Kalkulus

1

fungsi bukan fungsi

Carilah domain dan rage dari fungsi berikut!

1. ( )

2. ( )

Jawab:

1. Supaya f terdefinisi dengan baik, maka sehingga

Jadi {

} {

}

b

a

xxf

34

1)( dengan dan sehingga ( )

Jadi * + * +

2. Supaya f terdefinisi dengan baik, maka sehingga

Jadi {

} {

}

Misalkan

maka ( )

sehingga supaya x terdefinisi dengan baik, maka

, jadi {

} {

}

Pertemuan 3 FUNGSI

Pengertian Fungsi

Misalkan A dan B adalah himpunan. Fungsi f dari A ke B adalah aturan yang menghubungkan

setiap angota A dengan tepat satu anggota B.

Notasinya adalah , dibaca: f memetakan A ke B.

A disebut domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan).

Jelajah (range/jangkauan) adalah himpunan semua nilai hasil pemetaan (bagian dari kodomain).

Contoh 1

Contoh 2

212121 ,,, xfxfmakaxxjikaAxx

Fungsi

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 2

Tentukan domain dari ( ) √

Supaya f terdefinisi dengan baik, maka sehingga

Titik pemecahan x = -3 dan x = -2

+++ ------- +++

Jadi * + , -

( )( )

Contoh 3

Jenis-jenis Fungsi

1. Fungsi Polinom

Bentuk umum

Macamnya:

a. Fungsi konstan ( )

b. Fungsi linier ( )

c. Fungsi kuadrat ( )

2. Fungsi Rasional

Bentuk umum )(

)()(

xq

xpxf dimana p(x) dan q(x) adalah fungsi polinom dengan q(x)≠0.

Contoh

3. Fungsi Nilai Mutlak

Fungsi yang memuat nilai mutlak

Contoh

( ) maka

( ) ( )

4. Fungsi Floor

⟦ ⟧ bilangan positif terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.

Contoh:

⟦ ⟧ = 3 ⟦ ⟧ = -3 ⟦ ⟧ = 5

Misalkan ( ) ⟦ ⟧ maka

a. ( ) ⟦ ( ) ⟧ ⟦ ⟧ ⟦ ⟧

b. ( ) ⟦ ( ) ⟧ ⟦ ⟧ ⟦ ⟧

-2 -3

n

nxaxaxaaxf ...2

210

1

123

2

xx

xxf

Fungsi

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 3

5. Fungsi Trigonometri

Fungsi yang memuat trigonometri

( )

-1

b. ( )

a. ( )

Sifat-sifat Fungsi

1. Fungsi Injektif (satu-satu atau Into)

f : A B adalah fungsi injektif jika dan hanya jika

maka ( ) ( ) atau ( ) ( ) maka

Contoh

a. f : R R dengan f(x) = x-1

misalkan f(x)= f(y) maka x-1 = y-1 sehingga x = y. Jadi f adalah fungsi injektif.

b. f : R R dengan f(x) = x2-1

perhatikan bahwa f(-1) = f(1) = 0 padahal -1 ≠ 1, jadi f bukan fungsi injektif.

2. Fungsi Surjektif (pada atau onto)

f : A B adalah fungsi surjektif jika dan hanya jika

sehingga ( )

Fungsi

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 4

Contoh

a. f : R R dengan f(x) = x-1

ambil y anggota R maka terdapat x = y + 1 sehingga f(x) = x – 1 = (y + 1) – 1 = y.

Jadi f adalah fungsi surjektif

b. f : R R dengan f(x) = x2-1

pilih b = -2, maka tidak ada a anggota R sehingga f(a) = -2, jadi f bukan fungsi surjektif.

3. Fungsi Bijektif

f : A B adalah fungsi bijektif jika dan hanya jika f adalah fungsi injektif dan surjektif

Contoh

f : R R dengan f(x) = x-1 karena f adalah fungsi injektif dan surjektif

4. Fungsi Ganjil

f : A B adalah fungsi ganjil jika dan hanya jika ( ) ( ) untuk setiap a.

Contoh ( ) adalah fungsi ganjil, karena

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )

5. Fungsi Genap

f : A B adalah fungsi ganjil jika dan hanya jika ( ) ( ) untuk setiap a.

Contoh ( ) adalah fungsi genap, karena

( ) ( ) ( )) ( )

Fungsi Komposisi Misalkan f dan g adalah fungsi maka

a. ( ) ( ( )) dengan syarat

b. ( ) ( ( )) dengan syarat

Contoh

( ) ( ( ))

( )

( )

( ) ( ( ))

( )

( )

Misalkan ( ) ( ) .

a. Perhatikan bahwa dan - ) sehingga - ) ,

akibatnya

b. Perhatikan bahwa dan sehingga , akibatnya

Fungsi

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 5

Gambarlah grafik fungsi 12 xxy

a =1 jadi a > 0

acbD 42

412

= -3 < 0

grafik menghadap ke atas

tidak menyinggung sumbu x

Titik potong dengan sumbu koordinat

Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak

ada

Titik potong dengan sumbu y

x = 0 y = 1

dengan demikian grafik melalui (0,1)

• Titik puncak =

a

D

a

b

4,

2

4

3,

2

1

Gambar grafik fungsi

12 xxy

-1

1

21

43

Grafik Fungsi Kuadrat

Diskriminannya adalah dan titik puncaknya . Grafiknya:

Contoh

Grafik Fungsi Majemuk

Contoh 1

cbxaxy 2

acbD 42

a

D

a

b

4,

2

xxf 31

031

03131

xx

xxx

Kita definisikan :1

31

31

xy 31 xy 31

Fungsi

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 6

Contoh 2

Latihan 3

22

21

xx

xxf

1y

2x

2 xy

Gambarkan grafik fungsi

Grafiknya terdiri dari 2

untuk dan garis

untuk 2x

bagian, yaitu garis

2 xy

2

1y