Pertemuan 10

Geometri Projektif

Sasaran

Pengkajian tentang Teorema Pascal

Pokok Bahasan

Teorema Pascal

Teorema Pascal

Teorema 7.1

Misalkan ABCDEF adalah segienam dengan lingkaran luar konik (irisan kerucut dengan bidang datar). Misalkan R adalah titik potong sisi-sisi AB dan DE, S titik potong sisi-sisi BC dan EF, T titik potong sisi-sisi CD dan FA. Maka titik-titik R, S dan T kolinier.

Bukti Teorema 7.1

Teorema Pascal khusus hanya melibatkan lingkaran L. Sedangkan Teorema Pascal (umum) melibatkan konik yaitu irisan kerucut dengan bidang datar yang berupa elips (termasuk lingkaran), hiperbola, atau parabola. Misalkan konik C adalah irisan bidang A dengan kerucut .

Bukti Teorema 7.1 (lanjutan)

Misalkan puncak kerucut adalah O, dan pandang bidang A sebagai subset dari P2. Terdapat bidang lain A’ sedemikian sehingga irisan dari kerucut dengan A’ adalah lingkaran. Jadi, pada A’ diagram kita adalah lingkaran seperti pada Teorema Pascal khusus, yang sudah dibuktikan. Dapat disimpulkan bahwa R, S danT kolinier.

Gambar Teorema 7.1

A

F

B

E D C

T

S

R

Catatan

Konik dalam Geometri Projektif dapat dipandang sebagai kerucut, dan semua konik secara esensial adalah sama. Perbedaan antara elips, parabola atau hiperbola pada bidang A tergantung pada garis di tak berhingga (bidang lewat O sejajar dengan A) berturut-turut memotong kerucut di O, sejajar kerucut atau memotong kerucut dalam dua garis.