Interpolasi

Polinom Newton dan Interpolasi Newton

Kekurangan Polinom Lagrange

• Interpolasi untuk nilai x yang lain

memerlukan jumlah komputasi yang sama

• Jika jumlah titik ditambah atau dikurangi,

hasil komputasi sebelumnya tidak dapat

digunakan

• (Tidak ada hubungan antara dengan

)

1( )np x

( )np x

Polinom Newton• Polinom yang terbentuk sebelumnya digunakan untuk

membuat polinom berderajat makin tinggi

• Secara umum polinom Newton dinyatakan dengan:

1 0 1 1( ) ( ) ( )( )...( )n n n np x p x a x x x x x x

0 0( )p x a

3 2 3 0 1 2( ) ( ) ( )( )( )p x p x a x x x x x x

3 0 1 0 2 0 1

3 0 1 2

( ) ( ) ( )( )

+ ( )( )( )

p x a a x x a x x x x

a x x x x x x

2 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( )p x a a x x a x x x x

2 1 2 0 1( ) ( ) ( )( )p x p x a x x x x

1 0 1 0( ) ( ) p x a a x x

1 0 1 0( ) ( ) ( ) p x p x a x x

Polinom Newton• Misalkan untuk polinom berderajat 1

1 0 1 0( ) ( )p x a a x x 1 01

1 0

y ya

x x

1 0 0 1

0

1 0

x y x ya

x x

1 0 0 1 1 01

1 0 1 0

( )

x y x y y yp x x

x x x x

1 0 0 1 1 0 0 0 0 01

1 0

( )x y x y xy xy x y x y

p xx x

1 0 0 0 1 0 0 1 0 01

1 0

( )

x y x y xy xy x y x yp x

x x

1 0 0 1 0 0 1 01

1 0

( ) ( ) ( )( )

x x y x y y x y yp x

x x

1 0 0 1 1 01

1 0

( )

x y x y xy xyp x

x x

1 0

1 0 0

1 0

( )( )

y yp x y x x

x x

Polinom Newton

1 01 0 0

1 0

( )( ) ( )

( )

y yp x y x x

x x

1 0 1 0( ) ( )p x a a x x

1 0 1 01

1 0 1 0

( ) ( )y y f x f xa

x x x x

1 01 1 0

1 0

( ) ( )[ , ]

f x f xa f x x

x x

0 0 0( )a y f x dan

Selisih

terbagi

Polinom Newton

• Polinom berderajat 2

2 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( )p x a a x x a x x x x

2 1 2 0 1( ) ( ) ( )( )p x p x a x x x x

2 12

0 1

( ) ( )

( )( )

p x p xa

x x x x

2 0 1 2 02

2 0 2 1

2 0 1 2 0

2 0 2 1

( ) ( ( ))

( )( )

( ) ( )

( )( )

f x a a x xa

x x x x

f x a a x x

x x x x

2

2 2 2

dan

( ) ( )

x x

p x f x

Polinom Newton0 0 0( )a y f x 1 0

1

1 0

( ) ( )f x f xa

x x

2 0 1 2 0

2

2 0 2 1

( ) ( )

( )( )

f x a a x xa

x x x x

1 02 0 2 0

1 02

2 0 2 1

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

f x f xf x f x x x

x xa

x x x x

2 0 1 0

2 0 1 02

2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

f x f x f x f x

x x x xa

x x

2 0 2 0 1 0 2 0

2 0 1 02

2 0 2 1

( ) ( ).( ) ( ) ( ).( )

( ) ( )

( )( )

f x f x x x f x f x x x

x x x xa

x x x x

Polinom Newton2 0 1 0 2 0

2 0 1 0 2 12

2 02 1

2 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

f x f x f x f x x x

x x x x x xa

x xx x

x x

2 0 1 0 2 0

2 1 1 0 2 12

2 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

f x f x f x f x x x

x x x x x xa

x x

1 0 1 0 2 02 1

2 1 2 1 1 0 2 12

2 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

f x f x f x f x x xf x f x

x x x x x x x xa

x x

1 0 1 0 1 0 2 02 1

2 1 1 0 2 1 1 0 2 12

2 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

f x f x x x f x f x x xf x f x

x x x x x x x x x xa

x x

Polinom Newton

1 0 1 0 1 0 2 02 1

2 1 1 0 2 1 1 0 2 12

2 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

f x f x x x f x f x x xf x f x

x x x x x x x x x xa

x x

1 0 1 0 2 02 1

2 1 1 0 2 1 2 1

2

2 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

f x f x x x x xf x f x

x x x x x x x xa

x x

1 02 1 1 2

2 1 1 0 2 12

2 0

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

f x f xf x f x x x

x x x x x xa

x x

1 02 1

2 1 1 02

2 0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

f x f xf x f x

x x x xa

x x

2 1 1 02

2 0

[ , ] [ , ]

f x x f x xa

x x

0 0( )a f x

Polinom Newton dengan Selisih Terbagi

1 01 1 0

1 0

( ) ( )[ , ]

f x f xa f x x

x x

2 1 1 0

2 2 1 0

2 0

[ , ] ,[ , , ]

f x x f x xa f x x x

x x

3 2 1 2 1 0

3 3 2 1 0

3 0

[ , , ] , ,[ , , , ]

f x x x f x x xa f x x x x

x x

1 1 1 2 0

1 1 0

0

[ , ,..., ] , ,...,[ , ,..., , ]

n n n n

n n n

n

f x x x f x x xa f x x x x

x x

Polinom Selisih Terbagi Newton

• Dengan menggunakan tabel

i xi yi=f(xi) ST1 ST2 ST3

0 x0 f(x0) f [x1,x0] f [x2,x1,x0] f [x3,x2,x1 ,x0]

1 x1 f(x1) f [x2,x1] f [x3,x2,x1]

2 x2 f(x2) f [x3,x1]

3 x3 f(x3)

• ST = Selisih Terbagi

Latihan

• Berikut ini adalah 2 nilai dari fungsi

eksponen

• Gunakan interpolasi Newton

untuk menghitung nilai x = 1.8

Nilai x 1.5 2 2.5

y=f(x) 0.04979 0.01832 0.00674

2xy e

Latihan

• Diberikan nilai dari konsentrasi larutan

oksigen jenuh dalam air dalam bentuk

tabel berikut

• Gunakan polinom Lagrange dan Newton

untuk menghitung nilai konsentrasi

oksigen saat suhu 22.4

Suhu 5 10 15 20 25 30

Konsentrasi oksigen

untuk klorida = 10mg/L

11.6 10.3 9.1 8.2 7.4 6.8

Kelebihan Polinom Newton

• Polinom Newton menambahkan satu suku

tunggal dengan polinom derajat lebih

rendah memudahkan perhitungan

polinom dengan derajat lebih tinggi

• Penambahan polinom dapat digunakan

untuk menentukan apakah penambahan

suku polinom akan memperbaiki nilai

interpolasi atau tidak

• Tabel Selisih Terbagi dapat digunakan

berulang-ulang untuk nilai x yang berbeda

Polinom Interpolasi & Galat Interpolasi

• Polinom interpolasi unik asalkan nilai

fungsi dari setiap data tidak ada yang

sama

• pn(x) adalah hampiran fungsi untuk fungsi

asli f(x) maka untuk titik-titik tertentu

berlaku

• Untuk x lainnya sehingga

( ) ( ) 0,1,2,..., i n if x p x i n

( ) ( ) 0 i n if x p x

( ) ( ) nf x p x

( ) ( ) ( ) 0 nE x f x p x

0 1( ) ( )( )...( ) ( )nE x x x x x x x R x 1( )

( )( 1)!

nf tR x

n

Taksiran Galat Interpolasi

Newton

1( )( )

( 1)!

nf tR x

n

1 1 1 0[ , , ,..., , ]n n nf x x x x x

0 1 1 1 1 0( ) ( )( )...( ). [ , , ,..., , ]n n n nE x x x x x x x f x x x x x

• Dalam Interpolasi Newton R(x) dihampiri

dengan:

Hitung taksiran galat dari soal konsentrasi

larutan untuk polinom newton berderajat 4

Galat interpolasi minimum

• Terjadi untuk x yang berada

dipertengahan selang data yang diamati

• Contoh

Suhu 5 10 15 20 25 30

Konsentrasi oksigen

untuk klorida = 10mg/L

11.6 10.3 9.1 8.2 7.4 6.8

Untuk menghitung konsentrasi oksigen

saat suhu 22.4 maka galat interpolasi

akan minimum jika pada polinom orde 3

pada interval [15,30]