PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI · 2018. 5. 30. · distribusi weibull: sifat-sifat dan...

i

DISTRIBUSI WEIBULL: SIFAT-SIFAT DAN APLIKASINYA DALAM

ANALISIS DATA WAKTU HIDUP DAN PENGENDALIAN MUTU

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika

Oleh:

Cecilia Novianti Salsinha

NIM: 083114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2012

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

WEIBULL DISTRIBUTION: CHARACTERISTICS AND ITS

APPLICATIONS IN LIFETIME DATA ANALYSIS AND

QUALITY CONTROL

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics

By:


Student Number: 083114015

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2012


iii


iv


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tuhan, Engkau menyelidiki dan mengenal aku. Engkau mengetahui, kalau aku duduk atau berdiri, Engkau mengerti

pikiranku dari jauh. Engkau memeriksa aku, kalau aku berjalan dan berbaring, segala

jalanku Kau maklumi. Terlalu ajaib bagiku pengetahuan itu, terlalu tinggi, tidak sanggup aku

mencapainya. Aku bersyukur kepada-Mu oleh karena kejadianku dahsyat dan ajaib;

ajaib apa yang Kaubuat, dan jiwaku benar-benar menyadarinya. (Mazmur 139: 1-3, 6, 14)

MOTTO

MUST BE RESPONSIBLEMUST BE RESPONSIBLEMUST BE RESPONSIBLEMUST BE RESPONSIBLE TO WHATEVER GIVEN BY GOTO WHATEVER GIVEN BY GOTO WHATEVER GIVEN BY GOTO WHATEVER GIVEN BY GODDDD

Skripsi ini dipersembahkan untuk

Tuhan Yesus Kristus yang selalu menyertaiku

dengan kasih setiaNya yang tak terbatas,

Kedua orang tua Francisco Salsinha dan Cristina Partilah,

Adik-adik tercinta, Yustina dan Thomas Salsinha,

Seseorang yang selalu di hati,

serta Almamater yang kubanggakan.


vi


vii

ABSTRAK

Distribusi Weibull merupakan salah satu distribusi probabilitas kontinu.

Sama halnya dengan distribusi lainnya, distribusi Weibull pun dicirikan

dengan Mean, Variansi dan Fungsi Pembangkit Momen. Kelebihan distribusi

ini dibandingkan dengan distribusi lainnya adalah fleksibilitasnya, yaitu

distribusi ini dapat berubah menjadi distribusi lain seperti distribusi

eksponensial tergantung pada nilai parameter distribusi yang dipilih yaitu

parameter skala dan parameter bentuk. Jika dilihat dari grafik distribusinya

maka akan tampak sangat jelas fleksibilitas tersebut.

Salah satu aplikasi dari distribusi Weibull yaitu dapat digunakan dalam

analisis data waktu hidup. Distribusi ini merupakan distribusi yang paling

baik jika dibandingkan dengan distribusi lainnya seperti distribusi

Eksponensial yang mengasumsikan tingkat kegagalan komponen konstan.

Distribusi Weibull cukup mendeskripsikan waktu kegagalan dari komponen

ketika tingkat kegagalan dari komponen tersebut meningkat atau menurun

seiring dengan bertambahnya waktu. Selain dalam analisis data waktu hidup,

distribusi ini juga dapat digunakan dalam pengendalian proses statistik. Oleh

karena tidak semua data berdistribusi normal maka grafik pengendali

Shewhart tidak dapat digunakan. Salah satu cara menyelesaikan masalah

tersebut adalah data dianalisis dengan grafik pengendali Weibull dengan

memanfaatkan kuantil-kuantil yaitu 0,00135, 0,5 dan 0,99865. Kuantil

0,00135 adalah kuantil bawah yang digunakan untuk membentuk Batas

Pengendali Bawah, Garis Tengah adalah median dari data yaitu 0,5 yang

menggantikan rata-rata dan untuk membentuk Batas Pengendali Atas

digunakan kuantil atas yaitu 0,99865.

Kata kunci: distribusi Weibull, kertas peluang Weibull, analisis data waktu

hidup, pengendalian mutu, grafik pengendali, rata-rata kegagalan komponen.


viii

ABSTRACT

Weibull distribution is one of the continous probability density

function. Similar to other distributions, Weibull distribution also

characterized by mean, variance and moment generating function. The

goodness of this distribution compared to other distributions is its flexibility,

that is the distribution can be transformed into other distribution such as

exponential distribution depends on the parameter selected. The flexibility

obviously can be seen from the graph.

One of the applications of Weibull distribution is the distribution can be

used in a lifetime data analysis. This distribution is the best distribution

compared to other distributions such as Exponential distribution, which

assumes a constant failure rate of component. Weibull distribution is

sufficient to describe a failure of the component when the failure rate is

increases or decreases in time. In addition to the lifetime data analysis, this

distribution can also be used in statistical process control. Because not all of

data follows normal distribution so Shewhart control chart can’t be applied.

To solve this problem we can use Weibull control chart to analyze the data by

using 0,00135, 0,5 and 0,99865 as quantiles. 0,00135 quantile is the lower

quantile used to construct Lower Specification Limit, the Center Line is the

median of data that is 0,5 which replaces mean and to construct Upper

Specification Limit, upper quantile that is 0,99865 quantile is used.

Keywords: Weibull distribution, Weibull probability paper, lifetime data

analysis, quality control based on Weibull distribution, control charts, the

average of failure component.


ix


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa

atas segala berkat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini dengan baik.

Skripsi yang berjudul “Distribusi Weibull: Sifat-Sifat dan Aplikasinya

Dalam Analisis Data Waktu Hidup dan Pengendalian Mutu” ini adalah salah

satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Sains

dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini, tentunya penulis telah menerima

bantuan baik secara moril maupun materil dari berbagai pihak. Oleh karena

itu penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko,M.Sc selaku dosen pembimbing yang

dengan penuh kesabaran telah memberikan bimbingan, nasihat dan arahan

kepada penulis.

2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi

Matematika beserta Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si yang telah

memberikan banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan.

3. Seluruh bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu

pengetahuan kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Universitas

Sanata Dharma.

4. Mas Susilo selaku laboran yang telah banyak membantu penulis dalam

perkuliahan, terutama dalam penulisan skripsi ini.

5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas

Sains dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan

pembelajaran, serta administrasi bagi penulis selama masa perkuliahan.

6. Ayahanda yang penulis banggakan dan Ibundaku tercinta serta adik-

adikku Yustina Salsinha dan Thomas Salsinha yang telah banyak


xi

memberikan dukungan dan pengorbanan sehingga penulis dapat

menyelesaikan studi dengan baik.

7. Kakak Oktovianus Koa atas perhatian dan kasih sayangnya serta telah

memberikan dukungan, nasihat dan semangat kepada penulis dalam

perkuliahan terlebih dalam penyusunan skripsi ini.

8. Teman-teman angkatan 2008 Program Studi Matematika yaitu Yudith,

Hilary, Amel, Marcel, Fenny, Ethus, Moyo dan Widi yang telah

memberikan dukungan dan semangat dalam perkuliahan terlebih dalam

penyusunan skripsi ini.

9. Teman-teman Kos Putri Aulia: K Merlyn Kris, Kakatua, Awo, Sende,

Elpir, Wiwi, Tere, Asri dan Tesa serta Pipot yang selalu memberikan

semangat dan dukungan dalam perkuliahan dan dalam penyelesaian skripsi

ini.

10. Teman-teman KKN XLII Kelompok 33: Ermen, Ulin, Susan, Adel, Arum,

Abet dan Aben.

11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak

memberikan bantuan, dorongan dan motivasi sehingga skripsi ini dapat

terselesaikan.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan,

maka saran dan kritik yang konstruktif dari semua pihak sangat diharapkan

demi penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi

semua pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.

Yogyakarta, April 2012

Penulis



xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ..................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................... vi

HALAMAN ABSTRAK .................................................................................. vii

HALAMAN ABSTRACT ............................................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI........................... ix

KATA PENGANTAR ..................................................................................... x

DAFTAR ISI .................................................................................................... xii

DAFTAR TABEL ............................................................................................ xvii

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xviii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah............................................................................ 1

B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 4

C. Pembatasan Masalah ................................................................................. 4

D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 5

E. Manfaat Penulisan ..................................................................................... 5


xiii

F. Metode Penulisan ...................................................................................... 5

G. Sistematika Penulisan ............................................................................... 6

BAB II LANDASAN TEORI

A. Distribusi Probabilitas ................................................................................. 10

1. Variabel Random ................................................................................... 10

2. Fungsi Probabilitas ................................................................................. 11

a. Distribusi Probabilitas Diskret ........................................................... 11

b. Distribusi Probabilitas Kontinu ......................................................... 12

3. Fungsi Distribusi Kumulatif ................................................................... 12

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas....................................................... 13

a. Mean .................................................................................................. 13

b. Variansi .............................................................................................. 13

c. Momen ............................................................................................... 14

d. Fungsi Pembangkit Momen ............................................................... 14

B. Distribusi Eksponensial ............................................................................... 15


2. Sifat-sifat Distribusi Eksponensial ......................................................... 15

a. Fungsi Pembangkit Momen ............................................................... 15


xiv

b. Mean .................................................................................................. 16

c. Variansi .............................................................................................. 17

C. Distribusi Gamma ........................................................................................ 18


2. Sifat-sifat Distribusi Gamma .................................................................. 19

a. Fungsi Pembangkit Momen ............................................................... 19

b. Mean .................................................................................................. 20

c. Variansi .............................................................................................. 21

D. Teorema Nilai Rata-rata Untuk Turunan ..................................................... 23

E. Deret Taylor ................................................................................................ 25

F. Metode Maksimum Likelihood ................................................................... 29

G. Pengendalian Proses Statistik ...................................................................... 31

1. Grafik Pengendali ................................................................................... 32

2. Analisis Kemampuan Proses .................................................................. 34

BAB III DISTRIBUSI WEIBULL

A. Fungsi Probabilitas .................................................................................... 39

B. Grafik Distribusi ....................................................................................... 41

C. Fungsi Distribusi Kumulatif ..................................................................... 44


xv

D. Sifat-sifat Distribusi Weibull .................................................................... 45

1. Mean .................................................................................................. 45

2. Variansi .............................................................................................. 46

3. Fungsi Pembangkit Momen ............................................................... 48

E. Kertas Peluang Weibull ............................................................................ 52

1. Grafik Probabilitas Weibull ............................................................... 52

2. Skala Dalam Kertas Peluang Weibull ................................................ 55

a. Kertas Peluang Weibull Jenis Pertama (1 cycle ��) ............... 59

b. Kertas Peluang Weibull Jenis Kedua (2 cycle ��) .................. 60

c. Kertas Peluang Weibull Jenis Ketiga (3 cycle ��) .................. 61

F. Pendugaan Parameter Distribusi ............................................................... 61

BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL

A. Aplikasi Dalam Analisis Data Waktu Hidup ............................................ 68

1. Reliabilitas ......................................................................................... 68

b. Sistem Seri .................................................................................. 70

c. Sistem Paralel ............................................................................. 73

2. Distribusi Waktu Kegagalan .............................................................. 76

3. Model Waktu Hidup Weibull............................................................. 84


xvi

B. Aplikasi Dalam Pengendalian Mutu ......................................................... 89

1. Grafik Pengendali .............................................................................. 89

2. Perbandingan Kemampuan Proses ..................................................... 91

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan ................................................................................................. 100

B. Saran ............................................................................................................ 101

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 102

LAMPIRAN ..................................................................................................... 105


xvii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 ........................................................................................................... 10

Tabel 3.1 ........................................................................................................... 55


xviii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 ....................................................................................................... 23

Gambar 2.2 ....................................................................................................... 41

Gambar 2.3 ....................................................................................................... 33

Gambar 2.4 ....................................................................................................... 37

Gambar 2.5 ....................................................................................................... 37

Gambar 3.1 ....................................................................................................... 42

Gambar 3.2 ....................................................................................................... 43

Gambar 3.3 ....................................................................................................... 58

Gambar 3.4 ....................................................................................................... 59

Gambar 3.5 ....................................................................................................... 60

Gambar 3.6 ....................................................................................................... 61

Gambar 3.7 ....................................................................................................... 62

Gambar 3.8 ....................................................................................................... 66

Gambar 4.1 ....................................................................................................... 71

Gambar 4.2 ....................................................................................................... 74

Gambar 4.3 ....................................................................................................... 81

Gambar 4.4 ....................................................................................................... 86

Gambar 4.5 ....................................................................................................... 87

Gambar 4.6 ....................................................................................................... 88

Gambar 4.7 ....................................................................................................... 88

Gambar 4.8 ....................................................................................................... 94


xix

Gambar 4.9 ....................................................................................................... 96

Gambar 4.10 ..................................................................................................... 97

Gambar 4.11 ..................................................................................................... 99


BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Distribusi Weibull dikembangkan antara tahun 1922 dan 1943.

Distribusi ini menggunakan nama seorang ahli mesin dari Swedia,

Waloddi Weibull. Hal ini disebabkan karena dialah yang

mempublikasikan distribusi ini sehingga dikenal oleh dunia internasional.

Awalnya distribusi ini digunakan oleh Rosin, Rammler dan Sperling pada

tahun 1933 dalam proses penghancuran material padat. Selanjutnya pada

tahun 1939 digunakan oleh Weibull untuk mengukur kekuatan material.

Lebih dari setengah abad distribusi Weibull telah menarik

perhatian ahli statistik yang mempelajari teori dan metode dalam berbagai

bidang aplikasi statistika. Ratusan bahkan ribuan dokumen menuliskan

distribusi ini. Distribusi ini menjadi orientasi dari ahli statistika karena

kelebihannya yakni dapat digunakan dalam berbagai bidang mulai dari da-

ta uji hidup sampai data cuaca atau observasi antara lain dalam bidang

ekonomi, hidrologi dan biologi.

Distribusi Weibull termasuk dalam keluarga dari distribusi

eksponensial. Fungsi densitas dari distribusi eksponensial adalah

�� = {� , �� , ��


2

dengan � adalah parameter distribusi. Distribusi eksponensial merupakan

distribusi yang sering digunakan dalam analisis data waktu hidup. Pada

umumnya data uji hidup tidak berdistribusi normal sehingga tidak dapat

diselesaikan dengan prosedur statistik standar dalam menganalisis data.

Dalam penerapan tersebut distribusi eksponensial diasumsikan sebagai

distribusi dari waktu kegagalan. Misalkan �� adalah fungsi densitas dari

waktu kegagalan komponen sehingga probabilitas komponen tersebut akan

gagal antara � sampai � + ∆� adalah �� ∙ ∆�. Jadi probabilitas komponen

tersebut akan gagal pada interval antara 0 sampat t adalah

�� = � ��

�

dan fungsi reliabilitas yang memperlihatkan bahwa komponen tersebut

bertahan sampai waktu t adalah �� = 1 − ��

= 1 − # ��

Karena distribusi dari waktu kegagalan diasumsikan berdistribusi

Eksponensial maka �� = 1 − # �$%��

= 1 − �1 − $%��

= $%��

dengan � adalah tingkat kegagalan dan � adalah lamanya komponen

tersebut bertahan.

Distribusi eksponensial memiliki kelemahan. Distribusi ini hanya

dapat digunakan jika tingkat kegagalan komponen diasumsikan konstan,


3

padahal dalam banyak kasus tingkat kegagalan komponen tidak selalu

konstan (Johnson, 2005). Dalam beberapa kasus, waktu kegagalan

komponen juga mungkin akan sangat panjang sepanjang periode

pengujian. Oleh karena itu model eksponensial tidak dapat digunakan, dan

sebagai solusi untuk masalah tingkat kegagalan komponen yang tidak

konstan digunakan distribusi Weibull.

Secara umum fungsi densitas dari distribusi Weibull adalah

�� = {� , �� &'�(�)��*�( , +�,+- � � �,& � �,' �� (1.1)

Dapat dilihat bahwa jika pada persamaan (1.1) β = 1 maka fungsi

distribusi di atas menjadi fungsi eksponensial dengan � = .. Salah satu

kelebihan dari distribusi Weibull adalah dapat digunakan jika tingkat

kegagalannya menurun atau meningkat sesuai dengan peningkatan waktu.

Sesuai dengan uraian di atas maka penulis ingin mempelajari lebih jauh

tentang distribusi Weibull khususnya sifat - sifat dan aplikasinya dalam

analisis data waktu hidup (lifetime data) dan pengendalian mutu.

Salah satu alat yang digunakan dalam pengendalian mutu adalah

grafik pengendali (control charts). Grafik pengendali adalah perangkat

statistik grafis yang digunakan untuk mengontrol suatu proses berulang.

Grafik pengendali sangat berguna dalam menetapkan standar pencapaian

dari sebuah proses, membantu mencapai standar tersebut dan

mempertimbangkan standar mana yang sudah tercapai.


4

Grafik pengendali yang biasanya digunakan dalam praktik

didasarkan pada analisis distribusi normal yaitu dengan rata-rata Shewhart

dan kisaran grafik pengendali σ3 (standar deviasi). Namun demikian

tidak semua data berdistribusi normal. Jika data tak berdistribusi normal

dan tetap dianalisis dengan grafik pengendali tersebut dengan

mengasumsikan bahwa data berdistribusi normal maka error yang besar

akan terjadi (Samanta, 2004).

Dalam skripsi ini akan dibahas salah satu distribusi yang memiliki

sifat lebih fleksibel yaitu distribusi Weibull. Aplikasi distribusi Weibull

yang dibahas adalah grafik pengendali dan analisis data waktu hidup.

B. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam tulisan ini adalah sebagai berikut :

1. Apa saja sifat – sifat dari distribusi Weibull?

2. Bagaimana aplikasi dari distribusi Weibull dalam analisis data waktu

hidup dan pengendalian mutu?

C. Pembatasan Masalah

Adapun beberapa hal yang dibatasi penulis dalam tulisan ini adalah

sebagai berikut :

1. Penulis tidak mengkaji semua hal yang berhubungan dengan analisis

data waktu hidup.


5

2. Pada mengaplikasikan distribusi Weibull dalam pengendalian mutu,

penulis hanya menganalisis grafik pengendali.

3. Tidak semua teorema dalam bidang kalkulus yang digunakan dalam

skripsi ini dibuktikan.

4. Dalam mengestimasi parameter distribusi, penulis tidak menjelaskan

lebih rinci tentang metode Newton-Raphson.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan ini adalah untuk mengetahui sifat-sifat dari

distribusi Weibull serta aplikasinya dalam dalam analisis data waktu hidup

dan pengendalian mutu.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah

dapat memahami sifat-sifat distribusi Weibull serta dapat

mengaplikasikannya dalam analisis data waktu hidup dan pengendalian

mutu.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka yaitu

dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik distribusi

Weibull serta aplikasinya dalam dalam analisis data waktu hidup dan

pengendalian mutu.


6

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Pembatasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II LANDASAN TEORI

A. Distribusi Probabilitas

1. Variabel Random

2. Fungsi Probabilitas

a. Distribusi Probabilitas Diskret

b. Distribusi Probabilitas Kontinu

3. Fungsi Distribusi Kumulatif

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas

a. Mean

b. Variansi

c. Momen

d. Fungsi Pembangkit Momen

B. Distribusi Eksponensial



7

2. Sifat-sifat Distribusi Eksponensial

a. Fungsi Pembangkit Momen

b. Mean

c. Variansi

C. Distribusi Gamma


2. Sifat-sifat Distribusi Gamma


b. Mean

c. Variansi

D. Teorema Nilai Rata-rata Untuk Turunan

E. Deret Taylor

F. Metode Maksimum Likelihood

G. Pengendalian Proses Statistik

1. Grafik Pengendali

2. Analisis Kemampuan Proses

BAB III DISTRIBUSI WEIBULL

A. Fungsi Probabilitas

B. Grafik Distribusi

C. Fungsi Distribusi Kumulatif

D. Sifat-sifat Distribusi Weibull

1. Mean


8

2. Variansi

3. Fungsi Pembangkit Momen

E. Kertas Peluang Weibull

1. Grafik Probabilitas Weibull

2. Skala Dalam Kertas Peluang Weibull

a. Kertas peluang Weibull Jenis Pertama (1 cycle log2�)

b. Kertas peluang Weibull Jenis Kedua (2 cycle log2�)

c. Kertas peluang Weibull Jenis Ketiga (3 cycle log2�)

F. Pendugaan Parameter Distribusi

BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL

A. Aplikasi Dalam Analisis Data Waktu Hidup

1. Reliabilitas

a. Sistem Seri

b. Sistem Paralel

2. Distribusi Waktu Kegagalan

3. Model Waktu Hidup Weibull

B. Aplikasi Dalam Pengendalian Mutu


2. Perbandingan Kemampuan Proses

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


BAB II

LANDASAN TEORI

A. Distribusi Probabilitas

1. Variabel Random

Definisi 2.1

Variabel random adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada

ruang sampel. Variabel random biasanya dinotasikan dengan huruf

kapital seperti X, Y, Z dan sebagainya. Sedangkan huruf kecil misalnya

x, y dan z menyatakan nilai tertentu dari X, Y dan Z.

Contoh 2.1

Dalam percobaan pelemparan dua koin akan diamati hasilnya.

Misalkan X menunjukkan banyaknya angka yang muncul. Tentukan

probabilitas dari masing-masing nilai X.

Penyelesaian

Misalkan A dan G adalah lambang munculnya angka dan gambar

secara berturut-turut; Ruang sampel dari percobaan di atas adalah

� = �GG, AG, GA, AA�. Oleh karena X menunjukkan banyaknya angka

yang muncul maka nilai dari X bergantung pada banyaknya angka

yang muncul. Berdasarkan hasil percobaan di atas maka terdapat 3

nilai dari X, yaitu X = 0, 1 dan 2.


10

Selanjutnya dapat ditentukan probabilitas hasil yang mungkin.

Berdasarkan contoh di atas terdapat empat kejadian yaitu

GG : kejadian muncul gambar semua pada pelemparan dua koin.

AG : kejadian muncul angka pada pelemparan pertama dan gambar

pada pelemparan kedua.

GA : kejadian muncul gambar pada pelemparan pertama dan angka

pada pelemparan kedua.

AA : kejadian muncul angka semua pada pelemparan dua koin.

Oleh karena X adalah variabel random yang menunjukkan banyaknya

angka yang muncul maka dapat dicari hubungan antara variabel

random dan kejadian dalam tabel sebagai berikut.

Tabel 2.1

Tabel hubungan antara variabel random dengan kejadian

Hasil

percobaan

Banyaknya

angka yang

muncul

Probabilitas

x P(x)

GG 0 0,25

AG atau GA 1 0,50

AA 2 0,25

P(S) 1

Berdasarkan Tabel 2.1 di atas maka P0� = P2� = 0,25 dan

P1� = 0,5. Probabilitas dari kemungkinan nilai yang berbeda dari X

disebut sebagai distribusi probabilitas. Sebuah distribusi probabilitas


11

P(x) memberikan kemungkinan pada tiap nilai x yang mungkin dari

sebuah variabel random X.

Variabel random dibagi menjadi dua macam yaitu variabel

random diskret dan varibel random kontinu.

Definisi 2.2

Variabel random dikatakan diskret jika nilai-nilainya membentuk

himpunan berhingga (finite) atau tak berhingga terbilang (Countably

infinite). Variabel random yang tidak memenuhi definisi di atas

disebut variabel random kontinu.


Fungsi distribusi probabilitas atau sering disebut fungsi probabilitas

dibagi menjadi dua yaitu:

a. Distribusi Probabilitas Diskret

Definisi 2.3

Fungsi probabilitas variabel random diskret X adalah fungsi yang

memetakan himpunan nilai variabel random diskret X ke

himpunan bilangan real yang merupakan nilai probabilitasnya.

Fungsi p(x) disebut fungsi probabilitas diskret bila memenuhi

syarat:

1� 0 ≤ �� ≤ 1 2� ∑ �� = 1∀�


12

Contoh dari distribusi probabilitas diskret yaitu distribusi

Binomial, distribusi Seragam, distribusi Poisson, distribusi

Bernoulli, dan distribusi Hipergeometrik.

b. Distribusi Probabilitas Kontinu

Definisi 2.4

Fungsi probabilitas variabel random kontinu X adalah fungsi

yang memetakan himpunan nilai variabel random kontinu X ke

himpunan bilangan real yang merupakan nilai probabilitasnya.

Fungsi f(x) disebut fungsi probabilitas variabel random kontinu X

bila memenuhi syarat:

1� �� ≥ 0 2� � �� = 1 Contohnya distribusi Normal, distribusi Exponential, distribusi

Gamma, distribusi Chi-Square dan distribusi Weibull.

3. Fungsi Distribusi Kumulatif

Definisi 2.5

Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random diskret dan kontinu

didefinisikan sebagai berikut.

�� = �� ≤ �� =�� ! " ��

∀#$%, &'() � diskret

1 �2��2�

��, bila � kontinu

9


13

4. Karakteritik Distribusi Probabilitas

Adapun karakteristik dari sebuah distribusi probabilitas adalah sebagai

berikut:

a. Mean

Definisi 2.6

Mean atau ekspektasi matematik (expected value) dari variabel

random diskret dan kontinu adalah sebagai berikut.

:�� =�� ! " ��

∀%, bila � diskret

1 ��∞

�∞, bila � kontinu

9

b. Variansi

Definisi 2.7

Jika X suatu variabel random, maka variansi dari X, ditulis

Var(X) atau V(X), didefinisikan

Var(X) = E(X – E(X))2

Teorema 2.8

Var(X) = E(X2) – (E(X))

2

Bukti:

Var(X) = E(X – E(X))2

= E[X2 – 2XE(X) + (E(X))

2]


14

= E(X2) – 2E(X)E(X) + (E(X))

2

= E(X2) – (E(X))

2 ∎

c. Momen

Definisi 2.9

Nilai harapan dari �< yang menyatakan momen nol ke-r dari

variabel random X adalah

=<′ �� = :�<� (2.1)

Secara umum, r adalah sebarang bilangan real, tetapi untuk

banyak kasus, r adalah bilangan bulat non-negatif.

d. Fungsi Pembangkit Momen

Definisi 2.10

Fungsi pembangkit momen (moment generating function, MGF)

dari X, ditulis MX(t) dari variabel random diskret dan kontinu

didefinisikan sebagai berikut.

>?2� = :@A?�

=�� ! " @A��

∀%, bila � diskret

1 @A��∞

�∞, bila � kontinu

9


15

B. Distribusi Eksponensial

Pada subbab ini akan sedikit dibahas tentang distribusi Eksponensial. Hal-

hal yang berkaitan dengan distribusi Eksponensial antara lain sebagai

berikut.


Definisi 2.11

Variabel random X dikatakan berdistribusi Eksponensial apabila

fungsi probabilitasnya sebagai berikut

�� = �B ,CDEFGHHIFJKLM% ,�NB,JNB (2.2)

2. Sifat-sifat Distribusi Eksponensial

Sifat-sifat dari distribusi eksponensial antara lain mean, variansi dan

fungsi pembangkit momen. Untuk mendapatkan mean dan variansi

terlebih dahulu akan dicari Fungsi Pembangkit Momen sebagai

berikut.


Berdasarkan Definisi 2.10 maka Fungsi pembangkit Momen dari

distribusi Eksponensial yaitu

MX(t) = ∫∞

∞−

dxxfe tx )(

= 1 @A�∞

BO@�J� ��


16

= O 1 @A�@�J� �� ∞

B

= O 1 @��J�A��∞

B

= O P @��J�A�−O − 2�RB

�

= O P@��J�A�2 − O RB

�

= O SB�TA�JU

= OO − 2

Jadi, Fungsi Pembangkit Momen dari distribusi eksponensial

adalah

>?2� = OO − 2

b. Mean

Mean dapat dicari dengan mencari turunan pertama dari Fungsi

Pembangkit Momen kemudian diaplikasikan pada saat t = 0.

:�� = ��2 V OO − 2W

= − X O−1�O − 2�YZ

= OO − 2�Y

Pada saat t = 0 maka :�� = TJ


17

Jadi, mean dari distribusi Eksponensial adalah :�� = TJ.

c. Variansi

Berdasarkan Teorema 2.8, variansi dari sebuah fungsi densitas

adalah sebagai berikut.

[)\�� = :�Y� − :��Y

Dari definisi di atas maka nilai dari :�Y� dan :��Y adalah

:�Y� = ��2 X OO − 2�YZ

= − O ∙ 2O − 2� ∙ −1O − 2�^

= 2OO − 2�O − 2�^

Pada saat t = 0 maka :�Y� = YJ_J`

= 2OY

Nilai dari :��2 adalah sebagai berikut.

:��2 = S1JU2 = 1O2

[)\�� = :�Y� − :��Y

= 2OY − 1OY


18

= 1OY

Jadi, variansi dari distribusi eksponensial adalah

[)\�� = 1OY

C. Distribusi Gamma

Pada subbab ini akan sedikit dibahas tentang distribusi Gamma. Hal-hal

yang berkaitan dengan distribusi Gamma antara lain sebagai berikut.


Definisi 2.12

Variabel random X dikatakan berdistribusi Gamma jika dan hanya jika

fungsi probabilitasnya sebagai berikut

�� = 1abΓc� �b�T@� �d, � > 0, a > 0, c > 0

dimana Γc� merupakan nilai dari fungsi gamma yang didefinisikan

sebagai berikut

Definisi 2.13

Definisi fungsi gamma yaitu

Γc� = 1 �b�T@��∞

B


19

Fungsi gamma ini sangat bermanfaat terutama dalam membantu

mencari mean, variansi dan fungsi pembangkit momen yang

melibatkan integral yang rumit.

2. Sifat-sifat Distribusi Gamma

Sama halnya dengan distribusi Eksponensial, distribusi Gamma pun

mempunyai sifat-sifat antara lain mean, variansi dan fungsi

pembangkit momen yaitu sebagai berikut


Berdasarkan Definisi 2.10 maka fungsi pembangkit momen dari

distribusi Gamma adalah sebagai berikut.

>?2� = :@A?�

= 1 @A��∞

B

= 1 @A� 1abΓc� �b�T@� �d��∞

B

= 1 1abΓc� �b�T@� S Td�AU��∞

B

= 1 1abΓc� �b�T@� T�Ad��d��∞

B

= 11 − 2a�b 1 1 − 2a�babΓc� �b�T@� T�Ad��d��∞

B


20

= 11 − 2a�b 1 S1 − 2aa UbΓc� �b�T@� ST�Add U��∞

B

Menggunakan fakta bahwa

1 &fΓ)� �f�T@� g��∞

B= 1 , ∀) > 0, & > 0

maka, fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma adalah

>?2� = 11 − 2a�b

b. Mean

Berdasarkan Definisi 2.6 maka mean dari distribusi Gamma

adalah sebagai berikut

:�� = 1 ��

B

= 1 �abΓc� �b�T@� �d��

B

= 1abΓc� 1 �b@� �d��

B

Misalkan h = �d maka � = ah

�� = a �h

maka :�� = TdiΓb� � ah�b@� j a �h�B


21

= 1abΓc� 1 abhb@� j a �h�

B

= aΓc� 1 hb@� j �h�

B

Berdasarkan Definisi 2.13, maka

:�� = aΓc� Γc + 1�

= aΓc� c Γc�

= ca

c. Variansi

Berdasarkan Teorema 2.8 maka variansi dari sebuah fungsi

densitas adalah sebagai berikut

Var�� = :�Y� − :��Y

Dari definisi di atas maka nilai dari :�Y� dan :��Y adalah

:�Y� = 1 �Y��

B

= 1 �YabΓc� �b�T@� �d��

B

= 1abΓc� 1 �bnT@� �d��

B

Misalkan h = �d maka � = ah

�� = a �h


22

maka :�Y� = TdiΓb� � ah�bnT@� j a �h�B

= 1abΓc� 1 abnThbnT@� j a �h�

B

= abnYabΓc� 1 hbnT@� j �h�

B

= aYΓc� 1 hbnT@� j �h�

B

Berdasarkan Definisi 2.13, maka

:�Y� = aYΓc� Γc + 2�

= aYΓc� c + 1� Γc + 1�

= aYΓc� c + 1� c Γc�

= cc + 1�aY 2.3�

Nilai dari :��Y adalah sebagai berikut.

:��Y = ca�Y

= cYaY 2.4�

Berdasarkan persamaan (2.3) dan (2.4) di atas maka Var�� = :�Y� − :��Y

= rcc + 1�aYs − cYaY

= cYaY + caY − cYaY


23

= caY

Jadi, Var�� = caY

D. Teorema Nilai Rata-rata Untuk Turunan

Teorema 2.15: Jika f kontinu pada selang tertutup

r), &s

dan terdiferensialkan pada titik-titik dalam dari ), &� maka terdapat

paling sedikit satu bilangan t dalam ), &� dengan

�&� − �)�& − ) = � ′t�

atau sama dengan

�&� − �)� = � ′t�& − )�

X

Y

ba x

(a,f(a))

(b,f(b))

y=g(x)

y=f(x)

s(x)

Gambar 2.1 Skema dari fungsi u�� = �� − v��

Bukti:

Pembuktian teorema di atas didasarkan pada analisis seksama dari fungsi

u�� = �� − v��, yang diperkenalkan pada Gambar 2.1 Pada gambar

tersebut w = v�� adalah persamaan garis yang melalui ), �)�� dan


24

&, �&��. Oleh karena garis ini mempunyai kemiringan rxg��xf�sg�f� dan

melalui titik ), �)��, bentuk kemiringan titik untuk persamaannya

adalah

v�� − �)� = �&� − �)�& − ) � − )�

Persamaan ini kemudian menghasilkan rumus untuk u��, yaitu:

u�� = �� − v�� = �� − �)� − �&� − �)�& − ) � − )�

Jelas bahwa u&� = u)� = 0 dan untuk � dalam ), &�

u ′�� = � ′�� − �&� − �)�& − )

Sampailah pada suatu pengamatan penting, jika diketahui bahwa terdapat

suatu bilangan t dalam ), &� yang memenuhi u ′t� = 0, maka bukti akan

selesai. Persamaan terakhir mengatakan bahwa

0 = � ′�� − �&� − �)�& − )

yang setara dengan kesimpulan dari teorema tersebut.

Untuk melihat bahwa u ′t� = 0 untuk suatu t dalam ), &�,

alasannya adalah sebagai berikut. Jelas bahwa u kontinu pada r), &s karena

merupakan selisih dua fungsi kontinu. Jadi menurut Teorema Keberadaan

Maks-Min, u harus mencapai baik nilai maksimum maupun nilai minimum

pada r), &s. Jika kedua nilai ini kebetulan adalah 0, maka u�� secara

identik adalah 0 pada r), &s, akibatnya u ′�� = 0 untuk semua � dalam

), &�, jauh lebih banyak daripada yang diperlukan.


25

Jika satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan 0,

maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik dalam t, karena u)� =u&� = 0. Sekarang u mempunyai turunan disetiap titik dari ), &�,

sehingga dengan Teorema Titik Kritis, u ′t� = 0. ∎

E. Deret Taylor

Sebuah deret disebut deret Taylor jika deret tersebut dapat

direpresentasikan dalam x-a. Pertanyaan yang berkembang dalam deret

pangkat adalah: Jika diketahui sebuah fungsi f misalnya fungsi sin x,

dapatkah fungsi tersebut direpresentasikan dalam x-a? Dua teorema

berikut akan menjawab pertanyaan tersebut.

Teorema 2.16: Rumus Taylor dengan Suku Sisa (Ekspansi Taylor)

Misalkan f adalah fungsi dimana turunan ke-(n+1)-nya

�ynT�� ada untuk setiap x pada selang terbuka I yang mengandung a.

Jadi, untuk setiap x dalam I,

�� = �)� + � ′)�� − )� + � ′′)�2! � − )�Y + ⋯

+ x|�f�y! � − )�y + }y��

dimana sisanya (atau kesalahannya) }y�� dinyatakan dengan rumus

}y�� = �ynT�t�~ + 1�! � − )�ynT


26

dengan c adalah titik diantara x dan a.

Bukti:

Untuk membuktikan teorema tersebut terlebih dahulu akan didefinisikan

fungsi }y�� di I dengan

}y�� = �� − �)� − � ′)�� − )� − � ′′)�2! � − )�Y − ��3! � − )��

− ⋯ − x|�y! � − )�y

Kemudian anggap x dan a sebagai konstanta dan definisikan fungsi baru g

di I dengan

v2� = �� − �2� − � ′2�� − 2� − � ′′2�� − 2�Y2! − ��2�� − 2��

3!

− ⋯ − �y�2�� − 2�y�~! − }y�� − 2�ynT

� − 2�ynT

Jelaslah bahwa v�� = 0 (ingat, x dianggap tetap) dan

v)� = �� − �)� − � ′)�� − )� − � ′′)�� − )�Y2! − ��)�� − )��

3!

− ⋯ − x|�f��f�|y! − }y�� f�|��

��f�|��

= }y�� − }y��

= 0

Karena a dan x adalah titik-titik di I dengan sifat bahwa v)� = v�� = 0

maka Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan dapat diterapkan. Dengan

demikian ada bilangan t di antara ) dan � sedemikian rupa sehingga


27

v′t� = 0. Untuk mendapatkan turunan g, harus diterapkan aturan

perkalian bilangan berulang kali.

v′2� = 0 − � ′2� − r� ′2�−1� + � − 2�� ′′2�s− 12! �� ′′2�2� − 2�−1� + � − 2�Y��2��− 13! ��2�3� − 2�Y−1� + � − 2��^�2�� − ⋯− 1~! ��y�2�~� − 2�y�T−1� + � − 2�y�ynT�2��− }y�� ~ + 1�� − 2�y−1�� − )�ynT

= − 1~! � − 2�y�ynT�2� + ~ + 1�}y�� − 2�y� − )�ynT

Jadi, berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan, terdapat suatu

nilai c di antara x dan a sedemikan sehingga

0 = v′t� = − Ty! � − t�y�ynT�2� + ~ + 1�}y�� |��f�|��

Ini akan menuntun pada

Ty! � − t�y�ynT�t� = ~ + 1�}y�� |��f�|��

}y�� = �ynT�t�~ + 1�! � − )�ynT ∎


28

Teorema 2.17: Teorema Taylor

Misalkan fungsi f yang memiliki turunan ke-berapapun pada suatu selang

) − \, ) + \�.

Deret Taylor

�)� + � ′)�� − )� + � ′′)�2! � − )�Y + ��)�3! � − )�� + ⋯

mempresentasikan fungsi f pada selang ) − \, ) + \� jika dan hanya jika

limy→∞}y�� = 0

dimana }y�� adalah suku sisa dalam Rumus Taylor,

}y�� = �ynT�t�~ + 1�! � − )�ynT

dan c adalah titik pada ) − \, ) + \�.

Bukti:

Untuk membuktikan teorema di atas hanya dibutuhkan Teorema 2.16.

Deret pada Teorema 2.16 adalah sebagai berikut

�� = �)� + � ′)�� − )� + � ′′)�2! � − )�Y + ⋯

+ x|�f�y! � − )�y + }y��

Pada deret �� di atas, jika limy→∞ }y�� = 0 maka terbukti bahwa deret


29

�)� + � ′)�� − )� + � ′′)�2! � − )�Y + ��)�3! � − )�� + ⋯

dapat mempresentasikan fungsi f pada selang ) − \, ) + \�.

Jadi, �� dapat ditulis menjadi

�� = ∑ �y�)� ��f�|y!∞y�B ∎

F. Metode Maksimum Likelihood

Salah satu metode penting yang dapat digunakan untuk mencari

penduga parameter selain dengan metode kuadrat terkecil adalah metode

maksimum likelihood. Metode ini diperkenalkan oleh R. A. Fisher pada

tahun 1922. Secara umum prinsip dari metode maksimum likelihood

adalah sebagai berikut. Misalkan � adalah variabel random dengan

parameter � yang tidak diketahui. Diambil ~ sampel random yaitu

�T, �Y, … , �y dengan nilai sampelnya adalah �T, �Y, … , �y. Fungsi densitas

bersama dari �T, �Y, … , �y adalah ��T, �Y, … , �y; ��. Fungsi likelihood

dari sampel tersebut adalah

��; �T, �Y, … , �y� = ��T, �Y, … , �y; ��. ��; �T, �Y, … , �y� disingkat menjadi ��. Jika �T, �Y, … , �y merupakan

variabel random berdistribusi diskret dengan fungsi densitas ��, �� maka

fungsi likelihoodnya adalah

�� = ��T = �T, … , �y = �y�

= � �� = ��y

��T


30

= � ��; ��y��T

Dan dalam kasus kontinu, jika fungsi densitasnya adalah ��, �� maka

fungsi likelihoodnya adalah

�� = ∏ ��; ��y��T (2.7)

Tujuan dari metode maksimum likelihood adalah menentukan penduga

yang memaksimalkan fungsi likelihood. Penduga ini disebut penduga

kemungkinan maksimum. Beberapa langkah yang digunakan untuk

mendapatkan parameter dengan metode maksimum likelihood adalah

sebagai berikut:

1. Mendefinisikan fungsi likelihood, ��

2. Mengoperasikan fungsi likelihood dengan logaritma natural (ln)

3. Mendiferensialkan ln �� terhadap � dan menyamakan derivatifnya

dengan nol.

4. Menyelesaikan derivatif tersebut dalam parameter � dan akan

diperoleh ��.

Berikut ini adalah alasan mengapa fungsi likelihood dioperasikan dengan

logaritma natural (ln). Seperti diketahui bahwa fungsi logaritma natural

adalah fungsi naik sehingga jika �T < �Y maka ��T� < ��Y�. Ini berarti

bahwa pada titik tertentu dimana logaritma natural dari fungsi likelihood

mencapai maksimum maka pada titik yang sama pula fungsi likelihood

juga akan mencapai maksimum.


31

G. Pengendalian Proses Statistik

Dalam banyak proses produksi, bagaimanapun baiknya dirancang,

akan selalu ada variabilitas hasil produksi karena adanya gangguan atau

sebab-sebab kecil yang pada dasarnya tidak terkendali (untuk selanjutnya

disebut variabilitas dasar). Apabila gangguan dasar suatu proses relatif

kecil maka biasanya dipandang sebagai tingkat yang dapat diterima dari

peranan proses. Dalam kerangka pengendalian kualitas statistik, suatu

proses yang bekerja hanya dengan adanya variasi dari sebab-sebab tak

terduga dikatakan ada dalam pengendalian statistik.

Dalam proses produksi dikenal 3 sumber antara lain: mesin yang

dipasang dengan tidak wajar, kesalahan operator, dan/atau bahan baku

yang cacat. Variabilitas seperti ini umumnya besar apabila dibandingkan

dengan variabilitas dasar dan biasanya merupakan tingkat yang tidak dapat

diterima dari peranan proses. Sumber-sumber variabilitas yang bukan

bagian dari pola sebab tak terduga dinamakan dengan “sebab-sebab

terduga”. Suatu proses yang bekerja dengan adanya sebab-sebab terduga

dikatakan tidak terkendali.

Dalam buku pedoman Western Electric (1956) yang dikutip oleh

Montgomery (2009) mengusulkan sekumpulan aturan pengambilan

keputusan untuk penyidikan pola tak random pada grafik pengendali.

Khususnya, buku tersebut mengusulkan penyimpulan bahwa proses tak

terkendali apabila salah satu:

1. Satu titik jatuh di luar batas pengendali 3-sigma.


32

2. Dua dari tiga titik berurutan jatuh di luar batas peringatan 2-sigma.

3. Empat dari lima titik yang berurutan jatuh pada jarak 1-sigma atau

lebih dari garis tengah.

4. Delapan titik yang berurutan jatuh pada satu sisi dari garis tengah.

Beberapa hal yang berhubungan dengan pengendalian proses

statistik adalah sebagai berikut.


Untuk mengawasi agar proses agar tetap stabil digunakan

beberapa alat untuk mengendalikannya, antara lain histogram, grafik

pareto, dan grafik pengendali. Grafik pengendali (control charts)

adalah yang paling terkenal yang digunakan dalam pengendalian

mutu untuk mengontrol suatu proses berulang. Grafik pengendali

sangat berguna dalam menetapkan standar pencapaian dari sebuah

proses, membantu mencapai standar tersebut dan mempertimbangkan

standar mana yang sudah tercapai.

Secara umum, langkah-langkah utama dalam membuat grafik

pengendali adalah menentukan parameter dari proses yang diinginkan,

memilih statistik uji yang sesuai misalkan w, membuat Garis Tengah

(GT), Batas Pengendali Atas (BPA) dan Batas Pengendali Bawah

(BPB). Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 2.2 di bawah

ini.


33

Gambar 2.2 Grafik Pengendali ��

Grafik tersebut merupakan contoh grafik pengendali ��, salah

satu dari grafik pengendali Shewhart. BPA dan BPB ditunjukkan

dengan dua garis mendatar yang berwarna merah dan ungu yang

terdapat pada grafik. Grafik tersebut juga memuat garis tengah (GT)

yang merupakan nilai rata-rata dari karakteristik kualitas yang

berkaitan dengan keadaan terkendali.

Batas pengendali dipilih sedemikian sehingga apabila proses

terkendali maka titik-titik sampel akan jatuh di antara kedua garis itu.

Apabila semua titik-titik berada di dalam batas-batas pengendali maka

proses dianggap terkendali dan tidak perlu diadakan tindakan tertentu.

Namun jika ada titik yang berada di luar batas pengendali maka

diperlukan tindakan penyelidikan dan perbaikan untuk menyingkirkan

penyebab proses tak terkendali tersebut. Merupakan kebiasaan untuk

menghubungkan titik-titik sampel di dalam grafik dengan segmen

garis lurus, sehingga mudah untuk melihat bagaimana barisan-barisan

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ka

rak

teri

stik

ku

ali

tas

sam

pe

l

Nomor sampel atau waktu

Grafik Pengendali

Xbar

BPA Xbar

GT Xbar

BPB Xbar


34

titik-titik itu tersusun menurut waktu. Apabila proses itu terkendali

maka semua titik yang digambar harus mempunyai pola yang pada

dasarnya random (Montgomery, 2008).

2. Analisis Kemampuan Proses

Teknik statistik dapat berguna sepanjang putaran produk,

termasuk aktivitas pengembangan sebelum produksi, untuk

kuantifikasi variabilitas proses, analisis variabilitas relatif terhadap

persyaratan atau spesifikasi produk, dan untuk membantu

pengembangan dan produksi dalam menghilangkan atau mengurangi

banyaknya variabilitas ini. Aktivitas umum ini dinamakan analisis

kemampuan proses.

Sudah menjadi kebiasaan mengambil penyebaran 6-sigma

dalam distribusi karakteristik kualitas produk sebagai ukuran

kemampuan proses. Dalam proses produksi, produk atau hasil yang

diperoleh dapat digunakan untuk mengukur mean proses dan batas

toleransi alami. Batas toleransi alami dideskripsikan sebagai jarak 3

standar deviasi dari mean proses. Deskripsi ini juga mengarah pada

batas 3 sigma. Batas toleransi ini dibedakan menjadi 2 yaitu Batas

Toleransi Alami Atas (BTAA) yang jatuh pada = + 3� dan Batas

Toleransi Alami Bawah (BTAB) yang jatuh pada = − 3�. Gambar

dibawah ini menunjukkan proses karakteristik kualitas yang

berdistribusi normal dengan mean = dan standar deviasi �.


35

Gambar 2.3 Proses Karakteristik Kualitas Dengan Distribusi Normal

Bagi distribusi normal, batas toleransi alami meliputi 99,73% dari

sampel itu, atau dengan cara lain, hanya 0,27% dari hasil proses akan

jatuh diluar batas toleransi alami. Dua hal yang harus diingat yaitu:

a. 0,27% diluar toleransi alami kedengarannya kecil, namun bila

jumlah produksi satu juta berarti nilai ini bersesuaian dengan 2700

benda tak sesuai per juta.

b. Jika distribusi hasil proses tidak normal, maka persen hasil yang

jatuh di luar = ± 3� dapat berbeda cukup besar dengan 0,27%.

Analisis kemampuan proses dapat didefinisikan sebagai suatu

studi keteknikan guna menaksir kemampuan proses. Taksiran

kemampuan proses mungkin dalam bentuk distribusi probabilitas yang

mempunyai spesifikasi bentuk, nilai tengah (mean) dan penyebaran

(standar deviasi). Misalnya, kita akan menentukan bahwa hasil proses


36

berdistribusi normal dengan mean = = 1,0 cm dan standar deviasi

� = 0,001 cm.

Ada beberapa teknik yang dapat digunakan dalam analisis

kemampuan proses yakni dengan histogram atau grafik probabilitas,

grafik pengendali, dan rancangan percobaan. Pada skripsi ini hanya

akan dibahas analisis kemampuan proses dengan histogram atau grafik

probabilitas.

Distribusi frekuensi dapat berguna dalam menaksir kemampuan

proses. Paling sedikit 50 sampai 100 (atau lebih) observasi harus

tersedia supaya histogram agak stabil sehingga dapat diperoleh

taksiran kemampuan proses yang cukup dapat dipercaya. Keunggulan

pendekatan distribusi ferkuensi untuk menaksir kemampuan proses

adalah bahwa cara itu memberikan kesan visual dan segera tentang

penampilan proses. Cara itu juga dapat menunjukkan dengan segera

apa sebab penampilan proses jelek. Misalkan Gambar 2.4

menunjukkan suatu proses dengan kemampuan yang cukup, tetapi

sasaran proses terletak sangat jelek, sedangkan Gambar 2.5

menunjukkan suatu proses dengan kemampuan kurang sebagai hasil

variabilitas yang besar.

Cara yang baik untuk menyatakan kemampuan proses adalah

melalui Perbandingan Kemampuan Proses (PKP). PKP ini dihitung

dengan memanfaatkan batas spesifikasi yaitu batas yang ditetapkan

oleh perusahaan yang digunakan untuk menentukan apakah proses


37

dapat diterima atau tidak. Batas spesifikasi ini biasanya digunakan

untuk memenuhi keinginan pelanggan atas produk yang dihasilkan.

Jika data berdistribusi normal atau diasumsikan normal maka

Perbandingan Kemampuan Prosesnya adalah

PKP = BSA − BSB6�

dengan BSA dan BSB masing-masing adalah Batas Spesifikasi Atas

dan Batas Spesifikasi Bawah. Batas Spesifikasi Atas adalah batas

terbesar dimana suatu proses dapat diterima sedangkan Batas

Spesifikasi Bawah adalah batas terkecil dimana suatu proses dapat

diterima. Persamaan di atas digunakan untuk menyatakan spesifikasi

dua sisi. Untuk spesifikasi satu sisi, PKPnya adalah sebagai berikut

PKP = �� (hanya spesifikasi atas)

atau

PKP = �� (hanya spesifikasi bawah)

Gambar 2.4 Kemampuan Proses Jelek karena Pusat Proses yang Jelek


38

Gambar 2.5 Kemampuan Proses Jelek karena Variabilitas Proses

yang Besar


BAB III

DISTRIBUSI WEIBULL

A. Fungsi Probabilitas

Definisi 3.1

Variabel random X dikatakan berdistribusi Weibull apabila fungsi

probabilitasnya sebagai berikut:

�� = {� , �� , �� ,� � �,� �� (3.1)

dimana � dan � adalah parameter distribusi Weibull.

Fungsi distribusi Weibull di atas merupakan fungsi distribusi

Weibull dengan dua parameter yaitu parameter skala �� dan parameter

bentuk ��. Definisi dari masing-masing parameter adalah sebagai berikut.

Definisi 3.2 Parameter Skala

Misalkan {��∙ ; "�, " > 0% adalah keluarga dari fungsi densitas dengan

parameter ". Parameter " didefinisikan sebagai parameter skala jika dan

hanya jika fungsi densitas ��; "� dapat ditulis sebagai �1 "⁄ �ℎ�� "⁄ �

untuk setiap fungsi densitas ℎ�∙�.

Contoh 3.1

Diberikan beberapa contoh dari parameter skala sebagai berikut.Pada

fungsi distribusi eksponensial berikut:


40

��; ) � = �1 )⁄ �*+� ,⁄ , ) adalah parameter skala. Pada fungsi distribusi

normal berikut

��; -� = .√012 exp 6− .0 8�290:, - disebut parameter skala.

Berdasarkan fungsi distribusi Weibull pada persamaan (3.1), �

menunjukkan parameter skala yaitu parameter yang menentukan skala atau

penyebaran statistik dari distribusi probabilitas. Jika parameter skala besar

maka distribusi akan menyebar, sedangkan jika parameter skala kecil maka

distribusi akan lebih terkonsentrasi.

Definisi 3.3 Parameter Bentuk

Parameter bentuk �� adalah parameter yang menunjukkan bentuk kurva

suatu distribusi.

Misalnya bentuk kurva condong ke kanan (skewness positif), bentuk kurva

condong ke kiri (skewness negatif) dan bentuk kurva yang menyerupai

distribusi normal. Selain dua parameter di atas, terdapat satu parameter

yang disebut sebagai parameter lokasi.

Definisi 3.4 Parameter Lokasi

Misalkan ��; ", )� adalah fungsi densitas dari variabel random ;.

Parameter " adalah parameter lokasi jika dan hanya jika fungsi densitas

��; ", )� dapat ditulis sebagai fungsi dari � − ", sehingga ��; ", )� =


41

ℎ�� − ", )� untuk setiap fungsi ℎ�∙ ; )� dan ℎ�∙ ; )� tidak bergantung pada

".

Contoh 3.2

Berikut ini adalah contoh dari parameter lokasi. Pada fungsi distribusi

normal berikut

��; <; -� = 1√2>- exp 6− 12 8� − <- 90:

< disebut sebagai parameter lokasi.

B. Grafik Distribusi

Grafik dari distribusi Weibull sangat beragam. Dengan memilih

nilai-nilai parameter � dan � distribusi itu akan mempunyai berbagai

macam bentuk. Jika parameter skala yang diubah-ubah dengan

menganggap bahwa parameter bentuk konstan maka akan diperoleh grafik

fungsi densitas dengan nilai �� > 1. Hal ini juga terjadi jika parameter

yang diubah adalah parameter bentuk dengan menganggap bahwa

parameter skala konstan. Grafik di bawah ini adalah contoh grafik fungsi

densitas dengan perubahan pada parameter bentuk ��.


Gambar 3.1 Grafik distribusi Weibull untuk

Pada grafik di atas tampak jelas bahwa dengan nilai

akan membentuk grafik yang berbeda

persamaan (3.1

densitas dari distribusi eksponensial.

densitas Weibull akan lebih besar atau sama dengan 1 tergantung pada

parameter apa yang diubah.

Jika digambarkan

sintaks

syms x

beta=sym(3.5);

f=beta*x^(beta

ezplot(f)

Grafik distribusi Weibull untuk � = 0.5, 1 danPada grafik di atas tampak jelas bahwa dengan nilai � yang berbeda

akan membentuk grafik yang berbeda-beda pula. Pada saat

3.1) akan berubah menjadi persamaan (2.2

densitas dari distribusi eksponensial. Selain itu nilai �densitas Weibull akan lebih besar atau sama dengan 1 tergantung pada

parameter apa yang diubah.

Jika digambarkan dengan menggunakan MATLAB, dengan menggunakan

beta=sym(3.5);

f=beta*x^(beta-1)*exp(-x^beta);

42

dan 3; E = � = 1

yang berbeda-beda

Pada saat � = 1 maka

n berubah menjadi persamaan (2.2) yaitu fungsi

�� dari fungsi

densitas Weibull akan lebih besar atau sama dengan 1 tergantung pada

, dengan menggunakan


43

hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut

Gambar 3.2 Grafik distribusi Weibull untuk � = 3,5 ; � = 1

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa fungsi probabilitas Weibull memenuhi

sifat-sifat fungsi probabilitas berdasarkan Definisi 2.4. Selain nilai

�� > 0, nilai F ��G�H� = 1.

F ��G�H� = F ��+.*+��G�H�

Misalkan I = ��

GI = ��+.G�

J ��G�H�

= J ��+.*+��G�H�

= J *+KGIH�

= L−*+KM�H


44

= 1

Jadi, nilai F ��G�H� = 1

C. Fungsi Distribusi Kumulatif

Berdasarkan Definisi 2.6 maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi

Weibull adalah sebagai berikut:

N�� = J ��O�GO��

= J ��O�+.*+�P�GO��

Misalkan I = �O� maka O = 8K�9��

GI = ��O�+.GO

N�� = J *+KGI��

= L−*+KM��

= L−*+�P�Q��

= −*+�� − �−1�

= 1 − *+��

Jadi, fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah

N�� = 1 − *+��


45

D. Sifat-sifat Distribusi Weibull

Beberapa sifat penting dari distribusi Weibull yaitu:

1. Mean

Salah satu konsep penting dalam teori probabilitas adalah tentang

ekspektasi atau sering disebut sebagai mean dari variabel random.

Pada bab ini secara khusus akan dibahas mengenai sifat-sifat dari

salah satu fungsi probabilitas kontinu yaitu fungsi distribusi Weibull.

Menurut Definisi 2.6 mean dari fungsi densitas di atas adalah sebagai

berikut.

R�;� = J ��+.*+��∞

��G�

R�;� = J��*+��∞

��G�

Misalkan I = �� maka � = 8K�9��

GI = ��+.G�

R�;� = JSTUTV�� W8I�9.�X� *+K 1

�� Y8I�9.�Z�+.[T\T] GI∞

�

R�;� = J ^W8I�9.�X� *+K W8I�9.�X.+�_ GI∞

�


46

R�;� = J W*+K 8I�9.�X GI∞

�

R�;� = J `*+K I.�� .�a GI∞

�

R�;� = .�� F b*+K I��c GI∞�

Berdasarkan Definisi 2.13 maka persamaan di atas dapat diubah

menjadi

R�;� = �+�� Γ 8.β

+ 19 (3.2)

2. Variansi

Dari fungsi densitas yang terdapat pada persamaan (3.1), maka

menurut Teorema 2.8 variansi dari distribusi Weibull adalah sebagai

berikut.

Var�;� = R�;0� − R�;�0

Dari definisi di atas maka nilai dari R�;0� dan R�;�0 adalah

R�;0� = J �0��+.*+��∞

��G�

R�;0� = J��g.*+��∞

��G�

Misalkan I = �� maka � = 8K�9��


47

GI = ��+.G�

R�;0� = JSTUTV�� W8I�9.�X�g. *+K 1

�� Y8I�9.�Z�+.[T\T] GI∞

�

R�;0� = J ^W8I�9.�X�g. *+K W8I�9.�X.+�_ GI∞

�

R�;0� = J W8I�9.g.� *+K 8I�9.�+.X GI∞

�

R�;0� = J h*+K 8I�90�i GI∞

�

R�;0� = J `*+K I0�� 0�a GI∞

�

R�;0� = 1� 0� J j*+K I0�k GI∞

�


menjadi

R�;0� = �+l� Γ 80β

+ 19 (3.3)


48

Nilai dari R�;�0 adalah sebagai berikut.

R�;�0 = Y�+.� Γ b1β

+ 1cZ0

R�;�0 = �+l� mΓ 8.β

+ 19Q0 (3.4)

Dari persamaan (3.3) dan (3.4) maka

Var�;� = R�;0� − R�;�0

= �+l� Γ 80β

+ 19 − �+l� mΓ 8.β

+ 19Q0

= �+0� nΓ b2β

+ 1c − 6Γ b1β

+ 1c:0o

Jadi, Var�;� = �+l� pΓ 80β

+ 19 − mΓ 8.β

+ 19Q0q

3. Fungsi Pembangkit Momen

Dengan mereduksi variabel Weibull pada persamaan (2.1) akan

diperoleh:

<rs �t� = R�tr� = J Ir�uH

��I|��

= J Ir��I�+.*+K�∞

��GI


49

Misalkan w = I� maka I = w �� sehingga Gw = �I�+.GI integral di

atas akan menjadi

= J w r�*+zGw∞

�

Integral di atas sulit diselesaikan namun integral di atas biasanya

dikenal dengan fungsi Gamma seperti pada Definisi 2.13, sehingga

akan diperoleh

<rs �t� = Γ 8r� + 19 (3.5)

Momen nol dari variabel umum Weibull berhubungan dengan

variabel Weibull yang direduksi. Dengan mensubstitusikan ; = | +}t ke dalam persamaan (2.1) dan menggunakan persamaan (3.5) akan diperoleh:

<rs �;� = E�;r� = E��| + }t�rM = � b��c |�}r+�R�tr+��r

��

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.5) ke dalam bentuk di atas

maka persamaan di atas akan menjadi

<rs �;� = E�;r� = ∑ 8r�9 |�}r+�Γ 8r+�� + 19r�� (3.6)


50

Dari persamaan (3.6) dapat diperoleh momen-momen berdasarkan

perubahan nilai r. Empat momen pertama yang diperoleh adalah

sebagai berikut.

<.s �;� = R�;� = | + }Γ. (3.7)

<0s �;� = R�;0� = |0 + 2|}Γ0 + }0Γ0 (3.8)

<�s �;� = R�;�� = |� + 3|0}Γ. + 3|}0Γ0 + }�Γ� (3.9)

<�s �;� = R�;�� = |� + 4|�}Γ. + 6|0}0Γ0 + 4|}�Γ� + }�Γ� (3.10)

Berdasarkan Definisi 2.10 fungsi pembangkit momen (moment

generating function, MGF) dari variabel random X, ditulis Mx(t),

didefinisikan sebagai

��O� = R�*P��

Ketika ��O� ada untuk setiap interval |O| < �, dimana T > 0. Fungsi

Pembangkit Momen dari distribusi Weibull kemudian dapat dicari

dengan menggunakan ekspansi Taylor sebagai berikut.

Dari Teorema 2.18 deret Taylor didefinisikan sebagai berikut

�� = � ��|� �� − |��!H��

Empat momen pada persamaan (3.7), (3.8), (3.9) dan (3.10) kemudian

dapat dituliskan ke dalam sebuah deret Taylor.


51

Pada saat � = 0 maka berdasarkan persamaan (3.6) diperoleh

<�s �;� = R�1� = |�}�Γ�0 + 1�

<�s �;� = 1 (3.11)

Deret Taylor yang dapat dibentuk dari persamaan (3.7), (3.8), (3.9),

(3.10) dan (3.11) adalah sebagai berikut:

��O� = <�s �;� + <.s �;� + <0s �;� + <�s �;� + <�s �;� + ⋯

= <�s �;� O�0! + <.s �;� O.1! + <0s �;� O02! + <�s �;� O�3! + <�s �;� O�4! + ⋯

= 1 + <.s �;� O.1! + <0s �;� O02! + <�s �;� O�3! + <�s �;� O�4! + ⋯

= 1 + � <rs �;� Or�!H

r�.

Berdasarkan hasil ekspansi Taylor di atas maka terlihat bahwa <rs �;�

adalah koefisien dari P�r! dalam ekspansi Taylor. Maka ��O� adalah

��O� = R�*P�� = 1 + ∑ P�r!Hr�. <rs �;� (3.12)

Dengan mengkombinasikan persamaan (3.5) dan persamaan

(3.12) maka �u�O� dapat diekspresikan sebagai

�u�O� = 1 + � Or�!H

r�. Γ b�� + 1c

Jadi, fungsi pembangkit momen dari distribusi weibull adalah

�u�O� = 1 + � Or�!H

r�. Γ b�� + 1c


52

E. Kertas Peluang Weibull

1. Grafik Probabilitas Weibull

Grafik probabilitas adalah sebuah teknik grafis untuk menduga

apakah data mengikuti distribusi yang diberikan seperti distribusi

normal atau Weibull. Grafik probabilitas Weibull termasuk jenis

grafik probabilitas yang biasanya digunakan untuk mengestimasi

parameter � dan � pada distribusi Weibull. Dengan kata lain grafik

Weibull adalah metode pemeriksaan informal untuk memeriksa

asumsi pada model distribusi Weibull dan juga untuk menduga

parameter dari distribusi Weibull. Pada subbab ini akan dijelaskan dan

diilustrasikan metode pembuatan grafik probabilitas Weibull. Ide

dasar dari pembuatan grafik probabilitas Weibull adalah hubungan

antara p-kuantil tp dari probabilitas Weibull dan p untuk 0 < p < 1. p-

kuantil tp didefinisikan dengan sifat sebagai berikut

� = N��O�� = �� ≤ O�� = 1 − *8+��P��9 (3.13)

sehingga akan didapatkan O� = �+��.+��M��

Jika kedua ruas persamaan di atas dioperasikan dengan logaritma

natural (ln) maka persamaan di atas akan menjadi

�� = ln�O�� = ln 8.�9 + .� ln�−ln�1 − ��M (3.14)

Jadi jika ln�O�� diplotkan dengan

�� = ln�−ln�1 − ��M (3.15)


53

maka grafik akan berbentuk garis lurus dengan berpotongan pada

| = ln 8.�9 dengan kemiringan } = .�. Jadi, � = .� dan � = .¡.

Pembuatan plot grafik �� dengan �� = ln�O�� biasanya dikerjakan

pada kertas peluang Weibull. Untuk itu perlu dilihat hubungan linear

berikut ini

�� = � mln�O�� − ln 8.¢9Q (3.16)

dengan kemiringan

£ = � (3.17)

dan berpotongan pada

¤ = −�ln 8.�9 (3.18)

Dari persamaan (3.17) dan (3.18) diperoleh nilai parameter bentuk

� = £ dan parameter skala � = *¥¦. Pada saat � tidak diketahui maka

digunakan sampel quantil. Untuk sampel yang lengkap, �., … , ��, �¨ diperoleh dengan mengurutkan � dari yang terkecil hingga yang

terbesar sehingga didapatkan ��.� ≤ ⋯ ≤ �� dan dengan

menggunakan �¨ = .+�,©� maka pendekatan kuantil �¨ dapat diduga dan

� menunjukkan sampel kuantil ke-ª. Ide dari pembuatan grafik probabilitas Weibull untuk sampel

yang lengkap adalah membuat grafik ��¨� = ln�−ln�1 − �¨�M sebagai sumbu vertikal dan ln��¨�� sebagai sumbu horisontal. Dalam


54

kaitannya dengan variasi dari ��¨� di sekitar O�«berdasarkan pada

persamaan (3.16) maka dapat dilihat secara kasar terdapat hubungan

yang linear. Kualitas dari hubungan linear ini akan memberikan suatu

indikasi apakah asumsi dari model Weibull layak atau tidak. Untuk

ukuran sampel yang kecil, bentuk linear akan sangat kasar, meskipun

sampel tersebut berdistribusi Weibull. Jadi, deviasi dari linearitas

tidak perlu dipelajari lebih jelas. Pengujian formal merupakan cara

yang lebih baik untuk dilakukan.

Untuk menggambarkan titik �ln��¨��, ��¨�� akan

ditempatkan atau diinterpolasikan nilai dari label ��¨� pada absis dan

nilai dari �¨ pada ordinat, dengan kata lain tidak perlu dilakukan

transformasi ln��¨�� dan ��¨� = ln�−ln�1 − �¨�M. Beberapa

pengarang menyarankan untuk menggunakan �s = �¨+�,��g�� sebagai �¨, ada juga yang menggunakan

¨��g.�. Selengkapnya dapat dilihat pada

Tabel 3.1. Semua pilihan dari �¨ memberikan nilai antara 0 sampai 1

atau 0 < p < 1 untuk menghasilkan nilai berhingga dari ��«. Untuk

ukuran sampel n yang besar terdapat sedikit perbedaan dalam memilih

�¨ dan untuk ukuran sampel n yang kecil variabilitas dalam sampel

Weibull membuat terdapat pilihan dalam memilih metode yang cocok.


55

Tabel 3.1

Kedudukan Grafik (plotting position)

Nama Variabel Tereduksi I¬¨:�

Probabilitas �®

Penduga Naive I¬¨:� = Nu+. b ª�c �® = 1�

Letak Titik Tengah I¬¨:� = Nu+.��ª − 0,5�/�M �® = �1 − 0,5�/� Letak BLOM I¬¨:� = Nu+. Y�ª − 0,375�� + 0,25� Z �® = �1 − 0,375�� + 0,25�

Letak Nilai Tengah

- Sesuai dengan ∏¨

I¬¨:� = Nu+.�ª/�� + 1�M �® = ª/�� + 1�

- Sesuai dengan t¨:�

I¬¨:� = �¨:� �® = Nu��¨:��

Letak Median

- Sesuai dengan ∏¨ I¬¨:� = Nu+. Y �ª − 0,3�� + 0,4�Z �® = �1 − 0,3�� + 0,4�


I¬¨:� = I²¨:� �® = Nu�I²¨:��

Letak Mode

- Sesuai dengan ∏¨ I¬¨:� = Nu+. Y �ª − 1�� − 1�Z �® = �ª − 1�� − 1�


I¬¨:� = I¨:�∗ �® = Nu �I¨:�∗ �

Letak berdasarkan

estimasi optimal

dari a dan b

Tidak ada rumus analitik

Sumber: Rinne, H. The Weibull Distribution : A Handbook (Boca

Raton: CRC press, 2009)

2. Skala Dalam Kertas Peluang Weibull

Kertas peluang Weibull ada 3 macam dengan perbedaan

besarnya skala pada absis. Kertas jenis pertama skala pada absis

dimulai dari 1 sampai 10, pada kertas jenis kedua skala dimulai dari 1

sampai 100 sedangkan pada kertas jenis ketiga skala dimulai dari 1


56

sampai 1000. Jika pada observasi terutama data observasi waktu hidup,

misalkan data berada pada skala dari 50 sampai 4000, secara sederhana

unit waktu ke sepersepuluhnya diubah dan kemudian menggunakan

kertas jenis ketiga yang dapat menampung data tersebut dan skalanya

berubah dari 5 sampai 400. Jika skalanya sangat besar maka sebaiknya

digunakan kertas dengan skala yang lebih besar. Skala yang lebih

besar tidak diberikan disini karena skalanya penuh sesak (sangat kecil)

dan karena transformasinya sangat sulit.

Jika �~µ��, �� (dengan kata lain � berdistribusi Weibull dengan

parameter � dan �) maka �s = �¶~µ 8�¶ , �¶9 = µ��s, �s�

sehingga �� s ≤ �� = ��¶ ≤ �� = � 8� ≤ �� 9 = 1 − *h+Y�·� Z�i

= 1 − *j+�� ·M� k = 1 − *b+��¸·��¸c

Jadi, dapat selalu dihasilkan skala dari waktu kegagalan naik atau

turun (tapi biasanya turun) ke dalam jarak yang tepat dengan

transformasi yang tepat. Setelah mengestimasi ��s, �s� dengan mudah

dapat mentransformasinya kembali menjadi ��, �� menggunakan nilai

dari |, namakan � = �s� dan � = |�s. Sebagai contoh, jika sebuah sampel dengan minimum dan

maksimum ��.� = 5 dan �� = 800000 secara berturut-turut, akan

membutuhkan 6 orde sehingga dapat menampung semua sampel,

misalkan terletak pada �1, 1000000M. Jika diambil ��l = √� akan


57

memberikan ��.�s = º��.� = 2,24 dan ��s = º�� = √800000 =894,43 dan sekarang semua sampel yang ditransformasi dapat

ditampung pada interval �1, 1000M atau dengan kata lain pada kertas

peluang Weibull jenis ketiga. Sebaliknya jika diambil ��.� = 0,5 dan

�� = 800000 secara berturut, transformasi tersebut tidak memenuhi

karena º0,5 = 0,71. Sekarang akan dicoba mengambil nilai | = .� dan

diperoleh 0,5�¼ = 0,794 dan 800000�¼ = 92,83. Dengan menyatakan

nilai ini kedalam unit dari ..� akan diperoleh nilai baru 7,94 dan 928,3

yang dapat ditampung dengan kertas peluang Weibull jenis ketiga.

Berikut adalah contoh grafik probabilitas Weibull yang terbentuk.

Contoh 3.3

Untuk memperlihatkan grafik probabilitas Weibull, 1000 sampel

random dibangkitkan dengan Minitab dengan parameter skala (α) yaitu

3 dan parameter bentuk (β) yaitu 2. Sampel random tersebut kemudian

diplotkan sehingga terbentuk grafik probabilitas Weibull sebagai

berikut.


58

1010,10,01

0,9999

0,95

0,8

0,5

0,2

0,05

0,02

0,01

0,0001

Data

Probability

Shape 2,082

Scale 3,039

N 1000

AD 0,707

P-Value 0,069

Probability Plot of DataWeibull - 95% CI

Gambar 3.3 Grafik Probabilitas Weibull

Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa sampel random yang

digambarkan dalam grafik probabilitas Weibull sebagian besar berada

dalam selang pada grafik tersebut. Meskipun terdapat titik yang berada

di luar selang namun jika dilihat dari nilai P-value yang dihasilkan

yaitu 0,069, menunjukkan bahwa sampel random berdistribusi

Weibull. Grafik probabilitas di atas merupakan grafik probabilitas

yang dibentuk pada salah satu jenis kertas peluang Weibull yaitu kertas

peluang Weibull jenis pertama. Berikut ini adalah contoh kertas

peluang Weibull jenis pertama, kedua dan ketiga berturut-turut.


59

a. Kertas peluang Weibull jenis pertama ( 1 cycle log.�)

Gambar 3.4 Kertas peluang Weibull jenis pertama

Sumber: Scholz, F. Weibull Probability Paper (2008)


60

b. Kertas peluang Weibull jenis kedua ( 2 cycle log.�)

Gambar 3.5 Kertas peluang Weibull jenis kedua



61

c. Kertas peluang Weibull jenis ketiga ( 3 cycle log.�)

Gambar 3.6 Kertas peluang Weibull jenis ketiga


F. Pendugaan Parameter Distribusi

Distribusi Weibull sangat beragam tergantung pada pemilihan

nilai � dan � pada persamaan (3.1). Oleh karena itu penting untuk

membatasi nilai dari parameter Weibull. Jika dipilih nilai � = 1 dan � =


1 maka distribusi Weibull tersebut akan menjadi distribusi eksponensial,

sedangkan pada saat

mendekati distr

(bukan nilai pendekatan yang diperoleh dari sampel

sampel kecil

bentuk yang merupakan pendekatan untuk

bentuk dari pemilihan nilai

dibawah ini.

Gambar 3.7 Grafik distribusi Weibull

Terlihat pada

eksponensial menjadi distribusi normal dengan berubahnya nilai

β. Untuk memperoleh parameter

Likelihood yang diaplikasikan pada fungsi distribusi Weibull.

maka distribusi Weibull tersebut akan menjadi distribusi eksponensial,

sedangkan pada saat � = 1 dan � = 3,5 maka distribusi Weibull akan

mendekati distribusi normal. Namun demikian nilai ini adalah

bukan nilai pendekatan yang diperoleh dari sampel). Jadi

tidak ada ekspektasi dari nilai eksak 3,5 untuk parameter

yang merupakan pendekatan untuk distribusi normal. Perubahan

bentuk dari pemilihan nilai � dan � yang berbeda dapat dilihat pada grafik

Grafik distribusi Weibull untuk � = 1, � = 1

pada Gambar 3.7 bahwa tampak jelas perubahan dari distribusi

nsial menjadi distribusi normal dengan berubahnya nilai

Untuk memperoleh parameter α dan β digunakan metode Maksimum

yang diaplikasikan pada fungsi distribusi Weibull.

62

maka distribusi Weibull tersebut akan menjadi distribusi eksponensial,

maka distribusi Weibull akan

demikian nilai ini adalah nilai teoritis

. Jadi, bila ukuran

tidak ada ekspektasi dari nilai eksak 3,5 untuk parameter

distribusi normal. Perubahan

yang berbeda dapat dilihat pada grafik

1, 2 dan 3,5

tampak jelas perubahan dari distribusi

nsial menjadi distribusi normal dengan berubahnya nilai α dan

metode Maksimum

yang diaplikasikan pada fungsi distribusi Weibull.


63

Fungsi probabilitas dari distribusi Weibull adalah sebagai berikut

�� = ��+.*+��

maka fungsi likelihood dari distribusi Weibull berdasarkan persamaan

(2.7) adalah sebagai berikut

¿ = ¿��, �� = À ��¨�+.*+��«��

¨�1

= �� À �¨�+.�¨�. *+ ∑ ��«�Á«Â�

Jika persamaan di atas dioperasikan dengan logaritma natural maka akan

diperoleh

ln ¿ = � ln�� + �� − 1� � ln �¨ − � ��¨��¨�.

�¨�.

= � ln � + � ln � + �� − 1� � ln �¨ − � � �¨��¨�.

�¨�.

Dengan mencari derivatif parsial terhadap � dan � dengan nilai kedua

derivatif tersebut adalah nol maka akan diperoleh

ÃÃ� ln ¿ = �� − � �¨� �3.19��¨�.

ÃÃ� ln ¿ = �� + � ln �¨ − � � �¨� ln �¨ �3.20��¨�.

�¨�.

Jika turunan parsial pada persamaan (3.19) di atas diselesaikan maka akan

diperoleh

� = �∑ �¨��.


64

Dengan mensubstitusikan � ke dalam persamaan (3.20) maka akan

diperoleh

ÃÃ� ln ¿ = �� + � ln �¨ − �∑ �ª��ª=1 W� �� ln �¨�

¨�. X�¨�.

= �� + � ln �¨ − � W∑ �� ln �¨��.∑ �ª��ª=1 X�¨�.

Oleh karena ÄÄ� ln ¿ = 0, maka hasil dari diferensial parsial di atas dapat

diubah menjadi

� W∑ �� ln �¨��.∑ �ª��ª=1 X − �� = � ln �¨�

ª=1

∑ �� ln �¨��.∑ �ª��ª=1 − 1� = ∑ ln �¨�ª=1� Untuk � > 0, hasil derivatif parsial di atas tidak dapat diselesaikan.

Namun untuk memperoleh parameter � dan � digunakan metode Newton-

Raphson. Metode ini diaplikasikan untuk mencari nilai � terlebih dahulu

dan kemudian digunakan untuk mencari nilai dari �. Untuk itu akan dicari

derivatif parsial kedua dari ln ¿ yaitu sebagai berikut. Ã0Ã�0 ln ¿ = 1�0 + m∑ ��ln �¨��. 0 ∑ �ª��ª=1 Q − 8∑ �� ln �¨��. 90

�∑ �ª��ª=1 �2 . Dengan memisalkan

��Å� = ∑ ln �¨�ª=1� + 1�Å − ∑ ��Æ ln �¨��.∑ �ª�Æ�ª=1

berdasarkan hasil ÄÄ� ln ¿ dan


65

�s��Å� = 1�Å0 + m∑ ��Æ�ln �¨�0��. ∑ �ª�Ç�ª=1 Q − 8∑ ��Æ ln �¨��. 90�∑ �ª�Ç�ª=1 �2

berdasarkan ÄlÄ�l ln ¿, maka rumus iterasi untuk metode Newton-Raphson

adalah sebagai berikut.

�Åg. = �Å + ��Å��s��Å�

�Åg. = �Å + ∑ ln �¨�ª=1� + 1�Å − ∑ ��Æ ln �¨��.∑ �ª�Æ�ª=11�Å0 + m∑ ��Æ�ln �¨�0��. ∑ �ª�Ç�ª=1 Q − 8∑ ��Æ ln �¨��. 90�∑ �ª�Ç�ª=1 �2

Rumus iterasi di atas dapat diubah menjadi

�Åg. = �Å + ¤ + 1�Å − ÈÅ£Ç1�Å0 + �ÉÅ£Ç� − �ÈÅ�0�£Ç�2

dimana, ¤ = ∑ �� «�ª=1� , £Ç = ∑ �ª�Æ�ª=1 , ÈÅ = ∑ ��Æ ln �¨��. dan

ÉÅ = � ��Æ�ln �¨�0.�¨�.

Berdasarkan penelitian dari Thoman, Bain dan Antle (1969) maka titik

awal dari iterasi adalah

�Ê� = Ë 6>0 6∑ �ln �¨�0��. − �∑ ln �¨��. �0� :� − 1 Ì+.0.

Dengan pendekatan ini, metode Newton-Raphson hanya memerlukan rata-

rata 3,5 iterasi Newton untuk mencapai tingkat ketelitian sampai 10+�


66

(Zhang, 2008). Untuk mengaplikasikan metode maksimum likelihood

dalam mencari parameter distribusi Weibull akan digunakan software

Minitab. Pada contoh berikut akan dijelaskan tentang pendugaan

parameter distribusi Weibull dengan menggunakan software Minitab.

Contoh 3.4

Untuk memperoleh parameter distribusi akan dibangkitkan 1000

sampel random dengan MINITAB dengan parameter bentuk β = 2 dan

parameter skala α = 3. Dari sampel random tersebut akan dilakukan

pendugaan α dan β dan dibandingkan dengan α dan β yang sesungguhnya.

Data tersebut kemudian diplotkan pada empat grafik probabilitas. Berikut

ini adalah plot sampel random yang telah dibangkitkan pada empat “kertas

grafik probabilitas” yaitu Normal, Eksponensial, Weibull dan Gamma.

840

99,99

99

90

50

10

1

0,01

Data

Percent

1001010,10,010,0010,0001

99,99

90

50

10

1

0,01

Data

Percent

1010,10,01

99,99

90

50

10

1

0,01

Data

Percent

1010,1

99,99

99

90

50

10

1

0,01

Data

Percent

Weibull

A D = 0,707

P-V alue = 0,069

Gamma

AD = 5,799

P-V alue < 0,005

Goodness of F it Test

Normal

A D = 3,056

P-V alue < 0,005

Exponential

A D = 102,808

P-V alue < 0,003

Probability Plot for Data

Normal - 95% C I Exponential - 95% C I

Weibull - 95% C I Gamma - 95% C I

Gambar 3.8 Grafik Probabilitas Untuk Data


67

Descriptive Statistics N N* Mean StDev Median Minimum Maximum Skewness Kurtosis 1000 0 2,69667 1,35083 2,57583 0,0703449 7,22902 0,402041 0,231715 Goodness of Fit Test Distribution AD P Normal 3,056 <0,005 Exponential 102,808 <0,003 Weibull 0,707 0,069 Gamma 5,799 <0,005

Berdasarkan plot grafik probabilitas tersebut dapat disimpulkan bahwa

sampel random berdistribusi Weibull (nilai P > 0,05). Berikut ini adalah

hasil pendugaan parameter distribusi berdasarkan metode Maksimum

Likelihood yang diperoleh dari Minitab.

ML Estimates of Distribution Parameters Distribution Location Shape Scale Threshold Normal* 2,69667 1,35083 Exponential 2,69667 Weibull 2,08186 3,03922 Gamma 3,16855 0,85108 * Scale: Adjusted ML estimate

Berdasarkan hasil di atas diperoleh parameter bentuk untuk distribusi

Weibull yaitu β = 2,08186 dan parameter skala α = 3,03922. Dengan

mengaplikasikan metode Maksimum Likelihood menggunakan software

Minitab terlihat bahwa hasil pendugaan yang diperoleh mendekati

parameter sebenarnya yaitu parameter bentuk β = 2 dan parameter skala

α = 3.


BAB IV

APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL

Pada bab IV akan dibahas aplikasi distribusi Weibull dalam bidang analisis waktu

hidup dan pengandalian mutu.

A. Aplikasi Dalam Analisis Data Waktu Hidup

Definisi 4.1

Waktu hidup didefinisikan sebagai durasi waktu yang diperlukan oleh sebuah

komponen masih berguna atau berfungsi.

Misalnya waktu hidup baterai merupakan variabel random. Secara umum

variabel waktu hidup bersifat kontinu dan non-negatif. Dalam hubungannya

dengan waktu hidup, terdapat beberapa hal penting yang digunakan dalam

analisis yaitu reliabilitas, distribusi waktu kegagalan dan model waktu hidup

Weibull .

1. Reliabilitas

Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa waktu hidup sangat

berkaitan dengan waktu bertahannya komponen. Dalam kaitan dengan

analisis waktu hidup reliabilitas menjadi bagian penting karena reliabilitas

berkaitan dengan kemampuan komponen bertahan sampai waktu yang

telah ditetapkan. Berikut ini akan dijelaskan lebih lanjut tentang reliabilitas

dalam kaitannya dengan analisis waktu hidup.


69 Definisi 4.2

Reliabilitas dari sebuah produk adalah probabilitas produk tersebut akan

berfungsi sampai limit yang telah ditetapkan paling sedikit satu periode

waktu dengan mempertimbangkan kondisi tertentu.

Oleh karena reliabilitas didefinisikan sebagai probabilitas maka teori

probabilitas dapat digunakan untuk menghitung reliabilitas dalam sistem

yang kompleks jika reliabilitas dari komponen individu diketahui. Sistem

itu sendiri didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 4.3

Menurut Kamus Bahasa Indonesia Kontemporer, sistem adalah

seperangkat peraturan, prinsip, fakta dan sebagainya yang disusun dalam

bentuk yang teratur; cara untuk mengerjakan sesuatu; seperangkat unsur

yang saling berhubungan sehingga membentuk satu kesatuan. Sedangkan

menurut Oxford Dictionary, sistem adalah himpunan alat atau

perlengkapan yang berfungsi bersama; metode; prinsip-prinsip dalam

melakukan sesuatu.

Kebanyakan sistem mempunyai karakteristik umum, yaitu:

1. Sistem memiliki struktur, artinya sistem tersusun atas komponen-

komponen atau elemen dan komposisinya.


70 2. Sistem memiliki perilaku yang melibatkan input, proses, output dan

informasi atau data.

3. Sistem memiliki interkonektivitas, artinya setiap bagian dalam sistem

mempunyai hubungan satu dengan yang lain.

4. Sistem mungkin memiliki beberapa fungsi atau kumpulan fungsi.

Secara umum sistem dibagi menjadi 2 yaitu sistem seri dan sistem

paralel atau kombinasi keduanya. Sebuah sistem dikatakan seri jika semua

komponen dalam sistem saling berhubungan sehingga sistem tersebut akan

gagal jika sebarang komponen gagal. Sedangkan dalam sistem paralel,

sistem akan gagal jika semua komponen gagal. Berikut ini akan dibahas

lebih lanjut mengenai kedua sistem tersebut.

a. Sistem Seri

Andaikan sebuah sistem terdiri atas n komponen yang terhubung

secara seri dan komponen-komponen tersebut bersifat bebas, artinya

probabilitas dari satu komponen berfungsi tidak akan berpengaruh

pada probabilitas berfungsinya komponen yang lainnya. Jika �� menyatakan keberhasilan berfungsinya komponen ke-� dalam suatu

sistem seri �, maka keberhasilan sistem tersebut sehingga dapat

berfungsi bergantung pada keberhasilan berfungsinya masing-masing

komponen yaitu

� = �� ∩ �� ∩ … ∩ �

Jadi, probabilitas sistem tersebut dapat berfungsi adalah

��(�) = �(�� > �) (4.1)


71 artinya komponen tersebut akan bertahan jika waktu hidup dari sistem

tersebut (��) lebih dari waktu � yang telah ditentukan, sehingga

persamaan (4.1) dapat dinyatakan sebagai

��(�) = ��(�� > �) ∩ (�� > �) ∩ … ∩ (� > �)� = ∏ �(�� > �)��

= ∏ ��(�)�� (4.2) dimana ��(�) adalah reliabilitas dari komponen ke-� pada waktu � dan

��(�) adalah reliabilitas dari sistem seri. Sistem seri tersebut dapat

digambarkan sebagai berikut.

Gambar 4.1 Blok Diagram Sistem Seri

Contoh 4.1

Sebuah sistem kontrol terdiri dari lima buah unit dimana semua

komponennya bekerja seluruhnya agar sistem kontrol tersebut dapat

berfungsi. Jika reliabilitas dari kelima komponen tersebut masing-

masing 0,9; 0,95; 0,87; 0,93 dan 0,9, tentukan reliabilitas dalam sistem

kontrol tersebut.

Penyelesaian


72 Blok diagram yang paling mewakili dari sistem kontrol tersebut

adalah blok diagram reliabilitas dengan susunan seri. Jika reliabilitas

dari masing-masing komponen adalah ��(�) maka reliabilitas dari

sistem kontrol tersebut adalah

��(�) = � ��(�)��

= 0,9 ∙ 0,95 ∙ 0,87 ∙ 0,93 ∙ 0,9

= 0,62260

Contoh 4.2

Andaikan reliabilitas berdasar waktu dari lampu-lampu dalam

rangkaian listrik adalah fungsi Weibull

��(�) = '()*+,

��(�) = '()-+,

�.(�) = '()/+,

�0(�) = '()1+,

��(�) = '()2+,

Tentukan Reliabilitas sistem.

Penyelesaian

Reliabilitas sistem berdasarkan persamaan (4.2) adalah

��(�) = � ��(�)��


73 = '()*+, ∙ '()-+, ∙ '()/+, ∙ '()1+, ∙ '()2+,

= '(()*3)-3)/3)13)2)+,

Jadi, reliabilitas sistem berdasarakan sistem persamaan di atas adalah

��(�) = '(()*3)-3)/3)13)2)+,.

b. Sistem Paralel

Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk meningkatkan

relabilitas dari sistem adalah dengan menggantikan komponen tertentu

dengan komponen yang sama yang terhubung secara paralel. Jika

sistem tersebut memuat 4 komponen yang saling bebas dan terhubung

secara paralel, sistem tersebut tidak dapat berfungsi jika 4 komponen

dalam sistem tersebut semuanya gagal. Andaikan 5� adalah kegagalan

komponen ke-� dalam sistem paralel 5, oleh karena kegagalan sistem

tersebut sangat bergantung pada kegagalan masing-masing komponen

dalam sistem maka kegagalan sistem tersebut dinyatakan sebagai

567�78�8 = 5� ∩ 5� ∩ … ∩ 5

Jadi, jika 5�(�) = 1 − ��(�) adalah kegagalan komponen ke-� pada

waktu �, maka kegagalan dari sistem paralel tersebut adalah

5;(�) = �(�67�78�8 ≤ �) (4.3)

dimana sistem tersebut akan gagal jika waktu bertahan dari sistem

paralel (�67�78�8) kurang dari atau sama dengan waktu �, sehingga

persamaan (4.3) dinyatakan sebagai


74 5;(�) = ��(�� ≤ �) ∩ (�� ≤ �) ∩ … ∩ (� ≤ �)� = � �(�� ≤ �)

��

= � 5�(�)��

= ��1 − ��(�)��

dimana 5; adalah kegagalan dari sistem paralel. Jadi, reliabilitas dari

sistem paralel dapat dinyatakan sebagai

�;(�) = 1 − 5;(�)

= 1 − ∏ �1 − ��(�)�� (4.4)

Dengan �;(�) adalah reliabilitas dari sistem paralel pada waktu �.

Sistem paralel tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 4.2 Blok Diagram Sistem Paralel

Contoh 4.3

Reliabilitas sistem paralel dinyatakan dengan Weibull sebagai berikut

��(�) = '()*+,


75 ��(�) = '()-+,

Tentukan reliabilitas sistem tersebut.

Penyelesaian

Berdasarkan persamaan (4.4) diatas, maka reliabilitas sitem paralel di

atas adalah

�;(�) = 1 − ��1 − ��(�)��

= 1 − =>1 − '()*+,? ∙ >1 − '()-+,?@

= '()*+, + '()-+, − '(()*3)-)+,

Jadi, reliabilitas sistem tersebut adalah

�;(�) = '()*+, + '()-+, − '(()*3)-)+, .

Reliabilitas dari sebuah sistem atau sebuah komponen sangat

bergantung pada lamanya waktu komponen tersebut bertahan. Jadi, pokok

bahasan penting yang menjadi dasar dalam reliabilitas adalah mengenai

distribusi kegagalan yaitu distribusi dari waktu sampai komponen gagal

pada waktu dan kondisi tertentu. Cara yang dapat dilakukan untuk

mengkarakterisasikan distribusi ini adalah dengan mencari tingkat

kegagalan. Berikut ini akan diuraikan mengenai distribusi waktu

kegagalan.


76 2. Distribusi Waktu Kegagalan

Andaikan C(�) adalah fungsi probabilitas dari waktu kegagalan dari

komponen, yaitu probabilitas komponen akan gagal antara waktu � dan

� + ∆� yang diberikan sebagai C(�) ∙ ∆�, sehingga probabilitas komponen

akan gagal pada interval dari nol sampai � atau jangka waktu hidup paling

tinggi sampai � dinyatakan sebagai

5(�) = E C(F)GF+H

dan fungsi reliabilitas yang mengekspresikan probabilitas komponen

bartahan sampai waktu � adalah

�(�) = 1 − 5(�) (4.5)

Dari persamaan (4.5) diperoleh

5I(�) = −�I(�)

C(�) = −�I(�) (4.6)

atau

C(�) = − JK(+)J+ (4.7)

dimana C(�) ≥ 0 dan M C(F)GFNH = 1

sehingga berdasarkan Definisi 2.6 maka rata-rata waktu kegagalan dari

komponen dapat dinyatakan sebagai

O(�) = E �C(�)G�NH


77 dengan mensubstitusikan persamaan (4.7) ke dalam persamaan di atas

maka akan diperoleh

O(�) = − E � G�(�)G� G�NH

Dengan integral parsial, memisalkan P = � dan GQ = JK(+)J+ G� akan

diperoleh

O(�) = M �(�)G�NH (4.8)

Contoh 4.4

Berdasarkan Contoh 4.2 dan Contoh 4.3 di atas, tentukan rata-rata waktu

kegagalan dari masing-masing sistem tersebut.

Penyelesaian

a. Berdasarkan Contoh 4.2 diketahui

��(�) = '(()*3)-3)/3)13)2)+,

Maka rata-rata waktu kegagalan dari sistem seri di atas adalah

O(�) = E �(�)G�NH

= M ��(�)G�NH

= M '(()*3)-3)/3)13)2)+,G�NH

Misalkan R� + R� + R.+R0+R� = S dan misalkan P = S�T


78 maka GP = SU�T(�G� dan � = >VW?*,

sehingga

O(�) = M XYYYZ'(V �

WT[>\]?*,^,_*aaabNH GP

= M XYYYZ'(V [>\]?*,^*_,

WT aaab GPNH

= M c'(V [>\]?*,_*^WT d GPNH

= M e'(V >\]?*,WT>\]?f GPNH

= M e'(V >\]?*,TV f GPNH

= >*]?*,T M '(VP*,(�NH


menjadi

O(�) = >*]?*,T Γ >�

β?


79

atau O(�) = gh *(i*ji-ji/ji1ji2)k*,T lΓ >�

β?

b. Berdasarkan Contoh 4.3 diketahui

�;(�) = '()*+, + '()-+, − '(()*3)-)+,

Maka rata-rata waktu kegagalan dari sistem paralel berdasarkan

contoh tersebut adalah

O(�) = E �(�)G�NH

= M �;(�)G�NH

= M >'()*+, + '()-+, − '(()*3)-)+,? G�NH

Berdasarkan hasil rata-rata waktu kegagalan sistem seri di atas maka

rata-rata kegagalan sistem paralel adalah sebagai berikut

O(�) = > 1R�?�TU Γ n1Uo + > 1R�?�T

U Γ n1Uo − > 1R� + R�?�TU Γ n1Uo

= e> *i*?*,T + > *i-?*,

T − > *i*ji-?*,T f Γ >�T?

Jadi, rata-rata waktu kegagalan dari sistem paralel berdasarkan

Contoh 4.3 adalah

O(�) = e> *i*?*,T + > *i-?*,

T − > *i*ji-?*,T f Γ >�T?


80 Probabilitas komponen akan gagal pada interval dari � sampai � + ∆�

adalah 5(� + ∆�) − 5(�) dan probabilitas bersyarat dari kegagalan pada

interval tersebut jika diasumsikan bahwa komponen bertahan sampai

waktu � dinyatakan sebagai

p(+3∆+)(p(+)K(+) (4.9)

Jika persamaan (4.9) dibagi dengan ∆� maka akan diperoleh tingkat

kegagalan pada interval dari � sampai � + ∆� yang dinyatakan sebagai

berikut

p(+3∆+)(p(+)∆+ ∙ �K(+) (4.10)

Dengan mengoperasikan persamaan (4.10) di atas dengan operasi limit

∆� → 0 maka akan didapatkan tingkat kegagalan seketika atau tingkat

kegagalan sederhana

r(�) = 5I(�)�(�)

dimana 5I(�) adalah derivatif dari 5(�) pada �. Oleh karena C(�) = 5I(�)

maka diperoleh

r(�) = s(+)K(+) = s(+)�(p(+) (4.11)

Fungsi tingkat kegagalan memperlihatkan tingkat kegagalan sebagai

bagian dari distribusi waktu kegagalan. Berikut ini akan diberikan kurva

tingkat kegagalan.


81

Gambar 4.3 Kurva tingkat kegagalan komponen

Kurva tingkat kegagalan yang merupakan ciri khas dari banyak item

hasil produksi ditunjukkan pada gambar di atas. Kurva tersebut dibagi

dalam 3 bagian. Bagian pertama menunjukkan penurunan tingkat

kegagalan dan hal itu merepresentasikan periode sampai item yang

kualitasnya buruk (cacat) yang diproduksi menjadi berkurang. Hal ini

biasanya terjadi pada industri elektronik yang segera membuang

komponen yang terdeteksi cacat untuk mengurangi tingkat kegagalan pada

waktu yang akan datang. Bagian yang kedua, yang seringkali digolongkan

sebagai tingkat kegagalan yang konstan, hal ini biasanya dianggap sebagai

periode yang sangat berguna karena kegagalan yang terjadi sangat sedikit.

Bagian ketiga seringkali digolongkan sebagai peningkatan tingkat

kegagalan dan pada periode ini komponen akan gagal semata-mata karena

komponen tersebut telah usang. Sebagai catatan, secara umum kurva

tingkat kegagalan adalah kekhasan dari mortalitas


82 manusia, dimana bagian pertama menunjukkan kematian pada saat bayi,

sedangkan pada bagian ketiga menunjukkan kematian karena lanjut usia.

Berikut ini akan dijelaskan hubungan yang penting yang

mengekspresikan fungsi densitas waktu kegagalan dalam hubungan

dengan fungsi tingkat kegagalan. Dengan menggunakan fakta bahwa

�(�) = 1 − 5(�) (persamaan (4.5)) sehingga 5I(�) = −�I(�), jadi fungsi

tingkat kegagalan tr(�)u dapat ditulis sebagai

r(�) = − �I(�)�(�) = − G�ln �(�)�G�

dengan pengintegralan persamaan diferensial di atas menjadi �(�),

diperoleh

�(�) = '( M x(y)Jyz{

dan, dengan menggunakan hubungan C(�) = r(�) ∙ �(�) berdasarkan

persamaan (4.11), akhirnya diperoleh

C(�) = r(�) ∙ '( M x(y)Jyz{ (4.12)

Seperti yang telah dijelaskan pada Gambar 4.3, seringkali diasumsikan

bahwa tingkat kegagalan konstan sampai periode komponen tersebut

masih berguna. Misalkan tingkat kegagalan tersebut disimbolkan dengan |, dimana | > 0 dan dengan mensubstitusikan | ke dalam persamaan di atas

maka akan diperoleh

C(�) = | ∙ '(}+ � > 0

Jadi, berdasarkan persamaan (2.2) akan diperoleh waktu kegagalan

berdistribusi eksponensial ketika tingkat kegagalan diasumsikan


83 konstan. Asumsi dari tingkat kegagalan yang konstan ini biasanya disebut

sebagai asumsi Eksponensial.

Dalam praktik, asumsi dari tingkat kegagalan yang konstan sering

tidak realistis dan dalam banyak situasi akan diasumsikan bahwa fungsi

tingkat kegagalan akan meningkat atau menurun secara pelan terhadap

waktu. Asumsi ini akan konsisten dengan penjelasan Gambar 4.3 di awal.

Fungsi yang sangat berguna yang dapat digunakan untuk mencari

pendekatan kurva tingkat kegagalan dinyatakan sebagai berikut

r(�) = RU�T(� � > 0 (4.13)

dimana R dan U adalah konstanta positif (Johnson, 2005). Keadaan yang

umum dari fungsi tersebut adalah: jika U < 1 maka tingkat kegagalan akan

menurun terhadap waktu; jika U > 1 maka tingkat kegagalan akan

meningkat terhadap waktu; dan jika U = 1 maka tingkat kegagalan akan

sama dengan R. Sebagai catatan, asumsi dari tingkat kegagalan yang

konstan yaitu asumsi eksponensial, merupakan kasus khusus (Johnson,

2005).

Jika persamaan r(�) pada persamaan (4.13) di atas disubstitusikan

ke persamaan (4.12), maka akan diperoleh

C(�) = r(�) ∙ '( M x(y)Jyz{

= RU�U−1 ∙ '− M RU�U−1G��0

= RU�U−1 ∙ '−R�U , � > 0


84 dimana R dan U adalah konstanta positif. Fungsi densitas di atas

merupakan fungsi densitas dari distribusi Weibull seperti pada persamaan

(3.1). Pokok bahasan berikutnya akan menjelaskan lebih lanjut mengenai

penggunaan distribusi Weibull dalam analisis data waktu hidup.

3. Model Waktu Hidup Weibull

Pengujian waktu hidup dari komponen sampai periode hidup dari

komponen biasanya menggunakan model eksponensial, namun tingkat

kegagalan dari komponen tidak selalu konstan sepanjang periode

pengujian (Johnson, 2005). Dalam beberapa kasus, masa kegagalan

komponen juga mungkin akan sangat panjang sepanjang periode

pengujian. Bagaimanapun, hal terpenting dalam menguji waktu hidup

adalah menentukan waktu yang dipakai daripada menentukan

kemungkinan kegagalan dari komponen yang kritis dari sistem yang

kompleks. Dalam beberapa kasus, model eksponensial biasanya tidak

dapat diaplikasikan dan perlu untuk mensubstitusikan asumsi yaitu tingkat

kegagalan konstan.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, distribusi Weibull cukup

mendeskripsikan waktu kegagalan dari komponen ketika tingkat kegagalan

dari komponen tersebut meningkat atau menurun seiring dengan

bertambahnya waktu.

Berdasarkan persamaan (3.1), maka fungsi reliabilitas yaitu waktu

kegagalan yang berdistribusi Weibull diberikan sebagai


85 �(�) = '()+,

(4.14)

dan fungsi tingkat kegagalan berdistribusi Weibull dinyatakan sebagai

r(�) = RU�T(� (4.15)

Sedangkan rata-rata kegagalan kegagalan akan sama dengan rata-rata dari

distribusi Weibull yang telah diberikan pada Bab III yaitu

O(�) = R(*, Γ >�β

+ 1? (4.16)

Contoh 4.5

Contoh berikut akan memberikan uraian tentang aplikasi model Weibull

dalam analisis data waktu hidup.

Andaikan diberikan 4 = 16 waktu hidup independen (yang diberikan

dalam bulan) hasil observasi sebagai berikut:

31,7 39,2 57,5 65,0 65,8 70,0 75,0 75,2

87,7 88,3 94,2 101,7 105,8 109,2 110,0 130,0

Tentukan distribusi yang cocok untuk menganalisis data di atas kemudian

gambarkan grafik fungsi distribusi kumulatif, fungsi reliabilitas dan fungsi

tingkat kegagalan.


86 Penyelesaian

Dalam menganalisis waktu hidup terdapat dua distribusi yang dapat

digunakan yaitu distribusi Eksponensial dan distribusi Weibull. Seperti

yang telah dijelaskan bahwa distribusi Eksponensial merupakan distribusi

yang biasanya digunakan untuk menganalisis waktu hidup. Namun jika

data tidak berdistribusi Eksponensial sehingga distribusi Eksponensial

tidak dapat digunakan maka alternatif lain yang dapat digunakan adalah

data dianalisis dengan distribusi Weibull. Untuk menentukan distribusi

yang cocok untuk menganalisis data di atas digunakan grafik probabilitas

sebagai berikut.

1000100101

95

80

50

20

5

2

1

Waktu Hidup

Percent

10010

95

80

50

20

5

2

1

Waktu Hidup

Percent


Exponential

A D = 3,375

P-V alue < 0,003

Weibull

A D = 0,190

P-V alue > 0,250

Probability Plot for Waktu Hidup

Exponential - 95% CI Weibull - 95% CI

Gambar 4.4 Grafik Probabilitas Untuk Waktu Hidup

Descriptive Statistics

N N* Mean StDev Median Minimum Maximum Skewness Kurtosis

16 0 81,6437 26,7759 81,45 31,7 130 -0,176150 -0,376735


87 Goodness of Fit Test

Distribution AD P

Exponential 3,375 <0,003

Weibull 0,190 >0,250

ML Estimates of Distribution Parameters

Distribution Location Shape Scale Threshold

Exponential 81,64375

Weibull 3,57736 90,77298

Berdasarkan Gambar 4.4 di atas maka dapat disimpulkan bahwa data

berdistribusi Weibull dengan parameter bentuk (β) yaitu 3,57736 dan

parameter skala (α) yaitu 90,77298 yang keduanya diduga dengan metode

Maksimum Likelihood seperti yang telah dibahas pada Bab II. Jadi data

tersebut dianalisis dengan distribusi Weibull.

Jika digambarkan dengan Minitab, maka grafik fungsi distribusi

kumulatif dapat dilihat pada Gambar 4.5, grafik fungsi reliabilitas pada

Gambar 4.6 dan Gambar 4.7 merupakan grafik fungsi tingkat kegagalan.

14012010080604020

100

80

60

40

20

0

Waktu Hidup

Percent

Shape 3,577

Scale 90,77

N 16

Empirical CDF of Waktu HidupWeibull

Gambar 4.5 Grafik Fungsi Distribusi Kumulatif


88

14012010080604020

100

80

60

40

20

0

Waktu Hidup

Percent

Shape 3,57736

Scale 90,7730

Mean 81,7682

StDev 25,3719

Median 81,9335

IQR 35,3741

Failure 16

C ensor 0

AD* 0,971

Table of S tatistics

Survival Plot for Waktu Hidup

Complete Data - ML Estimates

Weibull

Gambar 4.6 Grafik Fungsi Reliabilitas

14012010080604020

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

Waktu Hidup

Rate

Shape 3,57736

Scale 90,7730

Mean 81,7682

StDev 25,3719

Median 81,9335

IQ R 35,3741

F ailure 16

C ensor 0

A D* 0,971

Table of Statistics

Hazard Plot for Waktu Hidup

Complete Data - ML Estimates

Weibull

Gambar 4.7 Grafik Fungsi Tingkat Kegagalan


89 Dari ketiga grafik tersebut maka dapat ditentukan:

a. Probabilitas komponen hidup hingga suatu waktu tertentu (dapat

dilihat dari Gambar 4.5).

b. Probabilitas komponen bertahan hingga suatu waktu tertentu (dapat

dilihat dari Gambar 4.6).

c. Tingkat kegagalan komponen hingga suatu waktu tertentu (dapat

dilihat pada Gambar 4.7).

B. Aplikasi Dalam Pengendalian Mutu

Pada subbab ini akan dibahas mengenai aplikasi dari distribusi Weibull dalam

pengendalian mutu. Beberapa hal yang berkaitan dengan pengendalian mutu

yang akan dibahas antara lain mengenai grafik pengendali dan Perbandingan

Kemampuan Proses sebagai berikut.


Seperti telah dijelaskan pada Bab II, salah satu alat yang digunakan

dalam mengawasi proses agar tetap stabil adalah grafik pengendali.

Grafik pengendali yang biasanya digunakan adalah grafik pengendali

Shewhart yang didasarkan pada asumsi bahwa data yang diuji

berdistribusi normal. Namun, banyak karakteristik kualitas yang tidak

mengikuti asumsi kenormalan. Jika data yang tidak berdistribusi normal

namun dengan mengasumsikan bahwa data berdistribusi normal dan diuji

dengan grafik pengendali Shewhart maka hasil pengujian dapat

menghasilkan error yang besar (Samanta et al., 2004).


90 Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah ketidaknormalan

adalah dengan memanfaatkan fungsi kuantil. Seperti diketahui

sebelumnya, fungsi densitas dan fungsi distribusi kumulatif dari

distribusi Weibull adalah sebagai berikut:

C(F) = {H , ��87��7)Ty,_*�_i�, , �� y � H,) � H,T �H 5(F) = 1 − '()y,

Perhitungan dari kuantil untuk grafik pengendali adalah sebagai berikut:

1 − 5(F) = '()y,

{−ln�1 − 5(F)�� = RFT

RF = {−ln�1 − 5(F)��T

F = 1R {−ln�1 − 5(F)��T

atau 5(�(�) = �) {−ln�1 − ��*, (4.17)

Fungsi di atas merupakan fungsi kuantil yang merupakan invers dari

fungsi distribusi kumulatif. Persamaan di atas kemudian digunakan

untuk membentuk grafik individual berdasarkan distribusi Weibull.

Berdasarkan persamaan (4.17) di atas, q merupakan kuantil-kuantil yang

akan digunakan untuk membentuk batas-batas pengendali dari grafik

pengendali individual. Pada distribusi normal atau dalam grafik

pengendali Shewhart, � − 3� digunakan sebagai Batas Pengendali

Bawah, � sebagai Garis Tengah dan Batas Pengendali Atas yaitu � +


91 3�. Untuk distribusi tidak normal seperti distribusi Weibull

memanfaatkan kuantil bawah yaitu 0,00135 untuk membentuk Batas

Pengendali Bawah, Garis Tengah adalah median dari data yaitu 0,5 yang

menggantikan rata-rata. Pada distribusi tak normal digunakan median

oleh karena bentuk grafik fungsi distribusi yang tak simetris yang

menyebabkan rata-rata tidak terletak di tengah grafik. Untuk membentuk

Batas Pengendali Atas digunakan kuantil atas yaitu 0,99865 (Ahmad et

al., 2007).

Jadi berdasarkan konstanta-konstanta tersebut maka Batas Pengendali

Atas (BPA), Garis Tengah (GT) dan Batas Pengendali Bawah (BPB) dari

grafik individual yang berdistribusi Weibull adalah sebagai berikut:

BPB = 1R {−ln�1 − 0,00135��T

GT = 1R {−ln�1 − 0,5 ��T

BPA = 1R {−ln�1 − 0,99865 ��T

2. Perbandingan Kemampuan Proses

Terdapat beberapa cara untuk menentukan Perbandingan

kemampuan proses khususnya untuk data yang tidak berdistribusi normal.

Salah satunya adalah dengan melakukan transformasi data yang tidak

normal menjadi normal yaitu dengan transformasi Johnson, transformasi

Box-Cox atau transformasi akar kuadrat. Metode yang lain yang dapat

digunakan adalah metode persentil Clements dan metode persentil Burr.


92 Selain itu cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan indeks

kemampuan proses yaitu dengan menggunakan metode Fungsi Distribusi

Kumulatif yang diperkenalkan oleh Wierda pada tahun 1933 dalam paper

A Multivariate Process Capability Index (Ahmad et al., 2007). Pada

subbab ini akan dibahas tentang Perbandingan Kemampuan Proses

dengan metode Fungsi Distribusi Kumulatif. Perhitungan dari

Perbandingan Kemampuan Proses berdasarkan metode tersebut diperoleh

berdasarkan bukti sebagai berikut.

Secara konvensional Perbandingan Kemampuan Proses didefinisikan

sebagai:

�S� = ��(�� (4.18)

Jika �~�(�, ��) maka �S� = �. �x(� >�� + ��? dan � = �(�� < � <��). Berikut ini bukti dari pernyataan di atas.

Pertama-tama perlu diketahui bahwa �(� < ��) = �� + ��. Oleh karena

r = �(�� maka diperoleh

� >� < ��(�� ? = �� + �� (4.19)

yang ekuivalen dengan

�x(� >�� + ��? = ��(��

Oleh karena fungsi probabilitas dari r simetris maka

��(�� = − ��(�� = �x(� >�� + ��? (4.20)

Dengan persamaan (4.19) dan (4.20) akhirnya diperoleh


93 �S� = �� − ��6� = 16 n�� − �� − �� − �� o

= �� >�x(� >�� + ��? − =−�x(� >�� + ��?@?

= �. �x(� >�� + ��?

Dengan metode Fungsi Distribusi Kumulatif, Perbandingan Kemampuan

Proses didefinisikan sebagai berikut:

�S� = Φ(� >0,5 + 0,5 M C(F)GF�� ?3

dimana C(F) menunjukkan fungsi densitas dari proses.

Berdasarkan simulasi yang dilakukan oleh Ahmad dkk yang

membandingkan metode persentil Clements, metode Burr dan metode

Fungsi Distribusi Kumulatif untuk menduga PKP diperoleh hasil bahwa

metode yang paling mendekati nilai sebenarnya adalah metode FDK. PKP

yang dihasilkan dari metode Clements lebih jelek jika dibandingkan

dengan kedua metode lainnya. Meskipun kedua metode tersebut lebih

baik daripada metode Clements namun hasil yang diperoleh dengan

metode FDK paling mendekati (Ahmad et al., 2007). Berikut ini adalah

contoh aplikasi pada pengendalian mutu dengan distribusi Weibull.

Contoh 4.6

Misalkan dibangkitkan 200 sampel random yang berdistribusi Weibull

dengan parameter skala (R) yaitu 0,5 dan parameter bentuk (U) yaitu 2.

Hasil yang diperoleh adalah 200 sampel random berdistribusi Weibull


94 yang berada pada satu kolom. Sampel tersebut kemudian dianalisis

dengan grafik pengendali individual berdasarkan distribusi Weibull.

Langkah-langkah yang dilakukan untuk membangkitkan sampel dengan

MINITAB yaitu Calc � Random Data � Weibull � Numbers of rows

of data to generate = 200 � Store in Column(s) (misalkan C1) � Shape

Parameter (misalkan 2) � Scale Parameter (misalkan 0,5) � OK.

Sampel sejumlah 200 yang dibangkitkan secara random dapat dilihat

pada Tabel A1 lampiran.

Penyelesaian:

Untuk membentuk grafik individual berdasarkan sampel random

tersebut terlebih dahulu akan dicari parameternya. Data diplotkan dalam

grafik probabilitas sebagai berikut.

1,00,50,0-0,5

99,9

99

90

50

10

1

0,1

X

Percent

1010,10,010,0010,0001

99,9

90

50

10

1

0,1

X

Percent

10,10,01

99,9

90

50

10

1

0,1

X

Percent

10,10,01

99,9

99

90

50

10

1

0,1

X

Percent

Weibull

A D = 0,255

P-V alue > 0,250

Gamma

AD = 0,954

P-V alue = 0,019


Normal

A D = 0,928

P-V alue = 0,018

Exponential

A D = 22,226

P-V alue < 0,003

Probability Plot for X

Normal - 95% C I Exponential - 95% C I

Weibull - 95% C I Gamma - 95% C I

Gambar 4.8 Grafik Probabilitas Untuk X


95 Descriptive Statistics

N N* Mean StDev Median Minimum Maximum Skewness Kurtosis

200 0 0,443227 0,215439 0,426984 0,0508523 1,09146 0,377528 -

0,412931

Goodness of Fit Test

Distribution AD P

Normal 0,928 0,018

Exponential 22,226 <0,003

Weibull 0,255 >0,250

Gamma 0,954 0,019

Berdasarkan grafik probabilitas yang terbentuk berdasarkan 200 sampel

random dan berdasarkan nilai P yang tertera di atas dapat disimpulkan

bahwa sampel random berdistribusi Weibull. Berikut ini adalah hasil

pendugaan parameter distribusi berdasarkan metode Maksimum

Likelihood yang diperoleh dari Minitab.

ML Estimates of Distribution Parameters

Distribution Location Shape Scale Threshold

Normal* 0,44323 0,21544

Exponential 0,44323

Weibull 2,18161 0,50060

Gamma 3,55771 0,12458

* Scale: Adjusted ML estimate

Berdasarkan hasil di atas diperoleh parameter bentuk yaitu 2,18161 dan

parameter skala yang dihasilkan adalah 0,50060. Dengan

mengaplikasikan metode Maksimum Likelihood menggunakan software

Minitab terlihat bahwa hasil pendugaan yang diperoleh mendekati

parameter sebenarnya yaitu parameter bentuk 2 dan parameter skala 0,5.

Berdasarkan parameter di atas maka dapat dicari BPA, GT dan BPB.

Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.

BPB = 11,997603 {−ln�1 − 0,00135�� 2,18161


96 = 0,024223

GT = 11,997603 {−ln�1 − 0,00135�� 2,18161

= 0,423184

BPA = 11,997603 {−ln�1 − 0,00135�� 2,18161

= 1,189547

Tabel data dan batas pengendali dapat dilihat pada Tabel A2 lampiran.

Jika dibentuk grafik pengendali berdasarkan data dan batas pengendali

tersebut, maka dengan menggunakan Ms. Excel grafik pengendali

individual yang terbentuk adalah sebagai berikut:

Gambar 4.9 Grafik Individual dengan Excel

Jika dibentuk grafik individual berdasarkan distribusi normal maka hasil

yang diperoleh adalah sebagai berikut:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1

12

23

34

45

56

67

78

89

10

0

11

1

12

2

13

3

14

4

15

5

16

6

17

7

18

8

19

9

Nil

ai

Ind

ivid

ua

l

Nomor Sampel

Grafik Individual

X

BPB

GT

BPA


97

181161141121101816141211

1,2

0,9

0,6

0,3

0,0

Observation

Individual Value

_X=0,443

UC L=1,064

LC L=-0,178

181161141121101816141211

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

Observation

Moving R

ange

__MR=0,2336

UC L=0,7631

LC L=0

6

65

6

5

1

11

22

3

I-MR Chart of C1

Gambar 4.10 Grafik Individual dengan MINITAB Jika dibandingkan dua grafik di atas maka terlihat bahwa jika data

dianalisis dengan distribusi Weibull maka grafik tampak terkendali. Hal

ini terlihat dari tidak ada titik yang berada diluar batas pengendali.

Namun, jika data dianalisis dengan Grafik Individual menggunakan

Shewart, grafik tampak tak terkendali. Hal ini disebabkan karena data

yang digunakan adalah data yang berdistribusi Weibull dan parameter

yang digunakan juga tidak mendekati distribusi normal. Jadi, Jika data

tidak berdistribusi normal dianalisis dengan grafik pengendali Shewhart

diperoleh kesimpulan yang menyesatkan.

Selanjutnya dapat dilihat Perbandingan Kemampuan Prosesnya

sebagai berikut:

�S� = Φ(� >0,5 + 0,5 M C(F)GF�� ?3

jika digunakan target BSB dan BSA yaitu [0,02, 1,2], maka


98

E C(F)GF�� = E RUFU−1'−RFUGF�,�

H,H�

Dengan memisalkan P = RFU akan diperoleh

E C(F)GF�� = −'−RFU@H,H�

�,�

= −'−R�,.U + '−RH,H�U

dengan mensubstitusikan nilai R = 0,50060 dan U = 2,18161 akan

menjadi

= −'−R�,�U + '−RH,H�U = 0,9990

Sehingga �S� = Φ(�(0,5 + 0,5 ∙ 0,9990)3

= 1,02

Jika digambarkan dengan MINITAB maka akan diperoleh grafik

kemampuan proses sebagai berikut.


99

1,21,00,80,60,40,2-0,0

LSL USL

LSL 0,02

Target *

USL 1,2

Sample Mean 0,443227

Sample N 200

Shape 2,18161

Scale 0,500602

Process Data

Pp 1,01

PPL 1,01

PPU 1,01

Ppk 1,01

O v erall C apability

PPM < LSL 0,00

PPM > USL 0,00

PPM Total 0,00

O bserv ed Performance

PPM < LSL 889,01

PPM > USL 1188,68

PPM Total 2077,70

Exp. O v erall Performance

Process Capability of XCalculations Based on Weibull Distribution Model

Gambar 4.11 Analisis Kemampuan Proses dengan MINITAB

berdasarkan distribusi Weibull

Berdasarkan grafik hasil analisis kemampuan proses di atas terlihat

bahwa jika digunakan target BSB dan BSA yaitu [0,02, 1,2] maka PKP

yang dihasilkan adalah 1,02. Hasil PKP yang diperoleh ini menunjukkan

bahwa jika digunakan BSA dan BSB pada rentang [0,02, 1,2], maka

hanya akan ada sedikit produk yang tak sesuai yang dihasilkan dari

proses ini.


BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Distribusi Weibull merupakan salah satu distribusi probabilitas

kontinu. Sama halnya dengan distribusi probabilitas kontinu yang lain,

distribusi Weibull juga memiliki beberapa sifat antara lain mean dan

variansi yang diperoleh dengan memanfaatkan fungsi gamma serta fungsi

pembangkit momen yang merupakan perkembangan dari momen.

Distribusi Weibull dapat diaplikasikan dalam analisis data waktu

hidup. Meskipun distribusi eksponensial merupakan distribusi yang sering

digunakan, namun terdapat kelemahan dari distribusi eksponensial yakni

tidak dapat diaplikasikan ketika tingkat kegagalan komponen meningkat

atau menurun seiring dengan bertambahnya waktu. Distribusi Weibull

dapat digunakan meskipun tingkat kegagalan komponen tidak konstan.

Selain dapat diaplikasikan dalam analisis data waktu hidup, distribusi ini

juga dapat digunakan dalam pengendalian proses statistik. Oleh karena

tidak semua data yang digunakan untuk menganalisis proses statistik

adalah data yang berdistribusi normal maka distribusi Weibull dapat

digunakan.


101

B. Saran

Penulis menyarankan beberapa hal sebagai berikut:

1. Mengulas lebih dalam tentang distribusi Weibull misalnya dengan

membahas fungsi distribusi Weibull dengan tiga variabel.

2. Menemukan aplikasi lain dari distribusi Weibull.

3. Mengembangkan aplikasi yang sudah ada, misalnya dengan

menganalisis grafik pengendali selain grafik pengendali individual

berdasarkan distribusi Weibull.


DAFTAR PUSTAKA

Abughazaleh, T., Mcandrew, I., O’Sullivan, J., dan Wickramatillake, C.

(2002). Weibull Control Charts for Small Sampel Inspection. Makalah

yang disajikan dalam Pakistan’s Seventh International Convention On

Quality Improvement, Oktober 26-27, di Karachi.

Ahmad,S., Abdollahian, S., Zeephongsekul, P., dan Abbasi, B. (2007).

Performance Analysis For Skewed Data.

http://www.ubicc.org/files/pdf/UBICC_IKE07_Performance%20Analys

is%20for%20skewed%20data_191_191.pdf diakses tanggal 17 Maret

2012.

Anonim. (2003). Oxford Dictionary and Thesaurus. Madison Avenue, NY:

Oxford University Press.

Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., dan Peacock, B. (2011). Statistical

Distribution. Hoboken, NJ: John Wiley.

Hoaglin, David C., Mosteller, F., Tukey, John W. (1983). Understanding

Robust and Exploratory Data Analysis. NY: John Wiley.

Johnson, Norman L., Kotz, S., dan Balakrishnan, N. (1995). Continuous

Univariate Distribution Volume 1 Second Edition. Hoboken, NJ: A

Wiley-Interscience Distribution.

Johnson, Richard A. (2005). Probability and Statistics for Engineers. Upper

Saddle River, NJ : Pearson Prentice Hall.

Keisler, H J. (1986). Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach

Second Edition. Boston, Massauhusetts: Prindle, Weber & Schmidt

Publisher.

Khan, M. S., Pasha, G. R., Pasha, A. H. (2007). Reliability and Quantile

Analysis of the Weibull Distribution. Journal of Statistics, Volume (14,

32- 52).

Larson, Harold J. (1982). Introduction to Probability Theory and Statistical

Inference Third Edition. Monterey, California: John Wiley.

Levinson, William A. (2011). Statistical Process Control for Real-World

Applications. Boca Raton, FL: Taylor and Francis Group.

Lawless, Jerald F. (2003). Statistical Models and Methods for Lifetime Data

Second Edition. Hoboken, NJ: John Wiley.


103

Mandenhall, W., Reinmuth, James E., dan Beaver, Robert J. (1993).

Statistics for Management and Economics Seventh Edition. Belmont,

California: Duxbury Press.

Mohan, G., Ravi, S., dan Kantam R. Software reliability Using SPC and

Weibull Order Statistics. International Journal of Engineering

Research and Applications (IJERA). Volume (1,1486-1493).

Montgomery, Douglas C. (2009). Introduction To Statistical Quality

Control. Hoboken, NJ: John Wiley.

Mood, A. M., Graybill, F. A., Boes, D. C. (1974). Introduction to the

Theory of Statistics. NY: McGraw-Hill, Inc.

Murthy, D. N. P., Xie, M., Jiang, R. (2004). Weibull Models. Hoboken, NJ:

John Wiley.

Salim, P., Salim, Y., (1991). Kamus Bahasa Indonesia Kontemporer.

Jakarta: Modern English Press.

Pham, H. (2006). Springer Handbook of Engineering Statistics. Piscataway,

NJ: Springer.

Purcell, Edwin J., Varberg, D., Ridgon, Steven E. (2003). Calculus First

Edition. Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall.

Rinne, H. (2009). The Weibull Distribution : A Handbook. Boca Raton:

CRC press.

Ross, S. (1998). A First Course in Probability Fifth Edition. Upper Saddle

River, NJ: Prentice-Hall.

Samanta, B., Bhattacherjee, A. (2004). Problem Of Non-normality In

Statistical Quality Control: A Case Study In A Surface Mine. The

Journal of The South African Institute of Mining and Metallugry,

Volume(-,257-264).

Scholz, F. (2008). Weibull Probability Paper.

http://www.stat.washington.edu/fritz/DATAFILES498B2008/WeibullP

aper.pdf diakses tanggal 28 September 2011.

Stewart, J. (1999). Calculus Fourth Edition. Pasific Grove, CA:

Brooks/Cole Publishing Company.


104

Varberg, D., Purcell, Edwin J., Ridgon, Steven E. (2003). Calculus Eighth

Edition. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall.

Wackerly, Mandenhall, Scheaffer. (2008). Mathematical Statistics with

Applications Seventh Edition. Belmont, CA: Thomson Learning.

Walpole, Ronald E. (1992). Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta:

Gramedia Pustaka Utama.

Zhang, M. (2008). Performance of Control Charts For Weibull Processes.

Electronic Theses, Treatises and Dissertations (ETDs). Paper (537,1-

59).


LAMPIRAN

Tabel A1. Bilangan Random

n X n X n X n X

1 0,050852 51 0,63849 101 0,619327 151 0,365959

2 0,273989 52 0,755031 102 0,55392 152 0,690872

3 0,402568 53 0,385152 103 0,94402 153 0,346239

4 0,815742 54 0,890145 104 0,762649 154 0,543273

5 0,16881 55 1,091465 105 0,121232 155 0,399807

6 0,099512 56 0,861353 106 0,393968 156 0,646991

7 0,525521 57 0,632189 107 0,311296 157 0,28982

8 0,491834 58 0,619239 108 0,567499 158 0,541165

9 0,521819 59 0,439618 109 0,157484 159 0,444725

10 0,487249 60 0,300439 110 0,507655 160 0,633833

11 0,607227 61 0,346279 111 0,211835 161 0,359059

12 0,163639 62 0,266968 112 0,28908 162 0,498859

13 0,385926 63 0,714042 113 0,399524 163 0,59618

14 0,321588 64 0,6233 114 0,229318 164 0,23277

15 0,302224 65 0,45367 115 0,378848 165 0,108931

16 0,218695 66 0,169749 116 0,211969 166 0,49689

17 0,516828 67 0,433314 117 0,800498 167 0,169961

18 0,284163 68 0,783361 118 0,651779 168 0,209858

19 0,872617 69 0,2937 119 0,738508 169 0,435111

20 0,461648 70 0,60229 120 0,273405 170 0,250041

21 0,077124 71 0,234795 121 0,521599 171 0,630978

23 0,429881 73 0,393696 123 0,856385 173 0,125686


106

n X n X n X n X

25 0,611473 75 0,369282 125 0,881903 175 0,548691

26 0,299641 76 0,304801 126 0,886243 176 0,265481

27 0,563423 77 0,339776 127 0,816257 177 0,406935

28 0,133418 78 0,477802 128 0,051988 178 0,752577

29 0,459327 79 0,27439 129 0,319584 179 0,792023

30 0,549936 80 0,424087 130 0,230928 180 0,543561

31 0,318663 81 0,224251 131 0,532836 181 0,419898

32 0,754828 82 0,485604 132 0,169608 182 0,339849

33 0,268973 83 0,355532 133 0,36107 183 0,393078

34 0,303509 84 0,433437 134 0,299447 184 0,506739

35 0,654205 85 0,499361 135 0,512698 185 0,533306

36 0,343458 86 0,589935 136 0,598526 186 0,755576

37 0,190902 87 0,412296 137 0,325699 187 0,341846

38 0,482768 88 0,451985 138 0,832026 188 0,210559

39 0,673676 89 0,238027 139 0,52735 189 0,876939

40 0,196635 90 0,252804 140 0,719865 190 0,609131

41 0,461117 91 0,547193 141 0,268722 191 0,744867

42 0,188319 92 0,075987 142 0,54106 192 0,525199

43 0,480554 93 0,096092 143 0,412653 193 0,754326

44 0,652871 94 0,232284 144 0,511293 194 0,879072

45 0,25592 95 0,285828 145 0,177051 195 0,111408

46 0,553842 96 0,200325 146 0,430442 196 0,081194

47 0,399867 97 0,604195 147 0,605949 197 0,664136

48 0,379374 98 0,53929 148 0,127319 198 0,328652

49 0,238617 99 0,684528 149 0,524039 199 0,398997

50 0,326642 100 0,488253 150 0,806757 200 0,103264


107

Tabel A2. Batas Pengendali Grafik Individual

n X BPB GT BPA

1 0,050852 0,024223 0,423184 1,189547

2 0,273989 0,024223 0,423184 1,189547

3 0,402568 0,024223 0,423184 1,189547

4 0,815742 0,024223 0,423184 1,189547

5 0,16881 0,024223 0,423184 1,189547

6 0,099512 0,024223 0,423184 1,189547

7 0,525521 0,024223 0,423184 1,189547

8 0,491834 0,024223 0,423184 1,189547

9 0,521819 0,024223 0,423184 1,189547

10 0,487249 0,024223 0,423184 1,189547

11 0,607227 0,024223 0,423184 1,189547

12 0,163639 0,024223 0,423184 1,189547

13 0,385926 0,024223 0,423184 1,189547

14 0,321588 0,024223 0,423184 1,189547

15 0,302224 0,024223 0,423184 1,189547

16 0,218695 0,024223 0,423184 1,189547

17 0,516828 0,024223 0,423184 1,189547

18 0,284163 0,024223 0,423184 1,189547

19 0,872617 0,024223 0,423184 1,189547

20 0,461648 0,024223 0,423184 1,189547

21 0,077124 0,024223 0,423184 1,189547

22 0,271441 0,024223 0,423184 1,189547

23 0,429881 0,024223 0,423184 1,189547

24 0,565899 0,024223 0,423184 1,189547

25 0,611473 0,024223 0,423184 1,189547

26 0,299641 0,024223 0,423184 1,189547

27 0,563423 0,024223 0,423184 1,189547

28 0,133418 0,024223 0,423184 1,189547

29 0,459327 0,024223 0,423184 1,189547

30 0,549936 0,024223 0,423184 1,189547

31 0,318663 0,024223 0,423184 1,189547

32 0,754828 0,024223 0,423184 1,189547

33 0,268973 0,024223 0,423184 1,189547

34 0,303509 0,024223 0,423184 1,189547

35 0,654205 0,024223 0,423184 1,189547

36 0,343458 0,024223 0,423184 1,189547

37 0,190902 0,024223 0,423184 1,189547

38 0,482768 0,024223 0,423184 1,189547

39 0,673676 0,024223 0,423184 1,189547

40 0,196635 0,024223 0,423184 1,189547

41 0,461117 0,024223 0,423184 1,189547

42 0,188319 0,024223 0,423184 1,189547

43 0,480554 0,024223 0,423184 1,189547

44 0,652871 0,024223 0,423184 1,189547

45 0,25592 0,024223 0,423184 1,189547

46 0,553842 0,024223 0,423184 1,189547

47 0,399867 0,024223 0,423184 1,189547

48 0,379374 0,024223 0,423184 1,189547

49 0,238617 0,024223 0,423184 1,189547

50 0,326642 0,024223 0,423184 1,189547

51 0,63849 0,024223 0,423184 1,189547

52 0,755031 0,024223 0,423184 1,189547

53 0,385152 0,024223 0,423184 1,189547

54 0,890145 0,024223 0,423184 1,189547

55 1,091465 0,024223 0,423184 1,189547


108

56 0,861353 0,024223 0,423184 1,189547

57 0,632189 0,024223 0,423184 1,189547

58 0,619239 0,024223 0,423184 1,189547

59 0,439618 0,024223 0,423184 1,189547

60 0,300439 0,024223 0,423184 1,189547

61 0,346279 0,024223 0,423184 1,189547

62 0,266968 0,024223 0,423184 1,189547

63 0,714042 0,024223 0,423184 1,189547

64 0,6233 0,024223 0,423184 1,189547

65 0,45367 0,024223 0,423184 1,189547

66 0,169749 0,024223 0,423184 1,189547

67 0,433314 0,024223 0,423184 1,189547

68 0,783361 0,024223 0,423184 1,189547

69 0,2937 0,024223 0,423184 1,189547

70 0,60229 0,024223 0,423184 1,189547

71 0,234795 0,024223 0,423184 1,189547

72 0,340237 0,024223 0,423184 1,189547

73 0,393696 0,024223 0,423184 1,189547

74 0,287857 0,024223 0,423184 1,189547

75 0,369282 0,024223 0,423184 1,189547

76 0,304801 0,024223 0,423184 1,189547

77 0,339776 0,024223 0,423184 1,189547

78 0,477802 0,024223 0,423184 1,189547

79 0,27439 0,024223 0,423184 1,189547

80 0,424087 0,024223 0,423184 1,189547

81 0,224251 0,024223 0,423184 1,189547

82 0,485604 0,024223 0,423184 1,189547

83 0,355532 0,024223 0,423184 1,189547

84 0,433437 0,024223 0,423184 1,189547

85 0,499361 0,024223 0,423184 1,189547

86 0,589935 0,024223 0,423184 1,189547

87 0,412296 0,024223 0,423184 1,189547

88 0,451985 0,024223 0,423184 1,189547

89 0,238027 0,024223 0,423184 1,189547

90 0,252804 0,024223 0,423184 1,189547

91 0,547193 0,024223 0,423184 1,189547

92 0,075987 0,024223 0,423184 1,189547

93 0,096092 0,024223 0,423184 1,189547

94 0,232284 0,024223 0,423184 1,189547

95 0,285828 0,024223 0,423184 1,189547

96 0,200325 0,024223 0,423184 1,189547

97 0,604195 0,024223 0,423184 1,189547

98 0,53929 0,024223 0,423184 1,189547

99 0,684528 0,024223 0,423184 1,189547

100 0,488253 0,024223 0,423184 1,189547

101 0,619327 0,024223 0,423184 1,189547

102 0,55392 0,024223 0,423184 1,189547

103 0,94402 0,024223 0,423184 1,189547

104 0,762649 0,024223 0,423184 1,189547

105 0,121232 0,024223 0,423184 1,189547

106 0,393968 0,024223 0,423184 1,189547

107 0,311296 0,024223 0,423184 1,189547

108 0,567499 0,024223 0,423184 1,189547

109 0,157484 0,024223 0,423184 1,189547

110 0,507655 0,024223 0,423184 1,189547

111 0,211835 0,024223 0,423184 1,189547

112 0,28908 0,024223 0,423184 1,189547

113 0,399524 0,024223 0,423184 1,189547

114 0,229318 0,024223 0,423184 1,189547

115 0,378848 0,024223 0,423184 1,189547


109

116 0,211969 0,024223 0,423184 1,189547

117 0,800498 0,024223 0,423184 1,189547

118 0,651779 0,024223 0,423184 1,189547

119 0,738508 0,024223 0,423184 1,189547

120 0,273405 0,024223 0,423184 1,189547

121 0,521599 0,024223 0,423184 1,189547

122 0,537559 0,024223 0,423184 1,189547

123 0,856385 0,024223 0,423184 1,189547

124 0,359258 0,024223 0,423184 1,189547

125 0,881903 0,024223 0,423184 1,189547

126 0,886243 0,024223 0,423184 1,189547

127 0,816257 0,024223 0,423184 1,189547

128 0,051988 0,024223 0,423184 1,189547

129 0,319584 0,024223 0,423184 1,189547

130 0,230928 0,024223 0,423184 1,189547

131 0,532836 0,024223 0,423184 1,189547

132 0,169608 0,024223 0,423184 1,189547

133 0,36107 0,024223 0,423184 1,189547

134 0,299447 0,024223 0,423184 1,189547

135 0,512698 0,024223 0,423184 1,189547

136 0,598526 0,024223 0,423184 1,189547

137 0,325699 0,024223 0,423184 1,189547

138 0,832026 0,024223 0,423184 1,189547

139 0,52735 0,024223 0,423184 1,189547

140 0,719865 0,024223 0,423184 1,189547

141 0,268722 0,024223 0,423184 1,189547

142 0,54106 0,024223 0,423184 1,189547

143 0,412653 0,024223 0,423184 1,189547

144 0,511293 0,024223 0,423184 1,189547

145 0,177051 0,024223 0,423184 1,189547

146 0,430442 0,024223 0,423184 1,189547

147 0,605949 0,024223 0,423184 1,189547

148 0,127319 0,024223 0,423184 1,189547

149 0,524039 0,024223 0,423184 1,189547

150 0,806757 0,024223 0,423184 1,189547

151 0,365959 0,024223 0,423184 1,189547

152 0,690872 0,024223 0,423184 1,189547

153 0,346239 0,024223 0,423184 1,189547

154 0,543273 0,024223 0,423184 1,189547

155 0,399807 0,024223 0,423184 1,189547

156 0,646991 0,024223 0,423184 1,189547

157 0,28982 0,024223 0,423184 1,189547

158 0,541165 0,024223 0,423184 1,189547

159 0,444725 0,024223 0,423184 1,189547

160 0,633833 0,024223 0,423184 1,189547

161 0,359059 0,024223 0,423184 1,189547

162 0,498859 0,024223 0,423184 1,189547

163 0,59618 0,024223 0,423184 1,189547

164 0,23277 0,024223 0,423184 1,189547

165 0,108931 0,024223 0,423184 1,189547

166 0,49689 0,024223 0,423184 1,189547

167 0,169961 0,024223 0,423184 1,189547

168 0,209858 0,024223 0,423184 1,189547

169 0,435111 0,024223 0,423184 1,189547

170 0,250041 0,024223 0,423184 1,189547

171 0,630978 0,024223 0,423184 1,189547

172 0,077023 0,024223 0,423184 1,189547

173 0,125686 0,024223 0,423184 1,189547

174 0,291659 0,024223 0,423184 1,189547

175 0,548691 0,024223 0,423184 1,189547


110

176 0,265481 0,024223 0,423184 1,189547

177 0,406935 0,024223 0,423184 1,189547

178 0,752577 0,024223 0,423184 1,189547

179 0,792023 0,024223 0,423184 1,189547

180 0,543561 0,024223 0,423184 1,189547

181 0,419898 0,024223 0,423184 1,189547

182 0,339849 0,024223 0,423184 1,189547

183 0,393078 0,024223 0,423184 1,189547

184 0,506739 0,024223 0,423184 1,189547

185 0,533306 0,024223 0,423184 1,189547

186 0,755576 0,024223 0,423184 1,189547

187 0,341846 0,024223 0,423184 1,189547

188 0,210559 0,024223 0,423184 1,189547

189 0,876939 0,024223 0,423184 1,189547

190 0,609131 0,024223 0,423184 1,189547

191 0,744867 0,024223 0,423184 1,189547

192 0,525199 0,024223 0,423184 1,189547

193 0,754326 0,024223 0,423184 1,189547

194 0,879072 0,024223 0,423184 1,189547

195 0,111408 0,024223 0,423184 1,189547

196 0,081194 0,024223 0,423184 1,189547

197 0,664136 0,024223 0,423184 1,189547

198 0,328652 0,024223 0,423184 1,189547

199 0,398997 0,024223 0,423184 1,189547

200 0,103264 0,024223 0,423184 1,189547


PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI · 2018. 5. 30. · distribusi weibull: sifat-sifat dan...

Documents

Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI · 2018. 5. 30. · distribusi weibull: sifat-sifat dan...