Pertemuan 12

VEKTOR DALAM DAN SERTA

ARTI GEOMETRINYA

Pada bagian ini akan dibahas tentang vektor dan aplikasinya dalam dan .

Sedangkan bagian selanjutnya akan dibahas vektor secara umum. Saat ini, kita hanya

memfokuskan pada dan , sebab dalam ruang ini kita akan mudah membayangkan

secara geometri.

Vektor-vektor dapat dinyatakan sebagai segmen garis berarah atau panah dalam dan

.

Ekor panah dinamakan titik permulaan (titik awal, titik initial) sedangkan ujung panah

sering disebut titik akhir (titik terminal) vektor.

Gambar 1 Gambar berbagai vektor

Sering dituliskan

Definisi 1:

Dua vektor dan dikatakan sama (ekuivalen) jika kedua vektor tersebut sama

panjang dan arahnya dan dapan dituliskan .

Definisi 2:

Jika dan adalah dua vektor sembarang, maka adalah vektor yang titik

permulaannya berimpit dengan titik awal dan titik akhirnya berimpit dengan titik akhir

vektor .

Gambar 2 Gambar penjumlahan dua buah vektor

Dari gambar di atas penjumlahan dua vektor dapat dilihat sebagai diagonal

paralelogram.

1. Arti Geometri Vektor

Dalam sistem koordinat kartesius, dua vektor dapat mempunyai titik awal yang berbeda.

Gambar 3 Gambar vektor pada bidang koordinat

Terlihat pada gambar di atas bahwa vektor mempunyai titik awal di titik (0, 0),

sedangkan berawal di titik (6, 0).Vektor berawal juga di (0, 0) dan berawal di (5,

Jelas bahwa .

Gambar 4 Penjumlahan vektor dan vektor berlawanan arah

Definisi 3:

Vektor nol adalah vektor yang panjangnya nol dan disimbolkan dengan .

Juga terlihat bahwa: .

Definisi 4:

Apabila sebuah vektor, maka adalah vektor yang arahnya berlawanan dengan

vektor .

Definisi 5:

Jika dan adalah dua vektor sembarang, pengurangan vektor didefinisikan sebagai:

Gambar 5 Pengurangan dua buah vektor

Definisi 6:

Jika adalah sebuah vektor dan adalah sebuah bilangan real (skalar), maka hasil

perkalian didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya kali panjang dan

arahnya sama dengan untuk . Jika , hasil perkalian tersebut memberikan

arah yang berlawanan dengan . Jika atau , maka

Apabila adalah sebuah vektor dalam bidang dan titik awalnya diletakkan di titik (0, 0),

maka koordinat dari disebut komponen dari dan dituliskan sebagai

. Vektor yang titik awalnya di titik pusat koordinat sering disebut vektor

posisi.

Gambar 6 Vektor pada bidang

Jadi, dua buah vektor dan adalah sama (ekuivalen) jika

dan . Juga terlihat jelas bahwa:

dengan k suatu skalar

sementara itu, dalam ruang , vektor dapat dinyatakan sebagai: .

Gambar 7 Vektor pada ruang

Dalam ruang dimensi tiga dengan serta dapat

dihasilkan:

dengan suatu scalar

kadang-kadang vektor tidak mempunyai titik awal di titik asal sehingga:

untuk bidang , bila suatu vektor mempunyai titik awal di dan titik

akhir di maka

untuk bidang , bila suatu vektor mempunyai titik awal di dan titik

akhir di maka

contoh 1:

tentukan komponen vektor yang mempunyai titik awal di dan mempunyai

titik akhir di

Jawab:

Vektor dapat juga digunakan untuk menyatakan proses translasi (pergeseran).

Pada sistem koordinat yang digeser dengan vektor maka sumbu

koordinat yang baru akan berbentuk dengan persamaan translasinya.

dan

Sedangkan untuk ruang dimensi tiga, akan mempunyai persamaan translasi:

dan

Bila digeser dengan vektor yang mempunyai komponen

Contoh 2:

Misalkan titik asal yang baru dari sistem koordinat adalah dan titik

mempunyai koordinat maka koordinat dari titik adalah .

Gambarnya adalah sebagai berikut.

Vektor

yang menggeser

menjadi

Gambar 8 Pergeseran sistem Koordinat

2. Norm dan Jarak

Sekarang kita akan melihat sifat-sifat vektor dalam ruang atau ruang .

Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut.

1.

2.

3.

4.

5. untuk suatu skalar k dan 1

6. untuk skalar t

7. untuk suatu skalar dan

8.

Definisi 7:

Panjang sebuah vektor sering disebut norm dan disimbolkan dengan

Dari teorema Phythagoras terlihat bahwa sebuah vektor akan mempunyai

panjang:

Sedangkan apabila berada di dan , maka:

Sementara itu, apabila vektor mempunyai titik awal di dan mempunyai

titik akhir di titik maka dan

Bila di dan titik awalnya dan titik akhirnya maka norm

(panjang) vektor adalah:

Contoh 3:

Jika vektor mempunyai titik awal di dan titik akhir maka:

dan

Panjang (norm) adalah:

Beberapa teorema yang penting:

1. Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz

2. Pertidaksamaan segitiga

3. Persamaan Lagrange

3. Perkalian Titik dan Proyeksi dalam Vektor

Definisi 8:

Yang diartikan dengan sudut antara vektor dan adalah sudut yang dihasilkan oleh

dan setelah titik awal vektor dan titik awal vektor diimpitkan dengan yang

memenuhi

Gambar 9 Sudut Lancip, tumpul, dan siku-siku

Definisi 9:

Jika dan adalah 2 vektor dalam atau dan adalah sudut antara dan , maka

perkalian titik atau perkalian dalam Euclid adalah diberikan dengan:

jika dan

Jika dan

Aturan Cosinus:

Gambar 10 Segitiga dan panjang sisi-sisinya

Apabila ABC adalah sebuah segitiga dan adalah sudut yang diapit oleh garis a dan

garis b, maka:

Rumus di atas dapat pula dinyatakan sebagai berikut,

Jika adalah titik dengan dan maka sudut antara dan

memenuhi persamaan:

Definisi 10:

Misalkan dan dengan dan maka:

Misalkan dan dengan dan maka:

+

+

+

+

+

Gambar Vektor

Contoh 4:

Jika diketahui dan , maka

Jadi, dan sudut antara dan dapat dicari dengan:

Sehingga

Berikut adalah hasil perkalian titik (perkalian dalam Euclid).

1. dan

2. Jika dan dan adalah sudut antara vektor dan , maka:

adalah sudut lancip jika dan hanya jika

adalah sudut tumpul jika dan hanya jika

jika dan hanya jika

3.

4.

5. untuk suatu skalar k

6. jika

7. jika

Definisi 11:

Dua buah vektor dan disebut vektor-vektor yang ortogonal jika

Dalam arti geometri, ortogonal diartikan sebagai saling tegak lurus.

Perkalian titik ini mempunyai kegunaan untuk menguraikan sebuah vektor ke dalam

jumlahan dua vektor yang saling tegak lurus.

Jika dan adalah vektor dalam atau , maka kita menuliskan sebagai:

Dengan:

adalah vektor yang sejajar (kelipatan) dari dan

adalah vektor yang ortogonal (tegak lurus) pada .

Sebagai ilustrasi, perhatikan gambar berikut.

Gambar 12 Dekomposisi vektor

Vektor dan dapat disebut vektor yang merupakan komponen-komponen dari

vektor .

Contoh 5:

Jika diketahui vektor dan , tentukan komponen vektor

yang sejajar dengan dan tentukan komponen vektor yang tegak lurus pada .

Jawab:

Katakanlah maka

4. Perkalian Silang

Perkalian silang dua buah vektor memegang arti penting dalam geometri, ilmu fisika,

dan ilmu-ilmu teknik.

Definisi 12:

Perkalian silang dua buah vektor dan dalam ruang ,

disimbolkan dengan dan didefinisikan sebagai:

Atau bila dituliskan dalam bentuk determinan adalah:

Contoh 6:

Bila dan

Tentukan dan

Jawab:

Jadi, terlihat bahwa adalah suatu skalar, sedangkan adalah suatu vektor.

Beberapa sifat penting dari perkalian silang dua buah vektor ( dan di dalam )

adalah sebagai berikut.

1. (yaitu tegak lurus dengan )

2. (yaitu tegak lurus dengan )

3.

4. )

5.

6.

7.

8.

9.

Catatan:

Untuk ruang ada 3 vektor khusus yang sering disebut vektor satuan standar, yaitu:

dan

Apabila digambarkan dalam koordinat adalah sebagai berikut.

Dari definisi perkalian silang dua buah vektor, maka diperoleh:

Dengan cara yang sama akan diperoleh:

Contoh 7:

Suatu vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor dan

Perhitungan perkalian silang dua vektor menggunakan “aturan tangan kanan”, yaitu:

Gambar 13 Perkalian silang dua vektor

Hasil yang menarik adalah norm dari perkalian silang dua vektor dan .

Dari persamaan Lagrange dipunyai:

Sedangkan sehingga

Jadi

Intepretasi geometri dari merupakan luas paralelogram yang dibatasi vektor .

Gambar 14 Interpretasi norm pada perkalian silang dua vektor

Untuk menghitung luas segitiga ABC adalah dengan mengalikan luas paralelogram

dengan setengah.

Contoh 8:

Dengan menggunakan pengertian di atas, hitunglah luas segitiga yang mempunyai titik

sudut di titik dan

5. Aplikasi Vektor pada Bidang dan Garis

Pada bagian ini terutama akan dibahas tentang persamaan garis dan persamaan

bidang pada ruang .

Definisi 13 (Persamaan Bidang Bentuk Vektor):

Sebuah bidang adalah himpunan titik-titik P yang memenuhi persamaan:

dengan dan adalah suatu skalar serta dan adalah dua buah

vektor yang tidak paralel.

Teorema 1:

Tiga buah titik yang tidak segaris dan dapat

memiliki satu bidang yang melalui ketiga titik tersebut apabila mempunyai persamaan:

atau

Persamaan bidang dalam Teorema 1 dapat pula dituliskan dalam bentuk parametric,

yaitu:

atau

Teorema 2:

Jika dan adalah tiga buah titik yang tidak segaris,

maka bidang yang melalui titik tersebut diberikan sebagai:

atau dapat ditulis dalam bentuk

di mana adalah sembarang titik.

Teorema 3 (Persamaan Bidang Bentuk Umum):

Persamaan bidang yang melalui tiga titik A, B, C seperti di atas dapat pula dituliskan

dalam bentuk: dengan

, dan

Teorema 4:

Andaikan bidang dan memiliki normal yang

tidak paralel, maka perpotongan kedua bidang tersebut membentuk garis L. selain itu,

persamaan dengan dan yang

keduanya tak sama dengan nol akan memberikan bentuk persamaan semua bidang

yang melalui garis L.

Dengan kata lain, apabila ada sebuah titik dan sebuah vektor

yang tidak sama dengan nol, maka persamaan bidang yang ortogonal (tegak lurus)

dengan vektor akan berbentuk:

Dalam hal ini adalah sembarang titik yang terletak pada bidang tersebut.

Gambar 15 Sebuah bidang pada ruang dengan normal

Bentuk persamaan bidang yang mempunyai normal dan melalui titik

adalah:

Dengan kata lain:

Merupakan sebuah persamaan garis yang mempunyai sebagai vektor

normalnya.

Teorema 5 (Jarak dari 1 titik ke bidang):

Jika dan bidang dengan persamaan

ax+by+cz=d, maka ada titik tunggal pada bidang tersebut sehingga adalah arah

normal bidang S dan

Contoh 9:

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik dan tegak lurus pada vektor

Jawab:

Persamaan bidang tersebut adalah:

Contoh 10:

Carilah persamaan bidang yang melalui titik dan

Jawab:

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, persamaan bidang itu dimisalkan

mempunyai persamaan:

Titik ada pada bidang tersebut, sehingga :

Titik ada pada bidang tersebut, sehingga:

Titik terletak pada bidang tersebut, sehingga:

Selesaikan ketiga persamaan di atas, maka kita akan mendapatkan persamaan bidang

tersebut.

Definisi 14:

Persamaan garis L pada ruang yang melalui titik dan sejajar dengan

vektor yang tidak sama dengan nol akan mempunyai bentuk:

Dengan adalah titik sembarang yang terletak pada garis tersebut.

Gambar 16 Sebuah garis pada ruang

apabila dijabarkan akan berbentuk:

Persamaan garis yang melalui titik dan sejajar dengan vektor

akan berbentuk:

Dengan

Persamaan di atas tersebut persamaan parametrikuntuk garis.

Selain itu, persamaan garis yang melalui titik dan sejajar dengan vektor

akan berbentuk:

Persamaan ini disebut persamaan simetrik untuk garis.

Teorema 6:

Jika dan adalah dua titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis yang memuat A

dan B dan garis tersebut mempunyai persamaan:

atau

atau

dengan t adalah sembarang skalar.

Teorema 7 (Rasio Joachimsthal):

Jika t adalah parameter pada Teorema 6 di atas, maka:

a.

b. jika tidak sama dengan

c. terletak antara dan jika

d. B terletak antara A dan P jika

e. A terletak antara P dan B jika

Teorema 8 (Jarak 1 titik ke garis):

Jika C adalah sebuah titik L adalah garis yang melalui A dan B, maka ada tepat satu

titik P pada L sehingga tegak lurus , yaitu:

gambar 17 Jarak titik C terhadap garis AB

teorema 9 (Proyeksi Segmen Garis pada Garis):

apabila dua titik dan memiliki proyeksi berupa 2 titik pada garis AB, yaitu dan

sehingga dan tegak lurus garis AB, maka:

Gambar 18 Proyeksi pada garis AB

Contoh 11:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik dan sejajar vektor

Jawab:

Dalam hal ini dan dengan bentuk persamaan parametrik adalah:

dengan

Dalam bentuk persamaan simetrik, persamaannya adalah:

Contoh 12:

Jika dan , tentukan titik P pada garis Ab yang memenuhi

Jawab:

Sehingga t = ¾ atau t = 3/2. Oleh karena itu, titik P yang dimaksud adalah

atau

Contoh 13:

L adalah garis yang melalui dan sedangkan N adalah garis yang

melalui dan . Buktikan bahwa sepasang garis tersebut

berpotongan dan tentukan titik potongnya.

Jawab:

Garis L mempunyai persamaan atau

Sementara itu, garis N mempunyai persamaan atau

Samakan persamaan kedua garis tersebut dan setelah disederhanakan maka diperoleh

SPL:

Didapat t = 2/3 dan s = 1/3. Jadi, titik potong garis L dan garis N di titik - , ,

Contoh 14:

Tunjukkan bahwa bidang dan bidang berpotongan

membentuk garis dan tentukan persamaan garis tersebut !

Jawab:

Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Yordan, SPL:

Diselesaikan dan menghasilkan penyelesaian:

Dapat pula ditulis sebagai berikut:

Persamaan garis tersebut melalui titik A(-1/2, 3/2, 0) dan mempunyai vektor arah

Ulangan Bab 4

Kerjakan soal-soal berikut dengan benar.

1. Tentukan vektor dan gambarkan dalam sumbu koordinat jika A(1, - dan

B(4, 2).

2. Gambarkan dalam sumbu koordinat , vektor bila dan

3. Untuk menghitung luas segitiga dalam dapat digunakan dua rumus, yaitu:

a. Luas segitiga

b. Luas segitiga dengan

Dengan menggunakan kedua cara di atas, hitunglah luas segitiga yang

mempunyai titik sudut dan

4. Tentukan titik di mana garis yang melalui dan memotong

bidang xz.

5. Misalkan A, B, dan C adalah tiga buah titik yang non-collinear (tidak segaris). E

adalah titik tengah BC dan F adalah titik pada segmen EA yang memenuhi .

Buktikan bahwa

Titik F sering disebut sebagai titik pusat (centroid) segitiga ABC.

1. Buktikan bahwa titik dan adalah collinear (terletak

dalam satu garis).

2. Jika A(2, 3, -1) dan B(3, 7, 4), tentukan titik pada garis AB yang memenuhi

3. M adalah garis yang melalui A(1, 2, 3) yang sejajar dengan garis yang

menghubungkan B(-2, 2, 0) dan C(4, -1, 7). Sementara itu, N adalah garis yang

menghubungkan E(1, -1, 8) dan F(10, -1, 11). Buktikan bahwa dan

berpotongan dan tentukan titik potongnya.

4. Buktikan bahwa sudut-sudut yang dibentuk titik A(-3, 5, 6), B(-2, 7, 9), dan C(2, 1,

7) adalah dan

5. Tentukan titik pada garis AB yang terdekat dengan titik pusat (0, 0, 0) di mana

dan

6. Garis N ditentukan oleh dua bidang:

dan

.

7. Tentukan titik P dan N yang terdekat dengan titik C(1, 0, 1) dan tentukan jarak PC.

8. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (6, 0, 2) dan tegak lurus dengan

garis yang merupakan perpotongan dua bidang:

dan

9. Tentukan panjang proyeksi segmen garis AB pada garis L, di mana A(1, 2, 3) dan

B(5, -2, 6) serta garis L adalah garis yang melalui titik C dan D di mana C(7, 1, 9)

dan D(- , ,

10. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(3, -1, 2) dan yang tegak lurus pada

garis L yang menghubungkan B(2, 1, 4) dan C(-3, -1, 7). Tentukan pula titik potong

garis L dan bidang tersebut serta tentukan jarak dari A ke L.

11. B adalah titik yang terletak pada bidang . Sementara itu, titik A(6,

- , 1) dan BA membentuk garis yang tegak lurus pada bidang tersebut. Tentukan

B dan panjang jarak AB.

12. Tunjukkan bahwa segitiga dengan titik sudut A(-3, 0, 2), B(6, 1, 4), dan C(-5, 1, 0)

mempunyai luas sebesar

13. Tentukan persamaan bidang melalui titik A(2, 1, 4), B(1, -1, 2), dan C(4, - , .