persamaan-linier (1).pptx

7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

1/37

Review : Invers Matriks


2/37

Matriks Saling Invers

10

01

2222122121221121

2212121121121111

acacacac

acacacac


3/37

Salah satu cara mencari invers dengan

DETERMINAN.


4/37

Determinan

Hanya untuk MBS.

bcaddc

ba

dc

ba

det

123213312132231321

321

321

321

det

cbacbacbacbacbacba

ccc

bbb

aaa


5/37

Determinan

Jika determinan = 0, matriks tidak punyainvers (matriks singular)

bcaddc

ba

dc

ba

det

123213312132231321

321

321

321

det

cbacbacbacbacbacba

ccc

bbbaaa


6/37

Cari invers nya

52

42

42

21


7/37

Sistem Persamaan Linear

Simultaneous Linear Equations


8/37

Metode Penyelesaian

Metode determinan matriks

Metode grafik Eliminasi Gauss

Metode GaussJourdan

Metode GaussSeidel Dekomposisi LU


9/37

Metode Penyelesaian

Metode determinan matriks Metode grafik liminasi Gauss Metode Gauss Jourdan Metode GaussSeidel

LU decomposition


10/37

Metode Grafik

2

-2

2

4

11

21

2

1

x

x

Det{A} 0 A

bukan singular,artinya invertibel

Memiliki

penyelesaian


11/37

Invertible

Suatu fungsi fyang

memiliki invers disebut

dengan invertible;

Fungsi invers

ditentukan dari dandinotasikan dengan 1


12/37

Sistem persamaan yang tak

terselesaikan

5

4

42

21

2

1

x

x

Tidak memiliki penyelesaianDet [A] = 0,

Maka sistempersaman initidak dapat

diselesaikan.


13/37

Sistem Persamaan dengan banyak

penyelesaian

Det [A] = 0 A adalah singular

memiliki banyak penyelesaian

8

4

42

21

2

1

x

x


14/37

Sistem Persamaan yang tidak baik

Jika matriks

memiliki

koefisien

singular.


15/37

Nilai komponen matriks dengan range

kecil menyebabkan deviasi yang besar

pada penyelesaiannya.

47.1

3

99.048.0

21

2

1

x

x

47.1

3

99.049.0

21

2

1

x

x

1

1

2

1

x

x

0

3

2

1

x

x

Sistem Persamaan yang tidak baik


16/37

Eliminasi Gauss

Salah satu teknik yang populer untuk

menyelesaikan sistem persamaan linear

dalam bentuk:

Terdiri dari dua step1. Eliminasi Maju.

2. Substitusi Mundur.

CXA


17/37

Eliminasi Maju

Tujuan Eliminasi Maju adalah membentuk koefisien

matriksmenjadi MSA (Matriks Segitiga Atas)

7.000

56.18.40

1525

112144

1864

1525


18/37

Eliminasi Maju

Persamaan linear

npersamaan dengan nvariabel yang tak diketahui

11313212111 ... bxaxaxaxa nn 22323222121 ... bxaxaxaxa nn

nnnnnnn bxaxaxaxa ...332211

. .

. .

. .


19/37

Contoh

83125

12312

71352

21232

8325

1232

7352

2232

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxxxxxx

matriks input


20/37

Mari kita kerjakan . . .

83125

12312

71352

21232

32162190

13140

92120

12

112

31

'

14

'

4

'

13

'

3

'

12

'

2

1'

1

5

2

2

2

RRR

RRR

RRR

RR

41599

4500

1973002

912

110

12

112

31

'

24

'

4

'

23

'

3

2'

2

1

'

1

219

4

2

RRR

RRR

RR

RR


21/37

Forward Elimination

12572

12143

000

319

37100

291

2110

12

112

31

'

34

'

4

3'

3

2

'

2

1

'

1

45

3

RRR

RR

RR

RR

4

15994

500

1973002

912

110

12

112

31

1435721000

319

37100

291

2110

12

112

31

121434'

4

3

'

3

2

'

2

1

'

1

R

R

RR

RR

RR


22/37

Back substitution

4143

5723

193

72921

12

12

3

4

4

43

432

4321

x

x

xx

xxx

xxxx


23/37

Gauss - Jourdan

39743

2234215231

6150

8120

15231

'

13

'

3

'

12

'

2

1

'

1

3

2

RRR

RRR

RR

142700

42110

152101

'

23

'

3

2

'

2

'

21

'

1

5

2

3

RRR

RR

RRR

6150

8120

15231

142700

42110

152101

4100

2010

1001

273'

3

'

32

'

2

'

31

'

1

21

21

R

R

RRR

RRR


24/37

Warning..

Dua kemungkinan kesalahan- Pembagian dengan nol mungkin terjadi pada langkah

forward elimination. Misalkan:

655

901.33099.26

7710

321

123

21

xxx

xxx

xx

- Kemungkinan error karena round-off (kesalahan pembulatan)


25/37

Contoh

Dari sistem persamaan linear

515

6099.23

0710

3

2

1

x

x

x

6

901.3

7

=

Akhir dari Forward Elimination

1500500

6001.00

0710

3

2

1

x

x

x

15004

001.6

7

=

6

901.3

7

515

6099.23

0710

15004

001.6

7

1500500

6001.00

0710


26/37

Kesalahan yang mungkin terjadi

Back Substitution

99993.015005

150043 x

5.1001.0

6001.63

2

xx

3500.010

077 321

xx

x

15004

001.67

1500500

6001.000710

3

2

1

x

xx


27/37

Contoh kesalahan

Banding-kan solusi exact dengan hasil perhitungan

99993.0

5.1

35.0

3

2

1

x

x

x

X calculated

1

1

0

3

2

1

x

x

x

X exact


28/37

Improvements

Menambah jumlah angka penting

Mengurangi round-off error (kesalahan pembulatan)

Tidak menghindarkan pembagian dengan nol

Gaussian Elimination with Partial Pivoting

Menghindarkan pembagian dengan nol

Mengurangi round-off error


29/37

Pivoting

pka

Eliminasi Gauss dengan partial pivoting mengubah tata urutan

baris untuk bisa mengaplikasikan Eliminasi Gauss secara Normal

How?

Di awal sebelum langkah ke-k pada forward elimination, temukan angka

maksimum dari:

nkkkkk aaa .......,,........., ,1

Jika nilai maksimumnya Pada baris ke p, ,npk

Maka tukar baris p dan k.


30/37

Partial Pivoting

What does it Mean?

Gaussian Elimination with Partial Pivoting ensures that

each step of Forward Elimination is performed with thepivoting element |akk| having the largest absolute value.

Jadi,

Kita mengecek pada setiap langkah apakah angkapaling atas (pivoting element) adalah selalu paling

besar


31/37

Partial Pivoting: Example

Consider the system of equations

655

901.36099.23

7710

321

321

21

xxx

xxx

xx

In matrix form

515

6099.23

0710

3

2

1

x

x

x

6

901.3

7

=

Solve using Gaussian Elimination with Partial Pivoting using five

significant digits with chopping


32/37


Forward Elimination: Step 1

Examining the values of the first column

|10|, |-3|, and |5| or 10, 3, and 5

The largest absolute value is 10, which means, to follow therules of Partial Pivoting, we dont need to switch the rows

6

901.3

7

515

6099.23

0710

3

2

1

x

x

x

5.2

001.67

55.20

6001.000710

3

2

1

x

xx

Performing Forward Elimination


33/37



Examining the values of the first column

|-0.001| and |2.5| or 0.0001 and 2.5

The largest absolute value is 2.5, so row 2 is switched withrow 3

5.2

001.67

55.20

6001.000710

3

2

1

x

xx

001.6

5.27

6001.00

55.200710

3

2

1

x

xx

Performing the row swap


34/37



Performing the Forward Elimination results in:

002.6

5.2

7

002.600

55.20

0710

3

2

1

x

x

x


35/37


Back Substitution

Solving the equations through back substitution

1002.6

002.6

3

x

15.2

55.22

2

x

x

010

07732

1

xxx

002.6

5.2

7

002.600

55.20

0710

3

2

1

x

x

x


36/37


1

1

0

3

2

1

x

x

x

X exact

1

1

0

3

2

1

x

x

x

Xcalculated

Compare the calculated and exact solution

The fact that they are equal is coincidence, but it does

illustrate the advantage of Partial Pivoting


37/37

Summary

- Forward Elimination

- Back Substitution- Pitfalls

- Improvements

- Partial Pivoting

persamaan-linier (1).pptx

Documents

Transcript of persamaan-linier (1).pptx