eigen kompleks, kegandaan aljabar, nilai eigen matriks

2 2, nilai eigen matriks simetris 2 2, dan nilai eigen dalam

determinan dan teras suatu matriks.

BAB III METODE KUASA DAN APLIKASINYA PADA MESIN

PENCARI INTERNET

Bab ini membahas tentang metode kuasa, metode kuasa dengan

perskalaan Euclides dan entri maksimum, dan aplikasinya yang

digunakan pada mesin pencari internet.

BAB IV PENUTUP

Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah

dipaparkan.


BAB II

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Banyak aplikasi dari Aljabar Linear yang melibatkan sistem dengan n

persamaan linear dan n variabel yang dinyatakan dalam bentuk

, (2.1.1)

dengan λ adalah suatu skalar, x adalah suatu sebarang vektor taknol di ,

dan A adalah suatu matriks n × n. Sistem semacam ini sebenarnya merupakan

sistem linear yang tersamar, karena persamaan (2.1.1) dapat ditulis kembali

sebagai 0, atau dengan menyisipkan suatu matriks identitas dan

memfaktorkannya menjadi

– . (2.1.2)

Masalah utama yang harus diperhatikan untuk sistem linear yang ter-

bentuk pada persamaan (2.1.2) adalah bagaimana menentukan nilai λ se-

hingga sistem tersebut memiliki penyelesaian taktrivial. Nilai λ yang demi-

kian disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks A, dan penyele-

saian taktrivial dari persamaan (2.1.2) disebut vektor eigen dari A yang ter-

kait dengan λ.

Sistem (λI – A)x = 0 memiliki penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika

– 0 (2.1.3)

yang disebut persamaan karakteristik dari A. Nilai-nilai eigen dari A dapat

dicari dengan menyelesaikan λ pada persamaan ini. Determinan


10

– 0 adalah sebuah polinomial dalam variabel λ yang disebut po-

linomial karakteristik matriks A.

Definisi 2.1.1

Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka skalar λ disebut nilai eigen

dari A jika terdapat vektor taknol x sedemikian sehingga . Jika λ

adalah nilai eigen dari A, maka vektor taknol x sedemikian hingga

disebut vektor eigen dari A yang berkaitan dengan λ.

Cara untuk menentukan nilai eigen dari matriks A adalah dengan menulis

kembali persamaan menjadi

– .

Persamaan tersebut mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika

– 0.

Skalar-skalar λ yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen dari A.

Teorema 2.1.1

Jika matriks A adalah sebuah matriks n × n dan λ adalah skalar, maka

pernyataan berikut adalah ekivalen :

(a) λ adalah nilai eigen dari A.

(b) λ adalah penyelesaian persamaan – 0.

(c) Sistem linear – mempunyai penyelesaian taktrivial.


11

Bukti :

Berdasarkan definisi, λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat

vektor taknol x sedemikian sehingga

,

yang ekivalen dengan

– .

yaitu sistem persamaan linear homogen ini mempunyai penyelesaian taktrivi-

al, yang terjadi jika dan hanya jika

– 0.

yaitu λ adalah penyelesaian dari persamaan tersebut.

Contoh 2.1.1

Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen terkait dari matriks 1 34 2

Mencari nilai eigen dengan persamaan karakteristik

1 00 1

1 34 2

1 34 2 .

Persamaan karakteristik dari A adalah

– 0

1 34 2 0,

1 2 – 3 4 0,

3 2– 12 0,

3 – 10 0,

2 5 0. (2.1.4)


12

Jadi nilai eigen dari A adalah 2 dan 5.

Untuk menentukan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut,

harus diselesaikan sistem penyelesaian

1 34 2

00 . (2.1.5)

Untuk 2, persamaan (2.1.5) akan menjadi

2 1 34 2 2

00 ,

3 34 4

00 .

Penyelesaian ini memberikan hasil

, , (2.1.6)

maka vektor eigen yang berkaitan dengan 2 adalah vektor taknol

berbentuk

11 . (2.1.7)

Periksa

1 34 2

22 2 2 .

Dengan cara yang sama untuk 5, penyelesaiannya memberikan hasil

, , (2.1.8)

dan vektor eigen yang berkaitan dengan 5 adalah vektor taknol

berbentuk

1. (2.1.9)


13

Jika λ adalah nilai eigen dari A dan x adalah vektor eigen yang terkait, maka

, sehingga perkalian dengan A memetakan ke dalam suatu perka-

lian skalar dengan dirinya sendiri. Pada dan , ini berarti bahwa perka-

lian dengan A memetakan setiap vektor eigen x ke suatu vektor yang terletak

pada garis yang sama dengan . Operator linear memperkecil

dengan suatu faktor λ jika 0 1 atau memperbesar dengan suatu fak-

tor λ jika 1. Jika 0, maka membalik arah , dan memper-

kecil vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu faktor |λ| jika 0

| | 1 atau memperbesar vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu

faktor |λ| jika | | 1.

Contoh 2.1.2

Akan dicari nilai eigen dari matriks 0 1 00 0 14 17 8

.

Dari determinan

det1 0

0 14 17 8

8 17 4 (2.1.10)

didapatkan persamaan karakteristik 8 17 4 0. (2.1.11)

Untuk mencari penyelesaian persamaan ini, akan dimulai dengan mencari

penyelesaian bilangan bulatnya. Penyelesaian bilangan bulat (jika memang

ada) untuk sebuah persamaan polinomial dengan koefisien-koefisien bilangan

bulat

0


14

haruslah merupakan faktor-faktor pembagi dari konstanta . Sehingga,

penyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari persamaan (2.1.11) hanyalah

faktor-aktor pembagi dari bilangan 4, yaitu 1, 2, dan 4. Dengan

mensubstitusi nilai tersebut secara berturut-turut ke dalam persamaan (2.1.11)

akan menghasilkan 4 sebagai sebuah penyelesaian bilangan bulatnya.

Sebagai konsekuensinya, 4 haruslah merupakan salah satu faktor dari

ruas kiri persamaan (2.1.11), sehingga persamaan (2.1.11) dapat ditulis kem-

bali menjadi

– 4 4 1 0.

Maka, penyelesaian persamaan (2.1.11) adalah

4, 2 √3, 2 √3.

Definisi 2.1.2

Ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen –

disebut ruang eigen dari matriks A yang berkaitan dengan nilai eigen λ. Vek-

tor-vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen λ adalah adalah vektor-vektor

taknol dalam ruang eigen.

B. Nilai Eigen Matriks Segitiga

Jika A adalah matriks segitiga n × n dengan entri diagonal

, , , , maka – adalah matriks segitiga dengan entri diagonal

, , , . Jadi polinomial karateristiknya adalah

– ,


15

yang secara tidak langsung menyatakan bahwa nilai eigen dari A adalah

, , ,

Teorema 2.2.1

Jika A adalah matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah,

atau diagonal), maka nilai-nilai eigennya adalah entri diagonal utama dari

matriks A.

Bukti :

Misalkan A adalah matriks segitiga atas

0

0 0

.

Telah diketahui bahwa nilai determinan sebuah matriks segitiga adalah hasil

kali entri-entri yang terletak pada diagonal utamanya, maka

det 0

0 0

,

,

sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya

0,

dan nilai-nilai eigennya adalah

, , , ,

yang merupakan entri-entri diagonal utama matriks A.


16

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula untuk matriks segitiga bawah

dan matriks diagonal. Jadi terbukti bahwa nilai eigen matriks segitiga adalah

entri-entri diagonal utamanya.

C. Nilai Eigen Matriks Pangkat

Ketika nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks A telah

ditemukan, tidaklah sulit untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari

pangkat bilangan bulat positif sebarang dari A. Sebagai contoh, jika λ

merupakan nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen terkaitnya, maka

,

yang menunjukkan bahwa nilai eigen dari dan x adalah vektor eigen

kaitannya.

Teorema 2.3.1

Jika λ adalah nilai eigen dari matriks A, x adalah vektor eigen

kaitannya, dan k adalah sebarang bilangan bulat positif, maka adalah nilai

eigen dari matriks dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya.

Bukti :

Misalkan A adalah matriks persegi dan x adalah vektor eigen yang terkait

dengan nilai eigen λ. Maka , yaitu Teorema benar untuk k = 1.

Andaikan . Akan dibuktikan bahwa .


17

Sehingga . Jadi Teorema benar untuk setiap bilangan bulat

positf k.

D. Nilai Eigen Kompleks

Bukanlah hal yang mustahil bahwa persamaan karakteristik sebuah

matriks yang entri-entrinya bilangan real memiliki penyelesaian bilangan

kompleks. Sebagai contoh, polinomial karakteristik dari matriks

2 15 2 (2.4.1)

adalah

2 15 2 1, (2.4.2)

sehingga persamaan karakteristiknya adalah 1 0. Akar-akar

persamaan karakteristiknya merupakan bilangan kompleks dan .

Dengan demikian, kita harus berurusan dengan nilai eigen bilangan kom-

pleks, bahkan untuk matriks real sekalipun. Penyelesaian kompleks dari

persamaan karakteristik disebut nilai eigen kompleks.


18

E. Kegandaan Aljabar

Jika A adalah matriks n × n, maka suatu bentuk khusus dari

determinan – adalah polinomial berderajat n di mana koefisien

adalah 1, yaitu

– , (2.5.1)

bentuk polinomialnya adalah

, (2.5.2)

yang disebut polinomial karakteristik dari A. Sebagai contoh, polinomial

karakteristik dari matriks A2 × 2 dalam Contoh 2.1.1 adalah polinomial

berderajat dua, 3 – 10 (lihat persamaan (2.1.4)) dan polinomial

karakteristik matriks A3 × 3 dalam Contoh 2.1.2 adalah polinomial berderajat

tiga, 8 17 4 (lihat persamaan (2.1.11)).

Salah satu dari ketiga hal di bawah ini dapat terjadi untuk faktor-

faktor polinomial karakteristik

,

1. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda,

sebagai contoh

2 – 2 – 1 2 .

2. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda,

namun terdapat pengulangan beberapa faktor, sebagai contoh

3 2 3 2 – 1 2 .


19

3. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar kompleks, sebagai

contoh

1 – 1 1 – 1 1 – .

Dapat dibuktikan bahwa jika nilai eigen kompleks dimungkinkan,

maka polinomial karakteristik dari matriks An × n dapat difaktorkan menjadi

11 – 1 – 2 … – (2.5.3)

di mana , , … adalah nilai-nilai eigen dari A. Hal ini disebut

pemfaktoran linear lengkap dari polinomial karakteristik. Jika k faktor-

faktor pertama berbeda, dan sisanya merupakan pengulangan dari k faktor-

faktor pertama, maka persamaan (2.5.3) dapat ditulis kembali menjadi

11 – 1

1 – 22 … – (2.5.4)

di mana , , … adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dari A. Pangkat

disebut kegandaan aljabar dari nilai eigen yang menggambarkan berapa

kali pengulangan nilai eigen dalam pemfaktoran linear lengkap dari

polinomial karaktersitik.

Jumlahan dari kegandaan aljabar nilai eigen dalam persamaan (2.5.4)

harus sama dengan n, karena polinomial karaktersitik berderajat n. Sebagai

contoh, jika A matriks 6 × 6 dengan polinomial karakteristiknya adalah

3 2 3 2 – 1 2

maka nilai eigen berbeda dari A adalah 0, 1, dan 2, dan ke-

gandaan aljabar nilai eigen ini berturut-turut adalah 3, 2, 1, yang jumlahannya

sampai dengan 6.


20

Teorema 2.5.1

Jika A adalah matriks n × n, maka polinomial karakteristik dari A

dapat dinyatakan sebagai

– – – … –

di mana , , … adalah nilai eigen yang berbeda dari A dan

.

Bukti :

Polinomial karakteristik dari A adalah :

–

– – … –

– – … – ,

di mana , , … , adalah pengulangan faktor yang berbeda sedemikian

sehingga jumlahan yang sama dengan pangkat ter-

tinggi dari λ.

F. Nilai Eigen Matriks 2 × 2

Definisi 2.6.1

Jika A adalah sebuah matrks bujursangkar, maka teras dari A, yang

dinyatakan sebagai , adalah jumlahan entri-entri pada diagonal utama

A.


21

Selanjutnya, akan dibahas nilai-nilai eigen matriks 2 × 2 dalam Teorema be-

rikut.

Teorema 2.6.1

Jika A adalah matriks 2 × 2 dengan entri bilangan real, maka

persamaan karakteristik dari A adalah

– 0,

dan

(a) A mempunyai dua nilai eigen real yang berbeda bila – 4 0;

(b) A mempunyai satu nilai eigen real yang berulang bila

– 4 0;

(c) A mempunyai dua nilai eigen kompleks bila – 4 0.

Bukti :

Misalkan

dengan , , , .

Polinomial karakteristik dari A adalah

det

.

Karena teras dari matriks A adalah dan determinan dari ma-

triks A adalah , maka


22

– – (2.6.1)

sehingga persamaan karakteristik dari matriks A adalah

– 0 (2.6.2)

Akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah

,4det

2

(a) Jika – 4 0, maka A mempunyai dua nilai eigen real ber-

beda, yaitu –

dan –

.

(b) Jika – 4 0, maka ,√ , yaitu A mem-

punyai satu nilai eigen real yang berulang.

(c) Jika – 4 0, maka – 4 merupakan bi-

langan kompleks, sehingga A mempunyai dua nilai eigen kompleks, yaitu

– dan

–.

Contoh 2.6.1

Dengan menggunakan persamaan karakteristik pada persamaan (2.6.2) akan

dicari nilai eigen dari

(a) 2 21 5 , (b) 0 1

1 2 , (c) 2 33 2 .

Diketahui 7 dan 12, maka persamaaan karakteristik dari

A adalah

7 12 0,


23

hasil pemfaktorannya adalah – 4 – 3 0, maka nilai eigennya 4

dan 3.

Dengan cara yang sama, maka nilai eigen pada soal (b) adalah 1, dan ni-

lai eigen pada soal (c) adalah 2 3 .

G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2 × 2

Teorema 2.7.1

Matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai eigen real.

Jika A berbentuk

00 , (2.7.1)

maka A mempunyai satu nilai eigen berulang, yakni .

Bukti :

Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah

,

maka

– 4 – 4 – 4 0,

sehingga dengan Teorema 2.6.1 (a) dan (b), A mempunyai nilai eigen real.

Jika 00 , maka

– 4 4 4 0,

sehingga A mempunyai satu nilai eigen berulang, yaitu .


24

Teorema 2.7.2

(a) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai

eigen berulang, maka ruang eigen terkaitnya adalah .

(b) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai dua nilai

eigen berbeda, maka ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus

yang melalui titik 0 pada .

Bukti :

(a) Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah . Jika A mempunyai

nilai eigen berulang, maka – 4 4 0. Ka-

rena 4 0 jika hanya jika dan 0, maka ma-

triks 00 , sehingga nilai eigen berulangnya adalah λ . Menu-

rut Definisi 2.1.2, ruang eigen yang terkait dengan nilai eigen λ ada-

lah ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen

00

00

0 00 0

00

yaitu setiap titik dalam . Maka ruang eigen terkaitnya adalah .

(b) Jika A mempunyai dua nilai eigen berbeda, maka – 4

4 0. Kedua nilai eigen tersebut adalah


25

–

dan

–.

Ruang eigennya adalah ruang penyelesaian sistem persamaan linear ho-

mogen

00

Untuk , maka

00 .

Misalkan dan , maka

00 .

Selanjutnya dengan operasi baris elementer diperoleh

10 0

00 .

yang menghasilkan

2 dan 4 .

Penyelesaian tersebut merupakan garis melalui 0 di yang berkaitan

dengan .


26

Dengan cara yang sama, untuk akan diperoleh

penyelesaian

2 dan 4 .

yang merupakan garis melalui 0 di yang berkaitan dengan .

Kedua garis tersebut saling tegak lurus karena

· · 4 4

4 — 4

4 — 4

—

0

Jadi terbukti bahwa ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus

yang melalui titik 0 pada .

Contoh 2.7.1

Tentukan ruang eigen dari matriks simetrik

3 22 3 .

Karena 6 dan 5, maka persamaan karakteristik dari A ada-

lah

6 5 0

– 1 – 5 0


27

sehingga nilai eigen dari A adalah 1 dan 5. Ruang eigennya adalah

ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen

3 22 3

00 . (2.7.2)

Untuk 1, persamaan 2.7.2 menjadi

2 22 2

00 .

Penyelesaian ini menghasilkan

, , (2.7.3)

yang merupakan persamaan parameter dari garis . Garis ini adalah

ruang eigen yang terkait dengan 1. Dengan cara yang sama, untuk

5 akan dihasilkan penyelesaian

, , (2.7.4)

yang merupakan persamaan parameter dari garis .

xy −== )1(λ

xy == )5(λ

y

x

0

(-1, 1) (1,1)

Gambar 2.1

Garis dan adalah dua garis tegak lurus yang melalui 0 di ,

seperti dikatakan dalam Teorema 2.7.2 (b). Vektor-vektor pada persamaan

2.7.3 dan 2.7.4 dapat ditulis dengan bentuk


28

11 dan 1

1 ,

dengan vektor perentangnya adalah

11 dan 1

1 (2.7.5)

yaitu dua vektor eigen yang orthogonal.

H. Determinan dan Teras Matriks Dinyatakan dalam Nilai Eigen

Teorema 2.8.1

Jika A adalah matriks n × n dengan nilai eigen , , , (mungkin

ada yang berulang), maka

(a)

b

Bukti :

(a) Dengan menulis polinomial karakteristik dalam bentuk faktorisasi:

– – – … – (2.8.1)

dan dengan memasukkan 0, dihasilkan

1 .

Karena 1 , maka

. (2.8.2)

(b) Misalkan , maka

– (2.8.3)


29

Bila dihitung dari determinan tersebut dengan membentuk jumlahan

dari perkalian elementer bertanda, maka perkalian elementer yang memuat

entri yang tidak berada pada dari diagonal utama dari 2.8.3 sebagai faktor,

akan memuat paling banyak 2 faktor yang melibatkan λ. Jadi koefi-

sien dari dalam sama dengan koefisien dari dalam perka-

lian

Dengan mengembangkan perkalian tersebut, akan diperoleh

(2.8.4)

Dan dengan mengembangkan persamaan pada 2.8.1, akan diperoleh

sehingga didapatkan

Contoh 2.8.1

Akan dicari determinan dan teras dari matriks 3 × 3 yang mempunyai

karakteristik polinomial

3 2. (2.8.5)

Polinomial tersebut dapat difaktorkan menjadi

– 1 2 ,

maka nilai eigennya adalah 1, 1, dan 2. Jadi,

2 dan 0.


30

I. Diagonalisasi

Definisi 2.9.1

Sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan jika

terdapat sebuah matriks P yang yang taksingular sedemikian sehingga

adalah sebuah matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalkan ma-

triks A.

Definisi 2.9.2

Matriks A dan B yang berukuran n × n dikatakan similar jika terdapat matriks

P yang taksingular sedemikian sehingga

. (2.9.1)

Teorema 2.9.1

Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka A dapat didiagonalkan jika

hanya jika matriks A memiliki n vektor eigen yang bebas linear.

Bukti:

Misalkan matriks A berukuran n × n dan memiliki n buah vektor eigen

yang bebas linear, yaitu , , , . Vektor-vektor eigen tersebut dapat di-

susun sebagai kolom-kolom dari matriks P berukuran n × n

| | |

| | |.


31

Matriks P tersebut taksingular karena mempunyai n vektor kolom di yang

bebas linear. Maka

| | |

| | |

| | |

A A| | |

| | |

λ λ| | |

(2.9.2)

karena , dengan adalah nilai eigen yang berkaitan dengan vektor

eigen 1, 2, , .

Misalkan D matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal nilai ei-

gen . Maka

| | |

| | |

λ 00 λ

00

0 0 λ

(2.9.3)

| | |

λ λ| | |

.

Maka

.

Karena P taksingular, maka:

(2.9.4)

Jadi matriks A dapat didiagonalkan. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika

matriks A dapat didiagonalkan, maka A mempunyai n buah vektor eigen yang

bebas linear. Misalkan matriks A similar dengan matriks diagonal D dengan


32

elemen-elemen diagonalnya , , , , dan adalah

matriks taksingular sedemikian sehingga . Maka . Ka-

rena

(2.9.5)

dan

(2.9.6)

maka

untuk 1, 2, … , . Hal ini berarti bahwa merupakan vektor eigen dari ma-

triks A dengan adalah nilai eigen yang berkaitan untuk 1, 2, … , . Ka-

rena P adalah matriks yang taksingular, maka vektor-vektor , , , be-

bas linear. Jadi A mempunyai n buah vector eigen yang bebas linear.

Dari bukti di atas, didapatkan langkah-langkah untuk mendiagonali-

kan sebuah matriks A berukuran n × n, sebagai berikut :

Langkah 1 : Tentukan vektor-vektor eigen yang bebas linear dari A.

Langkah 2 : Susun vektor-vektor eigen tersebut sebagai kolom-kolom dari ma-

triks P.

Langkah 3 : Tentukan

Langkah 4 : Tentukan di mana D adalah matriks diagonal dengan

elemen-elemen diagonalnya adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.


33

Contoh 2.9.1

Diketahui matriks 5 72 4 yang mempunyai nilai eigen 2 dan

3 dan vektor eigen yang berkaitan adalah 1, 1 dan

7, 2 . Dengan mengambil 1 71 2 , maka 2 7

1 1 , se-

hingga

15

2 71 1

5 72 4

1 71 2

2 00 3

Definisi 2.9.3

Sebuah matriks bujursangkar A disebut matriks ortogonal jika

.

Dengan kata lain untuk matriks A tersebut berlaku .

Definisi 2.9.4

Matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan secara orthogonal

jika terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian sehing-

ga .

Teorema 2.9.2

Matriks bujur sangkar A dapat didiagonalkan secara orthogonal jika

dan hanya jika A matriks simetrik.


34

Bukti:

Misalkan A adalah matriks yang dapat didiagonalkan secara orthogonal. Ma-

ka terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian sehingga

, sehingga

. (2.9.8)

Karena D adalah matriks diagonal, maka , sehingga

yaitu A adalah matriks simetrik.

Sebaliknya, dengan induksi matematis, akan dibuktikan bahwa jika A matriks

simetrik, maka A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk matriks beru-

kuran 1 × 1, jelas bahwa A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk

2, asumsikan bahwa setiap matriks simetrik 1 1 dapat di-

diagonalkan secara orthogonal. Misalkan A matriks simetrik berukuran ,

maka A selalu mempunyai nilai eigen real λ. Misalkan vektor eigen yang

berkaitan dengan λ, dan | |, sehingga | | 1. Selanjutnya dengan

menggunakan algoritma Gram-Schmidt ditentukan vektor-vektor , ,

sehingga , , , adalah himpunan vektor-vektor othonormal. Misal-

kan . Maka Q adalah matriks orthogonal, dan


35

dan

.

Karena , , , orthonomal, maka

0

0

dengan * adalah elemen yang mungkin taknol. Tetapi

Karena matriks A simetrik, maka matriks B juga simetrik. Oleh karena itu, ba-

ris pertama dari matriks B sama dengan kolom pertamanya. Jadi, bentuk B

adalah

0

0

00

0

0

di mana C adalah matriks simetrik berukuran 1 1 . Berdasarkan

asumsi, ada matriks orthogonal R dan matriks diagonal sedemikian sehing-

ga . Dibentuk matriks


36

1 00

0

0

yang juga merupakan matriks orthogonal, karena vektor-vektor kolomnya or-

thonormal. Selanjutnya

1 00

0

0

00

0

0

1 00

0

0

00

0

0

00

0

0

.

Jadi yang merupakan matriks diagonal. Misalkan , maka

merupakan matriks orthogonal karena dan matriks-matriks orthogonal,

dan

Jadi, matriks dapat didiagonalkan secara orthogonal.


37

Teorema 2.9.3

Vektor-vektor eigen yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen yang ber-

beda dari matriks simetrik adalah orthogonal

Bukti:

Misalkan A matriks simetrik, dan adalah nilai-nilai eigen berbeda dari

matriks A, dan , vektor-vektor eigen yang berkaitan. Akan ditunjukkan

bahwa · . Perhatikan bahwa

· · dan · · (2.9.7)

Selanjutnya

·

·

Dengan demikian, kedua ruas kanan dari persamaan (2.9.7) adalah sama, yaitu

· ·

·

Karena , maka · .


38

Contoh 2.9.2

Diketahui matriks simetrik 1 2 22 6 22 2 6

yang mempunyai nilai eigen

0, 6, dan 9 dan vektor-vektor eigen yang berkaitan adalah

4,1,1 , 0, 1,1 , dan 1,2,2 , dengan

· · ·

yaitu vektor-vektor eigen tersebut adalah orthogonal.


BAB III

METODE KUASA

A. Metode Kuasa

Dalam banyak aplikasi suatu vektor dalam seringkali dikalikan

secara berulang-ulang dengan matriks A berukuran n × n sehingga mengha-

silkan suatu barisan , , , , , . Bentuk seperti ini disebut

barisan kuasa yang dibangun oleh A.

Dalam tulisan ini, akan dibahas kekonvergenan barisan kuasa tersebut

dan hubungannya dengan nilai eigen dan vektor eigen.

Definisi 3.1.1

Jika nilai-nilai eigen yang berbeda dari sebuah matriks A adalah

, , , , dan jika | | lebih besar dari | |, , | |, maka disebut ni-

lai eigen dominan dari A. Vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen

dominan disebut vektor eigen dominan dari A.

Contoh 3.1.1

Diketahui nilai-nilai eigen sebuah matriks adalah 4, 2, 1,

dan 3. Nilai 4 merupakan nilai eigen dominan karena | | 4

lebih besar dari nilai mutlak nilai eigen lainnya. Namun, jika diketahui nilai-

nilai eigen sebuah matriks adalah 7, 7, 2, dan 5,

maka | | | | 7, sehingga tidak terdapat nilai eigen yang nilai mutlak-


40

nya lebih besar daripada semua nilai eigen lainnya, sehingga tidak terdapat

nilai eigen dominan.

Teorema 3.1.1

Misalkan A adalah matriks simetrik n × n dengan nilai eigen dominan

positif . Jika adalah vektor satuan dalam yang tidak ortogonal terha-

dap ruang eigen yang terkait dengan , maka barisan kuasa ternormalkan

, , , , , (3.1.1)

konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari matriks A, dan barisan

· , · , · , , · , (3.1.2)

konvergen ke nilai eigen dominan dari matriks A.

Bukti :

Misalkan matriks A simetrik berukuran n × n, maka A dapat didiagonalkan

secara orthogonal, sehingga A mempunyai n vektor eigen bebas linear

, , , yang berkaitan dengan nilai eigen , , , dan membentuk

basis di . Misalkan adalah nilai eigen dominan positif dari A, dan

adalah vektor satuan dalam yang tidak orthogonal terhadap ruang eigen

yang terkait dengan . Maka merupakan kombinasi linear dari vektor-

vektor basis :

,

sehingga


41

dan

.

karena | | lebih besar dari | |, , | |, maka untuk setiap i = 2, 3, …, n,

1. Jadi untuk setiap i = 2, 3, …, n, 0 bila ∞, sehingga

untuk ∞.

Barisan 3.1.1 dapat dinyatakan dengan

, , , , ,

dan barisan tersebut konvergen ke vektor eigen dominan satuan karena

, untuk ∞.

Terbukti barisan 3.1.1 konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari A. Ka-

rena konvergen ke , maka · akan konvergen ke

· ·

yang merupakan nilai eigen dominan dari matriks A .


42

B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides

Teorema 3.1.1 memberikan suatu algoritma untuk pendekatan nilai ei-

gen dominan dan vektor eigen dominan satuan yang terkait dari sebuah ma-

triks simetrik A, asalkan nilai eigen dominannya positif. Algoritma ini disebut

metode kuasa dengan perskalaan Euclides, dengan langkah-langkah seba-

gai berikut:

1. Langkah 1 : Pilihlah sebarang vektor satuan .

2. Langkah 2 : Tentukan dan normalkan untuk mendapatkan pendekatan

pertama terhadap vektor eigen dominan satuan. Kemudian tentukan

· untuk memperoleh pendekatan pertama ke nilai eigen dominan.


kedua terhadap vektor eigen dominan satuan. Kemudian tentukan

· untuk memperoleh pendekatan kedua ke nilai eigen dominan.


ketiga terhadap vektor eigen dominan satuan. Kemudian tentukan

· untuk memperoleh pendekatan ketiga ke nilai eigen dominan.

Lanjutkan langkah-langkah tersebut sampai menghasilkan barisan

yang cukup untuk menghasilkan pendekatan yang terbaik untuk nilai eigen

dominan dan vektor eigen dominan satuan yang terkait.


43

Contoh 3.2.1

Akan digunakan metode kuasa dengan perskalaan Euclides pada matriks

3 22 3 dengan 1

0 dan akan dibandingkan hasil penghitungan pada

x5 dengan nilai eigen dan vektor eigen dominan yang eksak.

Pada Contoh 2.8.1, telah diketahui bahwa nilai eigen dari matriks A adalah

1 dan 5, maka nilai eigen dominan matriks A adalah 5. Ruang

eigen yang terkait dengan 5 juga telah ditunjukkan pada Contoh 2.8.1,

yang merupakan sebuah garis yang dsajikan oleh persamaan parameter x

dan x , yang dapat ditulis dalam bentuk vektor sebagai

11 (3.2.1)

Jadi dengan mengambil √

dan √

akan diperoleh dua vektor eigen

satuan dominan, yaitu

√

√

dan √

√

(3.2.2)

Sekarang akan digunakan metode kuasa untuk memperoleh pendekatan

terhadap nilai eigen dan vektor eigen dominan.

3 22 3

10

32

√32 .

32

0.832050.55470

3 22 3

0.832050.55470

3.605553.32820

.3.605553.32820

0.734800.67828

3 22 3

0.734800.67828

3.560973.50445

.3.560973.50455

0.712740.70143

3 22 3

0.712740.70143

3.541083.52976

.3.541083.52976

0.708240.70597

3 22 3

0.708240.70597

3.536663.53440

.3.536663.53440

0.707330.70668


44

· 3.60555 3.32820 0.832050.55470 4.84615

· 3.56097 3.50445 0.734800.67828 4.99361

· 3.54108 3.52976 0.712740.70143 4.99974

· 3.53666 3.53440 0.708240.70597 4.99999

· 3.53576 3.53531 0.707330.70668 5.00000

Jadi adalah pendekatan nilai eigen dominan dengan ketepatan lima angka

desimal dan x5 adalah pendekatan terhadap vektor eigen dominan

1√21

√2

0.707106781187 …0.707106781187 …

dengan ketepatan tiga angka desimal.

C. Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum

Variasi dari metode kuasa adalah metode di mana setiap iterasinya

diskalakan dengan entri maksimum. Akan digunakan notasi max untuk

menyatakan nilai mutlak terbesar dari entri-entri dalam vektor .

Teorema 3.3.1

Misalkan A adalah matriks simetrik n × n dengan nilai eigen dominan

positif . Jika adalah vektor taknol dalam yang tidak ortogonal

terhadap ruang eigen yang terkait dengan , maka barisan

,

,

, ,

, (3.3.1)


45

konvergen ke vektor eigen yang berkaitan dengan , dan barisan

·

·, ·

·, ·

·, , ·

·, (3.3.2)

konvergen ke .

Bukti :

Misalkan matriks A simetrik berukuran n × n, maka A dapat didiagonalkan

secara orthogonal, sehingga A mempunyai n vektor eigen bebas linear

, , , yang berkaitan dengan nilai eigen , , , dan membentuk

basis di . Misalkan adalah nilai eigen dominan positif dari A, dan

vektor satuan dalam yang tidak orthogonal terhadap ruang eigen yang

terkait dengan . Maka merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor

basis:

,

sehingga

dan

.


46

karena | | lebih besar dari | |, , | |, maka untuk setiap i = 2, 3, …, n,

1. Jadi untuk setiap i = 2, 3, …, n, 0 bila ∞, sehingga

untuk ∞.

Barisan 3.3.1 dapat dinyatakan dengan

, max , max , , max ,

dan barisan tersebut konvergen ke vektor eigen yang berkaitan dengan nilai

eigen dominan , yaitu , karena

untuk ∞.

Terbukti barisan 3.3.1 konvergen ke vektor eigen dominan dari A. Karena

konvergen ke , maka ·

· akan konvergen ke

· ·

· ·

· ·

yang merupakan nilai eigen dominan dari matriks A .

Definisi 3.3.1

Hasil bagi Rayleigh dari vektor terhadap matriks A didefinisikan sebagai

··


47

Langkah-langkah Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum :

1. Langkah 1 : Pilihlah sebuah vektor taknol .

2. Langkah 2 : Tentukan dan kalikan dengan

untuk

menghasilkan pendekatan pertama terhadap vektor eigen dominan.

Tentukan hasil bagi Rayleigh dari untuk menghasilkan pendekatan

pertama terhadap nilai eigen dominan.


untuk

menghasilkan pendekatan kedua terhadap vektor eigen dominan.


kedua terhadap nilai eigen dominan.


untuk

menghasilkan pendekatan ketiga terhadap vektor eigen dominan.


ketiga terhadap nilai eigen dominan.

Lanjutkan langkah-langkah tersebut sampai menghasilkan barisan

yang cukup untuk pendekatan yang terbaik terhadap nilai eigen dominan dan

vektor eigen yang berkaitan.

Contoh 3.3.1

Akan dihitung ulang Contoh 3.2.1 dengan metode ini.

3 22 1

10

32

32

1.000000.66667

3 22 1

1.000000.66667

4.333334.00000

.4.333334.00000

1.000000.92308


48

3 22 3

1.000000.92308

4.846154.76923

.4.846154.76923

1.000000.98413

3 22 3

1.000000.98413

4.968254.95238

.4.968254.95238

1.000000.99681

3 22 3

1.000000.99681

4.993614.99042

.4.993614.99042

1.000000.99936

.

. ..

4.84615

.

. ..

4.99361

.

. ..

4.99974

.

. ..

4.99999

.

. ..

5.00000

Jadi adalah pendekatan terhadap nilai eigen dominan dengan ketelitian

lima angka desimal, dan adalah pendekatan terhadap vektor eigen domi-

nan

11

dengan mengambil 1 dalam persamaan 3.2.1.

D. Laju Konvergensi Hasil Bagi Rayleigh

Jika A adalah matriks simetrik yang nilai-nilai eigennya yang berbeda

dapat disusun sebagai berikut :

| | | | | | | |,


49

maka laju hasil bagi Rayleigh konvergen ke nilai eigen dominan bergan-

tung pada nilai perbandingan | || |, yaitu konvergensi tersebut lambat bila per-

bandingan itu mendekati 1 dan cepat bila perbandingan itu bernilai besar.

Dengan kata lain, makin besar nilai perbandingan tersebut, makin cepat kon-

vergensinya.

Contoh 3.4.1

Akan dibandingkan laju konvergensi Hasil Bagi Rayleigh pada matriks

3 22 3 dengan nilai eigen 5 dan 1 dan matriks

2 22 5 dengan nilai eigen 6 dan 1.

Perbandingan | || | pada matriks A adalah 5, dan perbandingan | |

| | pada

matriks B adalah 6. Maka laju konvergensi pada matriks B berjalan lebih

cepat dibandingkan laju konvergensi pada matriks A.

E. Prosedur Penghentian Iterasi

Jika λ adalah nilai eksak dari nilai eigen dominan, dan adalah

hasil pendekatan metode kuasa pada iterasi ke-k, maka

(3.5.1)

disebut galat relatif dalam . Jika nilai tersebut dinyatakan dalam

prosentase, maka disebut galat prosentase dalam . Dalam aplikasi,

biasanya ditentukan galat relatif E yang dapat diterima terhadap nilai eigen


50

dominan, dan tujuannya adalah untuk menghentikan langkah-langkah iterasi

setelah galat relatif dalam pendekatan terhadap nilai eigen kurang dari E.

Namun, terdapat masalah dalam menghitung galat relatif dengan

menggunakan persamaan 3.5.1, karena nilai eigen λ tidak diketahui. Untuk

menghindari masalah ini, biasanya λ diestimasi dengan λk dan menghentikan

iterasi ketika

(3.5.2)

di mana 2. Ruas kiri ketaksamaan 3.5.2 disebut galat relatif estimasi

dalam , dan bentuk prosentasenya disebut galat prosentase estimasi

dalam .

Contoh 3.5.1

Akan ditentukan nilai terkecil dari k pada Contoh 3.3.1 sedemikian sehingga

galat prosentase estimasi dalam kurang dari 0.1%

Pendekatan Galat Relatif Galat Prosentase

: . ..

0.02953 2.953%

: . ..

0.00123 0.123%

: . ..

0.00005 0.005%

: . ..

0.00000 0%

Jadi 4.99999 adalah pendekaan pertama yang galat prosentase

estimasinya kurang dari 0.1%.


51

F. Aplikasi Metode Kuasa pada Mesin Pencari Internet

Metode kuasa baru-baru ini telah digunakan untuk mengembangkan

sebuah algoritma pencarian jenis baru yang didasarkan tidak pada isi halaman

tetapi pada hipertaut (hyperlink) antara halaman-halaman. Algoritma itu,

yang disebut algoritma PageRank, digunakan dalam mesin pencari Google

dan dikembangkan pada tahun 1996 oleh Larry Page dan Sergey Brin di

Universitas Stanford. Ide dasar di belakang metode tersebut adalah

mengonstruksikan matriks-matriks yang sesuai yang menggambarkan struktur

perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan pencarian, dan kemudian

menggunakan vektor eigen dominan matriks-matriks itu untuk menyusun

daftar halaman-halaman tersebut dengan urutan menurun sesuai dengan

kriteria terntentu.

Cara kerja mesin pencari Google adalah sebagai berikut :

1. Bila pengguna meminta Google untuk mencari suatu kata atau frasa,

langkah pertama adalah menggunakan mesin pencari standar berbasis teks

untuk menemukan himpunan awal S0 dari situs-situs yang relevan,

biasanya beberapa ratus atau lebih.

2. Karena kata-kata dapat memiliki beberapa makna, himpunan S0 biasanya

juga memuat situs-situs yang tidak relevan, dan karena kata-kata dapat

memiliki sinonim, himpunan S0 mungkin tidak memuat situs-situs penting

yang menggunakan terminologi yang berbeda untuk kata-kata yang dicari.

Oleh karena itu, Google kemudian mencari situs-situs yang merujuk ke

situs-situs dalam S0 dan memperluas himpunan S0 menjadi himpunan S


52

1 2 3 4

yang lebih besar yang berisi situs-situs itu. Pengandaian yang

melandasinya adalah bahwa himpunan S akan memuat situs-situs yang

paling penting yang terkait dengan kata-kata yang dicari. Himpunan ini

disebut himpunan pencarian.

3. Karena himpunan pencarian dapat memuat ribuan situs, tugas utama mesin

pencari adalah mengurutkan situs-situs tersebut berdasarkan relevansinya

dengan kata-kata yang dicari. Dalam bagian ini dari pencarian tersebut

metode kuasa dan algoritma PageRank memainkan peranan.

Untuk menjelaskan algoritma PageRank, misalnya himpunan

pencarian S memuat n situs. Didefinisikan matriks damping dari S, yaitu

matriks di mana 1 jika situs i merujuk situs j dan 0

jika situs i tidak merujuk situs j. Dengan pengandaian bahwa tidak ada situs

yang merujuk dirinya sendiri, maka entri diagonal dari A adalah nol.

Contoh 3.6.1

Matriks A di bawah ini adalah matriks damping dari himpunan pencarian S

yang memuat empat situs internet :

0 01 0

1 10 0

1 01 1

0 11 0

(3.6.1)

Entri 1 berarti situs 1 merujuk situs 3 dan situs 4. Entri 1

berarti situs 2 merujuk situs 1, dan seterusnya. Secara umum, entri 1

Situs yang dirujuk 1 2 3 4

Situs yang merujuk


53

berarti situs i merujuk situs j, dan entri 0 berarti situs i tidak merujuk

situs j.

Ada dua peran dasar yang dapat dimainkan oleh suatu situs dalam

proses pencarian, yaitu :

1. Situs tersebut memainkan peranan sebagai hub, artinya situs tersebut

merujuk banyak situs lainnya.

2. Situs tersebut memainkan peranan sebagai otoritas, artinya situs tersebut

dirujuk oleh banyak situs lainnya.

Suatu situs biasanya berperan sebagai hub maupun sebagai otoritas, yang

berarti bahwa situs tersebut merujuk maupun dirujuk.

Pada umumnya, jika A adalah matriks damping dari himpunan n buah

situs internet, maka jumlahan elemen-elemen pada kolom dari A merupakan

ukuran aspek otoritas dari situs-situs itu dan jumlahan elemen-elemen pada

baris dari A merupakan ukuran aspek hub dari situs-situs itu. Sebagai contoh,

jumlahan elemen-elemen pada kolom dari matriks A pada Contoh 3.6.1

adalah 3, 1, 2, dan 2, yang berarti bahwa situs 1 dirujuk oleh tiga situs

lainnya, situs 2 dirujuk oleh 1 situs lain, dan seterusnya. Begitu juga jumlahan

elemen-elemen pada baris dari A adalah 2, 1, 2, dan 3, yang berarti bahwa

situs 1 merujuk dua situs lain, situs 2 merujuk satu situs lain, dan seterusnya.

Jika A adalah suatu matriks damping, maka vektor h0, yaitu vektor

jumlahan elemen-elemen baris dari matriks A, disebut vektor hub awal dari

matriks A, dan vektor a0, yaitu vektor jumlahan elemen-elemen kolom dari

matriks A, disebut vektor otoritas awal dari matriks A. Dengan demikian, a0


54

Situs 1 Situs 2 Situs 3 Situs 4


dapat juga dipandang sebagai vektor jumlahan elemen-elemen baris dari

matriks AT, yang ternyata dapat mempermudah dalam melakukan

penghitungan. Entri-entri dalam vektor hub disebut bobot hub, dan entri-entri

dalam vektor otoritas disebut bobot otoritas.

Contoh 3.6.2

Pada Contoh 3.6.1, vektor hub awal dari matriks damping A adalah jumlahan

elemen-elemen baris dari A, yaitu

2123

dan vektor otoritas awal dari matriks damping A adalah jumlahan elemen-

elemen baris dari AT (atau elemen-elemen kolom dari A), yaitu

3122

Contoh 3.6.2 menunjukkan bahwa situs 4 adalah hub terbesar, dan

situs 1 adalah otoritas terbesar. Namun, penghitungan tersebut tidak

menjelaskan semuanya. Misalnya, tampaknya masuk akal bahwa jika situs 1

adalah otoritas terbesar, maka bobot lebih harus diberikan pada hub-hub yang

merujuk situs tersebut, dan jika situs 4 adalah hub terbesar, maka bobot lebih

harus diberikan pada situs-situs yang dirujuk oleh situs tersebut. Jadi, ada

interaksi antara hub dan otoritas yang perlu diperhitungkan dalam proses

pencarian itu. Oleh karena itu, setelah Google menghitung vektor otoritas


55




awal a0, informasi dalam vektor tersebut digunakannya untuk menyusun

vektor-vektor hub dan otoritas baru h1 dan a1 dengan menggunakan rumus

dan (3.6.4)

Pembilang dalam rumus tersebut melakukan pembobotan, dan

normalisasi berfungsi untuk mengontrol ukuran entri-entri. Untuk memahami

bagaimana pembilang itu melakukan pembobotan, perkalian Aa0 dipandang

sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor kolom A dengan koefisien-

koefisien dari a0. Misalnya, dengan matriks damping dalam Contoh 3.6.1, dan

vektor otoritas yang dihitung dalam Contoh 3.6.2 didapatkan

A0 01 0

1 10 0

1 01 1

0 11 0

3122

30111

10001

21001

21010

4356

Dengan demikian masing-masing situs yang dirujuk terbobot oleh entri-entri

dalam vektor a0. Untuk mengontrol ukuran entri-entri, Google menormalisir

Aa0 untuk menghasilkan vektor hub yang baru:

√

4356

0.431330.323500.539160.64700

Vektor hub h1 yang baru sekarang dapat digunakan untuk

memperbarui vektor otoritas dengan menggunakan rumus 3.6.4. Perkalian

A melakukan pembobotan, dan normalisasi mengontrol ukuran:


56




0 10 0

1 10 1

1 01 0

0 11 0

0.431330.323500.539160.64700

0.431330011

0.323501000

0.539161001

0.647001110

1.509660.647001.078330.97049

.

1.509660.647001.078330.97049

0.688890.295240.492070.44286

Setelah vektor-vektor hub h1 dan otoritas a1 yang baru diperoleh, mesin

Google mengulangi proses itu dan menghitung barisan vektor-vektor hub dan

otoritas yang saling terkait:

, , , , , (3.6.5)

, , , , , , (3.6.6)

Masing-masing barisan sebenarnya adalah barisan kuasa. Misalnya, ekspresi

untuk hk disubstitusikan ke dalam ekspresi untuk ak, maka akan diperoleh


57

Situs yang dirujuk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yang berarti bahwa barisan 3.6.6 dapat ditulis sebagai:

, , , , , , (3.6.7)

Demikian pula, barisan 3.6.5 dapat ditulis sebagai:

, , , , , (3.6.8)

Teorema 3.1.1 dapat diaplikasikan untuk matriks-matriks simetrik

dan , sehingga barisan kuasa 3.6.7 dan 3.6.8 konvergen ke vektor

eigen dominan satuan dari dan berturut-turut. Entri-entri dalam vek-

tor-vektor eigen tersebut adalah bobot otoritas dan bobot hub yang digunakan

Google untuk menentukan peringkat situs-situs yang dicari dalam urutan ke-

pentingannya sebagai otoritas dan hub.

Contoh 3.6.3

Misalnya mesin pencari Google menghasilkan himpunan pencarian yang

memuat 10 situs internet dan matriks damping dari himpunan tersebut adalah

0 10 0

0 0 10 0 1

0 00 00 0

0 0 10 0 00 0 0

0 00 0

1 0 00 0 0

0 01 10 0

0 0 00 0 01 0 0

0 10 0

1 1 10 0 0

0 00 00 0

0 0 10 0 00 0 0

0 00 0

1 0 10 0 1

0 01 01 0

0 0 00 0 00 0 0

Situs yang merujuk


58

Algoritma PageRank akan digunakan untuk menentukan peringkat situs-situs

tersebut sebagai otoritas dalam urutan turun. Sebagai a0 diambil vektor

otoritas awal yang telah ternormalisasi:

1√54

0211531302

00.272170.136080.136080.680410.408250.136080.40825

00.27217

Selanjutnya

0 00 2

0 0 01 1 2

0 10 10 2

1 1 11 1 11 1 5

0 00 0

0 0 02 0 1

0 01 00 0

1 0 11 0 12 0 1

0 00 0

0 0 00 0 0

0 20 00 1

1 1 20 0 01 1 1

3 11 1

0 0 00 0 0

0 00 00 0

3 0 10 0 01 0 2

00.272170.136080.136080.680410.408250.136080.40825

00.27217

03.265991.905161.905165.307231.360830.544333.67423

00.27732

dan

18.15362

03.265991.905161.905165.307231.360830.544333.67423

00.27732

00.400560.233660.233660.650900.166900.066760.45063

00.26704

Dilanjutkan dengan cara ini akan menghasilkan barisan vektor otoritas sebagai

berikut:


59

Situs 1 Situs 2 Situs 3 Situs 4 Situs 5 Situs 6 Situs 7 Situs 8 Situs 9 Situs10

, , ,

01.271270.136080.136080.680410.408250.136080.40825

00.27217

00.400560.233660.233660.650900.166900.066760.45063

00.26704

00.416520.249170.249170.634070.063220.026030.46722

00.27892

00.419180.252330.252330.628360.023720.009810.47050

00.28300

, , , ,

00.419730.253090.253090.626650.008890.003680.47137

00.28416

00.419900.253370.253370.625970.000070.000030.47165

00.28460

00.419900.253370.253370.625970.000020.000010.47165

00.28460

Perbedaan kecil antara a9 dan a10 memperlihatkan bahwa iterasi vektor otori-

tas itu telah stabil di dekat vektor eigen dominan dari matriks ATA. Dari entri-

entri dalam vektor otoritas a10 dapat disimpulkan bahwa situs 1, 6, 7, dan 9

mungkin tidak relevan sebagai situs otoritas dalam pencarian itu dan situs-

situs lainnya sebagai otoritas harus dicari dengan urutan sebagai berikut: situs

5, 8, 2, 10, 3 dan 4 (situs 3 dan 4 sama peringkatnya).


BAB IV

PENUTUP

Internet banyak digunakan sekarang ini karena dapat memberi informasi

penting dalam waktu singkat dan tanpa mengenal jarak dengan menggunakan

mesin pencari yang memberikan informasi situs-situs yang dibutuhkan para

pengguna. Mesin pencari Google menggunakan algoritma PageRank dengan

mengonstruksikan matriks yang menggambarkan struktur perujukan halaman-

halaman yang sesuai dengan pencarian, dan kemudian menggunakan vektor eigen

dominan matriks itu untuk menyusun daftar halaman-halaman tersebut dengan

urutan kepentingannya sesuai dengan kriteria tertentu. Teori yang melandasi cara

kerja mesin pencari internet itu adalah Metode Kuasa.

Pada mesin pencari internet, metode kuasa tersebut dilaksanakan dengan

iterasi numerik untuk menghasilkan barisan vektor yang konvergen ke vektor ei-

gen dominan dengan menggunakan metode perskalaan Euclides atau metode per-

skalaan entri maksimum. Dengan metode perskalaan Euclides, barisan vektor-

vektor tersebut adalah

, , , , ,

yang konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari matriks A, dan barisan

· , · , · , , · ,

yang konvergen ke nilai eigen dominan dari matriks A. Iterasi tersebut dihentikan

ketika galat relatif dalam pendekatan terhadap nilai eigen kurang dari galat relatif

E yang ditentukan.


61

Pada aplikasinya, dengan Metode Kuasa dikembangkan suatu algoritma

pencarian yang disebut algoritma PageRank yang digunakan dalam mesin pencari

Google. Ide dasar di belakang algoritma tersebut adalah mengonstruksikan ma-

triks yang menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai de-

ngan pencarian, dan kemudian menggunakan vektor eigen dominan dari matriks

itu untuk menyusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan berdasarkan krite-

ria tertentu. Karena ada interaksi antara situs hub (merujuk) dan situs otoritas

(dirujuk), Google menentukan vektor otoritas awal a0 dan vektor hub awal h0 un-

tuk menyusun vektor-vektor hub dan otoritas baru h1 dan a1 dengan menggunakan

rumus

dan

Kemudian Google mengulangi proses itu dan menghitung vektor-vektor hub dan

otoritas yang saling terkait :

, , , , ,

, , , , , ,

Masing-masing barisan tersebut adalah barisan kuasa yang konvergen ke vektor

eigen dominan matriks simetrik dan .

Urutan situs-situs hasil pencarian tersebut tercermin dalam entri-entri vek-

tor-vektor eigen. Entri-entri dalam vektor-vektor eigen tersebut adalah bobot oto-

ritas dan bobot hub yang digunakan Google untuk menentukan peringkat situs-

situs yang dicari dalam urutan kepentingannya sebagai otoritas dan hub. Peringkat


62

situs-situs ini ditentukan dengan urutan turun, yaitu dari entri yang bernilai paling

besar ke entri yang bernilai paling kecil.


DAFTAR PUSTAKA

Ackleh, Azmy, et al. (2010). Classical and Modern Numerical Analysis: Theory, Methods and Practice. Boca Raton: CRC.

Anton, Howard and R. C. Busby. (2003). Contemporary Linear Algebra. New York: John Wiley & Sons. Inc.

Anton, Howard dan Chris Rorres. (2005). Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.

Bradie, Brian. (2006). A Friendly to Numerical Analysis. Upper Saddle River: Pearson Education.

Budhi, Wono Setya. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.

Conte, S. D., dan Carl de Boor. (1980). Dasar-dasar Analisis Numerik: Suatu Pendekatan Algoritma. Jakarta: Erlangga.

Cullen, Charles G. (1993). Aljabar Linear dan Penerapannya. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.

Hoffman, Joe D. (1993). Numerical Methods for Engineers and Scientist. New York: McGraw-Hill, Inc.

Langville, Amy N. and Carl D. Meyer. (2006). Google’s PageRank and Beyond: The Science of Search Engine Rankings. Princeton: Princeton University Press.


PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - … · Seseorang yang mengisi kisahku ... dengan DNS...

Documents

Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - … · Seseorang yang mengisi kisahku ... dengan DNS...