Pertemuan 2

Geometri sferik

Sasaran

Pengkajian tentang geometri segitiga siku-

siku

Pokok Bahasan

Geometri segitiga siku-siku

Formula Pythagoras(Geometri Euklid)

Segitiga ABC siku-siku bila dan hanya bila salah satu sudut A, B atau C siku-siku.

Formula Pythagoras menyatakan:

bila segitiga ABC siku-siku maka kuadrat salah satu sisinya sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya.

Formula Pythagoras (Geometri Euklid, lanjutan)

Ada beberapa versi formula Pythagoras, selain formula sebelumnya, misalnya:

bila segitiga ABC siku-siku di A maka kuadrat sin B ditambah kuadrat cos B sama dengan 1 atau kuadrat sin C ditambah kuadrat cos C sama dengan 1.

Formula Pythagoras (Geometri Euklid, lanjutan)

Versi lain formula Pythagoras:

bila segitiga ABC siku-siku di A maka kuadrat tg B ditambah 1 sama dengan kuadrat sec B atau kuadrat tg C ditambah 1 sama dengan kuadrat sec C.

Formula Pythagoras (Geometri Euklid, lanjutan)

Versi lain formula Pythagoras:

bila segitiga ABC siku-siku di A maka kuadrat cotg B ditambah 1 sama dengan kuadrat cosec B atau kuadrat cotg C ditambah 1 sama dengan kuadrat cosec C.

Teorema 2.1(Teorema Pythagoras untuk Geometri Sferik)

Misalkan segitiga ABC siku-siku pada bola satuan dengan sudut siku-siku di C. Sebagai biasanya, a, b, dan c berturut-turut panjang sisi-sisi di depan A, B, C. Maka berlaku:

cos c = cos a cos b.

Perhitungan tersebut menggunakan radial.

Bukti formula Pythagoras (Geometri Sferik)

Garis besar buktinya menggunakan langkah- langkah:

1. Vektor A = (sin b, 0, cos b),

vektor B = (0, sin a, cos a).

2. Hasilkali skalar dua vektor tersebut adalah panjang vektor A kali panjang vektor B

kali cos sudut antaranya.

3. Disimpulkan cos c = cos a cos b.

Teorema 2.2

Misalkan segitiga ABC segitiga siku-siku pada bola satuan dengan sudut siku-siku di C. Maka berlaku:

sin A = sin a / sin c

cos A = cos a sin b / sin c.

Bukti teorema:

Garis besar buktinya menggunakan langkah-langkah:

1. Hasilkali vektor dari vektor A dengan vektor B adalah

(- cos b sin a, - sin b cos a, sin b sin a).

2. Sudut A adalah sudut antara (0, -1, 0) dan

hasil kali vektor di atas.

3. Dengan hasilkali skalar didapat

cos A = cos a sin b / sin c.

4. Dengan hasilkali vektor didapat sin A = sin a / sin c.

Catatan

1.Teorema Pythagoras dalam Geometri Euklid berlaku juga pada Geometri Sferik

(Teorema 2.1)

2. Teorema 2.2 juga berlaku pada Geometri Euklid.