7/25/2019 Persamaan Diferensial Parsial Teknik

1/6

Bahan Ajar Analisis Numerik Revisi 0 Update 02 Februari 2010 1

Solusi persamaan diferensial parsial

Persamaan umum untuk aliran panas steady adalah

02

2

2

22 =

+

= uyx

u

Finite difference untuk turunan kedua adalah2

11 2

h

fff nnn + + .

Sehingga,

( )( ) ( )

( ) ( )21,,1,

2

,1,,1

,

2

2

11

2

112

22

,2,2,,2,2,,

y

uuu

x

uuuu

y

yxuyxuyxu

x

yxuyxuyxuyxu

jijijijijiji

ji

jijijijijiji

ji

++

+=

++

+=

++

++

( )jijijijiji uuuuuh

,1,1,,1,124

1Bila

+++===

++

Dalam persamaan ini terlibat 5 titik sebagaimana terlihat dalam gambar di bawah ini :

( )OBARL uuuuuu 41

2

2 +++=

Hal ini biasa disajikan dalam bentuk operator piktorial.

0

1

141

11

,2,

2

=

= jiji u

hu

Dengan kesalahan sebesar 0(h2)

7/25/2019 Persamaan Diferensial Parsial Teknik

2/6

Bahan Ajar Analisis Numerik Revisi 0 Update 02 Februari 2010 2

Kita juga bisa membuat persamaan 9 titik dengan kesalahan 0(h6) sbb :

0

141

4204

141

6

1,2,

2

=

= jiji u

hu

Contoh penerapan :

Sebuah plat baja tipis dengan ukuran 10x20 cm dikenai panas 100oC pada salah satuujung 100cm-nya, sementara sisi yang lain dijaga pada suhu 0

oC. Berapa suhu pada

bagian dalamnya ? Untuk baja k=0.16cal/s.cm2.oC/cm.

Penyelesaian :Diasumsikan panas hanya mengalir dalam arahx dan y sehingga

02

2

2

2

=

+

y

u

x

u

Dengan

( )

( )

( )

( ) 100,20

0,0

010,

00,

====

yu

yu

xu

xu

Pertama kita tentukan h = 5 cm sehingga plat bisa dibuat partisi sbb :

Kemudian kita terapkan persamaan finite difference-nya yang dicari adalah u1,u2, dan u3.

3

2

1

u

u

u

( )

( )

( )

( ) 04001005

1

04005

1

040005

1

041

322

2312

122

2

=+++

=+++

=+++

=+++

uu

uuu

uu

uuuuuh

OBARL

7/25/2019 Persamaan Diferensial Parsial Teknik

3/6

Bahan Ajar Analisis Numerik Revisi 0 Update 02 Februari 2010 3

Sistem persamaan menjadi

1004

04

04

32

321

21

==+=+

uu

uuu

uu

Solusinya adalah

Cu

Cu

Cu

===

786.26

143.7

786.1

3

2

1

Jawaban ini masih terlalu kasar dan

untuk mendapatkan hasil yang lebih baikjumlah node-nya perlu diperbanyak atau

dengan memperkecil h.Misalkan h = 2.5cm akan diperoleh grid

sbb :

Dengan menerapkan operator piktorial dengan mudah didapatkan persamaan :

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

6

5

4

3

2

1

9

8

7

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

100401004

04

04

04

04

04

04

100401004

04

04

04

04

04

04

100404

04

04

04

04

04

04

212014212014

21201913

20191812

19181711

18171610

1716159

16158

21141372114137

201413126

191312115

181211104

17111093

1610892

15981

147614876

13765

12654

11543

10432

9321

821

=+=++=++=++=++=++=++

=+=++=+++

=+++=+++=+++=+++=+++=++

=+=++=++=++=++=++=++=++

vvvvvv

vvvv

vvvv

vvvv

vvvv

vvvv

vvv

vvvvvvvv

vvvvv

vvvvv

vvvvv

vvvvv

vvvvv

vvvv

vvvvvvv

vvvv

vvvv

vvvv

vvvv

vvvv

vvv

7/25/2019 Persamaan Diferensial Parsial Teknik

4/6

Bahan Ajar Analisis Numerik Revisi 0 Update 02 Februari 2010 4

Solusi persamaan di atas adalah :

2101.43

6631.19

1531.92957.4

0103.2

9132.0

3530.0

7

6

5

4

3

2

1

====

===

v

v

vv

v

v

v

1774.53

2893.26

6537.120193.6

8323.2

2894.1

4988.0

14

13

12

11

10

9

8

====

===

v

v

vv

v

v

v

2101.43

6631.19

1531.92957.4

0103.2

9132.0

3530.0

21

20

19

18

17

16

15

====

===

v

v

vv

v

v

v

7/25/2019 Persamaan Diferensial Parsial Teknik

5/6

Bahan Ajar Analisis Numerik Revisi 0 Update 02 Februari 2010 5

Bila dinyatakan dalam notasi matriks :

=

100

0

0

0

0

0

0

100

0

0

0

0

0

0

100

0

0

0

0

0

0

410000010000000000000

141000001000000000000

014100000100000000000

001410000010000000000

000141000001000000000

000014100000100000000

000001410000010000000

100000141000001000000

010000014100000100000

001000001410000010000

000100000141000001000

000010000014100000100

000001000001410000010

000000100000141000001

000000010000014100000

000000001000000410000

000000000100000141000

000000000010000014100

000000000001000001410

000000000000100000141

000000000000010000014

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

vv

v

v

v

v

7/25/2019 Persamaan Diferensial Parsial Teknik

6/6

Bahan Ajar Analisis Numerik Revisi 0 Update 02 Februari 2010 6

PRHitunglah distribusi suhu untuk plat berikut