PERSAMAAN DOFERENSIAL BIASA
Transcript of PERSAMAAN DOFERENSIAL BIASA
USU Press
Art Design, Publishing & Printing
Gedung F, Pusat Sistem Informasi (PSI) Kampus USU Jl.
Universitas No. 9 Medan 20155, Indonesia
Telp. 061-8213737; Fax 061-8213737
usupress.usu.ac.id
© USU Press 2016
Hak cipta dilindungi oleh undang-undang; dilarang
memperbanyak menyalin, merekam sebagian atau seluruh bagian
buku ini dalam bahasa atau bentuk apapun tanpa izin tertulis dari
penerbit.
ISBN 979 458 899 7
Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Persamaan Differensial Biasa / Faigiziduhu Bu'ulölö--Medan:
USU Press 2016.
vi, 107 p. ; ilus.: 14 cm
Bibliografi
ISBN: 979-458-899-7
iii
KATA PENGANTAR
Persamaan Differensial menjadi salah satu ilmu dalam
matematika yang memegang peranan penting dalam
menyelesaiakan soal-soal sulit dalam bidang fisika, ekonomi,
engineering, kimia bahkan bisnis. Berdasarkan pengamatan dan
pengalaman penulis ketika memberikan kuliah Persamaan
Differensial (Matematika III), ditambah dengan memperhatikan
informasi, saran, dan keluhan-keluhan para mahasiswa selama
kuliah, penulis berusaha untuk menguraikan materi buku ini
sesederhana mungkin. Berbagai kesulitan mahasiswa tersebut,
maka buku ini dibuat dengan tujuan untuk dapat membantu
para mahasiswa yang sedang mengambil mata kuliah
matematika khususnya matematika III atau lanjutan dari
matematika dasar di universitas.
Persamaan differensial yang dibahas dalam edisi
pertama ini hanya sebatas persamaan differensial biasa dan
dengan koefisian konstan untuk persamaan differensial derajat
dua, sehingga materi yang disajikan hanya mencakup persamaan
differensial dengan perubah terpisah, bentuk homogen, bentuk
exaxt, faktor pengintegralan, persamaan differensial linier
tingkat satu dan teknik penyelesaian persamaan differensial
derajat dua.
Penyusun menyadari bahwa buku ini masih banyak
kekurangan-kekurangan yang pada dasarnya disebabkan oleh
keterbatasan kemampuan penyusun dalam bidang matematika.
Karena itu penulis sangat berterima kasih atas saran dan kritik
para pembaca, agar dapat melengkapi dan memperbaiki isi buku
ini pada edisi berikutnya.
iv
Bagi mahasiswa matematika yang memperdalam aplikasi
penyelesaian persamaan differensial, saat ini telah muncul
komputer-komputer kecepatan-tinggi yang murah telah
menyajikan teknik-teknik baru untuk menyelesaikan persamaan
differensial, sehingga dapat memodelkan dan menyelesaikan
soal-soal rumit yang memperkenalkan sistem-sistem persamaan
differensial.
Penulis berterima kasih kepada semua pihak yang telah
memberikan kontribusi dalam pembuatan buku Persamaan
Differensial ini dan juga kepada USU Press yang telah bersedia
menerbitkan buku ini dengan segala kekurangannya, sehingga
dapat digunakan oleh mahasiswa. Semoga buku ini dapat
menambah khasanah literatur ilmu pengetahuan, khususnya
dalam bidang Persamaan Differensial Biasa dan bermanfaat
kepada para peminat matematika.
Penulis
v
D A F T A R I S I
Halaman KATA PENGANTAR iii DAFTAR ISI v BAB I PENDAHULUAN 1 1.1 Pengertian 1 1.1.1 Model Persamaan Differensial 2 1.1.2 Definisi 4 1.1.3
1.1.4 Notasi Penyelesaian Persamaan Differensial
5 6
1.1.4 Tingkat dan Derajat dari Suatu Persamaan Diferensia
7
1.2 Persamaan Differeensial dari Suatu Relasi 8 Soal-soal 10 BAB II PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL 11 2.1 Persamaan Differensial Derajat Satu 12 2.1.1 Persamaan Differensial dengan Perubah
Terpisah 12
2.1.2 Persamaan Differensial dengan Perubah Dapat Dipisahkan
17
Soal-soal 24 2.2 Persamaan Differensial Homogen 25 2.3 Perdamaan Differensial yang Dapat Dirubah ke
Bentuk Homogen 28
Soal-soal 32 BAB III PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT SATU 33 3.1 Persamaan Differensial Exact 33 3.2 Faktor Pengintegralan 37 3.2.1 Faktor Pengintegralan Fungsi di saja 38 3.2.2 Faktor Pengintegralan Fungsi di saja 39 Soal-soal 45
vi
3.3 Persamaan Differensial Linier Tingkat Satu 46 3.4 Persamaan Differensial Bernoulli 49 Soal-soal 53 BAB IV PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT SATU
DERAJAT DUA 54
4.1 Persamaan Differensial Tingkat Satu Derajat Dua 54 4.1.1 Penyelesaian ke- 54 4.1.2 Penyelesaian ke- 57 4.1.3 Penyelesaian ke- 61 Soal-soal 63 4.2 Persamaan Differensial CLAIRAUT DAN PD
d’ALEMBERT 64
4.2.1 Persamaan Differensial CLAIRAUT 64 4.2.2 Persamaan Differensial d’ALEMBERT 66 4.3 Penyelesaian Singular 69 Soal-soal 71 BAB V PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT DUA 72 5.1 Persamaan Differensial Linier Tingkat Dua 72 5.2 Persamaan Differensial Linier Tereduksi Tingkat
Dua dengan Koefisien Konstan 74
Soal-soal 79 5.3 Persamaan Differensial Linier Tingkat Dua
Lengkap 79
5.3.1 Cara Operator D 80 5.3.2 Cara Variasi Parameter 83 Kumpulan Soal Penyelesaian 89 Soal Tambahan 102 DAFTAR PUSTAKA 107
Persamaan Differensial Biasa
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Pengertian
Persamaan differensial merupakan konsep matematika
sangat penting dalam matematika terapan (aplikasi matematika)
dalam berbagai disiplin ilmu yang lain. Berbagai hukum ataupun
gejala fisika dapat diterangkan dengan persamaan differensial.
Demikian juga dalam berbagai masalah teknik, misalnya masalah
vibrasi, masalah rangkaian listrik, dalam masalah ekonomi,
misalnya penentuan biaya total untuk produksi suatu barang
serta juga dalam berbagai masalah geometri dapat dijelaskan
dengan bentuk persamaan differensial. Model matematika yang
bisa diselesaiakan dengan persamaan differensial erat
hubungannya dengan rumus-rumus integral dan teknik integrasi
yang telah dipelajari dalam matematika dasar atau kalkulus.
Persamaan Differensial Biasa
2
1.1.1 Model Persamaan Differensial
1. Bidang Fisika
Persamaan differensial mampu menjelaskan suatu
dalil atau hukum ke dalam model matematis.
Misalnya:
a. Masalah desintegrasi zat radio aktif
Dalam suatu saat tertentu suatu zat radio aktif
mulai meluruh kecepatan peluruhannya
dinyatakan sebanding dengan zat yang ada pada
saat itu.
Misalnya:
menyatakan jumlah zat pada saat t, di mana t
menyatakan waktu
menyatakan kecepatan perubahan kecepa-
tan dari pada saat t
Hukum desintegrasi dinyatakan oleh persamaan oleh
persamaan differensial , di mana konstanta
positip.
Penyelesaian dari persamaan differensial ini adalah
di mana menunjukan jumlah zat
pada awal peluruhan.
Persamaan Differensial Biasa
3
Masalah Gerak
Misalkan suatu benda bergerak dengan kecepatan
yang dinyatakan oleh persamaan:
Persamaan lintasan dari benda tersebut
dinyatakan oleh persamaan differensial yaitu:
2. Masalah Pertumbuhan
Persamaan differensial bisa menjelaskan masalah
pertumbuhan populasi manusia, hewan, ataupun
bakteri serta makhluk yang lain. Misalkan akan
menerangkan populasi bakteri di mana kecepatan
pertumbuhan dinyatakan dengan jumlah bakteri yang
ada. Hukum pertumbuhan populasi bakteri dapat
dinyatakan oleh:
di mana: = jumlah bakteri pada saat
= konstanta pertumbuhan
= menyatakan waktu
Persamaan Differensial Biasa
4
Dari kedua contoh di atas, dapat memberikan gambaran
tentang munculnya suatu persamaan differensial, serta
peranannya dalam menyelesaikan persoalan.
Suatu persamaan differensial biasa dinyatakan oleh ,
jadi fungsi terdiri dalam .
1.1.2 Definisi
Persamaan Differensial (PD) adalah sebuah persamaan
yang mengandung paling sedikit satu turunan atau satu
differensial dari suatu fungsi.
Persamaan Differensial digolongkan menjadi dua bagian
yaitu:
a. Persamaan Differensial Biasa (PDB) yaitu PD yang
mengandung hanya satu perubah bebas .
Misalnya :
di mana : adalah perubah bebas dan
adalah perubah tidak bebas
Artinya bahwa jika persamaan differensial hanya
mengandung satu (1) perubah dan fungsi turunan biasa,
maka persamaan disebut persamaan differensial biasa
Persamaan Differensial Biasa
5
b. Persamaan Differensial Parsial (PDP) yaitu PD yang
mengandung lebih dari satu perubah bebas
.
Misalnya:
1.
2.
3.
di mana : adalah perubah bebas
adalah perubah tidak bebas
Artinya bahwa jika fungsi pada persamaan tersebut
terdiri dari dua perubah atau lebih, maka dikatakan
sebagai persamaan differensial parsial.
1.1.3 Notasi
Ekspresi matematis sering
kali digunakan untuk menuliskan, masing-masing, turunan
pertama, kedua, ketiga, keempat, ... , ke-n dari terhadap
perubah bebas yang dimaksudkan. Jadi, dilambangkan
,
... ,
. Untuk perubah bebas yang lain,
Persamaan Differensial Biasa
6
misalnya perubah ditulis turunan pertama
, perubah
turunan kedua ditulis
.
Dalam materi mata kuliah III yang akan dipelajari hanya
menyelesaikan persamaan-persamaan Differensial biasa yang
elementer.
1.1.4 Penyelesaian Persamaan Differensial
Penyelesaian dari persamaan differensial dalam fungsi
yang tidak diketahui dan perubah bebas pada interval , adalah
fungsi yang memenuhi persamaan differensial secara
identik untuk semua dalam
Contoh
Apakah di mana dan
adalah konstanta sembarang, merupakan penyelesaian
dari
Dengan mencari turunan , maka akan diperoleh:
Persamaan Differensial Biasa
7
Sehingga:
Jadi, memenuhi
persamaan differensial yang dimaksud untuk semua nilai
sehingga merupakan penyelesaian pada interval
.
1.1.5 Tingkat dan Derajat dari Suatu Persamaan Differensial
Seperti pada persamaan dalam aljabar, kita kenal
persamaan linier dan persamaan kuadrat. Dalam persamaan
differensial kita kenal ordo dari persamaan differensial yang
didasarkan pada turunan tertinggi dari fungsi dalam persamaan
tersebut. Jadi, jika turunan yang tertinggi yang terdapat dalam
persamaan adalah tingkat n, maka PD itu disebut PD tingkat n
(ordo n). Jika persamaan itu seluruhnya terukur dan bulat dalam
turunan-turunan itu, maka pangkat tertinggi dari turunan
tertinggi dalam persamaan itu disebut derajat (tingkat atau
pangkat) PD itu. Jadi bila dua persamaan differensial dapat
dianggap sebagai suatu polinom, maka tingkat dari persamaan
differensial ditentukan oleh pangkat tertinggi dari turunan
tertinggi.
Persamaan Differensial Biasa
8
Contoh :
1.
disebut PD tingkat 1 dan derajat 1.
2.
disebut PD tingkat 2 dan derajat 2.
3.
disebut PD tingkat 2 dan derajat 3.
Jadi bila dua persamaan differensial dapat dianggap sebagai
suatu polinom, maka tingkat dari persamaan differensial
ditentukan oleh pangkat tertinggi dari turunan yang tertinggi.
1.2 Persamaan Differensial dari Suatu Relasi
Persamaan umum dari garis-garis lengkung datar adalah
, di mana parameter-
parameter. PD dari relasi ini diperoleh dengan mengeliminasikan
parameter-parameternya dari persamaan semula dengan
persamaan turunan-turunannya. Jika relasinya mengandung satu
parameter, maka dicari turunannya sampai turunan pertama.
Jika mengandung dua parameter, maka diturunkan dua kali dan
jika relasinya mengandung n parameter, maka diturunkan
sampai turunan ke-n selanjutnya dieliminasi.
Persamaan Differensial Biasa
9
Soal dan Penyelesaian
1. Carilah PD dari himpunan parabola-parabola
Penyelesaian:
,
PD-nya didapat dengan mengeliminasi k dari
Jadi PD dari himpunan parabola-parabola tersebut adalah:
xdx
dyxy
212
21
2 Carilah PD dari himpunan parabola-parabola
Penyelesaian:
diturunkan sampai turunan ke-2
Persamaan Differensial Biasa
10
Karena turunan ke-2 tidak memuat parameter a dan b,
maka penyelesaian PD-nya adalah:
0
2
2
2
dx
dy
dx
ydy
Soal-Soal:
Carilah persamaan-persamaan Differensialnya yang
penyelesaian umumnya adalah:
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Persamaan Differensial Biasa
11
BAB II
PENYELESAIAN PERSAMAAN
DIFFERENSIAL
Penyelesaian Persamaan Differensial adalah suatu hubungan
antara perubah-perubah tanpa turunan-turunan dan yang
memenuhi PD tersebut.
Contoh : adalah penyelesaian dari
karena dengan substitusi
memenuhi PD.
Penyelesaian Umum dari suatu PD adalah yang memuat
konstanta-konstanta essensial
sembarang yang banyaknya sama
dengan tingkat dari PD itu.
Penyelesaian Partikulir dari suatu PD adalah
penyelesaian yang diperoleh dari
penyelesaian umum dengan
Persamaan Differensial Biasa
12
memberi harga tertentu pada
konstanta-konstanta sembarang.
Penyelesaian Singular adalah penyelesaian yang
memenuhi PD tanpa konstanta-
konstanta sembarang tetapi bukan
penyelesaian khusus.
2.1 Persamaan Differensial Derajat Satu
Bentuk Umum : ),( yxfdx
dy
atau (2.1)
Untuk mencari Penyelesaian Umum Persamaan
Differensial (PUPD) dari (2.1) dibedakan beberapa
menurut keadaan sebagai berikut :
2.1.1 Persamaan Differensial dengan Perubah Terpisah
Bentuk umum:
(2.2)
Jika bentuk (2.2) diintegralkan diperoleh:
Persamaan Differensial Biasa
13
Dengan menyelesaikan bentuk integral pada kedua ruas di atas,
maka diperoleh penyelesaian
Soal dan Penyelesaian
Tentukan PUPD dari persamaan Differensial berikut:
1.
Penyelesaian:
1kydyxdx
2. 012
1
2 2
dy
yy
ydx
x
x
Penyelesaian:
Dengan mengintegralkan masing-masing:
*
dx
x
xdx
x
x
2
2)2(
2
=
dx
x 2
21
=
Persamaan Differensial Biasa
14
**
12
)12(
12
12
2
21
2 yy
yyddy
yy
y
=
Jadi Penyelesaian Umum Persamaan Differensial:
3. 06
3
1
22
dy
yy
ydx
x
x
Penyelesaian:
12 6
3
1
2kdy
yy
ydx
x
x
*
dx
x
x
1
2
Misalkan:
Jadi:
dx
x
x
1
2 =
du
u
u 2)1(
=
=
=
**
dy
yy
ydy
yy
y
)3)(2(
3
6
32
Persamaan Differensial Biasa
15
Dengan menggunakan teknik integral, maka
)3()2()3)(2(
3
y
B
y
A
yy
y
Selanjutnya kita cari nilai A dan B
Untuk:
236
351
56
2 y
dy
y
dydy
yy
y
Jadi PUPD:
;
4. 02232 22
yy
dy
xx
dx
Penyelesaian:
*
2)1(32 22 x
dx
xx
dx
Misalkan : dtdxtx 221
Persamaan Differensial Biasa
16
didapat
2
1
xt
222 12
1
)1(2
2
2)1( t
dt
t
dt
x
dx
2
1tan
2
1tan
2
1
xarctarc
**
3)1(22 22 y
dy
yy
dy
3)1(22 22 y
dy
yy
dy
Misalkan : dtdyty 331
didapat 3
1
yt
13
1
)1(3
3
3)1( 222 t
dt
t
dt
y
dy
31
31ln
32
1
1
1ln
32
1
y
y
t
t
Jadi PUPD:
Persamaan Differensial Biasa
17
ky
yxarc
31
31ln
32
1
2
1tan
2
1
2.1.2 Persamaan Differensial dengan Perubah dapat
Dipisahkan
Bentuknya umum:
(2.3)
Dengan membagi persamaan (2.3) oleh , maka
diperoleh persamaan (2.4) berikut:
0)(
)(
)(
)(
2
1
2
1 dyyg
ygdx
xf
xf (2.4)
PD (2.4) disebut PD dengan perubah terpisah dan selanjutnya
diselesaikan sesuai langkah pada (2.1.1).
Soal dan Penyelesaian
Tentukan PUPD dari persamaan Differensial berikut:
1.
Penyelesaian:
Persamaan PD dibagi oleh: ,
maka diproleh:
0)2(
)4(
)3(
dy
y
ydx
x
x
Persamaan Differensial Biasa
18
kLndy
y
ydx
x
x
)2(
)4(
)3(
kLndy
ydx
x 2
61
3
31
Jadi PUPD:
2.
Penyelesaian:
Persamaan PD dibagi oleh: ,
maka diperoleh:
082
4
3 22
dy
yy
ydx
x
x
12
2
21
)2)(4(
4
3
)3(kLndy
yy
y
x
xd
*
)3(
3
)3( 2
21
2
2
21 xLn
x
xd
Persamaan Differensial Biasa
19
**
dy
y
B
y
Ady
yy
y)
24(
)2)(4(
4
Dengan menggunakan teknik integral fungsi rasional,
maka didapat:
Seterusnya kita cari nilai A dan B
Untuk :
dy
y
B
y
Ady
yy
y)
24(
)2)(4(
4
=
2431
34
y
dy
y
dy
Jadi PUPD:
3.
Penyelesaian:
Persamaan Differensial Biasa
20
kdy
yy
ydx
xx
x
64
32
42
322
**
..(a)
**
Misalkan : dtdxtx 331
3
1
xt
)(...3
1tan
tan13)1(
4
3
4
3
4
23
4
2
bx
arc
tarct
dt
x
dx
***
#
Persamaan Differensial Biasa
21
... (c)
##
Misalkan : dtdyty 552
5
2
yt
...(d)
Dengan menggunakan rumus umum dari:
maka hasil integral (d) dapat ditulis:
...(e)
Jadi PUPD : (a) + (b) + (c) + (e) =k
Persamaan Differensial Biasa
22
Aplikasi Persamaan Differensial
1. Bidang Fisika
Contoh
Suatu rangkaian listrik sederhana, yang terdiri dari suatu
resistor, inductance dan sumber yang mempunyai
electromotive force. Gambar 2.1
Menurut hukum Kirchoff berlaku:
(i) Jika :
Andaikan
maka penyelesaian umum dari
persamaan differensial ini adalah:
Gambar 2.1
Persamaan Differensial Biasa
23
(ii) Jika maka penyelesaian umum
akan berbentuk:
2. Di Bidang Kimia
Suatu zat kimia dapat dilarutkan dalam air, di mana
banyaknya zat terlarut persatuan waktu (kecepatan
reaksi) berbanding lurus dengan hasil kali banyak zat
yang tidak larut dengan selisih antara konsentrasi larutan
tersebut. Dalam suatu larutan jenuh setiap 100 gram
larutan terlarut 50 gr zat tersebut, dan jika 30 gr zat
dicampur dengan 100 gram air ternyata 10 gram zat
terlarut dalam 2 jam. Berapa gramkah zat yang terlarut
setelah 10 jam.
Penyelesaian:
= menyatakan waktu
= jumlah jam terlarut pada saat
= perubahan zat terlarut persatuan waktu
Maka diperoleh
, sedangkan konsentrasi
larutan jenuh adalah
.
Persamaan Differensial Biasa
24
Persamaan ini dapat diubah menjadi:
Soal-soal : Carilah PUPD dari persamaan berikut ini :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. dy=0
9.
10.
11.
Persamaan Differensial Biasa
25
2.2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN
Bentuk persamaan differensial:
(2.5)
Persamaan Differensial (PD) disebut PD Homogen, jika
dan adalah fungsi-fungsi homogen dan berderajat sama.
Dengan substitusi pada (2.5) maka
persamaan differensial homogen itu diubah menjadi PD dengan
perubah terpisah yaitu:
(2.6)
PD (2.6) disebut persamaan differensial dengan perubah terpisah
Soal dan Penyelesaian
Carilah PUPD dari persamaan berikut
1.
Penyelesaian:
Misalkan
Dengan membagi oleh: ,
maka diperoleh:
Persamaan Differensial Biasa
26
01
22
dv
v
v
x
dx
122 1
2
1kdv
vv
v
x
dx
*
;
Misalkan
Jadi PUPD:
2.
Penyelesaian:
Misalkan
Persamaan Differensial Biasa
27
Kemudian dibagi dengan didapat:
Jadi PUPD:
3. (x + 2y) dx + (2x – y) dy = 0
Pernyelesaian:
Misalkan : y = vx dy = v dx + x dv
(x + 2vx) dx + (2x – vx) (v dx + x dv) = 0
(x + 2vx + 2vx – v2 x) dx + (2 x2 – v x2) dv = 0
x (1 + 4v – v2) dx + x2 (2 – v) dv = 0
12ln
41
2kdv
vv
v
x
dx
1
2
21
12
2
21
ln41lnln
ln41
)41(ln
kvvx
kvv
vvdx
Persamaan Differensial Biasa
28
Jadi PUPD:
2.3 Persamaan Differensial yang Dapat Dirubah ke Bentuk
Homogen
Bentuk Umum:
(2.7)
1. Jika c = r = 0, maka PD (6) disebut PD Homogen
2. Jika aq – bp = 0 , maka penyelesaiannya adalah :
Misalkan u = ax + by du = a dx + b dy
Dengan substitusi ke PD (2.7), maka diperoleh PD
dengan perubah terpisah.
3. Jika aq – bp ≠ 0, maka penyelesaiannya adalah:
Misalkan u = ax + by + c du = a dx + b dy
v = px + qy + r dv = p dx + q dy
Kemudian gunakan eliminasi untuk mendapatkan dx dan
dy, selanjutnya substitusi pada PD (2.7), maka diperoleh
PD homogen
Soal dan Penyelesaian
Carilah PUPD dari persamaan berikut
1. (x + y – 2) dx + (3x + 3y – 1) dy = 0
Persamaan Differensial Biasa
29
Penyelesaian:
Karena aq – bp = 0, maka dimisalkan:
u = x + y du = dx + dy
dy = du – dx
(u – 2) dx + (3u – 1)(du – dx) = 0
(u – 3u - 1) dx + (3u – 1) du = 0
1
12
13kdu
u
udx
x –
1
25
23
12
)12(kdu
u
u
x –
125
23
12k
u
dudu
145
23 )12( kuLnux
Jadi PUPD:
145
23 }1)(2{)( kyxLnyxx
2x + 6y -5 Ln (2x + 2y + 1 ) = k ; k = 4k1
2. (2x – y + 1) dx + (x + 2y – 2) dy = 0
Penyelesaian :
Misalkan u = 2x – y + 1 du = 2 dx – dy
v = x + 2y – 2 dv = dx + 2 dy
Dengan eliminasi didapat : dx = 51 (2 du + dv)
Persamaan Differensial Biasa
30
dy = 51 (2 dv – du)
Substitusi pada soal mula-mula:
u. 51 (2 du + dv) + v.
51 (2 dv – du) = 0
(2u – v) du + (u + 2v) dv = 0
Misalkan v = zu dv = z du + u dz
(2u – zu)du + (u + 2zu)(z du + u dz) = 0
(2u + 2z2.u) du + (u2 + 2z.u2) dz = 0
u(2 + 2z2) du + u2(1 + 2z) dz = 0
12 )1(2
12kLndz
z
z
u
du
Ln u +
)1(2)1(2
222 z
dzdz
z
z = Ln k1
* )1(1
)1(
)1(2
2 2
21
2
2
21
2
zLnz
zddz
z
z
** 1221
z
dz ; Misalkan z = tan z2 = tan2
dz = sec2 d
dd
z
dz21
2
2
21
221
1tan
sec
1
Jadi PUPD: Ln u + ½ Ln (z2 + 1) + ½ arc tan z = Ln k1
Persamaan Differensial Biasa
31
Ln u2 + Ln (z2 +1) + Ln earc tan z = Ln k12
Ln (v2 + u2).earc tan v/u = Ln k12
2
1
22
12tan
22;2212 kkkeyxyx yx
yxarc
3. (2x – 5y + 3) dx - (2x + 4y – 6) dy = 0
Penyelesaian:
aq – bp ≠ 0, Jadi misalkan:
u = 2x – 5y + 3 du = 2dx – 5dy
v = 2x + 4y – 6 dv = 2dx + 4dy
Dengan eliminasi diperoleh:
dx =181 (4du + 5dv) dan dy =
91 (dv – du)
u. 181 (4du + 5dv) – v.
91 (dv – du) = 0
(4u + 2v) du + (5u – 2v) dv = 0
Misalkan v = zu dv = z du + u dz
(4u + 2zu) du + (5u - 2zu)(z du + u dz) = 0
u.(4 + 7z – 2 z2) du + u2.(5 - 2z) dz = 0
12 472
52kLndz
zz
z
u
du
131
)4(
1
)12(
4kLndz
zzuLn
Jadi PUPD:
Persamaan Differensial Biasa
32
Ln u + 2/3 Ln (2z + 1) + 1/3 Ln (z - 4) = Ln k1
Ln u3.{(2z + 1)2.(z - 4)} = 3
1kLn
3
1
2
3 ;4
.2
kkku
uv
u
uvu
{2(2x + 4y – 6) + (2x – 5y + 3)}2.{(2x + 4y –63)- 4(2x – 5y + 3)} = 3
1k
(6x + 3y - 9}2{-6x + 24y - 18} = 3
1k
9(2x + y – 3)2.6(4y – x –3 ) = 3
1k
(2x + y – 3)2.(4y – x – 3) = k ; k = 3
1541 k
Soal-soal
Carilah PUPD dari persamaan berikut ini:
1.
2. –
3.
4.
5. – –
6. –
7. ( – – –
8. – –
9. – –
10.
Persamaan Differensial Biasa
33
BAB III
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
TINGKAT SATU
3.1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL EXACT
Persamaan Differensial
(3.1)
Persamaan differensial (3.1) disebut exact jika ada fungsi
, sehingga Differensial total:
Syrata perlu dan syarat cukup agar persamaan
merupakan PD exact adalah: x
N
y
M
Penyelesaian Umum dari PD Ecaxt adalah
di mana ),(),( yxNx
NdanyxM
y
M
Dari kedua hubungan ini dapat dicari sebagai berikut:
Dari ),( yxMy
M
, maka
Persamaan Differensial Biasa
34
F(x,y) = )(),( ydxyxM
(y) dapat dicari dengan mengingat bahwa
),( yxNy
F
Demikian juga dapat dicari dengan memulai dari
),( yxNx
N
maka
F(x,y) = )(),( xdyyxN
(x) dapat dicari dengan mengingat bahwa
),( yxMx
F
Perhatian : Dalam hal integrasi terhadap , maka variabel
dianggap konstan dan berlaku sebaliknya.
Soal dan Penyelesaian
Carilah PUPD dari persamaan berikut
1.
Penyelesaian:
– 1
y
M
– 1
x
N
Persamaan Differensial Biasa
35
Jadi : x
N
y
M
= 1 Exact
PUPD :
F(x,y) = )()3( 2 ydxxy
= –
),( yxNy
F
Diturunkan terhadap , maka dianggap konstan
–
’(y) = - 4y
Jadi PUPD:
Atau : PUPD :
= )()4( xdyyx
= –
),( yxMx
F
Diturunkan terhadap x, maka y dianggap konstan
Persamaan Differensial Biasa
36
Jadi PUPD:
Catatan: Hasil akhir selalu sama
2. – – –
Penyelesaian:
–
yxy
M610
– –
xyy
F106
Jadi: x
N
y
M
= 6y – 10x Ecact
PUPD : F(x,y) = k
F(x,y) = )()3106( 22 ydxyxyx
= 2x3 – 5x2y + 3xy2+ (y)
),( yxNy
F
Persamaan Differensial Biasa
37
– 5 x2 + 6xy + ’(y) = 6xy – 5x2 – 3y2
’(y) = - 3y2
Jadi PUPD: 2x3 – 5x2y + 3xy2 - y3 = k
3.2 FAKTOR-FAKTOR PENGINTEGRALAN
Bentuk Persamaan Differensial (PD):
,
pada umumnya tidak exact, berarti x
N
y
M
.
Maka suatu fungsi (umumnya fungsi dari dan ) yang
mempunyai sifat bahwa menjadi exact.
Jadi dinamakan faktor pengintegralan dari PD, sehingga PD
yang baru memenuhi syarat:
x
VN
y
VM
)()(
(3.1)
Dengan melakukan turunan parsial terhadap persamaan (3.1),
maka diperoleh:
x
NV
x
VN
y
MV
y
VM
(3.2)
Persamaan Differensial Biasa
38
Selanjutnya ditinjau dua macam fungsi secara khusus:
3.2.1 Faktor Pengintegral Fungsi dari saja
Maka 0
y
Vdan
dx
dV
x
V,
sehingga persamaan (3.2) berubah menjadi :
x
NV
dx
dVN
y
MV
Jadi:
Karena V = f(x), maka N
NM xy juga hanya merupakan fungsi
dari x saja yang dinamakan dengan h(x).
Jadi dxxhVLndxxhV
dV)()(
Sehingga faktor pengintegral adalah
dxxh
eV)(
Selanjutnya faktor pengintegral dikalikan ke persamaan (3.1)
sehingga didapat:
(3.2)
Kemudian PD (3.2) diperiksa apakah memenuhi PD exact dengan:
Persamaan Differensial Biasa
39
3.2.2 Faktor Pengintegral Fungsi dari saja
Maka 0
x
Vdan
dy
dV
y
V ,
sehingga persamaan (3.2) berubah menjadi:
x
NV
y
MV
dy
dVM
Jadi dyM
MN
V
dV yx
Karena V = f(y), maka M
MN yx juga hanya merupakan fungsi
dari y saja yang dinamakan dengan g(y).
Jadi dyygVLndyygV
dV)()(
Sehingga faktor pengintegral adalah
dyyg
eV)(
Selanjutnya faktor pengintegral dikalikan ke persamaan (3.1)
sehingga didapat:
(3.3)
Kemudian PD (3.3) diperiksa apakah memenuhi PD exact dengan:
Persamaan Differensial Biasa
40
Soal dan Penyelesaian
Carilah PUPD dari persamaan berikut ini :
1.
Penyelesaian:
M(x,y) = x2 + x – y My = - 1
N(x,y) = x Nx = 1
Jadi My ≠ Nx tidak exact
h(x) = xxN
NM xy 211
;
x
dxdxxh
eeV
2)(
= e- 2 Ln x V =
01
)1
1(2
dyx
dxx
y
x
Kemudian kita periksa apakah memenuhi syarat exact
Ternyata
exact
F(x,y) = k
F(x,y) =
)(
11
2ydx
x
y
x
Persamaan Differensial Biasa
41
),( yxNy
F
+ ’(y) =
’(y) = 0 (y) = 0
Jadi PUPD:
2.
Penyelesaian:
M(x,y) = 2xy My = 2x
N(x,y) = y2 - 3x2 Nx = -6x
Jadi My ≠ Nx tidak exact
g(x) = yxy
xx
M
MN yx 4
2
26
Persamaan Differensial Biasa
42
0312
4
2
23
dy
y
x
ydx
y
x
Kemudian kita periksa apakah memenuhi syarat exact
Ternyata
exact
F(x,y) = )(2
3ydx
y
x
= 3
2
y
x + (y)
),( yxNy
F
4
2
3y
x + ’(y) =
4
2
23
1
y
x
y
’(y) = y
yy
1)(
12
Jadi PUPD: 3
2
y
x
y
1 = k
Persamaan Differensial Biasa
43
3.
Penyelesaian:
M(x,y) = x + x2 + y2 My = 2y
N(x,y) = xy Nx = y
Jadi My ≠ Nx tidak exact
h(x) = xxy
yy
N
NM xy 12
x
dxdxxh
eeV)(
0)( 2232 dyyxdxxyxx
Kemudian kita periksa apakah memenuhi syarat exact
Ternyata
exact
),( yxNy
F
Persamaan Differensial Biasa
44
’(y) = 0 (y) = 0
Jadi PUPD:
4.
Penyelesaian :
M(x,y) = xy3 My = 3xy2
N(x,y) = – (1 – x2y2) Nx = 2xy2
Jadi My ≠ Nx tidak exact
01 22
dyyx
ydxxy
Kemudian kita periksa apakah memenuhi syarat exact
Ternyata
exact
Persamaan Differensial Biasa
45
),( yxNy
F
Jadi PUPD:
Soal-soal:
Carilah PUPD dari persamaan berikut ini
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Persamaan Differensial Biasa
46
3.3 PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT SATU
Bentuk Umum:
+ P(x) y = Q(x) (3.3)
Penyelesaian:
Persamaan (3.3) dapat ditulis sebagai :
{P(x) y – Q(x)} dx + dy = 0 (3.4)
di mana M = P(x) y – Q(x) dan N = 1
0;)(
x
NNxP
y
MM xy
Karena )(0)(
xPN
xP
N
NM xy
hanya tergantung pada perubah saja, maka
dxxP
eV)(
adalah faktor pengintegral.
Faktor pengintegral ini digandakan pada PD (3.3), sehingga dapat
ditulis menjadi :
dxxPdxxP
exQyxPdx
dye
)()(
).()( (3.5)
PD (3.5) dapat ditulis sebagai turunan dari :
dxxPdxxP
eQYedx
d )()(
.. (3.6)
Dengan mengintegralkan kedua ruas PD (3.6), maka diperoleh
penyelesaian umum persamaan differensial:
Persamaan Differensial Biasa
47
PUPD: kdxeQYedxxPdxxP )()(
.. (3.7)
Soal dan Penyelesaian
Carilah PUPD dari persamaan berikut ini
1.
– y = e 2x
Penyelesaian:
P = - 1 ; Q = e 2x
xdx
eeV
Model PUPD adalah:
PUPD:
2.
...(a)
Penyelesaian:
PD (a) dibagi dengan cos x diperoleh persamaan baru
menjadi :
Persamaan Differensial Biasa
48
...(b)
Dari persamaan (b) diketahui bahwa:
Faktor integral:
Jadi PUPD:
PUPD:
3.
; jika untuk
Penyelesaian:
Bagi PD dengan x diperoleh persamaan baru
menjadi :
Faktor integral:
Persamaan Differensial Biasa
49
Jadi PUPD:
PUPD:
Selanjutnya: jika untuk
PUPD Partikulir adalah:
3.4 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI
Bentuk Umum:
; dan (3.8)
Penyelesaian:
PD (3.8) baik ruas kiri maupun ruas kanan sama dibagi dengan
, maka diperoleh:
(3.9)
Dengan substitusi
Persamaan Differensial Biasa
50
Dicari turunan terhadap didapat:
(3.10)
Persamaan (3.10) disubstitusikan pada persamaan (3.8),
sehingga PD berubah menjadi:
(3.11)
PD (3.11) disebut Persamaan Differensial Linier Tingkat
Satu.
Soal dan Penyelesaian
Carilah PUPD dari persamaan berikut ini:
1.
...(a)
Penyelesaian:
Dengan membagi semua suku oleh , maka PD (a)
menjadi:
...(b)
Misalkan
Dengan substitusi (b) pada PD (a), maka didapat:
...(c)
Persamaan Differensial Biasa
51
Persamaan (c) merupakan bentuk PD Linier Tingkat Satu
Dari persamaan (c) diperoleh: ;
Faktor Pengintegral :
Jadi PUPD:
...(d)
Penyelesaian ruas kanan digunakan metode
penyelesaian penyelesaian Integral Parsial, maka
didapatkan:
Ambil
Atau
2.
...(e)
Penyelesaian:
Persamaan (e) dibagi dengan , maka dapat ditulis
menjadi:
Misalkan
Persamaan Differensial Biasa
52
...(f)
Dengan substitusi (f) pada PD (e), maka didapat:
...(g)
Persamaan (g) merupakan bentuk PD Linier Tingkat Satu
Dari persamaan (g) diperoleh: P(x) =-2 tan x dan
Q(x) = -2 sec x
Faktor Pengintegral:
Jadi PUPD:
Penyelesaian ruas kanan, maka didapatkan:
Ambil
Persamaan Differensial Biasa
53
Soal-soal
Carilah PUPD dari persamaan berikut ini:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Persamaan Differensial Biasa
54
BAB IV
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
TINGKAT SATU DERAJAT DUA
4.1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL TINGKAT SATU DERAJAT
DUA
Bentuk Umum:
(4.1)
di mana:
Penyelesaian PD (4.1) diselesaikan dengan 3 (tiga) cara:
4.1.1 Penyelesaian ke – p
Pandanglah persamaan PD (4.1) merupakan persamaan
kuadrat dalam p dan dapat difaktorkan secara linier sehingga PD-
(4.1) dapat ditulis menjadi :
(p – F1)(p – F2) = 0
di mana dan adalah fungsi dari dan .
Jadi penyelesaiannya adalah: dan atau
dan
Persamaan Differensial Biasa
55
yaitu dua buah PD tingkat satu dan derajat satu yang
penyelesaiannya berbentuk:
dan (4.2)
Penyelesaian Umum dari PD (4.1) diperoleh dengan
menggandakan penyelesaian dari PD (4.2) yaitu:
PUPD:
Soal dan Penyelesaian
Selesaikan Persamaan Differensial berikut:
1. ...(a)
Penyelesaian:
Bagilah ruas kiri persamaan (a) dengan sehingga
diperoleh:
...(b)
Persamaan (b) diuraikan dalam p:
(i)
Atau
Persamaan Differensial Biasa
56
(ii)
Atau
Jadi PUPD adalah: :
2. 03.2.2
2 x
ypypx
Penyelesaian:
Bagilah ruas kiri dengan sehingga diperoleh:
Kita uraikan menjadi:
(i)
Persamaan Differensial Biasa
57
(ii)
Jadi PUPD adalah: :
4.1.2 Penyelesaian ke – y
Persamaan Differensial (4.1) dibawa ke bentuk:
(4.3)
Persamaan (4.3) diturunkan ke x terdapat, maka didapat:
(4.4)
Jadi bentuk (4.4) dinyatakan sebagai
yang
merupakan Persamaan Differensial Linier Tingkat Satu dan
Derajat Satu.
Andaikan penyelesaian PD
adalah
(4.5)
Persamaan Differensial Biasa
58
Eliminasi dari (4.4) dan (4.5) didapat penyelesaian umum PD,
dan jika eliminasi tidak mungkin maka x dan y masing-masing
dinyatakan sebagai fungsi dari p. Perhatikan bahwa di samping
keadaan hal ini mungkin masih didapat penyelesaian singular.
Soal dan Penyelesaian
Carilah penyelesaian PD berikut:
1. ... (a)
Penyelesaian :
PD (a) diturunkan terhadap , terdapat:
...(b)
Persamaan (b) dipenuhi jika:
atau ...(c)
Dari
terdapat ... (d)
Eliminasi dari (a) dan (d) didapat penyelesaian
umum:
Kemudian eliminasi dari (a) dan (c):
Persamaan Differensial Biasa
59
Maka didapat penyelesaian singular:
2. ...(i)
Penyelesaian :
Persamaan (i) diturunkan terhadap didapat:
...(ii)
Persamaan (ii) merupakan Persamaan Differensial
Linier Tingkat Satu.
Faktor pengintegral pdp
ev 2
1
2
1
Persamaan Differensial Biasa
60
Maka PUPD adalah:
Ruas kanan diselesaikan dengan bentuk integral
parsial, maka diperoleh:
dan
4.1.3 Penyelesaian ke – x
Persamaan Differensial (4.1) dibawa ke bentuk:
(4.6)
Selanjutnya persamaan (4.6) diturunkan terhadap diperoleh:
),,(.1
dy
dppyF
y
p
p
f
y
f
pdy
dx
(4.7)
Persamaan Differensial Biasa
61
Jadi bentuk (4.7) dinyatakan sebagai
yang
merupakan Persamaan Differensial Linier Tingkat Satu dan
Derajat Satu.
Andaikan penyelesaian PD
adalah:
(4.8)
Eliminasi dari (4.6) dan (4.8) didapat penyelesaian umum PD,
dan jika eliminasi tidak mungkin maka dan masing-masing
dinyatakan sebagai fungsi dari parameter .
Perhatikan bahwa di samping keadaan ini mungkin masih
didapat penyelesaian singular.
Soal dan Penyelesaian
Selesaikan –
Penyelesaian :
PD dibawa ke bentuk
...(iii)
Persamaan (iii) diturunkan terhadap terdapat:
Ingat:
dan
Persamaan Differensial Biasa
62
Atau
...(iv)
Persamaan (iv) dapat dipenuhi jika:
Dari
Atau
...(v)
Eliminasi dari (iii) dan (v) didapat penyelesaian umum
Kemudian eliminasi dari (iii) dan
Persamaan Differensial Biasa
63
Maka didapat penyelesaian umum persamaan
differensial singular adalah:
Soas-Soal
Selesaikan PD berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
4.2 PD. CLAIRAUT dan PD. d’ ALEMBERT
4.2.1 PD. Clairaut
Bentuk Umum:
(4.9)
di mana:
Persamaan (4.9) diturunkan terhadap diperoleh:
Persamaan Differensial Biasa
64
atau
(4.10)
Persamaan (4.10) dipenuhi jika
atau
Dari
Terdapat: (4.11)
Eliminasi dari (4.9) dan (4.11) didapat penyelesaian
umum:
(4.12)
Persamaan (4.12) merupakan himpunan garis-garis kurus.
Selanjutnya eliminasi dari: dan ,
maka diperoleh penyelesaian umum singular.
Contoh
Selesaikan
Penyelesaian :
... (i)
Diturunkan terhadap diproleh:
Persamaan Differensial Biasa
65
...(ii)
Persamaan (ii) dipenuhi jika
Dari dari
... (a)
atau
... (b)
Eliminasi dari (a) pada persamaan (i) terdapat
Penyelesaian Umum:
Selanjutnya eliminasi dari (b) dan (i) terdapat:
Penyelesaian Umum Singular:
4.2.2 PD. d’ Alembert
Bentuk Umum:
(4.13)
Persamaan (4.13) diturunkan terhadap diperoleh:
(4.14)
Persamaan Differensial Biasa
66
atau
(4.15)
Persamaan (4.15) merupakan Persamaan Differensial Linier
Tingkat Satu.
Andaikan penyelesaian umum (4.15) adalah:
(4.16)
Eliminasi p dari (4.13) dan (4.16) didapat Penyelesaian Umum
PD semula. Selain PUPD yang diperoleh ini mungkin juga masih
terdapat penyelesaian singilar.
Contoh
Selesaikan
Penyelesaian:
Persamaan dapat ditulis sebagai:
...(a)
Persamaan (a) diturunkan terhadap ke , diperoleh:
Persamaan Differensial Biasa
68
Dari (i) dan (ii) didapat:
Jadi:
(**)
Hasi (*) + (**) diperoleh:
...(c)
Dari (c) didapat:
Eliminasi dari (a) dan (c) didapat penyelesaian umum:
Lakukan perkalian silang, kemudian kedua ruas
kuadratkan, maka diperoleh:
PUPD:
Dari
Selanjutnya eliminasi dari:
Persamaan Differensial Biasa
69
Didapat penyelesaian singular:
yang memenuhi PD dan bukan merupakan penyelesaian
khusus.
4.3 PENYELESAIAN SINGULAR
Andaikan Penyelesaian Umum Persamaan Differensial:
(4.17)
di mana:
adalah: (4.18)
maka selubung (envelope) dari berkas garis lengkung (4.18) juga
merupakan penyelesaian dari (4.17) dan ini merupakan
penyelesaian singular.
Selubung dari didapat dengan eliminasi
dari:
1. dan
atau
2. Eliminasi dari PD: dan
Perhatikan bahwa penyelesaian singular harus memenuhi
Persamaan Differensial.
Persamaan Differensial Biasa
70
Contoh
1. Carilah penyelesaian singular dari
Penyelesaian :
Ini adalah PD Clairaut dengan penyelesaian umum
Jadi – –
dan
Eliminasi k dari kedua persamaan tersebut didapat
penyelesaian singular:
2. Carilah penyelesaian singular dari
Penyelesaian:
– –
Eliminasi dari kedua persamaan tersebut didapat:
Persamaan Differensial Biasa
71
Ternyata hasil ini tidak memenuhi PD. Jadi penyelesaian
singular tidak ada.
Soal-Soal
Carilah penyelesaian umum dari:
1. – –
2. –
3. –
Carilah penyelesaian singular dari:
1. 3.
2.
Persamaan Differensial Biasa
72
BAB V
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
TINGKAT DUA
5.1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER TINGKAT DUA
Suatu persamaan differensial tingkat dua disebut linier,
apabila dapat dituliskan dalam bentuk:
Bentuk Umum:
QyPdx
dyP
dx
ydP 212
2
0 (5.1)
di mana P0 , P1 , P2 , Q adalah fungsi dari x atau bilangan
konstan. Perkataan linier di sini diartikan karena persamaan (5.1)
hanya mengandung faktor linier/berpangkat satu dari
Jika P0 , P1 , P2 semuanya bilangan konstan, maka PD
(5.1) disebut PD Linier Tingkat Dua dengan koefisien konstan.
Jika Q 0, maka disebut PD Lengkap
Jika Q = 0, maka PD (5.1) berbentuk:
0212
2
0 yPdx
dyP
dx
ydP (5.2)
Persamaan Differensial Biasa
73
disebut Persamaan Differensial Tereduksi.
Penyelesaian:
Jika penyelesaian dari (5.2) dan konstan
sembarang maka juga penyelesaian.
Jika penyelesaian-penyelesaian dari (5.2)
maka:
juga penyelesaian.
Himpunan penyelesaian- penyelesaian:
Dari PD (5.2) disebut tak bebas linier jika terdapat konstanta
dan yang keduanya tidak nol, sehingga:
Apabila tidak demikian himpunan penyelesaian disebut tidak
linier.
Contoh
1. Fungsi dan adalah tak bebas linier, sebab
terdapat konstanta dan yang keduanya tidak
nol sehingga:
,
Misalnya:
2. Fungsi dan adalah bebas linier sebab:
Jika dan hanya jika
Persamaan Differensial Biasa
74
Syarat perlu dan cukup agar bebas linier adalah:
Jika adalah dua penyelesaian bebas linier
dari PD (5.2) maka Penyelesaian Umum Tereduksi adalah :
(5.3)
di mana dan adalah konstanta sembarang.
Persamaan lengkap PD (5.1) mempunyai penyelesaian umum
di mana:
adalah Penyelesaian Umum Persamaan Differensial
Tereduksi
adalah Penyelesaian Khusus dari Persamaan
Differensial Lengkap.
5.2 PD Linier Tereduksi Tingkat Dua dengan Koefisien
Konstan
Perhatikan suatu persamaan differensial
Bentuk Umum:
0212
2
0 yPdx
dyP
dx
ydP (5.4)
Persamaan Differensial Biasa
75
di mana P0 0 , P1 , P2 adalah bilangan konstan riil. Persamaan
(5.4) disebut persamaan differensial tingkat (ordo) dua dengan
koefisien konstan.
Substitusi (m = konstan)
pada PD (5.4) diperoleh:
(5.5)
dan disebut persamaan karakteristik dari PD.
PD (5.5) dapat diuraikan menjadi :
(5.6)
sehingga akar-akar karakteristiknya adalah yang
mana dapat dibedakan menjadi 3 keadaan sebagai berikut:
1. Jika dan keduanya nyata (riil), maka
Penyelesaian Umum PD Tereduksi adalah:
(5.6)
2. Jika dan keduanya nyata (riil), maka
Penyelesaian Umum PD Tereduksi adalah:
(5.7)
Persamaan Differensial Biasa
76
3. Jika (kompleks sekawan)
maka Penyelesaian Umum PD Tereduksi adalah:
(5.8)
Soal dan Penyelesaian
Carilah Penyelesaian Umum dari persamaan Differensial berikut:
1.
Penyelesaian:
Persamaan karakteristik:
Akar-akar karakteristik:
Jadi PUPD Tereduksi:
2.
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik:
Akar-akar karakteristik:
Jadi PUPD Tereduksi:
Persamaan Differensial Biasa
77
3.
Penyelesaian :
Persamaan karakteristik:
Akar-akar karakteristik:
Jadi PUPD Tereduksi:
4.
Penyelesaian:
Persamaan karakteristik:
2
24
2
2016412
im
Akar-akar karakteristik:
Jadi PUPD Tereduksi:
5.
Penyelesaian:
Persamaan karakteristik:
Persamaan Differensial Biasa
78
2
31
2
41112
im
Akar-akar karakteristik:
Jadi PUPD Tereduksi:
6.
di mana untuk dan
Penyelesaian:
Persamaan karakteristik:
Akar-akar karakteristik:
Jadi PUPD Tereduksi:
Untuk dan
,
Maka didapat:
..(i)
Persamaan Differensial Biasa
79
..(ii)
Eliminasi antara (i) dan (ii), diperoleh:
Jadi Penyelesaian PD yang memenuhi syarat batas di
atas adalah:
Soal-soal
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5.3 Persamaan Differensial Tingkat Dua Lengkap
Bentuk Umum:
(5.9)
di mana dan konstanta-konstanta nyata
Persamaan Differensial Biasa
80
5.3.1 CARA OPERATOR D
Jika untuk dan ditulis
dan
atau di mana
. Jadi di sini adalah suatu
operator yang bekerja pada maka bentuk persamaan
differensial atau persamaan (5.9)
berubah menjadi:
atau (5.10)
Jika , maka PUPD persamaan (5.10)
memiliki Penyelesaian Lengkap (PL) adalah: dan
Penyelesaian Tereduksi (PR) adalah:
Andaikan dapat diuraikan menjadi
, di mana dan adalah akar-akar
karakteristik.
Untuk menentukan penyelesaian PD (5.10) harus
dipahami beberapa sifat berikut:
a. Sifat-sifat
1.
2.
3.
Persamaan Differensial Biasa
81
Catatan:
Jika dan yang dimaksudkan
dengan , maka:
4.
5.
6.
7.
b. Mencari Penyelesaian Partikulir Persamaan Lengkap
Cara Operator
Dengan notasi
dimaksudkan bahwa:
Ini berarti PD tingkat satu yang mempunyai penyelesaian
umum :
Maka Penyelesaian Partikulir Persamaan Lengkap (PPPL)
dari adalah berbentuk:
Untuk persamaan Differensial maka
bentuk simbolis PPPL adalah:
Persamaan Differensial Biasa
82
dengan beberapa kemungkinan berikut:
1. Jika , maka penyelesaian partikulir:
2. Jika , maka penyelesaian partikulir:
3. Jika maka penyelesaian partikulir:
diperderetkan menurut deret pangkat
dalam sampai dengan suku ke saja.
4. Jika , maka adalah bagian riil
dari:
ditulis dengan:
Kita ingat Rumus Euler:
5. Jika maka adalah bagian
imaginer dari:
ditulis dengan:
Persamaan Differensial Biasa
83
6. Jika , maka penyelesaian partikulir:
Catatan:
1.
2.
3.
4.
5.3.2 Cara Variasi Parameter
P.L. :
P.R. :
Jika PUPR : , maka
PPPL :
di mana dan dapat dicari dari:
Persamaan Differensial Biasa
84
Soal dan Penyelesaian
Selesaikan PD berikut ini:
1.
Penyelesaian:
Persamaan tereduksi (PR):
PUPR :
; ternyata maka
penyelesaian partikulir PPPL adalah:
Jadi PUPL:
2.
Penyelesaian:
Persamaan Differensial Biasa
85
Persamaan tereduksi (PR):
PUPR :
; ternyata maka
penyelesaian partikulir PPPL adalah:
; ingat:
Penyelesaian faktor integral
Jadi PUPL:
3.
Penyelesaian :
–
Persamaan tereduksi (PR):
Persamaan Differensial Biasa
86
PUPR :
fungsi polinom berderajat dua, maka
penyelesaian partikulir PPPL adalah :
Untuk
diperderetkan menurut
deret pangkat sampai derajat dua sesuai pangkat
polinom, sehingga didapat:
Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan faktor
Integral:
Jadi PUPL:
Persamaan Differensial Biasa
87
4.
Penyelesaian:
Persamaan tereduksi (PR):
Akar-akar karakteristik:
Ingat dari bentuk: , maka
PUPR:
, penyelesaian partikulir:
PPPL :
Jadi PUPL:
5.
Penyelesaian:
Persamaan Differensial Biasa
88
Persamaan tereduksi (PR):
Akar-akar tereduksi:
PUPR:
, maka penyelesaian partikulir:
Diselesaikan dengan menggunakan faktor integral:
;
; selanjutnya
(Penyelesaian berikutnya dengan integral parsial)
Jadi PUPL:
Persamaan Differensial Biasa
89
Selanjutnya dapat disederhanakan:
Kumpulan Soal Penyelesaian
1.
Penyelesaian:
Persamaan tereduksi (PR):
– –
Akar-akar karakteristik :
PUPR :
, maka penyelesaian partikulir:
Dicari turunan pertama dan kedua dari fungsi
Persamaan Differensial Biasa
90
;
Jadi PUPL:
2.
Penyelesaian:
Persamaan tereduksi (PR):
Akar-akar karakteristik :
PUPR:
, maka penyelesaian partikulir:
Dicari turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi
;
Persamaan Differensial Biasa
91
Jadi PUPL:
3.
Penyelesaian:
Persamaan tereduksi (PR):
Akar-akar karakteristik :
PUPR:
, maka penyelesaian partikulir:
Dicari turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi
;
Persamaan Differensial Biasa
92
Jadi PUPL:
4.
Penyelesaian:
Akar-akar karakteristik:
, maka penyelesaian partikulir:
Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan faktor
Integral:
Persamaan Differensial Biasa
94
Cara lain:
6.
Penyelesaian:
Akar-akar karakteristik:
PUPD:
Cara lain:
Persamaan Differensial Biasa
95
PUPD:
7.
Penyelesaian:
P(x) = tan x ; Q(x) = e – 2x ; n = 2
)(.)1(.)()1( xQnzxPndx
dz
xezxdx
dz 2.tan
x
e
ee
xLn
dxxdxxP
cos
cos
tan)(
Rumus : kdxexQzedxxPdxxP )()(
.)(.
kdxxezx x cos..cos 2
Misalkan : u = cos x du = - sin x
Persamaan Differensial Biasa
96
dv = e – 2x v = - ½ e – 2x
dxxeexdxxe xxx sin..coscos. 2
212
212
Misalkan : u = sin x du = cos x
dv = e – 2x
PUPD:
8.
Penyelesaian:
Persamaan PD dibagi dengan: , maka
diperoleh PD perubah terpisah yaitu:
Persamaan Differensial Biasa
97
kdyy
y
x
dxx
dyy
y
x
dxx
23
12
1
023
12
1
2
2
kdy
y
yxnl
23
)23()1( 3
732
2
21
Maka Penyelesaian Umum Persamaan Differensial:
kynlyxnl )23()1(97
322
21
Atau
9.
Penyelesaian :
0)22()13( dyyxdxyx ... (1)
PD (1) merupakan persamaan differensial yang dapat
dirubah ke PD homogen.
Di mana , maka
Misalkan : u = 3x – y + 1 du = 3 dx – dy
v = x + 2y – 2 dv = dx + 2 dy
Dengan eliminasi didapat:
Persamaan Differensial Biasa
98
Substitusi pada persamaan (1) diperoleh:
1/7 u (2du + dv) + 1/7 v (3dv – du) = 0
(2u – v) du + (u + 3v) dv = 0 ...(2)
Persamaan (2) adalah PD homogen
Misalkan : v = zu dv = z du + u dz
(2u – zu) du + (u + 3zu) (z du + u dz) = 0
2u + 3z2 u du + (u2 + 3u2 z) dz = 0
u (2 + 3z2) du + u2 (1 + 3z) dz = 0
032
312
dz
z
z
u
du
122ln
3232
3k
z
dz
z
dzz
u
du
12
3
6
12
21 lntan)32(lnln kzarczu
2
121
3122 ln6tan6)32(ln kzarczu
2
121
3122 ln;6tan6)32(ln kkkarcvu
uv
Jadi PUPD:
karcyxyxyx
yx
13
22
21
3122
tan6223132ln
Persamaan Differensial Biasa
99
10. ...(1)
Penyelesaian:
PD dengan perubah yang dapat dipisahkan, maka PD (1)
dibagi oleh: sehingga didapat:
...(2)
Diintegralkan kedua ruas
13
(2 3)ln
4 2y
x dx dyk
x x e
*3
(2 3) (2 3)
( 2)( 24
x dx x dx
x x xx x
2 3
( 2)( 2) 2 2
x A B C
x x x x x x
Tentukan nilai A, B, dan C
Untuk
Untuk
Untuk
3 714 8 8
(2 3)
( 2)( 2) 2 2
x dx dx dx dx
x x x x x x
Persamaan Differensial Biasa
100
6
3 71 84 8 8 7
( 2)ln ln ( 2) ln ( 2) ln
( 2)
x xx x x
x
**2y
dy
e
Misalkan:
dan
( 2)2y
dy du
u ue
1
( 2) 2
A B
u u u u
Atau
Kemudian ditentukan nilai A dan B
Untuk
Untuk
1 12 2
( 2) ( 2)
du du du
u u u u
1 12 2ln ( 2) lnu u
1 12 2ln ln ( 2) ln
2
yy y
y
ee e
e
Persamaan Differensial Biasa
101
Jadi PUPD : 6
87
( 2)ln
( 2)
x x
x
1ln ln
2
y
y
ek
e
6 4
8
17 4
( 2);
( 2) ( 2)
y
y
x x ek k k
x e
Persamaan Differensial Biasa
102
Soal-Soal Tambahan
1.
Ans.
Atau:
2.
Ans.
3.
Ans. PUPD:
4.
Ans. PUPD:
5.
Ans. PUPD:
Ans. PUPD :
Persamaan Differensial Biasa
103
6.
Ans. PUPD:
7.
Ans. PUPL:
8.
Ans. PUPL:
9.
Ans. PUPL:
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Persamaan Differensial Biasa
104
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
Persamaan Differensial Biasa
105
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
Persamaan Differensial Biasa
107
D A F T A R P U S T A K A
George B. Thomas, JR, Calculus, Massashusetts Institute of Thechnology, Fourth Eddition 1976
N. Piskunov, Differential and Integral Calculus, Fourth Eddition 1978
Richard Bronson & Gambriel, Persamaan Differensial, Edisi Ketiga, Penerbit Erlangga, 2007
Richard Courant & Fritz John, Introduction to Calculus & Analysis, New York University, Volume 4, 1980
Shaum’s, Theori and Problems of Advanced Calculus, Rensseler Polytechnic Institute, Decdember 1962
MATEMATIKA III
Faigiziduhu Bu'ulölö lahir di Lölöwa'u Nias pada 18 Desember 1953. Lulus SR 1965 di Lölöwa'u, lulus SMEP Negeri 1969 di Gunungsitoli, lulus SMA BNKP Swasta Bersubsidi 1972 di Gunungsitoli, lulus S1 Matematika 1979 FMIPA USU Medan, lulus S2 Matematika Sekolah Pascasarjana USU 2005 dan lulus S3 Program Doktor Matematika FMIPA USU 2014.
Sejak tahun 1980 telah menjadi dosen di FMIPA USU sampai sekarang dengan Jabatan Lektor Kepala dan Pangkat Akademik Pembina Utama Muda/IV c.
Tahun 1983 sampai 1984 mengikuti pendidikan Penelitian Operasional di Universite de Lille di Perancis. Mata kuliah yang di ampu antara lain: Program Linier, Pengantar Teori Peluang, Statistika Dasar, Persamaan Differensial Biasa dan Aktuaria.
9 789794 588994 00009
ISBN 979-458-899-7