Metode Stokastik

PendahuluanFakultas

Teknik

Khamaludin, S.T., M.T

Program Studi

Teknik Industri

Pertemuan:

01

Model Stokastik

Model Matematika di mana gejala-gejala dapat diukur dengan derajat kepastian yang tidak stabil.

Pada Model Stokastik disebut juga model probabilistikpeluang dari masing-masing kejadian benar-benar dihitung,menyusun sebuah model stokastik cenderung lebih sulitdari model deterministik.

Kaidah-kaidah peluang adalah alat matematika yang cukupvital dalam menyusun model stokastik.

Contoh model stokastik adalah teori antrian dan teoripermainan, di mana ini merupakan pengembangan daririset operasi modern.

Berkenaan dengan karakteristik persoalan yang hendakdiselesaikan dengan pendekatan Operation Research, makadibedakan dua jenis permasalahan :(1) Deterministik, dicirikan oleh nilai-nilai parameternya

yang pasti dan time-invariant,(2) Stokastik, dicirikan oleh ketidakpastian nilai

parameter-parameternya dan time-variant.

Contoh penerapan pemodelan stokastik adalah :Rantai markov dengan waktu diskret, Proses poisson, Rantaimarkov dengan waktu kontinu, Proses bercabang dan Prosespembaruan dan penerapannya.

Kejadian stokastik adalah kebolehjadian yang hanya dapatditentukan distribusi frekuensinya, jadi kejadian stokastik initidak dapat ditentukan fungsinya dengan pasti, namun hanyaberupa kisaran fungsi yang nilainya belum dapat ditetapkan.

Contoh dari kejadian stokastik adalah jumlah daun yangberguguran setiap harinya. Helai-helai daun berguguran darihari ke hari, namun belum dapat dipastikan berapajumlahnya dan fungsi seperti apa yang dapatmenggambarkan proses bergugurnya daun-daun tersebut.

Kejadian stokastik ini dapat didekati dengan suatu fungsiinterval yang bentuknya akan menyerupai, yaitu pada saat-saat tertentu mencapai nilai maksimal sedangkan saat yanglain mencapai titik minimal

1. Jumlah Penumpang Bus

Sebagai contoh jumlah penumpang ketika pagi hari, mendekatijam kerja sangat banyak. Jumlah ini akan berangsur-angsurmenurun ketika jam kerja sudah dimulai dan menjelang jamistirahat. Jumlah penumpang akan kembali naik ketika jampulang kerja. Hal ini berlangsung hampir setiap hari, namuntidak dapat dipastikan fungsi apa yang mendekatinya.

Contoh Stokastik:

2. Jumlah Pengunjung Grojogan Sewu

Jumlah pengunjung Grojogan Sewu akan meningkat tajam padasaat liburan sekolah maupun weekend. Namun setiap harinyajuga terdapat pengunjung yang jumlahnya tidak menentu. Darijumlah pengunjung ini tidak dapat ditentukan fungsi yang pasti,namun dapat didekati dengan suatu fungsi interval yangbentuknya akan meningkat pada saat weekend ataupun liburan.

Contoh Stokastik:

3. Jumlah Pengunjung Warung Makan

Pengunjung warung makan akan meningkat pada saat jam-jammakan siang dan istirahat, dan akan berangsur-angsurberkurang ketika jam makan sudah usai. Begitu seterusnya.

Contoh Stokastik:

1. Formulasi statis, termasuk persamaan aljabar atau fungsidengan satu atau lebih variabel random, dapat berupa skalaratau vektor, bernilai diskrit atau kontinyu dan berkendalaatau tidak berkendala.

2. Formulasi dinamis, termasuk proses stokastik denganvariabel bebas yang mewakili waktu jika digunakan untukmodel dinamis tak pasti.

Tipe Formulasi

Peluang adalah harapan terjadinya suatu kejadian yangdikuantitatifkan.

Peluang berhubungan dengan gagasan atau konsepkesempatan atau kemungkinan.

Kita katakan peluangnya besar artinya kesempatan ataukemungkinan terjadinya besar, sebaliknya peluang kecilartinya kesempatan terjadinya kecil.

Definisi Peluang

Suatu sistem adalah suatu kumpulan dari komponen atau unsuryang dianggap sebagai penyusun dari bagian dunia nyata yangdipertimbangkan, dan unsur tersebut berhubungan satu samalain dan dikelompokkan untuk tujuan studi dari bagian ‘dunianyata’ tersebut. Seleksi dilakukan terhadap unsur penyusunsistem berdasarkan tujuan studi, karenanya sistem hanyamerupakan wakil dari bentuk sederhana realita.

SISTEM dan MODEL

Model dapat dibatasi sebagai konsep (matang atau masihdalam tahap pengembangan) dari sistem yang disederhanakan.Jadi model dapat dianggap sebagai substitusi (pengganti) untuksistem yang dipertimbangkan dan digunakan apabila lebihmudah bekerja dengan substitut tersebut dari dengan sistemyang sesungguhnya. Aktivitas dalam kehidupan sehari-harihampir tidak luput dari penggunaan model seperti kapalterbang yang terbuat dari kertas. Model ini mudah dirangkaidan digunakan serta menarik untuk objek percobaan.

SISTEM dan MODEL

Seseorang yang bekerja tanpa model tidak akan dapatmempunyai sasaran yang jelas dan kerangka kerja yangsistematis dan akhirnya dapat seperti “kayu yang hanyutterbawa arus sungai” yang semuanya tergantung pada apakatanya alam. Van Noordwijk (tidak dipublikasikan)menyatakan:

“without models, we cannot make sense out of experiment ordesign them in a sensible way. Without experiments, ourmodels will remain castle in the air”.

SISTEM dan MODEL

Seandainya ada seorang ahli matematik bekerja sama denganahli makanan menterjemahkan pekerjaan si Ibu tadi ke bahasamatematik, maka sejumlah rumus matematik yang rumit akandihasilkan. Sebagai contoh, jika bagian masak dari ikan yangdigoreng per-satuan waktu selama penggorengan dinyatakandalam bahasa matematik maka akan tampak seperti berikut:

SISTEM dan MODEL

di mana:δI = tambahan bagian ikan yang masak,δt = tambahan waktuk = konstanta danE = energi (panas).

Persamaan itu menegaskan bawah tambahan bagian ikan yangmasak dengan pertambahan waktu tertentu tergantung padabesarnya ikan (I) dan besarnya energi panas (api) yangdigunakan untuk menggoreng. Jika besarnya api konstan selamamemasak, yang sangat mungkin terjadi sekarang ini dengan alatmasak listrik dan gas, maka kE dapat disatukan menjadi KDengan integrasi persamaan di atas dan penataan tertentu,suatu persamaan yang menghubungkan kematangan ikandengan waktu dapat dihasilkan yaitu :

SISTEM dan MODEL

Model matematik adalah salah satu jenis model yang banyakdigunakan yang dicirikan oleh persamaan matematik yangterdiri dari peubah dan parameter.

Jenis MODEL

1. Model Matematik

2. Model Kontinyu dan Deskrit

Modeling sistem kontinu adalah suatu pendekatan yangberorientasi proses dalam penggambaran tingkah-laku suatusistem.

Model empiris diperoleh biasanya dari pengalaman, sepertihasil pengamatan, dan digunakan untuk menggambarkan suatuatau sebagaian tingkah laku sistem yang dipelajari.

Jenis MODEL

3. Model Empiris

4. Model Statis dan Dinamis

Model statis adalah model yang tidak melibatkan waktu sebagaipeubah, sehingga perubahan sistem dengan waktu tidakdiketahui. Kemudian suatu model adalah dinamis jika itumensimulasi tabiat sistem yang dinamis.

Model deterministik adalah yang menghasilkan penaksirankuantitas defenitif seperti hasil tanaman yang tidak disertaidengan informasi mengenai peluang. Sebaliknya modelstokastik mengandung unsur acak atau distribusi peluang,sehingga tidak hanya membuat penaksiran keluaran yangdefinitif tapi juga disertai dengan deviasi (variance).

Jenis MODEL

5. Model Deterministik dan Stokastik

6. Model Deskriptif

Suatu model deskriptif membatasi tingkah laku atau tabiatsuatu sistem dalam suatu cara sederhana dan mengandungsedikit jika ada mekanisme yang menyebabkan tingkah lakutersebut. Pembentukan dan penggunaan model agak bersifatlangsung dan sering terdiri dari satu atau lebih persamaanmatematik.

Suatu model eksplanatori terdiri dari deskripsi kuantitatif darimekanisme dan proses yang menyebabkan tingkah laku suatusistem. Deskripsi ini merupakan pernyataan eksplisit (tegas) dariteori ilmiah dan hipotesis.

Jenis MODEL

7. Model Eksplanatori

Pabrik kayu menghasilkan dua produk; pintu dan jendeladengan proses sebagai berikut :

Model Matematik

I

III

II

Kayu

Pintu kasar

Jendela kasar

Pintu & jendela siap jual

Tiap mesin di unit I dapat menghasilkan 1 pintu tiap 3 jam

Tiap mesin di unit II dapat menghasilkan 1 jendela tiap 2 jam

Tiap mesin di unit III dapat menghasilkan 1 pintu tiap 2 jam, 1 jendela tiap 1 jam

Terdapat 4 mesin di unit ITerdapat 3 mesin di unit IITerdapat 3 mesin di unit III

Lanjutan…

Tiap hari jam kerja yang tersedia adalah 9 jam.

Keuntungan tiap pintu adalah 20 ribu.Keuntungan tiap jendela adalah 15 ribu.

Buat model matematiknya supaya didapat keuntungan yangmaksimum

Lanjutan…

x1 : banyaknya pintu yang diproduksix2 : banyaknya jendela yang diproduksiz : Keuntungan

Lanjutan…

932

932

943

1520

21

2

1

21

xx

x

x

xxz

Lanjutan…

0,

272

272

363

1520

21

21

2

1

21

xx

xx

x

x

xxzMax

Thanks!!!