Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, …istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu...

Pertemuan Minggu ke-11

1. Bidang Singgung, Hampiran

2. Maksimum dan Minimum

3. Metode Lagrange

1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN

Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung

terhadap permukaan z = f(x, y) di titik (x0, y0, z0).

Bagaimana caranya ?


• Kita mulai dengan situasi yang lebih umum, dengan suatu

permukaan ditentukan oleh persamaan

Perhatikan bahwa

dapat dituliskan sebagai


• Perhatikan sebuah kurva pada permukaan ini yang melalui titik

(x0, y0, z0).

• Jika x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

adalah persamaan parameter

untuk kurva tersebut, maka

untuk semua t,


• Dengan Aturan Rantai,

Kita dapat mengungkapkan ini, dalam bentuk gradien dari F dan

derivatif dari ungkapan vektor untuk kurva

sebagai


• Seperti pada pertemuan sebelumnya, menyinggung kurva.

(Baca bab 14.4, buku Kalkulus dan Geometri Anlitis Edisi Keempat)

• Sehingga, gradien di (x0, y0, z0) tegak lurus pada garis singgung

di titik ini.

Berlaku untuk sebarang kurva yang

melalui (x0, y0, z0) yang terletak pada

permukaan F(x, y, z) = k


Definisi

Andaikan F(x, y, z) = k menentukan suatu permukaan dan misalkan

F dapat didiferensialkan di sebuah titik P(x0, y0, z0) dari permukaam

dengan F(x0, y0, z0) 0. Maka bidang yang melalui P yang tegak

lurus F(x0, y0, z0) dinamakan bidang singgung terhadap

permukaan itu di P.


Bukti. Pernyataan pertama adalah langsung dan yang kedua menyusul

darinya dengan memperhatikan F(x,y,z) = f(x,y) – z.

Teorema A

(Bidang singgung). Untuk permukaan F(x, y, z) = k, adalah

Fx(x0, y0, z0) (x ̶ x0) + Fy(x0, y0, z0) (y ̶ y0)

+ Fz(x0, y0, z0) (z ̶ z0) = 0

Secara serupa, untuk permukaan z = f(x, y), persamaan bidang

singgung di (x0, y0, f(x0,y0)) adalah

z ̶ z0 = fx(x0, y0) (x ̶ x0) + fx(x0, y0) (y ̶ y0)


Contoh 1:

Maka persamaan bidang singgung di titik (1,1,2) adalah

atau

Cari persamaan bidang singgung

terhadap z = x2 + y2 di titik (1,1,2).

Penyelesaian:

maka

Jadi,

Teorema A

z ̶ z0 = fx(x0, y0) (x ̶ x0) + fx(x0, y0) (y ̶ y0)


Contoh 2:

Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan

x2 + y2 + 2z2 = 23 di (1,2,3).

Penyelesaian:

sehingga

Teorema A, persamaan bidang singgung

sehingga persamaan bidang singgung di titik (1,2,3)

Persamaan simetri dari garis normal yang melalui (1,2,3) adalah

Fx(x0, y0, z0) (x ̶ x0) + Fy(x0, y0, z0) (y ̶ y0) + Fz(x0, y0, z0) (z ̶ z0) = 0


DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN

• Andaikan z = f(x,y) dan P(x0, y0, z0)

suatu titik tetap pada permukaan

yang berpadanan.

Berikan• sumbu-sumbu koordinat

baru (sumbu – sumbu dx, dy, dan dz)

yang sejajar dengan sumbu-sumbu

lama, dengan P sebagai titik asal.

• Pada sistem yang lama, bidang singgung di P mempunyai

persamaan



• Pada sistem yang lama, bidang singgung di P mempunyai

persamaan

tetapi pada sistem yang baru persamaan ini mengambil bentuk

sederhana

Definisi

Andaikan z = f(x, y), dengan f suatu fungsi yang dapat

didiferensialkan, dan andaikan dx dan dy (disebut diferensial-

diferensial dari x dan y) berupa peubah-peubah. Diferensial dari

peubah tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan

ditulis df(x,y), didefinisikan oleh



Pentingnya• dz adalah dari kenyataan bahwa jika

dx = x dan dy = y, masing-masing mewakili perubahan kecil

dalam x dan y, maka dz akan berupa suatu hampiran (aproksimasi)

yang baik terhadap z, perubahan dalam z.

Contoh:



Pada gambar di atas, dz tidak kelihatan berupa suatu hampiran yang

baik terhadap z.

Hampiran terhadap z akan semakin baik jika x dan y semakin

kecil.



CONTOH 3:

Andaikan . Hitung z dan dz bila

(x,y) berubah dari (2,1) ke (2,03 , 0,98).

Penyelesaian:

di (2,1) dengan x = 0,03 dan y = -0,02.



CONTOH 4:

Rumus P = k(T/V), dengan k suatu konstanta, memberikan tekanan P

dari suatu gas yang terkurung yang volumenya V dan suhu T. Secara

hampiran, cari persentase kesalahan (galat) maksimum pada P yang

ditimbulkan oleh suatu kesalahan 0,4% pada pengukuran suhu dan

suatu kesalahan 0,9% pada pengukuran volume.

Penyelesaian:

Kesalahan pada P (P) akan dihampiri dengan dP.

0,004T

0,009T



CONTOH 4 (lanjutan penyelesaian):

Kesalahan relatif maksimum, , kira-kira 0,013, dan persentase

galat maksimum kira-kira 1,3%.

BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN1.


Pada kasus fungsi satu peubah, masalah diferensial menuju ke

hampiran yang sahih dekat x0

Analog dengan yang di atas, untuk fungsi dua peubah adalah

2. MAKSIMUM DAN MINIMUM

• Baca Bab 4 (Pasal 4.1 dan Pasal 4.3) Buku Kalkulus dan Geometri

Analitis Jilid 1, Edwin J. Purcell & Dale Varberg.

• Andaikan p = (x, y) dan p0 = (x0, y0) masing-masing berupa sebuah

titik peubah dan sebuah titik tetap, di ruang dimensi dua

Definisi

Andaikan p0 suatu titik di S, yaitu wilayah dari f.

(i) f(p0) adalah nilai maksimum (global) dari f pada S

jika f(p0) f(p) untuk semua p di S.

(ii) f(p0) adalah nilai minimum (global) dari f pada S

jika f(p0) f(p) untuk semua p di S.

(iii) f(p0) adalah nilai ekstrem (global) dari f pada S jika ia adalah

suatu nilai maksimum (global) atau suatu nilai minimum (global).

Definisi yang sama berlaku dengan kata global digantikan oleh lokal

jika, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertaksamaan

berlaku pada N S, dengan N suatu lingkungan dari p0.


Gambar di atas memberikan tafsiran geometri dari definisi tentang

nilai maksimum, nilai minimm, global dan lokal.

Perhatikan bahwa suatu maksimum (atau minimum) global secara

otomatis adalah suatu maksimum (atau minimum) lokal.


Teorema A

(Teorema Keujudan Maksimum-Minimum). Jika f kontinu pada

suatu himpunan tertutup dan terbatas S, maka f mencapai suatu nilai

maksimum (global) dan suatu nilai minimum (global) dua-duanya di

sana.

Pembuktian dapat ditemui pada hampir semua buku kalkulus

DIMANA NILAI-NILAI EKSTREM MUNCUL ?


Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada suatu

himpunan S yang mengandung p0. Jika f(p0) adalah suatu nilai

ekstrem, maka p0 haruslah berupa suatu titik kritik; yakni, p0 berupa

salah satu dari:

(i) Suatu titik batas dari S; atau

(ii) Suatu titik stasioner dari f; atau

(iii) Suatu titik singular dar f

Titik-titik batas, lihat Pasal 15.3 Buku Kalkulus dan Geometri

Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell & Dale Varberg


Teorema B




salah satu dari:




Titik-titik stasioner.

Kita sebut p0 suatu titik stasioner jika p0 adalah suatu titik dalam dari

S dimana f terdiferensialkan dan f(p0) = 0.

Pada titik yang demikian, bidang singgung adalah mendatar.


Teorema B




salah satu dari:




Titik-titik singular.

Kita sebut p0 suatu titik singular jika p0 adalah suatu titik dalam dari S

dimana f tidak terdiferensialkan – misalnya, titik dimana grafik f

mempunyai pojok tajam.


Teorema Titik Kritis Fungsi Satu Peubah.

Fungsi g(x) = f(x,y0) mempunyai suatu nilai ekstrim di x0 jika

Dengan cara yang serupa, fungsi h(y) = f(x0,y) mempunyai suatu nilai

ekstrim di y0 jika memenuhi

Gradien adalah 0 karena kedua parsialnya adalah 0.


Contoh 1:

Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari

Penyelesaian:

- Fungsi yang diberikan dapat didiferensialkan sepanjang wilayahnya,

yaitu bidang xy.

- Jadi, titik-titik kritis yang mungkin adalah titik-titik stasioner yang

diperoleh dengan cara menetapkan fx(x,y) dan fy(x,y) sama dengan

nol.

Tinggal memutuskan

apakah (1,0) memberikan

suatu maksimum atau

suatu minimum atau bukan

keduanya.


Contoh 1 (lanjutan penyelesaian):

- Kita akan segera mengembangkan suatu alat sederhana untuk

menjawab pertanyaan di atas.

- Namun, sementara kita gunakan langkah sederhana

Tinggal memutuskan apakah (1,0) memberikan suatu

maksimum atau suatu minimum atau bukan keduanya.

Jadi, f(1,0) sebenarnya

adalah suatu minimum global

untuk f. Tidak terdapat nilai-

nilai maksimum lokal.


Contoh 2:

Tentukan nilai-nilai minimum atau maksimum lokal dari

Penyelesaian:

Titik-titik kritis diperoleh dengan menetapkan

Hasil dari hitungan di atas adalah (0,0).

Apakah memberikan suatu nilai maksimum, minumin atau bukan

keduanya ?



Hasil dari hitungan, titik kritis adalah (0,0).

Apakah memberikan suatu nilai maksimum, minimun

atau bukan keduanya ?

Titik (0,0) tidak memberikan suatu

nilai maksimum ataupun minimum.

Titik ini disebut titik pelana.

Fungsi yang diberikan tidak

mempunyai ekstrem lokal


• Contoh 2 mengilustrasikan kenyataan yang menyulitkan bahwa

tidak menjamin bahwa terdapat suatu ekstrem lokal di (x0,y0).

Apakah ada syarat untuk menentukan suatu titik merupakan

nilai ekstrem ?


SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM

Teorema C

(Uji Parsial-Kedua). Andaikan bahwa f(x,y) mempunyai turunan

parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari (x0,y0) dan bahwa

, hitung

Maka:

(i) Jika D > 0 dan fxx(x0,y0) < 0, maka f(x0,y0) adalah nilai maksimum

lokal.

(ii) Jika D > 0 dan fxx(x0,y0) > 0, maka f(x0,y0) adalah nilai minimum

lokal.

(iii) Jika D < 0, maka f(x0,y0) bukan suatu nilai ekstrem ((x0,y0) adalah

titik pelana).

(iv) Jika D = 0, maka pengujian tidak memberi kesimpulan.



Contoh 3:

Tentukan ekstrem, jika ada, untuk fungsi F yang didenisikan oleh

F(x,y) = 3x3 + y2 – 9x + 4y.

Penyelesaian:

Sehingga (x,y) adalah (1,-2) dan (-1,-2)

dan




(x,y) adalah (1,-2) dan (-1,-2)

Pada titik (1,-2)

Karena D > 0 dan Fxx > 0 maka

F(1,-2) = -10 adalah nilai minimum lokal dari F.




(x,y) adalah (1,-2) dan (-1,-2)

Pada titik (-1,-2)

karena D < 0 maka (-1,-2) adalah titik pelana dan F(-1,-2) bukan

merupakan nilai ekstrem.



Contoh 4:

Tentukan jarak minimum antara titik asal dan permukaan

z2 = x2y + 4

Penyelesaian:

- Ambil P(x,y,z) titik sebarang pada permukaan tersebut.

- Kuadrat jarak dari titik asal dan P adalah

- Kita mencari koordinat P yang memberikan d2 suatu minimum.

- Karena P terletak pada permukaan itu, koordinatnya memenuhi

persamaan permukaan.



Contoh 4 (lanjutan penyelesain):

z2 = x2y + 4

- Substitusi z2 = x2y + 4 pada , kita peroleh

d2 sebagai fungsi dua peubah x dan y:

- Untuk mencari titik kritisnya, kita tetapkan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y) = 0.

- Dengan menghilangkan y dari persamaan – persamaan ini, kita

dapatkan

Jadi, atau .




- Jadi, atau .

- Substitusi nilai-nilai di atas pada persamaan

diperoleh

dan

- Sehingga, titik-titik kritisnya adalah (0,0),

- Untuk menguji masing-masing ini, kita perlukan




- Titik-titik kritis adalah (0,0), ,

- Untuk menguji masing-masing ini, kita perlukan

- maka titik dan

tidak memberikan suatu ekstrem.

- dan , sehingga (0,0)

menghasilkan jarak minimum.




- Berdasarkan perhitungan D dan fxx, titik (0,0) memberikan jarak

minimum.

- Jarak minimum antara titik asal dan permukaan adalah



Contoh 5:

Tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum dari

Pada himpunan tertutup

Penyelesaian:

Satu-satunya titik kritis dalam adalah (1,1).

Batas dari S adalah lingkaran , yang secara parameter

dapat dijelaskan oleh




Kita ingin memaksimumkan dan meminimumkan fungsi satu peubah

,

Dengan Aturan Rantai,




g’(t) = 0 tant = 1




adalah 2 titik kritis untuk g.

Adakah titik kritis yang lain ?




Ilustrasi dari tracing titik yang

memenuhi fungsi f(x) = sinx




Ilustrasi dari tracing titik yang

memenuhi fungsi f(x) = cosx




f(x) = cosxf(x) = sinx




adalah 2 titik kritis untuk g.

Adakah titik kritis yang lain ?

Dan

dalam x dan y , keempat titik tersebut setara dengan ?

pada lingkaran batas.

ADA




Dari perhitungan di atas, titik-titik batas adalah

Nilai-nilai f di titik-titik batas ini adalah:

Maksimum

Minimum

3. METODE LAGRANGE

Kita mulai dengan membedakan dua jenis masalah, yaitu:

1.Untuk mencari nilai minimum dari

adalah suatu masalah nilai ekstrem bebas.

2. Untuk mencari nilai minimum dari

terhadap kondisi bahwa

adalah masalah nilai ekstrem terkendala.

Banyak permasalahan di dunia nyata, khususnya di bidang ekonomi,

termasuk jenis yang kedua.

Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan

keuntungan, tetapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang

tersedia, banyaknya tenaga kerja, dan sebagainya.

3. METODE LAGRANGE

Contoh 4 di atas adalah sebuah masalah nilai ekstrem terkendala.

Kita diminta mencari jarak minimum dari permukaan

ke titik asal.

Kita formulasikan masalah sebagai peminimuman

terhadap kendala .

3. METODE LAGRANGE

Kita tangani masalah tersebut dengan substitusi nilai z2 dari kendala

dalam rumus untu d2 dan kemudian menyelesaikan masalah nilai

ekstrem bebas yang dihasilkan.

Tetapi, seringkali terjadi nahwa persamaan kendala tidak mudah

diselesaikan untuk salah satu peubah dan, kendatipun jika ini dapat

dikerjakan, boleh jadi terdapat metode lain yang lebih praktis.

Metode tersebut disebut metode pengali Lagrange, dinamai menuurt

Joseph-Louis Lagrange.

3. METODE LAGRANGE

TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE

▪ Pertama, mari kita pandang kasus dimana kita ingin

memaksimumkan atau meminimumkan f(x,y) terhadap kendala

g(x,y) = 0.

▪ Gambar di bawah memberikan saran suatu tafsiran geometri dari

masalah ini.

3. METODE LAGRANGE


▪ Kurva ketinggian dari f adalah kurva-kurva f(x,y) = k, dengan k

suatu konstanta.

▪ Kurva-kurva tersebut diperlihatkan sebagai kurva-kurva hitam

pada gambar di atas untuk k = 200, 300, …, 700.

▪ Grafik dari kendala g(x,y) = 0 juga berupa sebuah kurva, yang

diperlihatkan dalam warna biru pada gambar di atas.

3. METODE LAGRANGE


▪ Untuk memaksimumkan f terhadap kendala g(x,y) = 0 sama

dengan mencari kurva ketinggian dengan kemungkinan k terbesar

yang memotong kurva kendala.

▪ Secara geometri, kurva ketinggian yang maksimum menyinggung

kurva kendala di suatu titik P0(x0,y0).

▪ Nilai maksimum f terhadap kendala g(x,y) = 0 adalah f(x0,y0).

3. METODE LAGRANGE


▪ Metode Lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk

penentuan P0 dan P1.

▪ Karena di titik-titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala

saling menyinggung(yaitu, mempunyai suatu garis singgung

bersama), kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegak lurus

bersama.

3. METODE LAGRANGE


▪ Berdasar Pasal 15.5, di sebarang titik dari kurva ketinggian, vektor

gradien adalah tegak lurus.

▪ Dan dengan cara serupa adalah tegak lurus terhadap kurva

kendala.

3. METODE LAGRANGE


Jadi▪ , dan sejajar di P0 dan juga di P1; yaitu

dan

untuk suatu bilangan 0 dan 1 tidak nol.

3. METODE LAGRANGE


Teorema A

(Metode Lagrange). Untuk memaksimumkan atau meminumkan

f(p) terhadap kendala g(p) = 0, selesaikan sistem persamaan

untuk p dan .

Tiap titik p yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah

nilai ekstrem tekendala dan yang berpadanan disebut pengali

Lagrange.

dan

3. METODE LAGRANGE

CONTOH 1:

Berapa luas daerah terbesar yang dapat dimiliki oleh suatu persegi

panjang jika panjang diagonalnya 2 ?

Penyelesaian:

Letakkan• persegi panjang dikuadran pertama.

Dua• sisi persegi panjang sepanjang sumbu-sumbu koordinat.

Titik• sudut yang berhadapan dengan titik asal mempunyai

koordinat (x,y), dengan x dan y positif.

Panjang• diagonalnya adalah

dan luasnya adalah xy.

Jadi• , kita boleh merumuskan masalah berupa pemaksimuman

f(x,y) = xy terhadap kendala g(x,y) = x2 + y2 – 4 =0

3. METODE LAGRANGE


Jadi• , kita boleh merumuskan masalah berupa pemaksimuman

f(x,y) = xy terhadap kendala g(x,y) = x2 + y2 – 4 =0

• Memanggil kembali Teorema A

• Gradien yang berpadanan adalah

• Persamaan Lagrange menjadi

yang harus diselesaikan secara serentak.

dan

(1)

(2)

(3)

3. METODE LAGRANGE


(1)(2)

(3)

Persamaan (1) dikalikan dengan y, menjadi:

(4)

(5)

Dari Persamaan (4) dan Persamaan (5), diperoleh:

(6)

Dari Persamaan (6) ke Persamaan (4), diperoleh:

dan

Substitusi nilai x dan y ke Persamaan (1), diperoleh:

3. METODE LAGRANGE


(1)(2)(3)

Jadi, penyelesaian Persamaan (1) sampai (3), dengan membuat x dan

y positif, adalah

Kita simpulkan bahwa persegi panjang yang luasnya terbesar dengan

diagonal 2 adalah bujursangkar, yang panjang sisinya . Luasnya

adalah 2.

Tafsiran geometri masalah ini diperlihatkan pada Gambar pada slide

selanjutnya.

3. METODE LAGRANGE


3. METODE LAGRANGE

CONTOH 2:

Gunakan metode Lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimum dan

minimum dari

pada ellips

Penyelesaian:

Kita boleh menuliskan kendala sebagai g(x,y) = x2 + 4y2 – 4 = 0

Persamaan-persamaan Lagrange adalah

(1)

(2)

(3)

3. METODE LAGRANGE

Perhatikan dari persamaan ketiga bahwa x dan y keduanya tidak dapat

sama dengan nol.

Jika , persamaan (1) menyimpulkan bahwa .

Kemudian, Persamaan (2) mensyaratakan bahwa .

Kita simpulkan dari Persamaan (3) bahwa .

Jadi, kita telah memperoleh titik-titik kritis .

(1)

(2)

(3)



3. METODE LAGRANGE

Kemudian, jika , dari Persamaan (2) diperoleh .

Berdasar Persamaan (1), .

Dari Peramaan (3), .

Kita simpulan bahwa juga merupakan titik-titik kritis.

(1)

(2)

(3)



3. METODE LAGRANGE


Dari hasil penyelesaian Persamaan Lagrange, kita memperoleh titik-

titik kritis adalah ( 2,0) dan (0,1).

Sekarang, untuk ,

Sehingga nilai minimum dari f(x,y) pada ellips yang diberikan adalah

-4; nilai maksimum adalah 1.

3. METODE LAGRANGE

CONTOH 3:

Tentukan minimum f(x,y,z) = 3x + 2y + z + 5, terhadap kendala

g(x,y,z) = 9x2 + 4y2 –z = 0.

Penyelesaian:

Gradien f dan g adalah:

Untuk menemukan titik-titik kritis, kita pecahkan

dan

3. METODE LAGRANGE


dan

Solusi

Ini setara, dengan memecahkan sistem empat persamaan simultan

berikut dalam empat peubah x, y, z, .

(1)

(2)

(3)

(4)

Gradien:

3. METODE LAGRANGE


Dari Persamaan (3), diperoleh:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Substitusi Persamaan (5) ke Persamaan (1), diperoleh:

(5)

(6)

Substitusi Persamaan (5) ke Persamaan (2), diperoleh:

(7)

3. METODE LAGRANGE


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Substitusi Persamaan (6) dan Persamaan (7) ke Persamaan (4),

diperoleh:

Jadi penyelesaian sistem empat persamaan simultan tersebut adalah

3. METODE LAGRANGE


Dan satu-satunya titik kritis adalah

Maka nilai minimum f(x,y,z) terhadap kendala g(x,y,z) = 0 adalah

Bagaimana kita mengetahui bahwa nilai di atas adalah suatu nilai

minimum ?

3. METODE LAGRANGE

• Bilamana lebih dari satu kendala yang ditekankan pada peubah-

peubah suatu fungsi yang harus dimaksimumkan atau

diminimumkan, digunakan pengali-pengali Lagrange tambahan.

• Sehingga terdapat satu pengali Lagrange untuk setiap kendala.

• Misalnya, jika kita mencari ekstrem suatu fungsi f tiga peubah,

terhadap dua kendala g(x,y,z) = 0 dan h(x,y,z) = 0, maka kita

pecahkan persamaan-persamaan:

(1)

(2)

(3)

untuk x, y, z, dan , dengan dan adalah pengali-pengali

Lagrange.

3. METODE LAGRANGE

Ini• setara dengan terhadap pencarian penyelesaian sistem lima

persamaan simultan dalam peubah-peubah x, y, z, dan .

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Dari penyelesaian sistem ini, kita peroleh titik-titik kritis.

3. METODE LAGRANGE

CONTOH 4:

Tentukanlah nilai-nilai maksimum dan minimum dari

pada ellips yang merupakan perpotongan tabung

pada bidang

3. METODE LAGRANGE


Penyelesaian:

Kita ingin memaksimumkan dan meminimumkan

dan

terhadap

Persamaan-persamaan Lagrange yang berpadanan adalah

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

3. METODE LAGRANGE



(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Dari Persamaan (1), diperoleh

(6)

Dari Persamaan (2) dan (3), diperoleh

(7)

3. METODE LAGRANGE



(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Substitusi Persamaan (6) dan Persamaan (7) ke Persamaan (4),

diperoleh

(6)

Jika

(7)

3. METODE LAGRANGE


Kita simpulkan bahwa 5 adalah nilai maksimum dan 1 adalah nilai

minimum.

TERIMAKASIH

Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, …istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu...

Documents

Transcript of Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, …istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/kalkulus2/Kuliah Minggu...