Pengertian-Pengertian

Pengertian

Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

xex

y

dx

yd

dx

yd

12

5

2

22

3

3

Contoh:

adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi.

Solusi

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi

dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

0 xx keke

xkey 0 ydt

dy adalah solusi dari persamaan

xkey xke

dt

dy karena turunan adalah

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh

Contoh:

Persamaan terpenuhi.

Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.

Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang

Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah

Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk

0)()( dxxgdyyf

Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

Kdxxgdyyf ))()(

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda

yxedx

dy

0 dxedye xy

y

x

e

e

dx

dyPersamaan ini dapat kita tuliskan

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai persamaan dengan peubah terpisah

Kee xy Kee xy sehingga atau

Contoh:

Kdxedye xy Integrasi kedua ruas memberikan:

Contoh:xydx

dy 1

0x

dxydy

Kx

dxydy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

Kxy

ln2

2

Kxy 2ln

atau

x

dxydy atau

Integrasi kedua ruas:

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk

x

yF

dx

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah bebas baru

x

yv

vxy

dx

dvxv

dx

dy)(vF

dx

dvxv

0)(

vFv

dv

x

dx

Pemisahan peubah:

yang akan memberikan

dan

vvFdx

dvx )(

x

dx

vvF

dv

)(

atau:

Contoh: 02)( 22 xydydxyx

02)1(2

22 xydydx

x

yxUsahakan menjadi homogen

dyx

ydx

x

y2)1(

2

2

)/()/(2

)/(1 2xyF

xy

xy

dx

dy

Peubah baru v = y/x

vxy

dx

dvxv

dx

dy v

v

dx

dvxv

2

1 2

v

v

v

vv

dx

dvx

2

31

2

1 22

x

dx

v

vdv

231

2 031

22

v

vdv

x

dx Peubah terpisah atau

)(2

1 2vF

v

v

dx

dy

Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkanv sebagai fungsi x.

031

22

v

vdv

x

dx

dx

xd

x

)(ln1

)6(31

1

)31(

)31(

)31ln()31ln(2

2

2

22v

vdv

vd

vd

vd

dv

vd

Kita coba hitung

KKvx ln3

1)31ln(

3

1ln 2

0)31ln(

3

1 2

dv

dv

vd

x

dx

KKvx ln)31ln(ln3 2

Kvx )31( 23

Kxyx 23 )/(31 Kyxx 22 3

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi

Integrasi ke-dua ruas:

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan

Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.

Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai

)(tfbydt

dya

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal

utama yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk

komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.

QPydx

dyOleh karena itu persamaan diferensial orde satu

yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan

Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen

0 bydt

dya

Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.

Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak.

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan yang

diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen, maka y

= (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab

0

)(

11

22

11

2121

bfdt

dfabf

dt

dfabf

dt

dfa

ffbdt

ffdaby

dt

dya

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen.

Solusi Homogen

Persamaan homogen 0 bydt

dya

Jika ya adalah solusinya maka

0 dta

b

y

dy

a

a

Integrasi kedua ruas memberikan

Kta

bya ln

sehingga

Kta

bya ln

taba

Kta

b

a eKey )/(

Inilah solusi homogen

)(tfbydt

dya p

p

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.

tKtKytAtftAtf

KeyAetf

KyAtf

ytf

scp

tp

t

p

p

sincos cos)(atau , sin)( Jika

aleksponensi al,eksponensi)( Jika

konstan konstan,)( Jika

00)( Jika

Jika solusi khusus adalah yp , maka

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi

Jika dugaan solusi total adalahtab

aptotal eKyy )/(

Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

01000 vdt

dv

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.

Contoh:

Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol.

01000 dtv

dv

Ktv 1000ln

ta

Kt eKev 10001000

Penerapan kondisi awal: aK12

Solusi total: V 12 1000tev

Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan

1210 3 vdt

dv

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.

Solusi homogen: 010 3 a

a vdt

dv0103 dt

v

dv

a

a

taa eKv 1000

Solusi khusus: 12pv karena f(t) = 12

Solusi total (dugaan): tatotal eKv 100012

Penerapan kondisi awal: aK120 12aK

Solusi total: V 1212 1000ttotal ev

Contoh:

tvdt

dv10cos1005

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien

menghasilkan persamaan

Carilah solusi total.

Solusi homogen: 05 aa v

dt

dv05 dt

v

dv

a

a

Ktva 5ln taa eKv 5

Solusi khusus: tAtAv scp 10sin10cos

ttAtAtAtA scsc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10

ttAtA cs 10cos10010cos510cos10 100510 cs AA

010sin510sin10 tAtA sc 0510 sc AA

8sA 4cA

Solusi total (dugaan): taeKttv 510sin810cos4

Penerapan kondisi awal: aK40 4aK

Solusi total : tettv 5410sin810cos4

Course Ware

Persamaan Diferensial

Orde-1

Sudaryatno Sudirham