Bagian VBagian V

Vektor di Ruang Vektor di Ruang Dimensi 2 dan 3Dimensi 2 dan 3

A. Vektor Dua besaran yang dikenal dalam Fisika yaitu besaran skalar dan vektor. Besaran skalar yaitu besaran yang hanya menunjukkan besarnya saja. Seperti suhu, panjang, massa dan waktu. Sedangkan besaran vektor adalah besaran yang menunjukkan arah dan besarnya. Seperti, gaya, kecepatan, percepatan, dan berat.

Ada dua cara penulisan notasi vektor : huruf kecil cetak tebal, atau dua huruf kapital cetak tebal yang melambangkan titik awal dan titik ujung vektor tersebut.

Jadi, AB adalah vektor yang memanjang dari A ke B sedangkan BA adalah vektor yang memanjang dari B ke A. Dua vektor dikatakan sama jika keduanya mempunyai arah dan besar yang sama, walaupun tanda panahnya berbeda.

Kedua vektor u = AB dan v = CD adalah sama, vektor x1 dan x2 sama namun arahnya berbeda.

AA

BB

uu

CC

DD

vv xx11 xx22

Jika u dan v adalah vektor, maka jumlah vektor itu diperoleh dengan menggeser v sehingga ekornya berimpit dengan kepala u, sehingga didefinisikan u + v sebagai vektor yang memanjang dari titik awal vektor u ke titik ujung vektor v.

uu

vv

vv

uu u+ vu+ v

berlaku hukum jajarangenjang, u + v = v + u sehingga penjumlahan vektor bersifat komutatif.

vv

uu

vv

uu u+ vu+ vv + uv + u

vektor dengan panjang noldisebut vektor nol dan dinotasika 0. Dimana berlaku

0 + v = v + 0.

Jika v adalah vektor yang tidak nol, maka –v, adalah negatif dari v, didefinisikan mempunyai ukuran sama tetapi berlawanan arah.

v + (–v) = 0

w

v - wv - w vv- w

v

- v

Jika dua vektor v dan w , maka perbedaan w dari v didefinisikan sebagai, v – w = v + (– w)

Jika v adalah vektor yang tidak nol. Dan k adalah bilangan riil yang tidak nol, maka perkalian kv didefinisikan sebagai vektor yang panjang |k| kali panjang v. Jika k > 0, arahnya sama dengan vektor v, dan jika k < 0, berlawanan arah dengan v. didefinisikan juga kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.

Sehingga, vektor (– 1)v mempunyai panjang sama dengan v, tetapi berlawanan arah dengan vektor v. Maka (– 1)v merupakan negative dari v, atau (– 1)v = – v Jadi bentuk vektor kv, disebut perkalian skalar dari v.

v 1/2v (-2)v - v- v

Misalkan v = (v1, v2) dan w = (w1, w2)

v2

v1

(v1, v2)v

Vektor v dan w ekivalen, jika dan hanya jika , v1 = w1 dan v2 = w2.

Jika vektor v dan k skalar, maka kv = (kv1, kv2)

y

x

(v1, v2)v

kv

(kv1, kv2)

kv1

kv2

v1

(v1, v2)

v

wv +

w(w1, w2)

(v1 + w1 , v2 + w2)

x

y

v2

w1

w2

v + w = (v1 + w1 , v2 + w2)

Selanjutnya suatu operasi penjumlahan vektor atau perkalian dengan bilangan skalar, dapat ditunjukkan sebagai berikut,

Contoh :

Diketahui, v = (1, –2) dan w = (7, 6) maka,

v + w = (1, – 2) + (7, 6) = (1 + 7 , –2 + 6) = 8, 4

dan

4v = 4(1, – 2) = (4(1), 4(– 2)) = (4, –8)

selanjutnya,

v – w = v + (– 1)w

Jadi,

v – w = (v1 – w1 ,v2 – w2)

B. Vektor dalam Ruang Dimensi 3

Vektor dalam ruang dimensi 3 dapat ditunjukkan sebagai pertemuan tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz. Misalkan suatu titik P dalam ruang dimensi 3, dan titiknya (x, y, z), bernilai riil sering juga disebut koordinat P, dapat digambarkan sebagai,

z

y

P(x, y, z)

x

O

z

y

P(x, y, z)

x

O

X

Y

Z

Beberapa aturan yang berlaku dalam ruang dimensi 2, berlaku juga diruang dimensi 3.

Misalkan, diketahui v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3), dua vektor dalam ruang dimensi 3, maka v dan w ekivalen jika dan hanya jika v1 = w1, v2 = w2, v3 = w3,

sehingga berlaku :v + w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)kv = (kv1, kv2, kv3), dengan k skalar.

Contoh :Jika v = (1, –3, 2) dan w = (4, 2, 1),

maka,v + w = (5, - 1, 3), 2v + (2, -6, 4), - w = (-4, -2, -1)v – w = v + ( - w) = (-3, -5, 1).

z

y

(v1,v2,v2)

x

v

Jika vektor mempunyai titik awal P1 (x1, y1, z1)

dan titik akhir P2 (x2, y2, z2), maka

Contoh :

Jika P1 = (2, –1, 4) dan P2 = (7, 5, - 8),

maka,z

y

P2 (v2,v2,v2)

x

OP2OP1

P1P2

P1 (v1,v1,v1)

P1P2

P1P2 = (x2 – x1), (y2 – y1), (z2 – z1) = OP2 – OP1

P1P2 = (5, 6, – 12)

C. Norma (Norm) sebuah Vektor Jika u, v, dan w adalah vektor dalam ruang dimensi 2

atau 3, dan k dan l adalah skalar, maka :(a). u + v = v + u (b). (u + v) + w = u + (v + w)(c). u + 0 = 0 + u = u (d). u + ( – u ) = 0 (e). K(lu) = (kl)u (f). k(u + v) = ku + kv(g). (k + l)u = ku + lu (h). 1u = u Bukti (b):misalkan u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3).

(b).(u + v) + w = [(u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) + (w1, w2, w3)]

= (u1+ v1 , u2+ v2 , u3+ v3) + (w1, w2, w3)

= ([u1 + v1] + w1), ([u2 +v2]+ w2), ([u3+v3] + w3)

= (u1 + [v1 + w1], u2 + [v2 + w2], u3 + [u3 + w3])

= (u1, u2, u3) + (v1+ w1,v2 +w2,v3+ w3)

= u +(v + w)

Bukti secara Geometri :

misalkan u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3),

diwakili oleh PQ, QR, RS, maka,

P

Q

R

S

u

v

w

u + v v + wu + (v + w)

(u + v) + w

v + w = QS dan u + (v + w) = PS

Juga,

u + v = PR dan (u + v) + w = PS

Maka, u + (v + w) = (u + v) + w , terbukti.

Panjang suatu vektor u disebut norm dari u, dengan notasi . Diketahui dari teorema Pythagoras bahwa norma vektor u = (u1, u2) dalam ruang dimensi 2 :

u

22

21 uuu +=y

x

(u1, u2)

u1

u2

u

Misalkan vektor u = (u1 , u2, u3) dalam ruang dimensi 3 maka teorema Pythagoras dapat ditunjukkan,

23

22

21

22222 uuuRPOSOQRPOPu ++=++=+= )(()()()( )

z

y

P(u1, u2, u3)

x

O

Q R

S

u

23

22

21 uuuu ++=

Maka,

Sebuah vektor norma 1 disebut vektor unit.

Jika P1 (x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) merupakan dua titik dalam ruang dimensi 3, maka jarak antara titik dalam bentuk norma vektor P1P2 :

P1P2 = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

( ) ( ) ( ) .zzyyxxd 212

212

212 −+−+−=

z

y

P2

x

O

P1

Pada perkalian ku, maka panjang vektor ku adalah |k| kali panjang u, yang dapat dirumuskan sebagai

| |ku| |=|k| | |u| |

D. Perkalian TitikJika u dan v dalam ruang dimensi 2 atau 3 dan θ adalah sudut antara u dan v, maka perkalian titik atau perkalian inner euclid u. v, didefinisikan sebagai,

==≠≠

=0vdan0ujika0

0vdan0ujikacosvuv.u

θ

Contoh,

Diketahui sudut antara vektor

u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2) adalah 450

maka,

z

y

(0, 2, 2)

x

u

(0, 0, 1)v

θ = 450

( )( ) 22

1220100cosvuv.u 222222 =

++++== θ

Misalkan u = (u1, u2, u3) dan v = (v1,v2, v3) adalah dua vektor yang tidak nol. Jika, sudut θ adalah sudut antara u dan v, maka menurut aturan cosinus,

Selanjutnya,

PQ = v – u, dapat ditulis kembali

θcosvu2vuPQ222

−+=

( )222

21 uvvucosvu −−+=θ

( )222

21 uvvuv.u −−+=

Dengan mensubtitusi, maka

z

yx

uθ v

P(u1, u2, u3)

Q(v1, v2, v3)

,uuuu 23

22

21

2 ++=

222 )()()( 332211

2uvuvuvuv −+−+−=−

332211 vuvuvuv.u ++=

Contoh,

Diketahui vektor u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2) Tentukan u.v serta sudut antara u dan v.

Penyelesaian,

u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3= (2)(1) +(-1)(1)+(1)(2)=3.

dan,

23

22

21

2vvvv ++=

sehingga,

6112u =+−+= 222 )()()(

2

1

66

3

vu

v.ucos ===θ

dan,

6v =++= 222 (2)(1)(1)

sehingga,

Jadi, θ = 60 0.

Carilah sudut antara diagonal sebuah kubus dengan salah satu pinggir tiang kubus itu.

3

1

k3k

k

vu

d.ucos

2

21 ===θ

Diketahui u1 = (k, 0, 0),

u2 = (0, k, 0) dan u3 = (0, 0, k)

Maka vektor

d = (k, k, k) = u1 + u2 + u3

merupakan diagonal kubiknya, Sehingga sudut θ dan pinggirnya adalah

z

y

(0, 0, k)

x

u1

u2

u3

(0, k, 0)

(k, 0, 0)

(k, k, k)

θ

d

01 74.543

1cos ≈

= −θ

Misalkan u dan v vektor dalam ruang dimensi 2 dan 3, maka,

• u.u = | |u| |2, sama dengan v.v = | |v| |2

(b) Jika vektor u dan v tidak nol danθ adalah sudut antara keduanya, maka berlaku

θ adalah sudut lancip, jika dan hanya jika u.v > 0 θ adalah sudut tumpul, jika dan hanya jika u.v < 0 θ adalah π/2, jika dan hanya jika u.v = 0

E. Vektor Ortogonal Dua vektor u dan v tidak nol, disebut orthogonal (saling tegak lurus) jika dan hanya jika u.v = 0. Sering juga ditulis u dan v vektor orthogonal sebagai u ⊥ v.

Contoh :

Tunjukkan bahwa dalam ruang dimensi 2, vektor n = (a,b) tegak lurus terhadap garis ax + by + c = 0.

Penyelesaian,

Misalkan P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) merupakan dua titik yang berbeda pada garis, maka

ax1 + by1 + c = 0

ax2 + by2 + c = 0

Sehingga vektor = (x2 – x1,, y2 – y1)

jadi yang dibutuhkan n dan yang

Saling tegak lurus.

y

x

P1 (x1, y1)

21PP

ax + by + c = 0

P2(x2, y2)

P1P2

P1P2

Sehingga dapat ditulis kembali sebagai,

a(x2 – x1) + b( y2 – y1) = 0

dapat dibuat menjadi,

(a. b). (x2 – x1, y2 – y1) = 0 atau n . = 0

dimana n dan saling tegak lurus.

P1P2

P1P2

Beberapa Aturan yang berlaku pada perkalian titik pada Vektor. Jika u, v dan w vektor dalam ruang dimensi 2 dan 3 dan k skalar, maka

(a). u. v = v. u (b). u.(v + w) = u.v + u. w

(c). k(u.v) = (ku).v = u. (k.v)

(d). v. v > 0 jika v ≠ 0, dan v. v > 0 jika v = 0

F. Proyeksi Orthogonal

Jika u dan a mempunyai posisi titik awal yang sama pada Q, maka dekomposisi vektor u terhadap garis a dapat dibuat dari vektor w1 tegak lurus w2, dengan titik acuan, dapat ditunjukkan sebagai,

w2 = u – w1

a

w2

aQ w1

u w2

w1Q a

u w2

w1

Q

u

dimana vektor w1 paralel dengan a, dan vektor w1

juga tegaklurus terhadap a.

Vektor w1 disebut proyeksi orthogonal dari u pada a atau vektor komponen u terhadap a. dinotasikan sebagai,

proja u

vektor w2 disebut vektor komponen u orthogonal pada a. Dapat ditulis sebagai,

w2 = u – proja uJika u dan a vektor dalam ruang dimensi 2 atau 3

dengan a ≠ 0, maka,

au

a.uuproj 2a =

w2

aQ w1

u

(Vektor komponen u terhadap a)

(Vektor komponen dari u orthogonal terhadap a)au

a.uuuproju 2a −=−

Bukti :

Misalkan w1 = proja u dan w = u – proja u. Karena w1

paralel terhadap a, maka ada bilangan skalar dikali a, yang dapat ditulis sebagai, w1 = ka.

u = w1 + w2 = ka + w2

Dengan mengalikan kedua ruas dengan a, maka,

u . a = (ka + w2) . a = k| |a| |2 + w2.a

Karena w2 . a = 0, maka w2 tegaklurus terhadap a, sehingga, 2

u

a.uk =

Selanjutnya proja u = w1 = ka,

terbukti.au

a.uuproj 2a =

Contoh :

Misalkan u = (2, – 1, 3) dan a = (4, –1, 2). Carilah komponen vektor u terhadap a dan vektor komponen u orthogonal terhadap a.

Penyelesaian :

Diketahui

u . a = (2)(4) – (-1)(-1) + (3)(2) = 15

| |u| |2 = 42 + (-1)2 + 22 = 21

)()( 710

75

720

2115

2a ,,2,1,4au

a.uuproj −=−==

Vektor komponen u terhadap a adalah :

)(-)()( 711

72

76

710

75

720

a ,,,,3,1,2uproju −− =−−=−Vektor komponen u orthogonal terhadap a adalah :

au

a.ua

u

a.uuproj 22a ==

Panjang vektor komponen u terhadap a dapat dirumuskan sebagai berikut : :

u

a.ua

u

a.u2 ==

Jika θ dinotasikan sebagai sudut antara u dan a, maka u . a = | |u| | | |a| | cos θ sehingga persamaan itu menjadi :

θcosuuproja =

| |u| |

a| |u| | cos

θ

θ

u

Contoh :

Carilah rumus untuk jarak D antara titik P0 (x0, y0) dan garis

ax + by + c = 0.

Penyelesaian

Misalkan Q(x1 , y1) titik sebarang pada

garis dan vektor posisi n = (a, b)

u

| |u| |

a

–| |u| | cos θ

θ

P0 (x0,y0)Q(x1,y1) D

ax + by + c = 0

x

n(a,b)

D

y

Jadi titik awalnya (initial) pada titik Q sehingga ,vektor n tegaklurus terhadap garis (ax + by + c = 0) Sehingga jarak D sama dengan panjang proyeksi orthogonal dari QP0 terhadap n

maka, Q(x1,y1) D

ax + by + c = 0

x

n(a,b)

D

P0 (x0,y0)

n

n.QPQPprojD

0

0n ==

),( 10100 yyxxQP −−=)()( 10100 yybxxan.QP −+−=

22 ban +=

Jadi,n

yybxxaD

)1010 )()( −+−=

Jika titik Q (x1 , y1) pada garis maka persamaan

menjadi, ax1 + by1 + C = 0

sehingga

Diketahui jarak D dari titik (1, –2) ke garis 3x + 4y – 6 = 0

adalah :

22

00

ba

cbyaxD

+

++=

5

11

25

11

43

62413D

22=

−=

+

−−+=

)())((

Bentuk tersebut di atas dapat juga digunakanuntuk mencari jarak titik dengan bidang pada ruangdimensi 3 berikut : Jika jarak D antara titik P0 (x0 ,y0 ,z0) dan bidang

ax + by + cz + d = 0

Maka berlaku,

Diketahui jarak D dari titik (1, –4, –3) ke garis 2x –3y + 6z = –1

adalah :

222

000

cba

dczbyaxD

++

+++=

7

3

49

3

632

4)3(12D

222=

−=

+−+

+−+−−+=

)(

13)6()())((

G. Perkalian Silang (Cross Product)

Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) vektor dalam runng dimensi 3, maka perkalian silang vektor u x v didefinisikan sebagai,

u x v = ( u2v3 – u3v2 , u3v1 – u1v3 , u1v2 – u2v1)

atau dalam bentuk notasi matriks,

−=

21

21

31

31

32

32

vv

uu,

vv

uu,

vv

uuvxu

321

321

vvv

uuu

Contoh :

Carilah u x v, dimana u = (1, 2, –2) dan v = (3, 0, 1)

Penyelsaian :

−−

−=

03

21,

13

21,

10

22vxu

( )6,7,2 −−=

Beberapa hubungan antara perkalian titik dan Perkalian silang

Pada vektor :

Jika u, v, dan w adalah vektor dalam ruang

dimensi 3, maka

(a) u . (u x v) = 0 (u x v orthogonal terhadap u)

(b) v . (u x v) = 0 (u x v orthogonal terhadap v)

(c) | |u x v| |2 = | |u| |2 | |v| |2 – (u .v)2 (identitas Lagrange)

(d) u x (v x w) = (u . w)v – (u . v) w (hubungan antara perkalian

(e) (u x v) x w = (u . w)v – (u . w) u titik & silang)

Jika u = (u1, u2, u3) v = (v1,v2,v3), maka

(a) u.(u x v) = (u1, u2, u3) . (u2v3 – u3v2 , u3v1 – u1v3 , u1v2 – u2v1)

= u1(u2v3 – u3v2) + u2(u3v1 – u1v3) + u3(u1v2 – u2v1)

= 0(b) v.(u x v) = (v1, v2, v3) . (u2v3 – u3v2 , u3v1 – u1v3 , u1v2 – u2v1)

= v1(u2v3 – u3v2) + v2(u3v1 – u1v3) + v3(u1v2 – u2v1) = 0

(c) | |u x v| |2 = | |u| |2 | |v| |2 – (u .v)2 (identitas Lagrange) | |u x v| |2 = (u2v3 – u3v2)2 + (u3v1 – u1v3)2 + (u1v2 – u2v1)2

dan

| |u| | 2 | |v| |2 – (u .v)2 = (u12+u2

2+u32)(v1

2+v22+v3

2) – (u1v2+u2v2+u3v3)2Contoh :

Diketahui u = (1, 2, –2) dan v = (3, 0, 1) tunjukkan bahwa u.(u x v) = 0 berlaku.

Beberapa aturan yang berlaku pada perkalian silang :

Jika u, v, dan w adalah vektor dalam ruang dimensi 3 dan k skalar, maka

(a) u x v = – (v x u)

(b) u x (v + w) = (u x v) + (u x w)

(c) (u + v) x w = (u x w) + (v x w)

(d) k(u x v) = (ku) x v = u x (kv)

(e) u x 0 = 0 x u = 0

(f) u x u = 0

Vektor Unit Standar :

Diketahui, i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Vektor ini panjangnya satu dan terletak pada koordinat sumbu, yang disebut dengan vektor unit standar dalam ruang dimensi 3. Setiap vektor v = (v1, v2, v3) dalam ruang dimensi 3 dapat diekspresikan dalam bentuk i, j, k.

v = (v1, v2, v3) = v1(1, 0, 0)+v2(1, 0, 0)+v3(0, 0, 1) = v1i +v2j +v3k

Contoh : Misalkan (2, –3 , 4) = 2i – 3j + 4kz

y

(0, 0, 1)

x

i

j

k

(0, 1, 0)

(1, 0, 0)

−=

10

01,

00

01,

01

00jxi

( ) k1,0,0 ==

Dari perkalian silang diketahui (lihat Gambar):

Sehingga

i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0

i x j = k j x k = i k x i = j

j x i = –k k x j = –i i x k = –j

k10

01,j

00

01i

01

00

vvv

uuu

kji

vxu

321

321 −==

Bentuk Determinan Perkalian Silang :Perkalian silang dapat juga ditunjukkan dalam bentuk determinan 3 x 3 :

k

j

i

Contoh : Misalkan u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1), maka,

)( 6 -7, -2,k6,j7i2

103

221

kji

vxu =−−=−=

Jika u dan v dalam ruang dimensi 3 maka, u x v dapat ditunjukkan dari identitas Lagrange bahwa :

| |u x v| |2 = | |u| |2 | |v| |2 – (u .v)2

Jika θ , sudut antara u dan v, maka u . v = | |u| | | |v| | cos θ , sehingga

| |u x v| |2 = | |u| |2 | |v| |2 –(u .v)2

= | |u| |2 | |v| |2 – | |u| |2.| |v| |2 cos2 θ = | |u| |2 | |v| |2(1 – cos2θ) = | |u| |2 | |v| |2 sin 2θ

Untuk 0 ≤ θ ≤ π berlaku | |u x v| | = | |u| | | |v| | sin θ

| |v| |

u

| |v| | sin θ

θ

v

| |u| |